اختبار : العمليات الحسابية الأساسية

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية (أولوية القسمة والضرب على الجمع والطرح).

المقدار المطروح في السؤال هو:

$٢ \times ٣ \div ٦ – ١٠$

وفقاً لقواعد الرياضيات، نبدأ بعمليتي القسمة والضرب قبل الطرح. وتُنفذ العمليات من اليمين إلى اليسار في حالة تكافؤ الأولوية.

نقوم بعملية القسمة أولاً:

$٢ = ٣ \div ٦$

نأخذ الناتج ونقوم بعملية الضرب:

$٤ = ٢ \times ٢$

أخيراً، نعود للعملية الأساسية ونطرح الناتج من ١٠:

$٦ = ٤ – ١٠$

تكنيك ١: التبسيط باستخدام الفرق بين مربعين

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الفرق بين مربعين على كل زوج من الأعداد لتسهيل الجمع.

صيغة القانون الجبرية كالتالي:

$ (أ – ب) \times (أ + ب) = {}^{٢}ب – {}^{٢}أ $

حيث (ب) العدد الأكبر، (أ) العدد الأصغر.

نحسب الزوج الأول:

$ {١٩} = (١٠ – ٩) \times (١٠ + ٩) = {}^{٢}٩ – {}^{٢}١٠ $

نحسب الزوج الثاني:

$ {١٥} = (٨ – ٧) \times (٨ + ٧) = {}^{٢}٧ – {}^{٢}٨ $

نحسب الزوج الثالث:

$ {١١} = (٦ – ٥) \times (٦ + ٥) = {}^{٢}٥ – {}^{٢}٦ $

نحسب الزوج الرابع:

$ {٧} = (٤ – ٣) \times (٤ + ٣) = {}^{٢}٣ – {}^{٢}٤ $

نحسب الزوج الخامس:

$ {٣} = (٢ – ١) \times (٢ + ١) = {}^{٢}١ – {}^{٢}٢ $

نجمع نواتج الأزواج الخمسة للحصول على النتيجة النهائية:

$ {٥٥} = {٣} + {٧} + {١١} + {١٥} + {١٩} $

تكنيك ٢: الفك المباشر للتربيع

المفهوم الرياضي: حساب قيمة كل حد بمفرده ثم فصل الأعداد الموجبة عن السالبة وتجميعهما.

نفك التربيع لكل عدد بالترتيب لنحصل على المتتابعة:

$ {١} – {٤} + {٩} – {١٦} + {٢٥} – {٣٦} + {٤٩} – {٦٤} + {٨١} – {١٠٠} $

نجمع الأعداد الموجبة معاً:

$ {٢٢٠} = {٤} + {١٦} + {٣٦} + {٦٤} + {١٠٠} $

نجمع الأعداد السالبة معاً مجردة من الإشارة لتوحيدها:

$ {١٦٥} = {١} + {٩} + {٢٥} + {٤٩} + {٨١} $

نطرح مجموع الأعداد السالبة من الأعداد الموجبة للحصول على المجموع الكلي:

$ {٥٥} = {١٦٥} – {٢٢٠} $

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: جمع سلسلة أعداد طبيعية متتالية ثم إيجاد آحاد ناتج القوة.

أولاً، نوجد مجموع الأعداد داخل القوس من $١$ إلى $١٠$ باستخدام قانون مجموع المتتابعة الحسابية:

$(١ + ن) \times \frac{ن}{٢} = م$

حيث (م) ترمز للمجموع، و (ن) ترمز لعدد الحدود.

نعوض عن قيمة (ن) بـ $١٠$:

$(١ + ١٠) \times \frac{١٠}{٢} = م$

$(١١) \times ٥ = م$

$٥٥ = م$

المطلوب الآن هو إيجاد رقم الآحاد للعدد المرفوع للقوة الثالثة: ${}^{٣}٥٥$

وهذا يعني إيجاد آحاد حاصل الضرب: $٥٥ \times ٥٥ \times ٥٥$

كما تعلمنا، نكتفي بضرب أرقام الآحاد فقط: $١٢٥ = ٥ \times ٥ \times ٥$

نلاحظ أن خانة الآحاد في هذا الناتج هي $٥$

إذن، خانة الآحاد للناتج النهائي هي $٥$

تكنيك ١: التجريب والاستبعاد

المفهوم الرياضي: تعويض الإشارات المعطاة في الخيارات لاكتشاف أي ترتيب يعطي الناتج الصحيح.

الخطوة الأولى: تجربة الخيار الأول (الضرب ثم الجمع).

$١٥ = ٣ + ٣ \times ٤$

نحسب الضرب أولاً: $١٢ = ٣ \times ٤$

ثم الجمع: $١٥ = ٣ + ١٢$

بما أن الناتج متطابق، إذن الخيار الأول هو الصحيح.

الخطوة الثانية: يمكننا تجربة الخيار الثاني للتأكد (الجمع ثم الضرب).

$١٥ = ٣ \times ٣ + ٤$

الضرب أولاً: $٩ = ٣ \times ٣$

ثم الجمع: $١٣ = ٩ + ٤$ (خاطئ)

تكنيك ٢: التحليل العكسي للناتج

المفهوم الرياضي: النظر إلى الناتج النهائي ١٥ ومحاولة تشكيله من الأرقام ٤، ٣، ٣.

الخطوة الأولى: نعلم أن $١٥ = ٣ + ١٢$

الخطوة الثانية: نحتاج لتكوين الرقم ١٢ من الأرقام ٤ و ٣، وهو ما يتحقق بعملية الضرب $١٢ = ٣ \times ٤$

الخطوة الثالثة: إذن الترتيب هو الضرب أولاً ثم الجمع ليكون $١٥ = ٣ + ٣ \times ٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد رقم الآحاد لحاصل ضرب عدة أعداد كبيرة.

لإيجاد رقم الآحاد في أي عملية ضرب، نكتفي بضرب أرقام الآحاد للأعداد المضروبة ونتجاهل باقي الخانات تماماً.

رقم الآحاد في العدد الأول هو $٢$

رقم الآحاد في العدد الثاني هو $٥$

رقم الآحاد في العدد الثالث هو $٨$

نقوم بضرب أرقام الآحاد معاً: $٨٠ = ٨ \times ٥ \times ٢$

نلاحظ أن رقم الآحاد في الناتج $٨٠$ هو $٠$

إذن، خانة الآحاد لناتج عملية الضرب الكاملة هي $٠$

تكنيك ١: الحساب الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: قواعد الإشارات في عمليات الضرب والجمع.

نحسب القيمة الأولى بضرب الأعداد الثلاثة خطوة بخطوة:

${١} = ({١-}) \times ({١-})$

${١-} = ({١-}) \times {١}$

نحسب القيمة الثانية بجمع العددين السالبين معاً:

${٢-} = ({١-}) + ({١-})$

نقارن بين الناتجين النهائيين لتحديد الأكبر:

${٢-} < {١-}$

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: خط الأعداد الذهني

المفهوم الرياضي: الموقع النسبي للقيم على خط الأعداد يحدد الأكبر.

القيمة الأولى تمثل سالب واحد، وهو يقع على يسار (صفر) بخطوة واحدة.

القيمة الثانية تمثل سالب اثنين، وهو يقع على يسار (صفر) بخطوتين.

في الأعداد السالبة، العدد الأقرب إلى (صفر) من جهة اليسار هو الأكبر قيمة.

بما أن سالب واحد أقرب، فهو الأكبر قطعاً.

تكنيك ١: البحث عن الأزواج المكملة لـ (١)

المفهوم الرياضي: تجميع الأعداد العشرية التي مجموعها يساوي (١) صحيح لتسريع الجمع.

نكون أزواجاً من الأطراف إلى المنتصف بحيث يكون مجموع كل زوج (١):

$١ = ٠.١ + ٠.٩$

$١ = ٠.٢ + ٠.٨$

$١ = ٠.٣ + ٠.٧$

$١ = ٠.٤ + ٠.٦$

لدينا (٤) أزواج مجموع كل منها (١)، ليصبح المجموع الجزئي (٤).

يتبقى لدينا العدد في المنتصف وهو (٠.٥).

نجمع المجموع الجزئي مع العدد المتبقي:

$٤.٥ = ٤ + ٠.٥$

تكنيك ٢: قانون مجموع المتتابعة الحسابية

المفهوم الرياضي: الأعداد تمثل متتابعة حسابية أساسها (٠.١).

