اختبار التناسب الطردي والتناسب العكسي

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي بين عدد الدورات المنجزة لعجلتين مختلفتي السرعة خلال فترة زمنية واحدة.

نصيغ نسبة سرعة العجلة الأولى إلى سرعة العجلة الثانية.

النسبة هي خمسة إلى تسعة.

نعوض بعدد الدورات الكلي للعجلة الأولى لإيجاد معامل المضاعفة، بقسمة خمسة وأربعين على خمسة.

$٩ = \dfrac{٤٥}{٥}$

نضرب هذا المعامل المستنتج في سرعة العجلة الثانية لإيجاد إجمالي دوراتها.

$٨١ = {٩} \times {٩}$

والإجابة هي $٨١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الضرب التبادلي المباشر لنسب التناسب الطردي.

نكتب كسر التناسب حيث البسط يمثل العجلة الأولى والمقام يمثل العجلة الثانية.

المعادلة: $\dfrac{٤٥}{س} = \dfrac{٥}{٩}$

نضرب الطرفين في الوسطين لعزل المتغير المجهول.

$س \times {٥} = {٩} \times {٤٥}$

نقسم الطرفين على خمسة مع تبسيط خمسة وأربعين على خمسة أولاً لتسهيل الحساب.

$س = {٩} \times {٩}$

$٨١ = {٩} \times {٩}$

والإجابة هي $٨١$

تكنيك ١: التناسب الطردي واستخراج قيمة الجزء

المفهوم الرياضي: إجمالي عدد ساعات العمل يتناسب طردياً مع مقدار الإنجاز الفعلي للعمل الكلي.

نحسب أولاً إجمالي الساعات التي استغرقها الشخص لإنجاز الجزء الأول من اللوحة.

إجمالي ساعات الجزء الأول = عدد الأيام مضروباً في عدد الساعات اليومية.

ساعات الجزء الأول = $١٢ = {٤} \times {٣}$ ساعة عمل.

هذا الجهد يقابل نسبة الإنجاز المعطاة وهي كسر يمثل جزأين من أصل خمسة أجزاء متساوية.

بما أن الجزء المنجز يمثل الكسر $\dfrac{٢}{٥}$، فإن الجزء المتبقي يمثل الكسر المكمل له للوصول إلى الوحدة الكاملة.

الكسر المكمل = $١$ صحيح ناقص الجزء المنجز.

الجزء المتبقي = $\dfrac{٣}{٥} = {\dfrac{٢}{٥}} – {١}$ من إجمالي اللوحة.

إذا كان إنجاز جزأين يستغرق جهداً قدره $١٢$ ساعة، يمكننا إيجاد الجهد المطلوب لإنجاز جزء واحد بالقسمة.

ساعات الجزء الواحد = $٦ = {٢} \div {١٢}$ ساعات.

نحسب الساعات اللازمة للأجزاء الثلاثة المتبقية بضرب عددها في ساعات الجزء الواحد.

إجمالي الساعات المتبقية = $١٨ = {٦} \times {٣}$ ساعة.

لمعرفة عدد الأيام اللازمة، نقسم إجمالي الساعات المتبقية على معدل ساعات العمل اليومية الجديد.

عدد الأيام المتبقية = $٩ = {٢} \div {١٨}$ أيام.

والإجابة هي $٩$

تكنيك ٢: توحيد المعدل الزمني للمهمة الكاملة

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الكلي اللازم لإنجاز اللوحة بأكملها، ثم استقطاع المتبقي وتقسيمه.

استغرق إنجاز كسر يمثل $\dfrac{٢}{٥}$ من اللوحة زمناً إجمالياً قدره $١٢$ ساعة.

لإيجاد الزمن الكلي اللازم للوحة كاملة بنفس المعدل، نضرب الزمن في المقلوب الرياضي لنسبة الإنجاز.

الزمن الكلي للوحة = $٣٠ = {\dfrac{٥}{٢}} \times {١٢}$ ساعة.

نحسب الزمن المتبقي بطرح الساعات المنجزة من الزمن الكلي.

الزمن المتبقي = $١٨ = {١٢} – {٣٠}$ ساعة.

العمل على الجزء المتبقي سيتم بمعدل ساعتين يومياً.

عدد الأيام = $٩ = {٢} \div {١٨}$ أيام.

والإجابة هي $٩$

تكنيك ١: التطبيق المباشر لقانون النسبة المئوية

المفهوم الرياضي: لإيجاد قيمة جزء من كل بناءً على نسبة مئوية معطاة، نضرب النسبة المئوية في العدد الكلي.

القانون الرياضي: الجزء = (النسبة المئوية مقسومة على مائة) مضروباً في الكل.

نعوض بقيمة النسبة المئوية للطلاب الجامعيين والعدد الكلي للطلاب في المعادلة.

المعادلة تصبح: عدد الجامعيين = ${١٢٠٠٠٠} \times \dfrac{٥}{١٠٠}$

نقوم بتبسيط الكسر عن طريق حذف الأصفار من البسط والمقام لتبسيط عملية الضرب.

العملية تصبح: عدد الجامعيين = ${١٢٠٠} \times {٥}$

نجري عملية الضرب النهائية للحصول على العدد المطلوب.

الناتج النهائي = $٦٠٠٠$ طالب.

والإجابة هي $٦٠٠٠$

تكنيك ٢: طريقة التدرج المنتظم والكسور الذهنية

المفهوم الرياضي: يمكن حساب نسبة الخمسة بالمائة ذهنياً عن طريق حساب نسبة العشرة بالمائة أولاً (وهي تعادل القسمة على عشرة)، ثم أخذ نصف تلك القيمة.

القانون الرياضي: قيمة عشرة بالمائة = الكل مقسوماً على عشرة.

نحسب قيمة العشرة بالمائة من إجمالي الطلاب بحذف صفر واحد من اليمين.

عشرة بالمائة = $١٢٠٠٠ = {١٠} \div {١٢٠٠٠٠}$

بما أننا نحتاج إلى خمسة بالمائة فقط، فهذه النسبة تمثل نصف نسبة العشرة بالمائة بدقة.

القانون الرياضي: قيمة خمسة بالمائة = قيمة عشرة بالمائة مقسومة على اثنين.

نقوم بتعويض قيمة العشرة بالمائة التي استخرجناها.

الناتج = $٦٠٠٠ = {٢} \div {١٢٠٠٠}$

والإجابة هي $٦٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي لحساب القيمة المجهولة بناءً على تطابق النسب.

نرتب النسبة المعطاة بحيث يقابل كل جزء المسمى الخاص به (المياه جزء واحد، الكهرباء عشرون جزءاً).

نصيغ معادلة التناسب بوضع قيمة الفاتورة الحقيقية مقابل أجزائها النسبية.

${\dfrac{س}{٢٠}} = {\dfrac{٢٠}{١}}$

نستخدم خاصية الضرب التبادلي للمقص لضرب قيمة فاتورة المياه في أجزاء فاتورة الكهرباء.

$٤٠٠ = {٢٠} \times {٢٠} = س$

الناتج يمثل القيمة الفعلية لفاتورة الكهرباء المطلوبة في السؤال.

والإجابة هي $٤٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استنتاج القيمة المالية للجزء الواحد من المعطيات لتحديد قيمة الكمية المطلوبة.

حسب النسبة المعطاة، تمثل فاتورة المياه جزءاً نسبياً واحداً، وقيمتها الفعلية $٢٠$ ريالاً.

بناءً عليه، فإن القيمة المالية للجزء النسبي الواحد تساوي $٢٠$ ريالاً بشكل مباشر.

وتمثل فاتورة الكهرباء عشرين جزءاً نسبياً حسب المعطيات.

نضرب عدد أجزاء فاتورة الكهرباء في القيمة المالية المستنتجة للجزء الواحد.

$٤٠٠ = {٢٠} \times {٢٠}$

الناتج يعكس القيمة الكلية لفاتورة الكهرباء.

والإجابة هي $٤٠٠$

تكنيك ١: حساب أجرة الساعة الواحدة وتخصيص النصيب

المفهوم الرياضي: تحويل النسب الكسرية للعمل إلى ساعات فعلية ثم إيجاد قيمة الساعة الواحدة لتقسيم الأجر الإجمالي.

نحدد الساعات الفعلية التي قضاها كل فرد في العمل بناءً على نسبهم من المدة الكلية المحددة.

العامل الأول عمل المدة كاملة، أي أنه عمل فعلياً بمقدار $٦$ ساعات.

العامل الثاني عمل نصف المدة، فنحسب ساعاته بقسمة المدة الكلية على اثنين.

ساعات العمل للثاني = $٣ = {٢} \div {٦}$ ساعات.

العامل الثالث عمل ثلث المدة، فنحسب ساعاته بقسمة المدة الكلية على ثلاثة.

ساعات العمل للثالث = $٢ = {٣} \div {٦}$ ساعتين.

نجمع ساعات العمل الفعلية لجميع العمال لنحصل على إجمالي جهد العمل التراكمي بالساعات.

إجمالي الساعات = $١١ = {٢} + {٣} + {٦}$ ساعة عمل.

نحسب أجرة الساعة الواحدة المشتركة بقسمة المبلغ المالي الإجمالي على إجمالي ساعات العمل الفعلية.

أجرة الساعة = $١٠٠ = {١١} \div {١١٠٠}$ ريال لكل ساعة.

نحسب نصيب العامل الثاني بضرب عدد الساعات التي أنجزها في أجرة الساعة الواحدة.

نصيب العامل الثاني = $٣٠٠ = {١٠٠} \times {٣}$ ريال.

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ٢: التناسب الكسري لحصص الأجر

المفهوم الرياضي: إيجاد النسبة الكسرية التي يمثلها جهد الفرد من الجهد الكلي وتطبيقها على الأجر الإجمالي.

يمثل الجهد الكلي لجميع العمال مجموع النسب الكسرية لمدد عملهم المتفاوتة.

الجهد الكلي كنسبة = $١ + {\dfrac{١}{٢}} + {\dfrac{١}{٣}}$ من المدة.

نوحد المقامات رياضياً لجمع هذه الكسور واستخراج قيمة الجهد الكلي.

الجهد الكلي الموحد = $\dfrac{١١}{٦} = {\dfrac{٦}{٦}} + {\dfrac{٣}{٦}} + {\dfrac{٢}{٦}}$ من المدة.

نصيب العامل الثاني يتناسب طردياً مع كسره الممثل لجهده مقسوماً على كسر الجهد الكلي.

نسبة نصيب الثاني = الكسر الخاص به مقسوماً على الجهد الكلي الموحد.

نسبة الثاني = $\dfrac{٣}{١١} = {\dfrac{١١}{٦}} \div {\dfrac{١}{٢}}$ من إجمالي الأجر.

نحسب نصيبه الفعلي بضرب هذه النسبة المستخرجة في إجمالي المبلغ المتقاضى.

النصيب الفعلي = $٣٠٠ = {\dfrac{٣}{١١}} \times {١١٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ١: استنتاج النسبة المكملة والتوزيع

المفهوم الرياضي: استخدام نسبة الجزء إلى الكل لمعرفة حصة الجزء المتبقي، ومن ثم تحديد قيمته العددية.

بناءً على الترتيب اللفظي والبصري لمعطيات النسبة، تقابل حصة الرجال جزءاً واحداً، ويقابل العدد الكلي ثلاثة أجزاء.

نحسب عدد الأجزاء النسبية التي تمثل النساء بطرح أجزاء الرجال من أجزاء العدد الكلي للمجموعة.

أجزاء النساء = $٢ = {١} – {٣}$ جزء.

نحسب قيمة الجزء الواحد بقسمة العدد الإجمالي للأشخاص على مجموع أجزاء الكل.

قيمة الجزء الواحد = $٢٠ = {٣} \div {٦٠}$ شخصاً لكل جزء.

نحسب عدد النساء بضرب أجزاء النساء المستنتجة في قيمة الجزء الواحد.

عدد النساء = $٤٠ = {٢٠} \times {٢}$ امرأة.

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢: حساب الجزء المعلوم أولاً ثم الطرح

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة العددية للجزء المعلوم نسبته من الكل، ثم طرحه من الإجمالي لاستنتاج المتبقي.

تمثل نسبة الرجال كسراً يعادل جزءاً واحداً من أصل ثلاثة أجزاء كلية.

الكسر الممثل للرجال = $\dfrac{١}{٣}$ من إجمالي المشاركين.

