اختبار: المتتابعات والأنماط العددية والبصرية

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: توحيد المقامات في متتابعة حسابية كسرية.

الخطوة الأولى: نكتب حدود المتتابعة ونحول الأعداد الكسرية والصحيحة إلى كسور اعتيادية مقامها $٤$ لتسهيل المقارنة.

الحد الأول: $٢ = \frac{٨}{٤}$

الحد الثاني: $\frac{٩}{٤}$

الحد الرابع: $٢ \frac{٣}{٤} = \frac{١١}{٤}$

الحد الخامس: $٣ = \frac{١٢}{٤}$

الخطوة الثانية: نلاحظ المتتابعة بالشكل الجديد: $\frac{١٢}{٤} , \frac{١١}{٤} , \dots , \frac{٩}{٤} , \frac{٨}{٤}$

الخطوة الثالثة: يتبين بوضوح أن النمط هو زيادة $\frac{١}{٤}$ في كل مرة، حيث يزيد البسط بمقدار $١$ والمقام ثابت.

الخطوة الرابعة: الحد الناقص (الحد الثالث) هو $\frac{١٠}{٤} = \frac{١}{٤} + \frac{٩}{٤}$

الخطوة الخامسة: نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على $٢$.

$\frac{٥}{٢} = \frac{١٠}{٤}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد النمط في المتتابعة الحسابية المتغيرة.

الخطوة الأولى: نحسب مقدار الزيادة بين كل حدين متتاليين.

من $٣$ إلى $٩$: الزيادة هي $٦ = ٣ – ٩$.

من $٩$ إلى $١٦$: الزيادة هي $٧ = ٩ – ١٦$.

من $١٦$ إلى $٢٤$: الزيادة هي $٨ = ١٦ – ٢٤$.

الخطوة الثانية: نلاحظ أن مقدار الزيادة يزداد بمقدار $١$ في كل مرة والمتتابعة هي $\dots , ٨ , ٧ , ٦$.

الخطوة الثالثة: الزيادة القادمة ستكون $٩$.

الخطوة الرابعة: نجمع الحد الأخير مع الزيادة الجديدة للحصول على الحد التالي.

$٣٣ = ٩ + ٢٤$

إذن الحد التالي هو $٣٣$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استكمال الأنماط وإيجاد التقاطع.

نكمل المتتابعة الأولى بإضافة $٤$ في كل خطوة:

$\dots , ٥٩ , ٥٥ , ٥١ , ٤٧ , ٤٣ , ٣٩ , ٣٥ , ٣١ , ٢٧ , ٢٣$

نكمل المتتابعة الثانية بإضافة $٩$ في كل خطوة:

$\dots , ٦٤ , ٥٥ , ٤٦ , ٣٧$

بمقارنة الحدود الناتجة، نجد أن العدد $٥٥$ ظهر كحد مشترك في كلتا المتتابعتين.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: قابلية القسمة والتحليل العكسي للخيارات.

نصيغ القانون كالتالي لمعرفة انتماء العدد للمتتابعة:

$ك = (س – أ) \div د$

حيث (ك) عدد صحيح، (س) العدد المراد اختباره، (أ) الحد الأول، (د) مقدار الزيادة.

أي عدد ينتمي للمتتابعة الأولى يجب أن يكون ناتج طرح $٧$ منه قابلاً للقسمة على $٤$.

نجرب العدد $٥٥$:

$٤٨ = ٧ – ٥٥$

العدد $٤٨$ يقبل القسمة على $٤$ دون باق.

أي عدد ينتمي للمتتابعة الثانية يجب أن يكون ناتج طرح $١$ منه قابلاً للقسمة على $٩$.

نجرب العدد $٥٥$:

$٥٤ = ١ – ٥٥$

العدد $٥٤$ يقبل القسمة على $٩$ دون باق.

بما أن الشرطين تحققا معاً، فإن الإجابة هي $٥٥$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج النمط الحسابي التراكمي في الأشكال الهرمية.

كل دائرتين متجاورتين في صف تشكلان قاعدة لمثلث مقلوب رأسه في الصف الأسفل.

القاعدة هي: مجموع العددين في القاعدة مقسوماً على $٣$ يساوي عدد الرأس.

مثال من الصف الأول: $٨ = ٣ \div (٩ + ١٥)$

لإيجاد العدد الناقص في الدائرة السفلية، نأخذ العددين اللذين فوقه وهما $٤$ و $٢$.

نجمع العددين: $٦ = ٢ + ٤$

نقسم المجموع على $٣$: $٢ = ٣ \div ٦$

العدد الناقص هو $٢$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الأنماط الدائرية ذات الزيادة المتتابعة.

نبدأ من القطاع الذي يحمل الرقم $١$ ونتحرك باتجاه حركة عقارب الساعة.

نوجد الفروق بين الأرقام المتتالية.

$٤ = ٣ + ١$

$٨ = ٤ + ٤$

$١٣ = ٥ + ٨$

$١٩ = ٦ + ١٣$

$٢٦ = ٧ + ١٩$

نلاحظ أن مقدار الزيادة يرتفع بمقدار $١$ مع كل خطوة انتقال.

الزيادة القادمة للرقم $٢٦$ يجب أن تكون بمقدار $٨$.

$٣٤ = ٨ + ٢٦$

للتحقق، نضيف $٩$ للناتج لنحصل على الرقم الأخير الموجود في الدائرة:

$٤٣ = ٩ + ٣٤$

الإجابة هي $٣٤$.

تكنيك ١: قسمة أيام السنة الهجرية على ٧

المفهوم الرياضي: عدد أيام السنة الهجرية هو $٣٥٥$ يوماً. لمعرفة يوم النهاية بمعلومية يوم البداية، نقسم عدد الأيام على ٧ ونعد الباقي ابتداءً من يوم البداية.

نقسم $٣٥٥$ على $٧$.

نعلم أن $٣٥٠$ تقبل القسمة على $٧$ (لأن $٣٥٠ = ٥٠ \times ٧$).

إذن الباقي هو $٥$ أيام.

بما أن السنة تبدأ يوم الثلاثاء واليوم الأول محسوب، نعد $٥$ أيام ابتداءً من الثلاثاء.

العد: ١- الثلاثاء، ٢- الأربعاء، ٣- الخميس، ٤- الجمعة، ٥- السبت.

إذن تنتهي السنة الهجرية يوم السبت.

تكنيك ٢: الاعتماد على عدد أسابيع السنة الهجرية

السنة الهجرية تتكون من $٥٠$ أسبوعاً كاملة و $٥$ أيام.

بعد انقضاء $٥٠$ أسبوعاً، سنعود إلى نفس اليوم الذي بدأنا منه (الثلاثاء).

يتبقى لدينا $٥$ أيام يجب أن نمر بها لنكمل السنة.

نعد $٥$ أيام متضمنة يوم البداية: الثلاثاء، الأربعاء، الخميس، الجمعة، السبت.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استنتاج القاعدة الجبرية للنمط الخطي.

الخطوة الأولى: نلاحظ العلاقة بين عدد المثلثات وعدد الأعواد.

مثلث واحد يحتاج $٣$ أعواد.

مثلثان يحتاجان $٥$ أعواد.

ثلاثة مثلثات تحتاج $٧$ أعواد.