القانون المستخدم:

$م = \frac{ن}{٢} \times (ل + أ)$

حيث (م) المجموع، (أ) الحد الأول وهو (٠.١)، (ل) الحد الأخير وهو (٠.٩)، (ن) عدد الحدود وهو (٩).

نعوض في القانون:

$م = \frac{٩}{٢} \times (٠.٩ + ٠.١)$

نحسب ما بداخل القوس:

$م = ٤.٥ \times (١)$

نوجد الناتج النهائي:

$٤.٥ = ٤.٥ \times ١$

تكنيك ١: قانون المجموع للمتتابعة الثابتة

المفهوم الرياضي: جمع عدد ثابت متكرر هو عملية ضرب للعدد في عدد مرات تكراره.

القانون المستخدم:

$م = أ \times ن$

حيث (م) المجموع، (أ) العدد الثابت، (ن) عدد الحدود.

بالتعويض في القانون:

$م = ٣ \times ٥٠$

$١٥٠ = ٣ \times ٥٠$

تكنيك ٢: الجمع المباشر المتكرر

المفهوم الرياضي: يمكن فهم المتتابعة على أنها إضافة العدد (٣) إلى رصيد المجموع بشكل متتابع (٥٠) مرة.

بما أن كل حد قيمته (٣)، نكرر الجمع:

$… + ٣ + ٣ + ٣$

حتى نصل للحد رقم (٥٠)، فيكون الإجمالي هو حصيلة (٥٠) ضعفاً للعدد (٣).

$١٥٠ = ٥٠ \times ٣$

تكنيك ١: الحساب المباشر

المفهوم الرياضي: القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة لتوضيح المسافة المجردة.

نحسب القيمة المطلقة للعدد الأول:

${٦} = \vert {٦-} \vert$

نحسب القيمة المطلقة للعدد الثاني:

${٨} = \vert {٨-} \vert$

نعوض في المعادلة الأصلية لحساب الناتج:

${٢-} = {٨} – {٦}$

تكنيك ٢: خط الأعداد الذهني

المفهوم الرياضي: المسافة دائماً موجبة وتمثل مقدار البعد عن نقطة الأصل.

المسافة من نقطة (صفر) إلى سالب ستة هي ست خطوات.

المسافة من نقطة (صفر) إلى سالب ثمانية هي ثمان خطوات.

بطرح ثمانية من ستة نصل إلى سالب اثنين.

تكنيك ١: التبسيط باستخدام الجمع المتكرر

المفهوم الرياضي: الجمع المتكرر لنفس العدد يمكن تحويله إلى عملية ضرب.

نحول البسط في القيمة الأولى إلى ضرب، حيث تكرر العدد (٧٧) أربع مرات:

$ \frac{٤ \times ٧٧}{٧} $

نقسم (٧٧) على (٧):

$ ١١ = ٧ \div ٧٧ $

نضرب الناتج في (٤):

$ ٤٤ = ٤ \times ١١ $

القيمة الأولى أصبحت (٤٤)، والقيمة الثانية (٧٧).

نقارن بين القيمتين:

$ ٤٤ < ٧٧ $

إذاً القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التوزيع الجبري للضرب على الجمع لتسهيل المقارنة بين القيم الكبيرة.

نحسب القيمة الأولى بتفكيك العدد ١٠١ لتبسيط عملية الضرب:

$٢٧ \times (١ + ١٠٠) = ٢٧ \times ١٠١$

نوزع الضرب للحصول على الناتج النهائي للقيمة الأولى:

$٢٧٢٧ = ٢٧ + ٢٧٠٠ = (٢٧ \times ١) + (٢٧ \times ١٠٠)$

نطبق نفس الطريقة على القيمة الثانية بتفكيك العدد ١٠٢:

$٢٦ \times (٢ + ١٠٠) = ٢٦ \times ١٠٢$

نوزع الضرب للحصول على الناتج النهائي للقيمة الثانية:

$٢٦٥٢ = ٥٢ + ٢٦٠٠ = (٢٦ \times ٢) + (٢٦ \times ١٠٠)$

نقارن بين الناتجين لمعرفة القيمة الأكبر:

$٢٦٥٢ < ٢٧٢٧$

نستنتج أن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استنتاج العلاقة بين العوامل دون الحاجة لحساب الناتج الدقيق.

نلاحظ أن كل قيمة هي حاصل ضرب عددين.

في القيمة الثانية، نلاحظ أن العدد الأول زاد بمقدار ١، والعدد الثاني نقص بمقدار ١ مقارنة بالقيمة الأولى.

القاعدة الرياضية تنص على أنه إذا كان مجموع العوامل ثابتاً، فإن حاصل الضرب الأكبر ينتج من العددين الأقرب لبعضهما البعض.

نجمع العوامل في القيمة الأولى للتحقق:

$١٢٨ = ٢٧ + ١٠١$

نجمع العوامل في القيمة الثانية للتحقق:

$١٢٨ = ٢٦ + ١٠٢$

بما أن المجموع متساوٍ، نقارن المسافة (الفرق) بين العوامل.

الفرق بين العوامل في القيمة الأولى هو (٧٤).

الفرق بين العوامل في القيمة الثانية هو (٧٦).

نظراً لأن أرقام القيمة الأولى أقرب لبعضها (الفرق أقل)، فإن حاصل ضربها حتماً هو الأكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحديد نطاق الأعداد الصحيحة وتطبيق قانون المجموع.

الأعداد الصحيحة المحصورة في هذا النطاق تبدأ من ١ وتنتهي بالعدد ٩٠.

$ م = \frac{ن}{٢} \times (ل + أ) $

حيث (أ) الحد الأول هو ١، (ل) الحد الأخير هو ٩٠، (ن) عدد الحدود ٩٠.

نعوض بالقيم المحددة في القانون كالتالي:

$ ٤٠٩٥ = \frac{٩٠}{٢} \times (٩٠ + ١) $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التبسيط الذهني لعملية الضرب الناتجة.

نحسب نصف عدد الحدود أولاً لتسهيل العملية:

$ ٤٥ = \frac{٩٠}{٢} $

نجمع الحد الأول والأخير للحصول على القيمة المضروبة:

$ ٩١ = ٩٠ + ١ $

نجري عملية الضرب النهائية بين القيمتين:

$ ٤٠٩٥ = ٤٥ \times ٩١ $

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحديد خصائص الأعداد المكونة من خانات وإجراء عملية الطرح.

أكبر عدد مكون من ٤ أرقام هو ٩٩٩٩، ولكنه فردي.

للحصول على أكبر عدد زوجي، نطرح ١، فيصبح: $٩٩٩٨$

أصغر عدد مكون من ٤ أرقام هو ١٠٠٠، ولكنه زوجي.

للحصول على أصغر عدد فردي، نجمع ١، فيصبح: $١٠٠١$

نحسب الفرق بينهما: $٨٩٩٧ = ١٠٠١ – ٩٩٩٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحل العكسي أو التجزيء في الطرح.

العدد الأكبر: $٩٩٩٨$

العدد الأصغر: $١٠٠١$

نطرح الآحاد: $٧ = ١ – ٨$

بمجرد معرفة أن رقم الآحاد في الناتج هو ٧، نبحث في الخيارات.

الخيار الوحيد الذي يبدأ بـ ٧ في الآحاد هو ٨٩٩٧.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تبسيط العمليات المتسلسلة لتحديد خانة العشرات من النواتج الجزئية.

نبدأ بحساب قيمة القوس الأول الموجود في اليمين: $١٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥$

ثم نحسب قيمة القوس الثاني وهو يحتوي على نفس الأرقام ويعطي نفس الناتج: $١٢٠ = ٥ \times ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١$

العملية الكلية أصبحت عبارة عن ضرب هذين الناتجين: $١٢٠ \times ١٢٠$

نقوم بإجراء عملية الضرب بإنزال الأصفار ثم ضرب الأعداد المتبقية: $١٤٤٠٠ = ١٢٠ \times ١٢٠$

من خلال النظر إلى الناتج النهائي $١٤٤٠٠$، نجد أن خانة الآحاد هي $٠$ وخانة العشرات هي أيضاً $٠$

إذن، خانة العشرات المطلوبة هي $٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المقارنة بين حواصل الضرب من خلال تحديد وحساب مقدار الزيادة في كل طرف.

نلاحظ وجود علاقة عكسية ومتقاربة بين الأعداد في كلتا القيمتين.

