اختبار : العمليات الحسابية الأساسية

التكنيك الأول: معالجة السلاسل داخل الأقواس المرفوعة لقوة

المفهوم الرياضي: إذا كانت السلسلة الحسابية محصورة داخل قوس مرفوع لأس معين، نطبق قاعدة جمع الأعداد المتتالية أولاً على الأعداد بداخل القوس لتبسيطها إلى قيمة واحدة، ثم نرفع الناتج النهائي للأس المطلوب.

المعادلة الجبرية لقاعدة جمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

نحدد العدد الأخير في السلسلة الداخلية للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ١٠.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد مجموع السلسلة داخل القوس، ونرمز له بالمتغير ص.

${\dfrac{(١+١٠)١٠}{٢}} = ص$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١١} \times {١٠}}{٢}} = ص$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{١١٠}{٢}} = ص$

نقسم البسط على المقام لاستخراج المجموع الكلي للسلسلة الداخلية.

$٥٥ = ص$

الآن، نطبق الأس الخارجي (التربيع) على الناتج الذي حصلنا عليه لإيجاد القيمة النهائية، ونرمز لها بالمتغير ج.

${}^{٢}(٥٥) = ج$

$٣٠٢٥ = ج$

والإجابة هي $٣٠٢٥$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع داخل الأقواس ثم التربيع

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد المجموع الداخلي بتكوين أزواج من طرفي السلسلة، حيث ينتج عن كل زوج مجموع ثابت، ثم نضرب المجموع في عدد الأزواج الكلي. وأخيراً، نقوم بتربيع الناتج الكلي المحصل.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة الداخلية مع الحد الأصغر:

${١٠} + {١} = {١١}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار للتأكد من ثبات المجموع:

${٩} + {٢} = {١١}$

نحسب عدد الأزواج الكلي بقسمة العدد الإجمالي لحدود السلسلة على ٢، ونرمز له بالمتغير ن.

${\dfrac{١٠}{٢}} = ن$

$٥ = ن$

نضرب مجموع الزوج الواحد في العدد الكلي للأزواج لإيجاد المجموع الداخلي للسلسلة، ونرمز له بالمتغير ص.

${١١} \times {٥} = ص$

$٥٥ = ص$

نرفع المجموع الداخلي للقوة الثانية (التربيع) لاستخراج الناتج النهائي المعبر عنه بالمتغير ج.

${}^{٢}(٥٥) = ج$

$٣٠٢٥ = ج$

والإجابة هي $٣٠٢٥$

تكنيك ١: التفكيك المتسلسل

المفهوم الرياضي: نبدأ بفك الأسس والأقواس ثم القسمة وأخيراً الطرح.

الخطوة الأولى: حساب القيمة المرفوعة للأس.

$٦٤ = {}^{٢}٨$

الخطوة الثانية: حساب ما بداخل القوس.

$٨ = ٤ \times ٢$

الخطوة الثالثة: التعويض وإجراء عملية القسمة.

$٨ \div ١٦ – ٦٤$

$٢ = ٨ \div ١٦$

الخطوة الرابعة: إجراء عملية الطرح الأخيرة.

$٦٢ = ٢ – ٦٤$

تكنيك ٢: الحساب الذهني المباشر

المفهوم الرياضي: استخدام الحساب الذهني لاختصار العمليات الورقية.

الخطوة الأولى: نعلم ذهنياً أن $٦٤ = {}^{٢}٨$ وأن $٨ = ٤ \times ٢$

الخطوة الثانية: تصبح المعادلة $٨ \div ١٦ – ٦٤$

الخطوة الثالثة: القسمة تعطي ٢، ونطرحها من ٦٤ ليصبح الناتج ٦٢.

تكنيك ١: التبسيط باستخدام الجمع المتكرر

المفهوم الرياضي: الجمع المتكرر لنفس العدد يمكن تحويله إلى عملية ضرب.

نحول البسط في القيمة الأولى إلى ضرب، حيث تكرر العدد (٧٧) أربع مرات:

$ \dfrac{٤ \times ٧٧}{٧} $

نقسم (٧٧) على (٧):

$ ١١ = ٧ \div ٧٧ $

نضرب الناتج في (٤):

$ ٤٤ = ٤ \times ١١ $

القيمة الأولى أصبحت (٤٤)، والقيمة الثانية (٧٧).

نقارن بين القيمتين:

$ ٤٤ < ٧٧ $

إذاً القيمة الثانية أكبر.

التكنيك الأول: استراتيجية تفكيك السلاسل المتداخلة (الموجبة والسالبة)

المفهوم الرياضي: عند مواجهة سلسلة حسابية تتناوب فيها الإشارات بين الموجب والسالب، وتتداخل فيها الأعداد الفردية والزوجية، نقوم بفصل السلسلة إلى مجموعتين مستقلتين: مجموعة للأعداد الفردية (الموجبة) ومجموعة للأعداد الزوجية (السالبة). نحسب مجموع كل سلسلة على حدة، ثم نوجد الفرق بين المجموعين مع مراعاة الإشارات.

نفصل السلسلة الأولى للأعداد الفردية الموجبة لجمعها، حيث نوجد أولاً عدد الحدود للعدد الفردي الأخير ١٩.

القاعدة الجبرية لاستخراج عدد الحدود للسلسلة الفردية (مع تطبيق الترتيب المطلوب في البسط):

${\dfrac{١+ص}{٢}} = ن$

نعوض بالعدد الفردي الأخير في السلسلة، ونرمز له بالمتغير ص، وهو العدد ١٩.

${\dfrac{١+١٩}{٢}} = ن$

${\dfrac{٢٠}{٢}} = ن$

$١٠ = ن$

القاعدة الجبرية لإيجاد مجموع الأعداد الفردية بتربيع عدد الحدود:

${}^{٢}ن = ك$

${}^{٢}(١٠) = ك$

$١٠٠ = ك$

نفصل السلسلة الثانية للأعداد الزوجية السالبة لجمعها كقيم موجبة مؤقتاً لتسهيل الحساب.

نحدد العدد الزوجي الأخير في السلسلة، وبما أن السلسلة الأصلية تنتهي بالعدد الفردي ١٩، فإن العدد الزوجي الأخير الذي يسبقه هو ١٨.

القاعدة الجبرية لجمع الأعداد الزوجية المتتالية (مع تطبيق الترتيب العكسي المطلوب في بسط القانون):

${\dfrac{(٢+س)س}{٤}} = م$

نعوض بالعدد الزوجي الأخير، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ١٨.

${\dfrac{(٢+١٨)١٨}{٤}} = م$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{٢٠} \times {١٨}}{٤}} = م$

نقسم العدد ٢٠ على المقام ٤ لتبسيط العملية الحسابية.

${٥} \times {١٨} = م$

نضرب الناتجين للحصول على مجموع السلسلة الزوجية.

$٩٠ = م$

الخطوة الأخيرة هي إيجاد الناتج النهائي بدمج المجموعين مع مراعاة الإشارة الأصلية لكل مجموعة، أي عملية طرح مجموع الأعداد الزوجية من مجموع الأعداد الفردية.

${٩٠} – {١٠٠} = ج$

$١٠ = ج$

والإجابة هي $١٠$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وحساب الفروق المتناظرة

المفهوم الرياضي: يمكن حل السلسلة المتناوبة بشكل أسرع دون الحاجة لحساب المجاميع الكلية، وذلك من خلال دمج كل عدد فردي مع العدد الزوجي الذي يليه مباشرة لتكوين أزواج، حيث ينتج عن كل زوج فرق ثابت، ونضرب هذا الفرق في عدد الأزواج، ثم نجمع الناتج مع الحد الأخير المستقل.

نقوم بتكوين أزواج متتالية من بداية السلسلة مع الحفاظ على الترتيب والإشارات، ونترك الحد الأخير (١٩) مستقلاً لأنه عدد فردي لا يتبعه عدد زوجي لاكتمال الزوج.

${١٩} + {({١٨}-{١٧})} + …… + {({٦}-{٥})} + {({٤}-{٣})} + {({٢}-{١})} = ج$

نحسب ناتج الطرح لكل زوج من الأقواس، حيث نلاحظ أن ناتج طرح العدد الزوجي من العدد الفردي الذي يسبقه يساوي دائماً القيمة ١-.

${١٩} + {١-} + …… + {١-} + {١-} + {١-} = ج$

نحسب عدد هذه الأزواج المتطابقة، وهو يمثل نصف العدد الإجمالي لحدود السلسلة الزوجية التي تنتهي عند ١٨.

${\dfrac{١٨}{٢}} = ن$

$٩ = ن$

لدينا ٩ أزواج، قيمة كل زوج هي ١-. نضرب قيمة الزوج الواحد في عدد الأزواج الكلي لإيجاد مجموع الفروق الجزئية.

${٩} \times {١-} = م$

$٩- = م$

نجمع ناتج الفروق مع الحد المستقل المتبقي في نهاية السلسلة لإيجاد المجموع النهائي.

${٩-} + {١٩} = ج$

$١٠ = ج$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١: تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: حساب كل خيار على حدة بتطبيق قواعد ترتيب العمليات الحسابية لمعرفة أيها يساوي ١١.

الخطوة الأولى: اختبار الخيار الأول.

$٣ + ٢ \div ٦ + ١٠$

نحسب القسمة أولاً: $٣ = ٢ \div ٦$

نجمع: $١٦ = ٣ + ٣ + ١٠$ (إجابة خاطئة)

الخطوة الثانية: اختبار الخيار الثاني.

$(٣ \times ٢) + ٤ + (٥ \div ٥)$

نحسب الأقواس: $١ = ٥ \div ٥$ و $٦ = ٣ \times ٢$

نجمع: $١١ = ٦ + ٤ + ١$ (إجابة صحيحة)

الخطوة الثالثة: اختبار الخيار الثالث للتأكد.

$٢ \div ٢ + ٨ + ٦$

القسمة أولاً: $١ = ٢ \div ٢$

الجمع: $١٥ = ١ + ٨ + ٦$ (إجابة خاطئة)

إذن الخيار الصحيح هو الثاني.

تكنيك ٢: الاستبعاد المنطقي

المفهوم الرياضي: تقدير النواتج ذهنياً لاستبعاد الخيارات البعيدة عن ١١.

الخطوة الأولى: الخيار الأول يحتوي على مجاميع كبيرة $١٠$ و $٣$ مما يجعل الناتج أكبر من ١١، يُستبعد.

الخطوة الثانية: الخيار الثالث يحتوي على $٦$ و $٨$ مجموعهما ١٤، يُستبعد.

الخطوة الثالثة: الخيار الرابع يحتوي طرحاً بعد عملية ضرب، والناتج سيكون سالباً أو صغيراً جداً، يُستبعد.

الخطوة الرابعة: يتبقى الخيار الثاني وهو الصحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية (أولوية القسمة والضرب على الجمع والطرح).

المقدار المطروح في السؤال هو:

$٢ \times ٣ \div ٦ – ١٠$

وفقاً لقواعد الرياضيات، نبدأ بعمليتي القسمة والضرب قبل الطرح. وتُنفذ العمليات من اليمين إلى اليسار في حالة تكافؤ الأولوية.

نقوم بعملية القسمة أولاً:

$٢ = ٣ \div ٦$

نأخذ الناتج ونقوم بعملية الضرب:

$٤ = ٢ \times ٢$

أخيراً، نعود للعملية الأساسية ونطرح الناتج من ١٠:

$٦ = ٤ – ١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد خانة العشرات لحاصل ضرب عددين عن طريق ضرب الخانات الأولى.

لتحديد رقم خانة العشرات في حاصل ضرب عددين كبيرين، يكفي أن نأخذ أول رقمين من كل عدد (الآحاد والعشرات) ونضربهما معاً، ثم ننظر إلى خانة العشرات في الناتج.

