اختبار: المثلث

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي بين مساحات المثلثات المشتركة في الارتفاع وبين أطوال قواعدها التراكمية.

ينص المعطى الرياضي على أن طول (د هـ) مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$ يساوي طول (ج د) ويساوي طول (هـ ب).

هذا يعني منطقياً أن طول القطعة (د هـ) هو ضعف طول كل من القطعة (هـ ب) والقطعة (ج د).

نفرض قيماً عددية لتسهيل التبسيط: لنفرض أن طول (ج د) يساوي $١$ وأن طول (هـ ب) يساوي $١$.

بناءً على الفرضية وحل المعادلة، نستنتج أن طول (د هـ) سيكون النتيجة: $٢ = {١} \times {٢}$

القيمة الأولى تمثل مجموع مساحتي مثلثين، وقاعدتهما الإجمالية هي ناتج جمع القاعدتين: $٢ = {١} + {١}$

القيمة الثانية تمثل مساحة المثلث واحد قاعدته هي (د هـ) والتي تساوي قيمتها العددية $٢$.

بما أن جميع المثلثات تشترك في الرأس (أ) فلها نفس الارتفاع العمودي المشترك، وبما أن مجموع القواعد للقيمة الأولى يتساوى مع قاعدة القيمة الثانية، فالمساحات الإجمالية متساوية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التعويض الجبري المباشر وتوحيد المتغيرات في قوانين المساحة.

المساحة تحسب بالقانون: الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة مضروباً في الارتفاع

نرمز للارتفاع العمودي المشترك من الرأس (أ) بالمتغير المجرد $ع$.

نكتب مساحة القيمة الأولى كمعادلة: الارتفاع $ع$ مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في مجموع القاعدتين (ج د) و (هـ ب).

من المعطيات نعلم أن مجموع القاعدتين (ج د) و (هـ ب) يعادل رياضياً طول القطعة (د هـ) كاملة، لأن كل نصف يكمل النصف الآخر.

تصبح مساحة القيمة الأولى جبرياً: المتغير $ع$ مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة (د هـ).

مساحة القيمة الثانية للمثلث (أ هـ د) هي: المتغير $ع$ مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة (د هـ).

نلاحظ التطابق الجبري المطلق للطرفين بعد إجراء عملية التبسيط والتعويض.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تشابه المثلثات وتناسب الأضلاع.

من الشكل الهندسي، نلاحظ وجود مثلثين قائمي الزاوية متداخلين، وهما متشابهان لتطابق زواياهما.

بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين تكون متساوية.

طول الوتر في المثلث الكبير يساوي $١٠$ بناءً على المعطيات الهندسية الكلية.

الضلع الرأسي في المثلث الكبير = $٩$

طول الوتر في المثلث الصغير = $٢$

الضلع الرأسي في المثلث الصغير = $س$

نصيغ التناسب الرياضي بين الضلع الرأسي والوتر للمثلثين:

$\dfrac{١٠}{٢} = \dfrac{٩}{س}$

نستخدم خاصية الضرب التبادلي للكسور (المقص) لإيجاد القيمة المجهولة:

${س١٠} = {٢} \times {٩}$

${س١٠} = ١٨$

نقسم كلا الطرفين على معامل المتغير للحصول على قيمته المجردة:

$١،٨ = \dfrac{١٨}{١٠} = س$

والإجابة هي $١،٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: معامل التكبير والتصغير (عامل المقياس) بين الأشكال المتشابهة.

نحسب نسبة التصغير بالانتقال من المثلث الكبير إلى المثلث الصغير باستخدام الأطوال المعلومة للأوتار.

عامل التصغير = $\dfrac{٢}{١٠}$

نقوم بتبسيط الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على العدد اثنين:

عامل التصغير = $\dfrac{١}{٥}$

نضرب طول الضلع الرأسي في المثلث الكبير في عامل التصغير المحسوب للحصول على طول الضلع المناظر في المثلث الصغير:

$س = {\dfrac{١}{٥}} \times {٩}$

$س = \dfrac{٩}{٥}$

نحول الكسر الاعتيادي إلى كسر عشري بضرب البسط والمقام في اثنين لتسهيل القسمة على عشرة:

$١،٨ = \dfrac{١٨}{١٠} = س$

والإجابة هي $١،٨$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: علاقة الأضلاع في المثلث القائم المحتوي على زاوية ثلاثين.

طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ثلاثين درجة يعادل دائماً نصف طول الوتر.

الوتر المعطى في الشكل الهندسي طوله أربعة عشر.

نقسم طول الوتر على الرقم اثنين لإيجاد طول الضلع المطلوب.

$٧ = \dfrac{١٤}{٢}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام قانون الجيب الرياضي.

النسبة بين طول الضلع والوتر تساوي جيب الزاوية المقابلة لذلك الضلع.

جيب الزاوية ثلاثين درجة يساوي النصف.

نفرض أن طول الضلع المطلوب هو المتغير ص.

$\dfrac{١}{٢} = \dfrac{ص}{١٤}$

نضرب الطرفين في أربعة عشر لعزل المتغير ص.

$٧ = {١٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص المستطيل ونظرية فيثاغورس في المثلثات قائمة الزاوية.

المطلوب هو إيجاد مجموع طولي القطعتين د ج و ب أ. يجب إيجاد طول كل قطعة على حدة أولاً قبل جمعهما.

من الشكل الهندسي، نلاحظ المثلث ج ب د القائم الزاوية في الزاوية د.

أطوال أضلاع هذا المثلث المعطاة هي الوتر ويساوي ٥، والضلع القائم ب د ويساوي ٣.

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الثالث د ج: مربع د ج = مربع الوتر – مربع الضلع المعلوم.

نعوض بالقيم الرياضية: مربع د ج = ${}^{٢}٣ – {}^{٢}٥$.

نحسب المربعات: مربع د ج = ${٩} – {٢٥}$.

نحسب ناتج الطرح الجبري: $١٦ = {٩} – {٢٥}$.

بأخذ الجذر التربيعي للناتج نجد أن: $٤ = {\sqrt{١٦}}$. إذن طول د ج يساوي ٤.

الآن، نستفيد من خصائص المستطيل أ و د هـ حيث أن كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول.

الضلع أ و يقابل الضلع هـ د، وطوله معطى في الشكل ويساوي ١٢. إذن طول أ و يساوي ١٢.

الضلع أ هـ يقابل الضلع و د كاملاً، وطوله معطى ويساوي ١٢. إذن طول و د يساوي ١٢.

القطعة المستقيمة و د تتكون هندسياً من مجموع القطعتين و ب و ب د، أي أن الطول الكلي يساوي مجموعهما.

بما أن طول ب د يساوي ٣، نعوض لإيجاد طول و ب: $١٢ = {٣} + و ب$.

نطرح لإيجاد القيمة المجهولة: $٩ = {٣} – {١٢}$. إذن طول و ب يساوي ٩.

ننتقل الآن إلى المثلث أ و ب القائم الزاوية في الزاوية و.

أطوال ضلعي القائمة في هذا المثلث هما أ و ويساوي ١٢ والضلع و ب الذي حسبناه للتو ويساوي ٩.

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد الوتر ب أ: مربع ب أ = مربع و ب + مربع أ و.

نعوض بالقيم المعطاة: مربع ب أ = ${}^{٢}٩ + {}^{٢}١٢$.

نحسب مربعات الأعداد: مربع ب أ = ${٨١} + {١٤٤}$.

نجمع القيمتين معاً: $٢٢٥ = {٨١} + {١٤٤}$.

بأخذ الجذر التربيعي نجد أن طول ب أ هو: $١٥ = {\sqrt{٢٢٥}}$.