الخطوة الثانية: نستنتج القاعدة. نلاحظ أن عدد الأعواد يساوي ضعف عدد المثلثات مضافاً إليه $١$.

القانون: $١ + (٢ \times م) = ع$

حيث (ع) عدد الأعواد، (م) عدد المثلثات.

الخطوة الثالثة: نعوض في القانون لحساب عدد الأعواد لـ $٣٧$ مثلثاً.

$١ + (٢ \times ٣٧) = ع$

$١ + ٧٤ = ع$

$٧٥ = ع$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: المتتابعة الحسابية.

الخطوة الأولى: نكتب أعداد الأعواد كمتتابعة: $\dots , ٧ , ٥ , ٣$.

الخطوة الثانية: نحدد الحد الأول وأساس المتتابعة.

الحد الأول (أ) = $٣$.

أساس المتتابعة (د) هو مقدار الزيادة الثابتة، ويساوي $٢$.

الخطوة الثالثة: نستخدم قانون الحد النوني للمتتابعة الحسابية.

$د \times (١ – ن) + أ = نح$

الخطوة الرابعة: نعوض لإيجاد الحد السابع والثلاثين (ن = $٣٧$).

$٢ \times (١ – ٣٧) + ٣ = ٣٧ح$

$٢ \times (٣٦) + ٣ = ٣٧ح$

$٧٢ + ٣ = ٣٧ح$

$٧٥ = ٣٧ح$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: متتابعة فيبوناتشي في القطاعات الدائرية.

ندرس العلاقة بين الأرقام في القطاعات الدائرية المتجاورة.

القاعدة هي جمع كل رقمين متتاليين لإنتاج الرقم الذي يليهما مباشرة.

نبدأ من أعلى الدائرة:

$٦ = ٣ + ٣$

نستمر في الجمع:

$٩ = ٦ + ٣$

$١٥ = ٩ + ٦$

$٢٤ = ١٥ + ٩$

لإيجاد قيمة المتغير س، نقوم بجمع آخر رقمين معلومين وهما $١٥$ و $٢٤$.

$٣٩ = ٢٤ + ١٥$

للتأكد من استمرار النمط بشكل صحيح، نجمع قيمة س مع الرقم الذي يسبقها لنحصل على الرقم الأخير:

$٦٣ = ٣٩ + ٢٤$

الإجابة هي $٣٩$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: متتابعة فيبوناتشي (جمع كل حدين متتاليين لإنتاج الحد التالي).

الخطوة الأولى: نلاحظ العلاقة بين كل حد والحدود التي تسبقه.

نجمع الحد الأول والثاني: $٢ = ١ + ١$. وهو الحد الثالث.

نجمع الحد الثاني والثالث: $٣ = ٢ + ١$. وهو الحد الرابع.

نجمع الحد الثالث والرابع: $٥ = ٣ + ٢$. وهو الحد الخامس.

نجمع الحد الرابع والخامس: $٨ = ٥ + ٣$. وهو الحد السادس.

الخطوة الثانية: نستنتج القاعدة وهي أن كل حد يساوي مجموع الحدين السابقين له مباشرة.

الخطوة الثالثة: لإيجاد الحد التالي، نجمع آخر حدين معلومين وهما $٥$ و $٨$.

$١٣ = ٨ + ٥$

إذن الحد التالي هو $١٣$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المتتابعات الحسابية.

نلاحظ أن المتتابعة تزيد بمقدار ثابت في كل مرة. الحد الأول هو $٣$ ومقدار الزيادة (الأساس) هو $٢$.

قانون الحد العام للمتتابعة الحسابية:

$د \times (١ – ن) + ١أ = نأ$

حيث (أ١) هو الحد الأول، (د) هو أساس المتتابعة، (ن) هو رقم الحد المطلوب.

نعوض بالقيم: $١أ$ يساوي $٣$، و $د$ يساوي $٢$، و $ن$ يساوي $١٨$.

التعويض: $٢ \times (١ – ١٨) + ٣ = ١٨أ$

نطرح ما بداخل الأقواس: $٢ \times (١٧) + ٣ = ١٨أ$

نضرب: $٣٤ + ٣ = ١٨أ$

نجمع: $٣٧ = ١٨أ$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحساب الذهني والتدرج المنتظم.

بما أن الزيادة هي $٢$ لكل حد، فإن الحد الثامن عشر سيزيد عن الحد الأول بـ $١٧$ قفزة.

مقدار الزيادة الكلية: $٣٤ = ٢ \times ١٧$

نضيف الزيادة للحد الأول: $٣٧ = ٣٤ + ٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استنتاج العمليات الحسابية المتعددة في الأشكال الهندسية النمطية.

الخطوة الأولى: نحلل المثلث المعلوم الأول (على اليسار في الشكل) لاكتشاف القاعدة.

العددان في زاويتي القاعدة هما $١٠$ و $١٠$. نجمعهما: $٢٠ = ١٠ + ١٠$.

العدد في الرأس العلوي هو $٤$. نقسم المجموع السابق عليه: $٥ = ٤ \div ٢٠$.

نلاحظ أن الناتج $٥$ هو العدد المكتوب داخل المثلث.

الخطوة الثانية: نختبر هذه القاعدة على المثلث المعلوم الثاني (في الوسط) للتأكد.

العددان في القاعدة هما $٦$ و $٦$. نجمعهما: $١٢ = ٦ + ٦$.

العدد في الرأس العلوي هو $١$. نقسم المجموع عليه: $١٢ = ١ \div ١٢$.

الناتج $١٢$ يطابق العدد المكتوب داخل المثلث. إذن القاعدة صحيحة.

القاعدة هي: (مجموع عددي القاعدة) $\div$ (عدد الرأس) = (العدد داخل المثلث).

الخطوة الثالثة: نطبق القاعدة على المثلث المطلوب (على اليمين) لإيجاد قيمة (س).

العددان في القاعدة هما $٧$ و $٧$. نجمعهما: $١٤ = ٧ + ٧$.

العدد في الرأس العلوي هو $٧$. نقسم المجموع عليه لإيجاد (س).

$س = ٢ = ٧ \div ١٤$

إذن قيمة س هي $٢$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: اكتشاف العلاقة بين الأعداد في الأشكال الهندسية.

نلاحظ في الدائرة اليمنى: حاصل ضرب العددين في الأسفل مقسوماً على $٢$ يساوي العدد في الأعلى.

نتحقق من الدائرة اليمنى: $٢ = ٢ \div (١ \times ٤)$

نتحقق من الدائرة الوسطى: $١٦ = ٢ \div (٤ \times ٨)$

نطبق القاعدة على الدائرة اليسرى لإيجاد قيمة $س$.

العدد العلوي هو $٣٦$. الأعداد السفلية هي $س$ و $٨$.

المعادلة: $٣٦ = ٢ \div (س \times ٨)$

بالضرب في $٢$ للطرفين: $٧٢ = س \times ٨$

بقسمة الطرفين على $٨$: $٩ = س$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: علاقة التربيع بين الأطراف المتقابلة.

ندرس العلاقة بين الأرقام الموجودة على طرفي كل خط مستقيم يمر بمركز الشكل.