أول رقمين من العدد الأول (من اليمين) هما $٧٥$

أول رقمين من العدد الثاني هما $٣٢$

نقوم بضرب هذين الرقمين: $٢٤٠٠ = ٣٢ \times ٧٥$

نلاحظ في الناتج $٢٤٠٠$ أن خانة الآحاد هي $٠$ وخانة العشرات هي أيضاً $٠$

بناءً على ذلك، ستكون خانة العشرات في ناتج عملية الضرب الأصلية الكاملة هي $٠$ حتماً.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد رقم الآحاد لحاصل ضرب عدة أعداد كبيرة.

لإيجاد رقم الآحاد في أي عملية ضرب، نكتفي بضرب أرقام الآحاد للأعداد المضروبة ونتجاهل باقي الخانات تماماً.

رقم الآحاد في العدد الأول هو $٢$

رقم الآحاد في العدد الثاني هو $٥$

رقم الآحاد في العدد الثالث هو $٨$

نقوم بضرب أرقام الآحاد معاً: $٨٠ = ٨ \times ٥ \times ٢$

نلاحظ أن رقم الآحاد في الناتج $٨٠$ هو $٠$

إذن، خانة الآحاد لناتج عملية الضرب الكاملة هي $٠$

التكنيك الأول: تطبيق قاعدة جمع مربعات الأعداد المتتالية

المفهوم الرياضي: لحساب مجموع مربعات سلسلة من الأعداد الصحيحة المتتالية التي تبدأ من العدد ١، نضرب العدد الأخير في العدد الذي يليه مباشرة، ثم نضرب الناتج في ضعف العدد الأخير مضافاً إليه واحد، وأخيراً نقسم الناتج الكلي على ٦.

المعادلة الجبرية للقاعدة:

${\dfrac{(١+س٢)(١+س)س}{٦}} = ج$

نحدد العدد الأخير في السلسلة للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ١٠.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد المجموع الكلي، ونرمز له بالمتغير ص.

${\dfrac{(١+٢٠)(١+١٠)١٠}{٦}} = ص$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{٢١} \times {١١} \times {١٠}}{٦}} = ص$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{{٢٣١} \times {١٠}}{٦}} = ص$

${\dfrac{٢٣١٠}{٦}} = ص$

نقسم البسط على المقام لاستخراج الناتج النهائي.

$٣٨٥ = ص$

والإجابة هي $٣٨٥$

التكنيك الثاني: الحساب المباشر والتجميع التدريجي للسلسلة

المفهوم الرياضي: في السلاسل القصيرة نسبياً، يمكن فك التربيع لكل حد على حدة ثم جمع النواتج تدريجياً، مع مراعاة الترتيب العكسي للحدود للحصول على المجموع النهائي بدقة وتجنب أي خطأ في الجمع.

نكتب السلسلة كاملة مع وضع المتغير في الجانب الأيمن من المعادلة:

${}^{٢}١٠ + {}^{٢}٩ + {}^{٢}٨ + {}^{٢}٧ + {}^{٢}٦ + {}^{٢}٥ + {}^{٢}٤ + {}^{٢}٣ + {}^{٢}٢ + {}^{٢}١ = ج$

نقوم بفك التربيع لكل عدد في السلسلة ونحافظ على ترتيبها من اليمين إلى اليسار:

${١٠٠} + {٨١} + {٦٤} + {٤٩} + {٣٦} + {٢٥} + {١٦} + {٩} + {٤} + {١} = ج$

نقوم بتجميع الأعداد المتجاورة بشكل أزواج لتسهيل وتقليل عمليات الجمع الطويلة:

${١٠٠} + {٨١} + {(٤٩+٦٤)} + {(٢٥+٣٦)} + {(١٦+٤)} + {(٩+١)} = ج$

نستخرج نواتج الجمع داخل الأقواس لتكوين سلسلة أقصر:

${١٠٠} + {٨١} + {١١٣} + {٦١} + {٢٠} + {١٠} = ج$

نستمر في تجميع الحدود وتقليصها تدريجياً:

${(٨١+١٠٠)} + {(٦١+١١٣)} + {(١٠+٢٠)} = ج$

${١٨١} + {١٧٤} + {٣٠} = ج$

نجمع الحدين الأول والثاني:

${٣٥٥} + {٣٠} = ج$

نجمع الناتج مع الحد الأخير للوصول إلى المجموع الكلي:

$٣٨٥ = ج$

والإجابة هي $٣٨٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التجميع الذكي للحدود للحصول على مضاعفات الألف والمئات الكاملة.

نبحث في السلسلة عن أزواج من الأعداد التي يعطي مجموعها أرقاماً يسهل التعامل معها.

نجمع ٩٠٠ مع ١١٠:

$١٠١٠ = ١١٠ + ٩٠٠$

نجمع ٣٠٠ مع ٧٠٠:

$١٠٠٠ = ٧٠٠ + ٣٠٠$

نجمع ٥٠٠ مع ٦٠٠:

$١١٠٠ = ٦٠٠ + ٥٠٠$

نجمع ٣٠٠ مع ٩٠٠:

$١٢٠٠ = ٩٠٠ + ٣٠٠$

نجمع ٥٨٠ مع ١١٠ المتبقية:

$٦٩٠ = ١١٠ + ٥٨٠$

نجمع النواتج الجزئية بخطوتين. الخطوة الأولى نجمع الآلاف:

$٤٣١٠ = ١٢٠٠ + ١١٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠١٠$

الخطوة الثانية نجمع الناتج مع العدد الأخير المتبقي:

$٥٠٠٠ = ٦٩٠ + ٤٣١٠$

التكنيك الأول: استخراج العامل المشترك وتطبيق القاعدة الذهبية لجمع الأعداد المتتالية

المفهوم الرياضي: عند التعامل مع سلسلة من المضاعفات ذات النمط الثابت، نقوم بسحب العامل المشترك الأصغر لتحويلها إلى سلسلة أعداد صحيحة متتالية تبدأ من العدد ١، ثم نطبق قاعدة الجمع، وأخيراً نضرب الناتج النهائي في العامل المشترك.

قاعدة جمع الأعداد المتتالية: نضرب العدد الأخير في العدد الذي يليه مباشرة، ثم نقسم الناتج على ٢.

المعادلة الجبرية للقاعدة:

${\dfrac{(س+١)س}{٢}} = ج$

نقوم بسحب العدد ٠.١ كعامل مشترك من جميع حدود السلسلة لتكوين سلسلة أعداد صحيحة متتالية.

${(٩ + ٨ + ٧ + ٦ + ٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١)}{٠.١} = ج$

نحدد العدد الأخير في السلسلة الداخلية للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ٩.

نعوض في القاعدة الذهبية لإيجاد مجموع السلسلة الداخلية، ونرمز له بالمتغير ص.

${\dfrac{(٩+١)٩}{٢}} = ص$

${\dfrac{{١٠} \times {٩}}{٢}} = ص$

${\dfrac{٩٠}{٢}} = ص$

$٤٥ = ص$

نضرب الناتج الذي حصلنا عليه في العامل المشترك الذي تم سحبه في البداية.

${٠.١} \times {٤٥} = ج$

$٤.٥ = ج$

والإجابة هي $٤.٥$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وتكوين الأزواج المتطابقة

المفهوم الرياضي: يمكن تبسيط عملية الجمع الطويلة عن طريق تجميع الحد الأول مع الحد الأخير، ثم الحد الثاني مع الحد قبل الأخير، وهكذا، لتكوين أزواج ينتج عنها قيم صحيحة متساوية، ثم نجمع هذه النواتج مع أي حد متبقي في المنتصف.

نقوم بتكوين أزواج من طرفي السلسلة بحيث يكون مجموع كل زوج يمثل عدداً صحيحاً.

نجمع الحد الأكبر مع الحد الأصغر، ونضع الناتج في يسار المعادلة:

${٠.٩} + {٠.١} = {١.٠}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار:

${٠.٨} + {٠.٢} = {١.٠}$

نستمر في تجميع الأطراف المتبقية:

${٠.٧} + {٠.٣} = {١.٠}$

${٠.٦} + {٠.٤} = {١.٠}$

يتبقى لدينا في منتصف السلسلة الحد ٠.٥ والذي لا يوجد له زوج ليتم جمعه معه.

لدينا الآن ٤ أزواج مجموع كل منها يساوي ١.٠، بالإضافة إلى الحد المتبقي ٠.٥.

نجمع النواتج الجزئية جميعها للحصول على المجموع الكلي، ونضع المتغير في الجانب الأيمن من المعادلة.

${٠.٥} + {({٤} \times {١.٠})} = ج$

${٠.٥} + {٤.٠} = ج$

$٤.٥ = ج$

والإجابة هي $٤.٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور من خلال استخراج العامل المشترك للحدود.

نلاحظ أن جميع الأعداد في البسط والمقام تقبل القسمة على ١١.

نستخرج العدد ١١ كعامل مشترك من البسط ليصبح:

$ (٥ + ٦ + ٧ + ٩) \times ١١ $

نستخرج العدد ١١ كعامل مشترك من المقام ليصبح:

$ (٤ + ٥) \times ١١ $

نختصر العدد ١١ من كلا الطرفين ثم نجمع القيم المتبقية:

$ ٣ = \dfrac{٢٧}{٩} $

النتيجة تساوي ٣، وبالتالي القيمتان متساويتان تماماً.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: العمليات الحسابية المباشرة للجمع ثم القسمة.

نقوم بجمع جميع الحدود الموجودة في البسط للحصول على القيمة الإجمالية:

$ ٢٩٧ = ٥٥ + ٦٦ + ٧٧ + ٩٩ $

نقوم بجمع الحدين في المقام للحصول على القيمة الإجمالية:

$ ٩٩ = ٤٤ + ٥٥ $

نقسم المجموع الكلي للبسط على مجموع المقام:

$ ٣ = \dfrac{٢٩٧}{٩٩} $

بمقارنة النتيجة مع القيمة الثانية (٣)، نجد أنهما متساويتان.

التكنيك الأول: تطبيق قاعدة جمع الأعداد المتتالية وحساب آحاد القوى

المفهوم الرياضي: لحساب آحاد ناتج سلسلة محصورة داخل قوس مرفوع لأس، نطبق قاعدة جمع الأعداد المتتالية أولاً لتبسيط ما بداخل القوس إلى قيمة واحدة، ثم نأخذ رقم الآحاد من هذا الناتج ونرفعه للأس المطلوب لمعرفة آحاد القيمة النهائية.

المعادلة الجبرية لقاعدة جمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ص$

نحدد العدد الأخير في السلسلة الداخلية للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ١٠.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد مجموع السلسلة داخل القوس، ونرمز له بالمتغير ص.

${\dfrac{(١+١٠)١٠}{٢}} = ص$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١١} \times {١٠}}{٢}} = ص$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{١١٠}{٢}} = ص$

نقسم البسط على المقام لاستخراج المجموع الكلي للسلسلة الداخلية.

$٥٥ = ص$

المطلوب هو إيجاد رقم الآحاد للناتج النهائي، لذلك نأخذ رقم الآحاد من المجموع وهو العدد ٥ ونرفعه للأس الخارجي ٣، ونرمز له بالمتغير ج.

${}^{٣}٥ = ج$

${٥} \times {٥} \times {٥} = ج$

$١٢٥ = ج$

رقم الآحاد في الناتج النهائي هو الرقم الموجود في أقصى اليمين، وهو العدد ٥.

والإجابة هي $٥$

التكنيك الثاني: قاعدة خصائص الأعداد المرفوعة لقوة (الرقم ٥)

المفهوم الرياضي: بعد حساب مجموع السلسلة الداخلية، يمكننا الاستناد إلى قاعدة ثابتة في الرياضيات تنص على أن أي عدد صحيح ينتهي برقم الآحاد ٥، عند رفعه لأي أس صحيح موجب، فإن ناتجه سينتهي دائماً برقم الآحاد ٥ دون الحاجة لإجراء عملية الضرب المطولة.