أخيراً، نحسب المجموع المطلوب في نص السؤال وهو د ج + ب أ.

نعوض بالقيمتين اللتين أوجدناهما في الخطوات السابقة: المجموع = ${١٥} + {٤}$.

نحسب الناتج النهائي للجمع: $١٩ = {١٥} + {٤}$.

والإجابة هي $١٩$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام الثلاثيات الشهيرة لفيثاغورس لتسريع الحل الجبري واستنتاج الأطوال.

من الثلاثيات الشهيرة لفيثاغورس في المثلثات قائمة الزاوية هي الأضلاع ذات الأطوال ثلاثة، وأربعة، وخمسة.

بالنظر إلى المثلث ج ب د القائم الزاوية، نجد أن الوتر هو ٥ وأحد الأضلاع القائمة هو ٣.

بناءً على الثلاثية الشهيرة، نستنتج أن الضلع الثالث د ج يساوي ٤ بشكل مباشر دون الحاجة لحسابات مطولة.

بالانتقال إلى خصائص المستطيل، نجد أن طول الضلع العمودي كاملاً و د يساوي ١٢ ليطابق الضلع المقابل له.

نحسب القطعة المتبقية و ب بطرح القطعة المعلومة ب د من الطول الكلي للضلع.

عملية الطرح هي: $٩ = {٣} – {١٢}$. إذن طول و ب هو ٩.

الآن ننظر إلى المثلث أ و ب القائم الزاوية، حيث أضلاعه القائمة هي ٩ و ١٢.

نلاحظ أن هذه الأضلاع هي مضاعفات للثلاثية الشهيرة (ثلاثة، وأربعة، وخمسة) بضرب كل رقم في العدد ثلاثة.

إذن الوتر ب أ سيكون المضاعف الثالث للرقم خمسة، وهو ١٥ بشكل مباشر.

المطلوب في السؤال هو مجموع طولي القطعتين د ج و ب أ.

نجمع القيمتين اللتين استنتجناهما: $١٩ = {٤} + {١٥}$.

والإجابة هي $١٩$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تشابه المثلثات وتناسب الأضلاع الهندسية.

من خصائص التشابه، تكون نسبة الأضلاع المتناظرة بين المثلثات المتشابهة مقداراً ثابتاً.

نفرض من خلال المعطيات أن النسبة بين الضلع المطلوب إلى الضلع المعطى الكلي تساوي ثلثين.

نرمز لطول الضلع المطلوب بالمتغير س.

$\dfrac{٢}{٣} = \dfrac{س}{٩}$

نضرب الطرفين في الرقم تسعة لعزل المتغير المجهول.

$٦ = {٩} \times {\dfrac{٢}{٣}}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي عبر التقسيم الهندسي المنتظم.

بما أن الضلع الكلي مجزأ هندسياً إلى ثلاثة أجزاء متساوية، نقسم الطول الكلي على ثلاثة لإيجاد قيمة الجزء الواحد.

$٣ = \dfrac{٩}{٣}$

الضلع المطلوب حسابه يتكون من جزأين متطابقين من هذا التقسيم.

نضرب قيمة الجزء الواحد في الرقم اثنين.

$٦ = {٢} \times {٣}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١: استنتاج الارتفاع من المثلث المجاور وحساب المساحة

المفهوم الرياضي: إيجاد طول وتر المثلث الأول القائم واستخدامه كأحد ضلعي القائمة (الارتفاع) للمثلث الثاني المطلوب حساب مساحته.

من خلال قراءة الشكل الهندسي، نلاحظ وجود مثلث قائم الزاوية في الجهة اليسرى، طول ضلعي الزاوية القائمة فيه هما $٤$ و $٤$.

نحسب طول وتر هذا المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس، والذي يمثل الضلع المشترك (أ ج).

${}^{٢}(٤) + {}^{٢}(٤) = {{}^{٢}(أ ج)}$

${١٦} + {١٦} = {{}^{٢}(أ ج)}$

${٣٢} = {{}^{٢}(أ ج)}$

نستخرج الجذر التربيعي للطرفين، ونبسط الرقم $٣٢$ إلى حاصل ضرب مربّع كامل وهو $١٦$ مضروباً في $٢$.

ينتج لدينا طول الوتر (أ ج) والذي سيُمثل ارتفاع المثلث المطلوب.

${أ ج} = {\sqrt{٢}}٤$

ننتقل الآن إلى المثلث (أ ب ج) المطلوب حساب مساحته. نلاحظ وجود علامة الزاوية القائمة الصريحة عند الرأس (أ).

هذا يعني أن المثلث (أ ب ج) قائم الزاوية، وقاعدته وارتفاعه هما الضلعان المتعامدان (أ ب) و (أ ج).

من المعطيات المثبتة، طول الضلع (أ ب) يساوي $٧$، وطول الضلع (أ ج) الذي استنتجناه للتو يساوي ${\sqrt{٢}}٤$.

نطبق قانون مساحة المثلث العام.

المساحة = ${٧} \times {{\sqrt{٢}}٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب الأرقام الصحيحة أولاً: نصف الرقم $٤$ هو $٢$، ثم نضربه في الرقم $٧$ لنحصل على $١٤$.

المساحة = ${\sqrt{٢}}١٤$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}١٤$

تكنيك ١: استنتاج الأبعاد من الإحداثيات وتطبيق قانون المساحة

المفهوم الرياضي: تحديد طول القاعدة والارتفاع للمثلث القائم من خلال قراءة إحداثيات الرأس المعطاة في المستوى الديكارتي.

النقطة المعطاة تمثل رأس المثلث وهي $(٨ ، ٦)$.

الإحداثي السيني يمثل المسافة الأفقية وهي طول قاعدة المثلث.

طول القاعدة = $٦$

الإحداثي الصادي يمثل المسافة الرأسية وهي ارتفاع المثلث.

الارتفاع = $٨$

نكتب قانون مساحة المثلث.

المساحة = $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بقيم القاعدة والارتفاع في القانون.

المساحة = ${٨} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نحسب نصف طول القاعدة.

$٣ = {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب الناتج في الارتفاع.

$٢٤ = {٨} \times {٣}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢: تأخير القسمة بعد إتمام عملية الضرب

المفهوم الرياضي: يمكن ضرب طول القاعدة في الارتفاع أولاً كأعداد صحيحة ثم قسمة الناتج النهائي على الرقم $٢$.

نكتب قانون مساحة المثلث.

المساحة = $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بقيم القاعدة والارتفاع.

المساحة = ${٨} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب القاعدة في الارتفاع أولاً.

$٤٨ = {٨} \times {٦}$

نقسم الناتج المتبقي على الرقم $٢$ لإتمام قانون المساحة.

$٢٤ = {٢} \div {٤٨}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١: استخدام نظرية فيثاغورس وقوانين المساحة الأساسية

المفهوم الرياضي: محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه، ومساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

بما أن المثلث المعطى قائم الزاوية ومتطابق الضلعين، فإن طولي ضلعي القائمة يمثلان القاعدة والارتفاع بشكل مباشر.

طول القاعدة يساوي $٥$ وطول الارتفاع يساوي $٥$.

لإيجاد محيط المثلث للقيمة الأولى، نحتاج أولاً لحساب طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس.

القانون ينص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة.

مربع الوتر = ${}^{٢}٥ + {}^{٢}٥$

نفك الأسس المعزولة: ${٢٥} = {}^{٢}٥$

نجمع القيمتين: ${٥٠} = {٢٥} + {٢٥}$

طول الوتر يساوي الجذر التربيعي للناتج الكلي.