العدد الأول في القيمة الأولى ($١١٢$) أكبر بمقدار ($١$) من العدد الأول في القيمة الثانية ($١١١$).

العدد الثاني في القيمة الثانية ($٩٨$) أكبر بمقدار ($١$) من العدد الثاني في القيمة الأولى ($٩٧$).

لتحديد أي القيمتين أكبر بسلاسة، نضرب مقدار الزيادة لكل طرف في العدد المضروب فيه.

مقدار الزيادة لصالح القيمة الأولى: نضرب فرق الزيادة ($١$) في العدد الآخر ($٩٧$) ليصبح $٩٧ = ٩٧ \times ١$

مقدار الزيادة لصالح القيمة الثانية: نضرب فرق الزيادة ($١$) في العدد الآخر ($١١١$) ليصبح $١١١ = ١١١ \times ١$

نقارن الآن بين مقداري الزيادة الصافية: $٩٧$ للقيمة الأولى و $١١١$ للقيمة الثانية.

بما أن $٩٧ < ١١١$، فإن القيمة الثانية هي الأكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التفكيك الجبري للأقواس لتسهيل عملية المقارنة الدقيقة.

يمكننا إعادة صياغة القيمة الأولى لتصبح: $٩٧ \times (١ + ١١١)$

بتوزيع الضرب على الجمع داخل القوس نحصل على: $(٩٧ \times ١) + (٩٧ \times ١١١)$

وبالمثل نعيد صياغة القيمة الثانية لتصبح: $١١١ \times (١ + ٩٧)$

بتوزيع الضرب على الجمع داخل القوس نحصل على: $(١١١ \times ١) + (٩٧ \times ١١١)$

نلاحظ وجود جزء مشترك بين القيمتين وهو المقدار $(٩٧ \times ١١١)$، فنقوم بحذفه من الطرفين لتسهيل المقارنة.

يتبقى لنا في القيمة الأولى: $٩٧$

ويتبقى لنا في القيمة الثانية: $١١١$

من الواضح أن $٩٧ < ١١١$، مما يؤكد أن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: اختبار صحة المعادلات

المفهوم الرياضي: التحقق من طرفي كل معادلة باستخدام ترتيب العمليات للوصول إلى العبارة الصحيحة.

الخطوة الأولى: اختبار الخيار الأول.

$٦ = ٢ \times ٢ + ١$

الضرب أولاً: $٤ = ٢ \times ٢$

ثم الجمع: $٥ = ١ + ٤$ (لا يساوي ٦، عبارة خاطئة)

الخطوة الثانية: اختبار الخيار الثاني.

$٦ = ٢ \times ١ + ٢$

الضرب أولاً: $٢ = ١ \times ٢$

ثم الجمع: $٤ = ٢ + ٢$ (لا يساوي ٦، عبارة خاطئة)

الخطوة الثالثة: اختبار الخيار الثالث.

$٤ = ١ \times ٢ + ٢$

الضرب أولاً: $٢ = ٢ \times ١$

ثم الجمع: $٤ = ٢ + ٢$ (عبارة صحيحة)

الخطوة الرابعة: اختبار الخيار الرابع للتأكيد.

$٥ = ٢ \times ١ \div ٢$

$١ = ٢ \div ٢$ (لا يساوي ٥، عبارة خاطئة)

تكنيك ٢: التحقق السريع من التكافؤ

المفهوم الرياضي: التركيز على العمليات الكبرى (الضرب والقسمة) أولاً لتوفير الوقت.

الخطوة الأولى: في الخيار الأول، $٤ = ٢ \times ٢$ زائد ١ يساوي ٥ وليس ٦.

الخطوة الثانية: في الخيار الثاني، $٢ = ١ \times ٢$ زائد ٢ يساوي ٤ وليس ٦.

الخطوة الثالثة: في الخيار الثالث، $٢ = ٢ \times ١$ زائد ٢ يساوي ٤، وهي معادلة صحيحة.

تكنيك ١: التبسيط والمقارنة

المفهوم الرياضي: حساب كل قيمة على حدة باستخدام ترتيب العمليات الحسابية (من اليمين لليسار للضرب والقسمة).

الخطوة الأولى: حساب القيمة الأولى.

$٤ \times ٨ \div ١٦$

نجري القسمة أولاً: $٢ = ٨ \div ١٦$

ثم الضرب: $٨ = ٤ \times ٢$

القيمة الأولى تساوي ٨.

الخطوة الثانية: حساب القيمة الثانية.

$١٦ \div ٤ \times ٨$

نجري الضرب أولاً لأنه جاء باليمين: $٣٢ = ٤ \times ٨$

ثم القسمة: $٢ = ١٦ \div ٣٢$

القيمة الثانية تساوي ٢.

الخطوة الثالثة: المقارنة بين القيمتين.

$٢ < ٨$

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: تحويل القسمة إلى كسور

المفهوم الرياضي: صياغة العمليات على شكل كسور لتسهيل الرؤية البصرية.

الخطوة الأولى: القيمة الأولى هي كسر بسطه ١٦ ومقامه ٨، والناتج مضروب في ٤. إذن $٨ = ٤ \times \frac{١٦}{٨}$

الخطوة الثانية: القيمة الثانية هي ٨ مضروبة في كسر بسطه ٤ ومقامه ١٦. إذن $٢ = \frac{٤}{١٦} \times ٨$

الخطوة الثالثة: بمقارنة النواتج، نجد أن $٢ < ٨$، إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التجميع الذكي للحدود للحصول على مضاعفات الألف والمئات الكاملة.

نبحث في السلسلة عن أزواج من الأعداد التي يعطي مجموعها أرقاماً يسهل التعامل معها.

نجمع ٩٠٠ مع ١١٠:

$١٠١٠ = ١١٠ + ٩٠٠$

نجمع ٣٠٠ مع ٧٠٠:

$١٠٠٠ = ٧٠٠ + ٣٠٠$

نجمع ٥٠٠ مع ٦٠٠:

$١١٠٠ = ٦٠٠ + ٥٠٠$

نجمع ٣٠٠ مع ٩٠٠:

$١٢٠٠ = ٩٠٠ + ٣٠٠$

نجمع ٥٨٠ مع ١١٠ المتبقية:

$٦٩٠ = ١١٠ + ٥٨٠$

نجمع النواتج الجزئية بخطوتين. الخطوة الأولى نجمع الآلاف:

$٤٣١٠ = ١٢٠٠ + ١١٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠١٠$

الخطوة الثانية نجمع الناتج مع العدد الأخير المتبقي:

$٥٠٠٠ = ٦٩٠ + ٤٣١٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: أخذ العامل المشترك وجمع المتتابعة الحسابية.

نلاحظ أن المتغير (س) مشترك في جميع الحدود، لذا نأخذه كعامل مشترك:

$٤٥ = (٩ + ٨ + \dots + ٣ + ٢ + ١) س$

نحسب مجموع الأعداد الصحيحة من ١ إلى ٩:

$٤٥ = ٩ + ٨ + ٧ + ٦ + ٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١$

نعوض بالمجموع في المعادلة الأساسية:

$٤٥ = ٤٥ \times س$

بقسمة طرفي المعادلة على العدد ٤٥ لإيجاد قيمة س:

$١ = س$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام قانون مجموع المتتابعة الحسابية لتسريع الجمع.

قانون المجموع هو:

$(ل + أ) \times \frac{ن}{٢} = م$

حيث (م) المجموع، (ن) عدد الحدود، (أ) الحد الأول، (ل) الحد الأخير.

لدينا سلسلة تتكون من ٩ حدود، نعوض في القانون للحصول على مجموع المعاملات:

$(٩ + ١) \times \frac{٩}{٢} = م$

$٤٥ = ١٠ \times \frac{٩}{٢} = م$

نعود للمعادلة الجبرية بعد معرفة المجموع:

$٤٥ = س٤٥$

$١ = س$

تكنيك ١: فصل الأعداد الصحيحة عن الكسور

المفهوم الرياضي: استخدام خاصية التجميع في الجمع والطرح لتسهيل الحساب الممتد.