نحسب مجموع السلسلة الداخلية باستخدام استراتيجية التجميع للأزواج المتطابقة.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة الداخلية مع الحد الأصغر:

${١٠} + {١} = {١١}$

نحسب عدد الأزواج الكلي بقسمة العدد الإجمالي لحدود السلسلة على ٢، ونرمز له بالمتغير ن.

${\dfrac{١٠}{٢}} = ن$

$٥ = ن$

نضرب مجموع الزوج الواحد في العدد الكلي للأزواج لإيجاد المجموع الداخلي للسلسلة، ونرمز له بالمتغير م.

${١١} \times {٥} = م$

$٥٥ = م$

نكتب المعادلة النهائية لرفع الناتج إلى الأس المطلوب، ونرمز للقيمة النهائية بالمتغير ك.

${}^{٣}(٥٥) = ك$

بما أن المجموع ٥٥ ينتهي بالرقم ٥، وبناءً على قاعدة خصائص العدد ٥ المرفوع لقوة موجبة، فإن آحاد الناتج النهائي سيكون حتماً هو العدد ٥.

والإجابة هي $٥$

تكنيك ١: البحث عن الأزواج المكملة لـ (١٠٠٠)

المفهوم الرياضي: تجميع الأعداد التي يسهل جمعها لتعطي مضاعفات الألف لتسهيل الحساب.

نجمع كل عددين متتاليين يمثلان مكملة للعدد (١٠٠٠):

$١٠٠٠ = ١٠ + ٩٩٠$

$١٠٠٠ = ٣٥٠ + ٦٥٠$

$١٠٠٠ = ٣٠٠ + ٧٠٠$

$١٠٠٠ = ١٨٠ + ٨٢٠$

$١٠٠٠ = ٢٥٠ + ٧٥٠$

لدينا (٥) أزواج، كل زوج مجموعه (١٠٠٠).

نجمع النواتج:

$٥٠٠٠ = ١٠٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠٠٠$

التكنيك الأول: استراتيجية الاقتطاع للسلاسل غير المكتملة

المفهوم الرياضي: إذا بدأت سلسلة الأعداد من رقم يتجاوز ١، نحسب المجموع الكلي بفرض أن السلسلة تبدأ من ١ وحتى العدد الأخير، ثم نطرح من الناتج مجموع الأعداد المفقودة في البداية للحصول على المجموع الفعلي.

المعادلة الجبرية لقاعدة جمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

نحسب أولاً المجموع بفرض أن السلسلة تبدأ من العدد ١ وتنتهي عند العدد ٤١.

نحدد العدد الأخير للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ٤١.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد المجموع الافتراضي للسلسلة الكاملة، ونرمز له بالمتغير ص.

${\dfrac{(١+٤١)٤١}{٢}} = ص$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{٤٢} \times {٤١}}{٢}} = ص$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{١٧٢٢}{٢}} = ص$

نقسم البسط على المقام لاستخراج المجموع الافتراضي للسلسلة.

$٨٦١ = ص$

نطرح العدد المفقود من بداية السلسلة الأصلية (وهو العدد ١) من المجموع الافتراضي للحصول على المجموع الفعلي، ونرمز له بالمتغير ج.

${١} – {٨٦١} = ج$

$٨٦٠ = ج$

والإجابة هي $٨٦٠$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وتكوين الأزواج المتطابقة

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد المجموع بتكوين أزواج من طرفي السلسلة (الحد الأول مع الحد الأخير، الحد الثاني مع الحد قبل الأخير، وهكذا)، حيث ينتج عن كل زوج مجموع ثابت، ثم نضرب مجموع الزوج الواحد في عدد الأزواج الكلي.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة مع الحد الأصغر:

${٤١} + {٢} = {٤٣}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار للتأكد من ثبات المجموع:

${٤٠} + {٣} = {٤٣}$

نستمر في هذا النمط، حيث نلاحظ أن المجموع ثابت لكل زوج ويساوي ٤٣.

نحسب عدد حدود السلسلة الفعلي بطرح الحد الأول من الحد الأخير وإضافة ١.

${١} + {({٢} – {٤١})} = {٤٠}$

نحسب عدد الأزواج الكلي بقسمة العدد الإجمالي لحدود السلسلة الفعلي على ٢، ونرمز له بالمتغير ن.

${\dfrac{٤٠}{٢}} = ن$

$٢٠ = ن$

نضرب مجموع الزوج الواحد في العدد الكلي للأزواج لإيجاد المجموع النهائي، ونرمز له بالمتغير ج.

${٤٣} \times {٢٠} = ج$

$٨٦٠ = ج$

والإجابة هي $٨٦٠$

تكنيك ١: الترجمة الجبرية المباشرة

المفهوم الرياضي: تحويل الألفاظ والعبارات النصية إلى معادلات رياضية واضحة.

نحسب القيمة الأولى من خلال إضافة ستة إلى العدد سالب ثلاثة:

${٣} = {٦} + {٣-}$

نحسب القيمة الثانية من خلال طرح اثنين من العدد سالب ثمانية:

${١٠-} = {٢} – {٨-}$

نقارن بين الناتجين ونجد أن العدد الموجب بطبيعة الحال أكبر من السالب:

${١٠-} < {٣}$

تكنيك ٢: التمثيل على خط الأعداد

المفهوم الرياضي: التحرك على خط الأعداد يميناً للزيادة ويساراً للنقصان.

لإيجاد القيمة الأولى، نقف عند نقطة سالب ثلاثة ونتحرك ست خطوات لجهة اليمين، فنصل إلى موجب ثلاثة.

لإيجاد القيمة الثانية، نقف عند نقطة سالب ثمانية ونتحرك خطوتين لجهة اليسار، فنصل إلى سالب عشرة.

القاعدة تنص على أنه كلما كان العدد يقع يميناً كان أكبر قيمة، ولذا القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: قانون المجموع للمتتابعة الثابتة

المفهوم الرياضي: جمع عدد ثابت متكرر هو عملية ضرب للعدد في عدد مرات تكراره.

القانون المستخدم:

$م = أ \times ن$

حيث (م) المجموع، (أ) العدد الثابت، (ن) عدد الحدود.

بالتعويض في القانون:

$م = ٣ \times ٥٠$

$١٥٠ = ٣ \times ٥٠$

تكنيك ٢: الجمع المباشر المتكرر

المفهوم الرياضي: يمكن فهم المتتابعة على أنها إضافة العدد (٣) إلى رصيد المجموع بشكل متتابع (٥٠) مرة.

بما أن كل حد قيمته (٣)، نكرر الجمع:

$… + ٣ + ٣ + ٣$

حتى نصل للحد رقم (٥٠)، فيكون الإجمالي هو حصيلة (٥٠) ضعفاً للعدد (٣).

$١٥٠ = ٥٠ \times ٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام خانة الآحاد للتحقق من القسمة واستبعاد الخيارات الخاطئة.

بدلاً من تضييع الوقت في إجراء عملية القسمة المطولة، نستخدم عملية الضرب المعاكسة للتحقق من صحة الخيارات.

القاعدة تنص على أن: ناتج القسمة المضروب في المقسوم عليه ($٢٨٤$) يجب أن يعطي المقسوم ($٨٧٩٥٦٢٢٠$).

بما أن آحاد المقسوم هو $٠$، فيجب أن نبحث في الخيارات عن العدد الذي إذا ضُرب آحاده في آحاد المقسوم عليه ($٤$)، يعطي ناتجاً آحاده $٠$

نجرب الخيار الأول ($٣٠٩٧٠٥$): آحاده $٥$. نضرب $٢٠ = ٤ \times ٥$، آحاد الناتج هو $٠$. (هذا يتطابق مع آحاد المقسوم وهو مرشح قوي للحل).

نجرب الخيار الثاني ($٣٠٩٧٠٤$): آحاده $٤$. نضرب $١٦ = ٤ \times ٤$، آحاد الناتج هو $٦$. (مستبعد لأن آحاده ليس صفراً).

نجرب الخيار الثالث ($٣٠٩٧٠٣$): آحاده $٣$. نضرب $١٢ = ٤ \times ٣$، آحاد الناتج هو $٢$. (مستبعد).

نجرب الخيار الرابع ($٣٠٩٧٠٦$): آحاده $٦$. نضرب $٢٤ = ٤ \times ٦$، آحاد الناتج هو $٤$. (مستبعد).

إذن، الخيار الوحيد الصحيح الذي يحقق شرط الآحاد هو $٣٠٩٧٠٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص مجموع الأعداد الفردية والزوجية في متتالية أعداد صحيحة.

نلاحظ أن السلسلة المعطاة تبدأ بعدد فردي وهو $٥$ وتنتهي أيضاً بعدد فردي وهو $٢٥$

في أي متتالية أعداد صحيحة متتالية، إذا بدأت المتتالية وانتهت بعدد فردي، فإن عدد الحدود الفردية يكون أكبر من عدد الحدود الزوجية بمقدار واحد.

بما أن الأعداد موجبة وتتزايد، فإن وجود عدد فردي إضافي يجعل مجموع الأعداد الفردية حتماً أكبر من مجموع الأعداد الزوجية.

إذن، القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: صياغة المتباينة والقسمة

المفهوم الرياضي: تحويل المسألة اللفظية إلى متباينة جبرية للحل.

نفرض أن العدد المطلوب هو المتغير س ونكتب المتباينة:

$١١٥ > س٧$

نقسم طرفي المتباينة على سبعة لإيجاد قيمة س:

$١٦.٤ > س$

بما أننا نبحث عن أعداد صحيحة، فأكبر عدد صحيح أقل من هذا الناتج هو ستة عشر.

تكنيك ٢: التجربة والتعويض المباشر

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المعطاة للوصول للناتج المطابق للشروط.

نجرب الخيار الأول بضربه في سبعة:

$١١٩ = ٧ \times ١٧$

الناتج أكبر من مئة وخمسة عشر، لذا يُستبعد. نجرب الخيار الثالث:

$١١٢ = ٧ \times ١٦$

الناتج أقل من المطلوب وهو أقرب عدد ممكن، إذن هو الحل الصحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الحصر والعد المنطقي المنهجي لتجنب التكرار.

لإيجاد جميع الأعداد التي تحتوي على الرقم ٩، نقسمها إلى مجموعتين.

المجموعة الأولى: الأعداد التي يحتوي آحادها على الرقم ٩.

نسرد هذه الأعداد كالتالي:

$٨٩ , ٧٩ , ٦٩ , ٥٩ , ٤٩ , ٣٩ , ٢٩ , ١٩ , ٩$

بحساب عدد عناصر هذه المجموعة نجد أنها تحتوي على ٩ أعداد.

المجموعة الثانية: الأعداد التي يحتوي عشراتها على الرقم ٩ (أي سلسلة التسعينات).

نسرد هذه الأعداد كالتالي:

$٩٩ , ٩٨ , ٩٧ , ٩٦ , ٩٥ , ٩٤ , ٩٣ , ٩٢ , ٩١ , ٩٠$

بحساب عدد عناصر هذه المجموعة نجد أنها تحتوي على ١٠ أعداد.

ملاحظة هامة: العدد ٩٩ يحتوي على الرقم ٩ مرتين، ولكنه يُحسب كـ (عدد واحد) كما طلب السؤال، وقد تم ضمه للمجموعة الثانية فقط لتجنب عده مرتين.

نجمع عدد عناصر المجموعتين للحصول على الإجمالي:

$١٩ = ١٠ + ٩$

تكنيك ١: ترتيب العمليات الحسابية

المفهوم الرياضي: نبدأ دائماً بفك الأقواس، ثم الضرب والقسمة، وأخيراً الجمع والطرح.

