اختبار : استراتيجيات التعويض والحل الذكي

تكنيك ١: التجريب

المفهوم الرياضي: تجريب القيم للبحث عن العدد الذي يحقق الشرط.

نجرب العدد $٨١$

جذر $٨١$ هو $٩$

الفرق = $٧٢ = ٩ – ٨١$

إذن الإجابة هي $٨١$

تكنيك ٢: تكوين معادلة

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة رياضية وحلها ذهنيا.

نفرض أن العدد هو س

$٧٢ = \sqrt{س} – س$

بالتعويض عن س بقيمة $٨١$ نجد أنها تحقق المعادلة.

تكنيك ١ (تجريب الخيارات المنهجي):

المفهوم الرياضي: التعويض عن المتغير (س) بقيم الخيارات المعطاة لإيجاد القيمة العددية للمقدار، ثم اختبار قابليتها للقسمة على ٧ بدون باقٍ.

العبارة المعطاة: $١٣ – س٨$

نجرب الخيار الأول (٢):

التعويض: $٣ = ١٣ – ١٦ = ١٣ – (٢ \times ٨)$

العدد ٣ لا يقبل القسمة على ٧، إذن الخيار خاطئ.

نجرب الخيار الثاني (٣):

التعويض: $١١ = ١٣ – ٢٤ = ١٣ – (٣ \times ٨)$

العدد ١١ لا يقبل القسمة على ٧، إذن الخيار خاطئ.

نجرب الخيار الثالث (٤):

التعويض: $١٩ = ١٣ – ٣٢ = ١٣ – (٤ \times ٨)$

العدد ١٩ لا يقبل القسمة على ٧، إذن الخيار خاطئ.

نجرب الخيار الرابع (٦):

التعويض: $٣٥ = ١٣ – ٤٨ = ١٣ – (٦ \times ٨)$

العدد ٣٥ يقبل القسمة على ٧ (لأن $٥ = \frac{٣٥}{٧}$ بدون باقٍ)، إذن الخيار صحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التتبع المنطقي للمعطيات الحسابية المرتبطة وإيجاد المجاهيل تباعاً.

نبدأ بقيمة المبلغ المعلومة وهي التي مع خالد وتساوي ألفين ومائة ريال.

المبلغ الذي مع أحمد يقل عن مبلغ خالد بمقدار خمسمائة ريال.

نوجد مبلغ أحمد بعملية الطرح المباشر:

$١٦٠٠ = ٥٠٠ – ٢١٠٠$

المبلغ الذي مع يوسف يزيد عن مبلغ أحمد بمقدار ثلاثمائة ريال.

نوجد مبلغ يوسف بعملية الجمع المباشر:

$١٩٠٠ = ٣٠٠ + ١٦٠٠$

إذن، المبلغ الذي يملكه يوسف هو ألف وتسعمائة ريال.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الاستعاضة الجبرية المتسلسلة لتقليل الخطوات.

نصيغ العبارات في متتالية رياضية واحدة تعتمد على التعويض.

مبلغ يوسف = مبلغ أحمد + ثلاثمائة

مبلغ يوسف = (مبلغ خالد – خمسمائة) + ثلاثمائة

نعوض بقيمة مبلغ خالد المعطاة في السؤال:

$١٩٠٠ = ٣٠٠ + (٥٠٠ – ٢١٠٠)$

يتم إيجاد ناتج القوس أولاً ليصبح ألفاً وستمائة، ثم نضيف ثلاثمائة لنصل للناتج ألف وتسعمائة.

تكنيك ١: الحساب المباشر والتسلسلي

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة كل عنصر بناء على العلاقة التسلسلية ثم إجراء المقارنة.

سعر الحلق معطى ويساوي $٥٠٠٠$

سعر السوار يزيد بـ $٧٠٠$ عن الحلق:

السوار = $٥٠٠٠ + ٧٠٠ = ٥٧٠٠$

سعر الخاتم يزيد بـ $٩٠٠$ عن السوار:

الخاتم = $٥٧٠٠ + ٩٠٠ = ٦٦٠٠$

نحسب القيمة الأولى (ضعف سعر الخاتم):

القيمة الأولى = $٦٦٠٠ \times ٢ = ١٣٢٠٠$

نحسب القيمة الثانية ($٣$ أضعاف سعر السوار):

القيمة الثانية = $٥٧٠٠ \times ٣ = ١٧١٠٠$

نقارن بين النتيجتين:

$١٧١٠٠ > ١٣٢٠٠$

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: الترتيب المنطقي والاستنتاج

المفهوم الرياضي: ترتيب المعطيات للوصول إلى العلاقة بين القيمتين.

من المعطيات: خالد أكبر من محمد.

ومحمد أكبر من وليد.

إذن خالد أكبر من وليد.

عمر وليد أصغر من عمر علي، وهذا يعني أن علي أكبر من وليد.

لدينا الآن: خالد أكبر من وليد، وعلي أكبر من وليد.

لا توجد معلومة تربط بين عمر خالد وعمر علي بشكل مباشر لتحديد أيهما أكبر.

لذلك المعلومات غير كافية للمقارنة.

تكنيك ١: حل المعادلات الأسية

المفهوم الرياضي: مساواة المقامات بعد تحويل القيمة العددية إلى صيغة أسية.

المعادلة الأصلية:

$\frac{١}{{}^{٥}(١ – س)} = \frac{١}{٣٢٠٠٠٠٠}$

نحلل العدد $٣٢٠٠٠٠٠$ إلى عوامله:

$٣٢٠٠٠٠٠ = ٣٢ \times ١٠٠٠٠٠$

نعلم أن $٣٢$ يساوي ${}^{٥}٢$ و $١٠٠٠٠٠$ يساوي ${}^{٥}١٠$

إذن $٣٢٠٠٠٠٠$ يساوي ${}^{٥}(٢ \times ١٠)$ أي ${}^{٥}٢٠$

نعوض في المعادلة:

$\frac{١}{{}^{٥}(١ – س)} = \frac{١}{{}^{٥}٢٠}$

بما أن البسوط متساوية والأسس متساوية، إذن الأساسات متساوية:

$٢٠ = ١ – س$

بإضافة $١$ للطرفين:

$س = ٢٠ + ١$

$٢١ = س$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التخمين المنطقي واختبار الشروط.

من المعطيات، نعلم أن المتغيرين متساويان، أي أن $ص = س$.

نعلم أيضاً أن جميع المتغيرات تمثل أعداداً صحيحة موجبة، أي أنها أكبر من الصفر.

نفرض جدلاً أن القيمة الثانية أكبر من أو تساوي القيمة الأولى، ولنختبر الحالة عندما تكون $٥ = س$.

بما أن المتغيرين متساويان، سيكون المتغير الآخر قيمته $٥ = ص$ أيضاً.

نعوض في المعادلة المعطاة: $٨ = ع + ٥ + ٥$.

بتبسيط المعادلة نحصل على: $٨ = ع + ١٠$.

لإيجاد قيمة المتغير الثالث ننقل العدد بعكس الإشارة: $({٢-}) = ١٠ – ٨ = ع$.

الناتج سالب، وهذا يتناقض صراحة مع شرط أن الأعداد جميعها موجبة، مما يعني أن الافتراض خاطئ تماماً.

إذن، يستحيل أن تصل قيمة المتغير إلى العدد $٥$ أو تتجاوزه، ويجب أن تكون أقل منه حتماً.

بالتالي، القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التسلسل الحسابي للقياسات وبناء الروابط المنطقية بين الأطوال.

النقطة المرجعية لدينا هي طول سعد ويساوي مائة واثنان وأربعون سنتيمتراً.

سعد أقصر من أحمد بمقدار تسعة سنتيمترات، مما يعني بديهياً أن أحمد أطول من سعد بنفس المقدار.

نحسب طول أحمد عن طريق الجمع:

$١٥١ = ٩ + ١٤٢$

أحمد أطول من علي بمقدار ثمانية سنتيمترات، مما يعني أن علياً أقصر من أحمد بهذا المقدار.

نحسب طول علي عن طريق الطرح من طول أحمد:

$١٤٣ = ٨ – ١٥١$

إذن، طول علي هو مائة وثلاثة وأربعون سنتيمتراً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: دمج الفروق الحسابية لتسريع الحل واستنتاج علاقة مباشرة.

يمكننا إيجاد الفرق المباشر بين طول علي وطول سعد لتخطي حساب طول أحمد.

بما أن أحمد أطول من سعد بتسعة، وأطول من علي بثمانية، فهذا يعني أن علياً أطول من سعد بواحد سنتيمتر.

نجمع هذا الفرق المستنتج مع طول سعد مباشرة:

$١٤٣ = ١ + ١٤٢$

نصل للنتيجة ذاتها بخطوات أقل وبكفاءة أعلى، والجواب هو مائة وثلاثة وأربعون.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التدرج الحسابي وحل المسائل من النهاية للبداية.

المعطى الأساسي والأكيد هو عدد مدعوي أحمد ويساوي ثلاثين شخصاً.

مدعوو سعد أقل من مدعوي أحمد بمقدار ثلاثة عشر شخصاً.

نطرح لإيجاد عدد مدعوي سعد:

$١٧ = ١٣ – ٣٠$

مدعوو خالد أكبر من مدعوي سعد بمقدار سبعة عشر شخصاً.

نجمع لإيجاد عدد مدعوي خالد:

$٣٤ = ١٧ + ١٧$

عدد مدعوي خالد هو أربعة وثلاثون مدعواً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعويض المتتالي في المعادلات الخطية.

نرمز لمدعوي خالد بالرمز (خ)، ولمدعوي سعد بالرمز (س)، ولمدعوي أحمد بالرمز (أ).

المعادلة الأولى: $١٧ + س = خ$

المعادلة الثانية: $١٣ – أ = س$

لدينا قيمة (أ) تساوي ثلاثين، نعوض بها في المعادلة الثانية للحصول على (س):

$١٧ = ١٣ – ٣٠ = س$

الآن، نعوض بقيمة (س) في المعادلة الأولى للحصول على المطلوب:

$٣٤ = ١٧ + ١٧ = خ$

الناتج الصحيح هو أربعة وثلاثون.

تكنيك ١ (طريقة التعويض وتجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: استبدال المتغير المجهول في نص المسألة بالخيارات المعطاة، وتطبيق العمليات على الطرفين الأيمن (التربيع والجمع) والأيسر (الضرب)، للتحقق من وصولهما لحالة التساوي.

نبدأ بتجريب الخيار الأول وهو القيمة (صفر).

نحسب قيمة الطرف الأول (التربيع مضافاً إليه ٣): تربيع القيمة (صفر) يعطي (صفر)، وبإضافة ٣ يصبح الناتج الإجمالي للطرف الأول هو ٣.

نحسب قيمة الطرف الثاني (أربعة أمثال العدد): بضرب ٤ في (صفر)، يكون الناتج هو (صفر).

بما أن القيمتين (٣ و صفر) غير متساويتين، فهذا الخيار مرفوض.

نجرب الخيار الثاني وهو العدد ٢.

الطرف الأول: نُربّع العدد ٢ فيصبح ٤، ثم نضيف إليه ٣ ليكون الناتج النهائي $٧ = ٣ + ٤$.

الطرف الثاني: نحسب أربعة أمثال العدد ٢، وهو $٨ = ٤ \times ٢$.

الطرفان غير متساويين (٧ لا تساوي ٨)، لذا نرفض الخيار.

نجرب الخيار الثالث وهو العدد ٣.

الطرف الأول: نُربّع العدد ٣ فيصبح ٩، ثم نضيف إليه ٣ ليكون الناتج النهائي $١٢ = ٣ + ٩$.

الطرف الثاني: نحسب أربعة أمثال العدد ٣، وهو $١٢ = ٤ \times ٣$.

بما أن الطرفين متساويان تماماً، فإن العدد ٣ هو الإجابة الصحيحة والمؤكدة.

تكنيك ٢ (التحليل الجبري للمعادلة التربيعية):

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى معادلة رياضية من الدرجة الثانية، وتصفير المعادلة، ثم استخدام طرق التحليل الجبري لاستخراج جذور المعادلة.

نفرض أن العدد المطلوب هو المتغير س.

نكتب المعادلة الجبرية الأساسية: $س٤ = ٣ + {}^{٢}س$.

لجعل المعادلة قابلة للتحليل، ننقل الحد (٤س) إلى الطرف الآخر مع عكس إشارته لتصبح معادلة صفرية.

شكل المعادلة الجديد: $٣ + س({٤-}) + {}^{٢}س$ يساوي (صفر).

