اختبار 3

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي مع السماح بالتكرار.

عدد طرق الدخول هو ١٠ طرق لتوفر جميع الأبواب.

عدد طرق الخروج هو ١٠ طرق أيضا لأنه يسمح للعامل بالخروج من نفس الباب.

إجمالي الطرق هو حاصل ضرب الاحتمالات:

$١٠٠ = ١٠ \times ١٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الأسس وضرب الخيارات المستقلة.

القانون المستخدم يرفع عدد الخيارات لأس عدد الحركات:

${}^{م}ن$

حيث (ن) تمثل عدد الأبواب و (م) تمثل عدد الحركات وهي دخول وخروج.

التعويض الرياضي:

$١٠٠ = {}^{٢}١٠$

تكنيك ١: الترتيب التنازلي للقيم المكانية.

المفهوم الرياضي: لتكوين أكبر عدد، نضع أكبر الأرقام المتاحة في أعلى قيمة مكانية (الآلاف) ثم نتدرج تنازلياً.

أكبر رقم لدينا هو الخمسة، نضعه في خانة الآلاف.

الرقم الذي يليه هو الثلاثة، نضعه في خانة المئات.

الرقم الذي يليه هو الاثنان، نضعه في خانة العشرات.

أصغر رقم هو الواحد، نضعه في خانة الآحاد.

ينتج لدينا العدد المطلوب والذي يحقق الشرط.

العدد الأكبر هو $٥٣٢١$.

تكنيك ١: استخدام قانون التباديل

المفهوم الرياضي: نستخدم التباديل عندما يكون الترتيب مهماً. في حالة التصوير في صف واحد، فإن تغيير أماكن الأشخاص يعطي صورة مختلفة، لذا الترتيب هام.

لدينا $٦$ أفراد، ونريد اختيار $٤$ منهم لترتيبهم في صف واحد.

القانون: $(ن-ر+١) \times \dots \times (ن-١) \times ن = رلن$

المطلوب هو حساب التباديل لأربعة عناصر من أصل ستة.

$٣٦٠ = ٣ \times ٤ \times ٥ \times ٦ = ٤ل٦$

حاصل الضرب يعطينا $٣٦٠$ صورة مختلفة.

تكنيك ٢: مبدأ العد الأساسي

لدينا أربعة أماكن للوقوف في الصف من أجل الصورة.

المكان الأول: يمكن لأي شخص من الستة الوقوف فيه (عدد الخيارات $٦$).

المكان الثاني: بعد وقوف الشخص الأول، يتبقى خمسة أشخاص (عدد الخيارات $٥$).

المكان الثالث: يتبقى أربعة أشخاص للوقوف فيه (عدد الخيارات $٤$).

المكان الرابع: يتبقى ثلاثة أشخاص للوقوف فيه (عدد الخيارات $٣$).

القانون: عدد الطرق = حاصل ضرب الخيارات المتاحة لكل مكان بترتيب عكسي.

عدد الصور الممكنة = $٣٦٠ = ٣ \times ٤ \times ٥ \times ٦$

تكنيك ١: بناء المجموعة وحل المعادلة

المفهوم الرياضي: ترتيب القيم يحدد الوسيط، وتكرارها يحدد المنوال.

لدينا خمسة أعداد صحيحة، الوسيط هو العدد الثالث وقيمته $٦$.

المنوال هو $٧$، وبما أن الوسيط $٦$، فالعدد $٧$ يجب أن يكون في النصف الأعلى ليتكرر، إذن العددان الرابع والخامس هما $٧ , ٧$.

أصغر عدد هو $٢$ وهو العدد الأول.

تصبح الأعداد بعد الترتيب العكسي: $٧ , ٧ , ٦ , س , ٢$

بما أن الأعداد صحيحة ومرتبة، فإن $س$ يمكن أن يكون $٣$ أو $٤$ أو $٥$.

القانون: المتوسط الحسابي = المجموع قسمة العدد

المجموع = $٢٢ + س = ٧ + ٧ + ٦ + س + ٢$

يجب أن يكون المجموع يقبل القسمة على $٥$ ليكون المتوسط عدداً صحيحاً كما في المعطيات.

بتجربة القيم، نجد أن $٢٥ = ٣ + ٢٢$ وهي الوحيدة التي تقبل القسمة على $٥$.

إذن $س = ٣$ والمجموع $٢٥$.

المتوسط الحسابي = $\frac{٢٥}{٥} = ٥$

تكنيك ٢: التجريب من الخيارات

عرفنا أن الأعداد هي $٧ , ٧ , ٦ , س , ٢$ ومجموعها يساوي $٢٢ + س$.

نجرب الخيارات لتمثل المتوسط الحسابي.

الخيار الأول $٥$: المجموع الكلي يجب أن يكون $٢٥ = ٥ \times ٥$. بالتالي $٣ = ٢٢ – ٢٥ = س$. العدد $٣$ يناسب الترتيب المنطقي. إجابة صحيحة.

الخيار الثاني $٦$: المجموع يجب أن يكون $٣٠ = ٥ \times ٦$. بالتالي $٨ = ٢٢ – ٣٠ = س$. وهذا مستحيل لأن $س$ يجب أن يكون أصغر من أو يساوي $٦$.

تكنيك ١: الترتيب وإيجاد القيمة الوسطى.

المفهوم الرياضي: الوسيط هو القيمة التي تتوسط مجموعة البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً.

نرتب الأطوال تصاعدياً من الأصغر للأكبر.

$٢٦ ، ٢٤ ، ٢٤ ، ٢٠ ، ١٩ ، ١٨ ، ١٧$

بما أن عدد الأشجار فردي وهو سبعة، فإن الوسيط يقع في المركز الرابع تماماً.

الوسيط هو العدد ٢٠.

تكنيك ١: استخدام خصائص المنوال ومجموع الأعداد

المفهوم الرياضي: المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات.

لدينا $٦$ أعداد، ومجموعها يساوي $٦٢$.

بما أن العدد $٨$ مكرر مرتين، والمنوال هو $٩$، فيجب أن يتكرر العدد $٩$ أكثر من مرتين ليكون هو المنوال، أي يجب أن يتكرر ثلاث مرات.

إذن الأعداد هي بترتيبها العكسي: $٩ , ٩ , ٩ , ٨ , ٨ , س$

القانون: مجموع الأعداد = المجموع المعطى

$٦٢ = ٩ + ٩ + ٩ + ٨ + ٨ + س$

$٦٢ = ٤٣ + س$

$١٩ = ٤٣ – ٦٢ = س$

تكنيك ٢: الحل العكسي بالتجريب

نعلم أن الأعداد المعلومة والمستنتجة من المنوال هي $٩ , ٩ , ٩ , ٨ , ٨$ ومجموعها $٤٣$.

نجرب الخيارات للوصول للمجموع $٦٢$.

الخيار الأول: $٤٩ = ٤٣ + ٦$ (مرفوض).

الخيار الثاني: $٥٠ = ٤٣ + ٧$ (مرفوض).

الخيار الثالث: $٦٢ = ٤٣ + ١٩$ (إجابة صحيحة).

تكنيك ١: حساب عدد النواتج المطلوبة إلى فضاء العينة.

المفهوم الرياضي: الاحتمال يساوي عدد عناصر الحدث مقسوماً على إجمالي عناصر فضاء العينة.

فضاء العينة هو إجمالي الأعداد من واحد إلى عشرين، وعددها ٢٠.

الأعداد الفردية المحصورة من واحد إلى عشرين تمثل النصف، وهي عشرة أعداد.

الاحتمال هو قسمة عشرة على عشرين.

$\frac{١٠}{٢٠}$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على عشرة ليصبح نصفاً.

$\frac{١}{٢}$

لتحويل الكسر إلى نسبة مئوية، نضرب الناتج في مئة.