نجمع الأعداد الصحيحة وحدها من واحد إلى مئة باستخدام قانون المجموع:

${٥٠٥٠} = ١٠٠ + \dots + ٢ + ١$

نجمع الكسور وحدها، ولدينا مئة كسر قيمته نصف:

${٥٠} = ١٠٠ \times \frac{١}{٢}$

نطرح المجموع الكلي للكسور من مجموع الأعداد الصحيحة:

${٥٠٠٠} = {٥٠} – {٥٠٥٠}$

تكنيك ٢: قانون المتتابعة الحسابية الشامل

المفهوم الرياضي: حساب المتتابعة بتحديد الحدين الأول والأخير والتعويض المباشر.

نحسب قيمة الحد الأول في السلسلة:

$\frac{١}{٢} = \frac{١}{٢} – ١$

نحسب قيمة الحد الأخير في السلسلة:

$\frac{١٩٩}{٢} = \frac{١}{٢} – ١٠٠$

نطبق قانون المجموع، حيث (م) المجموع، (أ) الحد الأول، (ل) الحد الأخير، (ن) عدد الحدود.

$ (ل + أ) \times \frac{ن}{٢} = م $

نعوض بالقيم في القانون بخطوة واحدة:

$ ( \frac{١٩٩}{٢} + \frac{١}{٢} ) \times \frac{١٠٠}{٢} = م $

${٥٠٠٠} = ٥٠ \times ١٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قاعدة الأعداد المتتالية التي تبدأ بـ ١.

نلاحظ أن السلسلة تبدأ بعدد فردي (١) وتنتهي بعدد فردي (١٩).

القاعدة تنص على أنه في سلسلة الأعداد المتتالية التي تبدأ بفردي وتنتهي بفردي، يكون عدد الحدود الفردية أكثر من الزوجية بحد واحد.

بما أن الأعداد الفردية أكثر عدداً وأكبر في الحد الأخير، فإن مجموع الأعداد الفردية يكون أكبر حتماً.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر للمجاميع.

الأعداد الفردية هي: $١٩ ، … ، ٥ ، ٣ ، ١$

عددها (ن) = $\frac{١ + ١٩}{٢} = ١٠$ أعداد.

مجموعها = ${}^{٢}ن = {}^{٢}١٠ = ١٠٠$

الأعداد الزوجية هي: $١٨ ، … ، ٦ ، ٤ ، ٢$

عددها هو إجمالي الأعداد ناقص الفردية: $٩ = ١٠ – ١٩$ أعداد.

مجموعها = $\frac{١٨ \times (٢ + ١٨)}{٤} = ٩٠$

بالمقارنة: $٩٠ < ١٠٠$

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المجموع الداخلي للأقواس ثم تطبيق التربيع.

نستخدم قانون المتتاليات لإيجاد مجموع الأعداد من ١ إلى ١٠ أولاً.

$ م = \frac{ن}{٢} \times (ل + أ) $

نقوم بالتعويض لإيجاد ناتج ما بداخل القوس:

$ ٥٥ = \frac{١٠}{٢} \times (١٠ + ١) $

نربع المجموع الناتج للحصول على القيمة النهائية:

$ ٣٠٢٥ = ٥٥ \times ٥٥ = {}^{٢}٥٥ $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية الضرب السريع للأعداد التي آحادها ٥.

لتربيع العدد ٥٥، نضرب رقم الآحاد ٥ في نفسه ونكتب ٢٥.

نضرب رقم العشرات ٥ في العدد الصحيح الذي يليه مباشرة وهو ٦.

$ ٣٠ = ٦ \times ٥ $

ندمج الناتجين بوضع ٢٥ يميناً و ٣٠ يساراً ليصبح الناتج النهائي ٣٠٢٥.

تكنيك ١: التفكيك المتسلسل

المفهوم الرياضي: نبدأ بفك الأسس والأقواس ثم القسمة وأخيراً الطرح.

الخطوة الأولى: حساب القيمة المرفوعة للأس.

$٦٤ = {}^{٢}٨$

الخطوة الثانية: حساب ما بداخل القوس.

$٨ = ٤ \times ٢$

الخطوة الثالثة: التعويض وإجراء عملية القسمة.

$٨ \div ١٦ – ٦٤$

$٢ = ٨ \div ١٦$

الخطوة الرابعة: إجراء عملية الطرح الأخيرة.

$٦٢ = ٢ – ٦٤$

تكنيك ٢: الحساب الذهني المباشر

المفهوم الرياضي: استخدام الحساب الذهني لاختصار العمليات الورقية.

الخطوة الأولى: نعلم ذهنياً أن $٦٤ = {}^{٢}٨$ وأن $٨ = ٤ \times ٢$

الخطوة الثانية: تصبح المعادلة $٨ \div ١٦ – ٦٤$

الخطوة الثالثة: القسمة تعطي ٢، ونطرحها من ٦٤ ليصبح الناتج ٦٢.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون مجموع الأعداد المتتالية الطبيعية.

$ م = \frac{ن}{٢} \times (ل + أ) $

حيث (م) المجموع، (أ) الحد الأول، (ل) الحد الأخير، (ن) عدد الحدود.

الحد الأول هو ١، والحد الأخير هو ١٠٠، وعدد الحدود ١٠٠.

نعوض في القانون لنوجد الناتج النهائي:

$ ٥٠٥٠ = \frac{١٠٠}{٢} \times (١٠٠ + ١) $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: طريقة التجميع الثنائي (طريقة جاوس).

نجمع العدد الأول مع الأخير لتكوين زوج قيمته ثابتة:

$ ١٠١ = ١٠٠ + ١ $

نضرب مجموع الزوج في نصف عدد الحدود المتاحة وهو ٥٠:

$ ٥٠٥٠ = ٥٠ \times ١٠١ $

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التبسيط الكسري عن طريق تحليل المضاعفات المشتركة.

جميع أعداد البسط هي من مضاعفات العدد ٧، لذلك نأخذه كعامل مشترك.

يصبح البسط بعد استخراج العامل:

$ (٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١) \times ٧ $

نختصر العامل ٧ مع المقام ٢١، ليتبقى في المقام العدد ٣.

نجمع ما بداخل القوس ونقسمه على المقام المتبقي لنجد النتيجة:

$ ٥ = \frac{١٥}{٣} = \frac{٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١}{٣} $

بالمقارنة بين النتيجة ٥ والقيمة الثانية ٧، نجد أن ٧ أكبر، وعليه نكتبها جبرياً:

$ ٥ < ٧ $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الجمع التراكمي للقيم يتبعه قسمة مطولة أو مبسطة.

نوجد المجموع الكلي لجميع حدود البسط كالتالي:

$ ١٠٥ = ٣٥ + ٢٨ + ٢١ + ١٤ + ٧ $

نقسم الناتج الإجمالي على قيمة المقام:

$ ٥ = \frac{١٠٥}{٢١} $

نستنتج أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى جبرياً:

$ ٥ < ٧ $

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص مجموع الأعداد الفردية والزوجية في متتالية أعداد صحيحة.

نلاحظ أن السلسلة المعطاة تبدأ بعدد فردي وهو $٥$ وتنتهي أيضاً بعدد فردي وهو $٢٥$

في أي متتالية أعداد صحيحة متتالية، إذا بدأت المتتالية وانتهت بعدد فردي، فإن عدد الحدود الفردية يكون أكبر من عدد الحدود الزوجية بمقدار واحد.

بما أن الأعداد موجبة وتتزايد، فإن وجود عدد فردي إضافي يجعل مجموع الأعداد الفردية حتماً أكبر من مجموع الأعداد الزوجية.

إذن، القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: صياغة المتباينة والقسمة

المفهوم الرياضي: تحويل المسألة اللفظية إلى متباينة جبرية للحل.

نفرض أن العدد المطلوب هو المتغير س ونكتب المتباينة:

$١١٥ > س٧$

نقسم طرفي المتباينة على سبعة لإيجاد قيمة س:

$١٦.٤ > س$

بما أننا نبحث عن أعداد صحيحة، فأكبر عدد صحيح أقل من هذا الناتج هو ستة عشر.

تكنيك ٢: التجربة والتعويض المباشر

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المعطاة للوصول للناتج المطابق للشروط.

نجرب الخيار الأول بضربه في سبعة:

$١١٩ = ٧ \times ١٧$

الناتج أكبر من مئة وخمسة عشر، لذا يُستبعد. نجرب الخيار الثالث:

$١١٢ = ٧ \times ١٦$

الناتج أقل من المطلوب وهو أقرب عدد ممكن، إذن هو الحل الصحيح.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك الأكبر لتبسيط المتتابعة.