الوتر = ${\sqrt{٥٠}}$

نبسط الجذر عبر استخراج المربعات الكاملة: ${\sqrt{٢}}٥ = {\sqrt{{٢} \times {٢٥}}} = {\sqrt{٥٠}}$

الآن نحسب محيط المثلث بجمع الأضلاع الثلاثة.

المحيط = ${\sqrt{٢}}٥ + {٥} + {٥}$

نجمع الأعداد الصحيحة معاً: ${\sqrt{٢}}٥ + {١٠}$

القيمة الأولى تساوي ${\sqrt{٢}}٥ + {١٠}$

الآن نحسب مساحة المثلث لتمثيل القيمة الثانية.

التعويض في قانون المساحة: ${\dfrac{١}{٢}} \times {٥} \times {٥}$

نضرب الأعداد الصحيحة: ${\dfrac{١}{٢}} \times {٢٥}$

الناتج النهائي للمساحة: $١٢،٥ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٢٥}$

القيمة الثانية تساوي $١٢،٥$

نقوم الآن بمقارنة رياضية بين القيمة الأولى ${\sqrt{٢}}٥ + {١٠}$ والقيمة الثانية $١٢،٥$.

بما أن قيمة ${\sqrt{٢}}$ تقريباً تساوي $١،٤$، فإن حاصل ضرب ${\sqrt{٢}}٥$ تقريباً يساوي $٧$.

إذن القيمة الأولى تقريباً تساوي $١٧ = {٧} + {١٠}$.

بما أن العدد $١٧$ أكبر بوضوح من $١٢،٥$، فإن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: لا يمكن افتراض تطابق الأضلاع أو قياسات الزوايا من مجرد الشكل البصري دون وجود علامات هندسية صريحة توثق ذلك.

بالنظر والتدقيق في المعطيات المتوفرة للشكل البياني، نجد غياباً تاماً لأي علامات تشير إلى تطابق أضلاع في المثلث العلوي.

كما لا توجد أي دلالة أو علامة زاوية قائمة تثبت أن المثلث السفلي هو مثلث قائم الزاوية.

مجرد وجود زاوية وحيدة قياسها ${}^{\circ}٣٠$ لا يكفي رياضياً لمعرفة أطوال الأضلاع المقابلة دون معرفة قياسات الزوايا الأخرى أو وجود ضلع مشترك معلوم النسبة.

بسبب غياب هذه الروابط الهندسية الجوهرية، لا يمكننا بناء أي متباينة صحيحة بين طول القطعة $ج \ ب$ وطول القطعة $د \ أ$.

الاعتماد على النظر البصري مجرد من الدقة الجبرية، لذا لا توجد معطيات كافية لإجراء المقارنة بطريقة رصينة.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: اختبار الحالات القصوى والتشوهات الهندسية الممكنة لإثبات عدم ثبات العلاقة بين القيمتين المطلوب مقارنتهما.

هندسياً، يمكننا تخيل تغيير طول القطعة المستقيمة $ج \ ب$ ليصبح طويلاً جداً، مع الاحتفاظ الصارم بالزاوية ${}^{\circ}٣٠$ عن طريق تمديد الأضلاع المجاورة لها بحرية.

في هذه الحالة الافتراضية الأولى، ستتضخم القيمة الأولى بشكل يجعلها أكبر بكثير من القيمة الثانية.

في المقابل، يمكننا أيضاً رسم القطعة المستقيمة $ج \ ب$ قصيرة جداً بحيث تتقلص قيمتها لتصبح أقل بكثير من طول القطعة $د \ أ$.

وهذا التلاعب القصير يتم دون الإخلال بالمعطى الوحيد المتاح في الشكل وهو الزاوية ${}^{\circ}٣٠$.

في هذه الحالة الافتراضية الثانية، ستكون القيمة الثانية هي الأكبر.

بما أن العلاقة بين الضلعين تتأرجح وتتغير جذرياً بتغير الرسم الممكن رياضياً، فإن المعطيات غير قادرة على حسم النتيجة.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المثلثات ذات القواعد المتساوية التي تتشارك في رأس هندسي واحد.

المثلثان $د$ $ج$ $أ$ و $د$ $أ$ $ب$ يشتركان هندسياً في نفس الرأس العلوي وهو النقطة $د$.

قاعدتا المثلثين تقعان على نفس الخط المستقيم الأفقي وتمتلكان نفس الطول الجبري وهو المتغير $س$.

أي مثلثين يشتركان في رأس واحد وقواعدهما تقع على امتداد خط مستقيم واحد، فإنهما يمتلكان نفس الارتفاع العمودي.

بما أن طولي القاعدتين متساويان والارتفاع مشترك ومتساوٍ، فإن مساحتيهما تتطابقان بشكل قطعي.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض الرياضي المفصل والمتوازي لحساب مساحة كل جزء على حدة.

نرمز للارتفاع المشترك النازل من الرأس $د$ إلى خط القاعدة بالمتغير الجبري $ع$.

القيمة الأولى تمثل مساحة المثلث $د$ $ج$ $أ$، والذي يبلغ طول قاعدته $س$.

تُحسب القيمة الأولى رياضياً بتعويض المتغيرات كالتالي: $ع \times س \times \dfrac{١}{٢}$.

القيمة الثانية تمثل مساحة المثلث $د$ $أ$ $ب$، والذي يبلغ طول قاعدته $س$ أيضاً.

تُحسب القيمة الثانية رياضياً بتعويض المتغيرات كالتالي: $ع \times س \times \dfrac{١}{٢}$.

المقداران الجبريان الناتجان متطابقان بشكل كامل مما يؤكد التساوي.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: حساب المساحة الكلية وطرح المنطقة غير المظللة

المفهوم الرياضي: استنتاج مساحة المنطقة المظللة (س) عبر إيجاد مساحة المثلث الكبير بالكامل وطرح مساحة المثلث الصغير غير المظلل منها.

نلاحظ من المعطيات أن المثلث الصغير السفلي هو مثلث قائم الزاوية، طول قاعدته $٣$ وطول ضلعه الرأسي $٤$.

نحسب طول وتر هذا المثلث الصغير باستخدام نظرية فيثاغورس.

${}^{٢}(٤) + {}^{٢}(٣) = {{}^{٢}ل}$

${١٦} + {٩} = {{}^{٢}ل}$

${٢٥} = {{}^{٢}ل}$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن طول وتر المثلث الصغير يساوي $٥$.

نلاحظ وجود علامات تطابق هندسية واضحة (شرطتان) تشير إلى أن الجزء العلوي من الضلع الرأسي للمثلث الكبير يطابق تماماً طول الوتر الذي حسبناه.

بناءً عليه، الضلع الرأسي الكلي للمثلث الكبير يتكون من جزئين: الجزء السفلي وقيمته $٤$ والجزء العلوي وقيمته $٥$.

نحسب الارتفاع الكلي للمثلث الكبير بجمعهما.

${٩} = {٥} + {٤}$

نحسب مساحة المثلث الكبير بالكامل باستخدام قانون المساحة (القاعدة في الارتفاع في نصف).

${١٣،٥} = {٩} \times {٣} \times {\dfrac{١}{٢}}$

الآن، نحسب مساحة المثلث الصغير غير المظلل بالقانون ذاته.

${٦} = {٤} \times {٣} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نطرح مساحة المثلث الصغير من المساحة الكلية لإيجاد مساحة المنطقة (س)، بحيث نضع المساحة الكبرى كمطروح منه في أقصى اليمين.

${٧،٥} = {٦} – {١٣،٥}$

والإجابة هي $٧،٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص زوايا المثلث

ينص المفهوم الهندسي على أن المثلث الذي تتطابق جميع أضلاعه، تكون جميع زواياه الداخلية متطابقة أيضاً.

مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي $١٨٠$ درجة.

لحساب قياس الزاوية الواحدة، نقسم المجموع الكلي على عدد الزوايا وعددها ثلاثة.

الزاوية الواحدة = ${\dfrac{١٨٠}{٣}}$

$٦٠ = {\dfrac{١٨٠}{٣}}$

بما أن قياس كل زاوية هو $٦٠$ درجة، وهي تعتبر زاوية حادة لأنها أقل من $٩٠$ درجة.

نستنتج أن المثلث يصنف هندسياً على أنه مثلث حاد الزوايا.

والإجابة هي حاد الزوايا

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التصنيف الزاوي للمثلثات بالمعادلات

نعلم أن المثلث المتطابق الأضلاع يتميز بتساوي جميع أطوال أضلاعه بشكل قاطع.

تنص القاعدة على أن الأضلاع المتطابقة تقابل زوايا متطابقة في القياس.

إذا فرضنا أن قيمة الزاوية الواحدة هي المتغير س، فإن مجموع الزوايا هو ${٣} \times {س}$.

بما أن مجموع الزوايا هو $١٨٠$، نصيغ المعادلة الجبرية التالية.

$١٨٠ = {٣} \times {س}$

بقسمة الطرفين على العدد $٣$ نحصل على قيمة الزاوية س.

$٦٠ = {س}$

بما أن الزاوية $٦٠$ تقع في النطاق بين $٠$ و $٩٠$، فهي زاوية حادة رياضياً.

لذلك يصنف المثلث كاملاً بأنه حاد الزوايا.

والإجابة هي حاد الزوايا

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استخدام نظرية فيثاغورس مرتين متتاليتين في مثلثين متداخلين.

نبدأ بالمثلث الكبير لإيجاد طول الضلع الرأسي المشترك ونرمز له بالمتغير $ص$.

طول القاعدة السفلية للمثلث الكبير يساوي مجموع الجزأين المعطيين.

نجمع الأجزاء: $١٦ = {١١} + {٥}$

نعوض في نظرية فيثاغورس للمثلث الكبير ذي الوتر عشرين.

المعادلة هي: ${}^{٢}٢٠ = {}^{٢}١٦ + {}^{٢}ص$

نحسب المربعات للأعداد: $٤٠٠ = {٢٥٦} + {}^{٢}ص$

نطرح لإيجاد مربع الضلع المجهول: $١٤٤ = {٢٥٦} – {٤٠٠}$

نأخذ الجذر التربيعي للناتج: $١٢ = {\sqrt{١٤٤}}$

الآن ننتقل للمثلث الصغير الداخلي لنحسب طول الوتر المطلوب ونرمز له بالمتغير $ع$.

نعوض بالضلعين القائمين المعلومين الآن وهما خمسة واثنا عشر.

المعادلة تصبح: ${}^{٢}ع = {}^{٢}٥ + {}^{٢}١٢$

نحسب المربعات للطرفين: ${}^{٢}ع = {٢٥} + {١٤٤}$

نجمع القيمتين الجبريتين: $١٦٩ = {٢٥} + {١٤٤}$

نأخذ الجذر التربيعي للناتج النهائي: $١٣ = {\sqrt{١٦٩}}$

والإجابة هي $١٣$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استنتاج الأضلاع المتتالية باستخدام مضاعفات المثلثات المشهورة لتجنب التعقيد.

في المثلث الكبير، الوتر قيمته عشرين وأحد أضلاع القائمة قيمته ستة عشر.

نلاحظ أن هذه الأضلاع هي مضاعفات صريحة للمثلث المشهور ثلاثة وأربعة وخمسة مضروبة في الرقم أربعة.

بما أن الوتر $٢٠ = {٤} \times {٥}$ والضلع $١٦ = {٤} \times {٤}$، فإن الضلع الرأسي يجب أن يكون $١٢ = {٤} \times {٣}$.

بهذا الاستنتاج المنطقي عرفنا طول الضلع الرأسي المشترك فوراً.

الآن ننظر حصراً إلى المثلث الصغير، أضلاعه القائمة هي خمسة واثنا عشر.

هذا التشكيل يمثل مثلث فيثاغورس مشهوراً آخر بأضلاع أساسية هي خمسة واثنا عشر وثلاثة عشر.

بناءً على هذه المعرفة المسبقة، نستنتج مباشرة أن الوتر في هذا المثلث الصغير يجب أن يساوي ثلاثة عشر.

والإجابة هي $١٣$

تكنيك ١: المساواة الجبرية وصياغة التناسب العكسي

المفهوم الرياضي: إذا تساوت مساحتا مثلثين، فإن العلاقة بين طول القاعدة والارتفاع هي علاقة تناسب عكسي؛ فالقاعدة الأقصر تتطلب ارتفاعاً أطول للحفاظ على ثبات المساحة.

القانون: $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

بما أن المساحتين متساويتان، نساوي قانون مساحة المثلث الأول بقانون مساحة المثلث الثاني.

${٢_ع} \times {٢_ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = {١_ع} \times {١_ق} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نقوم بتبسيط المعادلة رياضياً بحذف الكسر $\dfrac{١}{٢}$ من كلا الطرفين.

${٢_ع} \times {٢_ق} = {١_ع} \times {١_ق}$

نعوض بقيم القواعد المعطاة في السؤال، حيث قاعدة الأول تساوي $٨$ وقاعدة الثاني تساوي $٥$.

${٢_ع} \times {٥} = {١_ع} \times {٨}$

نقوم بصياغة العلاقة على شكل كسر لفهم نسبة الارتفاعين لبعضهما البعض.

$\dfrac{١_ع}{٢_ع} = \dfrac{٥}{٨}$

من هذا التناسب المنطقي، نجد أن الارتفاع الثاني $٢_ع$ يقابله الرقم الأكبر $٨$ في التناسب العكسي.

بينما الارتفاع الأول $١_ع$ يقابله الرقم الأصغر $٥$.

بما أن جميع الأطوال الهندسية موجبة، فإن ارتفاع المثلث الثاني يجب أن يكون الأكبر لتعويض النقص في طول قاعدته وتحقيق المساواة الجبرية.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: الافتراض العددي لمساحة ثابتة

المفهوم الرياضي: يمكن افتراض قيمة مساحة ثابتة لكلا المثلثين تقبل القسمة على أطوال القواعد المعطاة لتسهيل إيجاد الارتفاع بشكل مباشر.

نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين $٨$ و $٥$ لتسهيل العمليات الحسابية وتجنب الكسور.

المضاعف المشترك الأصغر هو العدد $٤٠$.

نفترض أن مساحة كل من المثلثين تساوي $٤٠$ وحدة مربعة.

نطبق قانون المساحة لإيجاد ارتفاع المثلث الأول والذي يمثل القيمة الأولى.

$٤٠ = {١_ع} \times {٨} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نبسط المعادلة بضرب العدد $٨$ في الكسر $\dfrac{١}{٢}$.

$٤٠ = {١_ع} \times {٤}$

نقسم الطرفين على العدد $٤$.

$١٠ = ١_ع$

إذاً القيمة الأولى (ارتفاع المثلث الأول) تساوي $١٠$.

نطبق قانون المساحة مجدداً لإيجاد ارتفاع المثلث الثاني والذي يمثل القيمة الثانية.

$٤٠ = {٢_ع} \times {٥} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نبسط المعادلة بضرب العدد $٥$ في الكسر $\dfrac{١}{٢}$.

$٤٠ = {٢_ع} \times {٢،٥}$

نقسم الطرفين على العدد $٢،٥$.