$٥٠٪ = ١٠٠ \times \frac{١}{٢}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي (التباديل)

بما أن لدينا خمسة صناديق وخمسة مفاتيح، فإننا نبحث عن عدد الطرق لترتيب هذه المفاتيح لفتح الصناديق بالتتالي.

عدد طرق فتح الصندوق الأول هو ٥ طرق.

عدد طرق فتح الصندوق الثاني هو ٤ طرق (لأننا استخدمنا مفتاحاً).

عدد طرق فتح الصندوق الثالث هو ٣ طرق.

عدد طرق فتح الصندوق الرابع هو ٢ طريق.

عدد طرق فتح الصندوق الخامس هو ١ طريق.

إجمالي عدد الطرق هو حاصل ضرب هذه الاحتمالات:

$١٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التباديل الشاملة

عندما نريد ترتيب عدد من العناصر في نفس العدد من الأماكن دون تكرار، نضرب العدد في جميع الأعداد الصحيحة الأصغر منه حتى الواحد.

لدينا ٥ عناصر ومطلوب ترتيبها في ٥ أماكن.

نقوم بضرب الأعداد المتتالية تنازلياً.

$١٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد الوسيط لمجموعة من البيانات المتطابقة

الوسيط في علم الإحصاء هو القيمة التي تتوسط مجموعة من البيانات تماماً بعد أن يتم ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً.

في معطيات هذا السؤال، حصل جميع الطلاب والبالغ عددهم ١٤ طالباً على نفس الدرجة المتطابقة وهي ١٠ درجات.

إذا أردنا ترتيب درجات هؤلاء الطلاب تنازلياً أو تصاعدياً، فإن السلسلة الرياضية ستكون على النحو التالي:

$١٠ , \dots , ١٠ , ١٠ , ١٠$

بما أن جميع القيم المعطاة في السلسلة متطابقة تماماً ولا يوجد أي تباين، فإن القيمة التي تقع في المنتصف ستكون حتماً هي الرقم ١٠.

لذا، الوسيط لهذه البيانات يساوي ١٠.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الخصائص الاستنتاجية لمقاييس النزعة المركزية للبيانات الثابتة

هناك قاعدة إحصائية ثابتة تنص على أنه عندما تكون جميع القيم في مجموعة البيانات متساوية تماماً وتمثل قيمة ثابتة، فإن جميع مقاييس النزعة المركزية تتساوى مع هذه القيمة.

القانون الاستنتاجي المباشر: الوسط الحسابي = الوسيط = المنوال = القيمة الثابتة للبيانات.

بما أن القيمة الثابتة لدرجات جميع الطلاب في هذا الاختبار المعطى هي ١٠ درجات.

إذن نستنتج مباشرة وبدون خطوات حسابية مطولة أن الوسيط يجب أن يساوي نفس هذه القيمة الثابتة.

الوسيط يساوي ١٠ بشكل مباشر.

تكنيك ١: مبدأ العد الأساسي.

المفهوم الرياضي: لإيجاد عدد الطرق الممكنة لتكوين وجبة، نضرب عدد الخيارات المتاحة من كل نوع.

عدد أنواع العصائر المتاحة يساوي ٤.

عدد أنواع الفطائر المتاحة يساوي ٣.

عدد الوجبات الممكنة هو حاصل ضرب النوعين.

$١٢ = ٤ \times ٣$

تكنيك ١: الحساب المباشر للاحتمالات

المفهوم الرياضي: الاحتمال يساوي عدد النواتج المطلوبة مقسوما على فضاء العينة.

قانون الاحتمال:

$ع \div م = ح$

حيث (ح) الاحتمال، (م) النواتج المطلوبة، (ع) فضاء العينة.

عند إلقاء حجر نرد مرتين، فضاء العينة الكلي:

$٣٦ = ٦ \times ٦$

النواتج التي مجموعها ٩ هي: (٣، ٦)، (٤، ٥)، (٥، ٤)، (٦، ٣).

عدد هذه النواتج هو ٤.

نعوض في القانون:

$\frac{١}{٩} = \frac{٤}{٣٦} = ح$

تكنيك ٢: الرسم البياني (شبكة النواتج)

المفهوم الرياضي: تمثيل النواتج كنقاط على شبكة ثنائية الأبعاد.

المحور الأفقي يمثل الرمية الأولى، والمحور الرأسي يمثل الرمية الثانية.

النقاط التي تحقق المجموع ٩ تقع على خط مستقيم قطري.

بإحصاء النقاط نجدها ٤ نقاط من أصل ٣٦ نقطة تقاطع.

الاحتمال:

$\frac{١}{٩} = \frac{٤}{٣٦}$

تكنيك ١: التباديل والاحتمالات.

المفهوم الرياضي: حساب فضاء العينة ثم استبعاد الاحتمال الخاطئ وإيجاد النسبة.

لدينا ثلاثة أرقام لتكوين الرمز السري دون تكرار.

عدد الطرق الممكنة لتكوين الرمز يساوي مضروب الثلاثة.

$٦ = ٣ \times ٢ \times ١$

بما أن الرمز المعطى ليس صحيحاً، فإننا نستبعده من الاحتمالات المتاحة.

عدد الخيارات المتبقية يساوي ٥.

$٥ = ١ – ٦$

احتمال فتح الحقيبة من المرة الأولى هو خيار واحد صحيح من بين الخيارات الخمسة.

الاحتمال هو الخمس، وبتحويله لنسبة مئوية نضرب في مئة.

$٢٠٪ = ١٠٠ \times \frac{١}{٥}$

تكنيك ١: تجربة الخيارات والاعتماد على قانون المدى.

المفهوم الرياضي: المدى يساوي الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في المجموعة المعطاة.

بما أن المدى معطى بأنه ١٥، نبحث في الخيارات عن القيمتين اللتين الفرق بينهما يطابق المدى.

نجرب الخيار الأول، حيث نطرح الاثني عشر من السبعة والعشرين.

$١٥ = ١٢ – ٢٧$

الناتج يطابق المدى المعطى، لذا فهو الخيار الصحيح.

لو جربنا الخيار الثاني كإثبات: الفرق بين ٤٢ و ٢٥ يساوي ١٧.

الخيار الثاني خاطئ لعدم مطابقته المدى المطلوب.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي للحوادث المستقلة مع السماح بالتكرار.

كلمة (الوطن) تتكون من ٥ أحرف وهي (ا ، ل ، و ، ط ، ن).

بما أنه مسموح بتكرار الأحرف، فإن لكل حرف من الأحرف الخمسة في الكلمة الجديدة ٥ احتمالات اختيار.

عدد الكلمات الإجمالي هو حاصل ضرب الاحتمالات للحروف الخمسة في مواقعها.

$٣١٢٥ = ٥ \times ٥ \times ٥ \times ٥ \times ٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعبير الأسي لاحتمالات العناصر المتكررة.

عدد الأحرف المتاحة يمثل الأساس، وعدد الخانات يمثل الأس.

القانون الأسي للتكرار:

${}^{ن}ن$

التعويض بالقيم المتاحة وهي خمسة أحرف لخمس خانات:

$٣١٢٥ = {}^{٥}٥$

تكنيك ١: قانون ضرب الاحتمالات للحوادث المستقلة

المفهوم الرياضي: احتمال وقوع حدثين مستقلين معاً يساوي حاصل ضرب احتمال الحدث الأول في احتمال الحدث الثاني.

$٢ح \times ١ح = ح$

حيث (ح) الاحتمال الكلي، (١ح) احتمال الحدث الأول، (٢ح) احتمال الحدث الثاني.

الحدث الأول: رمي العملة وظهور الشعار. للعملة وجهان، فالاحتمال هو النصف.