جميع الأعداد تقبل القسمة على ١٠، لذا نأخذه كعامل مشترك لتصبح المتتابعة:

$ (٩ + ……… + ٣ + ٢ + ١) \times ١٠ $

نحسب مجموع الأعداد داخل القوس باستخدام قانون المجموع:

$ ٤٥ = \frac{٩}{٢} \times (٩ + ١) $

نضرب الناتج في العامل المشترك المستخرج سابقاً:

$ ٤٥٠ = ٤٥ \times ١٠ $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التطبيق المباشر لقانون مجموع المتتابعة الحسابية.

$ م = \frac{ن}{٢} \times (ل + أ) $

حيث (أ) الحد الأول هو ١٠، (ل) الحد الأخير هو ٩٠.

لإيجاد عدد الحدود (ن)، نقسم الحد الأخير على زيادة المتتابعة المستمرة (١٠)، فيكون ناتجها ٩.

نعوض بكافة القيم في القانون لنجد المجموع:

$ ٤٥٠ = \frac{٩}{٢} \times (٩٠ + ١٠) $

تكنيك ١: تحويل الجمع تحت الجذر إلى ضرب

المفهوم الرياضي: يمكن التعبير عن الجمع المتكرر بنفس العدد كعملية ضرب، ثم توزيع الجذر على عملية الضرب.

العدد (٦٤) مكرر (٤) مرات بالجمع:

$\sqrt{٦٤ \times ٤}$

نوزع الجذر على العددين:

$\sqrt{٦٤} \times \sqrt{٤}$

نستخرج قيم الجذور:

$٨ \times ٢$

نوجد ناتج الضرب:

$١٦ = ٨ \times ٢$

تكنيك ١: البحث عن الأزواج المكملة لـ (١٠٠٠)

المفهوم الرياضي: تجميع الأعداد التي يسهل جمعها لتعطي مضاعفات الألف لتسهيل الحساب.

نجمع كل عددين متتاليين يمثلان مكملة للعدد (١٠٠٠):

$١٠٠٠ = ١٠ + ٩٩٠$

$١٠٠٠ = ٣٥٠ + ٦٥٠$

$١٠٠٠ = ٣٠٠ + ٧٠٠$

$١٠٠٠ = ١٨٠ + ٨٢٠$

$١٠٠٠ = ٢٥٠ + ٧٥٠$

لدينا (٥) أزواج، كل زوج مجموعه (١٠٠٠).

نجمع النواتج:

$٥٠٠٠ = ١٠٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠٠٠ + ١٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: فك التربيع والجمع المباشر للأعداد.

نقوم بفك كل عدد تربيعي في المتتابعة كالتالي:

$ ١ + ٤ + ٩ + ١٦ + ٢٥ + ٣٦ + ٤٩ + ٦٤ + ٨١ + ١٠٠ $

نجمع الأعداد المكملة لبعضها لتسهيل الحساب الذهني.

$ ٣٨٥ = ١٠٠ + ٢٥ + ١٣٠ + ١٣٠ $

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام قانون مجموع مربعات الأعداد المتتالية.

$ م = \frac{(١ + ن٢)(١ + ن)ن}{٦} $

حيث (م) المجموع، (ن) عدد الحدود.

نعوض عن عدد الحدود بـ ١٠ في القانون:

$ ٣٨٥ = \frac{٢١ \times ١١ \times ١٠}{٦} $

تكنيك ١: تحليل الإشارات والزوجية

المفهوم الرياضي: إذا كان عدد العوامل السالبة المضروبة زوجياً فالناتج موجب، وإذا كان فردياً فالناتج سالب.

في القيمة الأولى، الأعداد السالبة هي سالب واحد وسالب اثنين فقط.

عددهم اثنان وهو عدد زوجي، لذا حاصل الضرب الكلي سيكون موجباً.

في القيمة الثانية، الأعداد السالبة تتراوح من سالب واحد إلى سالب سبعة.

عددهم سبعة وهو عدد فردي، لذا حاصل الضرب الكلي سيكون سالباً.

العدد الموجب دائماً أكبر من العدد السالب، لذا القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: الاستبعاد وتجزئة الفترات

المفهوم الرياضي: استبعاد الأجزاء المشتركة بين القيمتين للمقارنة المباشرة.

نقسم القيمة الثانية إلى جزأين: الأعداد من سالب سبعة إلى سالب ثلاثة، والأعداد من سالب اثنين إلى اثني عشر.

الجزء الثاني متطابق تماماً مع القيمة الأولى والتي أثبتنا أنها موجبة.

الجزء الأول سالب لأنه يتكون من خمسة أعداد سالبة مضروبة في بعضها.

ضرب قيمة موجبة في قيمة سالبة يعطي نتيجة سالبة إجمالاً.

موجب أكبر من سالب حتماً.

تكنيك ١: ترتيب العمليات الحسابية

المفهوم الرياضي: نبدأ دائماً بفك الأقواس، ثم الضرب والقسمة، وأخيراً الجمع والطرح.

أولاً: نحسب ما بداخل القوس:

$\frac{١١}{٧٧} = (٧٧ \div ١١)$

ثانياً: نستبدل القوس بقيمته في المقدار الأساسي:

$\frac{١١}{٧٧} \times ٧٧ \times ٧ – ٧٧$

ثالثاً: نقوم بتبسيط عملية الضرب، نختصر (٧٧) في البسط مع (٧٧) في المقام:

$١١ \times ٧ – ٧٧$

رابعاً: نضرب (٧) في (١١):

$٧٧ = ١١ \times ٧$

أخيراً: نطرح الناتج من (٧٧):

$٠ = ٧٧ – ٧٧$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: ربط كل حد فردي بالحد الزوجي الذي يسبقه.

الحد الأخير في الفردي ٣٣ ليس له مقابل زوجي في القوس الثاني لأن القوس الثاني ينتهي بـ ٣٢.

نعيد ترتيب المسألة لنطرح كل حد زوجي من الحد الفردي الذي يليه: $(٢ – ٣) + (٤ – ٥) + … + (٣٢ – ٣٣) + ١$

عدد الحدود من ٣ إلى ٣٣ هو ١٦ حدا.

إذن لدينا ١٦ قوسا، ناتج كل قوس هو ١.

المجموع: $١٧ = ١٦ + ١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد مجموع الأعداد الفردية ومجموع الأعداد الزوجية ثم الطرح.

قانون مجموع الأعداد الفردية: $م = {}^{٢}ن$

حيث (م) مجموع الأعداد الفردية، (ن) عدد الحدود الفردية.

لإيجاد عدد الحدود الفردية (ن) من ١ إلى ٣٣: $١٧ = \frac{١ + ٣٣}{٢} = ن$

مجموع الأعداد الفردية: $٢٨٩ = {}^{٢}١٧$

قانون مجموع الأعداد الزوجية: $م = \frac{س(٢ + س)}{٤}$

حيث (م) مجموع الأعداد الزوجية، (س) العدد الزوجي الأخير.

التعويض: $م = \frac{٣٢ \times (٢ + ٣٢)}{٤}$

التبسيط: $م = \frac{٣٢ \times ٣٤}{٤} = ٨ \times ٣٤$

مجموع الأعداد الزوجية: $٢٧٢$

الناتج النهائي: $١٧ = ٢٧٢ – ٢٨٩$

تكنيك ١: أولوية العمليات المتكافئة

المفهوم الرياضي: عند وجود ضرب وقسمة، نبدأ بالعملية التي تظهر أولاً من اليمين إلى اليسار.

الخطوة الأولى: تحديد العملية ذات الأولوية (القسمة لأنها في اليمين).

$٢ = ٣ \div ٦$

الخطوة الثانية: التعويض وإجراء عملية الضرب.

$٢ \times ٢ – ١٠$

$٤ = ٢ \times ٢$

الخطوة الثالثة: إجراء عملية الطرح.

$٦ = ٤ – ١٠$

تكنيك ٢: التعويض ككتلة واحدة

المفهوم الرياضي: اعتبار الجزء الخاص بالضرب والقسمة ككتلة مستقلة تفصلها إشارة الطرح.

الخطوة الأولى: الكتلة هي $٢ \times ٣ \div ٦$

الخطوة الثانية: نحلها من اليمين لتصبح $٤ = ٢ \times ٢$

الخطوة الثالثة: نعوض في المقدار الأصلي $٦ = ٤ – ١٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الاعتماد على ضرب الآحاد لاستبعاد الخيارات الخاطئة.