نحلل المقدار الثلاثي إلى قوسين، نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي موجب ٣، وحاصل جمعهما يساوي سالب ٤.

العددان اللذان يحققان هذا الشرط هما سالب ٣ وسالب ١.

نكتب التحليل على شكل أقواس: $(٣ – س) \times (١ – س)$ وتساوي (صفر).

من القوس الأول نستنتج أن قيمة س الممكنة هي ٣.

ومن القوس الثاني نستنتج أن قيمة س الممكنة هي ١.

بمطابقة الجذور المستخرجة مع الخيارات المتوفرة في السؤال، نجد أن العدد ٣ هو الخيار الصحيح.

تكنيك ١: التعويض بأرقام افتراضية

المفهوم الرياضي: اختيار أرقام بسيطة تحقق الشروط وتعويضها في الخيارات.

نفرض أن س يساوي $١$ وهو عدد فردي.

نفرض أن ص يساوي $٢$ وهو عدد زوجي.

نجرب الخيار الأول: $ص + س$

$٣ = ٢ + ١$

الناتج $٣$ وهو عدد فردي، إذن هو المطلوب.

نجرب الخيار الثاني: $ص س$

$٢ = ٢ \times ١$

الناتج $٢$ وهو عدد زوجي.

نجرب الخيار الثالث: $٢ – ص٣$

$٤ = ٢ – ٦ = ٢ – ٢ \times ٣$

الناتج $٤$ وهو عدد زوجي.

نجرب الخيار الرابع: $ص + س٢$

$٤ = ٢ + ٢ = ٢ + ١ \times ٢$

الناتج $٤$ وهو عدد زوجي.

تكنيك ٢: القواعد الجبرية للزوجي والفردي

المفهوم الرياضي: تطبيق خصائص الجمع والضرب للأعداد.

مجموع عدد فردي وعدد زوجي يعطي دائما ناتجا فرديا.

إذن $ص + س$ فردي حتما.

“

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم افتراضية

نفرض قيماً للمتغيرات تحقق الشروط المذكورة لتسهيل المقارنة

بما أن $١ < ص$ ، نفرض أن $٢ = ص$

وبما أن $٠ < س < ١$ ، نفرض أن $\frac{١}{٢} = س$

نعوض في القيمة $\frac{ص}{س}$: $٤ = \frac{١}{٢} \div ٢$

نعوض في القيمة $\frac{س}{ص}$: $\frac{١}{٤} = ٢ \div \frac{١}{٢}$

نعوض في القيمة ${}^{٢}(\frac{س}{ص})$: $\frac{١}{١٦} = {}^{٢}(\frac{١}{٤})$

نعوض في القيمة ${}^{٢}(\frac{ص}{س})$: $١٦ = {}^{٢}٤$

بمقارنة النواتج نجد أن القيمة الكبرى هي $١٦$

إذن الإجابة هي ${}^{٢}(\frac{ص}{س})$

تكنيك ١: توحيد المقامات

المفهوم الرياضي: توحيد المقامات وطرح الكسور للوصول لقيمة س.

$١٥ = \frac{س٢}{٣} – \frac{س٣}{٢}$

نوحد المقامات على $٦$

$١٥ = \frac{س٤}{٦} – \frac{س٩}{٦}$

$١٥ = \frac{س٥}{٦}$

نضرب الطرفين في $\frac{٦}{٥}$

$س = \frac{٦}{٥} \times ١٥$

$س = ٦ \times ٣$

$١٨ = س$

تكنيك ١ (تجريب الخيارات مع خصائص الأعداد الأولية):

المفهوم الرياضي: العدد الأولي هو العدد الأكبر من ١ والذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد فقط. سنقوم بتعويض الخيارات في المعادلة للبحث عن ناتج أولي.

المعادلة: $٥ + ق = ل$

حيث (ل) هو الناتج الذي يجب أن يكون أولياً.

نجرب الخيار الأول (٥):

$١٠ = ٥ + ٥ = ل$

العدد ١٠ ليس أولياً (يقبل القسمة على ٢ و ٥). خطأ.

نجرب الخيار الثاني (٩):

$١٤ = ٥ + ٩ = ل$

العدد ١٤ ليس أولياً (يقبل القسمة على ٢ و ٧). خطأ.

نجرب الخيار الثالث (٤):

$٩ = ٥ + ٤ = ل$

العدد ٩ ليس أولياً (يقبل القسمة على ٣). خطأ.

نجرب الخيار الرابع (٨):

$١٣ = ٥ + ٨ = ل$

العدد ١٣ هو عدد أولي (لا يقبل القسمة إلا على ١ و ١٣). إذن هذا الخيار صحيح.

تكنيك ١: أخذ عامل مشترك

المفهوم الرياضي: تحليل المعادلة بأخذ عامل مشترك لإيجاد قيم س الممكنة.

(صفر) = ${}^{٢}س – {}^{٣}س$

نأخذ ${}^{٢}س$ عامل مشترك

(صفر) = $(١ – س) {}^{٢}س$

إما ${}^{٢}س$ = (صفر) ومنها س = (صفر)

أو $١ – س$ = (صفر) ومنها $١ = س$

إذن قيم س هي $١$ و (صفر)

تكنيك ١: التجريب والتحقق من الشروط

المفهوم الرياضي: اختبار كل قيمة للتأكد من انطباق جميع الشروط عليها.

الشرط الأول: العمر الآن من مضاعفات $٦$ ولا يتجاوز $٣٠$.

الشرط الثاني: العمر قبل $٤$ أعوام كان من مضاعفات $٥$.

نجرب العمر $٣٠$: هو من مضاعفات $٦$ ولا يتجاوز $٣٠$. قبل $٤$ سنوات كان عمره $٢٦ = ٤ – ٣٠$. العدد $٢٦$ ليس من مضاعفات $٥$.

نجرب العمر $٢٤$: هو من مضاعفات $٦$. قبل $٤$ سنوات كان عمره $٢٠ = ٤ – ٢٤$. العدد $٢٠$ من مضاعفات $٥$. إذن الإجابة الصحيحة هي $٢٤$.

نجرب العمر $١٨$: هو من مضاعفات $٦$. قبل $٤$ سنوات كان عمره $١٤ = ٤ – ١٨$. العدد $١٤$ ليس من مضاعفات $٥$.

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي

المفهوم الرياضي: سرد المضاعفات والبحث عن العدد الذي يحقق الشروط.

مضاعفات $٦$ التي لا تتجاوز $٣٠$ هي: $٦$، $١٢$، $١٨$، $٢٤$، $٣٠$.

نطرح $٤$ من كل مضاعف لنرى أيها يعطي مضاعفا للعدد $٥$:

$٢ = ٤ – ٦$

$٨ = ٤ – ١٢$

$١٤ = ٤ – ١٨$

$٢٠ = ٤ – ٢٤$ (هذا العدد من مضاعفات $٥$)

$٢٦ = ٤ – ٣٠$

إذن العمر الحالي هو $٢٤$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم عددية مختلفة لاختبار جميع الحالات الممكنة.

الحالة الأولى: نفرض أعداداً متتالية تحقق المتباينة $د < ج < ب < أ$.

نفرض $١ = د$، $٢ = ج$، $٣ = ب$، $٤ = أ$.

القيمة الأولى $د + أ$ تساوي $٥ = ١ + ٤$.

القيمة الثانية $ج + ب$ تساوي $٥ = ٢ + ٣$. في هذه الحالة القيمتان متساويتان.

الحالة الثانية: نفرض أعداداً غير متتالية تحقق المتباينة.

نفرض $١ = د$، $٢ = ج$، $٤ = ب$، $٧ = أ$.

القيمة الأولى $د + أ$ تساوي $٨ = ١ + ٧$.

القيمة الثانية $ج + ب$ تساوي $٦ = ٢ + ٤$. في هذه الحالة القيمة الأولى أكبر.

بما أن النتيجة تتغير باختلاف القيم المفترضة، فإن المعطيات غير كافية.

تكنيك ١ (القسمة المطولة واستنباط العدد الصحيح):

المفهوم الرياضي: بدلاً من الاعتماد على الضرب العشوائي، يمكننا تحويل المسألة إلى عملية قسمة الحد الأعلى (١٢٠) على المضروب المعلوم (٧) لمعرفة أقصى قيمة صحيحة يمكن أن يحملها المتغير.

نكتب المتباينة الجبرية التي تمثل المسألة: $س \times ٧ < ١٢٠$.

نقوم بقسمة العدد ١٢٠ على ٧ بشكل مباشر.

ينتج عن عملية القسمة عدد عشري يحتوي على فواصل: $١٧,١٤ \dots = \frac{١٢٠}{٧}$.

بما أننا نبحث عن (عدد مضروب) ونحتاج أن يكون الناتج بدقة (أقل من ١٢٠)، فإننا نتجاهل الجزء العشري ونأخذ العدد الصحيح الأقل منه مباشرة.

العدد الصحيح المطلوب الذي يحقق المتباينة هو ١٧.

تكنيك ٢ (استراتيجية التجريب التنازلي للخيارات):

المفهوم الرياضي: نظراً لأن السؤال يطلب (أكبر عدد)، فإن الخيار الأمثل لتوفير الوقت هو البدء بتجريب الخيارات من القيمة الأكبر نزولاً إلى الأصغر، لاختبار تحقيقها لشرط المتباينة.

نبدأ بتجريب الخيار الأكبر بين الخيارات الأربعة وهو العدد ١٨.

نقوم بضربه في ٧ لحساب الناتج: $١٢٦ = ٧ \times ١٨$.

نلاحظ أن الناتج ١٢٦ أكبر من الحد الأقصى المطلوب وهو ١٢٠، وبالتالي نرفض هذا الخيار فوراً.

ننتقل إلى الخيار الذي يليه في الترتيب التنازلي وهو العدد ١٧.

نقوم بضربه في ٧ لحساب الناتج: $١١٩ = ٧ \times ١٧$.

الناتج ١١٩ أقل من ١٢٠ بقليل، مما يجعله يحقق شرط المسألة بشكل مثالي، ويكون هو أكبر عدد صحيح يطابق المطلوب.

تكنيك ١ (طريقة التجريب المباشر للخيارات):

المفهوم الرياضي: أخذ القيم المقترحة في الخيارات كمبلغ محتمل لما يملكه خالد، وتطبيق سلسلة العمليات الحسابية المذكورة في النص عليها، ومقارنة النتيجة النهائية بالمبلغ الثابت الذي يملكه أحمد.

نقوم أولاً بصياغة القاعدة اللفظية من النص: المبلغ الذي مع أحمد يساوي (المبلغ الذي مع خالد مضروباً في العدد ٢) ثم يضاف للناتج العدد ٢٠.

نبدأ بتجريب الخيار الثاني، مفترضين أن المبلغ الذي مع خالد هو ١٥ ريالاً.

نطبق الخطوة الأولى بضرب المبلغ المفتَرَض في ٢ للحصول على الضعف.

العملية الحسابية: $٣٠ = ٢ \times ١٥$.

نطبق الخطوة الثانية بإضافة الزيادة المذكورة وهي ٢٠ ريالاً إلى الناتج.

عملية الجمع: $٥٠ = ٢٠ + ٣٠$.

بما أن الناتج النهائي هو ٥٠، وهو يطابق تماماً المبلغ المعلوم الذي يملكه أحمد، فإن هذا الخيار صحيح ولا حاجة لتجريب البقية.

تكنيك ٢ (بناء المعادلة الجبرية والحل بالعمليات العكسية):

المفهوم الرياضي: التعبير عن العلاقة المعقدة بين ممتلكات الشخصين في شكل معادلة خطية، ثم تطبيق مبدأ العمليات الحسابية العكسية لعزل المتغير المجهول والوصول لقيمته.

نفرض أن المبلغ المجهول الذي يملكه خالد يمثله المتغير س.

نترجم النص اللفظي إلى معادلة رياضية دقيقة: $٥٠ = ٢٠ + س٢$.

لحل هذه المعادلة، نبدأ بالتخلص من الثابت المجموع (٢٠) عن طريق طرحه من كلا الطرفين.

خطوة الطرح: $٣٠ = ٢٠ – ٥٠ = س٢$.

الآن نعزل المتغير س تماماً بقسمة طرفي المعادلة على المعامل المضروب فيه وهو العدد ٢.

خطوة القسمة: $١٥ = \frac{٣٠}{٢} = س$.

وهذا يثبت جبرياً أن المبلغ الذي مع خالد هو ١٥ ريالاً.