$\frac{١}{٢} = ١ح$

الحدث الثاني: رمي حجر النرد وظهور العدد ١. لحجر النرد ٦ أوجه، فالاحتمال هو السدس.

$\frac{١}{٦} = ٢ح$

نقوم بضرب الاحتمالين معاً لإيجاد الاحتمال المشترك.

$\frac{١}{١٢} = \frac{١}{٦} \times \frac{١}{٢} = ح$

تكنيك ٢: إيجاد فضاء العينة الكلي بمبدأ العد

المفهوم الرياضي: حساب إجمالي النواتج الممكنة للتجربتين معاً ثم تحديد النواتج المطلوبة وحساب الاحتمال.

عدد نواتج العملة المعدنية هو وجهان.

عدد نواتج حجر النرد هو ستة أوجه.

العدد الكلي لنواتج فضاء العينة (ف) هو حاصل ضربهما.

$١٢ = ٦ \times ٢ = ف$

الحدث المطلوب هو ظهور (شعار، العدد ١) معاً.

هذا الحدث يمثل نتيجة واحدة فقط من بين جميع النتائج الاثني عشر الممكنة.

$١ = ن$

نحسب الاحتمال بقسمة عدد نواتج الحدث على فضاء العينة.

$\frac{ن}{ف} = ح$

نعوض بالقيم للحصول على الناتج.

$\frac{١}{١٢}$

تكنيك ١: مبدأ العد الأساسي مع القيود.

المفهوم الرياضي: نبدأ دائماً بالخانة التي تحتوي على القيد، وهي خانة الآحاد ليكون العدد زوجياً.

الأرقام المتاحة للآحاد هي الأرقام الزوجية فقط، ولدينا خياران.

بعد اختيار رقم للآحاد، يتبقى أربعة أرقام متاحة لخانة العشرات لعدم وجود تكرار.

نضرب عدد خيارات الآحاد في عدد خيارات العشرات.

$٨ = ٢ \times ٤$

تكنيك ١: التحليل المنطقي لنصف العينة

المفهوم الرياضي: إذا كان نصف الأعداد يقع بعد رقم معين، فإن هذا الرقم يمثل نهاية النصف الأول.

الأعداد تبدأ من ١ متسلسلة إلى س.

إذا كان نصف الأعداد أكبر من ٦، فهذا يعني أن الأعداد من ١ إلى ٦ تمثل النصف الأول تماماً.

عدد عناصر النصف الأول هو ٦ أعداد.

لإيجاد العدد الكلي (س)، نضرب عدد عناصر النصف في ٢:

$١٢ = ٢ \times ٦ = س$

إذن س تساوي ١٢.

تكنيك ٢: رسم خط الأعداد وتجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: التحقق من الخيارات للوصول للشرط المطلوب.

لو كانت س = ١٢ (الخيار الثالث):

الأعداد هي: ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨، ٩، ١٠، ١١، ١٢.

الأعداد الأكبر من ٦ هي: ٧، ٨، ٩، ١٠، ١١، ١٢.

عددها ٦ أعداد، وهو يمثل نصف العينة الكلية (١٢).

الشرط متحقق، إذن الحل صحيح.

تكنيك ١: استخدام قانون التوافيق

المفهوم الرياضي: نستخدم التوافيق عندما يكون الترتيب غير مهم في الاختيار.

في هذا السؤال، اختيار $٣$ موظفين من بين $٥$ لا يتطلب ترتيباً معيناً، فالمجموعة هي نفسها بغض النظر عن ترتيب اختيارهم.

القانون: $رقن = \frac{ن!}{(ن-ر)! \times ر!}$

نعوض في القانون لحساب طرق الاختيار الممكنة.

$١٠ = \frac{٦٠}{٦} = \frac{٣ \times ٤ \times ٥}{١ \times ٢ \times ٣} = ٣ق٥$

طرق الاختيار هي $١٠$ طرق.

تكنيك ٢: قانون التوافيق المكملة

المفهوم الرياضي: اختيار $٣$ موظفين من أصل $٥$ للذهاب للدوام المسائي، يعادل تماماً اختيار موظفين اثنين من أصل $٥$ للبقاء وعدم الذهاب.

القانون: $٢ق٥ = ٣ق٥$

نحسب $٢ق٥$ بضرب رقمين تنازلياً في البسط ومضروب الاثنين في المقام.

الناتج = $١٠ = \frac{٢٠}{٢} = \frac{٤ \times ٥}{١ \times ٢}$

تكنيك ١: إيجاد فضاء العينة بالتفصيل

المفهوم الرياضي: حساب عدد النواتج الممكنة لتجربة إلقاء ٣ قطع نقدية.

كل قطعة لها نتيجتان (شعار أو كتابة).

فضاء العينة الكلي:

$٨ = ٢ \times ٢ \times ٢$

النواتج الممكنة هي: (ش، ش، ش)، (ش، ش، ك)، (ش، ك، ش)، (ك، ش، ش)، (ش، ك، ك)، (ك، ش، ك)، (ك، ك، ش)، (ك، ك، ك).

النواتج التي تحتوي على شعار واحد فقط هي: (ش، ك، ك)، (ك، ش، ك)، (ك، ك، ش).

عدد هذه النواتج هو ٣.

القيمة الأولى (الاحتمال):

$\frac{٣}{٨}$

القيمة الثانية المعطاة هي:

$\frac{١}{٤}$

لمقارنة الكسرين، نوحد المقامات:

$\frac{٢}{٨} = \frac{١}{٤}$

بما أن البسط ٣ أكبر من ٢، فإن:

$\frac{١}{٤} < \frac{٣}{٨}$

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: التوافيق والاحتمالات

المفهوم الرياضي: استخدام التوافيق لاختيار موضع الشعار الواحد.

نحتاج شعاراً واحداً من ٣ رميات، عدد الطرق:

$٣ = {}^{١}٣ق$

الاحتمال هو عدد الطرق مقسوماً على فضاء العينة الكلي (٨).

الاحتمال:

$\frac{٣}{٨}$

بالمقارنة بضرب المقص بين القيمة الأولى والثانية:

$٣ \times ٤$ مقابل $١ \times ٨$

$٨ < ١٢$

القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: قانون التباديل الخطية.

المفهوم الرياضي: عدد طرق جلوس مجموعة من الأشخاص في صف مستقيم يساوي مضروب عددهم.

بما أن أماكن الأب والأم محجوزة ومثبتة مسبقاً، فهي لا تدخل في عملية التبديل الرياضي.

يتبقى لدينا ثلاثة أبناء والمطلوب توزيعهم على ثلاثة كراسي فارغة.

طرق جلوس الابن الأول هي ٣ خيارات.

طرق جلوس الابن الثاني هي خياران.

طرق جلوس الابن الثالث هي خيار واحد.

عدد الطرق الكلية يساوي مضروب العدد ثلاثة.

$٦ = ١ \times ٢ \times ٣$

تكنيك ١: احتمالات الحوادث المستقلة.

المفهوم الرياضي: احتمال وقوع حدثين مستقلين معاً يساوي حاصل ضرب احتمال كل حدث على حدة.

احتمال الإجابة الصحيحة للسؤال الأول هو خيار واحد صحيح من أصل أربعة خيارات.

احتمال السؤال الأول: $\frac{١}{٤}$

احتمال الإجابة الصحيحة للسؤال الثاني مستقل ومماثل تماماً للأول.

احتمال السؤال الثاني: $\frac{١}{٤}$

نضرب الاحتمالين ببعضهما لإيجاد الاحتمال المشترك.

$\frac{١}{١٦} = \frac{١}{٤} \times \frac{١}{٤}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد للترتيب الشامل (المضروب)

عملية ترتيب عدد معين من الصفحات في نفس العدد من الأماكن تتطلب حساب كل الاحتمالات الممكنة تنازلياً.