نحسب عدد الرجال بضرب الكسر الممثل لهم في العدد الإجمالي للأشخاص.

عدد الرجال = $٢٠ = {\dfrac{١}{٣}} \times {٦٠}$ رجلاً.

بما أن الرحلة تتكون من رجال ونساء فقط، فإن عدد النساء هو المتبقي من العدد الكلي.

عدد النساء = العدد الكلي مطروحاً منه عدد الرجال.

عدد النساء = $٤٠ = {٢٠} – {٦٠}$ امرأة.

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد وحدات القياس للمقارنة الدقيقة بتحويل الأميال إلى كيلومترات.

نحول القيمة الأولى من وحدة الميل إلى الكيلومتر بضرب عدد الأميال في المعامل المعطى.

$٢٥،٦ = {١،٦} \times {١٦}$

القيمة الأولى بعد التحويل هي $٢٥،٦$ كيلومتر.

القيمة الثانية المعطاة هي $٢٥$ كيلومتر.

نقارن بين القيمتين بوحدة الكيلومتر، العدد $٢٥،٦$ أكبر من العدد $٢٥$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد وحدات القياس بالقسمة لتحويل الكيلومترات إلى أميال لتأكيد النتيجة.

نحول القيمة الثانية من الكيلومتر إلى الميل بقسمتها على المعامل المعطى.

$١٥،٦٢٥ = {١،٦} \div {٢٥}$

القيمة الثانية بعد التحويل هي $١٥،٦٢٥$ ميل.

القيمة الأولى المعطاة هي $١٦$ ميل.

نقارن بين القيمتين بوحدة الميل، العدد $١٦$ أكبر من العدد $١٥،٦٢٥$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي المرتبط بالنسبة المئوية، حيث يمثل المنزل كاملاً نسبة مائة بالمائة.

نساوي النسبة المئوية المنجزة بعدد الأيام المستغرقة.

المعادلة: $\dfrac{١٠٠}{س} = \dfrac{٢٠}{٤}$

نقوم بتبسيط الكسر الأيمن بقسمة بسطه ومقامه ليصبح خمسة.

المعادلة المبسطة: $\dfrac{١٠٠}{س} = ٥$

بتبديل المواقع جبرياً لإيجاد المجهول، نقسم المائة على خمسة.

$٢٠ = \dfrac{١٠٠}{٥}$

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الوصول للكل عبر مضاعفة الجزء المئوي.

نعلم أن العشرين بالمائة تمثل رياضياً الكسر واحد على خمسة من إجمالي العمل.

بما أن الخمس الواحد يتطلب أربعة أيام لإنجازه.

للحصول على العمل كاملاً (خمسة أخماس)، نضرب عدد الأيام في المعامل خمسة المكمل للنسبة المئوية التامة.

$٢٠ = {٥} \times {٤}$

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد النسب لتجنب الكسور واستخدام الأجزاء الصحيحة في التوزيع.

لجعل جميع النسب أعداداً صحيحة، نفرض أن نسبة الماعز تساوي $٨$ أجزاء لأن البقر يمثل ثمنها.

وبناءً عليه، يمثل عدد البقر جزءاً واحداً $١$.

ويمثل عدد الجمال أربعة أمثال الماعز، أي نضرب أربعة في ثمانية ليكون $٣٢$ جزءاً.

نحسب مجموع الأجزاء لجميع الحيوانات لتوحيد القاعدة النسبية.

$٤١ = {٣٢} + {٨} + {١}$

نقسم المجموع الكلي للحيوانات على إجمالي الأجزاء لاستنتاج قيمة الجزء الواحد.

$١٠٠ = {٤١} \div {٤١٠٠}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في عدد أجزاء الماعز الافتراضية للحصول على عددها الفعلي.

$٨٠٠ = {١٠٠} \times {٨}$

والإجابة هي $٨٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء معادلة جبرية خطية لتمثيل المجموع الكلي بدلالة متغير رئيسي واحد.

نفرض أن عدد الماعز هو المتغير الأساسي $س$.

بناءً على المعطيات، يكون عدد البقر معبراً عنه بالكسر ${\dfrac{س}{٨}}$.

ويكون عدد الجمال معبراً عنه بالحد الجبري ${س٤}$.

نكتب معادلة المجموع الكلي للحيوانات بمساواة مجموع الحدود بالقيمة الإجمالية المعطاة.

$٤١٠٠ = {س٤} + {س} + {\dfrac{س}{٨}}$

نجمع الحدود المتشابهة للمتغير التي تمثل الأعداد الصحيحة.

$٤١٠٠ = {س٥} + {\dfrac{س}{٨}}$

نوحد المقامات لجمع الحد الصحيح مع الحد الكسري في طرف المتغيرات.

$٤١٠٠ = {\dfrac{٤١}{٨}}س$

نقسم المجموع الكلي على معامل المتغير الجبري لإيجاد القيمة الفعلية للماعز.

$٨٠٠ = {\dfrac{٤١}{٨}} \div {٤١٠٠} = س$

والإجابة هي $٨٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي.

لإنجاز نفس العمل، كلما زاد عدد العمال، قلّ عدد الأيام المطلوبة. هذا يعني أن العلاقة عكسية.

الحالة الأولى: $٣$ عمال يحتاجون $١٢$ يوماً.

الحالة الثانية: $٩$ عمال يحتاجون (س) من الأيام.

نضرب معطيات الحالة الأولى ببعضها لاستخراج جهد العمل الكلي: $٣٦ = {١٢} \times {٣}$

ثم نقسم هذا الجهد على عدد العمال في الحالة الثانية: $٤ = {٩} \div {٣٦}$

سيستغرقون $٤$ أيام لإنجاز العمل.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: مضاعفات الأعداد والتحليل النسبي.

نلاحظ أن عدد العمال زاد من $٣$ إلى $٩$، ولمعرفة نسبة الزيادة نقسم: $٣ = {٣} \div {٩}$

أي أن عدد العمال تضاعف $٣$ مرات.

بما أن التناسب عكسي، فإن الزمن سيقل بمقدار الثلث، ولذلك نقسم عدد الأيام الأصلي على $٣$.

الزمن الجديد = $٤ = {٣} \div {١٢}$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١: استخدام التناسب العكسي المباشر

المفهوم الرياضي: العلاقة بين عدد العمال والزمن اللازم لإنجاز عمل ثابت هي علاقة تناسب عكسي؛ فكلما زاد عدد العمال، قل عدد الأيام المطلوبة لإنجاز نفس العمل.

القانون الرياضي: (العمال في الحالة الأولى مضروباً في أيام الحالة الأولى) يساوي (العمال في الحالة الثانية مضروباً في أيام الحالة الثانية).

نعوض بمعطيات السؤال في معادلة التناسب العكسي.

المعادلة تصبح: $س \times {١٥} = {١٢} \times {١٠}$

نقوم بحساب حاصل ضرب الطرف الأيمن.

الناتج للطرف الأيمن = $١٢٠$

تصبح المعادلة: $س١٥ = ١٢٠$

نقسم كلا الطرفين على عدد العمال الجديد لإيجاد عدد الأيام.

عدد الأيام = $٨ = {١٥} \div {١٢٠} = س$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢: حساب حجم العمل الكلي (أيام العمل للرجل الواحد)

المفهوم الرياضي: يمكننا حساب إجمالي الجهد المطلوب لإنجاز العمل كاملاً مقدراً بوحدة (عامل-يوم)، وهو مقدار ثابت لا يتغير بتغير عدد العمال.

القانون الرياضي: العمل الكلي = عدد العمال مضروباً في عدد الأيام اللازمة لإنجازه.

نعوض بمعطيات الحالة الأولى لإيجاد حجم العمل الثابت.

العمل الكلي = $١٢٠ = {١٢} \times {١٠}$ عامل-يوم.

هذا يعني أن حفر البئر يتطلب مائة وعشرين يوماً إذا قام به عامل واحد بمفرده.

الآن نوزع هذا العمل الكلي على عدد العمال في الحالة الثانية.

القانون الرياضي: الأيام المطلوبة = العمل الكلي مقسوماً على عدد العمال الجديد.

نعوض بالعمل الكلي وعدد العمال الجديد.

عدد الأيام = $٨ = {١٥} \div {١٢٠}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج معدل الضخ في الدقيقة الواحدة ثم استخدامه لحساب الزمن المطلوب.

نحسب كم جالوناً تضخه المضخة في الدقيقة الواحدة بقسمة الحجم على الزمن.

$٢٥ = {١٥} \div {٣٧٥}$

نقسم الحجم المستهدف على معدل الضخ في الدقيقة لإيجاد الزمن اللازم.

$٢٤ = {٢٥} \div {٦٠٠}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق قاعدة التناسب الطردي المباشر والضرب التبادلي للقيم.

نؤسس التناسب: $٣٧٥$ جالوناً تقابل $١٥$ دقيقة، و $٦٠٠$ جالون تقابل زمناً مجهولاً.

نضرب الحجم المستهدف في الزمن المعلوم، ثم نقسم الناتج على الحجم المعلوم.

$٩٠٠٠ = {٦٠٠} \times {١٥}$

نقسم الناتج على الحجم الأصلي لاستخراج الزمن المطلوب.

$٢٤ = {٣٧٥} \div {٩٠٠٠}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الضرب التبادلي.

نستخدم هذه الطريقة عند وجود ثلاثة متغيرات: عمال (فاعل)، قطع قماش (مفعول به)، وأيام (زمن).

نرتب المعطيات في صفين: العمال ثم الإنتاج ثم الزمن.

الصف الأول: $٥$ عمال ينجزون $١٠٠$ قطعة في $٥$ أيام.

الصف الثاني: (س) عامل ينجزون $٣٣٦$ قطعة في $٧$ أيام.

نضرب بشكل تقاطعي (طريقة المقص المزدوج): نضرب عمال الصف الأول في إنتاج الثاني في زمن الأول، ونقسم على إنتاج الأول في زمن الثاني.

المعادلة: $س = ({٥} \times {٣٣٦} \times {٥}) \div ({٧} \times {١٠٠})$

نبسط المقام: $٧٠٠ = {٧} \times {١٠٠}$

نبسط البسط جزئياً: $٢٥ = {٥} \times {٥}$

نقسم $٣٣٦$ على $٧$ لتسهيل الحساب وتجنب الأرقام الكبيرة: $٤٨ = {٧} \div {٣٣٦}$

نضرب الباقي: $١٢٠٠ = {٤٨} \times {٢٥}$

أخيراً نقسم الناتج على $١٠٠$: $١٢ = {١٠٠} \div {١٢٠٠}$

نحتاج إلى $١٢$ عاملاً.

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب إنتاجية العامل الواحد.

نحسب أولاً كم ينجز جميع العمال في اليوم الواحد، بقسمة الإنتاج على الأيام: $٢٠ = {٥} \div {١٠٠}$ قطعة.

ثم نحسب إنتاجية العامل الواحد في اليوم الواحد، بقسمة الناتج السابق على عدد العمال: $٤ = {٥} \div {٢٠}$ قطع لكل عامل يومياً.

الآن، في الحالة الجديدة نريد إنتاج $٣٣٦$ قطعة في $٧$ أيام.

نحسب الإنتاج اليومي المطلوب بقسمة الإجمالي على الأيام: $٤٨ = {٧} \div {٣٣٦}$ قطعة يومياً.

بما أن العامل الواحد ينتج $٤$ قطع يومياً، لمعرفة عدد العمال المطلوبين نقسم الإنتاج اليومي المطلوب على إنتاجية العامل الواحد.

عدد العمال = $١٢ = {٤} \div {٤٨}$ عاملاً.

والإجابة هي $١٢$

السؤال الثالث

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي البسيط، فزيادة عدد الزجاجات تتطلب وقتاً أطول بنفس معدل التعبئة.

القانون: الزمن المجهول يساوي حاصل ضرب الزمن المعطى في الكمية المطلوبة مقسوماً على الكمية المعطاة.

البيانات: تعبئة $١٠٠$ زجاجة تستغرق $٥$ دقائق.

الهدف: معرفة الزمن اللازم لتعبئة $١٢٠٠$ زجاجة.

نطبق قاعدة الضرب التبادلي بين المعطيات.

نعوض في المعادلة بالشكل التالي: ${٦٠} = \dfrac{{١٢٠٠} \times {٥}}{١٠٠}$

والإجابة هي $٦٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد معامل التضاعف أو المضاعف المشترك.

القانون: الكمية الجديدة مقسومة على الكمية القديمة تعطي معامل الزيادة.