نضرب آحاد العدد الأول في آحاد العدد الثاني.

$٣ = ١ \times ٣$

نبحث في الخيارات عن العدد الذي يبدأ بآحاد قيمته ٣.

نجد أن الخيار الأول فقط هو ما يحقق ذلك.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التوزيع الجبري والتقريب للتحقق من الناتج.

يمكن كتابة المقدار على النحو التالي لتسهيل الضرب:

$(٣ + ٢٠٠٠٠) \times ١٠٠٠١$

نوزع الضرب على الجمع، فنضرب أولاً:

$٢٠٠٠٢٠٠٠٠ = ٢٠٠٠٠ \times ١٠٠٠١$

ثم نضرب:

$٣٠٠٠٣ = ٣ \times ١٠٠٠١$

نجمع الناتجين للحصول على النتيجة النهائية:

$٢٠٠٠٥٠٠٠٣ = ٣٠٠٠٣ + ٢٠٠٠٢٠٠٠٠$

تكنيك ١: تحويل الجمع المتكرر إلى ضرب

المفهوم الرياضي: تكرار جمع نفس القيمة يعادل ضرب هذه القيمة في عدد مرات التكرار.

نضرب الكسر في (٢٠):

$٢٠ \times \frac{٣}{٤٠}$

نبسط بتبسيط (٢٠) في البسط مع (٤٠) في المقام (بقسمة الطرفين على ٢٠):

$٣ \times \frac{١}{٢}$

نضرب البسط في البسط:

$\frac{٣}{٢} = ٣ \times \frac{١}{٢}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مجموع متتابعة الأعداد الطبيعية.

القانون: $م = \frac{ن(١ + ن)}{٢}$

حيث (م) المجموع الكلي للركاب، (ن) رقم المحطة التي يمتلئ فيها القطار.

المعطيات: $٩١ = م$

التعويض في القانون: $٩١ = \frac{ن(١ + ن)}{٢}$

بضرب الطرفين في ٢: $١٨٢ = ن(١ + ن)$

نبحث عن عددين متتاليين حاصل ضربهما ١٨٢.

بتجربة الخيارات أو التحليل نجد أن $١٨٢ = ١٤ \times ١٣$

إذن $١٣ = ن$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التجريب في الخيارات.

نجرب الخيار الثاني (١٣).

المجموع من ١ إلى ١٣: $٩١ = \frac{١٣ \times ١٤}{٢}$

وهو يطابق سعة القطار، إذن الخيار صحيح.

تكنيك ١: خصائص الأسس

المفهوم الرياضي: العدد (١) مرفوعاً لأي قوة (أس) يساوي (١) دائماً.

بناءً على القاعدة، كل حد في السلسلة يساوي (١):

$١ + ١ + … + ١ + ١ + ١$

نلاحظ أن عدد الحدود هو (١٤٣٣) حداً، لأن الأسس تبدأ من (١) وتنتهي بـ (١٤٣٣).

لإيجاد المجموع، نضرب قيمة الحد الواحد في عدد الحدود:

$١٤٣٣ = ١٤٣٣ \times ١$

تكنيك ٢: التقسيم والتجميع

المفهوم الرياضي: تجميع الحدود المتطابقة وتطبيق الضرب كبديل للجمع الطويل.

بما أن قيمة كل حد هي (١)، يمكننا تجميع كل (١٠٠) حد معاً.

يوجد (١٤) مجموعة تتكون من (١٠٠) حد، ومجموعة أخيرة من (٣٣) حداً.

مجموع الـ (١٤) مجموعة:

$١٤٠٠ = ١٠٠ \times ١٤$

نضيف لها المجموعة المتبقية:

$١٤٣٣ = ٣٣ + ١٤٠٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تجميع الحدود الجبرية المتتالية في أزواج لتسهيل الجمع.

نلاحظ أن كل عددين متتاليين في السلسلة ناتجهما سالب واحد (العدد الصغير ناقص العدد الأكبر منه مباشرة).

$١- = ٢ – ١$

$١- = ٤ – ٣$

$١- = ٦ – ٥$

تستمر هذه النمطية حتى العدد ١٨.

بما أننا نأخذ الأعداد زوجياً حتى ١٨، فإن عدد هذه الأعداد هو ١٨ حداً، مما يعني وجود ٩ أزواج كاملة.

نحسب مجموع هذه الأزواج التسعة:

$٩- = ١- \times ٩$

يتبقى لدينا الحد الأخير في السلسلة والذي لم يدخل في أي زوج، وهو العدد ١٩.

نجمع ناتج الأزواج مع الحد الأخير المتبقي:

$١٠ = ١٩ + ٩-$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التقريب المسبق للأعداد قبل إجراء العمليات الحسابية لتسهيل الوصول للخيارات.

نقوم بحساب قيمة كل حد في المقدار على حدة، ثم نقربه إلى أقرب عشرة.

نحسب الحد الأول وهو مربع العدد ١١:

$١٢١ = {}^{٢}١١$

أقرب قيمة تقريبية للعدد ١٢١ هي العدد ١٢٠.

نحسب الحد الثاني وهو مربع العدد ١٣:

$١٦٩ = {}^{٢}١٣$

أقرب قيمة تقريبية للعدد ١٦٩ هي العدد ١٧٠.

نجمع القيمتين المقربتين اللتين حصلنا عليهما:

$١٧٠ + ١٢٠$

نطابق هذا الشكل الرياضي مع الخيارات المتاحة لنجد أنه يطابق الخيار الثاني تماماً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: إيجاد الناتج الفعلي الدقيق للمقدار ثم مقارنته بنواتج الخيارات المتاحة.

نحسب الناتج الكلي الفعلي للمقدار الأصلي:

$٢٩٠ = ١٦٩ + ١٢١ = {}^{٢}١٣ + {}^{٢}١١$

نقوم الآن بحساب نواتج العمليات الحسابية الموجودة في كل خيار من الخيارات الأربعة.

ناتج الخيار الأول هو:

$٢٧٠ = ١٧٠ + ١٠٠$

ناتج الخيار الثاني هو:

$٢٩٠ = ١٧٠ + ١٢٠$

ناتج الخيار الثالث هو:

$٢٧٠ = ١٦٠ + ١١٠$

ناتج الخيار الرابع هو:

$٣٠٠ = ١٨٠ + ١٢٠$

بمقارنة النواتج، نجد أن الخيار الثاني يعطي الناتج الدقيق المتطابق مع المقدار الأصلي.

تكنيك ١: الترجمة الجبرية المباشرة

المفهوم الرياضي: تحويل الألفاظ والعبارات النصية إلى معادلات رياضية واضحة.

نحسب القيمة الأولى من خلال إضافة ستة إلى العدد سالب ثلاثة:

${٣} = {٦} + {٣-}$

نحسب القيمة الثانية من خلال طرح اثنين من العدد سالب ثمانية:

${١٠-} = {٢} – {٨-}$

نقارن بين الناتجين ونجد أن العدد الموجب بطبيعة الحال أكبر من السالب:

${١٠-} < {٣}$

تكنيك ٢: التمثيل على خط الأعداد

المفهوم الرياضي: التحرك على خط الأعداد يميناً للزيادة ويساراً للنقصان.

لإيجاد القيمة الأولى، نقف عند نقطة سالب ثلاثة ونتحرك ست خطوات لجهة اليمين، فنصل إلى موجب ثلاثة.

لإيجاد القيمة الثانية، نقف عند نقطة سالب ثمانية ونتحرك خطوتين لجهة اليسار، فنصل إلى سالب عشرة.

القاعدة تنص على أنه كلما كان العدد يقع يميناً كان أكبر قيمة، ولذا القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: حساب كل خيار على حدة بتطبيق قواعد ترتيب العمليات الحسابية لمعرفة أيها يساوي ١١.

الخطوة الأولى: اختبار الخيار الأول.

$٣ + ٢ \div ٦ + ١٠$

نحسب القسمة أولاً: $٣ = ٢ \div ٦$

نجمع: $١٦ = ٣ + ٣ + ١٠$ (إجابة خاطئة)

الخطوة الثانية: اختبار الخيار الثاني.

$(٣ \times ٢) + ٤ + (٥ \div ٥)$

نحسب الأقواس: $١ = ٥ \div ٥$ و $٦ = ٣ \times ٢$

نجمع: $١١ = ٦ + ٤ + ١$ (إجابة صحيحة)

الخطوة الثالثة: اختبار الخيار الثالث للتأكد.