المكان الأول له ٦ خيارات متاحة من الصفحات.

المكان الثاني له ٥ خيارات من الصفحات المتبقية بعد وضع الصفحة الأولى.

المكان الثالث يتبقى له ٤ خيارات.

المكان الرابع يتبقى له ٣ خيارات.

المكان الخامس يتبقى له خياران فقط.

المكان السادس والأخير يتبقى له خيار واحد أخير.

إجمالي الطرق الممكنة هو حاصل الضرب المتتالي لهذه الخيارات:

$٧٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥ \times ٦$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التطبيق المباشر للمضروب الرياضي

بما أن هند ترغب في ترتيب ٦ عناصر مختلفة في ٦ أماكن متاحة دون أي قيود أخرى، فإن الحل الرياضي المباشر هو حساب مضروب العدد ٦.

القانون الرياضي: الترتيب الشامل لعدد (ن) يساوي مضروب (ن).

بالتعويض عن قيمة (ن) بالعدد ٦.

نقوم بفك المضروب بضرب الأعداد تنازلياً حتى نصل إلى الواحد.

$٧٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥ \times ٦$

تكنيك ١: استخدام قانون الاحتمال الأساسي

المفهوم الرياضي: الاحتمال يساوي عدد نواتج الحدث مقسوماً على العدد الكلي للنواتج في فضاء العينة.

$\frac{ن}{ف} = ح$

حيث (ح) الاحتمال، (ن) عدد نواتج الحدث، (ف) عدد عناصر فضاء العينة.

نحدد العدد الكلي للبطاقات، وهو الأعداد من ١ إلى ١٠.

$١٠ = ف$

نحدد البطاقات التي تحمل أرقاماً تقبل القسمة على ٣ من بين هذه الأعداد.

الأعداد هي: $٩ , ٦ , ٣$

نعد هذه النواتج لنجد أن عددها ثلاثة.

$٣ = ن$

نعوض في القانون لإيجاد الاحتمال المطلوب.

$\frac{٣}{١٠} = ح$

تكنيك ٢: الاستبعاد المنطقي

المفهوم الرياضي: إيجاد نسبة الأعداد التي تحقق الشرط من إجمالي الأعداد بالتدرج.

من ١ إلى ١٠ يوجد عشرة أرقام.

الأعداد التي لا تقبل القسمة على ٣ هي: $١٠ , ٨ , ٧ , ٥ , ٤ , ٢ , ١$

عددها سبعة أرقام.

إذن الأعداد المتبقية التي تقبل القسمة على ٣ عددها ثلاثة.

الاحتمال هو نسبة المتبقي إلى المجموع الكلي.

$\frac{٣}{١٠}$

تكنيك ١: إيجاد المدى الحالي وتجربة الخيارات.

المفهوم الرياضي: المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في البيانات. يتغير المدى فقط إذا أضفنا قيمة أكبر من القيمة العظمى الحالية أو أصغر من القيمة الصغرى الحالية.

نبحث في الجدول المعطى لاستخراج أكبر عمر وأصغر عمر للطلاب.

أكبر قيمة مسجلة في الجدول هي ١٦.

أصغر قيمة مسجلة في الجدول هي ٩.

المدى الحالي هو ناتج طرح القيمة الصغرى من القيمة الكبرى.

$٧ = ٩ – ١٦$

ننظر إلى الخيارات للبحث عن عدد يكسر هذا النطاق (أي يكون أكبر من ١٦ أو أصغر من ٩).

العدد ٨ هو الخيار الوحيد الأصغر من ٩، وبإضافته سيصبح هو القيمة الصغرى الجديدة.

سيتغير المدى ليصبح ٨ بناءً على العملية التالية.

$٨ = ٨ – ١٦$

تكنيك ١: مبدأ العد الأساسي والتباديل

المفهوم الرياضي: حساب عدد الترتيبات الممكنة لسحب الكرات جميعها.

عدد الكرات الكلي هو ٣.

عدد الطرق لترتيب سحبها هو مضروب ٣:

$٦ = ١ \times ٢ \times ٣$

النواتج الممكنة هي: (١، ٢، ٣)، (١، ٣، ٢)، (٢، ١، ٣)، (٢، ٣، ١)، (٣، ١، ٢)، (٣، ٢، ١).

الترتيب المطلوب (١ ثم ٢ ثم ٣) هو ناتج واحد فقط من هذه النواتج الستة.

الاحتمال هو الترتيب المطلوب على كل الترتيبات:

$\frac{١}{٦}$

تكنيك ٢: الاحتمالات المتتالية (المستقلة)

المفهوم الرياضي: ضرب احتمالات السحب في كل مرحلة بدون إرجاع.

احتمال سحب الكرة رقم (١) في السحبة الأولى (كرة واحدة من أصل ٣):

$\frac{١}{٣}$

يتبقى كرتان. احتمال سحب الكرة رقم (٢) في السحبة الثانية:

$\frac{١}{٢}$

تتبقى كرة واحدة. احتمال سحب الكرة رقم (٣) في السحبة الأخيرة:

$١$

الاحتمال الكلي هو حاصل ضرب الاحتمالات المتتالية:

$\frac{١}{٦} = ١ \times \frac{١}{٢} \times \frac{١}{٣}$

تكنيك ١: قانون المدى جبرياً.

المفهوم الرياضي: المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.

نفرض أن الأعداد الثلاثة المتتالية هي متغيرات جبرية.

العدد الأول (الأصغر): $س$

العدد الأخير (الأكبر): $٢ + س$

نطرح العدد الأصغر من العدد الأكبر.

$٢ = س – (٢ + س)$

تكنيك ٢: التعويض بأرقام افتراضية.

نفرض ثلاثة أعداد صحيحة متتالية، مثل ١، ٢، ٣.

أصغرها هو الرقم ١ وأكبرها هو الرقم ٣.

المدى يساوي عملية الطرح بينهما.

$٢ = ١ – ٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مضروب العدد لتوزيع العناصر في مساحات متساوية.

قانون المضروب:

$!ن$

حيث (ن) هو عدد الأصدقاء.

التعويض بثلاثة أصدقاء (ن تساوي ٣):

$٦ = ١ \times ٢ \times ٣$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي للخيارات المتناقصة بدون إرجاع.

الكرسي الأول يمكن أن يجلس عليه أي من الأصدقاء الثلاثة (٣ احتمالات).

الكرسي الثاني يتبقى له صديقان (٢ احتمال).

الكرسي الثالث يتبقى له صديق واحد (١ احتمال).

حاصل ضرب الخيارات المتاحة:

$٦ = ١ \times ٢ \times ٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الاحتمالات الممكنة لحدث واحد مستقل

السؤال هنا يسأل عن عدد الطرق لفتح صندوق واحد فقط باستخدام المفاتيح المتاحة.

بما أن لدينا ٥ مفاتيح، ولا نعرف بشكل مسبق أي منها هو الذي يفتح هذا الصندوق المحدد.

فإننا سنقوم بتجربة كل مفتاح من المفاتيح المتاحة على حدة.

وبالتالي، عدد المحاولات أو الطرق الممكنة يساوي تماماً عدد المفاتيح المتاحة لدينا.

العدد الإجمالي للطرق هو ٥ طرق.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: اختيار عنصر واحد من مجموعة

يمكن صياغة المشكلة رياضياً على أنها عدد طرق اختيار مفتاح واحد للعمل من بين ٥ مفاتيح متاحة.

القانون: اختيار عنصر واحد من مجموعة عددها (ن) يساوي (ن) من الطرق.

بالتعويض عن (ن) بالعدد ٥.

نجد أن عدد الطرق يساوي ٥ طرق مباشرة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد للاختيارات المشروطة بدون تكرار.