نحسب كم مرة تضاعفت كمية الزجاجات المطلوبة مقارنة بالكمية الأصلية.

نعوض في معادلة القسمة: ${١٢} = \dfrac{١٢٠٠}{١٠٠}$

الكمية تضاعفت $١٢$ مرة، لذا نضرب الزمن الأصلي في هذا المعامل.

نعوض في المعادلة التالية: ${٦٠} = {١٢} \times {٥}$

والإجابة هي $٦٠$

تكنيك ١: حساب نسبة الفاسد من العينة وتعميمها

المفهوم الرياضي: استخراج نسبة الصنف المطلوب من العينة المصغرة وضربها في العدد الكلي لتطبيق التعميم الإحصائي.

نحسب أولاً عدد التفاح الفاسد الموجود حصراً داخل العينة الواحدة المكونة من إجمالي التفاح الجزئي.

التفاح الفاسد في العينة = إجمالي العينة مطروحاً منه عدد التفاح الصالح فيها.

العدد الفاسد جزئياً = $٤ = {٨} – {١٢}$ تفاحات فاسدة.

نحسب نسبة التفاح الفاسد في العينة من خلال قسمة عدده على إجمالي حجم العينة.

النسبة الكسرية للفاسد = $\dfrac{٤}{١٢}$ ويتم تبسيطها جبرياً إلى $\dfrac{١}{٣}$ من إجمالي التفاح.

نحسب عدد التفاح الفاسد الكلي بضرب هذه النسبة المبسطة في العدد الإجمالي الفعلي للتفاح في السلة.

العدد الكلي للفاسد = $٢٠ = {\dfrac{١}{٣}} \times {٦٠}$ تفاحة.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢: حساب عدد المجموعات المتكررة (التكرار النمطي)

المفهوم الرياضي: تقسيم الكمية الكلية إلى مجموعات متساوية بناءً على حجم العينة لمعرفة مرات التكرار.

نحسب عدد التكرارات أو المجموعات الكلية بقسمة إجمالي التفاح في السلة على عدد التفاح في العينة الواحدة.

عدد المجموعات = $٥ = {١٢} \div {٦٠}$ مجموعات متطابقة.

كل مجموعة واحدة تحتوي على كمية محددة من التفاح الفاسد استنتجناها من طرح الصالح من الكل.

عدد الفاسد في المجموعة = $٤ = {٨} – {١٢}$ تفاحات.

نحسب إجمالي التفاح الفاسد بضرب كمية الفاسد في المجموعة الواحدة في إجمالي عدد المجموعات.

العدد الإجمالي للفاسد = $٢٠ = {٥} \times {٤}$ تفاحة.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي (حسب منهجية الكتاب).

كلما نقص عدد الرجال في المصعد، زادت المساحة المتاحة لدخول عدد أكبر من الأطفال. وفقاً لقاعدة الكتاب، نعاملها كتناسب عكسي لتحديد السعة الإجمالية.

الحالة الأولى: المصعد يسع $٢٠$ رجلاً يقابلهم $٢٤$ طفلاً.

الحالة الثانية: تواجد $١٥$ رجلاً، ونريد معرفة سعة الأطفال (س) الممكن إضافتها.

نضرب قيم الحالة الأولى ببعضها: $٤٨٠ = {٢٤} \times {٢٠}$

ثم نقسم الناتج على القيمة المعلومة في الحالة الثانية وهي عدد الرجال المتواجدين: $٣٢ = {١٥} \div {٤٨٠}$

لتبسيط القسمة، نقسم $٤٨٠$ على $١٥$، نعلم أن $٤٥$ تقسيم $١٥$ يساوي $٣$، يتبقى $٣٠$ تقسيم $١٥$ يساوي $٢$، إذن الناتج $٣٢$.

يجب إضافة $٣٢$ طفلاً.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التبسيط الكسري.

نصيغ التناسب العكسي ككسر يسهل اختصاره بدلاً من ضرب أرقام كبيرة.

العدد المطلوب = ${\dfrac{{٢٤} \times {٢٠}}{١٥}}$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو $٥$.

نقسم $٢٠$ على $٥$ لنحصل على $٤$، ونقسم $١٥$ على $٥$ لنحصل على $٣$.

يصبح الكسر: ${\dfrac{{٢٤} \times {٤}}{٣}}$

نقسم $٢٤$ على $٣$ لنحصل على $٨$.

أخيراً نضرب: $٣٢ = {٨} \times {٤}$

والإجابة هي $٣٢$

السؤال الأول

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي، حيث أن زيادة عدد العمال تؤدي بشكل مباشر إلى زيادة كمية الإنتاج في نفس المدة الزمنية.

القانون: المتغير الأول مضروباً في القيمة المطلوبة يساوي المتغير الثاني مضروباً في القيمة المعطاة.

نحدد المعطيات: عدد العمال الأساسي هو $٥٠$ عاملاً، وإنتاجهم الشهري هو $١٥٠٠$ متر من القماش.

تمت إضافة $١٠$ عمال جدد، ليصبح إجمالي عدد العمال $٦٠$ عاملاً.

نطبق قاعدة الضرب التبادلي لإيجاد الإنتاج الجديد المجهول.

نضرب الإنتاج الأصلي في عدد العمال الجديد، ثم نقسم الناتج على عدد العمال الأصلي.

نعوض في المعادلة التالية: ${١٨٠٠} = \dfrac{{٦٠} \times {١٥٠٠}}{٥٠}$

والإجابة هي $١٨٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخراج قيمة الوحدة الواحدة، ثم ضربها في العدد الإجمالي الجديد.

القانون: كمية الإنتاج الكلية مقسومة على عدد العمال تعطي إنتاج العامل الواحد.

نقسم الأمتار المنتجة على عدد العمال الأصلي.

نعوض في المعادلة التالية: ${٣٠} = \dfrac{١٥٠٠}{٥٠}$

إنتاج العامل الواحد هو $٣٠$ متراً في الشهر.

نضرب إنتاج العامل الواحد في العدد الإجمالي الجديد للعمال.

نعوض في المعادلة التالية: ${١٨٠٠} = {٦٠} \times {٣٠}$

والإجابة هي $١٨٠٠$

تكنيك ١: استخدام التناسب الطردي لحساب الزمن

المفهوم الرياضي: يعتمد حل هذا السؤال على إيجاد الزمن الذي استغرقته الآلة الأولى في الإنتاج، ثم استخدام هذا الزمن لحساب إنتاج الآلة الثانية بناءً على معدلها.

القانون الرياضي: الزمن = إجمالي الإنتاج مقسوماً على معدل الإنتاج في الساعة.

نعوض بقيم الآلة الأولى لإيجاد الزمن الذي استغرقته لإنتاج الكمية المذكورة.

الزمن = $١٢ = {١٥٠٠} \div {١٨٠٠٠}$ ساعة.

الآن، نستخدم هذا الزمن لحساب إنتاج الآلة الثانية التي تعمل بمعدل مختلف.

القانون الرياضي: إجمالي الإنتاج = معدل الإنتاج مضروباً في الزمن.

نعوض بمعدل الآلة الثانية والزمن المستخرج.

إنتاج الآلة الثانية = $٣٠٠٠ = {١٢} \times {٢٥٠}$ رغيف.

والإجابة هي $٣٠٠٠$

تكنيك ٢: استخدام التناسب الطردي المباشر بين المعدلات

المفهوم الرياضي: بما أن الزمن ثابت للآلتين، فإن النسبة بين معدلي إنتاجهما في الساعة تساوي النسبة بين إجمالي إنتاجهما في نفس المدة.

القانون الرياضي: (معدل الآلة الأولى مقسوماً على معدل الآلة الثانية) يساوي (إنتاج الآلة الأولى مقسوماً على إنتاج الآلة الثانية).

نعوض بالقيم المعطاة في السؤال لتشكيل معادلة التناسب.

التناسب يكتب هكذا: $\dfrac{١٥٠٠}{٢٥٠} = \dfrac{١٨٠٠٠}{س}$

نضرب الطرفين في الوسطين لإيجاد قيمة المتغير.

المعادلة تصبح: $س١٥٠٠ = {٢٥٠} \times {١٨٠٠٠}$

نقسم كلا الطرفين على معامل المتغير.

ينتج لدينا: $٣٠٠٠ = {١٥٠٠} \div ({٢٥٠} \times {١٨٠٠٠}) = س$

والإجابة هي $٣٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مقدار الإنتاج الفردي لكل طابعة ثم جمعهما لإيجاد الإنتاج الكلي.

نبدأ بحساب إنتاج الطابعة الأولى خلال الزمن المحدد وهو $٥$ ثوانٍ، بناءً على معدلها المعطى.

تطبع الطابعة الأولى $٦٠٠$ كلمة في الثانية، لذا نضرب هذا العدد في $٥$.

$٣٠٠٠ = {٥} \times {٦٠٠}$

نحسب معدل إنتاج الطابعة الثانية في الثانية الواحدة بقسمة عدد الكلمات على الزمن.

$٢٥ = {٤} \div {١٠٠}$

نحسب مقدار إنتاج الطابعة الثانية خلال $٥$ ثوانٍ بضرب معدل إنتاجها في الزمن.

$١٢٥ = {٥} \times {٢٥}$

نجمع إنتاج الطابعتين معاً للحصول على إجمالي عدد الكلمات المطبوعة خلال الفترة المحددة.

$٣١٢٥ = {١٢٥} + {٣٠٠٠}$

والإجابة هي $٣١٢٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد المعدل المشترك لعمل الطابعتين معاً في الثانية الواحدة.

معدل الطابعة الأولى هو $٦٠٠$ كلمة في الثانية.

معدل الطابعة الثانية هو عدد الكلمات مقسوماً على الزمن.

$٢٥ = {٤} \div {١٠٠}$

نحسب المعدل المشترك بجمع معدلي الطابعتين معاً في الثانية الواحدة.

$٦٢٥ = {٢٥} + {٦٠٠}$

نحسب الإنتاج الكلي بضرب المعدل المشترك في الزمن الإجمالي المطلوب وهو $٥$ ثوانٍ.

$٣١٢٥ = {٥} \times {٦٢٥}$

والإجابة هي $٣١٢٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الحساب الدقيق لتحويل العملة الأجنبية إلى العملة المحلية والمقارنة.

نحول القيمة الأولى من اليورو إلى الريال بضرب العدد في سعر الصرف المعطى.

$٤٥،٣٦ = {٣،٧٨} \times {١٢}$

القيمة الأولى أصبحت $٤٥،٣٦$ ريالاً.

القيمة الثانية المعطاة هي $٤٨$ ريالاً.

بالمقارنة بين القيمتين، نجد أن العدد $٤٨$ أكبر من العدد $٤٥،٣٦$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التقريب المنطقي لتسهيل عمليات المقارنة وتوفير الوقت دون الإخلال بالمنطق الرياضي.

نقوم بتقريب قيمة اليورو الواحد إلى $٤$ ريالات لتسهيل الحساب وتضخيم القيمة قليلاً لغرض المقارنة.

نحسب القيمة الأولى بناءً على التقريب الأكبر.

$٤٨ = {٤} \times {١٢}$

بما أننا قربنا القيمة $٣،٧٨$ بزيادتها إلى $٤$، فإن القيمة الحقيقية لـ $١٢$ يورو ستكون حتماً أقل من $٤٨$ ريالاً.

القيمة الثانية هي $٤٨$ ريالاً بالضبط، مما يعني أنها تتفوق على القيمة الأولى الحقيقية.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي لحساب معدل الإنجاز في الوحدة الزمنية الواحدة ثم تعميمه.

نحسب ما ينجزه أحمد في ساعة واحدة كاملة، بضرب ما ينجزه في نصف ساعة في العدد $٢$.

$\dfrac{٤}{٣} = {٢} \times {\dfrac{٢}{٣}}$

الآن، نحسب إجمالي ما ينجزه في $٦$ ساعات بضرب معدله في الساعة الواحدة في العدد $٦$.

$٢٤ = {٦} \times {٤}$

نقسم الناتج المتبقي على المقام لإيجاد عدد الصفحات النهائي.

$٨ = {٣} \div {٢٤}$

والإجابة هي $٨$ صفحة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حل المسألة باستخدام استراتيجية التدرج المنتظم لمعرفة الإنتاج في فترات زمنية متساوية.

نعلم أن نصف ساعة تعادل إنجاز $\dfrac{٢}{٣}$ صفحة.