على الخط الرأسي الأول، نجد الرقم $١$ يقابله الرقم $١$، والعلاقة هي:

$١ = {}^{٢}١$

على الخط الرأسي الثاني، نجد الرقم $٢$ يقابله $٤$، والعلاقة هي:

$٤ = {}^{٢}٢$

على الخط الأفقي، نجد الرقم $٣$ يقابله $٩$، والعلاقة هي:

$٩ = {}^{٢}٣$

النمط الواضح هو أننا نقوم بتربيع الرقم الأصغر الموجود في أحد الأطراف للحصول على الرقم في الجهة المقابلة.

نطبق هذا النمط على الخط المائل الأخير الذي يحتوي على الرقم $٥$ والمتغير س.

نقوم بتربيع الرقم $٥$.

$٢٥ = {}^{٢}٥$

الإجابة هي $٢٥$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعات المتداخلة (نمطين في متتابعة واحدة).

الخطوة الأولى: نفصل المتتابعة المعطاة إلى متتابعتين مستقلتين، نأخذ حداً ونترك حداً.

المتتابعة الأولى (الحدود الفردية الترتيب): $\dots , ١٥ , ١٣ , ١١$.

المتتابعة الثانية (الحدود الزوجية الترتيب): $\dots , ١٦ , ١٢ , ٨$.

الخطوة الثانية: نوجد قاعدة كل متتابعة على حدة.

في المتتابعة الأولى: نلاحظ زيادة ثابتة بمقدار $٢$ في كل مرة ($١٣ = ٢ + ١١$ و $١٥ = ٢ + ١٣$).

في المتتابعة الثانية: نلاحظ زيادة ثابتة بمقدار $٤$ في كل مرة ($١٢ = ٤ + ٨$ و $١٦ = ٤ + ١٢$).

الخطوة الثالثة: نطبق القاعدة لإيجاد الحد التالي في كل متتابعة.

الحد التالي للمتتابعة الأولى هو $١٧ = ٢ + ١٥$.

الحد التالي للمتتابعة الثانية هو $٢٠ = ٤ + ١٦$.

الخطوة الرابعة: الحدين التاليين هما $١٧$ و $٢٠$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد النمط الحسابي الرابط بين الأشكال.

نجمع الأعداد الموجودة في الدوائر الصغيرة المحيطة بالدائرة الكبيرة.

نقسم المجموع على $٢$ لنحصل على العدد في الدائرة الكبيرة الوسطى.

التحقق من الشكل الأول: $٣ = ٢ \div (٣ + ٢ + ١)$

التحقق من الشكل الثالث: $٩ = ٢ \div (٣ + ٨ + ٧)$

تطبيق النمط لإيجاد $س$: $س = ٢ \div (٦ + ٥ + ١)$

المجموع: $١٢ = ٦ + ٥ + ١$

القسمة: $٦ = ٢ \div ١٢$

إذاً، $س = ٦$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعة الحسابية المتناوبة (طرح قيمتين مختلفتين بالتناوب).

الخطوة الأولى: نكتب الحدود كأعداد عشرية لتسهيل الحساب.

المتتابعة هي: $\dots , ٤,٥ , ٥ , ٦,٥ , ٧ , ٨,٥$

الخطوة الثانية: نوجد الفروق بين كل حدين متتاليين.

من $٨,٥$ إلى $٧$: طرحنا $١,٥$.

من $٧$ إلى $٦,٥$: طرحنا $٠,٥$.

من $٦,٥$ إلى $٥$: طرحنا $١,٥$.

من $٥$ إلى $٤,٥$: طرحنا $٠,٥$.

الخطوة الثالثة: نستنتج أن النمط يتناوب بين طرح $١,٥$ وطرح $٠,٥$.

الخطوة الرابعة: العملية الأخيرة كانت طرح $٠,٥$، لذا الخطوة القادمة هي طرح $١,٥$.

الخطوة الخامسة: نطرح $١,٥$ من الحد الأخير لإيجاد الحد الناقص.

$٣ = ١,٥ – ٤,٥$

إذن الحد التالي هو $٣$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: دورة قوى الأعداد للخانة الأولى.

نكتب القوى الأولى للعدد $٣$ لاكتشاف الدورة: $\dots , ٨١ , ٢٧ , ٩ , ٣$.

نلاحظ أن خانة الآحاد تتكرر في دورة رباعية: $\dots , ١ , ٧ , ٩ , ٣$.

لمعرفة آحاد الأس المطلوب، نقسم الأس $٢١$ على طول الدورة $٤$.

$٢٠ = ٤ \times ٥$.

الباقي من عملية القسمة هو $١$.

بما أن الباقي $١$، نأخذ الرقم الأول من الدورة.

الرقم الأول هو $٣$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: دورة اليوم تتكون من $٢٤$ ساعة.

نقسم $٥٠$ على $٢٤$ لمعرفة الدورات الكاملة والباقي.

$٤٨ = ٢٤ \times ٢$.

الباقي من القسمة هو $٢$ ساعة.

نضيف الساعتين المتبقيتين إلى الساعة الحالية.

$٦ = ٢ + ٤$.

الإجابة هي $٦$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: مضاعفات العدد $٢٤$.

بعد مرور $٤٨$ ساعة ستعود الساعة إلى نفس نقطة البداية وهي $٤$.

يتبقى ساعتان للوصول إلى $٥٠$ ساعة.

نزيد ساعتين على $٤$ فتصبح الساعة $٦$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد النمط التكراري بالضرب في أعداد متتالية (المضروب).

الخطوة الأولى: نلاحظ العلاقة بين كل حد والحد الذي يليه بالقسمة أو الضرب.

الحد الثاني تقسيم الأول: $١ = ١ \div ١$. أي ضربنا في $١$.

الحد الثالث تقسيم الثاني: $٢ = ١ \div ٢$. أي ضربنا في $٢$.

الحد الرابع تقسيم الثالث: $٣ = ٢ \div ٦$. أي ضربنا في $٣$.

الحد الخامس تقسيم الرابع: $٤ = ٦ \div ٢٤$. أي ضربنا في $٤$.

الحد السادس تقسيم الخامس: $٥ = ٢٤ \div ١٢٠$. أي ضربنا في $٥$.

الخطوة الثانية: نجد أن النمط هو الضرب في أعداد صحيحة متتالية وهي $\dots , ٥ , ٤ , ٣ , ٢ , ١$.

الخطوة الثالثة: لإيجاد الحد التالي، يجب أن نضرب الحد الأخير في العدد $٦$.

الخطوة الرابعة: $٧٢٠ = ٦ \times ١٢٠$.

تكنيك ١: استخدام دورة الـ ٢٤ ساعة والعد العكسي

المفهوم الرياضي: الساعة تتكرر كل ٢٤ ساعة، وبالتالي كل ٤٨ أو ٧٢ ساعة. يمكننا استخدام المضاعف الأكبر القريب للرجوع للخلف.

بعد $٢٤$ ساعة ستكون الساعة $٧$.

بعد $٤٨$ ساعة ستكون الساعة أيضاً $٧$.

نحن نحتاج إلى الوقت بعد $٤٣$ ساعة وليس $٤٨$ ساعة.

الفرق بينهما هو: $٥ = ٤٣ – ٤٨$ ساعات.