تكنيك ١: تحليل القيم

المفهوم الرياضي: إيجاد عوامل كل عدد للتحقق مما إذا كان يمثل حاصل ضرب عددين متتاليين.

بالنسبة للعدد $٤٩$

عوامل $٤٩$ هي $١ \times ٤٩$ أو $٧ \times ٧$. لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عددين متتاليين.

بالنسبة للعدد $٤٢$

$٤٢ = ٧ \times ٦$ (حاصل ضرب عددين متتاليين).

بالنسبة للعدد $٣٠$

$٣٠ = ٦ \times ٥$ (حاصل ضرب عددين متتاليين).

بالنسبة للعدد $٢٠$

$٢٠ = ٥ \times ٤$ (حاصل ضرب عددين متتاليين).

العدد الوحيد الذي لا يحقق الشرط هو $٤٩$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات والتخمين المنطقي.

نبحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية تحقق الشرط المذكور.

إذا افترضنا أن الأعداد هي المتتابعة: $\dots , ٤ , ٣ , ٢$.

سيكون لدينا $٢ = س$ و $٣ = ص$ و $٤ = ع$.

نختبر شرط المعادلة المعطاة: هل $٤ = {}^{٢}٢$؟ الإجابة نعم.

إذن الأعداد صحيحة وقيمة المتغير المطلوبة هي $٤$.

تكنيك ١: التعويض بقيم افتراضية متعددة

المفهوم الرياضي: افتراض مجموعات مختلفة من الأرقام للتحقق من ثبات العلاقة.

الحالة الأولى: نفرض أعدادا متتالية.

نفرض أن أ يساوي $٤$ و ب يساوي $٣$ و ج يساوي $٢$ و د يساوي $١$

نحسب القيمة الأولى: $ج – أ$

$٢ = ٢ – ٤$

نحسب القيمة الثانية: $د – ب$

$٢ = ١ – ٣$

في هذه الحالة القيمتان متساويتان.

الحالة الثانية: نفرض أعدادا بفروق متباعدة.

نفرض أن أ يساوي $١٠$ و ب يساوي $٣$ و ج يساوي $٢$ و د يساوي $١$

نحسب القيمة الأولى: $ج – أ$

$٨ = ٢ – ١٠$

نحسب القيمة الثانية: $د – ب$

$٢ = ١ – ٣$

في هذه الحالة القيمة الأولى أكبر.

بما أن النتائج تختلف باختلاف القيم المختارة، إذن المعطيات غير كافية.

تكنيك ١ (طريقة التجريب المباشر للخيارات):

المفهوم الرياضي: اختيار عدد زوجي بسيط كقيمة للمتغير ن، وتطبيق العمليات الحسابية الموجودة في كل خيار لاكتشاف العبارة التي تنتج عدداً فردياً.

نفرض أن قيمة المتغير ن هي العدد الزوجي ٢ لتسهيل الحساب.

نجرب الخيار الأول الذي يمثل العبارة: $٤ + {}^{٢}ن$.

نقوم بالتعويض وحساب الناتج: $٨ = ٤ + ٤ = ٤ + {}^{٢}٢$. الناتج ٨ هو عدد زوجي، فالخيار مرفوض.

نجرب الخيار الثاني الذي يمثل العبارة: $٤ + ن$.

نقوم بالتعويض وحساب الناتج: $٦ = ٤ + ٢$. الناتج ٦ هو عدد زوجي، فالخيار مرفوض أيضاً.

نجرب الخيار الثالث الذي يمثل العبارة: $٣ + {}^{٢}ن٢$.

نقوم بالتعويض وحساب الناتج: $١١ = ٣ + ٨ = ٣ + (٤ \times ٢) = ٣ + ({}^{٢}٢ \times ٢)$.

الناتج ١١ هو عدد فردي، وهو يطابق المطلوب بدقة.

إذن، الخيار الثالث هو الحل الصحيح.

تكنيك ٢ (التحليل الجبري لخصائص التكافؤ الزوجي والفردي):

المفهوم الرياضي: استخدام قوانين الأعداد الزوجية والفردية (Parity Rules) لتحليل تركيب العبارات الجبرية واستنتاج طبيعة نواتجها.

بما أن المتغير ن عدد زوجي، فإن أي قوة صحيحة موجبة له (مثل مربعه) ستكون حتماً عدداً زوجياً.

نختبر العبارة الجبرية في الخيار الثالث: $٣ + {}^{٢}ن٢$.

تتكون هذه العبارة من حدين. الحد الأول هو حاصل ضرب ٢ في مربع المتغير ن.

بما أن الحد الأول مضروب في ٢، فهو يمثل مضاعفاً للعدد ٢، والنتيجة قطعاً هي عدد زوجي.

الحد الثاني المضاف هو العدد الثابت ٣، وهو عدد فردي.

نطبق القاعدة الرياضية التي تنص على أن مجموع أي عدد زوجي مع أي عدد فردي ينتج دائماً عدداً فردياً.

التمثيل الرياضي للقاعدة: (زوجي) مضافاً إليه (فردي) يساوي (فردي).

هذا التحليل المنطقي يثبت أن المقدار الجبري في الخيار الثالث سينتج باستمرار عدداً فردياً أياً كانت القيمة الزوجية للمتغير ن.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض بقيمة افتراضية.

بما أن $٦ < س$، نفرض أن قيمة المتغير هي $٧ = س$.

نعوض في القيمة الأولى لنجد الناتج: $٨ = ١ + ٧$.

نعوض في القيمة الثانية لنجد الناتج: $\frac{١٣}{٧} = \frac{٧ + ٦}{٧}$ وهي قيمة أقل من العدد $٢$.

بمقارنة النواتج، نجد أن $\frac{١٣}{٧} < ٨$.

إذن القيمة الأولى هي الأكبر دائماً.

تكنيك ١: التعويض بأرقام افتراضية

المفهوم الرياضي: اختيار أرقام بسيطة تحقق الشروط وتعويضها في الخيارات.

نفرض أن س يساوي $١$ وهو عدد فردي.

نفرض أن ص يساوي $٢$ وهو عدد زوجي.

نجرب الخيار الأول: $ص + س٢$

$٤ = ٢ + ٢ = ٢ + ١ \times ٢$

الناتج $٤$ وهو عدد زوجي، إذن هو المطلوب.

نجرب الخيار الثاني: $١ – ص س$

$١ = ٢ – ١ = ١ – ٢ \times ١$

الناتج $١$ وهو عدد فردي.

نجرب الخيار الثالث: $١ + ص٣$

$٧ = ١ + ٦ = ١ + ٢ \times ٣$

الناتج $٧$ وهو عدد فردي.

نجرب الخيار الرابع: $ص + س$

$٣ = ٢ + ١$

الناتج $٣$ وهو عدد فردي.

تكنيك ٢: القواعد الجبرية للزوجي والفردي

المفهوم الرياضي: تطبيق خصائص العمليات على الأعداد الزوجية والفردية.

ضرب أي عدد في $٢$ ينتج عددا زوجيا، إذن $س٢$ زوجي.

جمع عدد زوجي مع عدد زوجي (ص) ينتج دائما عددا زوجيا.

إذن $ص + س٢$ زوجي حتما.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم عددية مختلفة للتحقق من ثبات العلاقة بين القيمتين.

لدينا المعادلة $١٢ = ع + ص + س$.

وبما أن $ع = ص$، يمكننا التعويض عن ص بـ ع في المعادلة لتصبح $١٢ = ع٢ + س$.

نفترض قيماً صحيحة للمتغيرات. إذا كانت $١٠ = س$، فإن $٢ = ع٢$ وبالتالي $١ = ع$.

في هذه الحالة، القيمة الأولى ($٧$) أكبر من القيمة الثانية ($١ = ع$).

نفترض قيماً أخرى، إذا كانت $٠ = س$، فإن $١٢ = ع٢$ وبالتالي $٦ = ع$.

في هذه الحالة أيضاً، القيمة الأولى ($٧$) أكبر من القيمة الثانية ($٦ = ع$).

لكن ماذا لو كانت $({٢-}) = س$؟ فإن $١٤ = ع٢$ وبالتالي $٧ = ع$. هنا القيمتان متساويتان.

ماذا لو كانت $({٤-}) = س$؟ فإن $١٦ = ع٢$ وبالتالي $٨ = ع$. هنا القيمة الثانية أكبر.

بما أن المتغيرات أعداد صحيحة (يمكن أن تكون موجبة، سالبة، أو صفر)، فإن المقارنة تختلف باختلاف القيم.

لذلك، المعطيات غير كافية لتحديد علاقة ثابتة.

تكنيك ١: التجريب العكسي للخيارات

المفهوم الرياضي: مساواة المقدار المعطى بكل خيار ثم حله لمعرفة ما إذا كان الناتج عددا صحيحا.

نجرب القيمة $٤٨$:

$٤٨ = ل٧ + ٤$

$٤٤ = ل٧$ (لا يقبل القسمة على $٧$ بدون باق)

نجرب القيمة $٤٦$:

$٤٦ = ل٧ + ٤$

$٤٢ = ل٧$

$ل = ٤٢ \div ٧$

$٦ = ل$

بما أن $٦$ عدد صحيح، إذن القيمة التي تحقق الشرط هي $٤٦$

تكنيك ١ (استراتيجية التجريب والتحقق):

المفهوم الرياضي: افتراض قيمة للعدد من الخيارات المتاحة، ثم استخراج أجزائه المطلوبة (مثله، نصفه، ربعه)، وجمعها كلها مع العدد الأصلي لاختبار ما إذا كان المجموع يطابق ٦٦.

نبدأ بتجريب الخيار الأول وهو العدد ٢٤.

العدد هو ٢٤.

مثله (نفس قيمته) هو ٢٤.

نصفه (بقسمته على ٢) هو ١٢.

ربعه (بقسمته على ٤) هو ٦.

نقوم بجمع جميع هذه القيم معاً.

عملية الجمع: $٦٦ = ٦ + ١٢ + ٢٤ + ٢٤$.

بما أن المجموع هو ٦٦ ويطابق الشرط المذكور في السؤال، فإن العدد هو ٢٤ وهو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ٢ (النمذجة الجبرية وتوحيد المقامات):

المفهوم الرياضي: تحويل المسألة اللفظية إلى معادلة رياضية تحتوي على كسور، وتوحيد المقامات لجمع المعاملات، ثم حل المعادلة لإيجاد قيمة المتغير.

نفرض أن العدد المجهول يمثله المتغير س.

نصيغ المعادلة بجمع المتغير مع أجزائه ليكون الناتج ٦٦.

شكل المعادلة: $٦٦ = س\frac{١}{٤} + س\frac{١}{٢} + س + س$.

نوحد مقامات المعاملات الكسرية والصحيحة على المقام ٤ لجمعها.

مجموع المعاملات يصبح أحد عشر ربعاً للمتغير س.

المعادلة المبسطة: $٦٦ = س\frac{١١}{٤}$.

لإيجاد قيمة س، نضرب طرفي المعادلة في المقلوب للكسر وهو أربعة على أحد عشر.

العملية النهائية: $٢٤ = \frac{٤}{١١} \times ٦٦ = س$.

وهذا يؤكد جبرياً أن العدد هو ٢٤.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص القيمة المطلقة.

وظيفة دالة القيمة المطلقة هي تحويل أي عدد سالب إلى عدد موجب.

بما أن المتغير يمثل عدداً سالباً، فإن ناتج القيمة المطلقة له سيكون موجباً حتماً.

أي عدد موجب في الرياضيات هو بطبيعة الحال أكبر من الصفر.

وبالتالي، القيمة الأولى أكبر بصورة دائمة.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض بقيمة افتراضية سالبة.

نفرض أن قيمة المتغير هي $({١-}) = س$.

نعوض في القيمة الأولى لنحصل على الناتج: $١ = \vert {١-} \vert$.

نقارن الناتج مع القيمة الثانية وهي الصفر.

بما أن العدد $١$ أكبر من الصفر، نستنتج أن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ١ (تكوين المعادلة الجبرية وحلها):

المفهوم الرياضي: التعبير عن النص اللفظي بمعادلة رياضية دقيقة، واستخدام العمليات العكسية لحل المعادلة خطوة بخطوة وصولاً للمجهول.

نفرض أن العدد الذي نبحث عنه هو المتغير س.

ثلاثة أمثال العدد تُكتب جبرياً كـ ٣س.

نطرح ٧ من هذا المقدار ونساويه بالناتج لتكوين المعادلة: $٣٢ = ٧ – س٣$.