نضاعف الزمن ليكون ساعة واحدة، ونضاعف الإنتاج بالتوازي.

الساعة الواحدة تعادل إنجاز $\dfrac{٤}{٣}$ صفحة.

الزمن المطلوب هو $٦$ ساعات، لذا نضرب الناتج في $٦$.

إجمالي الصفحات يساوي الكسر الممثل لإنتاج ساعة واحدة مضروباً في $٦$.

$٨ = {٦} \times {\dfrac{٤}{٣}}$

والإجابة هي $٨$ صفحة

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي.

إذا أراد خالد إنهاء العمل في عدد أيام أقل، فعليه أن يزيد من عدد ساعات عمله اليومية. العلاقة هنا تناسب عكسي.

الحالة الأولى: العمل بمعدل $٥$ ساعات لمدة $٣$ أيام.

الحالة الثانية: العمل بمعدل (س) ساعة لمدة يومين ($٢$).

نضرب عدد الساعات في عدد الأيام للحالة الأولى: $١٥ = {٣} \times {٥}$

ثم نقسم الناتج على عدد أيام الحالة الثانية: $٧،٥ = {٢} \div {١٥}$

بعملية القسمة المطولة لـ $١٥$ على $٢$ نحصل على $٧$ ونصف، أي يحتاج للعمل $٧،٥$ ساعة يومياً.

والإجابة هي $٧،٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إجمالي ساعات العمل الكلية.

نحسب عدد الساعات الكلية التي يتطلبها إنجاز هذا العمل بالكامل عبر الضرب.

إجمالي الساعات = $١٥ = {٣} \times {٥}$ ساعة.

الآن، لإنهاء هذا العمل الذي يستغرق ($١٥$ ساعة) في يومين فقط، نقوم بتوزيع الساعات على اليومين بالقسمة على $٢$.

ساعات العمل اليومية = $٧،٥ = {٢} \div {١٥}$

والإجابة هي $٧،٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد معامل التحويل للوحدة الواحدة واستخدامه لتحويل الريالات إلى دنانير.

نوجد قيمة الريال الواحد بالدينار من خلال قسمة الطرفين على $١٠٠$.

$٠،٩ = {١٠٠} \div {٩٠}$

نحسب القيمة الأولى التي تمثل $٧$ ريالات بضربها في المعامل المستخرج.

$٦،٣ = {٠،٩} \times {٧}$

القيمة الأولى هي $٦،٣$ دينار.

القيمة الثانية المعطاة هي $١٠$ دينار.

بالمقارنة، العدد $١٠$ أكبر من العدد $٦،٣$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل العملة الأكبر (الدينار) إلى الأصغر (الريال) لتجنب الفواصل العشرية.

نوجد قيمة الدينار الواحد بالريال من خلال قسمة الطرفين على $٩٠$.

$\dfrac{١٠}{٩} = {٩٠} \div {١٠٠}$

نحول القيمة الثانية التي تمثل $١٠$ دنانير بضربها في المعامل المستخرج.

$\dfrac{١٠٠}{٩} = {\dfrac{١٠}{٩}} \times {١٠}$

قيمة الكسر $\dfrac{١٠٠}{٩}$ تساوي $١١،١١$ ريالاً تقريباً.

القيمة الأولى المعطاة هي $٧$ ريالات، و العدد $١١،١١$ أكبر من $٧$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: استخدام طريقة الضرب التبادلي (التناسب المركب)

المفهوم الرياضي: عندما ترتبط ثلاثة متغيرات معاً (فاعل، مفعول به، زمن)، نستخدم قاعدة الضرب التبادلي.

القانون الرياضي: الفاعل الأول مضروباً في المفعول الثاني مضروباً في الزمن الأول يساوي الفاعل الثاني مضروباً في المفعول الأول مضروباً في الزمن الثاني.

نرتب المعطيات: الحالة الأولى تتكون من فاعل وهو البقرات ومفعول وهو الحليب وزمن وهو الأيام.

الحالة الأولى: البقرات = $٥$، الحليب = $٢٠$، الأيام = $٣$.

الحالة الثانية: البقرات = $٤$، الحليب = $٨٠$، الأيام = مجهول ونرمز له بالمتغير.

نطبق قانون الضرب التبادلي، حيث نضرب البقرات من الحالة الأولى في الحليب من الحالة الثانية في الأيام من الحالة الأولى، والعكس للطرف الآخر.

المعادلة تصبح: $س \times {٢٠} \times {٤} = {٣} \times {٨٠} \times {٥}$

نقوم بتبسيط عمليات الضرب في كلا الطرفين.

ينتج لدينا: $س٨٠ = ١٢٠٠$

نقسم الطرفين على معامل المتغير للحصول على قيمته.

عدد الأيام = $١٥ = {٨٠} \div {١٢٠٠} = س$

والإجابة هي $١٥$

تكنيك ٢: حساب معدل الإنتاج الفردي

المفهوم الرياضي: نوجد مقدار ما تنتجه بقرة واحدة في يوم واحد، ثم نستخدم هذا المعدل الثابت لحساب الزمن المطلوب للحالة الجديدة.

القانون الرياضي: إنتاج البقرة في اليوم = إجمالي الإنتاج مقسوماً على (عدد البقرات مضروباً في عدد الأيام).

نعوض بقيم الحالة الأولى لإيجاد المعدل.

المعدل = $\dfrac{٢٠}{{٣} \times {٥}}$

نبسط الكسر لنحصل على معدل البقرة الواحدة يومياً.

المعدل = $\dfrac{٤}{٣}$ لتر في اليوم للبقرة الواحدة.

الآن نصيغ معادلة للحالة الثانية: إنتاج البقرات الجديدة في الأيام المجهولة يجب أن يساوي الكمية المطلوبة.

القانون الرياضي: الكمية = عدد البقرات مضروباً في الأيام مضروباً في معدل البقرة.

نعوض بالمعطيات الجديدة في القانون.

المعادلة: $٨٠ = \dfrac{٤}{٣} \times س \times {٤}$

نبسط الطرف الأيسر من المعادلة.

المعادلة: $٨٠ = س \times \dfrac{١٦}{٣}$

لحل المعادلة، نضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

النتيجة: $١٥ = \dfrac{٣}{١٦} \times {٨٠} = س$

والإجابة هي $١٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي، فكلما زاد سمك الكتاب، زاد عدد صفحاته بافتراض ثبات نوع الورق.

نكتب قانون التناسب المباشر بمساواة النسبة بين عدد الصفحات والسمك في الحالتين.

المعادلة: $\dfrac{س}{٢،٧} = \dfrac{٢٥٠}{١،٥}$

نضرب الطرفين في وسطين لإيجاد عدد الصفحات المجهول:

$س \times {١،٥} = {٢،٧} \times {٢٥٠}$

نبسط الطرف الأيمن بإتمام عملية الضرب:

$س١،٥ = ٦٧٥$

نقسم الناتج على المعامل لاستخراج قيمة المتغير:

$٤٥٠ = \dfrac{٦٧٥}{١،٥}$

والإجابة هي $٤٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد معدل الوحدة (سمك الصفحة الواحدة) أو استخدام مضاعفات النسب.

نبسط النسبة المعطاة في السؤال: إذا كان سمك مائتين وخمسين صفحة هو واحد ونصف سنتيمتر.

بضرب الطرفين في عشرة للتخلص من الفاصلة العشرية، نجد أن ألفين وخمسمائة صفحة يقابلها خمسة عشر سنتيمتراً.

نقسم على خمسة لاستنتاج أن خمسمائة صفحة يبلغ سمكها ثلاثة سنتيمترات.

السمك المطلوب هو اثنان وسبعة من عشرة سنتيمتر، وهو يقل عن الثلاثة بمقدار ثلاثة من عشرة.

بما أن الخمسين صفحة تعادل ثلاثة من عشرة سنتيمتر، نطرح خمسين صفحة من الخمسمائة.

$٤٥٠ = {٥٠} – {٥٠٠}$

والإجابة هي $٤٥٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة الكلية (الراتب) من خلال الجزء بالنسبة المئوية، ثم حساب النسبة الأخرى من الراتب نفسه.

نحسب الراتب الإجمالي عبر قسمة قيمة توفير خالد على النسبة المئوية لتوفيره.

الراتب الكلي: $٧٠٠٠ = \dfrac{١٥٤٠}{٠،٢٢}$

بعد استخراج الراتب الأساسي، نقوم بحساب توفير سعد بضرب الراتب في نسبته المئوية.

مقدار التوفير: $٩٨٠ = {٠،١٤} \times {٧٠٠٠}$

والإجابة هي $٩٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي المباشر بين النسب المئوية للراتب وقيمتها الفعلية لتوحيد الأساس المقارن.

بما أن الراتب الأساسي ثابت لكلا الشخصين حسب المعطيات الضمنية للتناسب، يمكننا بناء معادلة متكافئة.

المعادلة: $\dfrac{س}{١٤} = \dfrac{١٥٤٠}{٢٢}$

نقوم بتبسيط الكسر الأيمن بقسمة ألف وخمسمائة وأربعين على اثنين وعشرين ليصبح الناتج سبعين.

$س = {١٤} \times {٧٠}$

ننفذ عملية الضرب للحصول على الناتج النهائي.

$٩٨٠ = {١٤} \times {٧٠}$

والإجابة هي $٩٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تقسيم المبالغ المجمعة بناءً على حساب مجموع الأجزاء النسبية.

نقوم بجمع أجزاء النسب المعطاة في السؤال لمعرفة إجمالي عدد الأجزاء الكلي.

$٦ = {٣} + {٢} + {١}$

نحسب قيمة الجزء الواحد عن طريق قسمة إجمالي الربح على مجموع الأجزاء.

$٦٠٠٠ = {٦} \div {٣٦٠٠٠}$

بما أن المطلوب هو نصيب أكبر مشارك، نضرب النسبة الكبرى في قيمة الجزء الواحد.

$١٨٠٠٠ = {٦٠٠٠} \times {٣}$

والإجابة هي $١٨٠٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تمثيل حصة الشريك المستهدف ككسر اعتيادي من الإجمالي للحساب المباشر.

نحدد كسر حصة الشريك الأكبر بوضع نسبته كبسط ومجموع النسب كمقام.

الكسر الممثل للشريك الأكبر هو ${\dfrac{٣}{٦}}$ والذي يمكن تبسيطه إلى النصف.

نضرب الكسر الممثل للشريك الأكبر في إجمالي الربح مباشرة.

$١٨٠٠٠ = {٣٦٠٠٠} \times {\dfrac{٣}{٦}}$

والإجابة هي $١٨٠٠٠$

السؤال الثامن

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي في الكميات الكسرية لحساب المساحة المطلوبة.

القانون: المساحة المطلوبة تساوي القيمة المستهدفة مضروبة في المساحة الأساسية ومقسومة على القيمة المنتجة الأساسية.

لدينا مساحة $١$ سم ${}^{٢}$ تولد طاقة مقدارها الكسري $\dfrac{١}{١٠٠}$ واط.

نريد إيجاد المساحة اللازمة لتوليد طاقة مقدارها $١٠$ واط.

نطبق التناسب التبادلي لضرب القيم وعزل المجهول.

نعوض في المعادلة حيث نقسم على الكسر: ${١٠٠٠} = \dfrac{{١٠} \times {١}}{\dfrac{١}{١٠٠}}$

مقام المقام يصبح بسطاً، فنضرب القيمة في $١٠٠$.

المعادلة بعد التبسيط: ${١٠٠٠} = {١٠٠} \times {١٠}$

والإجابة هي $١٠٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم والوصول للوحدة الصحيحة أولاً ثم للهدف المنشود.

القانون: ضرب طرفي التناسب في المضاعف المشترك للوصول إلى الوحدة الصحيحة.

الطاقة المنتجة هي جزء من مائة من الواط لكل واحد سم ${}^{٢}$.

لتوليد $١$ واط كامل، نحتاج إلى ضرب المساحة في $١٠٠$.

المعادلة لاستخراج مساحة الواحد واط: ${١٠٠} = {١٠٠} \times {١}$

إذن $١٠٠$ سم ${}^{٢}$ تولد $١$ واط من الطاقة.

نحن نحتاج إلى $١٠$ واط، لذا نضرب المساحة الناتجة في $١٠$.

نعوض في المعادلة النهائية: ${١٠٠٠} = {١٠} \times {١٠٠}$

والإجابة هي $١٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي واستخدام مقياس الرسم لتحويل الأطوال.