بما أننا أضفنا $٥$ ساعات زائدة، يجب أن نطرحها من الساعة $٧$.

نطرح: $٢ = ٥ – ٧$.

إذن ستكون الساعة $٢$.

تكنيك ٢: القسمة على ٢٤ وإيجاد الباقي

المفهوم الرياضي: نقسم عدد الساعات المطلوبة على ٢٤ ونضيف الباقي للساعة الحالية.

نقسم $٤٣$ على $٢٤$. الناتج هو $١$ والباقي هو الفرق.

الباقي: $١٩ = ٢٤ – ٤٣$ ساعة.

الآن نضيف $١٩$ ساعة إلى الساعة $٧$.

المجموع: $٢٦ = ١٩ + ٧$.

بما أن الناتج تجاوز $٢٤$، نطرح دورة كاملة: $٢ = ٢٤ – ٢٦$.

إذن الساعة ستكون $٢$.

تكنيك ١: دورة آحاد قوى العدد ٣

المفهوم الرياضي: آحاد الأعداد المرفوعة لأسس تتكرر في دورة ثابتة. نوجد هذه الدورة ثم نقسم الأس على طول الدورة ونستخدم الباقي.

نختبر آحاد قوى العدد $٣$:

الأس $١$: ${}^{١}٣ = ٣$ (الآحاد $٣$).

الأس $٢$: ${}^{٢}٣ = ٩$ (الآحاد $٩$).

الأس $٣$: ${}^{٣}٣ = ٢٧$ (الآحاد $٧$).

الأس $٤$: ${}^{٤}٣ = ٨١$ (الآحاد $١$).

الأس $٥$: ${}^{٥}٣ = ٢٤٣$ (الآحاد $٣$، وبذلك تبدأ الدورة بالتكرار).

طول الدورة هو $٤$ أرقام تتكرر بالترتيب: $\dots , ١ , ٧ , ٩ , ٣$.

نقسم الأس $٢٢$ على $٤$.

أقرب مضاعف هو $٢٠$. إذن الباقي: $٢ = ٢٠ – ٢٢$.

بما أن الباقي $٢$، نختار الرقم الثاني في دورة الآحاد.

الرقم الثاني هو $٩$.

تكنيك ٢: تبسيط الأسس باستخدام الضرب

المفهوم الرياضي: يمكننا تجزئة الأس لتسهيل الوصول لآحاد العدد.

نعلم أن ${}^{٤}٣ = ٨١$ وآحاده هو $١$.

أي عدد آحاده $١$ إذا رُفع لأي أس صحيح سيبقى آحاده $١$.

يمكن كتابة المقدار بالشكل التالي: ${}^{٢}٣ \times {}^{٢٠}٣ = {}^{٢٢}٣$.

الجزء ${}^{٢٠}٣$ هو عبارة عن ${}^{٥}({}^{٤}٣)$، وآحاد هذا الجزء سيكون $١$.

الجزء المتبقي هو ${}^{٢}٣$ وآحاده هو $٩$.

نضرب آحاد الجزأين: $٩ = ٩ \times ١$.

إذن آحاد العدد هو $٩$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: العمليات الحسابية المتناوبة (جمع ثم ضرب).

الخطوة الأولى: نحلل التغير بين الحدود لتحديد العمليات الحسابية المستخدمة.

من $٢$ إلى $٥$: تمت إضافة $٣$ لأن $٥ = ٣ + ٢$.

من $٥$ إلى $١٠$: تم الضرب في $٢$ لأن $١٠ = ٢ \times ٥$.

من $١٠$ إلى $١٣$: تمت إضافة $٣$ لأن $١٣ = ٣ + ١٠$.

من $١٣$ إلى $٢٦$: تم الضرب في $٢$ لأن $٢٦ = ٢ \times ١٣$.

من $٢٦$ إلى $٢٩$: تمت إضافة $٣$ لأن $٢٩ = ٣ + ٢٦$.

الخطوة الثانية: نستنتج أن النمط يتناوب بين إضافة العدد $٣$ والضرب في العدد $٢$.

الخطوة الثالثة: العملية الأخيرة كانت إضافة $٣$، لذا العملية القادمة يجب أن تكون الضرب في $٢$.

الخطوة الرابعة: نضرب الحد الأخير في $٢$ لنحصل على الحد الناقص.

$٥٨ = ٢ \times ٢٩$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعات ذات الطرح المتزايد.

نوجد الفروق بين الحدود المتتالية.

الفرق الأول:

$١٥ = ٥ – ٢٠$

الفرق الثاني:

$٥ = ١٠ – ١٥$

الفرق الثالث:

${١٠-} = ١٥ – ٥$

الفرق الرابع:

${٣٠-} = ٢٠ – ({١٠-})$

نستنتج أن مقدار الطرح يزداد بمقدار $٥$ في كل خطوة.

لإيجاد الحد التالي، يجب أن نطرح $٢٥$ من الحد الأخير.

${٥٥-} = ٢٥ – ({٣٠-})$

الإجابة هي ${٥٥-}$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: خصائص المتتابعات الهندسية ذات الأساس السالب.

بتأمل المتتابعة نجد أنها تضرب في عدد سالب في كل خطوة.

الحدود ذات الترتيب الفردي مثل الحد الأول والثالث هي أعداد موجبة كالأعداد $١$ و $٩$.

الحدود ذات الترتيب الزوجي مثل الحد الثاني والرابع هي أعداد سالبة كالأعداد ${٣-}$ و ${٢٧-}$.

القيمة الأولى هي الحد رقم $٢٧$، وهو ذو ترتيب فردي، مما يعني أن قيمته ستكون موجبة حتما.

القيمة الثانية هي الحد رقم $٢٨$، وهو ذو ترتيب زوجي، مما يعني أن قيمته ستكون سالبة حتما.

من الثوابت الرياضية القطعية أن أي عدد موجب يكون دائما أكبر من أي عدد سالب.

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

الإجابة هي ١.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الأنماط الدورية والمقسوم عليه.

الترتيب يتكون من دورة ثابتة تحتوي على $٤$ أنواع من العلب.

لمعرفة نوع العلبة في الترتيب المعطى، نقسم $٩٥$ على $٤$.

$٩٢ = ٤ \times ٢٣$.

الباقي من عملية القسمة هو $٣$.

يمثل الباقي الترتيب داخل الدورة الواحدة.

العلبة الثالثة في الترتيب الأساسي هي تفاح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الأنماط الدورية في الأعداد العشرية.

نلاحظ أن العدد يتكرر في دورة مكونة من $٤$ خانات وهي: $\dots , ٣ , ٧ , ٤ , ٢$.

لمعرفة الخانة المطلوبة، نقسم $٤٣$ على $٤$.

$٤٠ = ٤ \times ١٠$.

الباقي من عملية القسمة هو $٣$.

بما أن الباقي $٣$، فإن الخانة المطلوبة هي الرقم الثالث في الدورة.

الرقم الثالث في الدورة هو $٧$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: العد التصاعدي بالمضاعفات.

مضاعفات العدد $٤$ تمثل الخانة الرابعة دائماً وهي الرقم $٣$.

إذن الخانة رقم $٤٠$ ستكون الرقم $٣$.

نكمل العد: الخانة $٤١$ هي $٢$.