أولاً: نحسب ما بداخل القوس:

$\dfrac{١١}{٧٧} = (٧٧ \div ١١)$

ثانياً: نستبدل القوس بقيمته في المقدار الأساسي:

$\dfrac{١١}{٧٧} \times ٧٧ \times ٧ – ٧٧$

ثالثاً: نقوم بتبسيط عملية الضرب، نختصر (٧٧) في البسط مع (٧٧) في المقام:

$١١ \times ٧ – ٧٧$

رابعاً: نضرب (٧) في (١١):

$٧٧ = ١١ \times ٧$

أخيراً: نطرح الناتج من (٧٧):

$٠ = ٧٧ – ٧٧$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التقريب المسبق للأعداد قبل إجراء العمليات الحسابية لتسهيل الوصول للخيارات.

نقوم بحساب قيمة كل حد في المقدار على حدة، ثم نقربه إلى أقرب عشرة.

نحسب الحد الأول وهو مربع العدد ١١:

$١٢١ = {}^{٢}١١$

أقرب قيمة تقريبية للعدد ١٢١ هي العدد ١٢٠.

نحسب الحد الثاني وهو مربع العدد ١٣:

$١٦٩ = {}^{٢}١٣$

أقرب قيمة تقريبية للعدد ١٦٩ هي العدد ١٧٠.

نجمع القيمتين المقربتين اللتين حصلنا عليهما:

$١٧٠ + ١٢٠$

نطابق هذا الشكل الرياضي مع الخيارات المتاحة لنجد أنه يطابق الخيار الثاني تماماً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: إيجاد الناتج الفعلي الدقيق للمقدار ثم مقارنته بنواتج الخيارات المتاحة.

نحسب الناتج الكلي الفعلي للمقدار الأصلي:

$٢٩٠ = ١٦٩ + ١٢١ = {}^{٢}١٣ + {}^{٢}١١$

نقوم الآن بحساب نواتج العمليات الحسابية الموجودة في كل خيار من الخيارات الأربعة.

ناتج الخيار الأول هو:

$٢٧٠ = ١٧٠ + ١٠٠$

ناتج الخيار الثاني هو:

$٢٩٠ = ١٧٠ + ١٢٠$

ناتج الخيار الثالث هو:

$٢٧٠ = ١٦٠ + ١١٠$

ناتج الخيار الرابع هو:

$٣٠٠ = ١٨٠ + ١٢٠$

بمقارنة النواتج، نجد أن الخيار الثاني يعطي الناتج الدقيق المتطابق مع المقدار الأصلي.

التكنيك الأول: استراتيجية تفكيك السلاسل وعزل الثوابت المتكررة (بناءً على التوجيه المنطقي للإشارات)

المفهوم الرياضي: بناءً على الفهم الصحيح لاتجاه المسألة حيث أن الأعداد الصحيحة موجبة والكسور سالبة، نقوم بفصل المسألة إلى سلسلتين مستقلتين: سلسلة لجمع الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية، وسلسلة لجمع الكسور السالبة المتكررة، ثم نوجد الفرق بينهما مع الالتزام التام بترتيب عملية الطرح.

نحدد عدد الحدود في السلسلة بالكامل، وبما أن الأعداد الصحيحة المتتالية تبدأ من العدد ١ وتنتهي عند العدد ١٠٠، فإن السلسلة تتكون من ١٠٠ قوس.

نحسب مجموع سلسلة الكسور المتكررة (السالبة) بضرب الكسر الثابت في عدد الأقواس الكلي، ونرمز للناتج بالمتغير م.

${\dfrac{١}{٢}} \times {١٠٠} = م$

$٥٠ = م$

نحسب مجموع سلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية بتطبيق القاعدة الذهبية لجمع الأعداد من ١ إلى عدد محدد.

القاعدة الجبرية لجمع الأعداد المتتالية (مع تطبيق الترتيب المطلوب في البسط):

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ك$

نعوض بالعدد الأخير في سلسلة الأعداد الصحيحة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ١٠٠.

${\dfrac{(١+١٠٠)١٠٠}{٢}} = ك$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١٠١} \times {١٠٠}}{٢}} = ك$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{١٠١٠٠}{٢}} = ك$

نقسم البسط على المقام لاستخراج مجموع سلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة.

$٥٠٥٠ = ك$

الخطوة الأخيرة هي إيجاد الناتج النهائي بدمج المجموعين مع مراعاة الترتيب المنطقي، حيث يُطرح مجموع الكسور (السالبة) من مجموع الأعداد الصحيحة (الموجبة).

${٥٠} – {٥٠٥٠} = ج$

$٥٠٠٠ = ج$

والإجابة هي $٥٠٠٠$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وتكوين الأزواج المتطابقة للأقواس

المفهوم الرياضي: يمكن حل السلسلة المتداخلة بشكل أسرع من خلال جمع القوس الأول مع القوس الأخير لتكوين زوج، والقوس الثاني مع القوس قبل الأخير وهكذا، حيث ينتج عن كل زوج مجموع صحيح ثابت، ثم نضرب قيمة هذا المجموع الثابت في العدد الكلي للأزواج.

نحسب عدد الأزواج الكلي بقسمة العدد الإجمالي للأقواس في السلسلة (وهو ١٠٠ قوس) على ٢، ونرمز للناتج بالمتغير ن.

${\dfrac{١٠٠}{٢}} = ن$

$٥٠ = ن$

نجمع القوس الأول في السلسلة مع القوس الأخير لاستخراج القيمة الثابتة للزوج الواحد، ونرمز لها بالمتغير ص، مع مراعاة أن الأعداد الصحيحة موجبة والكسور سالبة.

${({\dfrac{١}{٢}} – {١})} + {({\dfrac{١}{٢}} – {١٠٠})} = ص$

نجمع الأعداد الصحيحة الموجبة معاً، ونجمع الكسور السالبة معاً داخل الزوج الواحد مع الحفاظ على إشارة الطرح بين المجموعتين.

${({\dfrac{١}{٢}} + {\dfrac{١}{٢}})} – {({١} + {١٠٠})} = ص$

نستخرج ناتج جمع العددين الصحيحين وناتج جمع الكسرين لتسهيل عملية الطرح.

${١} – {١٠١} = ص$

نطرح الكسر (الذي أصبح عدداً صحيحاً) من مجموع الأعداد الصحيحة للحصول على المجموع الثابت للزوج الواحد.

$١٠٠ = ص$

نضرب القيمة الثابتة للزوج الواحد في العدد الكلي للأزواج لإيجاد الناتج النهائي للسلسلة، ونرمز له بالمتغير ج.

${١٠٠} \times {٥٠} = ج$

$٥٠٠٠ = ج$

والإجابة هي $٥٠٠٠$

التكنيك الأول: حيلة الفترات العشرية المغلقة وتطبيق القاعدة الذهبية

المفهوم الرياضي: لإيجاد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين قيمتين عشريتين، يتم تحديد أول عدد صحيح وآخر عدد صحيح يقعان ضمن هذه الفترة، ثم يُعاملان كسلسلة أعداد صحيحة طبيعية متتالية ونطبق عليها قاعدة الجمع.

نحدد أول عدد صحيح يقع ضمن الفترة بعد القيمة ٠.٥، وهو العدد ١.

نحدد آخر عدد صحيح يقع ضمن الفترة قبل القيمة ٩٠.٥، وهو العدد ٩٠.

المعادلة الجبرية للقاعدة:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

نحدد العدد الأخير في السلسلة الصحيحة الفعلية للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ٩٠.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد المجموع الكلي، ونرمز له بالمتغير ج.

${\dfrac{(١+٩٠)٩٠}{٢}} = ج$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{٩١} \times {٩٠}}{٢}} = ج$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{٨١٩٠}{٢}} = ج$

نقسم البسط على المقام لاستخراج الناتج النهائي.

$٤٠٩٥ = ج$

والإجابة هي $٤٠٩٥$

التكنيك الثاني: استراتيجية حصر السلسلة وتكوين الأزواج المتطابقة

المفهوم الرياضي: بعد استخراج الأعداد الصحيحة المحصورة ضمن الفترة، يمكن إيجاد المجموع بتكوين أزواج من طرفي السلسلة (الحد الأول مع الحد الأخير، الحد الثاني مع الحد قبل الأخير، وهكذا)، حيث ينتج عن كل زوج مجموع ثابت، ثم نضرب مجموع الزوج الواحد في عدد الأزواج الكلي.

السلسلة الصحيحة الفعلية تبدأ من العدد ١ وتنتهي عند العدد ٩٠.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة مع الحد الأصغر:

${٩٠} + {١} = {٩١}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار للتأكد من ثبات المجموع:

${٨٩} + {٢} = {٩١}$

نستمر في هذا النمط، حيث نلاحظ أن المجموع ثابت لكل زوج ويساوي ٩١.

نحسب عدد الأزواج الكلي بقسمة العدد الإجمالي لحدود السلسلة على ٢، ونرمز له بالمتغير ن.

${\dfrac{٩٠}{٢}} = ن$

$٤٥ = ن$

نضرب مجموع الزوج الواحد في العدد الكلي للأزواج لإيجاد المجموع النهائي، ونرمز له بالمتغير ج.

${٩١} \times {٤٥} = ج$

$٤٠٩٥ = ج$

والإجابة هي $٤٠٩٥$

تكنيك ١: التبسيط والمقارنة

المفهوم الرياضي: حساب كل قيمة على حدة باستخدام ترتيب العمليات الحسابية (من اليمين لليسار للضرب والقسمة).

الخطوة الأولى: حساب القيمة الأولى.

$٤ \times ٨ \div ١٦$

نجري القسمة أولاً: $٢ = ٨ \div ١٦$

ثم الضرب: $٨ = ٤ \times ٢$

القيمة الأولى تساوي ٨.

الخطوة الثانية: حساب القيمة الثانية.

$١٦ \div ٤ \times ٨$

نجري الضرب أولاً لأنه جاء باليمين: $٣٢ = ٤ \times ٨$

ثم القسمة: $٢ = ١٦ \div ٣٢$

القيمة الثانية تساوي ٢.

الخطوة الثالثة: المقارنة بين القيمتين.

$٢ < ٨$

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: تحويل القسمة إلى كسور

المفهوم الرياضي: صياغة العمليات على شكل كسور لتسهيل الرؤية البصرية.

الخطوة الأولى: القيمة الأولى هي كسر بسطه ١٦ ومقامه ٨، والناتج مضروب في ٤. إذن $٨ = ٤ \times \frac{١٦}{٨}$

الخطوة الثانية: القيمة الثانية هي ٨ مضروبة في كسر بسطه ٤ ومقامه ١٦. إذن $٢ = \frac{٤}{١٦} \times ٨$

الخطوة الثالثة: بمقارنة النواتج، نجد أن $٢ < ٨$، إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: الاستنتاج المنطقي المباشر

المفهوم الرياضي: ترتيب الأعداد الحقيقية على خط الأعداد.

بما أن (صفر) هو أكبر عدد في المجموعة المذكورة، فهذا يعني أن جميع الأعداد الأخرى تقع على يساره في خط الأعداد.

كل الأعداد التي تقع على يسار (صفر) هي أعداد سالبة حتماً.

إذاً، نستنتج مباشرة أن جميع الأعداد الباقية سالبة.

تكنيك ٢: البرهان بالتناقض

المفهوم الرياضي: إثبات صحة الفرضية بنفي عكسها رياضياً.

نفترض جدلاً أن هناك عدداً موجباً بين الأعداد الباقية في المجموعة.

الأعداد الموجبة دائماً أكبر من (صفر) وفقاً لخصائص الأعداد الحقيقية.

هذا الافتراض يناقض المعطى الرئيسي في السؤال بأن (صفر) هو الأكبر.

لذا، يستحيل وجود عدد موجب، والنتيجة الحتمية أن جميعها سالبة.

تكنيك ١: العامل المشترك وخصائص الأسس

المفهوم الرياضي: عند جمع حدود متطابقة، نحولها إلى ضرب. وعند ضرب أساسات متشابهة، نجمع الأسس.

المقدار عبارة عن جمع الحد (${}^{١٨}٥$) خمس مرات، فنحوله إلى ضرب:

${}^{١٨}٥ \times ٥$

الأساس (٥) المضروب هو في الواقع (${}^{١}٥$).