لحل المعادلة، نطبق العملية العكسية للطرح بجمع ٧ للطرفين لنقل الثابت.

الخطوة الأولى: $٣٩ = ٧ + ٣٢ = س٣$.

لعزل المتغير س، نطبق العملية العكسية للضرب بقسمة الطرفين على المعامل ٣.

الخطوة الثانية: $١٣ = \frac{٣٩}{٣} = س$.

إذن، العدد هو ١٣.

تكنيك ٢ (طريقة الحل العكسي):

المفهوم الرياضي: البدء من النتيجة وعكس جميع العمليات المذكورة للوصول للرقم الأصلي.

نبدأ من الناتج النهائي وهو ٣٢.

آخر عملية كانت طرح ٧، نقوم بعكسها وهي إضافة ٧.

عملية الجمع: $٣٩ = ٧ + ٣٢$.

العملية السابقة لها كانت (ثلاثة أمثاله) أي الضرب في ٣، نعكسها بالقسمة على ٣.

عملية القسمة: $١٣ = \frac{٣٩}{٣}$.

الناتج هو ١٣ وهو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ٣ (تجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: تعويض الخيارات في المعادلة اللفظية لاختبار تطابقها مع الناتج.

نجرب الخيار الأول وهو العدد ١٣.

نحسب ثلاثة أمثال العدد: $٣٩ = ٣ \times ١٣$.

نطرح ٧ من الناتج: $٣٢ = ٧ – ٣٩$.

بما أن الناتج يساوي ٣٢، فالخيار يطابق المسألة تماماً.

تكنيك ١: أخذ عامل مشترك والتخمين المنطقي

المفهوم الرياضي: تحليل المعادلة لاستنتاج القيمة بناء على الخيارات المتاحة.

المعادلة المعطاة:

$٦٥٠ = م + {}^{٢}م$

بأخذ م عامل مشترك:

$٦٥٠ = م (١ + م)$

نبحث عن عددين متتاليين حاصل ضربهما يساوي $٦٥٠$

بما أن $٦٠٠$ قريبة من $٦٢٥$ والتي تمثل مربع العدد $٢٥$ ، نجرب العدد $٢٥$

$٦٥٠ = ٢٥ \times ٢٦$

إذن قيمة م تساوي $٢٥$

المطلوب هو إيجاد قيمة م مربعة:

${}^{٢}م = ٢٥ \times ٢٥$

$٦٢٥ = {}^{٢}م$

تكنيك ٢: التجريب من الخيارات

المفهوم الرياضي: تجريب الخيارات المعطاة بافتراض أنها تمثل م مربعة.

نجرب القيمة $٦٢٥$

إذا كانت م مربعة تساوي $٦٢٥$ ، فإن م تساوي $٢٥$

نعوض في المعادلة:

$٦٥٠ = ٢٥ + ٦٢٥$

المعادلة صحيحة، إذن القيمة $٦٢٥$ هي الصحيحة.

تكنيك ١: تكوين معادلة

المفهوم الرياضي: ترجمة المسألة اللفظية إلى معادلة رياضية وحلها.

نفرض أن العدد هو س

$١٨ = ٢ – س٥$

نضيف $٢$ للطرفين

$٢٠ = س٥$

نقسم على $٥$

$٤ = س$

تكنيك ٢: الحل العكسي

المفهوم الرياضي: البدء من الناتج النهائي وعكس العمليات الحسابية.

الناتج النهائي $١٨$

عكس الطرح هو الجمع، نضيف $٢$

$٢٠ = ٢ + ١٨$

عكس الضرب هو القسمة، نقسم على $٥$

$٤ = ٥ \div ٢٠$

العدد هو $٤$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض بأعداد صحيحة موجبة متتالية.

نفرض قيماً للمتغيرات تحقق الشرط $د < ج < ب < أ$.

نفرض $١ = د$، $٢ = ج$، $٣ = ب$، $٤ = أ$.

نحسب القيمة الأولى: $د + أ$.

بالتعويض: $٥ = ١ + ٤$.

نحسب القيمة الثانية: $ج + ب$.

بالتعويض: $٥ = ٢ + ٣$.

نلاحظ أن القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية ($٥ = ٥$).

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: خصائص المتتابعات الحسابية.

بما أن الأعداد متتالية، فإن الفرق بين كل عدد والذي يليه ثابت ويساوي ١.

لدينا $١ + د = ج$، $٢ + د = ب$، $٣ + د = أ$.

نعوض في القيمة الأولى $د + أ$: $د + ٣ + د$ وتساوي $د٢ + ٣$.

نعوض في القيمة الثانية $ج + ب$: $(١ + د) + (٢ + د)$ وتساوي $د٢ + ٣$.

إذن القيمتان متساويتان دائماً.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض بأمثلة عددية بسيطة.

نفرض أربعة أعداد صحيحة متتالية ولتكن: $\dots , ٤ , ٣ , ٢ , ١$.

نحسب مجموع هذه الأعداد: $١٠ = ٤ + ٣ + ٢ + ١$.

الناتج $١٠$ هو عدد زوجي، مما يستبعد الخيارين الأول والثاني.

نختبر مجموعة أخرى للتأكد، ولتكن: $\dots , ٥ , ٤ , ٣ , ٢$.

نحسب مجموعها: $١٤ = ٥ + ٤ + ٣ + ٢$.

الناتج $١٤$ أيضاً عدد زوجي، وهو لا يقبل القسمة على $٤$ بدون باق، مما يستبعد الخيار الرابع.

إذن المجموع دائماً يعطي ناتجاً يمثل عدداً زوجياً.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تجميع الحدود المتشابهة وحل المعادلات التربيعية.

نكتب المعادلة الأصلية كما هي في السؤال:

${}^{٢}س٢ + ٢٩ – س = س٤ – ٢٣ – {}^{٢}س٣$

ننقل جميع الحدود من الطرف الأيسر إلى الطرف الأيمن مع عكس الإشارات للحصول على معادلة صفرية:

$٠ = ({}^{٢}س٢-) + ٢٩ + ({س-}) + س٤ – ٢٣ – {}^{٢}س٣$

نجمع الحدود الجبرية المتشابهة (التربيعية معاً، الخطية معاً، والأعداد الثابتة معاً):

مربع المتغير: ${}^{٢}س = ({}^{٢}س٢-) – {}^{٢}س٣$

المتغير الخطي: $س٥- = ({س-}) + س٤-$

الأعداد الثابتة: $٦ = ٢٩ + ٢٣-$

تصبح المعادلة بعد التبسيط كالتالي:

$٠ = ٦ + س٥ – {}^{٢}س$

نحلل المقدار الثلاثي بالبحث عن عددين حاصل ضربهما ستة ومجموعهما سالب خمسة.

العددان هما سالب اثنين وسالب ثلاثة.

المعادلة بعد التحليل: $٠ = (س – ٢) \times (س – ٣)$

وبالتالي قيم المتغير الممكنة هي: $٢ = س$ أو $٣ = س$.

بالرجوع إلى خيارات السؤال، نجد أن العدد المتاح هو اثنان.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التجريب واستبعاد الخيارات.

نعوض بقيمة العدد إثنان في المعادلة الأصلية لنتحقق من صحتها.

الطرف الأول: $({٢} \times ٤) – ٢٣ – ({}^{٢}٢ \times ٣)$

يساوي: $٨ – ٢٣ – ١٢$

الناتج هو سالب تسعة عشر: ${١٩-} = ٨ – ٢٣ – ١٢$

الطرف الثاني: $({}^{٢}٢ \times ٢) + ٢٩ – ٢$

يساوي: $٨ + ٢٩ – ٢$

الناتج هو سالب تسعة عشر: ${١٩-} = ٨ + ٢٩ – ٢$

بما أن الطرفين متساويان، فالخيار الصحيح هو اثنان.

تكنيك ١ (استراتيجية تجريب الخيارات المعطاة):

المفهوم الرياضي: تعتمد هذه الطريقة على افتراض أن كل خيار يمثل قيمة صحيحة لسعر الكتاب، ثم نحسب سعر الحقيبة بناءً عليه، وأخيراً نجمع القيمتين للتحقق من مطابقتها للمجموع الكلي المذكور في المعطيات وهو ٤٨ ريالاً.

بما أن معطيات المسألة تنص على أن سعر الكتاب هو نصف سعر الحقيبة، فهذا يعني رياضياً ومنطقياً أن سعر الحقيبة هو ضعف سعر الكتاب.

لذا، نقوم بضرب سعر الكتاب المفتَرَض في العدد ٢ لنحصل على سعر الحقيبة.

نبدأ بتجريب الخيار الأول، ونفترض أن سعر الكتاب هو ١٦ ريالاً.

نقوم الآن بحساب سعر الحقيبة بناءً على هذا الافتراض: $٣٢ = ٢ \times ١٦$.

الخطوة التالية هي جمع سعر الكتاب وسعر الحقيبة معاً لاختبار صحة الافتراض.

عملية الجمع الرياضية: $٤٨ = ٣٢ + ١٦$.

نلاحظ أن الناتج النهائي هو ٤٨، وهو يطابق تماماً المجموع الكلي المعطى في نص السؤال، مما يثبت بشكل قاطع أن الخيار الأول هو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ٢ (النمذجة الرياضية والحل الجبري):

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي للمسألة إلى معادلة جبرية خطية من الدرجة الأولى، باستخدام المتغيرات لتمثيل القيم المجهولة، ثم حل المعادلة بخطوات متسلسلة للوصول إلى قيمة المتغير.

نفرض أن سعر الكتاب المجهول يمثله المتغير س.

بناءً على المعطيات التي تفيد بأن الحقيبة ضعف سعر الكتاب، فإننا نمثل سعر الحقيبة بالمتغير ٢س.

نصيغ المعادلة الجبرية التي تمثل مجموع سعريهما: سعر الكتاب مضافاً إليه سعر الحقيبة يساوي ٤٨.

التمثيل الرياضي للمعادلة في الكود: $٤٨ = س٢ + س$.

نقوم بتبسيط المعادلة عن طريق جمع الحدود الجبرية المتشابهة في الطرف الأيمن: $٤٨ = س٣$.

الآن، لإيجاد قيمة المتغير المفرد س، نقوم بتطبيق العملية العكسية للضرب، وهي قسمة كلا الطرفين على معامل المتغير وهو العدد ٣.

عملية القسمة: $١٦ = \frac{٤٨}{٣} = س$.

نستنتج أن قيمة س تساوي ١٦، وبما أن س تمثل سعر الكتاب، فإن سعر الكتاب هو ١٦ ريالاً.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الحل بالخطوات العكسية وبناء السلسلة المنطقية.

الخطوة الأولى: نحدد القيمة الثابتة المعطاة في السؤال وهي عمر خالد.

عمر خالد يساوي سبعة وثلاثين سنة.

الخطوة الثانية: نستخدم علاقة عمر أحمد بعمر خالد.

عمر أحمد ينقص عن عمر خالد بمقدار ثلاثة عشر سنة.

نحسب عمر أحمد عن طريق الطرح:

$٢٤ = ١٣ – ٣٧$

الخطوة الثالثة: نستخدم علاقة عمر محمد بعمر أحمد.

عمر محمد يزيد عن عمر أحمد بمقدار سبع سنوات.

نحسب عمر محمد عن طريق الجمع:

$٣١ = ٧ + ٢٤$

عمر محمد هو واحد وثلاثون سنة.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الصياغة الجبرية للعبارات اللفظية والدمج المباشر.

نربط المتغيرات ببعضها في معادلة واحدة مباشرة لتقليل خطوات الحل.

عمر محمد = عمر أحمد + سبعة

عمر محمد = (عمر خالد – ثلاثة عشر) + سبعة

نعوض بقيمة عمر خالد المعطاة لتصبح المعادلة:

$٣١ = ٧ + (١٣ – ٣٧)$

الناتج النهائي لعملية الطرح ثم الجمع هو واحد وثلاثون.

تكنيك ١: حل المعادلات الكسرية

المفهوم الرياضي: طرح الكسور ذات المقامات الموحدة لإيجاد المجهول.

المقامات موحدة، لذا نطرح البسوط مباشرة.

$\frac{٢}{٧} = \frac{٣}{س} – \frac{٥}{س}$

$\frac{٢}{٧} = \frac{٢}{س}$

بما أن البسط يساوي البسط، فإن المقام يساوي المقام.

$٧ = س$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحليل إشارة المقدار ذي الأس الزوجي.