الخانة $٤٢$ هي $٤$.

الخانة $٤٣$ هي $٧$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب الدورات والأنماط التكرارية.

الخطوة الأولى: نعد عدد الحروف في العبارة المعطاة.

عدد حروف (مركز قياس) هو $٨$ حروف (باعتبار المسافة غير محسوبة، م، ر، ك، ز، ق، ي، ا، س = $٨$ حروف).

الخطوة الثانية: بما أن الطالب يكتب حرفاً واحداً كل يوم، فإنه سيستغرق $٨$ أيام لإنهاء الكلمة.

الخطوة الثالثة: نبدأ العد من يوم الأربعاء لمدة $٨$ أيام.

اليوم الأول: الأربعاء.

اليوم الثاني: الخميس.

اليوم الثالث: الجمعة.

اليوم الرابع: السبت.

اليوم الخامس: الأحد.

اليوم السادس: الإثنين.

اليوم السابع: الثلاثاء.

اليوم الثامن: الأربعاء.

إذن، سينتهي من كتابة الكلمة يوم الأربعاء.

تكنيك ١: استخدام الباقي والعد العكسي الشامل

المفهوم الرياضي: إذا علمنا يوم النهاية والمدة، وبما أن يوم النهاية محسوب ضمن الإجازة، فإننا نعد للخلف متضمنين يوم النهاية في العد.

نقسم $٦٠$ على $٧$ لمعرفة عدد الأسابيع والباقي.

أقرب مضاعف للعدد $٧$ هو $٥٦$ حيث أن $٥٦ = ٨ \times ٧$.

الباقي هو: $٤ = ٥٦ – ٦٠$.

نعد $٤$ أيام للخلف مبتدئين بيوم النهاية (الخميس) لأنه جزء من الإجازة.

العد: ١- الخميس، ٢- الأربعاء، ٣- الثلاثاء، ٤- الإثنين.

إذن الإجازة بدأت يوم الإثنين.

تكنيك ٢: حذف الأسابيع الكاملة

مدة الإجازة $٦٠$ يوماً تحتوي على $٨$ أسابيع كاملة و $٤$ أيام إضافية.

الأسابيع الكاملة لا تؤثر على تتابع الأيام، لذا نتجاهلها ونركز على الـ $٤$ أيام.

بما أن الإجازة انتهت الخميس، نرجع بالزمن $٤$ أيام شاملة يوم الخميس.

اليوم الرابع بالرجوع للخلف هو يوم الإثنين.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعة الحسابية وتكوين معادلة خطية من الدرجة الأولى.

الخطوة الأولى: نترجم معطيات المسألة إلى قيم رياضية.

نفرض أن ما حفره في اليوم الأول هو المتغير (س).

اليوم الثاني حفر $٣$ أمتار.

اليوم الثالث حفر $٦$ أمتار (زيادة $٣$ عن اليوم السابق).

اليوم الرابع سيحفر $٩$ أمتار ($٩ = ٣ + ٦$).

اليوم الخامس سيحفر $١٢$ متراً ($١٢ = ٣ + ٩$).

اليوم السادس سيحفر $١٥$ متراً ($١٥ = ٣ + ١٢$).

الخطوة الثانية: نكون معادلة بناءً على أن مجموع ما حفره في $٦$ أيام هو $٥٢$ متراً.

$٥٢ = ١٥ + ١٢ + ٩ + ٦ + ٣ + س$

الخطوة الثالثة: نجمع القيم المعلومة معاً.

$٤٥ = ١٥ + ١٢ + ٩ + ٦ + ٣$

تصبح المعادلة: $٥٢ = ٤٥ + س$

الخطوة الرابعة: نحل المعادلة لإيجاد قيمة (س) بنقل $٤٥$ للطرف الآخر بإشارة سالبة.

$س = ٤٥ – ٥٢$

$س = ٧$

إذن عمق ما حفره في اليوم الأول هو $٧$ أمتار.

تكنيك ١: إيجاد الباقي والعد العكسي

المفهوم الرياضي: لمعرفة يوم في الماضي، نقسم المدة على ٧ ونستخدم الباقي للعد للخلف ابتداءً من اليوم السابق لليوم المذكور.

نقسم $٤٥$ على $٧$.

أقرب مضاعف للعدد $٧$ هو $٤٢$ لأن $٤٢ = ٦ \times ٧$.

نحسب الباقي: $٣ = ٤٢ – ٤٥$.

بما أن السؤال يحتوي على كلمة “قبل”، فإننا نعد إلى الخلف.

نبدأ العد من اليوم الذي يسبق يوم الخميس، وهو يوم الأربعاء.

نعد $٣$ أيام للخلف: الأربعاء، الثلاثاء، الإثنين.

إذن اليوم المطلوب هو يوم الإثنين.

تكنيك ٢: الطرح من اليوم الحالي مباشرة

الباقي من قسمة $٤٥$ على $٧$ هو $٣$.

نطرح $٣$ أيام من يوم الخميس مباشرة.

اليوم الأول قبل الخميس هو الأربعاء.

اليوم الثاني قبل الخميس هو الثلاثاء.

اليوم الثالث قبل الخميس هو الإثنين.

تكنيك ١: استخدام الباقي من القسمة

المفهوم الرياضي: دورة الأيام هي ٧ أيام. عند قسمة عدد الأيام على ٧، إذا كان الباقي صفر، فإن اليوم هو نفس اليوم المذكور في السؤال.

نقسم $٧٠$ على $٧$.

الناتج هو $١٠ = \frac{٧٠}{٧}$ والباقي (صفر).

بما أن الباقي (صفر)، فلا يوجد أيام إضافية لنعدها.

إذن اليوم سيكون نفس اليوم المعطى في السؤال وهو يوم الخميس.

تكنيك ٢: مضاعفات الأسبوع

المفهوم الرياضي: إضافة أسابيع كاملة لا يغير اليوم.

الرقم $٧٠$ يمثل بالضبط $١٠$ أسابيع كاملة.

بعد مرور $١٠$ أسابيع كاملة من يوم الخميس، سنعود إلى يوم الخميس مرة أخرى.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: العلاقات المتقابلة بين القطاعات الدائرية.

نقوم بفحص العلاقة بين كل رقم والرقم الموجود في القطاع المقابل له تماماً في الدائرة.

الرقم $٣$ يقابله الرقم $١٣$. نلاحظ أن:

$١٣ = ١٠ + ٣$

الرقم $٧$ يقابله الرقم $١٧$. نلاحظ أن:

$١٧ = ١٠ + ٧$

الرقم $٩$ يقابله الرقم $١٩$. نلاحظ أن:

$١٩ = ١٠ + ٩$

نستنتج من ذلك وجود قاعدة ثابتة: الرقم المقابل ينتج عن إضافة $١٠$ للرقم الأساسي.

بتطبيق هذه القاعدة على الرقم $٦$ لإيجاد المتغير س المقابل له.

$١٦ = ١٠ + ٦$

الإجابة هي $١٦$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: توحيد المقامات لاكتشاف الأنماط الكسرية.

لتبسيط المتتابعة، نقوم بتوحيد المقامات لجميع الحدود لتصبح $٤$.

الحد الأول $١$ يصبح $\frac{٤}{٤}$.