نطبق قاعدة ضرب الأسس ذات الأساسات المتشابهة (نجمع الأسس):

${}^{١٨ + ١}٥$

نوجد ناتج جمع الأسس:

${}^{١٩}٥$

تكنيك ١: تحليل الإشارات والزوجية

المفهوم الرياضي: إذا كان عدد العوامل السالبة المضروبة زوجياً فالناتج موجب، وإذا كان فردياً فالناتج سالب.

في القيمة الأولى، الأعداد السالبة هي سالب واحد وسالب اثنين فقط.

عددهم اثنان وهو عدد زوجي، لذا حاصل الضرب الكلي سيكون موجباً.

في القيمة الثانية، الأعداد السالبة تتراوح من سالب واحد إلى سالب سبعة.

عددهم سبعة وهو عدد فردي، لذا حاصل الضرب الكلي سيكون سالباً.

العدد الموجب دائماً أكبر من العدد السالب، لذا القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: الاستبعاد وتجزئة الفترات

المفهوم الرياضي: استبعاد الأجزاء المشتركة بين القيمتين للمقارنة المباشرة.

نقسم القيمة الثانية إلى جزأين: الأعداد من سالب سبعة إلى سالب ثلاثة، والأعداد من سالب اثنين إلى اثني عشر.

الجزء الثاني متطابق تماماً مع القيمة الأولى والتي أثبتنا أنها موجبة.

الجزء الأول سالب لأنه يتكون من خمسة أعداد سالبة مضروبة في بعضها.

ضرب قيمة موجبة في قيمة سالبة يعطي نتيجة سالبة إجمالاً.

موجب أكبر من سالب حتماً.

تكنيك ١: الحل بالخطوات التفصيلية

المفهوم الرياضي: تطبيق قاعدة ترتيب العمليات الحسابية، ونبدأ بالأقواس ثم الأسس ثم الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح.

الخطوة الأولى: إيجاد قيمة ما بداخل القوس.

$٣ = ٨ – ١١$

الخطوة الثانية: حساب قيمة الأس.

$٩ = {}^{٢}٣$

الخطوة الثالثة: التعويض في المقدار الأساسي وإجراء عمليتي الضرب والقسمة.

$٤ – ٣ \div ٦ + ٩ \times ٧ + ٥$

نحسب الضرب: $٦٣ = ٩ \times ٧$

نحسب القسمة: $٢ = ٣ \div ٦$

الخطوة الرابعة: إجراء عمليتي الجمع والطرح بالترتيب من اليمين.

$٦٨ = ٦٣ + ٥$

$٧٠ = ٢ + ٦٨$

$٦٦ = ٤ – ٧٠$

الناتج النهائي هو ٦٦.

تكنيك ٢: التبسيط المتوازي

المفهوم الرياضي: حساب الأجزاء المستقلة في نفس الوقت لتقليل الخطوات.

الخطوة الأولى: نحسب القوس والأس معاً: $٩ = {}^{٢}(٨ – ١١)$

الخطوة الثانية: نحسب الضرب والقسمة بالتوازي: $٦٣ = ٩ \times ٧$ و $٢ = ٣ \div ٦$

الخطوة الثالثة: نجمع المقادير المبسطة: $٦٦ = ٤ – ٢ + ٦٣ + ٥$

التكنيك الأول: تطبيق القاعدة الذهبية لجمع الأعداد المتتالية

المفهوم الرياضي: لحساب مجموع سلسلة من الأعداد الطبيعية المتتالية التي تبدأ من العدد ١، نضرب العدد الأخير في العدد الذي يليه مباشرة، ثم نقسم الناتج على ٢.

المعادلة الجبرية للقاعدة:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

نحدد العدد الأخير في السلسلة للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ١٠٠.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد المجموع الكلي، ونرمز له بالمتغير ج.

${\dfrac{(١+١٠٠)١٠٠}{٢}} = ج$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١٠١} \times {١٠٠}}{٢}} = ج$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{١٠١٠٠}{٢}} = ج$

نقسم البسط على المقام لاستخراج الناتج النهائي.

$٥٠٥٠ = ج$

والإجابة هي $٥٠٥٠$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وتكوين الأزواج المتطابقة

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد المجموع بتكوين أزواج من طرفي السلسلة (الحد الأول مع الحد الأخير، الحد الثاني مع الحد قبل الأخير، وهكذا)، حيث ينتج عن كل زوج مجموع ثابت، ثم نضرب مجموع الزوج الواحد في عدد الأزواج الكلي.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة مع الحد الأصغر:

${١٠٠} + {١} = {١٠١}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار للتأكد من ثبات المجموع:

${٩٩} + {٢} = {١٠١}$

نستمر في هذا النمط، حيث نلاحظ أن المجموع ثابت لكل زوج ويساوي ١٠١.

نحسب عدد الأزواج الكلي بقسمة العدد الإجمالي لحدود السلسلة على ٢، ونرمز له بالمتغير ن.

${\dfrac{١٠٠}{٢}} = ن$

$٥٠ = ن$

نضرب مجموع الزوج الواحد في العدد الكلي للأزواج لإيجاد المجموع النهائي، ونرمز له بالمتغير ج.

${١٠١} \times {٥٠} = ج$

$٥٠٥٠ = ج$

والإجابة هي $٥٠٥٠$

تكنيك ١: الحساب الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: قواعد الإشارات في عمليات الضرب والجمع.

نحسب القيمة الأولى بضرب الأعداد الثلاثة خطوة بخطوة:

${١} = ({١-}) \times ({١-})$

${١-} = ({١-}) \times {١}$

نحسب القيمة الثانية بجمع العددين السالبين معاً:

${٢-} = ({١-}) + ({١-})$

نقارن بين الناتجين النهائيين لتحديد الأكبر:

${٢-} < {١-}$

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: خط الأعداد الذهني

المفهوم الرياضي: الموقع النسبي للقيم على خط الأعداد يحدد الأكبر.

القيمة الأولى تمثل سالب واحد، وهو يقع على يسار (صفر) بخطوة واحدة.

القيمة الثانية تمثل سالب اثنين، وهو يقع على يسار (صفر) بخطوتين.

في الأعداد السالبة، العدد الأقرب إلى (صفر) من جهة اليسار هو الأكبر قيمة.

بما أن سالب واحد أقرب، فهو الأكبر قطعاً.

تكنيك ١: اختبار صحة المعادلات

المفهوم الرياضي: التحقق من طرفي كل معادلة باستخدام ترتيب العمليات للوصول إلى العبارة الصحيحة.

الخطوة الأولى: اختبار الخيار الأول.

$٦ = ٢ \times ٢ + ١$

الضرب أولاً: $٤ = ٢ \times ٢$

ثم الجمع: $٥ = ١ + ٤$ (لا يساوي ٦، عبارة خاطئة)

الخطوة الثانية: اختبار الخيار الثاني.

$٦ = ٢ \times ١ + ٢$

الضرب أولاً: $٢ = ١ \times ٢$

ثم الجمع: $٤ = ٢ + ٢$ (لا يساوي ٦، عبارة خاطئة)

الخطوة الثالثة: اختبار الخيار الثالث.

$٤ = ١ \times ٢ + ٢$

الضرب أولاً: $٢ = ٢ \times ١$

ثم الجمع: $٤ = ٢ + ٢$ (عبارة صحيحة)

الخطوة الرابعة: اختبار الخيار الرابع للتأكيد.

$٥ = ٢ \times ١ \div ٢$

$١ = ٢ \div ٢$ (لا يساوي ٥، عبارة خاطئة)

تكنيك ٢: التحقق السريع من التكافؤ

المفهوم الرياضي: التركيز على العمليات الكبرى (الضرب والقسمة) أولاً لتوفير الوقت.

الخطوة الأولى: في الخيار الأول، $٤ = ٢ \times ٢$ زائد ١ يساوي ٥ وليس ٦.

الخطوة الثانية: في الخيار الثاني، $٢ = ١ \times ٢$ زائد ٢ يساوي ٤ وليس ٦.

الخطوة الثالثة: في الخيار الثالث، $٢ = ٢ \times ١$ زائد ٢ يساوي ٤، وهي معادلة صحيحة.

التكنيك الأول: استراتيجية تفكيك السلاسل المتداخلة (الموجبة والسالبة)

المفهوم الرياضي: عند مواجهة سلسلة حسابية تتناوب فيها الإشارات بين الموجب والسالب، وتتداخل فيها الأعداد الزوجية والفردية، تكمن الحيلة الذكية في فصل السلسلة إلى سلسلتين مستقلتين: واحدة للأعداد الفردية (الموجبة) وأخرى للأعداد الزوجية (السالبة)، ثم نطبق قاعدة الجمع الخاصة بكل سلسلة على حدة، ونوجد الفرق بين المجموعين مع مراعاة الإشارات.

نفصل السلسلة الأولى للأعداد الفردية الموجبة لجمعها، حيث نوجد عدد الحدود للعدد الأخير ٩٩.

القاعدة الجبرية لاستخراج عدد الحدود للسلسلة الفردية:

${\dfrac{١+ص}{٢}} = ن$

نعوض بالعدد الفردي الأخير في السلسلة، ونرمز له بالمتغير ص، وهو العدد ٩٩.

${\dfrac{١+٩٩}{٢}} = ن$

${\dfrac{١٠٠}{٢}} = ن$

$٥٠ = ن$

القاعدة الجبرية لإيجاد مجموع الأعداد الفردية بتربيع عدد الحدود:

${}^{٢}ن = ١_ج$

${}^{٢}(٥٠) = ١_ج$

$٢٥٠٠ = ١_ج$

نفصل السلسلة الثانية للأعداد الزوجية السالبة لجمعها كقيم موجبة مؤقتاً لتسهيل الحساب، باستخدام قاعدتها الخاصة بالتعويض عن العدد الزوجي الأخير ١٠٠.

القاعدة الجبرية لجمع الأعداد الزوجية المتتالية:

${\dfrac{(٢+س)س}{٤}} = ٢_ج$

${\dfrac{(٢+١٠٠)١٠٠}{٤}} = ٢_ج$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١٠٠} \times {١٠٢}}{٤}} = ٢_ج$

نقسم العدد ١٠٠ على المقام ٤ لتبسيط العملية.

${١٠٢} \times {٢٥} = ٢_ج$

نضرب الناتجين للحصول على مجموع السلسلة الزوجية.

$٢٥٥٠ = ٢_ج$

الخطوة الأخيرة هي إيجاد الناتج النهائي بدمج المجموعين مع مراعاة الإشارة الأصلية لكل مجموعة، أي عملية طرح المجموع الزوجي من المجموع الفردي.

${٢٥٥٠} – {٢٥٠٠} = ج$

$٥٠- = ج$

والإجابة هي $٥٠-$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وحساب الفروق المتناظرة

المفهوم الرياضي: يمكن حل السلسلة المتناوبة بشكل أسرع دون الحاجة لحساب المجاميع الكلية، وذلك من خلال دمج كل عدد فردي مع العدد الزوجي الذي يليه مباشرة لتكوين أزواج، حيث ينتج عن كل زوج فرق ثابت، ثم نضرب هذا الفرق في عدد الأزواج الكلي.

نقوم بتكوين أزواج متتالية من بداية السلسلة مع الحفاظ على الترتيب والإشارات بين الحدود داخل كل زوج.

${({٢}-{١})} + {({٤}-{٣})} + {({٦}-{٥})} + …… + {({١٠٠}-{٩٩})} = ج$

نحسب ناتج الطرح لكل زوج من الأقواس، حيث نلاحظ أن ناتج طرح العدد الزوجي من العدد الفردي الذي يسبقه يساوي دائماً القيمة ١-.

{١-} + …… + {١-} + {١-} + {١-} = ج$

نحسب عدد هذه الأزواج المتطابقة، وهو يمثل نصف العدد الإجمالي لحدود السلسلة الزوجية التي تنتهي عند ١٠٠.