القيمة الأولى عبارة عن حاصل ضرب مقدارين، كل منهما مرفوع لأس زوجي (الأس ٢).

أي مقدار مرفوع لأس زوجي يكون ناتجه دائماً إما موجباً أو مساوياً لـ (صفر).

لذلك، حاصل ضربهما سيكون دائماً إما موجباً أو مساوياً لـ (صفر).

القيمة الثانية هي عدد سالب وهو $({١-})$.

أي عدد موجب أو (صفر) هو دائماً أكبر من أي عدد سالب.

بالتالي، القيمة الأولى أكبر دائماً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بقيم صحيحة مختلفة.

نفرض $١ = أ$: القيمة الأولى هي ${}^{٢}(١ + ١) \times {}^{٢}(١ – ١)$ وتساوي $٠ = ٤ \times ٠$. نجد أن $({١-}) < ٠$.

نفرض $٠ = أ$: القيمة الأولى هي ${}^{٢}(١ + ٠) \times {}^{٢}(١ – ٠)$ وتساوي $١ = ١ \times ١$. نجد أن $({١-}) < ١$.

نفرض $({١-}) = أ$: القيمة الأولى هي ${}^{٢}(١ + ({١-})) \times {}^{٢}(١ – ({١-}))$ وتساوي $٠ = ٠ \times ٤$. نجد أن $({١-}) < ٠$.

في جميع الحالات، القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١ (مساواة المقامات):

المفهوم الرياضي: إذا تساوى كسران وكان بسطاهما متساويين، فإن مقاميهما متساويان حتماً.

بما أن البسط في الطرفين يساوي ١، إذن نساوي المقامين مباشرة.

المعادلة: $\frac{١}{٢} + س = ٢ + \frac{س}{٢}$

نطرح $\frac{س}{٢}$ من الطرفين لتجميع المتغيرات في جهة واحدة:

$\frac{١}{٢} + \frac{س}{٢} = ٢$

نطرح $\frac{١}{٢}$ من الطرفين لتجميع الأعداد في الجهة الأخرى:

$\frac{س}{٢} = \frac{١}{٢} – ٢$

$\frac{س}{٢} = \frac{٣}{٢}$

بما أن المقامات متساوية، إذن البسوط متساوية، ومنه: $٣ = س$

تكنيك ٢ (تجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم الخيارات المعطاة في المعادلة الأصلية للتحقق من تساوي الطرفين.

نجرب الخيار الأول (٣):

الطرف الأيمن: $\frac{١}{٢ + \frac{٣}{٢}} = \frac{١}{٢ + ١,٥} = \frac{١}{٣,٥}$

الطرف الأيسر: $\frac{١}{\frac{١}{٢} + ٣} = \frac{١}{٠,٥ + ٣} = \frac{١}{٣,٥}$

الطرفان متساويان، إذن الإجابة صحيحة.

تكنيك ١: تكوين معادلة

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى معادلة رياضية وحلها.

نفرض العدد هو س

أربعة أمثال العدد زائد سبعة:

$٢٧ = س٤ + ٧$

نطرح $٧$ من الطرفين:

$٢٠ = س٤$

نقسم على $٤$:

$س = ٢٠ \div ٤$

$٥ = س$

تكنيك ٢: الحل العكسي

المفهوم الرياضي: البدء من الناتج وعكس العمليات الحسابية.

الناتج هو $٢٧$

عكس الجمع هو الطرح: نخصم $٧$

$٢٠ = ٢٧ – ٧$

عكس الضرب هو القسمة: نقسم على $٤$

$٥ = ٢٠ \div ٤$

العدد المطلوب هو $٥$

تكنيك ١ (طريقة الافتراض والتجريب العملي):

المفهوم الرياضي: تعيين قيم عددية فردية ومختلفة للمتغيرات الثلاثة، ومن ثم تطبيق العمليات الحسابية في كل خيار للبحث عن الناتج الذي (ليس زوجياً)، وهو ما يعني بالضرورة البحث عن الناتج الفردي.

نفرض قيماً بسيطة للمتغيرات كالتالي: م تساوي ١، ن تساوي ٣، ل تساوي ٥.

نجرب الخيار الأول الذي يمثل العبارة: $١١ – ل + م + ن$.

نعوض بالقيم المفتَرَضة في العبارة: $({٢-}) = ١١ – ٥ + ١ + ٣$.

الناتج سالب ٢ هو عدد زوجي، وبالتالي لا يطابق المطلوب (لأننا نبحث عما ليس زوجياً).

نجرب الخيار الثاني الذي يمثل العبارة: $١ + ن$.

نعوض بقيمة المتغير ن: $٤ = ١ + ٣$. الناتج ٤ هو عدد زوجي، فالخيار غير صحيح.

نجرب الخيار الثالث الذي يمثل العبارة: $١ + م + ن$.

نعوض بقيم المتغيرين: $٥ = ١ + ١ + ٣$.

الناتج ٥ هو عدد فردي، وهذا يعني أنه (ليس زوجياً)، مما يجعله الإجابة المطلوبة والصحيحة.

تكنيك ٢ (التحليل الشامل لقواعد الجمع والتكافؤ):

المفهوم الرياضي: تطبيق قوانين جمع الأعداد الزوجية والفردية خطوة بخطوة على العبارات الجبرية لتقييم حالتها النهائية دون اللجوء للتعويض الرقمي.

تشير المعطيات إلى أن كافة المتغيرات (م، ن، ل) تنتمي لمجموعة الأعداد الفردية.

صيغة السؤال (ليس زوجياً) هي مكافئ رياضي مباشر لمصطلح (العدد الفردي).

نطبق التحليل على الخيار الثالث المكون من العبارة: $١ + م + ن$.

نبدأ بجمع أول حدين وهما المتغيران الفرديان (م) و (ن).

قاعدة الجمع الأساسية تنص على أن مجموع أي عددين فرديين يثمر دائماً عن عدد زوجي.

المرحلة الأولى: (م) الفردي مضافاً إليه (ن) الفردي يساوي ناتجاً (زوجياً).

في المرحلة الثانية، نضيف الحد الأخير وهو العدد الثابت ١ (وهو عدد فردي) إلى الناتج الزوجي الذي استخرجناه للتو.

القاعدة التكميلية تفيد بأن إضافة عدد فردي إلى عدد زوجي ينتج عنها بلا محالة عدد فردي.

المرحلة الثانية: الناتج (الزوجي) مضافاً إليه العدد ١ (الفردي) يساوي ناتجاً نهائياً (فردياً).

بما أن الناتج الكلي للعبارة فردي، فقد ثبت رياضياً أن الخيار الثالث هو الذي لا يمكن أن يكون زوجياً.

تكنيك ١: التعويض بقيم افتراضية متعددة

المفهوم الرياضي: اختبار مجموعات مختلفة من الأعداد الصحيحة الموجبة لاكتشاف العلاقة.

الحالة الأولى: نفرض أعدادا متتالية.

نفرض أن أ يساوي $٤$ و ب يساوي $٣$ و ج يساوي $٢$ و د يساوي $١$

نحسب القيمة الأولى: $د \times أ$

$٤ = ١ \times ٤$

نحسب القيمة الثانية: $ج \times ب$

$٦ = ٢ \times ٣$

في هذه الحالة القيمة الثانية أكبر.

الحالة الثانية: نفرض أعدادا متباعدة.

نفرض أن أ يساوي $١٠$ و ب يساوي $٣$ و ج يساوي $٢$ و د يساوي $١$

نحسب القيمة الأولى: $د \times أ$

$١٠ = ١ \times ١٠$

نحسب القيمة الثانية: $ج \times ب$

$٦ = ٢ \times ٣$

في هذه الحالة القيمة الأولى أكبر.

لتضارب النتائج بناء على القيم المفترضة، فإن المعلومات غير كافية.

تكنيك ١ (طريقة التحقق العكسي من الخيارات):

المفهوم الرياضي: اختبار كل خيار من الخيارات الأربعة بضربه في نفسه لإيجاد مربعه، ثم حساب مقدار الفرق المطلق بين المربع وبين العدد ذاته، ومطابقة الناتج النهائي مع الرقم ٧٢ لبيان صحة الخيار.

نشرع بتجريب الخيار الأول وهو العدد ٨.

نوجد مربع العدد ٨ بضربه في نفسه، ويكون الناتج ٦٤.

نحسب الفرق الرياضي بين المربع والعدد: $٥٦ = ٨ – ٦٤$.

الناتج ٥٦ لا يتساوى مع ٧٢، وبالتالي يتم استبعاد هذا الخيار.

ننتقل لتجريب الخيار الثاني وهو العدد ٩.

نوجد مربع العدد ٩ بضربه في نفسه، ويكون الناتج ٨١.

نحسب الفرق الرياضي بين المربع والعدد: $٧٢ = ٩ – ٨١$.

نلاحظ أن الناتج ٧٢ يتطابق تماماً وبشكل دقيق مع الشرط المذكور في نص المسألة.

لذلك، فإن العدد ٩ هو الإجابة المؤكدة والصحيحة.

تكنيك ٢ (النمذجة الرياضية بالمعادلات التربيعية):

المفهوم الرياضي: صياغة النص اللفظي للمسألة في قالب معادلة جبرية من الدرجة الثانية، وتحويلها لمعادلة صفرية، ثم استخدام طريقة التحليل للعوامل لاستنباط الجذور التي تمثل قيم العدد المجهول.

نرمز للعدد المجهول الذي نسعى لإيجاده بالمتغير س.

بناءً على التعبير اللفظي، نقوم بكتابة المعادلة: مربع العدد مطروحاً منه العدد نفسه يساوي ٧٢.

التمثيل الرياضي الدقيق للمعادلة: $٧٢ = س – {}^{٢}س$.

لتهيئتها للحل، نطرح ٧٢ من كلا طرفي المعادلة لنجعل الطرف الأيمن مساوياً للصفر.

تصبح المعادلة الصفرية بهذا الشكل: $({٧٢-}) + س – {}^{٢}س$ تساوي (صفر).

لتحليل هذا المقدار الثلاثي، نبحث عن عددين يتميزان بصفتين: حاصل ضربهما يساوي الحد المطلق وهو سالب ٧٢، وحاصل جمعهما يساوي معامل س وهو سالب ١.

من خلال البحث الرياضي، نجد أن العددين اللذين يحققان هذين الشرطين معاً هما العدد سالب ٩ والعدد موجب ٨.

نقوم بكتابة المعادلة على شكل جداء أقواس كالتالي: $(س – ٩) \times (س + ٨)$ وتساوي (صفر).

لتتحقق المعادلة الصفرية، إما أن يكون القوس الأول مساوياً للصفر، ومنه نستنتج أن قيمة س تساوي ٩.

أو أن يكون القوس الثاني مساوياً للصفر، ومنه نستنتج أن قيمة س تساوي سالب ٨.

بمطابقة الجذور الناتجة مع مجموعة الخيارات المتاحة في المسألة والتي تتضمن أعداداً موجبة فقط، نجد أن العدد ٩ هو الخيار السليم.

تكنيك ١ (الاستبعاد بناءً على تعريف الأعداد الموجبة):

المفهوم الرياضي: الأعداد الصحيحة الموجبة هي الأعداد الأكبر من الصفر حصراً ($\dots , ٣ , ٢ , ١$). الصفر ليس عدداً موجباً، والأعداد السالبة مستبعدة تماماً. بناءً عليه، يجب أن تكون كل من (س) و (ص) أقل من ٧.

المعادلة: $٧ = ص + س$

نقوم بتجربة الخيارات لمعرفة أي منها يعطي قيمة صحيحة وموجبة للمتغير الآخر.

نجرب الخيار الأول ($٧ = س$):

نعوض في المعادلة: $٧ = ص + ٧$

منها نجد أن: $صفر = ص$. بما أن الصفر ليس عدداً موجباً، فهذا يناقض الشرط. الخيار خاطئ.

نجرب الخيار الثالث ($٨ = ص$):

نعوض في المعادلة: $٧ = ٨ + س$

منها نجد أن: ${١-} = س$. العدد سالب، وهذا يناقض الشرط. الخيار خاطئ.

نجرب الخيار الرابع ($٩ = ص$):

بالتأكيد سيعطي قيمة سالبة للمتغير (س) وهي ${٢-}$. الخيار خاطئ.

نجرب الخيار الثاني ($٦ = س$):

نعوض في المعادلة: $٧ = ص + ٦$

منها نجد أن: $١ = ص$. العدد ١ هو عدد صحيح موجب، وهذا يتوافق تماماً مع الشرط في السؤال. إذن هذا هو الخيار الصحيح.