عدد الأرقام المعطاة في السؤال هو ٥ أرقام.

اختيار الرقم الأول لخانة الآحاد له ٥ طرق ممكنة.

اختيار الرقم الثاني لخانة العشرات له ٤ طرق فقط لاستبعاد الرقم المستخدم في خانة الآحاد.

عدد الطرق الكلي ينتج من ضرب الاحتمالات المتاحة لكل خانة:

$٢٠ = ٤ \times ٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التباديل باختيار عنصرين من أصل مجموعة تحتوي خمسة عناصر.

الاحتمال الأول يكون كامل الخيارات متاحا.

الاحتمال الثاني يقل بمقدار خيار واحد بسبب شرط عدم التكرار.

التعويض لحساب الاحتمالات الممكنة:

$٢٠ = ٤ \times ٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي مع شرط عدم التكرار

لدينا مجموعة تتكون من ٥ أرقام فردية وهي (١، ٣، ٥، ٧، ٩).

نريد تكوين رقم سري يتكون من ٣ خانات: الخانة الأولى، الخانة الثانية، والخانة الثالثة.

طرق اختيار الرقم للخانة الأولى تساوي ٥ خيارات (أي رقم من الأرقام الخمسة المتاحة).

طرق اختيار الرقم للخانة الثانية تساوي ٤ خيارات (لأن شرط السؤال يمنع تكرار الرقم الذي اخترناه أولاً).

طرق اختيار الرقم للخانة الثالثة تساوي ٣ خيارات (حيث استبعدنا الرقمين اللذين تم استخدامهما).

إجمالي عدد الطرق حسب مبدأ العد الأساسي هو حاصل ضرب هذه الخيارات الممكنة:

$٦٠ = ٣ \times ٤ \times ٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التباديل الجزئية

بما أن الترتيب هنا مهم جداً (لأنه رقم سري وتغير الترتيب يغير الرقم) ولا يوجد تكرار، فإننا نستخدم التباديل.

القانون ينص على ترتيب عدد (ر) من العناصر من بين إجمالي (ن) من العناصر.

حيث (ن) تمثل إجمالي الأرقام المتاحة وهي ٥، و (ر) تمثل عدد الخانات المطلوبة وهي ٣.

الحل الرياضي بالتباديل يتمثل في إيجاد حاصل ضرب ٣ أعداد متتالية تنازلياً بدءاً من العدد ٥.

$٦٠ = ٣ \times ٤ \times ٥$

تكنيك ١: استخدام قانون الاحتمال

المفهوم الرياضي: إيجاد فضاء العينة وتحديد العناصر التي تمثل الأعداد الأولية، ثم حساب الاحتمال.

$\frac{ن}{ف} = ح$

حيث (ح) الاحتمال، (ن) عدد نواتج الحدث، (ف) عدد عناصر فضاء العينة.

العدد الكلي للقطاعات المرقمة هو ١٢.

$١٢ = ف$

نحدد الأعداد الأولية الموجودة في النطاق من ١ إلى ١٢.

العدد الأولي هو العدد الذي يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط (أكبر من ١).

الأعداد هي: $١١ , ٧ , ٥ , ٣ , ٢$

عدد هذه الأعداد الأولية هو خمسة.

$٥ = ن$

نعوض في قانون الاحتمال.

$\frac{٥}{١٢} = ح$

تكنيك ٢: الحصر المباشر

المفهوم الرياضي: كتابة جميع الاحتمالات الممكنة وحصر المطابق للشرط.

الاحتمالات الكلية: $١٢ , ١١ , ١٠ , ٩ , ٨ , ٧ , ٦ , ٥ , ٤ , ٣ , ٢ , ١$

نستبعد الأعداد غير الأولية: $١$ (ليس أولياً)، والأعداد الزوجية باستثناء $٢$ ($١٢ , ١٠ , ٨ , ٦ , ٤$)، والأعداد التي لها قواسم أخرى ($٩$).

يتبقى لدينا الأعداد الأولية: $١١ , ٧ , ٥ , ٣ , ٢$

عددها ٥ من أصل ١٢ قطاعاً.

الاحتمال هو النسبة المئوية أو الكسر الممثل لها.

$\frac{٥}{١٢}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التباديل لاختيار مجموعة فرعية مع أهمية الترتيب

في عملية التقاط الصور الفوتوغرافية، الترتيب يهم بشدة لأن تغيير أماكن وقوف الأشخاص ينتج عنه صورة مختلفة تماماً.

لدينا إجمالي ٦ أشخاص، ونرغب في اختيار ٤ أشخاص منهم لترتيبهم في ٤ أماكن محددة لتكوين صف واحد.

المكان الأول في إطار الصورة يمكن أن يقف فيه أي فرد من الأفراد الـ ٦ المتاحين.

المكان الثاني في إطار الصورة يمكن أن يقف فيه أي فرد من الـ ٥ أفراد المتبقين.

المكان الثالث في الصورة يمكن أن يقف فيه أي فرد من الـ ٤ أفراد المتبقين.

المكان الرابع والأخير في الصورة يمكن أن يقف فيه أي فرد من الـ ٣ أفراد المتبقين.

إجمالي عدد الصور أو الطرق الممكنة هو حاصل ضرب هذه الخيارات المتاحة لكل مكان:

$٣٦٠ = ٣ \times ٤ \times ٥ \times ٦$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: قانون التباديل المباشر للعينات

نلجأ إلى استخدام قانون التباديل نظراً لأن ترتيب العناصر يمثل فرقاً جوهرياً ولا يمكن تكرار نفس الشخص في الصورة الواحدة.

القانون: اختيار وترتيب عدد (ر) من العناصر من إجمالي عدد (ن).

حيث قيمة (ن) تمثل العدد الإجمالي وهو ٦، وقيمة (ر) تمثل العدد المطلوب اختياره للتصوير وهو ٤.

رياضياً، نقوم بضرب ٤ أعداد صحيحة متتالية تنازلياً على أن يكون العدد ٦ هو نقطة البداية.

$٣٦٠ = ٣ \times ٤ \times ٥ \times ٦$

تكنيك ١: فضاء العينة لرمي حجر النرد.

المفهوم الرياضي: حساب إجمالي النواتج الممكنة ثم تحديد نواتج الحدث المطلوب للوصول للاحتمال.

عند رمي حجر نرد مرتين، فإن إجمالي النواتج هو حاصل ضرب أوجه الحجرين.

$٣٦ = ٦ \times ٦$

الحدث المطلوب هو أن يكون مجموع العددين الظاهرين يساوي اثني عشر.

الحالة الوحيدة لتحقيق ذلك هي ظهور العدد ستة في كلتا الرميتين.

عدد نواتج الحدث المطلوب هو ١.

الاحتمال هو نسبة نواتج الحدث إلى فضاء العينة الإجمالي.

الاحتمال: $\frac{١}{٣٦}$

تكنيك ١: قانون الاحتمالات للحوادث المستقلة وغير المستقلة (السحب بدون إرجاع)

المفهوم الرياضي: احتمال وقوع حدثين معاً هو حاصل ضرب احتمال الحدث الأول في احتمال الحدث الثاني بعد تغير فضاء العينة.

عدد الطلاب الكلي هو $١٨$، وعدد الطلاب الذين اسمهم محمد هو $٤$.

احتمال اختيار الطالب الأول واسمه محمد = $\frac{٤}{١٨}$

بعد اختيار الطالب الأول، يتبقى في الفصل $١٧$ طالباً، ويتبقى $٣$ طلاب اسمهم محمد.