${\dfrac{١٠٠}{٢}} = ن$

$٥٠ = ن$

لدينا ٥٠ زوجاً، قيمة كل زوج هي ١-. نضرب قيمة الزوج الواحد في عدد الأزواج الكلي لإيجاد المجموع النهائي.

${٥٠} \times {١-} = ج$

$٥٠- = ج$

والإجابة هي $٥٠-$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحديد القيمة المنزلية للأرقام بناءً على موقعها في العدد.

نحدد موقع الرقم المطلوب وهو (٥) في العدد الكلي المكتوب.

نعد الخانات الموجودة على يمين الرقم ٥ للتعرف على مرتبته.

نجد أن هناك ٦ خانات على يمينه وهي الأرقام (٠، ٣، ٩، ٨، ٣، ٢).

لإيجاد القيمة المنزلية، نكتب الرقم ٥ ونستبدل جميع الخانات التي على يمينه بأصفار.

يصبح لدينا الرقم ٥ وأمامه ٦ أصفار.

الناتج يمثل خانة أحاد الملايين، وتُكتب قيمته (٥٠٠٠٠٠٠).

تكنيك ١: خصائص الأسس

المفهوم الرياضي: العدد (١) مرفوعاً لأي قوة (أس) يساوي (١) دائماً.

بناءً على القاعدة، كل حد في السلسلة يساوي (١):

$١ + ١ + … + ١ + ١ + ١$

نلاحظ أن عدد الحدود هو (١٤٣٣) حداً، لأن الأسس تبدأ من (١) وتنتهي بـ (١٤٣٣).

لإيجاد المجموع، نضرب قيمة الحد الواحد في عدد الحدود:

$١٤٣٣ = ١٤٣٣ \times ١$

تكنيك ٢: التقسيم والتجميع

المفهوم الرياضي: تجميع الحدود المتطابقة وتطبيق الضرب كبديل للجمع الطويل.

بما أن قيمة كل حد هي (١)، يمكننا تجميع كل (١٠٠) حد معاً.

يوجد (١٤) مجموعة تتكون من (١٠٠) حد، ومجموعة أخيرة من (٣٣) حداً.

مجموع الـ (١٤) مجموعة:

$١٤٠٠ = ١٠٠ \times ١٤$

نضيف لها المجموعة المتبقية:

$١٤٣٣ = ٣٣ + ١٤٠٠$

التكنيك الأول: استخراج العامل المشترك وتطبيق القاعدة الذهبية لجمع الأعداد المتتالية

المفهوم الرياضي: عند وجود متغير مكرر كعامل مشترك في جميع حدود السلسلة، نقوم بسحبه خارج قوسين لتبسيط المعادلة، ثم نطبق قاعدة جمع الأعداد المتتالية على المعاملات العددية المتبقية داخل القوس، وأخيراً نقسم طرفي المعادلة على المجموع لإيجاد قيمة المتغير.

نقوم بسحب المتغير س كعامل مشترك من جميع الحدود في الجانب الأيسر من المعادلة.

${٤٥} = س{(٩ + ٨ + ٧ + ٦ + ٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١)}$

نطبق قاعدة جمع الأعداد المتتالية لإيجاد مجموع المعاملات العددية داخل القوس.

القاعدة الجبرية لجمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+ص)ص}{٢}} = م$

نحدد العدد الأخير في السلسلة الداخلية للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير ص، وهو العدد ٩.

${\dfrac{(١+٩)٩}{٢}} = م$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١٠} \times {٩}}{٢}} = م$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{٩٠}{٢}} = م$

نقسم البسط على المقام لاستخراج مجموع السلسلة الداخلية.

$٤٥ = م$

نعوض بمجموع السلسلة في المعادلة الأصلية التي أخرجنا منها المتغير س كعامل مشترك.

${٤٥} = س{٤٥}$

نقسم طرفي المعادلة على معامل المتغير (وهو العدد ٤٥) لاستخراج قيمة س النهائية وتجريد المتغير.

${\dfrac{٤٥}{٤٥}} = س$

$١ = س$

والإجابة هي $١$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وتكوين الأزواج المتطابقة للمعاملات

المفهوم الرياضي: بعد استخراج المتغير كعامل مشترك، يمكن إيجاد مجموع المعاملات العددية بسرعة عن طريق تكوين أزواج متطابقة من طرفي السلسلة، ثم مساواة المجموع الكلي بالطرف الآخر من المعادلة لإيجاد قيمة المجهول.

نكتب المعادلة بعد سحب المتغير س كعامل مشترك.

${٤٥} = س{(٩ + ٨ + ٧ + ٦ + ٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١)}$

نقوم بتكوين أزواج من طرفي السلسلة العددية بحيث يكون مجموع كل زوج ثابتاً.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة مع الحد الأصغر:

${١٠} = {١} + {٩}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار:

${١٠} = {٢} + {٨}$

نستمر في تجميع الأطراف المتبقية:

${١٠} = {٣} + {٧}$

${١٠} = {٤} + {٦}$

يتبقى لدينا في منتصف السلسلة الحد ٥ والذي لا يوجد له زوج ليتم جمعه معه.

لدينا الآن ٤ أزواج مجموع كل منها يساوي ١٠، بالإضافة إلى الحد المتبقي ٥.

نجمع النواتج الجزئية جميعها للحصول على مجموع المعاملات داخل القوس، ونرمز له بالمتغير م.

${٥} + {({٤} \times {١٠})} = م$

${٥} + {٤٠} = م$

$٤٥ = م$

نعوض بهذا المجموع المستخرج في المعادلة الأساسية.

${٤٥} = س{٤٥}$

بما أن الطرفين متساويان رياضياً، فإن قيمة المتغير س تمثل العدد المحايد الضربي.

${\dfrac{٤٥}{٤٥}} = س$

$١ = س$

والإجابة هي $١$

تكنيك ١: التجريب والاستبعاد

المفهوم الرياضي: تعويض الإشارات المعطاة في الخيارات لاكتشاف أي ترتيب يعطي الناتج الصحيح.

الخطوة الأولى: تجربة الخيار الأول (الضرب ثم الجمع).

$١٥ = ٣ + ٣ \times ٤$

نحسب الضرب أولاً: $١٢ = ٣ \times ٤$

ثم الجمع: $١٥ = ٣ + ١٢$

بما أن الناتج متطابق، إذن الخيار الأول هو الصحيح.

الخطوة الثانية: يمكننا تجربة الخيار الثاني للتأكد (الجمع ثم الضرب).

$١٥ = ٣ \times ٣ + ٤$

الضرب أولاً: $٩ = ٣ \times ٣$

ثم الجمع: $١٣ = ٩ + ٤$ (خاطئ)

تكنيك ٢: التحليل العكسي للناتج

المفهوم الرياضي: النظر إلى الناتج النهائي ١٥ ومحاولة تشكيله من الأرقام ٤، ٣، ٣.

الخطوة الأولى: نعلم أن $١٥ = ٣ + ١٢$

الخطوة الثانية: نحتاج لتكوين الرقم ١٢ من الأرقام ٤ و ٣، وهو ما يتحقق بعملية الضرب $١٢ = ٣ \times ٤$

الخطوة الثالثة: إذن الترتيب هو الضرب أولاً ثم الجمع ليكون $١٥ = ٣ + ٣ \times ٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التبسيط الكسري عن طريق تحليل المضاعفات المشتركة.

جميع أعداد البسط هي من مضاعفات العدد ٧، لذلك نأخذه كعامل مشترك.

يصبح البسط بعد استخراج العامل:

$ (٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١) \times ٧ $

نختصر العامل ٧ مع المقام ٢١، ليتبقى في المقام العدد ٣.

نجمع ما بداخل القوس ونقسمه على المقام المتبقي لنجد النتيجة:

$ ٥ = \dfrac{١٥}{٣} = \frac{٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١}{٣} $

بالمقارنة بين النتيجة ٥ والقيمة الثانية ٧، نجد أن ٧ أكبر، وعليه نكتبها جبرياً:

$ ٥ < ٧ $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الجمع التراكمي للقيم يتبعه قسمة مطولة أو مبسطة.

نوجد المجموع الكلي لجميع حدود البسط كالتالي:

$ ١٠٥ = ٣٥ + ٢٨ + ٢١ + ١٤ + ٧ $

نقسم الناتج الإجمالي على قيمة المقام:

$ ٥ = \dfrac{١٠٥}{٢١} $

نستنتج أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى جبرياً:

$ ٥ < ٧ $

التكنيك الأول: التفكيك المستقل للسلاسل الرياضية

المفهوم الرياضي: عند وجود عمليتي جمع لسلسلتين مختلفتين بينهما إشارة طرح، نقوم بحساب مجموع السلسلة الأولى (الأعداد الفردية) بشكل مستقل، ثم نحسب مجموع السلسلة الثانية (الأعداد الزوجية) بشكل مستقل، ونطرح الناتجين وفقاً للترتيب المعطى في المعادلة.

لحساب مجموع السلسلة الأولى (الأعداد الفردية)، نوجد أولاً عدد الحدود ونرمز له بالمتغير ن.

قاعدة إيجاد عدد الحدود للسلسلة الفردية: نضيف ١ للعدد الأخير ثم نقسم الناتج على ٢.

${\dfrac{١+س}{٢}} = ن$

نعوض بالعدد الأخير في السلسلة الفردية وهو ٣٣ لإيجاد عدد الحدود.

${\dfrac{١+٣٣}{٢}} = ن$

${\dfrac{٣٤}{٢}} = ن$

$١٧ = ن$

قاعدة جمع الأعداد الفردية المتتالية التي تبدأ من العدد ١: نربع عدد الحدود المتتالية.

${}^{٢}ن = م$

${}^{٢}(١٧) = م$

$٢٨٩ = م$

لحساب مجموع السلسلة الثانية (الأعداد الزوجية)، نوجد أولاً عدد الحدود ونرمز له بالمتغير ن.

قاعدة إيجاد عدد الحدود للسلسلة الزوجية التي تبدأ من العدد ٢: نقسم العدد الأخير على ٢.

${\dfrac{س}{٢}} = ن$

نعوض بالعدد الأخير في السلسلة الزوجية وهو ٣٢.

${\dfrac{٣٢}{٢}} = ن$

$١٦ = ن$

قاعدة جمع الأعداد الزوجية المتتالية التي تبدأ من العدد ٢: نضرب عدد الحدود في العدد الذي يليه مباشرة.

${(١+ن)ن} = ص$

${(١+١٦)١٦} = ص$

${١٧} \times {١٦} = ص$

$٢٧٢ = ص$

نطرح مجموع السلسلة الثانية (الأعداد الزوجية) من مجموع السلسلة الأولى (الأعداد الفردية) بناءً على ترتيب المعادلة المعطاة.

${٢٧٢} – {٢٨٩} = ج$

$١٧ = ج$

والإجابة هي $١٧$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وحساب الفروق المتناظرة

المفهوم الرياضي: يمكن حل المعادلة بشكل أسرع وأدق دون الحاجة لحساب المجاميع الكلية، وذلك من خلال مقابلة كل حد في السلسلة الأولى بالحد المناظر له في السلسلة الثانية وتكوين أزواج، ثم جمع نواتج هذه الفروق البسيطة.

نضع السلسلتين في معادلة واحدة ونقوم بتوزيع عملية الطرح على السلسلة الثانية لتكوين أزواج متناظرة، مع إبقاء الحد الأول من السلسلة الفردية (وهو العدد ١) مستقلاً نظراً لأن السلسلة الزوجية تبدأ من العدد ٢.

${(٢-٣)} + {(٤-٥)} + {(٦-٧)} + …… + {(٣٢-٣٣)} + {١} = ج$

نحسب ناتج الطرح لكل زوج من الأقواس، حيث نلاحظ أن الفرق بين كل عدد فردي والعدد الزوجي الذي يسبقه يساوي دائماً العدد ١.