$٢ \div ٢ + ٨ + ٦$

القسمة أولاً: $١ = ٢ \div ٢$

الجمع: $١٥ = ١ + ٨ + ٦$ (إجابة خاطئة)

إذن الخيار الصحيح هو الثاني.

تكنيك ٢: الاستبعاد المنطقي

المفهوم الرياضي: تقدير النواتج ذهنياً لاستبعاد الخيارات البعيدة عن ١١.

الخطوة الأولى: الخيار الأول يحتوي على مجاميع كبيرة $١٠$ و $٣$ مما يجعل الناتج أكبر من ١١، يُستبعد.

الخطوة الثانية: الخيار الثالث يحتوي على $٦$ و $٨$ مجموعهما ١٤، يُستبعد.

الخطوة الثالثة: الخيار الرابع يحتوي طرحاً بعد عملية ضرب، والناتج سيكون سالباً أو صغيراً جداً، يُستبعد.

الخطوة الرابعة: يتبقى الخيار الثاني وهو الصحيح.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص الضرب في العدد صفر.

مجموعة الأعداد الكلية هي مجموعة تبدأ من الصفر وتستمر لتشمل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة إلى المالانهاية: $\dots , ٣ , ٢ , ١ , ٠$

المطلوب هو إيجاد حاصل ضرب جميع هذه الأعداد، أي: $\dots \times ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١ \times ٠$

من خصائص عملية الضرب الأساسية، أن ضرب أي عدد أو مجموعة من الأعداد في صفر يعطي ناتجاً يساوي صفراً، مهما كانت قيمة الأعداد الأخرى.

بما أن الصفر هو أحد عوامل هذه العملية، فإن الناتج الكلي سيكون حتماً صفراً.

إذن، حاصل الضرب هو $٠ = \dots \times ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١ \times ٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مجموع متتابعة حسابية تبدأ من ١.

قانون مجموع الأعداد من ١ إلى ن: $م = \frac{ن(١ + ن)}{٢}$

حيث (م) المجموع، (ن) العدد الأخير.

نلاحظ أن المتتابعة تبدأ من ٢ وليس ١.

لذلك نوجد المجموع من ١ إلى ٤١ ثم نطرح ١.

التعويض في القانون: $م = \frac{٤١ \times (١ + ٤١)}{٢}$

التبسيط: $م = \frac{٤١ \times ٤٢}{٢}$

الناتج للمجموع من ١: $٨٦١ = ٢١ \times ٤١$

نطرح الحد الأول المفقود (١): $٨٦٠ = ١ – ٨٦١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام قانون مجموع متتابعة حسابية عامة.

القانون: $م = \frac{ن}{٢} \times (ل + أ)$

حيث (م) المجموع، (ن) عدد الحدود، (أ) الحد الأول، (ل) الحد الأخير.

الحد الأول: $٢ = أ$

الحد الأخير: $٤١ = ل$

عدد الحدود: $٤٠ = ١ + ١ – ٤١ = ن$

التعويض: $م = \frac{٤٠}{٢} \times (٤١ + ٢)$

التبسيط: $٨٦٠ = ٢٠ \times ٤٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الحصر والعد المنطقي المنهجي لتجنب التكرار.

لإيجاد جميع الأعداد التي تحتوي على الرقم ٩، نقسمها إلى مجموعتين.

المجموعة الأولى: الأعداد التي يحتوي آحادها على الرقم ٩.

نسرد هذه الأعداد كالتالي:

$٨٩ , ٧٩ , ٦٩ , ٥٩ , ٤٩ , ٣٩ , ٢٩ , ١٩ , ٩$

بحساب عدد عناصر هذه المجموعة نجد أنها تحتوي على ٩ أعداد.

المجموعة الثانية: الأعداد التي يحتوي عشراتها على الرقم ٩ (أي سلسلة التسعينات).

نسرد هذه الأعداد كالتالي:

$٩٩ , ٩٨ , ٩٧ , ٩٦ , ٩٥ , ٩٤ , ٩٣ , ٩٢ , ٩١ , ٩٠$

بحساب عدد عناصر هذه المجموعة نجد أنها تحتوي على ١٠ أعداد.

ملاحظة هامة: العدد ٩٩ يحتوي على الرقم ٩ مرتين، ولكنه يُحسب كـ (عدد واحد) كما طلب السؤال، وقد تم ضمه للمجموعة الثانية فقط لتجنب عده مرتين.

نجمع عدد عناصر المجموعتين للحصول على الإجمالي:

$١٩ = ١٠ + ٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام خانة الآحاد للتحقق من القسمة واستبعاد الخيارات الخاطئة.

بدلاً من تضييع الوقت في إجراء عملية القسمة المطولة، نستخدم عملية الضرب المعاكسة للتحقق من صحة الخيارات.

القاعدة تنص على أن: ناتج القسمة المضروب في المقسوم عليه ($٢٨٤$) يجب أن يعطي المقسوم ($٨٧٩٥٦٢٢٠$).

بما أن آحاد المقسوم هو $٠$، فيجب أن نبحث في الخيارات عن العدد الذي إذا ضُرب آحاده في آحاد المقسوم عليه ($٤$)، يعطي ناتجاً آحاده $٠$

نجرب الخيار الأول ($٣٠٩٧٠٥$): آحاده $٥$. نضرب $٢٠ = ٤ \times ٥$، آحاد الناتج هو $٠$. (هذا يتطابق مع آحاد المقسوم وهو مرشح قوي للحل).

نجرب الخيار الثاني ($٣٠٩٧٠٤$): آحاده $٤$. نضرب $١٦ = ٤ \times ٤$، آحاد الناتج هو $٦$. (مستبعد لأن آحاده ليس صفراً).

نجرب الخيار الثالث ($٣٠٩٧٠٣$): آحاده $٣$. نضرب $١٢ = ٤ \times ٣$، آحاد الناتج هو $٢$. (مستبعد).

نجرب الخيار الرابع ($٣٠٩٧٠٦$): آحاده $٦$. نضرب $٢٤ = ٤ \times ٦$، آحاد الناتج هو $٤$. (مستبعد).

إذن، الخيار الوحيد الصحيح الذي يحقق شرط الآحاد هو $٣٠٩٧٠٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد خانة العشرات لحاصل ضرب عددين عن طريق ضرب الخانات الأولى.

لتحديد رقم خانة العشرات في حاصل ضرب عددين كبيرين، يكفي أن نأخذ أول رقمين من كل عدد (الآحاد والعشرات) ونضربهما معاً، ثم ننظر إلى خانة العشرات في الناتج.

أول رقمين من العدد الأول (من اليمين) هما $٧٥$

أول رقمين من العدد الثاني هما $٣٢$

نقوم بضرب هذين الرقمين: $٢٤٠٠ = ٣٢ \times ٧٥$

نلاحظ في الناتج $٢٤٠٠$ أن خانة الآحاد هي $٠$ وخانة العشرات هي أيضاً $٠$

بناءً على ذلك، ستكون خانة العشرات في ناتج عملية الضرب الأصلية الكاملة هي $٠$ حتماً.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور من خلال استخراج العامل المشترك للحدود.

نلاحظ أن جميع الأعداد في البسط والمقام تقبل القسمة على ١١.

نستخرج العدد ١١ كعامل مشترك من البسط ليصبح:

$ (٥ + ٦ + ٧ + ٩) \times ١١ $

نستخرج العدد ١١ كعامل مشترك من المقام ليصبح:

$ (٤ + ٥) \times ١١ $

نختصر العدد ١١ من كلا الطرفين ثم نجمع القيم المتبقية:

$ ٣ = \frac{٢٧}{٩} $

النتيجة تساوي ٣، وبالتالي القيمتان متساويتان تماماً.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: العمليات الحسابية المباشرة للجمع ثم القسمة.

نقوم بجمع جميع الحدود الموجودة في البسط للحصول على القيمة الإجمالية:

$ ٢٩٧ = ٥٥ + ٦٦ + ٧٧ + ٩٩ $

نقوم بجمع الحدين في المقام للحصول على القيمة الإجمالية:

$ ٩٩ = ٤٤ + ٥٥ $

نقسم المجموع الكلي للبسط على مجموع المقام:

$ ٣ = \frac{٢٩٧}{٩٩} $

بمقارنة النتيجة مع القيمة الثانية (٣)، نجد أنهما متساويتان.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجميع كل حدين متتاليين كزوج واحد.