احتمال اختيار الطالب الثاني واسمه محمد = $\frac{٣}{١٧}$

الاحتمال الكلي لاختيار طالبين اسمهما محمد = $\frac{٤}{١٨} \times \frac{٣}{١٧}$

بتبسيط الكسر الأول: $\frac{٢}{٩} = \frac{٤}{١٨}$

بضرب الكسور: $\frac{٦}{١٥٣} = \frac{٢}{٩} \times \frac{٣}{١٧}$

بتبسيط الناتج النهائي بقسمة البسط والمقام على $٣$ نحصل على $\frac{٢}{٥١}$

تكنيك ٢: التوافيق

عدد طرق اختيار طالبين من بين $٤$ طلاب اسمهم محمد = توافيق $٢$ من $٤$

القانون: $٦ = \frac{٣ \times ٤}{١ \times ٢} = ٢ق٤$

عدد طرق اختيار طالبين من بين $١٨$ طالباً = توافيق $٢$ من $١٨$

$١٥٣ = \frac{١٧ \times ١٨}{١ \times ٢} = ٢ق١٨$

الاحتمال = عدد نواتج الحدث قسمة عدد النواتج الممكنة

الاحتمال = $\frac{٦}{١٥٣}$

بالتبسيط بقسمة البسط والمقام على $٣$ نجد أن الناتج يساوي $\frac{٢}{٥١}$

تكنيك ١: استخدام قانون الوسيط للمتتابعات الحسابية.

المفهوم الرياضي: في المتتابعة الحسابية، الوسيط يساوي المتوسط الحسابي للحد الأول والحد الأخير.

العدد الفردي الأول هو ١.

العدد الفردي العاشر هو ١٩.

نجمع الحدين ونقسم على اثنين.

$١٠ = \frac{٢٠}{٢}$

حيث إن $٢٠ = ١٩ + ١$.

تكنيك ٢: إيجاد المتوسط للحدين الأوسطين.

بما أن عدد الحدود زوجي، فالوسيط هو متوسط الحدين الخامس والسادس.

الحد الخامس هو ٩ والحد السادس هو ١١.

$١٠ = \frac{١١ + ٩}{٢}$

تكنيك ١: مجموع النسب يساوي الواحد الصحيح

المفهوم الرياضي: مجموع احتمالات أو نسب كل العناصر في فضاء عينة مغلق يجب أن يساوي ١.

المعادلة الأساسية:

$١ = \frac{١}{١٠} + \frac{س}{١٠} + \frac{٣}{٥}$

نوحد مقامات الكسر الأول بضربه بسطاً ومقاماً في ٢:

$\frac{٦}{١٠} = \frac{٣}{٥}$

نعيد كتابة المعادلة:

$١ = \frac{١}{١٠} + \frac{س}{١٠} + \frac{٦}{١٠}$

نجمع البسوط لأن المقامات موحدة:

$١ = \frac{١ + س + ٦}{١٠}$

$١ = \frac{٧ + س}{١٠}$

نضرب الطرفين في ١٠:

$١٠ = ٧ + س$

نطرح ٧ من الطرفين:

$٣ = س$

تكنيك ٢: المكملة الكسرية

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المتبقية بعد طرح النسب المعلومة.

نسبة الكرات الحمراء والصفراء معاً:

$\frac{٧}{١٠} = \frac{١}{١٠} + \frac{٦}{١٠} = \frac{١}{١٠} + \frac{٣}{٥}$

النسبة المكملة التي تمثل الكرات السوداء هي:

$\frac{٣}{١٠} = \frac{٧}{١٠} – ١$

بمساواة المكملة بالقيمة المعطاة للسوداء:

$\frac{س}{١٠} = \frac{٣}{١٠}$

بما أن المقامات متساوية، إذن البسوط متساوية:

$٣ = س$

تكنيك ١: حساب المتوسط والوسيط بعد الحذف

المفهوم الرياضي: الوسيط هو القيمة الوسطى بعد الترتيب، والمتوسط هو مجموع القيم مقسوماً على عددها.

الدرجات الأصلية هي: $٩٠ , ٨٥ , ٨٥ , ٧٠$

نحذف الدرجة الأدنى وهي $٧٠$، فتصبح الدرجات: $٩٠ , ٨٥ , ٨٥$

القانون: المتوسط الحسابي = المجموع قسمة العدد

المتوسط الحسابي = $\frac{٢٦٠}{٣} = \frac{٩٠ + ٨٥ + ٨٥}{٣}$

الناتج يساوي تقريباً $٨٦,٦٦$

الوسيط للدرجات بعد الترتيب هو العدد في المنتصف، وهو $٨٥$.

بالمقارنة نجد أن $٨٥ < ٨٦,٦٦$، إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي بدون حساب دقيق

الدرجات المتبقية هي: $٩٠ , ٨٥ , ٨٥$

الوسيط واضح مباشرة بمجرد النظر وهو $٨٥$.

بما أن الدرجة الثالثة ($٩٠$) أعلى من الدرجتين الأخريين، فإنها ستسحب المتوسط الحسابي ليكون أعلى من $٨٥$.

إذا كانت جميع الدرجات $٨٥$ سيكون المتوسط $٨٥$، لكن وجود $٩٠$ يرفع المتوسط.

بالتالي المتوسط الحسابي أكبر من الوسيط قطعاً.

تكنيك ١: تحديد فضاء العينة وعدد النواتج المطلوبة.

المفهوم الرياضي: الاحتمال هو نسبة عدد الحالات التي تحقق الشرط المطلوب إلى العدد الكلي للحالات الممكنة.

إجمالي عدد البطاقات داخل الصندوق يمثل فضاء العينة وهو ١٩ بطاقة.

الأعداد الزوجية المحصورة بين ١ و ١٩ هي: ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ١٢، ١٤، ١٦، ١٨.

بإحصاء هذه الأعداد، نجد أن عدد البطاقات التي تحمل عدداً زوجياً هو ٩ بطاقات.

الاحتمال المطلوب هو قسمة عدد البطاقات الزوجية على العدد الإجمالي للبطاقات.

الاحتمال: $\frac{٩}{١٩}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي أو التباديل (مضروب العدد).

قانون مضروب العدد:

$!ن$

حيث أن (ن) تمثل عدد الكتب.

التعويض لحساب عدد الطرق الممكنة:

$٢٤ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: توزيع الاحتمالات على الأماكن المتاحة.

المكان الأول على الرف يمتلك ٤ احتمالات.

المكان الثاني يمتلك ٣ احتمالات لتجنب التكرار.

المكان الثالث يمتلك احتمالين.

المكان الرابع يمتلك احتمالا واحدا.

بضرب الاحتمالات نحصل على الإجمالي:

$٢٤ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤$

تكنيك ١: التحليل المنطقي والتعويض بأصغر القيم الممكنة

المفهوم الرياضي: المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً، ولدينا ثلاثة أعداد صحيحة موجبة.

بما أن المنوال هو $٦$، فهذا يعني أن العدد $٦$ يجب أن يتكرر مرتين على الأقل من بين الأعداد الثلاثة.

العدد الثالث يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً، وأصغر عدد صحيح موجب هو $١$.

القانون: المتوسط الحسابي = المجموع قسمة العدد

أصغر متوسط حسابي ممكن = $\frac{١٣}{٣} = \frac{١ + ٦ + ٦}{٣}$

بما أن $\frac{١٣}{٣}$ تساوي تقريباً $٤,٣٣$، فإن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية دائماً.

تكنيك ٢: استخدام المتباينات

بفرض أن الأعداد هي $٦ , ٦ , س$ حيث $س$ عدد صحيح موجب (أي $١ \le س$).

المتوسط الحسابي = $\frac{١٢ + س}{٣} = \frac{٦ + ٦ + س}{٣}$

بما أن $١ \le س$، فإن $١٣ \le ١٢ + س$

بالقسمة على $٣$ نجد أن $\frac{١٣}{٣} \le \frac{١٢ + س}{٣}$

إذن المتوسط الحسابي أكبر قطعاً من $٤$، وبالتالي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد للحوادث المترابطة بدون إرجاع.