${١} + {١} + {١} + …… + {١} + {١} = ج$

نحسب عدد هذه الأزواج المتطابقة، وهو يمثل عدد حدود السلسلة الزوجية، أي ١٦ زوجاً.

نضرب قيمة الزوج الواحد (وهو ١) في عدد الأزواج الكلي (وهو ١٦)، ثم نضيف الحد المستقل (وهو ١) المحفوظ في بداية المعادلة.

${({١٦} \times {١})} + {١} = ج$

${١٦} + {١} = ج$

$١٧ = ج$

والإجابة هي $١٧$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحديد خصائص الأعداد المكونة من خانات وإجراء عملية الطرح.

أكبر عدد مكون من ٤ أرقام هو ٩٩٩٩، ولكنه فردي.

للحصول على أكبر عدد زوجي، نطرح ١، فيصبح: $٩٩٩٨$

أصغر عدد مكون من ٤ أرقام هو ١٠٠٠، ولكنه زوجي.

للحصول على أصغر عدد فردي، نجمع ١، فيصبح: $١٠٠١$

نحسب الفرق بينهما: $٨٩٩٧ = ١٠٠١ – ٩٩٩٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحل العكسي أو التجزيء في الطرح.

العدد الأكبر: $٩٩٩٨$

العدد الأصغر: $١٠٠١$

نطرح الآحاد: $٧ = ١ – ٨$

بمجرد معرفة أن رقم الآحاد في الناتج هو ٧، نبحث في الخيارات.

الخيار الوحيد الذي يبدأ بـ ٧ في الآحاد هو ٨٩٩٧.

تكنيك ١: الحساب المباشر

المفهوم الرياضي: القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة لتوضيح المسافة المجردة.

نحسب القيمة المطلقة للعدد الأول:

${٦} = \vert {٦-} \vert$

نحسب القيمة المطلقة للعدد الثاني:

${٨} = \vert {٨-} \vert$

نعوض في المعادلة الأصلية لحساب الناتج:

${٢-} = {٨} – {٦}$

تكنيك ٢: خط الأعداد الذهني

المفهوم الرياضي: المسافة دائماً موجبة وتمثل مقدار البعد عن نقطة الأصل.

المسافة من نقطة (صفر) إلى سالب ستة هي ست خطوات.

المسافة من نقطة (صفر) إلى سالب ثمانية هي ثمان خطوات.

بطرح ثمانية من ستة نصل إلى سالب اثنين.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الاعتماد على ضرب الآحاد لاستبعاد الخيارات الخاطئة.

نضرب آحاد العدد الأول في آحاد العدد الثاني.

$٣ = ١ \times ٣$

نبحث في الخيارات عن العدد الذي يبدأ بآحاد قيمته ٣.

نجد أن الخيار الأول فقط هو ما يحقق ذلك.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التوزيع الجبري والتقريب للتحقق من الناتج.

يمكن كتابة المقدار على النحو التالي لتسهيل الضرب:

$(٣ + ٢٠٠٠٠) \times ١٠٠٠١$

نوزع الضرب على الجمع، فنضرب أولاً:

$٢٠٠٠٢٠٠٠٠ = ٢٠٠٠٠ \times ١٠٠٠١$

ثم نضرب:

$٣٠٠٠٣ = ٣ \times ١٠٠٠١$

نجمع الناتجين للحصول على النتيجة النهائية:

$٢٠٠٠٥٠٠٠٣ = ٣٠٠٠٣ + ٢٠٠٠٢٠٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قاعدة الأعداد المتتالية التي تبدأ بـ ١.

نلاحظ أن السلسلة تبدأ بعدد فردي (١) وتنتهي بعدد فردي (١٩).

القاعدة تنص على أنه في سلسلة الأعداد المتتالية التي تبدأ بفردي وتنتهي بفردي، يكون عدد الحدود الفردية أكثر من الزوجية بحد واحد.

بما أن الأعداد الفردية أكثر عدداً وأكبر في الحد الأخير، فإن مجموع الأعداد الفردية يكون أكبر حتماً.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر للمجاميع.

الأعداد الفردية هي: $١٩ ، … ، ٥ ، ٣ ، ١$

عددها (ن) = $\dfrac{١ + ١٩}{٢} = ١٠$ أعداد.

مجموعها = ${}^{٢}ن = {}^{٢}١٠ = ١٠٠$

الأعداد الزوجية هي: $١٨ ، … ، ٦ ، ٤ ، ٢$

عددها هو إجمالي الأعداد ناقص الفردية: $٩ = ١٠ – ١٩$ أعداد.

مجموعها = $\dfrac{١٨ \times (٢ + ١٨)}{٤} = ٩٠$

بالمقارنة: $٩٠ < ١٠٠$

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التوزيع الجبري للضرب على الجمع لتسهيل المقارنة بين القيم الكبيرة.

نحسب القيمة الأولى بتفكيك العدد ١٠١ لتبسيط عملية الضرب:

$٢٧ \times (١ + ١٠٠) = ٢٧ \times ١٠١$

نوزع الضرب للحصول على الناتج النهائي للقيمة الأولى:

$٢٧٢٧ = ٢٧ + ٢٧٠٠ = (٢٧ \times ١) + (٢٧ \times ١٠٠)$

نطبق نفس الطريقة على القيمة الثانية بتفكيك العدد ١٠٢:

$٢٦ \times (٢ + ١٠٠) = ٢٦ \times ١٠٢$

نوزع الضرب للحصول على الناتج النهائي للقيمة الثانية:

$٢٦٥٢ = ٥٢ + ٢٦٠٠ = (٢٦ \times ٢) + (٢٦ \times ١٠٠)$

نقارن بين الناتجين لمعرفة القيمة الأكبر:

$٢٦٥٢ < ٢٧٢٧$

نستنتج أن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استنتاج العلاقة بين العوامل دون الحاجة لحساب الناتج الدقيق.

نلاحظ أن كل قيمة هي حاصل ضرب عددين.

في القيمة الثانية، نلاحظ أن العدد الأول زاد بمقدار ١، والعدد الثاني نقص بمقدار ١ مقارنة بالقيمة الأولى.

القاعدة الرياضية تنص على أنه إذا كان مجموع العوامل ثابتاً، فإن حاصل الضرب الأكبر ينتج من العددين الأقرب لبعضهما البعض.

نجمع العوامل في القيمة الأولى للتحقق:

$١٢٨ = ٢٧ + ١٠١$

نجمع العوامل في القيمة الثانية للتحقق:

$١٢٨ = ٢٦ + ١٠٢$

بما أن المجموع متساوٍ، نقارن المسافة (الفرق) بين العوامل.

الفرق بين العوامل في القيمة الأولى هو (٧٤).

الفرق بين العوامل في القيمة الثانية هو (٧٦).

نظراً لأن أرقام القيمة الأولى أقرب لبعضها (الفرق أقل)، فإن حاصل ضربها حتماً هو الأكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: البحث عن مكملات المئة (الأعداد المتناغمة) لتسريع عملية الجمع.

نقوم بتجميع الأعداد التي يسهل جمعها معاً لتكوين مضاعفات المئة بدلاً من الجمع التسلسلي.

نجمع العددين ٦٥ و ٣٥ معاً:

$١٠٠ = ٣٥ + ٦٥$

نجمع العددين ٩٤ و ٦ معاً:

$١٠٠ = ٦ + ٩٤$

نجمع العددين ١٣٢ و ٦٨ معاً:

$٢٠٠ = ٦٨ + ١٣٢$

أخيراً، نجمع النواتج المبسطة للحصول على المجموع الكلي:

$٤٠٠ = ٢٠٠ + ١٠٠ + ١٠٠$

تكنيك ١: التبسيط باستخدام الفرق بين مربعين

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الفرق بين مربعين على كل زوج من الأعداد لتسهيل الجمع.

صيغة القانون الجبرية كالتالي:

$ (أ – ب) \times (أ + ب) = {}^{٢}ب – {}^{٢}أ $

حيث (ب) العدد الأكبر، (أ) العدد الأصغر.

نحسب الزوج الأول:

$ {١٩} = (١٠ – ٩) \times (١٠ + ٩) = {}^{٢}٩ – {}^{٢}١٠ $

نحسب الزوج الثاني:

$ {١٥} = (٨ – ٧) \times (٨ + ٧) = {}^{٢}٧ – {}^{٢}٨ $

نحسب الزوج الثالث:

$ {١١} = (٦ – ٥) \times (٦ + ٥) = {}^{٢}٥ – {}^{٢}٦ $

نحسب الزوج الرابع:

$ {٧} = (٤ – ٣) \times (٤ + ٣) = {}^{٢}٣ – {}^{٢}٤ $

نحسب الزوج الخامس:

$ {٣} = (٢ – ١) \times (٢ + ١) = {}^{٢}١ – {}^{٢}٢ $

نجمع نواتج الأزواج الخمسة للحصول على النتيجة النهائية:

$ {٥٥} = {٣} + {٧} + {١١} + {١٥} + {١٩} $

تكنيك ٢: الفك المباشر للتربيع

المفهوم الرياضي: حساب قيمة كل حد بمفرده ثم فصل الأعداد الموجبة عن السالبة وتجميعهما.

نفك التربيع لكل عدد بالترتيب لنحصل على المتتابعة:

$ {١} – {٤} + {٩} – {١٦} + {٢٥} – {٣٦} + {٤٩} – {٦٤} + {٨١} – {١٠٠} $

نجمع الأعداد الموجبة معاً:

$ {٢٢٠} = {٤} + {١٦} + {٣٦} + {٦٤} + {١٠٠} $

نجمع الأعداد السالبة معاً مجردة من الإشارة لتوحيدها:

$ {١٦٥} = {١} + {٩} + {٢٥} + {٤٩} + {٨١} $

نطرح مجموع الأعداد السالبة من الأعداد الموجبة للحصول على المجموع الكلي:

$ {٥٥} = {١٦٥} – {٢٢٠} $

تكنيك ١: تحويل الجمع تحت الجذر إلى ضرب

المفهوم الرياضي: يمكن التعبير عن الجمع المتكرر بنفس العدد كعملية ضرب، ثم توزيع الجذر على عملية الضرب.

العدد (٦٤) مكرر (٤) مرات بالجمع:

$\sqrt{٦٤ \times ٤}$

نوزع الجذر على العددين:

$\sqrt{٦٤} \times \sqrt{٤}$

نستخرج قيم الجذور:

$٨ \times ٢$

نوجد ناتج الضرب:

$١٦ = ٨ \times ٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المقارنة بين حواصل الضرب من خلال تحديد وحساب مقدار الزيادة في كل طرف.

نلاحظ وجود علاقة عكسية ومتقاربة بين الأعداد في كلتا القيمتين.

العدد الأول في القيمة الأولى ($١١٢$) أكبر بمقدار ($١$) من العدد الأول في القيمة الثانية ($١١١$).

العدد الثاني في القيمة الثانية ($٩٨$) أكبر بمقدار ($١$) من العدد الثاني في القيمة الأولى ($٩٧$).

لتحديد أي القيمتين أكبر بسلاسة، نضرب مقدار الزيادة لكل طرف في العدد المضروب فيه.

مقدار الزيادة لصالح القيمة الأولى: نضرب فرق الزيادة ($١$) في العدد الآخر ($٩٧$) ليصبح $٩٧ = ٩٧ \times ١$

مقدار الزيادة لصالح القيمة الثانية: نضرب فرق الزيادة ($١$) في العدد الآخر ($١١١$) ليصبح $١١١ = ١١١ \times ١$

نقارن الآن بين مقداري الزيادة الصافية: $٩٧$ للقيمة الأولى و $١١١$ للقيمة الثانية.

بما أن $٩٧ < ١١١$، فإن القيمة الثانية هي الأكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التفكيك الجبري للأقواس لتسهيل عملية المقارنة الدقيقة.

