قوانين الاحتمالات
المفاهيم الأساسية:
- التجربة العشوائية: هي تجربة نكون على علم مسبق بجميع نواتجها الممكنة قبل إجرائها، ولكن لا يمكننا الجزم بتحديد أيٍّ من هذه النواتج سيتحقق فعلياً عند إجرائها.
- فضاء العينة: هو المجموعة الشاملة التي تضم جميع النواتج الممكنة للتجربة العشوائية. ويرمز لعدد عناصر فضاء العينة عادة بـ (ف)، ومعرفة عدده هي الخطوة الأولى لحل أي مسألة احتمالات.
- الحدث: هو مجموعة جزئية (جزء) من فضاء العينة. يمكن أن يتكون الحدث من ناتج واحد (حدث بسيط) أو عدة نواتج (حدث مركب). على سبيل المثال: عند إلقاء حجر نرد، “ظهور عدد زوجي” هو حدث يضم النواتج (٢، ٤، ٦).
قانون الاحتمال الرياضي:
يُقاس احتمال وقوع حدث معين بقسمة عدد النواتج التي تحقق هذا الحدث على العدد الكلي للنواتج الممكنة في فضاء العينة.
الاحتمال =
عدد نواتج الحدث
العدد الكلي لنواتج فضاء العينة
تنبيه: قيمة الاحتمال لأي حدث تتراوح دائماً بين الصفر (الحدث المستحيل) والواحد (الحدث المؤكد)، ويمكن كتابتها ككسر اعتيادي، أو كسر عشري، أو نسبة مئوية.
ملحوظة هامة (مجموع الاحتمالات): مجموع احتمالات جميع النواتج الممكنة (البسيطة) لفضاء العينة لتجربة ما يساوي دائماً (١) صحيح. أو بعبارة أخرى، احتمال وقوع الحدث + احتمال عدم وقوعه = ١.
أشهر التجارب العشوائية في الاحتمال:
١. تجربة إلقاء العملة المعدنية (قطعة النقد):
- عند إلقائها مرة واحدة: تمتلك العملة وجهين فقط، الأول يسمى “شعار” (ش) والثاني “كتابة” (ك). وبالتالي فضاء العينة هو {ش ، ك}، والعدد الكلي للنواتج = ٢.
- عند إلقائها مرتين (أو إلقاء قطعتين معاً): تتضاعف الاحتمالات لتشمل نتائج الرمية الأولى مقترنة بالرمية الثانية، ويمكن تمثيلها بشبكة تقاطع. النواتج هي: (ش، ش)، (ش، ك)، (ك، ش)، (ك، ك). العدد الكلي للنواتج = ٢ × ٢ = ٤.
شبكة تقاطع: إلقاء عملة مرتين
٢. تجربة إلقاء حجر النرد (المكعب المرقم):
- عند إلقائه مرة واحدة: حجر النرد له ٦ أوجه مرقمة من ١ إلى ٦. فضاء العينة هو {١ ، ٢ ، ٣ ، ٤ ، ٥ ، ٦}، والعدد الكلي للنواتج = ٦.
- عند إلقائه مرتين (أو إلقاء حجرين معاً): كل وجه من الحجر الأول يمكن أن يقترن بأي وجه من الحجر الثاني (تمثل كأزواج مرتبة ونقاط تقاطع على شبكة). العدد الكلي للنواتج = ٦ × ٦ = ٣٦ ناتجاً محتملاً.
شبكة تقاطع: إلقاء حجر نرد مرتين
٣. تجربة مركبة (إلقاء عملة معدنية مع حجر نرد):
- تتداخل هنا نواتج العملة (نتيجتين) مع نواتج النرد (٦ نتائج). ليكون فضاء العينة الشامل عبارة عن ارتباط كل وجه للعملة بأرقام النرد الستة.
- العدد الكلي للنواتج = ٢ × ٦ = ١٢ ناتجاً (مثل: شعار و١، شعار و٢… وهكذا).
شبكة تقاطع: عملة معدنية مع حجر نرد