نضع التناسب في شكل كسرين متساويين، الطول في الرسم مقسوماً على الطول الحقيقي.

نعوض بالقيم المعطاة: $١$ سنتيمتر يقابله $٢$ متر.

المعادلة: $\dfrac{س}{٥} = \dfrac{٢}{١}$

نستخدم خاصية الضرب التبادلي للمقص لإيجاد القيمة المجهولة:

$١٠ = {٢} \times {٥}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: معامل الضرب المباشر في التناسب الطردي.

نستنتج من مقياس الرسم أن كل سنتيمتر واحد على الورق يمثل ضعف قيمته العددية بالأمتار في الواقع.

بناءً على هذا المعامل، نأخذ طول النافذة في الرسم ونضربه في اثنين مباشرة.

$١٠ = {٢} \times {٥}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١: التناسب العكسي والضرب التبادلي

المفهوم الرياضي: العلاقة بين عدد العمال والزمن اللازم لإنجاز مهمة ثابتة هي علاقة تناسب عكسي.

كمية العمل in هذا السياق ثابتة وهي زراعة الفسائل المحددة، لذا يمكننا حساب الجهد الإجمالي المطلوب.

الزمن الإجمالي الذي يحتاجه مزارع واحد لإنهاء العمل يعادل حاصل ضرب عدد المزارعين في عدد الأيام.

الزمن لمزارع واحد = $٦٠ = {٦٠} \times {١}$ يوم عمل.

بما أن العمل سيتم توزيعه على مجموعة أكبر، فإننا نقسم الزمن الإجمالي على عدد العمال الجدد.

الزمن المطلوب = الزمن الإجمالي مقسوماً على عدد العمال.

الأيام المطلوبة = $٦ = {١٠} \div {٦٠}$ أيام.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢: حساب معدل الإنجاز اليومي

المفهوم الرياضي: حساب مقدار الإنجاز اليومي للفرد الواحد ثم تعميمه على المجموعة لاستنتاج الزمن الكلي.

معدل إنجاز مزارع واحد يومياً يمثل إجمالي الفسائل مقسوماً على عدد الأيام.

المعدل اليومي للفرد = $٥ = {٦٠} \div {٣٠٠}$ فسائل في اليوم.

إذا عملت مجموعة من العمال، فإن معدلهم اليومي المشترك هو المعدل الفردي مضروباً في عددهم.

المعدل اليومي للمجموعة = $٥٠ = {١٠} \times {٥}$ فسيلة في اليوم.

لحساب عدد الأيام الكلية للمجموعة، نقسم إجمالي كمية العمل على معدل الإنجاز اليومي المشترك.

عدد الأيام للمجموعة = $٦ = {٥٠} \div {٣٠٠}$ أيام.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١: التناسب الجزئي ومجموع الأجزاء

المفهوم الرياضي: تقسيم العدد الكلي بناءً على مجموع أجزاء النسب المعطاة لإيجاد القيمة العددية للجزء الواحد.

أولاً، نحدد أجزاء النسبة الخاصة بكل فئة بناءً على الترتيب المذكور في نص السؤال.

عدد أجزاء الرجال يمثل $٣$ أجزاء، وعدد أجزاء النساء يمثل $٧$ أجزاء.

نحسب مجموع الأجزاء الكلية للنسبة.

مجموع الأجزاء = $١٠ = {٧} + {٣}$ أجزاء.

نحسب قيمة الجزء الواحد بقسمة العدد الكلي للمجموعة على المجموع الكلي للأجزاء.

قيمة الجزء الواحد = $٦ = {١٠} \div {٦٠}$ أشخاص لكل جزء.

نحسب عدد الرجال بضرب عدد أجزائهم النسبية في قيمة الجزء الواحد المستخرجة.

عدد الرجال = $١٨ = {٦} \times {٣}$ رجلاً.

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ٢: بناء معادلة المتغير الجبري الأساسي

المفهوم الرياضي: التعبير عن الأجزاء النسبية كمتغيرات جبرية وحل المعادلة الخطية لإيجاد قيمة المتغير الفعلي.

نفرض رياضياً أن قيمة الجزء الواحد هي المتغير الجبري س.

يُعبر عن عدد الرجال ككتلة جبرية بالصيغة $س٣$، وعن عدد النساء بالصيغة $س٧$.

مجموع الكتلتين الجبريتين يمثل العدد الإجمالي للأشخاص المذكور صراحة في السؤال.

المعادلة الجبرية للكل: $٦٠ = {س٧} + {س٣}$ شخصاً.

نجمع المعاملات الجبرية للمتغيرات المتشابهة لتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة.

صيغة التبسيط: $٦٠ = {س١٠}$ شخصاً.

نقسم كلا الطرفين على معامل المتغير لإيجاد قيمته المجردة والنهائية.

قيمة المتغير س = $٦ = {١٠} \div {٦٠}$ لكل جزء.

نعوض بقيمة المتغير المستخرجة في الكتلة الجبرية الخاصة بالرجال لحساب عددهم.

عدد الرجال = $١٨ = {٦} \times {٣}$ رجلاً.

والإجابة هي $١٨$

السؤال السابع

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحويل الوحدات الزمنية وتطبيق التناسب الطردي لحساب المعدل الجديد.

القانون: الإنجاز مضروباً في الزمن المستهدف مقسوماً على الزمن المعطى.

نحول الساعة الواحدة إلى دقائق لتتوافق مع معطيات السؤال.

الساعة تساوي $٦٠$ دقيقة.

الشخص يطبع $٤٨$ كلمة في $٤٥$ دقيقة، ونريد معرفة كم يطبع في $٦٠$ دقيقة.

نستخدم الضرب التبادلي لإيجاد الناتج.

نعوض في المعادلة التالية: ${٦٤} = \dfrac{{٦٠} \times {٤٨}}{٤٥}$

والإجابة هي $٦٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التجزئة الزمنية وإيجاد الإنجاز في أجزاء الساعة.

القانون: تبسيط الزمن المعطى إلى وحدات أصغر ثم مضاعفتها للوصول للزمن الكلي.

نلاحظ أن $٤٥$ دقيقة تمثل ثلاثة أرباع الساعة.

نقسم عدد الكلمات $٤٨$ على $٣$ لمعرفة الإنجاز في ربع الساعة الواحد.

نعوض في المعادلة: ${١٦} = \dfrac{٤٨}{٣}$

إذن، يطبع الشخص $١٦$ كلمة كل $١٥$ دقيقة.

الساعة الكاملة تحتوي على أربعة أرباع.

نضرب الإنجاز في ربع الساعة بالرقم $٤$.

نعوض في المعادلة: ${٦٤} = {٤} \times {١٦}$

والإجابة هي $٦٤$

تكنيك ١: إيجاد الكل ثم حساب النسبة

المفهوم الرياضي: لحساب نسبة جزء إلى الكل، يجب أولاً معرفة قيمة الكل عن طريق جمع الأجزاء المكونة له، ثم قسمة الجزء المطلوب على هذا الكل وتحويله إلى نسبة مئوية.

القانون الرياضي: الكل = الجزء الأول مضافاً إليه الجزء الثاني.

نعوض لجمع عدد الذكور وعدد الإناث للحصول على العدد الكلي للأفراد.

العدد الكلي = $٤٨ = {١٢} + {٣٦}$

نطبق الآن قانون النسبة المئوية للجزء من الكل.

القانون الرياضي: النسبة المئوية = (الجزء مقسوماً على الكل) مضروباً في مائة.

نعوض بعدد الذكور كجزء، والعدد الإجمالي ككل في المعادلة.

النسبة = ${١٠٠} \times \dfrac{٣٦}{٤٨}$

نقوم بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو الرقم اثنا عشر.

الكسر المبسط يصبح ثلاثة أرباع.

النسبة = ${١٠٠} \times \dfrac{٣}{٤}$

نضرب الكسر المبسط في مائة لنحصل على النسبة النهائية.

الناتج النهائي = $٧٥$ ٪.

والإجابة هي $٧٥$ ٪

تكنيك ٢: استخدام التناسب المباشر للأجزاء

المفهوم الرياضي: يمكننا تبسيط النسبة بين الأجزاء أولاً (ذكور إلى إناث) لمعرفة حصة كل فئة من الإجمالي المبسط، ثم تحويل حصة الفئة المطلوبة إلى نسبة مئوية.

نقوم بكتابة نسبة الذكور إلى الإناث كما وردت في المعطيات.

النسبة هي $١٢ : ٣٦$

نبسط هذه النسبة بقسمة الطرفين على الرقم اثنا عشر.

النسبة المبسطة تصبح $١ : ٣$ (أي أن مقابل كل أنثى يوجد ثلاثة ذكور).

نحسب مجموع الأجزاء في هذه النسبة المبسطة.

مجموع الأجزاء = $٤ = {١} + {٣}$ أجزاء.

تمثل حصة الذكور ثلاثة أجزاء من أصل أربعة أجزاء كلية.

الكسر الذي يمثل الذكور هو ثلاثة مقسومة على أربعة.

لتحويل هذا الكسر إلى نسبة مئوية نضربه في مائة.

الناتج = $٧٥ = {١٠٠} \times \dfrac{٣}{٤}$

والإجابة هي $٧٥$ ٪

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي.

تقليل عدد الأيام المتاحة للبناء يتطلب بالضرورة زيادة عدد العمال للتعويض. العلاقة تناسب عكسي.

الحالة الأولى: $٥٦$ عاملاً ينهون العمل في $٣$ أيام.

الحالة الثانية: نحتاج (س) عاملاً لإنهاء العمل في يومين ($٢$).

نضرب عدد عمال الحالة الأولى في أيامهم لمعرفة حجم العمل الكلي: $١٦٨ = {٣} \times {٥٦}$

ثم نقسم هذا الناتج على الأيام المتاحة في الحالة الثانية: $٨٤ = {٢} \div {١٦٨}$

نقسم $١٦$ على $٢$ يساوي $٨$، ونقسم $٨$ على $٢$ يساوي $٤$، إذن الناتج $٨٤$ عاملاً.

والإجابة هي $٨٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إجمالي وحدات الجهد.

نحسب مقدار الجهد الكلي المطلوب لبناء المنزل وهو حاصل ضرب العمال في الأيام.

الجهد الكلي = $١٦٨ = {٣} \times {٥٦}$ وحدة عمل.

لإنهاء هذا الجهد البالغ ($١٦٨$) في يومين، نقسم الجهد الكلي على $٢$.

عدد العمال = $٨٤ = {٢} \div {١٦٨}$

والإجابة هي $٨٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج قيمة الوحدة الواحدة لتحويل العملات وإجراء المقارنة المباشرة.

نوجد قيمة الدينار الكويتي الواحد بالريال بقسمة إجمالي الريالات على عدد الدنانير المعطى.

$١٣،٥ = {١٠٠} \div {١٣٥٠}$

نحول القيمة الأولى التي تمثل $٤$ دنانير كويتية بضربها في سعر الصرف المستخرج.

$٥٤ = {١٣،٥} \times {٤}$

القيمة الأولى تعادل $٥٤$ ريالاً.

القيمة الثانية المعطاة هي $٥٠$ ريالاً.

بالمقارنة بوحدة الريال، العدد $٥٤$ أكبر من العدد $٥٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الضرب التبادلي (المقص) لحل تناسب العملات بشكل مباشر.

نؤسس التناسب: $١٠٠$ دينار تقابل $١٣٥٠$ ريالاً، و $٤$ دنانير تقابل زمناً أو قيمة مجهولة.

نضرب القيمة المجهولة (بالدينار) في القيمة المقابلة لها (بالريال).

$٥٤٠٠ = {١٣٥٠} \times {٤}$

نقسم الناتج على العدد $١٠٠$ لاستخراج القيمة المكافئة بالريال.

$٥٤ = {١٠٠} \div {٥٤٠٠}$

القيمة الأولى أصبحت $٥٤$ ريالاً، نقارنها مع القيمة الثانية وهي $٥٠$ ريالاً.

العدد $٥٤$ يتفوق على العدد $٥٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: استخدام التناسب العكسي لزمن الإنجاز

المفهوم الرياضي: نظراً لأن حجم العمل ثابت (وهو زراعة نفس العدد من الفسائل)، فإن العلاقة بين عدد العمال والزمن المستغرق هي علاقة تناسب عكسي.

القانون الرياضي: (عدد العمال في الحالة الأولى مضروباً في زمنهم) يساوي (عدد العمال في الحالة الثانية مضروباً في زمنهم).