الحد الثاني يبقى كما هو $\frac{٥}{٤}$.

الحد الثالث $\frac{٣}{٢}$ نضرب بسطه ومقامه في $٢$ ليصبح $\frac{٦}{٤}$.

المتتابعة بعد توحيد المقامات أصبحت:

$\dots , \frac{٦}{٤} , \frac{٥}{٤} , \frac{٤}{٤}$

نلاحظ أن المقام ثابت وهو $٤$ والبسط يزداد بمقدار $١$ في كل حد.

بناء على هذا النمط، الحد القادم سيكون بزيادة البسط بمقدار $١$.

الحد التالي هو $\frac{٧}{٤}$.

الإجابة هي $\frac{٧}{٤}$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج العلاقة بين محيط الشكل وداخله.

العملية هي جمع الأعداد الموجودة على رؤوس المستطيل ثم ضرب الناتج في $٢$ للحصول على العدد الأوسط.

الشكل الأول: $٤٠ = ٢ \times (٧ + ٦ + ٢ + ٥)$

الشكل الثاني: $٣٦ = ٢ \times (٩ + ٧ + ١ + ١)$

لتحديد الرقم المجهول في الشكل الثالث، نجمع أعداد الرؤوس: $١٣ = ٤ + ٦ + ٢ + ١$

نضرب المجموع في $٢$: $٢٦ = ٢ \times ١٣$

الرقم المجهول هو $٢٦$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المتتابعات الحسابية.

المتتابعة حسابية لأنها تزيد بمقدار ثابت وهو $٣$.

نستخدم قانون الحد النوني للمتتابعة الحسابية:

$د \times (١ – ن) + ١أ = نأ$

حيث $١أ$ يساوي $١٩$، والأساس $د$ يساوي $٣$، ورقم الحد المطلوب $ن$ يساوي $٢٠$.

نعوض في القانون: $٣ \times (١ – ٢٠) + ١٩ = ٢٠أ$

نحسب ما بداخل الأقواس: $٣ \times (١٩) + ١٩ = ٢٠أ$

عملية الضرب: $٥٧ + ١٩ = ٢٠أ$

الجمع النهائي: $٧٦ = ٢٠أ$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحل السريع ذهنياً.

القفزة بين كل حد هي $٣$.

للوصول إلى الحد العشرين من الحد الأول، نحتاج إلى $١٩$ قفزة.

إجمالي قيمة القفزات: $٥٧ = ٣ \times ١٩$

نضيفها للحد الأول: $٧٦ = ٥٧ + ١٩$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعة الحسابية المتغيرة (ذات الزيادة المتناقصة).

الخطوة الأولى: نحسب مقدار التغير بين كل حدين متتاليين.

من ${٩٠-}$ إلى ${٧٥-}$: تمت إضافة $١٥$.

من ${٧٥-}$ إلى ${٦١-}$: تمت إضافة $١٤$.

الخطوة الثانية: نلاحظ أن مقدار الزيادة ينقص بمقدار $١$ في كل خطوة.

الخطوة الثالثة: الزيادة القادمة ستكون $١٣$.

الخطوة الرابعة: نجمع الحد الأخير مع الزيادة الجديدة لإيجاد الحد التالي.

${٤٨-} = ١٣ + {٦١-}$

إذن الحد التالي هو ${٤٨-}$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد الحدود السابقة في متتابعة حسابية ثم إيجاد المجموع.

الخطوة الأولى: المعطى أن الحد (س) يساوي $١٦$.

الخطوة الثانية: بما أن كل حد يزيد عن السابق بمقدار $٤$، فإننا نطرح $٤$ لإيجاد الحدود السابقة.

الحد السابق مباشرة لـ (س): $١٢ = ٤ – ١٦$.

الحد الذي يسبقه: $٨ = ٤ – ١٢$.

الحد الذي يسبقه (الثالث قبل س): $٤ = ٤ – ٨$.

الخطوة الثالثة: الحدود الأربعة (س والثلاثة السابقة له) هي $١٦$، $١٢$، $٨$، $٤$.

الخطوة الرابعة: نجمع هذه الحدود كما هو مطلوب في السؤال.

المجموع هو $٤٠ = ٤ + ٨ + ١٢ + ١٦$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعة الحسابية (العد القفزي المنتظم).

الخطوة الأولى: نكتب المعطيات على شكل متتابعة.

المدرجات: $\dots , ٢٨ , ٢٣ , ١٨$.

الخطوة الثانية: نوجد مقدار الزيادة (أساس المتتابعة).

الفرق بين المدرج الثاني والأول: $٥ = ١٨ – ٢٣$.

الفرق بين المدرج الثالث والثاني: $٥ = ٢٣ – ٢٨$.

إذن، يزيد كل مدرج عن السابق بمقدار $٥$ مقاعد.

الخطوة الثالثة: نكمل المتتابعة بإضافة $٥$ في كل مرة حتى نصل إلى الحد الثامن.

المدرج الرابع: $٣٣ = ٥ + ٢٨$.

المدرج الخامس: $٣٨ = ٥ + ٣٣$.

المدرج السادس: $٤٣ = ٥ + ٣٨$.

المدرج السابع: $٤٨ = ٥ + ٤٣$.

المدرج الثامن: $٥٣ = ٥ + ٤٨$.

إذن عدد المقاعد في المدرج الثامن هو $٥٣$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام قانون الحد النوني للمتتابعة الحسابية.

الخطوة الأولى: القانون هو $د \times (١ – ن) + أ = نح$.

حيث أن (ح ن) هو الحد المطلوب، (أ) الحد الأول، (ن) رتبة الحد، (د) أساس المتتابعة.

الخطوة الثانية: نستخرج المعطيات من المسألة.

الحد الأول (أ) يساوي $١٨$.

أساس المتتابعة (د) يساوي $٥$.

رتبة الحد المطلوب (ن) تساوي $٨$.

الخطوة الثالثة: نعوض في القانون.

$٥ \times (١ – ٨) + ١٨ = ٨ح$

$٥ \times (٧) + ١٨ = ٨ح$

$٣٥ + ١٨ = ٨ح$

$٥٣ = ٨ح$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تتبع نمط النقصان المتزايد للوصول إلى القيم السالبة.

الخطوة الأولى: نلاحظ مقدار النقصان بين الحدود المعطاة في المتتابعة.

من $٢٠$ إلى $١٨$: النقصان هو $٢$.

من $١٨$ إلى $١٥$: النقصان هو $٣$.

من $١٥$ إلى $١١$: النقصان هو $٤$.

الخطوة الثانية: نستنتج أن مقدار النقصان يزداد بمقدار $١$ في كل مرة (نطرح $٢$، ثم $٣$، ثم $٤$).

الخطوة الثالثة: نكمل النمط بإيجاد الحدود التالية حتى نصل إلى أول عدد سالب.

الحد الخامس: نطرح $٥$ من الحد الرابع. $٦ = ٥ – ١١$.

الحد السادس: نطرح $٦$ من الحد الخامس. صفر $= ٦ – ٦$.

الحد السابع: نطرح $٧$ من الحد السادس. ${٧-} = ٧ – $ صفر.

الخطوة الرابعة: الحد الأول الذي تظهر فيه قيمة سالبة هو الحد السابع، وقيمته ${٧-}$.