يمكننا إعادة صياغة القيمة الأولى لتصبح: $٩٧ \times (١ + ١١١)$

بتوزيع الضرب على الجمع داخل القوس نحصل على: $(٩٧ \times ١) + (٩٧ \times ١١١)$

وبالمثل نعيد صياغة القيمة الثانية لتصبح: $١١١ \times (١ + ٩٧)$

بتوزيع الضرب على الجمع داخل القوس نحصل على: $(١١١ \times ١) + (٩٧ \times ١١١)$

نلاحظ وجود جزء مشترك بين القيمتين وهو المقدار $(٩٧ \times ١١١)$، فنقوم بحذفه من الطرفين لتسهيل المقارنة.

يتبقى لنا في القيمة الأولى: $٩٧$

ويتبقى لنا في القيمة الثانية: $١١١$

من الواضح أن $٩٧ < ١١١$، مما يؤكد أن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: أولوية العمليات المتكافئة

المفهوم الرياضي: عند وجود ضرب وقسمة، نبدأ بالعملية التي تظهر أولاً من اليمين إلى اليسار.

الخطوة الأولى: تحديد العملية ذات الأولوية (القسمة لأنها في اليمين).

$٢ = ٣ \div ٦$

الخطوة الثانية: التعويض وإجراء عملية الضرب.

$٢ \times ٢ – ١٠$

$٤ = ٢ \times ٢$

الخطوة الثالثة: إجراء عملية الطرح.

$٦ = ٤ – ١٠$

تكنيك ٢: التعويض ككتلة واحدة

المفهوم الرياضي: اعتبار الجزء الخاص بالضرب والقسمة ككتلة مستقلة تفصلها إشارة الطرح.

الخطوة الأولى: الكتلة هي $٢ \times ٣ \div ٦$

الخطوة الثانية: نحلها من اليمين لتصبح $٤ = ٢ \times ٢$

الخطوة الثالثة: نعوض في المقدار الأصلي $٦ = ٤ – ١٠$

التكنيك الأول: استخراج العامل المشترك وتطبيق القاعدة الذهبية لجمع الأعداد المتتالية

المفهوم الرياضي: عندما تتكون السلسلة من مضاعفات عدد محدد وتتزايد بنمط ثابت، نقوم بسحب هذا العدد كعامل مشترك لتكوين سلسلة بسيطة تبدأ من العدد ١، مما يسمح بتطبيق القاعدة الأساسية بسهولة، ثم نضرب الناتج الأخير في العامل المشترك.

المعادلة الجبرية لقاعدة جمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

نقوم بسحب العدد ١٠ كعامل مشترك من جميع حدود السلسلة لتكوين سلسلة أعداد صحيحة متتالية.

${(٩ + ٨ + ٧ + ٦ + ٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١)}{١٠} = ج$

نحدد العدد الأخير في السلسلة الداخلية للتعويض في القاعدة، ونرمز له بالمتغير س، وهو العدد ٩.

نعوض في القاعدة الجبرية لإيجاد مجموع السلسلة الداخلية، ونرمز له بالمتغير ص.

${\dfrac{(١+٩)٩}{٢}} = ص$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١٠} \times {٩}}{٢}} = ص$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{٩٠}{٢}} = ص$

نقسم البسط على المقام لاستخراج مجموع السلسلة الداخلية.

$٤٥ = ص$

نضرب الناتج الذي حصلنا عليه في العامل المشترك الذي تم سحبه في البداية لاستخراج المجموع النهائي.

${١٠} \times {٤٥} = ج$

$٤٥٠ = ج$

والإجابة هي $٤٥٠$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجميع وتكوين الأزواج المتطابقة

المفهوم الرياضي: يمكن تبسيط عملية الجمع الطويلة عن طريق تجميع الحد الأول مع الحد الأخير، ثم الحد الثاني مع الحد قبل الأخير، وهكذا، لتكوين أزواج ينتج عنها قيم صحيحة متساوية، ثم نجمع هذه النواتج مع أي حد متبقي في المنتصف.

نقوم بتكوين أزواج من طرفي السلسلة بحيث يكون مجموع كل زوج يمثل عدداً ثابتاً.

نجمع الحد الأكبر في السلسلة مع الحد الأصغر:

${٩٠} + {١٠} = {١٠٠}$

نجمع الحد الثاني من اليمين مع الحد الثاني من اليسار:

${٨٠} + {٢٠} = {١٠٠}$

نستمر في تجميع الأطراف المتبقية:

${٧٠} + {٣٠} = {١٠٠}$

${٦٠} + {٤٠} = {١٠٠}$

يتبقى لدينا في منتصف السلسلة الحد ٥٠ والذي لا يوجد له زوج ليتم جمعه معه.

لدينا الآن ٤ أزواج مجموع كل منها يساوي ١٠٠، بالإضافة إلى الحد المتبقي ٥٠.

نجمع النواتج الجزئية جميعها للحصول على المجموع الكلي، ونضع المتغير ج في الجانب الأيمن من المعادلة.

${٥٠} + {({٤} \times {١٠٠})} = ج$

${٥٠} + {٤٠٠} = ج$

$٤٥٠ = ج$

والإجابة هي $٤٥٠$

تكنيك ١: تحويل الجمع المتكرر إلى ضرب

المفهوم الرياضي: تكرار جمع نفس القيمة يعادل ضرب هذه القيمة في عدد مرات التكرار.

نضرب الكسر في (٢٠):

$٢٠ \times \dfrac{٣}{٤٠}$

نبسط بتبسيط (٢٠) في البسط مع (٤٠) في المقام (بقسمة الطرفين على ٢٠):

$٣ \times \dfrac{١}{٢}$

نضرب البسط في البسط:

$\dfrac{٣}{٢} = ٣ \times \dfrac{١}{٢}$

تكنيك ١: تعريف الأسس

المفهوم الرياضي: الأس هو عملية تكرار ضرب الأساس في نفسه.

في هذا السؤال، العدد الذي يتم ضربه هو الأساس، وهو عشرة.

عدد مرات التكرار يمثل القوة أو الأس، وهو هنا عشرون.

تُكتب الصيغة الرياضية بوضع الأساس ثم الأس فوقه على النحو التالي:

${}^{٢٠}١٠$

تكنيك ٢: التفكيك والسلاسل الرياضية

المفهوم الرياضي: تحويل الصياغة اللفظية إلى سلسلة ضرب ممتدة.

نترجم العبارة إلى عملية ضرب متكرر لتبسيط الرؤية:

${}^{٢٠}١٠ = ١٠ \times \dots \times ١٠ \times ١٠$

نلاحظ أن الخيار الأول يطابق هذا المفهوم الرياضي تماماً.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص الضرب في العدد صفر.

مجموعة الأعداد الكلية هي مجموعة تبدأ من الصفر وتستمر لتشمل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة إلى المالانهاية: $\dots , ٣ , ٢ , ١ , ٠$

المطلوب هو إيجاد حاصل ضرب جميع هذه الأعداد، أي: $\dots \times ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١ \times ٠$

من خصائص عملية الضرب الأساسية، أن ضرب أي عدد أو مجموعة من الأعداد في صفر يعطي ناتجاً يساوي صفراً، مهما كانت قيمة الأعداد الأخرى.

بما أن الصفر هو أحد عوامل هذه العملية، فإن الناتج الكلي سيكون حتماً صفراً.

إذن، حاصل الضرب هو $٠ = \dots \times ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١ \times ٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تبسيط العمليات المتسلسلة لتحديد خانة العشرات من النواتج الجزئية.

نبدأ بحساب قيمة القوس الأول الموجود في اليمين: $١٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥$

ثم نحسب قيمة القوس الثاني وهو يحتوي على نفس الأرقام ويعطي نفس الناتج: $١٢٠ = ٥ \times ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١$

العملية الكلية أصبحت عبارة عن ضرب هذين الناتجين: $١٢٠ \times ١٢٠$

نقوم بإجراء عملية الضرب بإنزال الأصفار ثم ضرب الأعداد المتبقية: $١٤٤٠٠ = ١٢٠ \times ١٢٠$

من خلال النظر إلى الناتج النهائي $١٤٤٠٠$، نجد أن خانة الآحاد هي $٠$ وخانة العشرات هي أيضاً $٠$

إذن، خانة العشرات المطلوبة هي $٠$

تكنيك ١: الحساب المباشر بالترتيب

المفهوم الرياضي: فك الأسس ثم حساب ما بداخل الأقواس ثم الضرب وأخيراً الطرح.

الخطوة الأولى: حساب الأس.

$٨ = {}^{٣}٢$

الخطوة الثانية: إتمام العملية داخل القوس.

$١٣ = ٥ + ٨$

الخطوة الثالثة: التعويض في المقدار وإجراء الضرب.

$٤ – ٧ \times ١٣$

$٩١ = ٧ \times ١٣$

الخطوة الرابعة: إجراء الطرح.

$٨٧ = ٤ – ٩١$

تكنيك ٢: التجزئة والحساب الذهني

المفهوم الرياضي: عزل الأجزاء المعقدة وحلها ذهنياً لتبسيط المقدار ككل.

الخطوة الأولى: نركز على القوس $٥ + {}^{٣}٢$، ونجد ذهنياً أنه يساوي $١٣$

الخطوة الثانية: نضرب الناتج في ٧ للحصول على $٩١$

الخطوة الثالثة: نطرح ٩١ من ٤ ليكون الناتج $٨٧ = ٤ – ٩١$

التكنيك الأول: الحل العكسي للمتغيرات واستنتاج الحد الأخير

المفهوم الرياضي: إذا كان المجموع الكلي معلوماً والمطلوب هو إيجاد نهاية السلسلة التراكمية، نعوض في قاعدة جمع الأعداد المتتالية، ثم نضرب المجموع في ٢، ونبحث عن عددين متتاليين حاصل ضربهما يساوي الناتج، ليكون العدد الأصغر بينهما هو الحل الذي يمثل الحد الأخير.

المعادلة الجبرية لقاعدة جمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

لدينا المجموع الكلي للركاب معطى في السؤال، ونعوض به مكان المتغير ج.

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ٩١$

نضرب طرفي المعادلة في العدد ٢ للتخلص من المقام الكسري.

${(١+س)س} = {٩١} \times {٢}$

${(١+س)س} = ١٨٢$

نبحث الآن عن عددين صحيحين متتاليين حاصل ضربهما يساوي القيمة ١٨٢.

${١٤} \times {١٣} = ١٨٢$

يمثل المتغير س العدد الأصغر في هذه المعادلة، وهو يشير إلى رقم المحطة التي سيمتلئ فيها القطار.

$١٣ = س$

والإجابة هي $١٣$

التكنيك الثاني: استراتيجية التجريب العكسي للحد الأخير

المفهوم الرياضي: في المسائل التي تقدم المجموع الكلي كمعطى وتطلب إيجاد الحد الأخير للسلسلة، يمكننا افتراض أعداد تمثل المحطة الأخيرة وتطبيق قاعدة الجمع عليها للتحقق مما إذا كان الناتج يطابق المجموع المطلوب.

المعادلة الجبرية لقاعدة جمع الأعداد المتتالية:

${\dfrac{(١+س)س}{٢}} = ج$

نقوم بتجريب العدد ١٣ بافتراض أنه يمثل رقم المحطة الأخيرة، ونعوض به مكان المتغير س.

${\dfrac{(١+١٣)١٣}{٢}} = ج$

نجمع القيم داخل الأقواس أولاً وفقاً لترتيب العمليات الحسابية.

${\dfrac{{١٤} \times {١٣}}{٢}} = ج$

نضرب الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية قبل القسمة.

${\dfrac{١٨٢}{٢}} = ج$

نقسم البسط على المقام لاستخراج الناتج النهائي للتحقق من صحة الفرضية.

$٩١ = ج$

بما أن الناتج الكلي يطابق عدد الركاب المعطى في نص السؤال، فإن العدد المفترض هو الحل الصحيح.

والإجابة هي $١٣$