$١٦ = ٢_ع$

إذاً القيمة الثانية (ارتفاع المثلث الثاني) تساوي $١٦$.

بمقارنة النتيجتين العدديتين، نجد أن العدد $١٦$ أكبر من العدد $١٠$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تساوي مساحات المثلثات المشتركة في نفس القاعدة والمحصورة بين مستقيمين متوازيين.

المثلث الأول $أ$ $ب$ $ج$ والمثلث الثاني $د$ $ج$ $ب$ يشتركان هندسياً في نفس القاعدة وهي الضلع $ج$ $ب$.

رؤوس المثلثين العلوية $أ$ و $د$ تقع على المستقيم $م$ والذي يوازي تماماً المستقيم $ل$ الذي يحمل القاعدة المشتركة.

من المسلمات الهندسية أن المسافة العمودية بين أي مستقيمين متوازيين تبقى ثابتة دائماً، مما يعني أن ارتفاعي المثلثين متطابقان.

بما أن القاعدة مشتركة بالكامل والارتفاع متساوٍ تماماً، فإن المساحتين متساويتان ولا توجد أي زيادة لطرف على الآخر.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري المباشر في قانون مساحة المثلث والمقارنة الرمزية.

نفرض جبرياً أن طول القاعدة المشتركة للمثلثين $ج$ $ب$ يساوي المتغير $ق$.

نفرض أيضاً أن المسافة العمودية بين المستقيمين المتوازيين، والتي تمثل الارتفاع الثابت، تساوي المتغير $ع$.

مساحة المثلث الأول $أ$ $ب$ $ج$ تُصاغ بالمعادلة التالية: $ع \times ق \times \dfrac{١}{٢}$.

مساحة المثلث الثاني $د$ $ج$ $ب$ تُصاغ بنفس المعادلة تماماً: $ع \times ق \times \dfrac{١}{٢}$.

بمقارنة المعادلتين الرمزيتين، نجد أنهما متطابقتان تماماً في جميع المتغيرات والثوابت.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المثلثات من خلال الرؤوس الهندسية

يتكون الشكل المظلل من مثلثين منفصلين يقعان أعلى المربعين الأول والثاني.

نحلل المثلث الأول الواقع أعلى المربع الذي طول ضلعه $٤$.

قاعدة هذا المثلث تنطبق على الضلع العلوي للمربع، لذا طول القاعدة هو $٤$.

ارتفاع هذا المثلث يمتد من الزاوية العلوية للمربع الأول (بارتفاع $٤$) إلى الزاوية العلوية للمربع الثاني المجاور (بارتفاع $٦$).

إذن الارتفاع للمثلث الأول = ${٤} – {٦}$

$٢ = {٤} – {٦}$

نحسب مساحة المثلث الأول بتطبيق القانون.

مساحة المثلث الأول = $\dfrac{١}{٢} \times {٤} \times {٢}$

مساحة المثلث الأول = $٤$

نحلل المثلث الثاني الواقع أعلى المربع الأوسط الذي طول ضلعه $٦$.

قاعدة هذا المثلث تنطبق على الضلع العلوي للمربع الأوسط، لذا طول القاعدة هو $٦$.

ارتفاع هذا المثلث يمتد من الزاوية العلوية للمربع الأوسط (بارتفاع $٦$) إلى الزاوية العلوية للمربع الأكبر المجاور (بارتفاع $٨$).

إذن الارتفاع للمثلث الثاني = ${٦} – {٨}$

$٢ = {٦} – {٨}$

نحسب مساحة المثلث الثاني بتطبيق القانون.

مساحة المثلث الثاني = $\dfrac{١}{٢} \times {٦} \times {٢}$

مساحة المثلث الثاني = $٦$

نجمع المساحتين للحصول على المساحة الكلية للمنطقة المظللة.

المساحة الكلية = ${٦} + {٤}$

$١٠ = {٦} + {٤}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١: حساب المساحة باستخدام الإحداثيات المستنتجة من الرسم البياني

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

نكتب قانون مساحة المثلث ونستخدم الرموز للتعبير عنه.

المساحة = $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

نستنتج طول القاعدة من محور السينات، حيث تبدأ القاعدة من النقطة $٠،٢$ وتنتهي عند النقطة $٠،٨$.

نحسب طول القاعدة بطرح نقطة البداية من نقطة النهاية.

طول القاعدة = $٠،٦ = {٠،٢} – {٠،٨}$

نستنتج الارتفاع من محور الصادات، حيث يمتد من نقطة الأصل إلى النقطة $٠،٨$.

الارتفاع = $٠،٨$

نعوض بالقيم المستخرجة في قانون المساحة.

المساحة = ${٠،٨} \times {٠،٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب الكسر في طول القاعدة أولاً للتبسيط.

$٠،٣ = {٠،٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب الناتج في الارتفاع للحصول على المساحة النهائية.

$٠،٢٤ = {٠،٨} \times {٠،٣}$

والإجابة هي $٠،٢٤$

تكنيك ٢: تحويل الأعداد العشرية إلى كسور اعتيادية لتسهيل الضرب

المفهوم الرياضي: تحويل القيم العشرية إلى كسور اعتيادية يسهل عمليات الاختصار وتجنب أخطاء الفواصل.

نحول طول القاعدة المستنتج من عدد عشري إلى كسر اعتيادي.

طول القاعدة = $\dfrac{٦}{١٠}$

نحول الارتفاع من عدد عشري إلى كسر اعتيادي.

الارتفاع = $\dfrac{٨}{١٠}$

نكتب قانون مساحة المثلث.

المساحة = $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بالكسور في قانون مساحة المثلث.

المساحة = ${\dfrac{٨}{١٠}} \times {\dfrac{٦}{١٠}} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب البسوط معاً والمقامات معاً.

المساحة = $\dfrac{٤٨}{٢٠٠} = {\dfrac{٨ \times ٦ \times ١}{١٠ \times ١٠ \times ٢}}$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على الرقم $٢$.

المساحة = $\dfrac{٢٤}{١٠٠} = {٢} \div {\dfrac{٤٨}{٢٠٠}}$

نحول الكسر المبسط إلى عدد عشري.

المساحة = $٠،٢٤$

والإجابة هي $٠،٢٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: لا يمكن المقارنة بين أطوال أضلاع تقع في مضلعات منفصلة تماماً ما لم تتوفر معطيات هندسية صريحة تربط بينها كنسب أو أطوال أو أضلاع مشتركة.

لدينا في نص السؤال مثلثان منفصلان، الأول يحتوي على القطعة المستقيمة $ب \ أ$ والثاني يحتوي على القطعة المستقيمة $ج \ د$.

قياسات الزوايا الداخلية للمثلث الأول أو الثاني لا تعطي أي دلالة حقيقية على طول الأضلاع الفعلية.

فقد يكون المثلث الأول مجسماً صغيراً جداً، بينما يكون المثلث الثاني مجسماً ضخماً، أو العكس صحيح.

غياب أي قيمة عددية لأطوال الأضلاع يمنعنا كلياً من تحديد أي علاقة رياضية منضبطة بين المثلثين المذكورين.

وبالتالي لا يمكن إجراء المقارنة الهندسية المطلوبة لعدم توفر معطيات كافية تربط بين القیمتين.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التشابه بين المثلثات يحدد فقط التناسب بين الأضلاع، ولكنه لا يحدد التطابق أو الأطوال المطلقة للأضلاع.

حتى لو افترضنا وجود تشابه بين المثلثين بناءً على تطابق الزوايا، فإن معامل التكبير أو التصغير مجهول تماماً في هذا السياق.