تكنيك ١: تحديد طول الدورة وإيجاد الباقي

المفهوم الرياضي: في الأنماط المتكررة، نعد العناصر في الدورة الواحدة، ثم نقسم الترتيب المطلوب على طول الدورة ونعتمد على الباقي لتحديد العنصر.

الدورة تتكون من $٥$ أعداد وهي بالترتيب: (العدد الأول: $١$، الثاني: $٢$، الثالث: $٧$، الرابع: $٨$، الخامس: $٩$).

طول الدورة هو $٥$.

نقسم الترتيب المطلوب وهو $١٠٧$ على $٥$.

نعلم أن $١٠٥$ تقبل القسمة على $٥$ (لأن آحادها ٥).

إذن الباقي هو: $٢ = ١٠٥ – ١٠٧$.

الباقي $٢$ يعني أننا نختار العدد الثاني في الترتيب.

العدد الثاني في النمط هو $٢$.

تكنيك ٢: التدرج بالمضاعفات

كل $٥$ أرقام تنتهي دورة كاملة.

مضاعفات العدد $٥$ مثل $١٠، ٥٠، ١٠٠$ ستنتهي دائماً بآخر رقم في النمط وهو $٩$.

عند الترتيب $١٠٠$ يكون الرقم $٩$.

عند الترتيب $١٠٥$ يكون الرقم أيضاً $٩$.

الترتيب $١٠٦$ يبدأ دورة جديدة وسيكون الرقم $١$.

الترتيب $١٠٧$ سيكون الرقم الذي يليه وهو $٢$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استنتاج العلاقات التناسبية داخل الأشكال الهندسية.

نحلل الأرقام داخل المثلثين الأول والثاني لاكتشاف القاعدة الرياضية.

نصيغ العلاقات المستنتجة كقوانين:

$أ = ي \times ٢$

$ع = ي \times ٤$

حيث (ع) يمثل الرقم العلوي، (أ) يمثل الرقم الأيسر، (ي) يمثل الرقم الأيمن.

في المثلث الأول:

$٢ = ١ \times ٢$

$٤ = ١ \times ٤$

في المثلث الثاني:

$٤ = ٢ \times ٢$

$٨ = ٢ \times ٤$

نطبق القاعدة على المثلث الثالث حيث الرقم العلوي (ع) معلوم وقيمته $٣٦$.

$٣٦ = ص \times ٤$

ومنها نستنتج أن قيمة ص هي $٩$.

بما أن الرقم الأيسر س هو ضعف الرقم الأيمن ص، نعوض في القانون الأول:

$١٨ = ٩ \times ٢$

ومنها نستنتج أن قيمة س هي $١٨$.

إذن الترتيب الصحيح للقيم س ثم ص هو $١٨$ و $٩$.

الإجابة هي $٩ , ١٨$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعات الحسابية للأشكال الهندسية المتلاصقة.

نصيغ القانون لتمثيل عدد الأعواد كمعادلة:

$ع = ١ + (٣ \times م)$

حيث (ع) عدد الأعواد، (م) عدد المربعات.

نعوض بعدد المربعات المطلوب وهو $٢٠$.

$ع = ١ + (٣ \times ٢٠)$

$ع = ١ + ٦٠$

$ع = ٦١$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الاستنتاج المنطقي من النمط.

المربع الأول مستقل ويحتاج إلى $٤$ أعواد كاملة.

كل مربع إضافي يحتاج إلى $٣$ أعواد فقط لأنه يشترك في ضلع مع المربع الذي يسبقه.

عدد المربعات الإضافية المطلوبة هو $١٩$ مربعا.

نحسب أعواد المربعات الإضافية:

$٥٧ = ٣ \times ١٩$

نضيف أعواد المربع الأول للمجموع:

$٦١ = ٤ + ٥٧$

الإجابة هي $٦١$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعات ذات الزيادة المتناوبة.

نحسب مقدار الفرق بين كل حدين متتاليين.

الزيادة الأولى من $٧$ إلى $١٢$:

$١٢ = ٥ + ٧$

الزيادة الثانية من $١٢$ إلى $٢٢$:

$٢٢ = ١٠ + ١٢$

الزيادة الثالثة من $٢٢$ إلى $٢٧$:

$٢٧ = ٥ + ٢٢$

الزيادة الرابعة من $٢٧$ إلى $٣٧$:

$٣٧ = ١٠ + ٢٧$

النمط يتمثل في إضافة $٥$ ثم إضافة $١٠$ بشكل متبادل.

الخطوة القادمة تتطلب إضافة $٥$ للحد الأخير.

$٤٢ = ٥ + ٣٧$

الإجابة هي $٤٢$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعات ذات الضرب التصاعدي.

نبحث عن العلاقة الضربية بين الحدود المتتالية.

نضرب الحد الأول في $٢$:

$٢ = ٢ \times ١$

نضرب الحد الثاني في $٣$:

$٦ = ٣ \times ٢$

نضرب الحد الثالث في $٤$:

$٢٤ = ٤ \times ٦$

لإيجاد الحد الخامس س، يجب أن نضرب الحد الرابع في $٥$.

$١٢٠ = ٥ \times ٢٤$

للتأكد من صحة النمط، نضرب الناتج في $٦$ للحصول على الحد الأخير.

$٧٢٠ = ٦ \times ١٢٠$

الإجابة هي $١٢٠$.

تكنيك ١: القسمة المطولة وتحديد الباقي

المفهوم الرياضي: الأيام تتكرر في دورة مدتها ٧ أيام، لذا لمعرفة اليوم بعد فترة زمنية، نقسم العدد على ٧ ونعتمد على الباقي.

نقوم بقسمة العدد $٨٠$ على $٧$.

بما أن $٧٧ = ١١ \times ٧$، فإن الباقي هو: $٣ = ٧٧ – ٨٠$.

بما أن السؤال يحتوي على كلمة “بعد”، فإننا نبدأ العد من اليوم التالي لليوم المذكور.

اليوم المذكور هو الأربعاء، لذا نبدأ العد من يوم الخميس.

نعد $٣$ أيام: الخميس، الجمعة، السبت.

إذن اليوم المطلوب هو يوم السبت.

تكنيك ٢: الطرح المتكرر لمضاعفات العدد ٧

نبحث عن أقرب مضاعف للعدد $٧$ يكون أصغر من أو يساوي $٨٠$.

أقرب مضاعف هو $٧٧$.

نطرح $٧٧$ من $٨٠$ لمعرفة عدد الأيام المتبقية: $٣ = ٧٧ – ٨٠$.

نعد $٣$ أيام بعد يوم الأربعاء: ١- الخميس، ٢- الجمعة، ٣- السبت.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: متتابعة تعتمد على عمليات ضرب متناوبة في عددين مختلفين.

الخطوة الأولى: نقارن بين كل حد والذي يليه لمعرفة النسبة بينهما.

الحد الأول $٢$ أصبح $٦$: نلاحظ أنه تم الضرب في $٣$ لأن $٦ = ٣ \times ٢$.

الحد الثاني $٦$ أصبح $١٢$: نلاحظ أنه تم الضرب في $٢$ لأن $١٢ = ٢ \times ٦$.