تكنيك ١: التعويض

المفهوم الرياضي: تعويض قيمة س في كل معادلة للتحقق من صحتها.

نجرب المعادلة: $٥ = ٢ + س$

نعوض بقيمة س = $٣$

$٥ = ٢ + ٣$ (معادلة صحيحة)

نجرب المعادلة: $٢ = ١ – س$

نعوض بقيمة س = $٣$

$٢ = ١ – ٣$ (معادلة صحيحة)

نجرب المعادلة: $٣ = ٣ – س٢$

نعوض بقيمة س = $٣$

$٣ = ٣ – ٣ \times ٢$

$٣ = ٣ – ٦$ (معادلة صحيحة)

نجرب المعادلة: $١٠ = ٤ + س٣$

نعوض بقيمة س = $٣$

$١٠ = ٤ + ٣ \times ٣$

$١٠ = ٤ + ٩$

$١٠ = ١٣$ (معادلة خاطئة)

إذن المعادلة الخاطئة هي $١٠ = ٤ + س٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاستنتاج المنطقي.

من المعطيات نعلم أن عُمر محمد أكبر من عُمر علي.

ونعلم أيضاً أن عُمر وليد أكبر من عُمر علي.

كلا من محمد ووليد أكبر من علي، لكن لا توجد أي معلومة أو دلالة تحدد العلاقة بين محمد ووليد.

لذلك لا يمكن تحديد أيهما الأكبر بشكل قاطع.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحليل المربع الكامل في المعادلات التربيعية.

المعادلة المعطاة تمثل مربعاً كاملاً لأن الحد الأول والأخير مربعان وإشارة الحد الأوسط سالبة.

المعادلة: $٠ = ١ + س٢ – {}^{٢}س$

تحليل المربع الكامل يأخذ الشكل بوضع الجذور وإشارة المنتصف في قوس مربع.

تحليل المربع الكامل: $٠ = {}^{٢}(س – ١)$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من الأس:

$٠ = ١ – س$

بنقل العدد للطرف الآخر مع تغيير الإشارة:

$١ = س$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: طريقة المقص أو تحليل مقدار ثلاثي.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد المطلق وهو واحد، ومجموعهما يساوي معامل المتغير الأوسط وهو سالب اثنان.

العددان هما سالب واحد وسالب واحد.

نكتب التحليل على صورة أقواس مضروبة:

$٠ = (س – ١) \times (س – ١)$

ومنه نجد أن:

$١ = س$

تكنيك ١ (الاستنتاج العكسي وتجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: استخدام الخيارات المتاحة كقيمة مفترضة لسعر الكتاب، واستنتاج سعر القلم منها بعملية القسمة، ثم جمع القيمتين لاختبار توافقهما مع المبلغ الإجمالي المعطى.

ينص السؤال على أن سعر الكتاب يساوي ثلاثة أمثال سعر القلم، وهذا يعني استنتاجياً أن سعر القلم يمثل ثلث سعر الكتاب.

نجرب الخيار الأول، مفترضين أن سعر الكتاب هو ٥٤ ريالاً.

لإيجاد سعر القلم، نقسم سعر الكتاب المفتَرَض على العدد ٣.

العملية الحسابية: $١٨ = \frac{٥٤}{٣}$.

الآن، نجمع سعر الكتاب المفترض مع سعر القلم المستنتج للتحقق من المجموع النهائي.

عملية الجمع: $٧٢ = ١٨ + ٥٤$.

بما أن الناتج ٧٢ يتطابق تماماً مع المبلغ الإجمالي المذكور في المعطيات، فإن هذا الخيار هو الإجابة الصحيحة والمؤكدة.

تكنيك ٢ (التأسيس الجبري وحل المعادلات):

المفهوم الرياضي: بناء معادلة رياضية تعبر عن العلاقة النسبية بين ثمن القلم وثمن الكتاب، وحلها بشكل منهجي للوصول إلى القيمة الدقيقة.

نبدأ بفرض أن ثمن القلم هو المتغير المستقل س.

بناءً على ذلك، ونظراً لأن الكتاب يساوي ثلاثة أمثال القلم، فإننا نفرض ثمن الكتاب كمتغير تابع بقيمة ٣س.

نعلم من المعطيات أن مجموع ثمنيهما معاً يساوي ٧٢ ريالاً، فنقوم بكتابة المعادلة الجبرية.

المعادلة هي: $٧٢ = س٣ + س$.

نجمع المتغيرات المتشابهة لتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة: $٧٢ = س٤$.

لإيجاد قيمة س (والتي تمثل ثمن القلم)، نقسم كلا طرفي المعادلة على المعامل الرقمي ٤.

خطوة القسمة: $١٨ = \frac{٧٢}{٤} = س$.

الآن وقد عرفنا أن ثمن القلم هو ١٨ ريالاً، نعود لإيجاد المطلوب الأساسي وهو ثمن الكتاب.

ثمن الكتاب يمثل ٣س، لذا نضرب قيمة س المستخرجة في العدد ٣.

العملية النهائية: $٥٤ = ٣ \times ١٨$.

النتيجة تؤكد أن ثمن الكتاب هو ٥٤ ريالاً.

تكنيك ١: تكوين معادلة

المفهوم الرياضي: التعبير عن ثمن السلع بدلالة السلعة الأولى وتكوين معادلة المجموع.

نفرض أن ثمن السلعة الأولى هو س

السلعة الثانية تزيد بريال: $س + ١$

السلعة الثالثة تزيد عن الثانية بثلاثة ريالات: $س + ١ + ٣$ وتساوي $س + ٤$

السلعة الرابعة تزيد عن الثالثة بريال: $س + ٤ + ١$ وتساوي $س + ٥$

مجموع السلع يساوي $٢٩٠$

$٢٩٠ = س + (س + ١) + (س + ٤) + (س + ٥)$

نجمع المتغيرات والأرقام:

$٢٩٠ = س٤ + ١٠$

نطرح $١٠$ من الطرفين:

$٢٨٠ = س٤$

نقسم على $٤$:

$س = ٢٨٠ \div ٤$

$٧٠ = س$

تكنيك ٢: التجريب

المفهوم الرياضي: تجريب القيم المعطاة في الخيارات للتحقق من المجموع.

نجرب القيمة $٧٠$ للسلعة الأولى.

الثانية: $٧١ = ٧٠ + ١$

الثالثة: $٧٤ = ٧١ + ٣$

الرابعة: $٧٥ = ٧٤ + ١$

المجموع: $٢٩٠ = ٧٠ + ٧١ + ٧٤ + ٧٥$

المجموع مطابق، إذن القيمة صحيحة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم سالبة مختلفة وملاحظة تأثير الأسس الزوجية.

نعلم أن المتغير ع أصغر من (صفر)، أي أنه عدد سالب.

بما أن الأسس في القيمتين زوجية (٤ و ٢)، فإن الناتج سيكون موجباً دائماً.

الحالة الأولى: نفرض $({٢-}) = ع$.

نحسب القيمة الأولى: $\frac{١}{{}^{٤}({٢-})}$ وتساوي $\frac{١}{١٦}$.

نحسب القيمة الثانية: $\frac{١}{{}^{٢}({٢-})}$ وتساوي $\frac{١}{٤}$.

في هذه الحالة، القيمة الثانية أكبر لأن $\frac{١}{١٦} < \frac{١}{٤}$ (الإجابة ب).

الحالة الثانية: نفرض $({١-}) = ع$.

نحسب القيمة الأولى: $\frac{١}{{}^{٤}({١-})}$ وتساوي $١$.

نحسب القيمة الثانية: $\frac{١}{{}^{٢}({١-})}$ وتساوي $١$.

في هذه الحالة، القيمتان متساويتان (الإجابة ج).

نظراً لاختلاف النتيجة باختلاف قيمة ع، فإن المعطيات غير كافية.

تكنيك ١ (الأسس والجذور):

المفهوم الرياضي: مساواة المقامات ثم استخدام الجذور للتخلص من الأسس وإيجاد قيمة المتغير.

بما أن البسط في الطرفين هو ١، فإن المقامات متساوية.

$١٠٠٠٠ = {}^{٤}(٢ + س)$

نحلل العدد ١٠٠٠٠ إلى صيغة أسية: $١٠٠٠٠ = ١٠ \times ١٠ \times ١٠ \times ١٠ = {}^{٤}١٠$

نعوض في المعادلة: ${}^{٤}١٠ = {}^{٤}(٢ + س)$

بأخذ الجذر الرابع للطرفين (وبما أن الأساسات موجبة):

$١٠ = ٢ + س$

نطرح ٢ من الطرفين:

$٨ = ٢ – ١٠ = س$

تكنيك ٢ (تجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: التعويض بالقيم المعطاة في المقام للتأكد من وصول الناتج إلى ١٠٠٠٠.

نجرب الخيار الأول (٨):

نعوض في المقام الأيمن: ${}^{٤}(٢ + ٨) = {}^{٤}١٠$

نحسب القيمة: ${}^{٤}١٠ = ١٠٠٠٠$

الناتج يطابق المقام الأيسر، إذن الإجابة صحيحة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الاستنتاج العكسي والعمليات الحسابية المتسلسلة.

نبدأ من المعلومة المؤكدة في المعطيات وهي راتب خالد.

راتب خالد يساوي ستة آلاف وخمسمائة ريال.

مرتب محمد أصغر من مرتب خالد بمقدار سبعمائة ريال.

نحسب مرتب محمد بطرح الفرق من راتب خالد:

$٥٨٠٠ = ٧٠٠ – ٦٥٠٠$

مرتب سليمان أكبر من مرتب محمد بمقدار خمسمائة ريال.

نجمع مقدار الزيادة على راتب محمد للحصول على راتب سليمان:

$٦٣٠٠ = ٥٠٠ + ٥٨٠٠$

إذاً، راتب سليمان هو ستة آلاف وثلاثمائة ريال.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تمثيل المعطيات بمتغيرات جبرية.

نفرض أن مرتب سليمان هو (س)، ومرتب محمد هو (م)، ومرتب خالد هو (خ).

من المعطيات نشكل المعادلات التالية:

المعادلة الأولى: $٥٠٠ + م = س$

المعادلة الثانية: $٧٠٠ – خ = م$

نعوض بقيمة (خ) وهي ستة آلاف وخمسمائة في المعادلة الثانية:

$٥٨٠٠ = ٧٠٠ – ٦٥٠٠ = م$

نعوض بقيمة (م) في المعادلة الأولى:

$٦٣٠٠ = ٥٠٠ + ٥٨٠٠ = س$

النتيجة النهائية توافق الخيار الثاني.

تكنيك ١: حل المتباينات

المفهوم الرياضي: حل المتباينتين وإيجاد القيمة المشتركة.

المتباينة الأولى: $٢٥ > س٥$

نقسم الطرفين على $٥$

$٥ > س$

المتباينة الثانية: ${}^{٢}س > ٩$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين (س عدد صحيح موجب)

$٣ < س$

نجمع المتباينتين في متباينة واحدة:

$٥ > س > ٣$

العدد الصحيح الوحيد الذي يحقق هذا الشرط هو $٤$.

$٤ = س$

تكنيك ١ (مساواة المقامات):

المفهوم الرياضي: بناءً على قاعدة تساوي الكسور ذات البسوط المتطابقة، نقوم بمساواة المقامات مباشرة لتكوين معادلة خطية بسيطة.

بما أن البسط في الطرفين هو ١، إذن المقام = المقام.

المعادلة: $\frac{١}{٤} + \frac{س}{٢} = \frac{١}{٢} + \frac{س}{٤}$

نطرح $\frac{س}{٤}$ من الطرفين لتجميع المتغيرات:

$\frac{١}{٤} + \frac{س}{٤} = \frac{١}{٢}$

نطرح $\frac{١}{٤}$ من الطرفين لتجميع الأرقام:

$\frac{س}{٤} = \frac{١}{٤} – \frac{١}{٢}$

بتوحيد مقامات الأرقام نجد أن النصف ناقص الربع يساوي ربعاً:

$\frac{س}{٤} = \frac{١}{٤}$

بما أن المقامات متساوية، إذن البسوط متساوية، ومنه: $١ = س$

تكنيك ٢ (تجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بالخيارات للبحث عن القيمة التي تحقق توازن المعادلة.

نجرب الخيار الثاني (١):

الطرف الأيمن: $\frac{١}{\frac{١}{٢} + \frac{١}{٤}} = \frac{١}{\frac{٣}{٤}}$

الطرف الأيسر: $\frac{١}{\frac{١}{٤} + \frac{١}{٢}} = \frac{١}{\frac{٣}{٤}}$

الطرفان متساويان، إذن القيمة ١ هي الحل الصحيح.