هندسياً، يمكن رسم عدد لا نهائي من المثلثات التي تمتلك نفس القياسات للزوايا ولكن بأطوال أضلاع مختلفة كلياً.

لذا لا يوجد أي أساس رياضي أو استنتاجي يمكننا من خلاله معرفة القيمة الأكبر بين طول القطعة $ب \ أ$ وطول القطعة $ج \ د$.

يجب التوقف عن الاستنتاج الوهمي ورفض المقارنة لقصور البيانات.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تشابه المثلثات والتناسب الهندسي

من خلال التحليل البصري الدقيق، نجد مثلثين: المثلث الأكبر د و هـ، والمثلث الأصغر أ ب ج داخله.

المثلث الكبير متطابق الضلعين لوجود علامات التطابق على الضلعين الجانبيين، وقاعدته و هـ طولها $٨$.

وطول ضلعه الأيمن د هـ يساوي $٣٦$ بناءً على المعطيات.

المثلث الصغير متطابق الضلعين أيضاً، وقاعدته ج ب طولها المعطى هو $٢$.

بما أن زاوية الرأس للمثلثين متطابقة (مشار إليها برمز النجمة)، والمثلثان متطابقا الضلعين، فإنهما متشابهان هندسياً.

نصيغ التناسب الرياضي بين القاعدة للضلع الصغير والقاعدة للضلع الكبير لاستخراج معامل التشابه.

نسبة التشابه = ${\dfrac{٢}{٨}}$

بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على $٢$ نحصل على النسبة.

نسبة التشابه = ${\dfrac{١}{٤}}$

لإيجاد طول الضلع أ ب في المثلث الصغير، نضرب طول الضلع المناظر له في المثلث الكبير د هـ بنسبة التشابه.

طول أ ب = ${٣٦} \times {\dfrac{١}{٤}}$

طول أ ب = ${\dfrac{٣٦}{٤}}$

$٩ = {\dfrac{٣٦}{٤}}$

والإجابة هي $٩$

تكنيك ١: الحساب الجبري للمساحات من خلال عد الوحدات

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع العمودي.

القانون: $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

نحسب مساحة المثلث الأول الممثل في الشكل الهندسي رقم $١$ عن طريق عد المربعات في الشبكة.

نجد أن طول قاعدة المثلث الأول يساوي $٣$ وحدات، وارتفاعه العمودي يساوي $٣$ وحدات.

نعوض في قانون المساحة لاستنتاج القيمة الأولى:

$٤،٥ = {٣} \times {٣} \times {\dfrac{١}{٢}}$

إذاً القيمة الأولى تساوي $٤،٥$

نحسب مساحة المثلث الثاني الممثل في الشكل الهندسي رقم $٢$ من خلال الشبكة.

نجد أن طول قاعدة المثلث الثاني يساوي $٢$ وحدة، وارتفاعه العمودي يساوي $٤$ وحدات.

نعوض في قانون المساحة لاستنتاج القيمة الثانية:

$٤ = {٤} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

إذاً القيمة الثانية تساوي $٤$

نقارن بين القيمتين الناتجتين، فنجد أن العدد $٤،٥$ أكبر من العدد $٤$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: المقارنة بالتناسب وحاصل ضرب القاعدة في الارتفاع

المفهوم الرياضي: عند المقارنة بين مساحتي مثلثين، يمكن تجاهل الكسر الثابت (النصف) من كلا الطرفين والمقارنة المباشرة بين حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع لكليهما.

القانون المرجعي للمقارنة: $ع \times ق$

بالنسبة للمثلث الأول، حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع هو:

$٩ = {٣} \times {٣}$

بالنسبة للمثلث الثاني، حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع هو:

$٨ = {٤} \times {٢}$

بمقارنة النواتج الجبرية، نجد أن العدد $٩$ أكبر من العدد $٨$.

بما أن التناسب طردي مع المساحة، فإن مساحة المثلث الأول هي الأكبر هندسياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: يعتمد قانون مساحة المثلث على طول القاعدة وعلى الارتفاع، ولا يمكن مقارنة مساحتين دون معطيات كافية تحدد هذه الأبعاد.

نكتب قانون مساحة المثلث: المساحة تساوي الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة مضروباً في الارتفاع

نلاحظ من المعطيات أن المثلث الأول (أ د ج) والمثلث الثاني (ب د ج) يشتركان في نفس الرأس العلوي (ج).

بما أن الرأس مشترك والقاعدتين تقعان على امتداد خط مستقيم واحد، فإن الارتفاع العمودي متساوٍ لكلا المثلثين.

لمقارنة المساحتين رياضياً، يجب أن نقارن بين طول القاعدة (أ د) للمثلث الأول وطول القاعدة (ب د) للمثلث الثاني.

بالنظر إلى المعطيات المرفقة، لا توجد أي أرقام تدل على أطوال القواعد، ولا توجد علامات تطابق هندسية تشير إلى التساوي.

بناءً على ذلك، لا يمكننا الاستنتاج أو تحديد أي القاعدتين أطول أو ما إذا كانتا متطابقتين.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستنتاج المنطقي المستند إلى غياب المعطيات القياسية الصريحة في الأشكال الهندسية.

في قسم الهندسة، يُمنع الاعتماد على الشكل البصري المجرد لتحديد الأطوال ما لم تُرفق به معطيات صريحة أو علامات قياسية.

لدينا القيمة الأولى تمثل مساحة مثلث قاعدته هي القطعة المستقيمة (أ د).

لدينا القيمة الثانية تمثل مساحة مثلث قاعدته هي القطعة المستقيمة (ب د).

بما أن الارتفاع نرمز له بالمتغير $ع$ وهو ثابت للمثلثين، فإن التباين في المساحة يعتمد كلياً على التباين في القواعد.

نظراً لعدم وجود إشارة توازي، أو تطابق، أو تنصيف للقطعة المستقيمة الكلية، تظل العلاقة بين القاعدتين مجهولة تماماً.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١: صياغة المعادلات الجبرية من الدرجة الثانية

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة جبرية من الدرجة الثانية بناءً على قانون مساحة المثلث لإيجاد الأبعاد المجهولة.

نفرض جبرياً أن طول قاعدة المثلث يساوي المتغير (س).

بناءً على معطيات النص، الارتفاع يزيد عن القاعدة بمقدار $١$، لذا فإن الارتفاع الرياضي يمثل بالمقدار (س + ١).

نكتب قانون مساحة المثلث العام للتعويض بمكوناته.

المساحة = الارتفاع $\times$ القاعدة $\times$ $\dfrac{١}{٢}$

نعوض بالقيم الجبرية المعطاة في السؤال داخل المعادلة.

${٢١} = ({١} + {س}) \times {س} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب طرفي المعادلة في الرقم $٢$ للتخلص من الكسر الكسري وتبسيط العملية.

${٤٢} = ({١} + {س}) \times {س}$

نوزع المتغير (س) داخل القوس بضربه في كل حد لنحصل على معادلة تربيعية خطية.

${٤٢} = {س} + {{}^{٢}س}$

ننقل الرقم $٤٢$ للطرف الآخر مع عكس إشارته لنقوم بتصفير المعادلة التربيعية استعداداً لحلها.

${٠} = {٤٢} – {س} + {{}^{٢}س}$

نحلل المعادلة التربيعية إلى قوسين بالبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي $٤٢-$ وحاصل جمعهما يساوي $١$.

${٠} = ({٦} – {س}) \times ({٧} + {س})$

نستنتج القيمة الأولى بمساواة القوس الأول بالصفر، مما يعطينا قيمة موجبة ملموسة للقاعدة.