الحد الثالث $١٢$ أصبح $٣٦$: نلاحظ أنه تم الضرب في $٣$ لأن $٣٦ = ٣ \times ١٢$.

الحد الرابع $٣٦$ أصبح $٧٢$: نلاحظ أنه تم الضرب في $٢$ لأن $٧٢ = ٢ \times ٣٦$.

الخطوة الثانية: النمط يسير بالتناوب بضرب الحد في $٣$ ثم في $٢$.

الخطوة الثالثة: العملية السابقة كانت الضرب في $٢$، لذلك الخطوة القادمة ستكون الضرب في $٣$.

الخطوة الرابعة: نضرب الحد الأخير في $٣$ لإيجاد الحد التالي.

$٢١٦ = ٣ \times ٧٢$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تتبع الأنماط الهندسية والدوران.

نلاحظ من الرسم تسلسل حركة السهم في الأشكال.

حسب اتجاه السهم في النمط، يعود الشكل إلى وضعه الأول في الخيار الأول.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: فصل العدد الكسري إلى جزأين (عدد صحيح وكسر) وتحليل نمط كل جزء على حدة.

الخطوة الأولى: نحلل نمط الأعداد الصحيحة.

الأعداد الصحيحة هي: $\dots , ١٠ , ٨ , ٦$

نلاحظ أنها تزيد بمقدار $٢$ في كل مرة. إذن العدد الصحيح التالي هو $١٢ = ٢ + ١٠$.

الخطوة الثانية: نحلل نمط الكسور.

الكسور هي: $\dots , \frac{١}{٨} , \frac{١}{٦} , \frac{١}{٤}$

نلاحظ أن البسط ثابت ($١$)، والمقام يزيد بمقدار $٢$ في كل مرة ($٤$ ثم $٦$ ثم $٨$).

إذن مقام الكسر التالي سيكون $١٠ = ٢ + ٨$. والكسر هو $\frac{١}{١٠}$.

الخطوة الثالثة: ندمج العدد الصحيح الجديد مع الكسر الجديد لتكوين الحد التالي.

الحد المطلوب هو $١٢ \frac{١}{١٠}$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج العمليات الحسابية في الأشكال.

نلاحظ أن العدد في رأس المثلث يساوي نصف حاصل ضرب العددين في القاعدة.

المثلث الأول: $١٠ = ٢ \div (٤ \times ٥)$

المثلث الثاني: $٢١ = ٢ \div (٦ \times ٧)$

المثلث الثالث (لإيجاد س): $س = ٢ \div (٨ \times ٩)$

حاصل ضرب القاعدة: $٧٢ = ٨ \times ٩$

نقسم على $٢$: $٣٦ = ٢ \div ٧٢$

إذاً، قيمة $س$ هي $٣٦$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد النمط في متتابعة تعتمد على مضاعفات العدد $٢$.

الخطوة الأولى: نحسب الفرق بين كل حدين متتاليين لاستنتاج النمط.

من $١$ إلى $٣$: الفرق هو $٢$.

من $٣$ إلى $٧$: الفرق هو $٤$.

من $٧$ إلى $١٥$: الفرق هو $٨$.

من $١٥$ إلى $٣١$: الفرق هو $١٦$.

من $٣١$ إلى $٦٣$: الفرق هو $٣٢$.

الخطوة الثانية: نلاحظ أن الزيادة تتضاعف في كل خطوة، وهي تمثل قوى العدد $٢$.

متتابعة الزيادات هي: $\dots , ٣٢ , ١٦ , ٨ , ٤ , ٢$.

الخطوة الثالثة: الزيادة القادمة ستكون ضعف الزيادة الأخيرة أي $٦٤ = ٢ \times ٣٢$.

الخطوة الرابعة: نجمع الزيادة الجديدة مع الحد الأخير للحصول على الحد المطلوب.

$١٢٧ = ٦٤ + ٦٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الحساب التقريبي لعدد الأسابيع في السنة.

في سياق اختبارات القدرات، تُقدر السنة بحوالي $٥٠$ أسبوعاً لتسهيل العمليات الحسابية.

نكتب قانون المجموع:

$م = أ \times ن$

حيث (م) إجمالي النسخ، (أ) الإنتاج الأسبوعي، (ن) عدد أسابيع السنة.

نعوض في القانون:

$٢٥٠٠٠٠ = ٥٠ \times ٥٠٠٠$.

الإنتاج السنوي يبلغ $٢٥٠٠٠٠$ نسخة.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم.

الإنتاج في أسبوع واحد يبلغ $٥٠٠٠$ نسخة.

الإنتاج في $١٠$ أسابيع يبلغ $٥٠٠٠٠$ نسخة.

الإنتاج في $٥٠$ أسبوع يبلغ $٢٥٠٠٠٠$ نسخة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الأسس الزوجية والفردية للعدد السالب.

نصيغ القانون لتمثيل المتتابعة:

$ق = {}^{ن}أ$

حيث (ق) القيمة الناتجة، (أ) الأساس، (ن) الأس.

الأس المطلوب هنا هو العدد $٢٨١٣٤٥٦$.

ننظر إلى خانة الآحاد في هذا العدد وهي $٦$، مما يعني أنه عدد زوجي.

القاعدة تنص على أن العدد سالب واحد إذا رُفع لأس زوجي، فإن الناتج يكون واحد موجب.

نعوض في القانون:

$١ = {}^{٢٨١٣٤٥٦}({١-})$.

الإجابة هي $١$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التجربة واستنتاج النمط.

نجرب التعويض بالأعداد الطبيعية الأولى.

الحد الأول: $({١-}) = {}^{١}({١-})$.

الحد الثاني: $١ = {}^{٢}({١-})$.

نستنتج أن الحدود ذات الترتيب الفردي تكون سالبة، والزوجية تكون موجبة.

بما أن الترتيب المطلوب زوجي، فالناتج هو $١$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مضاعفة الزيادة بين الحدود.

الخطوة الأولى: نوجد مقدار الزيادة بين الحدود.

من $٣$ إلى $٧$: نزيد $٤$.

من $٧$ إلى $١٥$: نزيد $٨$.

من $١٥$ إلى $٣١$: نزيد $١٦$.

الخطوة الثانية: نلاحظ أن مقدار الزيادة يُضرب في $٢$ في كل مرة.

الخطوة الثالثة: الزيادة القادمة ستكون $٣٢ = ٢ \times ١٦$.

الخطوة الرابعة: الحد التالي يساوي $٦٣ = ٣٢ + ٣١$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: ضرب الحد في $٢$ ثم إضافة $١$.

الخطوة الأولى: الحد الأول $٣$. إذا ضربناه في $٢$ وأضفنا $١$ يصبح $٧ = ١ + (٢ \times ٣)$.

الخطوة الثانية: الحد الثاني $٧$. نطبق نفس القاعدة لنحصل على $١٥ = ١ + (٢ \times ٧)$.

الخطوة الثالثة: الحد الثالث $١٥$. نطبق القاعدة فنحصل على $٣١ = ١ + (٢ \times ١٥)$.

الخطوة الرابعة: لإيجاد الحد التالي، نضرب $٣١$ في $٢$ ونضيف $١$.

$٦٣ = ١ + (٢ \times ٣١)$.