عدد حروف كلمة (الوطن) الأصلي هو ٥ حروف.

الحرف الأول عند اختياره يمتلك ٥ خيارات.

الحرف الثاني يمتلك ٤ خيارات متوفرة.

الحرف الثالث يمتلك ٣ خيارات متوفرة.

الحرف الرابع يمتلك خيارين متاحين.

الحرف الخامس يمتلك خيارا واحدا متبقيا.

حاصل الضرب لإجمالي الاحتمالات:

$١٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: قانون مضروب العدد في التباديل.

يستخدم لترتيب عدد من العناصر في نفس العدد من الأماكن المتاحة.

قانون المضروب:

$!ن$

التعويض حيث أن (ن) تمثل عدد أحرف الكلمة وهو خمسة:

$١٢٠ = ١ \times ٢ \times ٣ \times ٤ \times ٥$

تكنيك ١: إيجاد فضاء العينة باستخدام المخطط الشجري

المفهوم الرياضي: حصر جميع النواتج الممكنة لتجربة مركبة وإيجاد الاحتمال.

عند رمي العملة في المرة الأولى، النواتج هي: (شعار) أو (كتابة).

عند رميها في المرة الثانية، تتفرع النواتج مجدداً.

فضاء العينة (ف) هو: (شعار، شعار)، (شعار، كتابة)، (كتابة، شعار)، (كتابة، كتابة).

العدد الكلي لفضاء العينة:

$٤ = ف$

نبحث عن الحدث المطلوب: ظهور الشعار مرة واحدة فقط.

النواتج التي تحقق ذلك هي: (شعار، كتابة) و (كتابة، شعار).

عدد نواتج الحدث:

$٢ = ن$

نحسب الاحتمال (ح) بقسمة عدد نواتج الحدث على العدد الكلي.

$\frac{٢}{٤} = ح$

نقوم بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على ٢.

$\frac{١}{٢}$

تكنيك ٢: استخدام مبدأ العد الأساسي والاحتمالات المستقلة

المفهوم الرياضي: حساب احتمال كل مسار يحقق الحدث وجمع الاحتمالات المتنافية.

الحالة الأولى: ظهور شعار في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية.

احتمال هذه الحالة يساوي احتمال الشعار ضرب احتمال الكتابة.

$\frac{١}{٤} = \frac{١}{٢} \times \frac{١}{٢}$

الحالة الثانية: ظهور كتابة في الرمية الأولى وشعار في الرمية الثانية.

احتمال هذه الحالة يساوي احتمال الكتابة ضرب احتمال الشعار.

$\frac{١}{٤} = \frac{١}{٢} \times \frac{١}{٢}$

بما أن الحالتين متنافيتان، نجمع الاحتمالين.

$\frac{٢}{٤} = \frac{١}{٤} + \frac{١}{٤}$

بالتبسيط نحصل على الناتج النهائي.

$\frac{١}{٢}$

تكنيك ١: الترتيب التصاعدي وتحديد الوسيط.

المفهوم الرياضي: الوسيط لمجموعة تتكون من خمس قيم مرتبة هو القيمة الثالثة (التي تقع في المنتصف).

بما أن السؤال يشترط أن تكون ن أكبر من ١، فإن القيمة ${}^ن٥$ ستكون حتماً أكبر من أو تساوي ${}^٢٥$.

نرتب القيم تصاعدياً بافتراض أن ن أكبر من ٢ لمعرفة الترتيب المنطقي للأسس.

$٥$، ثم ${}^٢٥$، ثم ${}^ن٥$، ثم ${}^{١+ن}٥$، ثم ${}^{٢+ن}٥$

الوسيط هو القيمة الثالثة في الترتيب، وهي ${}^ن٥$.

نساوي الوسيط المجهول بالوسيط المعطى في نص السؤال (١٢٥).

$١٢٥ = {}^ن٥$

نحلل العدد ١٢٥ إلى عوامله الأولية لتوحيد الأساسات في المعادلة.

${}^٣٥ = ٥ \times ٥ \times ٥ = ١٢٥$

بما أن الأساسات تساوت (كلاهما ٥)، فإن الأسس تتساوى بالضرورة.

$٣ = ن$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب مقياس المدى لمجموعة من البيانات العددية

المدى يعتبر من أبسط مقاييس التشتت في علم الإحصاء، ويُعرّف بأنه الفرق الحسابي المباشر بين أكبر قيمة وأصغر قيمة ضمن مجموعة البيانات المعطاة.

القانون الرياضي: المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة

الخطوة الأولى هي البحث بتمعن في الجدول المعطى أو مجموعة البيانات المسرودة لاستخراج أكبر عمر للطلاب.

بعد الفحص، نجد أن أكبر قيمة عمرية في المجموعة هي العدد ١٦.

الخطوة الثانية هي البحث لاستخراج أصغر عمر للطلاب في نفس المجموعة.

نجد أن أصغر قيمة عمرية موجودة هي العدد ١١.

الخطوة الأخيرة هي التعويض بهذه القيم في قانون المدى وإجراء عملية الطرح الرياضية البسيطة.

$٥ = ١١ – ١٦$

إذن، المدى لهذه المجموعة من الأعمار هو ٥.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الترتيب التسلسلي وتحديد القيم المتطرفة (الأطراف)

لضمان تحديد المدى بدقة متناهية ودون تفويت أي قيمة وسطية أو طرفية، يمكننا كخطوة مبدئية ترتيب جميع الأعمار المعطاة ترتيباً تصاعدياً.

بعد إجراء عملية الترتيب من الأصغر إلى الأكبر، نلاحظ بوضوح أن سلسلة الأعمار تبدأ من العدد ١١ كحد أدنى وتنتهي عند العدد ١٦ كحد أعلى.

المدى يمثل المسافة العددية الإجمالية بين طرفي هذه البيانات المرتبة.

لحساب هذه المسافة، نقوم بإيجاد الفرق بين الطرف الأعلى والطرف الأدنى للسلسلة.

$٥ = ١١ – ١٦$

النتيجة النهائية للمدى هي العدد ٥.

تكنيك ١: حصر النواتج

المفهوم الرياضي: الاحتمال هو نسبة النواتج الناجحة إلى كل النواتج.

فضاء العينة لرمي حجري نرد:

$٣٦ = ٦ \times ٦$

نواتج ظهور نفس العدد (تطابق الوجهين): (١، ١)، (٢، ٢)، (٣، ٣)، (٤، ٤)، (٥، ٥)، (٦، ٦).

عدد نواتج التطابق هو ٦.

حساب الاحتمال بالتبسيط:

$\frac{١}{٦} = \frac{٦}{٣٦}$

تكنيك ٢: الاحتمال المستقل

المفهوم الرياضي: الرمية الأولى ليس لها قيد، الرمية الثانية يجب أن تطابق الأولى.

احتمال أي عدد في الرمية الأولى هو:

$١ = \frac{٦}{٦}$

احتمال ظهور نفس العدد في الرمية الثانية هو:

$\frac{١}{٦}$

الاحتمال الكلي هو حاصل الضرب:

$\frac{١}{٦} = \frac{١}{٦} \times ١$

تكنيك ١: تكوين القيم القصوى وإيجاد الفرق.

المفهوم الرياضي: لتكوين أكبر عدد نضع الأرقام ترتيباً تنازلياً من اليسار، ولتكوين أصغر عدد نضعها تصاعدياً من اليسار، ثم نطرحهما.

لتكوين أكبر عدد ممكن، نضع أكبر رقم متاح (٤) في أعلى قيمة مكانية وهي خانة الآلاف، ثم نتدرج تنازلياً.