في الحالة الأولى، لدينا مزارع واحد ينجز العمل في عشرين يوماً.

في الحالة الثانية، لدينا خمسة مزارعين والزمن مجهول.

نعوض بهذه القيم في معادلة التناسب العكسي.

المعادلة: $س \times {٥} = {٢٠} \times {١}$

نبسط الطرف الأيمن من المعادلة.

ينتج لدينا: $س٥ = ٢٠$

نقسم كلا الطرفين على عدد المزارعين الجديد لإيجاد الزمن المطلوب.

الزمن = $٤ = {٥} \div {٢٠} = س$ أيام.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢: حساب معدل الإنجاز اليومي

المفهوم الرياضي: يمكننا حساب المعدل اليومي لإنجاز مزارع واحد، ثم حساب المعدل اليومي لخمسة مزارعين معاً، وبناءً عليه نحسب الزمن اللازم لإنجاز العمل الكلي.

القانون الرياضي: معدل إنجاز المزارع الواحد في اليوم = إجمالي العمل مقسوماً على عدد الأيام.

نعوض بالقيم لحساب معدل المزارع الأول.

معدل المزارع = $٢٠ = {٢٠} \div {٤٠٠}$ فسيلة في اليوم.

الآن نحسب معدل إنجاز خمسة مزارعين معاً في اليوم الواحد بناءً على هذا المعدل الثابت.

القانون الرياضي: معدل المجموعة = عدد المزارعين مضروباً في معدل المزارع الواحد.

نعوض بعدد المزارعين الجدد ومعدل المزارع الفردي.

معدل المجموعة = $١٠٠ = {٢٠} \times {٥}$ فسيلة في اليوم.

نحسب الأيام المطلوبة لإنجاز العمل الكلي بهذه المجموعة.

القانون الرياضي: الزمن = إجمالي العمل مقسوماً على معدل المجموعة.

نعوض بإجمالي الفسائل ومعدل المجموعة التي حسبناها.

الزمن = $٤ = {١٠٠} \div {٤٠٠}$ أيام.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تقسيم الكميات بالتناسب الطردي بناءً على حصص الجهد أو الوقت المستغرق.

نحدد حصة كل عامل من المدة الزمنية: العامل الأول له مدة كاملة، الثاني نصف، والثالث ثلث.

الحصص النسبية: $١$ ، $\dfrac{١}{٢}$ ، $\dfrac{١}{٣}$

للتخلص من الكسور وتسهيل الحسابات، نضرب جميع النسب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات وهو ستة.

الحصص الصحيحة: $٦$ ، $٣$ ، $٢$

نجمع هذه الحصص لإيجاد مجموع الأجزاء الكلي.

$١١ = {٢} + {٣} + {٦}$

نقسم المبلغ الإجمالي المتقاضى على مجموع الأجزاء لمعرفة قيمة الجزء الواحد.

$٢٠٠ = \dfrac{٢٢٠٠}{١١}$

لحساب نصيب العامل الأول، نضرب قيمة الجزء الواحد في عدد حصصه النسبية.

$١٢٠٠ = {٢٠٠} \times {٦}$

والإجابة هي $١٢٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء معادلة جبرية تعتمد على كسر إجمالي الأجر.

نفرض أن نصيب العامل الأول من الأجر الذي عمل لكامل المدة هو المتغير س.

بناءً عليه، يكون نصيب الثاني نصف س، ونصيب الثالث ثلث س، ومجموعهم يساوي الأجر الإجمالي.

المعادلة: $٢٢٠٠ = {\dfrac{١}{٣}}س + {\dfrac{١}{٢}}س + س$

نوحد مقامات الحدود الجبرية لتصبح جميعها على ستة.

$٢٢٠٠ = {\dfrac{٢}{٦}}س + {\dfrac{٣}{٦}}س + {\dfrac{٦}{٦}}س$

نجمع معاملات المتغير س.

$٢٢٠٠ = {\dfrac{١١}{٦}}س$

لعزل المتغير س، نضرب الطرف الآخر في مقلوب الكسر.

$س = {\dfrac{٦}{١١}} \times {٢٢٠٠}$

بعد التبسيط وحساب الناتج النهائي:

$١٢٠٠ = {٦} \times {٢٠٠}$

والإجابة هي $١٢٠٠$

تكنيك ١: حساب النسب المئوية للمراحل المختلفة

المفهوم الرياضي: مجموع النسب المئوية لجميع أجزاء الكل يجب أن يساوي مائة بالمائة. يمكننا إيجاد النسبة المئوية للجزء المجهول بطرح النسب المعلومة من الإجمالي المئوي.

القانون الرياضي: النسبة المئوية للصف الأول = النسبة الكلية مطروحاً منها (نسبة الصف الثاني مضافاً إليها نسبة الصف الثالث).

نقوم بجمع نسبتي الصف الثاني والثالث المتوسط.

مجموع النسبتين = $٥٥ = {٢٠} + {٣٥}$ ٪.

نطرح هذا المجموع من النسبة الكلية لإيجاد مكملة النسبة المئوية المتبقية وهي نسبة طلاب الصف الأول.

نسبة الصف الأول = $٤٥ = {٥٥} – {١٠٠}$ ٪.

الآن نحسب عدد الطلاب الفعلي بناءً على هذه النسبة من الإجمالي.

القانون الرياضي: الجزء = (النسبة المئوية مقسومة على مائة) مضروباً في الكل.

نعوض بالنسبة المستخرجة والعدد الكلي للطلاب.

عدد الطلاب = $١٣٥ = {٣٠٠} \times \dfrac{٤٥}{١٠٠}$ طالب.

والإجابة هي $١٣٥$

تكنيك ٢: حساب عدد الطلاب لكل صف بشكل مستقل

المفهوم الرياضي: يمكننا حساب عدد الطلاب الفعلي لكل صف من الصفوف المعلومة نسبتها، ثم طرح مجموعهم من العدد الكلي للطلاب للحصول على مكملة العدد المتبقي.

نبدأ بحساب عدد طلاب الصف الثاني المتوسط.

طلاب الثاني = $١٠٥ = {٣٠٠} \times \dfrac{٣٥}{١٠٠}$ طالب.

ننتقل لحساب عدد طلاب الصف الثالث المتوسط.

طلاب الثالث = $٦٠ = {٣٠٠} \times \dfrac{٢٠}{١٠٠}$ طالب.

نجمع عدد طلاب الصفين معاً.

المجموع الجزئي = $١٦٥ = {٦٠} + {١٠٥}$ طالب.

نطرح هذا المجموع من العدد الإجمالي لطلاب المدرسة.

طلاب الأول = $١٣٥ = {١٦٥} – {٣٠٠}$ طالب.

والإجابة هي $١٣٥$

تكنيك ١: التناسب العكسي باستخدام النسب المئوية

المفهوم الرياضي: كمية الماء ثابتة، والعلاقة بين عدد النزلاء (أو نسبتهم) والزمن الذي تكفيهم فيه هذه الكمية هي علاقة تناسب عكسي؛ فكلما قل عدد النزلاء، زادت الأيام.

القانون الرياضي: (النسبة الأولى للنزلاء مضروباً في الزمن الأول) يساوي (النسبة الثانية للنزلاء مضروباً في الزمن الثاني).

في الحالة الأولى، كمية الماء تكفي جميع النزلاء، مما يعني أن نسبتهم تمثل مائة بالمائة، والزمن هو ثمانية أيام.

في الحالة الثانية، النسبة المعطاة هي أربعون بالمائة، والزمن مجهول نرمز له بالمتغير.

نعوض في معادلة التناسب العكسي.

المعادلة تصبح: $س \times {٤٠} = {٨} \times {١٠0}$

نحسب حاصل ضرب الطرف الأول من المعادلة.

ينتج لدينا: $س٤٠ = ٨٠٠$

نقسم الطرفين على معامل المتغير لإيجاد عدد الأيام.

عدد الأيام = $٢٠ = {٤٠} \div {٨٠٠} = س$

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢: الافتراض العددي للمجموعات

المفهوم الرياضي: لتسهيل التعامل مع النسب المئوية، يمكننا افتراض رقم كلي لعدد النزلاء يتناسب مع النسب بسهولة، مثل افتراض أن الفندق به مائة نزيل.

نفترض أن العدد الإجمالي لجميع النزلاء هو مائة نزيل.

بناءً على المعطيات، هذا العدد يستهلك الماء في ثمانية أيام.

نحسب إجمالي الاستهلاك بوحدة (نزيل-يوم) باعتباره كمية ثابتة.

الاستهلاك الكلي = $٨٠٠ = {٨} \times {١٠٠}$ نزيل-يوم.

الآن نوجد العدد الجديد للنزلاء الذي يمثل أربعين بالمائة من الإجمالي المفترض.

العدد الجديد = $٤٠ = {١٠٠} \times \dfrac{٤٠}{١٠٠}$ نزيل.

نستخدم الاستهلاك الكلي الثابت لحساب المدة للعدد الجديد للنزلاء.

القانون الرياضي: الأيام = الاستهلاك الكلي مقسوماً على عدد النزلاء.

نعوض بالقيم التي استخرجناها.

عدد الأيام = $٢٠ = {٤٠} \div {٨٠٠}$

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي بين الساعات والأيام مع ثبات إجمالي ساعات العمل المطلوبة لإنجاز المهمة.

نحسب أولاً إجمالي الساعات التي يتطلبها هذا العمل بالكامل من خلال ضرب ساعات العمل اليومي في عدد الأيام.

إجمالي الساعات: $١٥ = {٣} \times {٥}$

الآن نعوض في قانون التناسب العكسي للمرحلة الثانية: إجمالي الساعات مقسوماً على عدد الأيام الجديد.

$س = \dfrac{١٥}{٢}$

إجراء القسمة ينتج عنه قيمة عشرية تعبر عن عدد الساعات اليومية.

$٧،٥ = \dfrac{١٥}{٢}$

والإجابة هي $٧،٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة التناسب العكسي المباشرة.

نكتب المعادلة بمساواة ضرب المتغيرات في الحالتين: أيام الحالة الأولى ضرب ساعاتها يساوي أيام الحالة الثانية ضرب ساعاتها.

المعادلة: $س \times {٢} = {٥} \times {٣}$

نكمل العملية الحسابية للطرف الأيمن:

$س٢ = ١٥$

نقسم كلا الطرفين على اثنين لعزل المتغير المستقل:

$٧،٥ = \dfrac{١٥}{٢}$

والإجابة هي $٧،٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الافتراض العددي لقيم المتغيرات المستقلة لتسهيل استنتاج النسب المترابطة.

نبدأ بافتراض قيمة عددية للمتغير الأصغر لتسهيل الحساب، ولنفرض أن عُمر فهد يساوي $٢$.

بما أن عُمر سعد يساوي ثلاثة أضعاف عُمر فهد، نضرب عُمر فهد في ثلاثة.

$٦ = {٢} \times {٣}$

بما أن عُمر محمد يساوي نصف عُمر سعد، نقسم عُمر سعد على اثنين.

$٣ = {٢} \div {٦}$

نستخرج النسبة المباشرة بين عُمر محمد وعُمر فهد من خلال ترتيب القيمتين.

النسبة بين عُمر محمد وعُمر فهد هي $٣$ إلى $٢$.

والإجابة هي $٢ : ٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري لاستنباط العلاقة المباشرة بين المتغير الأول والمتغير الأخير.

نرمز لعُمر سعد بالمتغير $س$ وعُمر فهد بالمتغير $ف$.

نصيغ المعادلة الأولى: $س = {ف} \times {٣}$

نرمز لعُمر محمد بالمتغير $م$.

نصيغ المعادلة الثانية: $م = {س} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بقيمة المتغير $س$ من المعادلة الأولى داخل المعادلة الثانية لربط محمد بفهد.

$م = {ف} \times {٣} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نبسط المعادلة لتوضيح كسر النسبة بين المتغيرين بشكل مباشر.

$م = {ف} \times {\dfrac{٣}{٢}}$

بترتيب المعادلة كنسبة وتناسب، نجد أن نسبة محمد إلى فهد تمثل الكسر الناتج.

والإجابة هي $٢ : ٣$

السؤال الثاني

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي في معدلات السرعة، حيث يزداد الإنجاز بزيادة الوقت المتاح.

القانون: الإنجاز الأول مقسوماً على الزمن الأول يساوي الإنجاز الثاني مقسوماً على الزمن الثاني.