تكنيك ١ (استراتيجية تجريب الخيارات تصاعدياً):

المفهوم الرياضي: أخذ كل خيار من الخيارات المتاحة، إيجاد مربعه بضربه في نفسه، ثم إضافة العدد الثابت ٣ إلى الناتج، ومقارنة النتيجة النهائية بالرقم ٨٤ المذكور في المسألة للتحقق من صحته.

نبدأ بتجريب الخيار الأول وهو العدد ٧.

نقوم بتربيع العدد ٧ ليصبح ٤٩، ثم نضيف إليه العدد ٣.

العملية الحسابية: $٥٢ = ٣ + ٤٩$.

بما أن الناتج ٥٢ لا يساوي ٨٤، فإننا نستبعد هذا الخيار تماماً.

ننتقل لتجريب الخيار الثاني وهو العدد ٨.

نقوم بتربيع العدد ٨ ليصبح ٦٤، ثم نضيف إليه العدد ٣.

العملية الحسابية: $٦٧ = ٣ + ٦٤$.

بما أن الناتج ٦٧ لا يساوي ٨٤ أيضاً، فإننا نستبعد هذا الخيار.

نجرب الخيار الثالث وهو العدد ٩.

نقوم بتربيع العدد ٩ ليصبح ٨١، ثم نضيف إليه العدد ٣.

العملية الحسابية: $٨٤ = ٣ + ٨١$.

بما أن الناتج يطابق تماماً الرقم المطلوب في المسألة وهو ٨٤، فإن الخيار الثالث ٩ هو الإجابة الصحيحة بلا شك.

تكنيك ٢ (المنهج الجبري وتطبيق العمليات العكسية):

المفهوم الرياضي: التجريد الرياضي للمسألة وبناء معادلة جبرية تحتوي على متغير مربع، ثم التدرج في حلها باستخدام العمليات الحسابية العكسية لعزل المتغير والوصول لقيمته الأصلية بأخذ الجذر التربيعي.

نفرض أن العدد المجهول الذي نبحث عنه يمثله المتغير س.

نقوم بصياغة المعادلة الجبرية التي تمثل المسألة: $٨٤ = ٣ + {}^{٢}س$.

نبدأ خطوات الحل بتطبيق العملية العكسية للجمع، وهي طرح العدد ٣ من طرفي المعادلة للتخلص منه وعزل الحد المربع.

عملية الطرح: $٨١ = ٣ – ٨٤ = {}^{٢}س$.

الخطوة التالية هي تطبيق العملية العكسية للتربيع للتخلص من الأس، وهي أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.

بأخذ الجذر التربيعي الموجب للعدد ٨١، نحصل على النتيجة النهائية وهي العدد ٩.

وبذلك نثبت رياضياً أن العدد الذي يحقق شرط المسألة هو ٩.

تكنيك ١ (النمذجة الرياضية والحل الجبري المباشر):

المفهوم الرياضي: ترجمة العلاقة بين المنفقين إلى معادلة خطية بمتغير واحد، وحلها بقسمة المجموع الكلي على مجموع الأجزاء (النسب).

نفرض أن المبلغ الذي أنفقه خالد يمثله المتغير س.

بناءً على المعطيات، أحمد أنفق الضعف، لذا يمثله المتغير ٢س.

مجموع ما أنفقاه معاً يساوي ١١١ ريالاً، فنصيغ المعادلة.

المعادلة الجبرية: $١١١ = س٢ + س$.

نجمع الحدود المتشابهة لتصبح المعادلة: $١١١ = س٣$.

لإيجاد قيمة س (وهي تمثل ما أنفقه خالد)، نقسم المجموع الكلي على المعامل ٣.

عملية القسمة: $٣٧ = \frac{١١١}{٣} = س$.

إذن، المبلغ الذي أنفقه خالد هو ٣٧ ريالاً.

تكنيك ٢ (تجريب الخيارات واستنتاج المجموع):

المفهوم الرياضي: افتراض أن أحد الخيارات يمثل ما أنفقه خالد، وحساب ما أنفقه أحمد بمضاعفة القيمة، ثم جمع القيمتين للتحقق من تطابقهما مع المجموع الإجمالي.

نجرب الخيار الثاني، ونفترض أن خالد أنفق ٣٧ ريالاً.

نستنتج ما أنفقه أحمد بضربه في ٢ (لأنه أنفق الضعف): $٧٤ = ٢ \times ٣٧$.

نقوم بجمع ما أنفقه الاثنان لاختبار المجموع الكلي.

عملية الجمع: $١١١ = ٧٤ + ٣٧$.

بما أن الناتج ١١١ يطابق تماماً المبلغ المذكور في السؤال، فالإجابة صحيحة ومؤكدة.

تكنيك ١ (طريقة التعويض العددي):

المفهوم الرياضي: استبدال المتغير المجهول بقيمة عددية تحقق الشرط المذكور (أن يكون عدداً فردياً)، ثم حساب نواتج جميع العبارات الجبرية في الخيارات للبحث عن الناتج الزوجي.

نفرض أن قيمة المتغير س هي العدد الفردي ٣.

نجرب الخيار الأول بتعويض قيمة س في العبارة الجبرية: $١ + س٢$.

العملية الحسابية: $٧ = ١ + (٣ \times ٢)$. الناتج ٧ هو عدد فردي، فالخيار خاطئ.

نجرب الخيار الثاني بتعويض قيمة س في العبارة الجبرية: $س٣$.

العملية الحسابية: $٩ = ٣ \times ٣$. الناتج ٩ هو عدد فردي، فالخيار خاطئ.

نجرب الخيار الثالث بتعويض قيمة س في العبارة الجبرية: $س٥$.

العملية الحسابية: $١٥ = ٣ \times ٥$. الناتج ١٥ هو عدد فردي، فالخيار خاطئ.

نجرب الخيار الرابع بتعويض قيمة س في العبارة الجبرية: $٣ + س$.

العملية الحسابية: $٦ = ٣ + ٣$. الناتج ٦ هو عدد زوجي، وهو يحقق المطلوب تماماً.

تكنيك ٢ (الاستنتاج المبني على خصائص الأعداد):

المفهوم الرياضي: توظيف القواعد الجبرية لجمع وضرب الأعداد الزوجية والفردية لتقييم كل خيار بشكل منطقي دون الحاجة للتعويض.

نعلم من المعطيات أن المتغير س يمثل عدداً فردياً.

في الخيارات الثلاثة الأولى، يتم ضرب المتغير س في عدد فردي (مثل ٣ و ٥) أو مضاعفته كعدد زوجي مضافاً إليه عدد فردي.

القاعدة الأولى تنص على أن: (فردي) مضروباً في (فردي) يساوي (فردي)، مما يستبعد الخيارين الثاني والثالث.

في الخيار الرابع، العبارة هي جمع المتغير س (الفردي) مع العدد ٣ (وهو أيضاً فردي).

القاعدة الثانية تنص بوضوح على أن مجموع أي عددين فرديين ينتج دائماً وبلا استثناء عدداً زوجياً.

التمثيل الرياضي للقاعدة: (فردي) مضافاً إليه (فردي) يساوي (زوجي).

بناءً على هذا الاستنتاج الرياضي، الخيار الرابع هو الإجابة الصحيحة قطعياً.

تكنيك ١ (طريقة التعويض الرقمي):

المفهوم الرياضي: إحلال قيمة عددية فردية محل المتغير ن في الخيارات المطروحة، لتحديد العبارة الجبرية التي تولد ناتجاً زوجياً.

نفرض أن قيمة المتغير ن تساوي العدد الفردي ٣ لتطبيق التجريب.

نجرب الخيار الأول المتمثل في العبارة: $٣(ن – ١)$.

نقوم بالتعويض وإجراء العمليات: $٦ = ٣(٢) = ٣(١ – ٣)$.

الناتج النهائي هو ٦، وهو يمثل عدداً زوجياً، مما يجعله يحقق الشرط المطلوب مباشرة.

لزيادة التأكيد، يمكننا تجريب الخيار الثاني: $ن٣$. نعوض بقيمة ن فنجد أن الناتج $٩ = ٣ \times ٣$ وهو عدد فردي.

ونجرب الخيار الثالث: $٢ + ن$. نعوض فنجد أن الناتج $٥ = ٢ + ٣$ وهو عدد فردي.

وبهذا نتأكد بشكل قاطع من صحة الخيار الأول.

تكنيك ٢ (الاستنباط المنطقي الرياضي):

المفهوم الرياضي: استخلاص طبيعة الناتج النهائي من خلال تفكيك العبارة الجبرية وتطبيق قواعد التكافؤ الأساسية للعمليات الحسابية.

المعطى الأساسي هو أن المتغير ن يمثل عدداً فردياً.

نحلل بنية الخيار الأول الذي يحتوي على الأقواس: $٣(ن – ١)$.

نبدأ بالعملية داخل الأقواس: المتغير ن مطروحاً منه العدد الفردي ١.

القاعدة الرياضية للطرح تفيد بأن طرح عدد فردي من عدد فردي آخر ينتج في كل الأحوال عدداً زوجياً.

التمثيل الرياضي للخطوة الأولى: (فردي) مطروحاً منه (فردي) يساوي (زوجي).

الآن، ننتقل للعملية خارج الأقواس، وهي ضرب هذا الناتج الزوجي المستخرج في العدد الفردي ٣.

قاعدة الضرب الثابتة تنص على أن حاصل ضرب أي عدد صحيح في عدد زوجي، يعطي ناتجاً نهائياً زوجياً.

التمثيل الرياضي للخطوة الثانية: (فردي) مضروباً في (زوجي) يساوي (زوجي).

هذا التدرج المنطقي يبرهن أن الخيار الأول هو الحل الرياضي الصحيح باستمرار.

تكنيك ١ (طريقة التجريب المباشر للخيارات):

المفهوم الرياضي: استخدام الخيارات المعطاة كمبلغ إجمالي افتراضي، وتطبيق سلسلة الأحداث (إعطاء الربع، ثم إضاعة النصف من المتبقي) خطوة بخطوة لمطابقة الناتج مع المبلغ المتبقي النهائي وهو ٣ ريالات.

نجرب الخيار الأول ونفترض أن المبلغ الكلي هو ٨ ريالات.

أعطى أخته الربع، فنحسب الربع بقسمة المبلغ على ٤، ويكون الناتج ٢.

نطرح ما أعطاه لأخته من المبلغ الكلي لمعرفة الباقي الأول: $٦ = ٢ – ٨$.

بعد ذلك، أضاع نصف هذا الباقي، فنحسب نصف العدد ٦ وهو ٣.

نطرح ما أضاعه من الباقي الأول لمعرفة المتبقي النهائي: $٣ = ٣ – ٦$.

بما أن المبلغ المتبقي هو ٣ ريالات، وهو يطابق تماماً المعطيات في المسألة، فإن الخيار الأول صحيح.

تكنيك ٢ (طريقة الحل العكسي):

المفهوم الرياضي: البدء من النتيجة النهائية (المبلغ المتبقي) والعودة بالعمليات الحسابية بشكل عكسي (عكس النصف هو الضعف، وعكس خصم الربع هو إضافة الثلث للوصول للمبلغ الكامل) لمعرفة نقطة البداية.

المبلغ المتبقي معه في النهاية هو ٣ ريالات.

بما أن هذا المبلغ يمثل النصف المتبقي بعد أن أضاع نصف ماله، فإن المبلغ قبل الضياع كان الضعف.

نحسب المبلغ قبل الضياع: $٦ = ٢ \times ٣$.

العدد ٦ يمثل ما تبقى معه بعد أن أعطى أخته الربع، أي أن ٦ تمثل ثلاثة أرباع ماله الأصلي.

لإيجاد المبلغ الكلي، نضرب العدد ٦ في مقلوب الكسر وهو أربعة أثلاث.

العملية الحسابية: $٨ = \frac{٤}{٣} \times ٦$.

إذن، المبلغ الكلي هو ٨ ريالات.

تكنيك ١: تكوين معادلة

المفهوم الرياضي: إيجاد المجموع ثم تكوين معادلة للأعداد المتتالية.