نأخذ كل رقمين متجاورين معا: $(٢ – ١) + (٤ – ٣) + (٦ – ٥) + … + (١٠٠ – ٩٩)$

ناتج كل قوس هو: $١- = ٢ – ١$

عدد الحدود الكلي هو ١٠٠ حد.

إذن عدد الأقواس (الأزواج) هو: $٥٠ = ٢ \div ١٠٠$

نضرب ناتج القوس الواحد في عدد الأقواس: $٥٠- = ٥٠ \times ١-$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: فصل الأعداد الفردية عن الأعداد الزوجية واستخدام قوانين المجموع.

مجموع الأعداد الفردية: $٩٩ + … + ٥ + ٣ + ١$

عدد الحدود الفردية (ن): $٥٠ = \frac{١ + ٩٩}{٢}$

مجموع الفردية = ${}^{٢}ن = {}^{٢}٥٠ = ٢٥٠٠$

مجموع الأعداد الزوجية المسحوبة بإشارة سالب: $١٠٠ – … – ٦ – ٤ – ٢$

نأخذ السالب عامل مشترك: $(١٠٠ + … + ٦ + ٤ + ٢)-$

قانون مجموع الزوجية = $\frac{١٠٠ \times (٢ + ١٠٠)}{٤} = ٢٥٥٠$

الناتج النهائي = مجموع الفردي – مجموع الزوجي

الناتج = $٥٠- = ٢٥٥٠ – ٢٥٠٠$

تكنيك ١: العامل المشترك وخصائص الأسس

المفهوم الرياضي: عند جمع حدود متطابقة، نحولها إلى ضرب. وعند ضرب أساسات متشابهة، نجمع الأسس.

المقدار عبارة عن جمع الحد (${}^{١٨}٥$) خمس مرات، فنحوله إلى ضرب:

${}^{١٨}٥ \times ٥$

الأساس (٥) المضروب هو في الواقع (${}^{١}٥$).

نطبق قاعدة ضرب الأسس ذات الأساسات المتشابهة (نجمع الأسس):

${}^{١٨ + ١}٥$

نوجد ناتج جمع الأسس:

${}^{١٩}٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحديد القيمة المنزلية للأرقام بناءً على موقعها في العدد.

نحدد موقع الرقم المطلوب وهو (٥) في العدد الكلي المكتوب.

نعد الخانات الموجودة على يمين الرقم ٥ للتعرف على مرتبته.

نجد أن هناك ٦ خانات على يمينه وهي الأرقام (٠، ٣، ٩، ٨، ٣، ٢).

لإيجاد القيمة المنزلية، نكتب الرقم ٥ ونستبدل جميع الخانات التي على يمينه بأصفار.

يصبح لدينا الرقم ٥ وأمامه ٦ أصفار.

الناتج يمثل خانة أحاد الملايين، وتُكتب قيمته (٥٠٠٠٠٠٠).

تكنيك ١: تعريف الأسس

المفهوم الرياضي: الأس هو عملية تكرار ضرب الأساس في نفسه.

في هذا السؤال، العدد الذي يتم ضربه هو الأساس، وهو عشرة.

عدد مرات التكرار يمثل القوة أو الأس، وهو هنا عشرون.

تُكتب الصيغة الرياضية بوضع الأساس ثم الأس فوقه على النحو التالي:

${}^{٢٠}١٠$

تكنيك ٢: التفكيك والسلاسل الرياضية

المفهوم الرياضي: تحويل الصياغة اللفظية إلى سلسلة ضرب ممتدة.

نترجم العبارة إلى عملية ضرب متكرر لتبسيط الرؤية:

${}^{٢٠}١٠ = ١٠ \times \dots \times ١٠ \times ١٠$

نلاحظ أن الخيار الأول يطابق هذا المفهوم الرياضي تماماً.

تكنيك ١: الاستنتاج المنطقي المباشر

المفهوم الرياضي: ترتيب الأعداد الحقيقية على خط الأعداد.

بما أن (صفر) هو أكبر عدد في المجموعة المذكورة، فهذا يعني أن جميع الأعداد الأخرى تقع على يساره في خط الأعداد.

كل الأعداد التي تقع على يسار (صفر) هي أعداد سالبة حتماً.

إذاً، نستنتج مباشرة أن جميع الأعداد الباقية سالبة.

تكنيك ٢: البرهان بالتناقض

المفهوم الرياضي: إثبات صحة الفرضية بنفي عكسها رياضياً.

نفترض جدلاً أن هناك عدداً موجباً بين الأعداد الباقية في المجموعة.

الأعداد الموجبة دائماً أكبر من (صفر) وفقاً لخصائص الأعداد الحقيقية.

هذا الافتراض يناقض المعطى الرئيسي في السؤال بأن (صفر) هو الأكبر.

لذا، يستحيل وجود عدد موجب، والنتيجة الحتمية أن جميعها سالبة.

تكنيك ١: الحساب المباشر بالترتيب

المفهوم الرياضي: فك الأسس ثم حساب ما بداخل الأقواس ثم الضرب وأخيراً الطرح.

الخطوة الأولى: حساب الأس.

$٨ = {}^{٣}٢$

الخطوة الثانية: إتمام العملية داخل القوس.

$١٣ = ٥ + ٨$

الخطوة الثالثة: التعويض في المقدار وإجراء الضرب.

$٤ – ٧ \times ١٣$

$٩١ = ٧ \times ١٣$

الخطوة الرابعة: إجراء الطرح.

$٨٧ = ٤ – ٩١$

تكنيك ٢: التجزئة والحساب الذهني

المفهوم الرياضي: عزل الأجزاء المعقدة وحلها ذهنياً لتبسيط المقدار ككل.

الخطوة الأولى: نركز على القوس $٥ + {}^{٣}٢$، ونجد ذهنياً أنه يساوي $١٣$

الخطوة الثانية: نضرب الناتج في ٧ للحصول على $٩١$

الخطوة الثالثة: نطرح ٩١ من ٤ ليكون الناتج $٨٧ = ٤ – ٩١$

تكنيك ١: الحل بالخطوات التفصيلية

المفهوم الرياضي: تطبيق قاعدة ترتيب العمليات الحسابية، ونبدأ بالأقواس ثم الأسس ثم الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح.

الخطوة الأولى: إيجاد قيمة ما بداخل القوس.

$٣ = ٨ – ١١$

الخطوة الثانية: حساب قيمة الأس.

$٩ = {}^{٢}٣$

الخطوة الثالثة: التعويض في المقدار الأساسي وإجراء عمليتي الضرب والقسمة.

$٤ – ٣ \div ٦ + ٩ \times ٧ + ٥$

نحسب الضرب: $٦٣ = ٩ \times ٧$

نحسب القسمة: $٢ = ٣ \div ٦$

الخطوة الرابعة: إجراء عمليتي الجمع والطرح بالترتيب من اليمين.

$٦٨ = ٦٣ + ٥$

$٧٠ = ٢ + ٦٨$

$٦٦ = ٤ – ٧٠$

الناتج النهائي هو ٦٦.

تكنيك ٢: التبسيط المتوازي

المفهوم الرياضي: حساب الأجزاء المستقلة في نفس الوقت لتقليل الخطوات.

الخطوة الأولى: نحسب القوس والأس معاً: $٩ = {}^{٢}(٨ – ١١)$

الخطوة الثانية: نحسب الضرب والقسمة بالتوازي: $٦٣ = ٩ \times ٧$ و $٢ = ٣ \div ٦$

الخطوة الثالثة: نجمع المقادير المبسطة: $٦٦ = ٤ – ٢ + ٦٣ + ٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: البحث عن مكملات المئة (الأعداد المتناغمة) لتسريع عملية الجمع.

نقوم بتجميع الأعداد التي يسهل جمعها معاً لتكوين مضاعفات المئة بدلاً من الجمع التسلسلي.

نجمع العددين ٦٥ و ٣٥ معاً:

$١٠٠ = ٣٥ + ٦٥$

نجمع العددين ٩٤ و ٦ معاً:

$١٠٠ = ٦ + ٩٤$

نجمع العددين ١٣٢ و ٦٨ معاً:

$٢٠٠ = ٦٨ + ١٣٢$

أخيراً، نجمع النواتج المبسطة للحصول على المجموع الكلي:

$٤٠٠ = ٢٠٠ + ١٠٠ + ١٠٠$