أكبر عدد هو: $٤٣٢١$

لتكوين أصغر عدد ممكن، نضع أصغر رقم متاح (١) في خانة الآلاف، ثم نتدرج تصاعدياً.

أصغر عدد هو: $١٢٣٤$

نوجد الفرق بين العددين باستخدام عملية الطرح.

$٣٠٨٧ = ١٢٣٤ – ٤٣٢١$

تكنيك ١: مبدأ العد والمكملة.

المفهوم الرياضي: إيجاد إجمالي الطرق ثم طرح الطرق التي تقبل القسمة على خمسة.

إجمالي الطرق لتكوين عدد من أربع خانات دون تكرار هو مضروب الأربعة.

$٢٤ = ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١$

العدد يقبل القسمة على خمسة إذا كان آحاده خمسة، ولدينا رقم واحد فقط يمثل الخمسة.

عدد الخيارات للآحاد هو ١، وللخانات المتبقية نضرب مضروب الثلاثة.

$٦ = ١ \times (٣ \times ٢ \times ١)$

عدد الطرق المكملة التي لا تقبل القسمة على خمسة يساوي الإجمالي ناقص التي تقبل القسمة.

$١٨ = ٦ – ٢٤$

تكنيك ٢: التكوين المباشر باستخدام الآحاد.

لكي لا يقبل العدد القسمة على خمسة، يجب ألا يكون آحاده خمسة.

الخيارات المتاحة للآحاد هي ثلاثة أرقام.

يتبقى ثلاث خانات لثلاثة أرقام، وطرق ترتيبها هي مضروب الثلاثة.

$١٨ = ٦ \times ٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد المنوال من خلال حساب التكرارات الفردية

المنوال يُعرّف في الإحصاء بأنه القيمة الأكثر تكراراً أو شيوعاً وظهوراً ضمن مجموعة محددة من البيانات العددية.

للوصول للحل الدقيق، نقوم بحصر وحساب عدد مرات تكرار كل عدد متواجد في السلسلة المعطاة بشكل منفصل.

نلاحظ أن العدد ٤ قد تكرر ظهوره مرتين فقط.

ونلاحظ أن العدد ٦ قد تكرر ظهوره أيضاً مرتين فقط.

بينما العدد ٧ ظهر وتكرر مرة واحدة فقط في المجموعة.

والعدد ٨ ظهر كذلك مرة واحدة فقط.

أما العدد ٥ فقد تكرر ظهوره ثلاث مرات كاملة في نفس السلسلة.

بما أن العدد ٥ هو صاحب أعلى رقم في التكرارات مقارنة بباقي الأعداد، فهو يمثل المنوال.

إذن، نستنتج أن المنوال لهذه السلسلة يساوي ٥.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التحليل البصري السريع والمقارنة التكرارية للبيانات

لتبسيط عملية استخراج المنوال دون الحاجة لجداول، يمكننا إجراء فحص بصري سريع ووضع خطوط مميزة تحت الأرقام المتشابهة لتحديد الكثافة.

بمراجعة السلسلة، نلاحظ فوراً أن أغلب الأرقام المكونة لها إما أن تظهر مرة واحدة مفردة أو تتكرر مرتين كحد أقصى للظهور.

بينما يلفت الرقم ٥ الانتباه بظهوره المتكرر والمتتالي بشكل ملحوظ يفوق باقي عناصر السلسلة.

القاعدة تنص على أن القيمة التي تستحوذ على أكبر كثافة تكرارية مرئية هي التي تمثل المنوال.

بناءً على هذه الملاحظة البصرية الدقيقة، نجد أن الرقم ٥ هو العنصر الأكثر بروزاً وتكراراً، وبالتالي هو المنوال المؤكد.

تكنيك ١: التباديل ومبدأ العد.

المفهوم الرياضي: نوجد عدد طرق ترتيب المفاتيح، ثم نضرب الناتج في الخيارات المتاحة للرموز داخل كل مفتاح.

لدينا ثلاثة مفاتيح مختلفة، عدد طرق ترتيب الضغط عليها لتكوين كلمة السر هو مضروب الثلاثة.

$٦ = ١ \times ٢ \times ٣$

كل مفتاح من المفاتيح الثلاثة يحتوي على رمزين، فعند الضغط عليه يعطينا خيارين.

بما أننا سنضغط ثلاثة مفاتيح، فعدد خيارات الرموز الناتجة هو اثنان مضروبة في نفسها ثلاث مرات.

$٨ = ٢ \times ٢ \times ٢$

إجمالي عدد الكلمات هو حاصل ضرب طرق ترتيب المفاتيح في طرق اختيار الرموز.

$٤٨ = ٨ \times ٦$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد الأساسي مع شرط عدم التكرار.

طرق الدخول تساوي عدد الأبواب الكلي وهو ١٠ طرق.

طرق الخروج هي ٩ طرق لأن العامل سيخرج من باب مختلف عن باب الدخول.

إجمالي الطرق يساوي طرق الدخول مضروبة في طرق الخروج:

$٩٠ = ٩ \times ١٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: اختيار حدثين متتاليين بدون إرجاع.

الاحتمال الأول (الدخول) له ١٠ خيارات.

الاحتمال الثاني (الخروج) ينقص خيارا واحدا ليصبح ٩ خيارات.

التعويض المباشر بضرب الاحتمالين:

$٩٠ = ٩ \times ١٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مبدأ العد مع السماح بتكرار العناصر.

عدد الأرقام المتاحة لتكوين العدد هو ٥ أرقام.

عدد احتمالات اختيار رقم خانة الآحاد هو ٥ احتمالات.

عدد احتمالات اختيار رقم خانة العشرات هو ٥ احتمالات لعدم وجود قيد يمنع التكرار.

عدد الطرق الإجمالي يحسب بضرب الاحتمالات:

$٢٥ = ٥ \times ٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: القوة المرفوعة لعدد الخيارات المتاحة في عدة خانات.

لدينا خانتان وكل خانة تقبل ٥ خيارات بشكل مستقل تماما.

يمكن التعبير عنها بالصيغة الأسية:

$٢٥ = {}^{٢}٥$

الناتج النهائي سيكون حاصل الضرب المباشر للخيارات المتاحة:

$٢٥ = ٥ \times ٥$

تكنيك ١: المعادلات الجبرية

المفهوم الرياضي: حساب العدد الفعلي للكرات ثم صياغة معادلة للإضافة.

عدد الكرات الحمراء في البداية:

$٤ = ١٠ \times \frac{٢}{٥}$

إذن يوجد ٤ كرات حمراء و ٦ كرات سوداء.

نفرض أن عدد الكرات الحمراء المضافة هو (ص).

العدد الجديد للكرات الحمراء: $ص + ٤$

العدد الكلي الجديد: $ص + ١٠$

النسبة الجديدة المطلوبة هي النصف:

$\frac{١}{٢} = \frac{ص + ٤}{ص + ١٠}$

نضرب مقص:

$ص + ١٠ = (ص + ٤) \times ٢$

$ص + ١٠ = ص٢ + ٨$

نطرح (ص) من الطرفين ونطرح ٨ من الطرفين:

$٢ = ص$

إذن يجب إضافة كرتين.

تكنيك ٢: تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: إضافة العدد من الخيارات إلى البسط والمقام والتحقق من النسبة.

العدد الأصلي: الحمراء ٤، الكلي ١٠.

نجرب الخيار الأول (إضافة ١):

الحمراء = ٥، الكلي = ١١. النسبة $\frac{٥}{١١}$ لا تساوي $\frac{١}{٢}$.

نجرب الخيار الثاني (إضافة ٢):

الحمراء = ٦، الكلي = ١٢. النسبة $\frac{٦}{١٢}$ تساوي $\frac{١}{٢}$.

الشرط متحقق، إذن الحل صحيح.