المعطيات: تتم كتابة $١٦$ كلمة خلال زمن قدره $٢٠$ ثانية.

المطلوب: حساب عدد الكلمات المكتوبة خلال $٤٥$ ثانية.

نستخدم الضرب التبادلي بإيجاد حاصل ضرب الكلمات في الزمن الجديد وقسمته على الزمن الأصلي.

نعوض في المعادلة كالتالي: ${٣٦} = \dfrac{{٤٥} \times {١٦}}{٢٠}$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور لإيجاد معدل مبسط للعملية لتسهيل الحساب الذهني.

القانون: معدل الإنجاز يساوي الكمية مقسومة على الزمن.

نصيغ معدل الكتابة ككسر يمثل الكلمات على الثواني.

الكسر الأساسي للمعدل هو: $\dfrac{١٦}{٢٠}$

نبسط الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على الرقم $٤$.

ينتج لدينا المعدل المبسط التالي: $\dfrac{٤}{٥}$

نضرب المعدل المبسط في الثواني المطلوبة وهي $٤٥$ ثانية.

نعوض في المعادلة التالية: ${٣٦} = {٤٥} \times {\dfrac{٤}{٥}}$

والإجابة هي $٣٦$

السؤال الرابع

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد الوحدات الزمنية ثم تطبيق التناسب الطردي.

القانون: الزمن الكلي بالدقائق مقسوماً على زمن القطعة الواحدة يعطي عدد القطع المنجزة.

نحول الساعات المعطاة إلى دقائق لتتطابق مع زمن إنجاز التنورة الواحدة.

نضرب $٤$ ساعات في $٦٠$ دقيقة للحصول على الزمن الإجمالي.

نعوض في المعادلة كالتالي: ${٢٤٠} = {٦٠} \times {٤}$

نقسم الزمن الكلي بالدقائق على الزمن الذي تستغرقه تنورة واحدة وهو $١٨$ دقيقة.

نعوض في معادلة القسمة: ${١٣،٣٣} = \dfrac{٢٤٠}{١٨}$

الناتج الفعلي للقسمة يحتوي على كسر، لكننا نأخذ العدد الصحيح لأن التنانير لا تُجزأ.

والإجابة هي $١٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم والمضاعفات التقريبية للزمن.

القانون: مضاعفة الإنجاز بمضاعفة الزمن المخصص له.

نحسب عدد التنانير التي تُنجز في ساعة واحدة تقريباً.

ثلاث تنانير تستغرق الزمن التالي: ${٥٤} = {٣} \times {١٨}$

الزمن $٥٤$ دقيقة قريب جداً من الساعة الواحدة، ويتبقى $٦$ دقائق من كل ساعة.

في $٤$ ساعات، ننجز $١٢$ تنورة بضرب $٣$ تنانير في $٤$.

الزمن المتبقي من كل ساعة هو $٦$ دقائق، ولالـ $٤$ ساعات يكون المتبقي: ${٢٤} = {٤} \times {٦}$

هذا الزمن المتبقي وهو $٢٤$ دقيقة يكفي لصنع تنورة إضافية واحدة، لأنها تستغرق $١٨$ دقيقة.

نجمع التنانير: $١٢$ تنورة زائد تنورة واحدة إضافية.

المعادلة هي: ${١٣} = {١} + {١٢}$

والإجابة هي $١٣$

السؤال الخامس

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي، حيث انخفاض كمية الورق المعاد تدويره يخفض عدد الأشجار المحمية.

القانون: حاصل ضرب القيمة الثانية في القيمة الأولى مقسوماً على القيمة الثالثة.

المعطيات تبين أن $٢٧٠٠$ طن تحمي $٤٥$ شجرة.

نريد حساب عدد الأشجار المحمية بواسطة $٩٠٠$ طن فقط.

نطبق الضرب التبادلي لاستخراج القيمة المجهولة.

نعوض في المعادلة التالية: ${١٥} = \dfrac{{٩٠٠} \times {٤٥}}{٢٧٠٠}$

والإجابة هي $١٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: العلاقة العكسية للمضاعفات.

القانون: إيجاد نسبة التخفيض وتطبيقها على الناتج.

نلاحظ العلاقة بين الكمية الأصلية $٢٧٠٠$ والكمية الجديدة $٩٠٠$.

بقسمة الكمية الأصلية على $٣$ نحصل على الكمية الجديدة.

المعادلة: ${٩٠٠} = \dfrac{٢٧٠٠}{٣}$

بما أن التناسب طردي، نقسم عدد الأشجار الأصلية على نفس المعامل وهو $٣$.

نعوض في المعادلة التالية: ${١٥} = \dfrac{٤٥}{٣}$

والإجابة هي $١٥$

تكنيك ١: التكرار النمطي وحساب عدد المجموعات

المفهوم الرياضي: تقسيم العدد الكلي إلى مجموعات متساوية بناءً على حجم العينة المعطاة لتبسيط الحساب الاستقرائي.

نحسب عدد المجموعات الكلية المتكررة بقسمة إجمالي عدد الأجهزة المتوفرة في الحجرة على حجم العينة الواحدة.

عدد المجموعات = $١١ = {١٢} \div {١٣٢}$ مجموعة جزئية.

تحتوي كل مجموعة جزئية واحدة بشكل ثابت على عدد محدد من الأجهزة الصالحة للاستخدام.

بناءً على المعطيات، كل مجموعة تمتلك مقدار $٤$ أجهزة صالحة.

نحسب إجمالي الأجهزة الصالحة في الحجرة بضرب عدد المجموعات في عدد الأجهزة الصالحة لكل مجموعة.

إجمالي الأجهزة الصالحة = $٤٤ = {٤} \times {١١}$ جهازاً.

والإجابة هي $٤٤$

تكنيك ٢: الاستنتاج عبر النسبة الكسرية الثابتة

المفهوم الرياضي: إيجاد النسبة الكسرية المبسطة للأجهزة الصالحة من العينة وضربها في العدد الإجمالي للأجهزة.

نحدد النسبة التي تمثلها الأجهزة الصالحة مقارنة بإجمالي العينة الواحدة المذكورة في السؤال.

النسبة الكسرية للصالح = عدد الأجهزة الصالحة مقسوماً على حجم العينة.

نسبة الصالح = $\dfrac{٤}{١٢}$ ويتم تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك.

النسبة المبسطة = $\dfrac{١}{٣}$ من إجمالي الأجهزة.

لإيجاد عدد الأجهزة الصالحة الكلي، نضرب هذه النسبة المبسطة في إجمالي الأجهزة الموجودة في الحجرة.

عدد الأجهزة الصالحة = $٤٤ = {\dfrac{١}{٣}} \times {١٣٢}$ جهازاً.

والإجابة هي $٤٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي بين معدلات إنجاز آلتين تعملان في نفس الإطار الزمني.

نحسب نسبة الإنجاز بين طابعة الليزر والطابعة العادية في الساعة الواحدة.

النسبة تساوي سبعمائة وعشرين مقسومة على مائة وعشرين.

$٦ = \dfrac{٧٢٠}{١٢٠}$

هذا يعني أن إنتاج طابعة الليزر يساوي ستة أضعاف إنتاج الطابعة العادية دائماً.

لإيجاد إنتاج طابعة الليزر المطلوب، نضرب كمية أوراق الطابعة العادية المعطاة في المعامل المستنتج.

$٢٨٨٠ = {٦} \times {٤٨٠}$

والإجابة هي $٢٨٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء معادلة التناسب المباشر والضرب التبادلي.

نضع المقادير المتقابلة في التناسب: الطابعة العادية في مقابل طابعة الليزر.

المعادلة: $\dfrac{س}{٤٨٠} = \dfrac{٧٢٠}{١٢٠}$

باستخدام التبسيط المسبق للكسر الأيمن ليصبح ستة على واحد، ثم تطبيق الضرب التبادلي.

$س = {٤٨٠} \times {٦}$

$٢٨٨٠ = {٤٨٠} \times {٦}$

والإجابة هي $٢٨٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم افتراضية لتبسيط العلاقات المتسلسلة بين المتغيرات.

نفرض قيمة عددية بسيطة لدخل المعرض الثاني باعتباره الأساس الأصغر، ولتكن $١$.

يبلغ دخل المعرض الأول ضعف دخل المعرض الثاني، فنضرب القيمة الافتراضية في اثنين.

$٢ = {١} \times {٢}$

يبلغ دخل المعرض الثالث ثلاثة أمثال دخل المعرض الأول، فنضرب قيمة الأول في ثلاثة.

$٦ = {٢} \times {٣}$

نقارن بين قيمة المعرض الثاني وقيمة المعرض الثالث لاستخراج النسبة المطلوبة.

النسبة بين دخل المعرض الثاني إلى دخل المعرض الثالث هي $١$ إلى $٦$.

والإجابة هي $٦ : ١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الربط الجبري المباشر بين المعادلات لتوحيد المتغيرات وحساب النسبة ككسر.

نرمز لدخل المعرض الثاني بالمتغير $س$، والأول $ص$، والثالث $ع$.

نكتب العلاقة الجبرية الأولى بين المعرض الأول والمعرض الثاني.

$ص = {س} \times {٢}$

نكتب العلاقة الجبرية الثانية بين المعرض الثالث والمعرض الأول.

$ع = {ص} \times {٣}$

نعوض بقيمة المعرض الأول من المعادلة الأولى داخل المعادلة الثانية.

$ع = {س} \times {٢} \times {٣}$

نضرب المعاملات العددية للوصول إلى العلاقة المباشرة بين الثالث والثاني.

$ع = {س} \times {٦}$

لإيجاد نسبة الثاني إلى الثالث، نقسم الثاني على الثالث ليكون الناتج الكسري هو النسبة.

النسبة تمثل الكسر ${\dfrac{١}{٦}}$ وهو ما يطابق النسبة الأفقية.

والإجابة هي $٦ : ١$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي، حيث أن زيادة عدد العمال تؤدي إلى تناقص عدد الأيام المطلوبة لإنجاز العمل ذاته.

نقوم بصياغة معادلة التناسب العكسي بضرب عدد العمال في عدد الأيام للحالة الأولى، ومساواته بحاصل ضرب الحالة الثانية.

المعادلة الجبرية: $س \times {١٢} = {١٨} \times {٤}$

نحسب حاصل الضرب للطرف الأيمن من المعادلة:

$س١٢ = ٧٢$

لإيجاد قيمة المتغير المستقل، نقوم بقسمة الطرفين على معامل المتغير:

$٦ = \dfrac{٧٢}{١٢}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم الذهني لحل مسائل التناسب العكسي بخطوات سريعة.

ندرس العلاقة بين عدد الأيام في المعطيات، من ثمانية عشر يوماً إلى اثني عشر يوماً.

نلاحظ أن المدة الزمنية انخفضت بنسبة الثلثين، أي تم الضرب في الكسر ثلثين.

بما أن التناسب عكسي، نضرب عدد العمال الأولي في مقلوب تلك النسبة، وهو ثلاثة على اثنين.

$٦ = \dfrac{٣}{٢} \times {٤}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة الفعلية للجزء الواحد من خلال فارق الأجزاء النسبية.

نحسب الفرق بين نسبة الشخص الثالث ونسبة الشخص الأول بناءً على المعطيات.

$٢ = {١} – {٣}$

نقسم الفارق المالي المعطى على فارق الأجزاء لمعرفة قيمة الجزء الواحد.

$٦٠ = {٢} \div {١٢٠}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في نسبة الأول لمعرفة نصيبه.

$٦٠ = {٦٠} \times {١}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في نسبة الثاني لمعرفة نصيبه.

$١٢٠ = {٦٠} \times {٢}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في نسبة الثالث لمعرفة نصيبه.

$١٨٠ = {٦٠} \times {٣}$

والإجابة هي $١٨٠ , ١٢٠ , ٦٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة جبرية باستخدام متغير يمثل الجزء لربط المعطيات.

نفرض أن قيمة الجزء الواحد هي المتغير $س$.

تكون حصة الأول $س١$، وحصة الثالث $س٣$.

نصيغ معادلة الفرق بين حصة الثالث وحصة الأول لمساواتها بالفارق المالي.

$١٢٠ = {س١} – {س٣}$

نطرح المتغيرات لإيجاد قيمة المتغير المشترك.

$١٢٠ = س٢$

نقسم الفارق المالي على معامل المتغير لإيجاد قيمة الجزء الواحد.