تسعة أمثال المجموع يساوي $٥٤$

المجموع = $٦ = ٩ \div ٥٤$

نفرض الأعداد هي س، $١ + س$، $٢ + س$، $٣ + س$

المجموع = $٦ = ٣ + ٢ + ١ + س٤$

$٦ = ٦ + س٤$

(صفر) = $س٤$

س = (صفر)

الأعداد هي (صفر)، $١$، $٢$، $٣$

أكبر عدد هو $٣$

تكنيك ٢: المتوسط الحسابي

المفهوم الرياضي: إيجاد المتوسط الحسابي للأعداد من خلال مجموعها.

المجموع = $٦ = ٩ \div ٥٤$

المتوسط الحسابي = $\frac{ج}{ع}$

المتوسط = $١,٥ = ٤ \div ٦$

بما أن الأعداد متتالية، فالمتوسط يقع في المنتصف بين العددين الأوسطين.

العددان الأوسطان هما $١$ و $٢$

الأعداد هي (صفر)، $١$، $٢$، $٣$

أكبر عدد هو $٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حل المعادلات الجبرية من الدرجة الثانية والمساواة بين الطرفين.

نلاحظ من المعادلة وجود المتغير (س) في كلا الطرفين.

نرتب المعادلة بنقل جميع الحدود إلى طرف واحد لتصبح معادلة صفرية.

المعادلة الأصلية: $٣ + {س-} = ٣ + {}^{٢}س$

نطرح العدد ثلاثة من الطرفين:

${س-} = {}^{٢}س$

نضيف (س) للطرفين للحصول على المعادلة الصفرية:

$٠ = س + {}^{٢}س$

نأخذ المتغير (س) كعامل مشترك:

$٠ = (١ + س) \times س$

إما أن تكون $٠ = س$ أو أن تكون $٠ = ١ + س$ ومنها ${١-} = س$.

بالرجوع للخيارات المتاحة، نجد أن القيمة المطابقة هي الصفر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التجريب والتعويض المباشر في الخيارات.

نعوض بقيمة كل خيار في طرفي المعادلة للتحقق من التساوي.

بتجربة الخيار الأول وهو الصفر:

الطرف الأول: $٣ = ٣ + {}^{٢}٠$

الطرف الثاني: $٣ = ٣ + ٠$

الطرفان متساويان، إذاً الحل صحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بأعداد صحيحة متتالية.

بما أن الأعداد متتالية وتحقق $د < ج < ب < أ$، نفرض قيماً بسيطة لتسهيل الحساب.

نفرض $١ = د$، $٢ = ج$، $٣ = ب$، $٤ = أ$.

نعوض في القيمة الأولى: $ج – أ$.

الناتج: $٢ = ٢ – ٤$.

نعوض في القيمة الثانية: $د – ب$.

الناتج: $٢ = ١ – ٣$.

نلاحظ أن القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية ($٢ = ٢$).

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص المتتابعات الحسابية.

بما أن الأعداد متتالية، فإن الفرق بين أي عددين تفصل بينهما منزلة واحدة هو مقدار ثابت.

لدينا أ هو العدد الأكبر، وجـ هو العدد الأصغر منه بمنزلتين، لذا $٢ = ج – أ$.

وبالمثل، ب هو عدد، ود هو العدد الأصغر منه بمنزلتين، لذا $٢ = د – ب$.

نستنتج أن القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية دائماً.

تكنيك ١ (طريقة التجريب والاستنتاج المباشر):

المفهوم الرياضي: استخدام أحد الخيارات كقيمة مفترضة لثمن الكتاب، ثم طرح مقدار الزيادة منه لاستنتاج ثمن القلم، وبعد ذلك نجمع الثمنين معاً للتحقق من المجموع الكلي.

نقوم بتجريب الخيار الأول ونفترض أن ثمن الكتاب هو ٣٧ ريالاً.

بما أن معطيات المسألة تؤكد أن ثمن الكتاب يزيد عن ثمن القلم بمقدار ١٣ ريالاً، فإننا نطرح هذا الفارق من ثمن الكتاب لمعرفة ثمن القلم.

العملية الحسابية لاستنتاج ثمن القلم: $٢٤ = ١٣ – ٣٧$.

الخطوة الأخيرة هي جمع ثمن الكتاب المفتَرَض وثمن القلم المستنتج لاختبار صحة المجموع.

عملية الجمع للتحقق: $٦١ = ٢٤ + ٣٧$.

بما أن الناتج ٦١ يتوافق بشكل تام مع المبلغ الإجمالي المذكور في السؤال، فهذا يثبت أن الخيار الأول هو الصحيح.

تكنيك ٢ (استراتيجية أنظمة المعادلات الخطية والحذف):

المفهوم الرياضي: تحويل المعطيات اللفظية إلى نظام مكون من معادلتين خطيتين بمتغيرين، ثم استخدام طريقة الجمع الجبري لحذف أحد المتغيرين وإيجاد قيمة المتغير الآخر بشكل دقيق.

نصيغ المعادلة الأولى التي تمثل المجموع الكلي: ثمن الكتاب مضافاً إليه ثمن القلم يساوي ٦١.

نصيغ المعادلة الثانية التي تمثل فارق السعر: ثمن الكتاب مطروحاً منه ثمن القلم يساوي ١٣.

نقوم بجمع المعادلتين بشكل عمودي ومباشر.

عند الجمع، يتم حذف متغير (ثمن القلم) الموجب مع متغير (ثمن القلم) السالب.

ينتج لدينا في الطرف الأيمن: ضعف ثمن الكتاب. وفي الطرف الأيسر مجموع الرقمين.

العملية الحسابية للطرف الأيسر: $٧٤ = ١٣ + ٦١$.

لإيجاد ثمن الكتاب بمفرده، نقسم الناتج الكلي على العدد ٢.

عملية القسمة النهائية: $٣٧ = \frac{٧٤}{٢}$.

وهذا الحل الرياضي يؤكد بشكل قاطع أن ثمن الكتاب هو ٣٧ ريالاً.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: قاعدة ضرب الإشارات.

القيمة الأولى هي عبارة عن حاصل ضرب $({س-})$ في $({س-})$.

عند ضرب عدد سالب في عدد سالب، فإن الناتج يكون عدداً موجباً، أي ${}^{٢}س = ({س-}) \times ({س-})$.

بما أن (س) عدد صحيح موجب، فإن مربعه ${}^{٢}س$ سيكون أيضاً عدداً صحيحاً موجباً.

أي عدد موجب هو أكبر من (صفر) دائماً.

إذن، القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بقيمة عددية.

بما أن (س) عدد صحيح موجب، نفرض $٢ = س$.

نعوض في القيمة الأولى: $({٢-}) \times ({٢-})$.

الناتج هو $٤ = ({٢-}) \times ({٢-})$.

نقارن الناتج مع القيمة الثانية وهي (صفر).

بما أن $٠ < ٤$، فإن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١ (التجريب):

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات للبحث عن عدد يقبل القسمة على ٣ و ٤ معاً، ويكون مجموع نواتج القسمة ١٤.

المعادلة الرياضية: $١٤ = \frac{س}{٤} + \frac{س}{٣}$

حيث (س) عدد المدعوين.

نجرب الخيار الأول (١٢): $٧ = ٣ + ٤ = \frac{١٢}{٤} + \frac{١٢}{٣}$ (خطأ لأن المجموع ليس ١٤).

نجرب الخيار الرابع (٢٤): $١٤ = ٦ + ٨ = \frac{٢٤}{٤} + \frac{٢٤}{٣}$ (صحيح).

تكنيك ٢ (الحل الجبري):

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة كسرية تمثل إجمالي عدد الأطباق بدلالة عدد المدعوين ثم حلها لإيجاد المجهول.

نفرض أن عدد المدعوين هو (س).

عدد أطباق الخضار = $\frac{س}{٣}$

عدد أطباق اللحم = $\frac{س}{٤}$

مجموع الأطباق المعطى في السؤال هو ١٤.

نكون المعادلة: $١٤ = \frac{س}{٤} + \frac{س}{٣}$

بتوحيد المقامات بضرب الكسر الأول في ٤ والكسر الثاني في ٣:

$١٤ = \frac{س٣}{١٢} + \frac{س٤}{١٢}$

$١٤ = \frac{س٧}{١٢}$

بضرب الطرفين في ١٢ للتخلص من المقام:

$١٦٨ = س٧$

بقسمة الطرفين على ٧:

$٢٤ = س$

تكنيك ١ (المطابقة المباشرة):

المفهوم الرياضي: التناظر أو المطابقة البصرية بين طرفي المعادلة إذا كانا يمتلكان نفس الهيكلة الرياضية بالضبط.

نلاحظ أن الطرف الأيسر يتكون من عدد صحيح مجموع مع مقلوبه: $٢ + \frac{١}{٢}$

ونلاحظ أن الطرف الأيمن يتكون من متغير مجموع مع مقلوبه: $س + \frac{١}{س}$

بالمطابقة المباشرة بين الطرفين، نستنتج أن العدد الصحيح يقابل المتغير، والكسر يقابل الكسر.

إذن: $٢ = س$

تكنيك ٢ (توحيد المقامات وحل المعادلة التربيعية):

المفهوم الرياضي: التخلص من المقامات بتحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية ثم حلها.

المعادلة: $\frac{٥}{٢} = \frac{{}^{٢}س + ١}{س}$

بضرب الطرفين في الوسطين (مقص):

س$٥ = ٢ + {}^{٢}س٢$

ننقل جميع الحدود لجهة واحدة لتكوين معادلة صفرية:

صفر $= ٢ + س٥ – {}^{٢}س٢$

بتحليل المعادلة التربيعية:

صفر $= (٢ – س) \times (١ – س٢)$

إما أن $٢ = س$ أو $\frac{١}{٢} = س$. الخيار المطروح في الإجابات هو ٢.

تكنيك ١ (المنهج الجبري والعمليات العكسية):

المفهوم الرياضي: تحويل المسألة إلى معادلة من الدرجة الأولى وحلها عن طريق عزل المتغير بتطبيق العمليات الحسابية العكسية بالترتيب.

نفرض أن العدد المجهول يمثله المتغير س.

نصيغ المعادلة اللفظية إلى رموز: $٢٣ = ٥ + س٤$.

نبدأ بالتخلص من عملية الجمع بنقل العدد ٥ إلى الطرف الآخر بإشارة سالبة (عملية طرح).

الخطوة الأولى: $١٨ = ٥ – ٢٣ = س٤$.

الآن، نتخلص من معامل الضرب بقسمة الطرفين على العدد ٤ لعزل المتغير س.

الخطوة الثانية: $٤,٥ = \frac{١٨}{٤} = س$.

العدد المطلوب هو ٤,٥.

تكنيك ٢ (طريقة الحل العكسي الذهني):

المفهوم الرياضي: الانطلاق من الناتج النهائي للمسألة والعودة بالزمن إلى الوراء عن طريق تطبيق عكس كل عملية حسابية وردت في النص.

الناتج النهائي هو ٢٣.

العملية الأخيرة في النص كانت (جُمع عليه ٥)، فعكسها هو الطرح.

نقوم بالطرح: $١٨ = ٥ – ٢٣$.

العملية الأولى في النص كانت (ضرب في ٤)، فعكسها هو القسمة.

نقوم بالقسمة: $٤,٥ = \frac{١٨}{٤}$.

الناتج هو ٤,٥ وهو العدد الأصلي.

تكنيك ٣ (تجريب الخيارات):

المفهوم الرياضي: تطبيق العمليات الحسابية المذكورة في السؤال على كل خيار متاح حتى نصل للناتج المذكور.

نجرب الخيار الثالث وهو ٤,٥.

نضرب العدد في ٤: $١٨ = ٤ \times ٤,٥$.

نجمع على الناتج ٥: $٢٣ = ٥ + ١٨$.

الناتج ٢٣ يطابق المعطيات، إذن الخيار صحيح.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي للكسور ذات البسوط المتساوية.

في الكسور التي تمتلك نفس البسط، الكسر ذو المقام الأكبر تكون قيمته هي الأصغر.

بما أن المعطيات تنص على أن $٢ < س$، فإن مقام القيمة الأولى أكبر من مقام القيمة الثانية.

لذلك، يجب أن تكون القيمة الأولى أصغر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض بقيمة عددية افتراضية.

بما أن $٢ < س$، نفرض أن المتغير قيمته هي $٣ = س$.

بالتعويض، تصبح القيمة الأولى $\frac{١}{٣}$ بينما القيمة الثانية هي $\frac{١}{٢}$.

بمقارنة الكسرين، نجد بوضوح أن $\frac{١}{٣} < \frac{١}{٢}$.

إذن القيمة الثانية هي الأكبر.