${٦} = {س}$

نستنتج القيمة الثانية بمساواة القوس الثاني بالصفر، مما يعطينا قيمة سالبة للقاعدة.

${٧-} = {س}$

نرفض القيمة السالبة لكونها غير منطقية هندسياً في قياس الأطوال الرياضية.

بما أن المطلوب الأساسي هو إيجاد طول الارتفاع، نعوض بقيمة (س) الموجبة في مقدار الارتفاع الذي افترضناه مسبقاً.

${٧} = {١} + {٦}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ٢: استراتيجية التجريب العكسي للخيارات المعطاة

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم الخيارات المعطاة للتحقق من تطابقها الدقيق مع المساحة المطلوبة.

بناءً على نص السؤال، نعلم أن المساحة تساوي $٢١$ وأن الارتفاع يزيد عن القاعدة بمقدار $١$ هندسي.

نقوم بتجربة الخيار الأول بشكل عكسي: نفترض أن الارتفاع يساوي $٤$.

بناءً على ذلك، فإن القاعدة ستكون $٣$ (لأنها أقل منه بمقدار $١$ حسب المعطى).

نحسب المساحة رياضياً.

المساحة = ${٤} \times {٣} \times {\dfrac{١}{٢}}$

الناتج هو $٦$، وهو لا يطابق المساحة المعطاة $٢١$ نهائياً.

نجرب الخيار الثالث المعطى: نفترض أن الارتفاع يساوي $٦$.

بناءً على ذلك، فإن القاعدة ستكون $٥$.

نحسب المساحة رياضياً للتحقق.

المساحة = ${٦} \times {٥} \times {\dfrac{١}{٢}}$

الناتج هو $١٥$، وهو أيضاً لا يطابق المساحة المعطاة في السؤال.

نجرب الخيار الرابع المعطى: نفترض أن الارتفاع يساوي $٧$.

بناءً على ذلك، فإن القاعدة ستكون مجبرة لأن تكون $٦$.

نحسب المساحة رياضياً.

المساحة = ${٧} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

الناتج هو $٢١$، وهو يتطابق تماماً وبشكل جذري مع المساحة المعطاة في المعطيات الأصلية.

والإجابة هي $٧$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المثلثات الثلاثينية الستينية والمثلثات القائمة متطابقة الضلعين.

من خلال المعطيات، لدينا المثلث أ ب د وهو مثلث قائم الزاوية في د وفيه الزاوية ب تساوي $٣٠$ درجة، فهو مثلث ثلاثيني ستيني.

لدينا أيضاً المثلث أ ج د وهو مثلث قائم الزاوية ومثلث متطابق الضلعين لوجود علامة التطابق على الضلعين أ د و ج د، مما يعني أن زواياه الحادة قياسها $٤٥$ درجة.

لنفترض قيمة عددية لتسهيل الحل، ولتكن طول الارتفاع أ د يساوي $١٠$.

في المثلث أ ب د الثلاثيني الستيني، طول الضلع المقابل للزاوية $٦٠$ (وهو ب د) يساوي طول الضلع المقابل للزاوية $٣٠$ (وهو أ د) مضروباً في الجذر التربيعي للرقم $٣$.

قيمة ب د تساوي:

${\sqrt{٣}}١٠ = {\sqrt{٣}} \times {١٠}$

في المثلث أ ج د المتطابق الضلعين، طول الوتر أ ج يساوي طول الضلع أ د مضروباً في الجذر التربيعي للرقم $٢$.

قيمة أ ج تساوي:

${\sqrt{٢}}١٠ = {\sqrt{٢}} \times {١٠}$

الآن نقارن بين القيمة الأولى وهي طول أ ج والقيمة الثانية وهي طول ب د.

القيمة الأولى تساوي ${\sqrt{٢}}١٠$ والقيمة الثانية تساوي ${\sqrt{٣}}١٠$.

بما أن الجذر التربيعي للرقم $٣$ أكبر من الجذر التربيعي للرقم $٢$، فإن القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الدوال المثلثية للمقارنة بين الأضلاع.

نستخدم الارتفاع المشترك أ د كعنصر أساسي للمقارنة بين طولي الضلعين أ ج و ب د.

في المثلث أ ج د، جيب الزاوية $٤٥$ يساوي طول أ د مقسوماً على طول أ ج.

نعيد ترتيب المعادلة لتكون بدلالة أ ج، فتصبح قيمة أ ج تساوي طول أ د مضروباً في الجذر التربيعي للرقم $٢$.

في المثلث أ ب د، ظل الزاوية $٣٠$ يساوي طول أ د مقسوماً على طول ب د.

ظل الزاوية $٣٠$ يساوي واحداً مقسوماً على الجذر التربيعي للرقم $٣$.

نعيد الترتيب لتكون بدلالة ب د، فتصبح قيمة ب د تساوي طول أ د مضروباً في الجذر التربيعي للرقم $٣$.

بمقارنة المعادلتين، نجد أن القيمة المضروبة في الارتفاع أ د في حالة الضلع ب د هي الأكبر.

وبالتالي، طول الضلع ب د أكبر من طول الضلع أ ج.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: نظرية فيثاغورس وخصائص المثلث القائم متطابق الضلعين.

من الشكل، نلاحظ وجود مثلثين قائمي الزاوية، المثلث الأول أ د ج والمثلث الثاني أ ب د.

في المثلث أ د ج القائم الزاوية، الوتر يساوي $٥$ وطول القاعدة يساوي $٤$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الارتفاع أ د:

$٣ = \sqrt{٩} = \sqrt{{١٦} – {٢٥}} = \sqrt{{}^{٢}٤ – {}^{٢}٥}$

في المثلث أ ب د، الزاوية ب تساوي $٤٥$ درجة، وبما أنه مثلث قائم الزاوية، فإن الزاوية الأخرى ستكون $٤٥$ درجة أيضاً لتكون مكملة لمجموع زوايا المثلث.

هذا يعني أن المثلث أ ب د متطابق الضلعين، وبالتالي طول القاعدة ب د يساوي طول الارتفاع أ د، وكلاهما يساوي $٣$.

لإيجاد طول الوتر أ ب في هذا المثلث، نضرب طول الضلع في الجذر التربيعي للرقم $٢$.

${\sqrt{٢}}٣ = {\sqrt{٢}} \times {٣}$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام النسب المثلثية (الجيب) في المثلثات القائمة.

نبدأ بإيجاد طول الضلع المشترك أ د باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث أ د ج.

$٣ = \sqrt{{١٦} – {٢٥}}$

ننتقل للمثلث أ ب د القائم الزاوية في د، حيث قياس الزاوية ب هو $٤٥$ درجة.

قانون جيب الزاوية ينص على أن جيب الزاوية يساوي المقابل مقسوماً على الوتر.

جيب الزاوية $٤٥$ يساوي قسمة طول أ د على طول أ ب.

نعيد ترتيب المعادلة، فيصبح طول أ ب يساوي طول أ د مقسوماً على جيب الزاوية $٤٥$.

نعوض بقيمة أ د التي استخرجناها وبقيمة جيب الزاوية $٤٥$ والتي تساوي واحداً مقسوماً على الجذر التربيعي للرقم $٢$.

${\sqrt{٢}}٣ = \dfrac{٣}{\dfrac{١}{\sqrt{٢}}}$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٣$

تكنيك ١: التعويض الجبري المباشر في قانون المساحة

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب ضلعي القائمة (القاعدة مضروبة في الارتفاع).

القانون: $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

بالنسبة للمثلث الأول، نستخرج المعطيات من الرسم حيث القاعدة تساوي $ص$ والارتفاع يساوي $س$.