$٦٠ = {٢} \div {١٢٠} = س$

نعوض بقيمة المتغير في نسب كل شخص على الترتيب لنحصل على الحصص النهائية.

والإجابة هي $١٨٠ , ١٢٠ , ٦٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة الوحدة الواحدة من خلال القسمة، ثم حساب القيمة الكلية للوحدات المتبقية.

نحسب إنتاج المولد الواحد بقسمة إجمالي الطاقة المنتجة على عدد المولدات الكلي.

$١٥٠٠ = {٤} \div {٦٠٠٠}$

نطرح المولد المعطل من إجمالي عدد المولدات لمعرفة عدد المولدات المتبقية.

$٣ = {١} – {٤}$

نحسب إنتاج المولدات المتبقية بضرب عددها في إنتاج المولد الواحد.

$٤٥٠٠ = {٣} \times {١٥٠٠}$

والإجابة هي $٤٥٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الطرح النسبي بناءً على الكفاءة المتساوية للمولدات.

بما أن المولدات تعمل بكفاءة متساوية، فإن المولد الواحد يمثل ربع الإنتاج الكلي.

نحسب مقدار النقص في الإنتاج بقسمة الإنتاج الكلي على $٤$.

$١٥٠٠ = {٤} \div {٦٠٠٠}$

نطرح مقدار النقص من الإنتاج الكلي لإيجاد إنتاج المولدات الباقية.

$٤٥٠٠ = {١٥٠٠} – {٦٠٠٠}$

والإجابة هي $٤٥٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاعتماد على القاعدة الهندسية الثابتة لمجموع زوايا المثلث وتوزيعها نسبياً.

مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث ثابت ويساوي $١٨٠$ درجة.

نجمع الأجزاء النسبية المعطاة للزوايا الثلاث لمعرفة إجمالي الأجزاء.

$١٢ = {٤} + {٣} + {٥}$

نحسب قيمة الجزء الواحد بقسمة مجموع درجات المثلث على مجموع الأجزاء.

$١٥ = {١٢} \div {١٨٠}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في النسبة الأولى لإيجاد الزاوية الأولى.

$٧٥ = {١٥} \times {٥}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في النسبة الثانية لإيجاد الزاوية الثانية.

$٤٥ = {١٥} \times {٣}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في النسبة الثالثة لإيجاد الزاوية الثالثة.

$٦٠ = {١٥} \times {٤}$

والإجابة هي $٦٠ , ٤٥ , ٧٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعبير الجبري عن قياسات الزوايا بمجهول واحد لضمان دقة التعويض.

نفرض أن المجهول $س$ يمثل قيمة الجزء النسبي الواحد من الدرجات.

تكون الزوايا الثلاث ممثلة جبرياً بالقيم $س٥$، و $س٣$، و $س٤$.

نصيغ معادلة المجموع الكلي للزوايا ومساواتها بالقيمة الهندسية الثابتة.

$١٨٠ = {س٤} + {س٣} + {س٥}$

نجمع معاملات المتغير في الطرف الأيمن.

$١٨٠ = س١٢$

نقسم المجموع الكلي على معامل المتغير لإيجاد قيمة $س$.

$١٥ = {١٢} \div {١٨٠} = س$

نعوض بقيمة المتغير بالترتيب في النسب الأصلية لاستنتاج القياسات الفعلية للزوايا.

والإجابة هي $٦٠ , ٤٥ , ٧٥$

السؤال السادس

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحويل العملات وتحديد الكميات ثم حساب الفرق المالي الإجمالي.

القانون: المبلغ الكلي مقسوماً على سعر الوحدة يعطي الكمية، ثم نضرب الكمية في السعر البديل.

نحول المبلغ المدفوع خارج المدينة من الريالات إلى هللات لتسهيل الحساب.

المعادلة: ${٤٨٠٠} = {١٠٠} \times {٤٨}$

نحسب كمية البنزين المشتراة بقسمة المبلغ الكلي على سعر اللتر خارج المدينة وهو $٩٦$ هللة.

نعوض في المعادلة: ${٥٠} = \dfrac{٤٨٠٠}{٩٦}$

كمية البنزين المشتراة هي $٥٠$ لتراً.

نحسب تكلفة هذه الكمية لو تم شراؤها من داخل المدينة بسعر $٩٠$ هللة للتر.

المعادلة هي: ${٤٥٠٠} = {٩٠} \times {٥٠}$

نحول التكلفة داخل المدينة إلى ريالات بقسمتها على $١٠٠$.

المعادلة: ${٤٥} = \dfrac{٤٥٠٠}{١٠٠}$

نطرح التكلفة داخل المدينة من التكلفة خارج المدينة لإيجاد الفرق، متذكرين أن المطروح منه هو الأكبر.

نعوض في معادلة الطرح: ${٣} = {٤٥} – {٤٨}$

والإجابة هي $٣$ ريال

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب فرق السعر للوحدة الواحدة وضربها في إجمالي الكمية المشتراة.

القانون: الفرق في سعر الوحدة مضروباً في عدد الوحدات الكلي يعطي الفرق الإجمالي.

نحسب الفرق في سعر لتر البنزين الواحد بين الخارج والداخل.

نعوض في المعادلة التالية: ${٦} = {٩٠} – {٩٦}$

الفرق هو $٦$ هللات لكل لتر واحد.

نوجد عدد اللترات التي تم شراؤها بالمبلغ $٤٨$ ريال، ونتعامل مع الريال كـ $١٠٠$ هللة.

المعادلة: ${٥٠} = \dfrac{{١٠٠} \times {٤٨}}{٩٦}$

نضرب عدد اللترات الإجمالي وهو $٥٠$ في فرق السعر للتر الواحد وهو $٦$ هللات.

نعوض في المعادلة: ${٣٠٠} = {٦} \times {٥٠}$

نحول الفرق الكلي من هللات إلى ريالات بالقسمة على $١٠٠$.

المعادلة النهائية: ${٣} = \dfrac{٣٠٠}{١٠٠}$

والإجابة هي $٣$ ريال

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي.

بما أن كمية الغذاء ثابتة، فإن زيادة عدد الأشخاص ستؤدي حتماً إلى نقصان عدد الأيام التي سيكفيهم فيها هذا الغذاء. لذلك، العلاقة هنا هي تناسب عكسي.

في البداية لدينا $١٢$ شخصاً يكفيهم الغذاء لمدة $١٠$ أيام.

تمت إضافة $٣$ أشخاص، ليصبح العدد الإجمالي: $١٥ = {٣} + {١٢}$ شخصاً.

في التناسب العكسي، نضرب القيمتين المتقابلتين في الحالة الأولى ونقسمهما على القيمة المعلومة في الحالة الثانية.

نضرب أولاً عدد الأشخاص في عدد الأيام للحالة الأولى: $١٢٠ = {١٠} \times {١٢}$

ثم نقسم الناتج على عدد الأشخاص الجديد: $٨ = {١٥} \div {١٢٠}$

إذن، سيكفيهم الغذاء لمدة $٨$ أيام.

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إجمالي حصص الغذاء.

نحسب إجمالي عدد الوجبات أو الحصص المتاحة بضرب عدد الأشخاص الأولي في عدد الأيام.

إجمالي الحصص = $١٢٠ = {١٠} \times {١٢}$ حصة.

الآن نقوم بتوزيع هذه الحصص الإجمالية البالغة $١٢٠$ حصة على العدد الجديد للأشخاص وهو $١٥$ شخصاً.

لمعرفة نصيبهم من الأيام، نقوم بعملية القسمة: عدد الأيام = $٨ = {١٥} \div {١٢٠}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١: استخدام التناسب الطردي الرمزي

المفهوم الرياضي: العلاقة بين عدد الدورات والزمن هي علاقة طردية؛ فكلما زاد الزمن، زاد عدد الدورات التي تدورها العجلة مع افتراض ثبات السرعة.

القانون الرياضي: (عدد الدورات الأولى مقسوماً على الزمن الأول) يساوي (عدد الدورات الثانية مقسوماً على الزمن الثاني).

نعوض بالرموز المعطاة في معادلة التناسب الطردي.

المعادلة تصبح: $\dfrac{ل}{\dfrac{١}{م}} = \dfrac{س}{ن}$

نقوم بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة؛ مقام المقام يصبح بسطاً.

الطرف الأيمن يصبح: $م \times ل$ أو $م ل$.

المعادلة المبسطة تصبح: $م ل = \dfrac{س}{ن}$

لإيجاد قيمة المتغير الذي يمثل عدد الدورات الجديدة، نضرب الطرفين في قيمة الزمن الجديد.

عدد الدورات = $ن م ل = {ن} \times ({م ل}) = س$

والإجابة هي $ن م ل$

تكنيك ٢: إيجاد معدل السرعة الوحدة ثم الضرب في الزمن

المفهوم الرياضي: نوجد سرعة العجلة أو معدل دورانها في الساعة الواحدة، ثم نضرب هذه السرعة الثابتة في الزمن الجديد المطلوب لنحصل على عدد الدورات.

القانون الرياضي: السرعة (المعدل) = عدد الدورات مقسوماً على الزمن المستغرق.

نعوض بقيم الحالة الأولى لحساب المعدل.

المعدل = $ل \div \dfrac{١}{م}$

عند القسمة على كسر، نحول العملية إلى ضرب ونقلب الكسر الثاني.

المعدل = $م ل = {\dfrac{م}{١}} \times {ل}$ دورة في الساعة.

الآن نستخدم هذا المعدل الثابت لحساب عدد الدورات في الزمن الجديد المعطى بالرموز.

القانون الرياضي: إجمالي الدورات = المعدل مضروباً في الزمن الجديد.

نعوض بالمعدل الذي استخرجناه والزمن المطلوب.

إجمالي الدورات = $ن م ل = {ن} \times {م ل}$

والإجابة هي $ن م ل$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد النسب المختلفة عبر إيجاد المضاعف المشترك للمتغير الوسيط.

النسبة بين الأول والثاني هي $٤ : ٣$. النسبة بين الثالث والثاني هي $٢ : ١$.

نلاحظ أن نصيب الثاني يمثل $٤$ أجزاء في العلاقة الأولى ويمثل جزأين في العلاقة الثانية.

لنوحد نسبة الثاني، نضرب نسبة العلاقة الثانية في اثنين لتتطابق أجزاء الشخص الثاني.

تصبح نسبة الثالث إلى الثاني بعد التوحيد هي $٤ : ٢$.

ندمج النسبتين لتصبح النسبة الموحدة للأول ثم الثاني ثم الثالث هي $٢ : ٤ : ٣$.

نجمع الأجزاء النسبية الموحدة لإيجاد المجموع الكلي للأجزاء.

$٩ = {٢} + {٤} + {٣}$

نحسب قيمة الجزء الواحد بقسمة المبلغ الكلي الموزع على مجموع الأجزاء.

$١٠٠ = {٩} \div {٩٠٠}$

نضرب قيمة الجزء الواحد في النسبة الموحدة لكل شخص على الترتيب لإيجاد النصيب المالي.

نصيب الأول: $٣٠٠ = {١٠٠} \times {٣}$

نصيب الثاني: $٤٠٠ = {١٠٠} \times {٤}$

نصيب الثالث: $٢٠٠ = {١٠٠} \times {٢}$

والإجابة هي $٢٠٠ , ٤٠٠ , ٣٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام المعادلات الخطية للتعبير عن جميع الحصص بدلالة مجهول مشترك.

نفرض أن نصيب الشخص الثاني يمثل المتغير الجبري $س٤$ ليسهل تقسيمه.

بما أن نسبة الأول للثاني هي ثلاثة إلى أربعة، فإن نصيب الأول يعادل $س٣$.

وبما أن نسبة الثالث للثاني هي واحد إلى اثنين، فإن نصيب الثالث يعادل نصف الثاني، أي $س٢$.

نجمع الحصص الجبرية الثلاث ونساويها بالمبلغ الإجمالي المعطى.

$٩٠٠ = {س٢} + {س٤} + {س٣}$

نجمع معاملات المتغير في الطرف الأيمن.

$٩٠٠ = س٩$

نقسم المبلغ الكلي على معامل المتغير المشترك لإيجاد قيمة المتغير.

$١٠٠ = {٩} \div {٩٠٠} = س$

نعوض بقيمة المتغير في الحصص الجبرية المقررة للحصول على نصيب كل فرد بالترتيب.

والإجابة هي $٢٠٠ , ٤٠٠ , ٣٠٠$