نعوض في القانون لحساب مساحة المثلث الأول والتي تمثل القيمة الأولى:

$س \times ص \times {\dfrac{١}{٢}}$

بالنسبة للمثلث الثاني، نستخرج المعطيات حيث القاعدة تساوي $\dfrac{ص}{٢}$ والارتفاع يساوي $س٢$.

نعوض في القانون لحساب مساحة المثلث الثاني والتي تمثل القيمة الثانية:

${س٢} \times {\dfrac{ص}{٢}} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نقوم بتبسيط المقدار الرياضي للقيمة الثانية باختصار الرقم $٢$ الموجود كمعامل في البسط مع الرقم $٢$ الموجود في مقام الكسر.

ينتج لدينا بعد التبسيط الجبري:

$س \times ص \times {\dfrac{١}{٢}}$

نلاحظ أن المقدار الجبري الناتج للقيمة الأولى يطابق تماماً المقدار الجبري الناتج للقيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: الافتراض العددي للمتغيرات الجبرية

المفهوم الرياضي: للتحقق من صحة المقارنة الجبرية، يمكن افتراض قيم عددية موجبة للمتغيرات والأطوال الهندسية ثم حساب النواتج.

نفترض ذهنياً أن قيمة القاعدة $ص$ تساوي $٤$، وقيمة الارتفاع $س$ تساوي $٣$.

نحسب القيمة الأولى بناءً على القيم المفترضة للمثلث الأول.

$٦ = {٣} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نحسب أبعاد المثلث الثاني بناءً على نفس الفرضيات العددية.

القاعدة للمثلث الثاني هي الكسر $\dfrac{ص}{٢}$، أي نصف العدد $٤$.

$٢ = \dfrac{٤}{٢}$

الارتفاع للمثلث الثاني هو $س٢$، أي ضعف العدد $٣$.

$٦ = {٣} \times {٢}$

نحسب القيمة الثانية بالأبعاد العددية الجديدة.

$٦ = {٦} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

بمقارنة النواتج العددية النهائية، نجد أن القيمة الأولى تساوي $٦$ والقيمة الثانية تساوي $٦$.

القيمتان متطابقتان تماماً من الناحية الكمية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: طريقة الفرق التراكمي بين المساحتين

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة الشكل الكلي مطروحاً منها مساحة الجزء الداخلي غير المظلل.

الشكل الكلي عبارة عن مثلث كبير متطابق الضلعين، وبداخله مثلث آخر غير مظلل.

مساحة المثلث تحسب بقانون نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع العمودي.

أولاً، نقوم بحساب مساحة المثلث الكبير الخارجي (أ ب جـ).

طول قاعدة المثلث الكبير تعتبر مكملة لبعضها البعض لتشكيل القاعدة الكلية من الجزأين.

القاعدة الكلية = ${٨} + {٨} = {١٦}$

ارتفاع المثلث الكبير يساوي مجموع ارتفاع المثلث الداخلي وارتفاع الجزء المظلل العلوي.

الارتفاع الكلي = ${٢} + {٦} = {٨}$

نطبق قانون المساحة للمثلث الكبير.

مساحة المثلث الكبير = ${\dfrac{١}{٢}} \times {٨} \times {١٦}$

الناتج للمساحة الكلية: $٦٤ = {\dfrac{١}{٢}} \times {١٢٨}$

ثانياً، نحسب مساحة المثلث الداخلي غير المظلل.

قاعدة المثلث الداخلي تشترك مع المثلث الكبير وتساوي $١٦$.

ارتفاع المثلث الداخلي معطى بوضوح ويساوي $٦$.

مساحة المثلث الداخلي = ${\dfrac{١}{٢}} \times {٦} \times {١٦}$

الناتج لمساحة الداخلي: $٤٨ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٩٦}$

ثالثاً، نحسب مساحة الجزء المظلل بعملية الطرح الجبرية المنطقية.

المعادلة هي طرح مساحة الداخلي من الكلي: ${٤٨} – {٦٤}$

الناتج النهائي لعملية الطرح: $١٦ = {٤٨} – {٦٤}$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ٢: طريقة العامل المشترك للارتفاعات

المفهوم الرياضي: إذا اشترك مثلثان في نفس القاعدة الأفقية، فإن الفرق بين مساحتيهما يساوي نصف القاعدة مضروباً في الفرق بين الارتفاعين.

نحدد القاعدة المشتركة للمثلث الكبير والمثلث الداخلي من المعطيات.

القاعدة المشتركة الكلية = ${٨} + {٨} = {١٦}$

نحدد الارتفاع العمودي الكلي للمثلث الكبير.

الارتفاع الكلي = ${٢} + {٦} = {٨}$

نحدد الارتفاع العمودي للمثلث الداخلي غير المظلل.

الارتفاع الداخلي المعطى = $٦$

نحسب الفرق الرياضي بين الارتفاعين.

فرق الارتفاع = ${٦} – {٨}$

الناتج لفرق الارتفاعات: $٢ = {٦} – {٨}$

نطبق قانون الفرق المباشر بين المساحتين باستخدام العامل المشترك.

مساحة الجزء المظلل = ${\dfrac{١}{٢}} \times {ع} \times {ق}$

نعوض بالقيم المستنتجة: ${\dfrac{١}{٢}} \times {٢} \times {١٦}$

نبسط بضرب النصف في العدد المجاور: ${١} \times {١٦}$

الناتج النهائي للمساحة المظللة: $١٦$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي مائة وثمانين درجة، وخصائص زوايا القاعدة في المثلث متطابق الضلعين.

نحسب قياس الزاوية الثالثة المجهولة في المثلث بطرح الزاويتين المعلومتين من المجموع الكلي.

مجموع الزاويتين: $١٣٠ = {٥٠} + {٨٠}$

الزاوية الثالثة: $٥٠ = {١٣٠} – {١٨٠}$

نلاحظ أن المثلث يحتوي على زاويتين متطابقتين قياس كل منهما خمسون درجة، مما يثبت أنه مثلث متطابق الضلعين.

الأضلاع المقابلة للزوايا المتطابقة تكون متطابقة في الطول.

الضلع المقابل للزاوية خمسين الأولى طوله ثلاثة عشر، والضلع المقابل للزاوية خمسين الثانية معادلته ثمانية س ناقص ثلاثة.

نساوي بين الضلعين: $١٣ = {٣} – س٨$

ننقل العدد ثلاثة للطرف الآخر بإشارة موجبة: $١٦ = {٣} + {١٣}$

تصبح المعادلة: $١٦ = س٨$

نقسم على معامل س وهو ثمانية: $٢ = {\dfrac{١٦}{٨}}$

نعوض بقيمة س في الضلع الثالث المقابل للزاوية ثمانين لإيجاد طوله.

الضلع الثالث: $١٧ = {٣} + ({٢})٧$

نحسب المحيط بجمع الأضلاع الثلاثة: ثلاثة عشر، وثلاثة عشر، وسبعة عشر.

المحيط الإجمالي: $٤٣ = {١٧} + {١٣} + {١٣}$

والإجابة هي $٤٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستنتاج البصري المباشر لخصائص التطابق ثم التعويض الجبري لحساب المحيط.

بمجرد ملاحظة الزاويتين ثمانين وخمسين، نستنتج فوراً أن مكملة الزوايا للوصول إلى مائة وثمانين هي خمسون.

تطابق زاويتي القاعدة يعني تطابق الضلعين الأيمن والأيسر في الشكل المعطى.

بما أن الضلع الأيمن يساوي ثلاثة عشر، فإن الضلع الأيسر يجب أن يساويه تماماً.

نصيغ المعادلة: $١٣ = {٣} – س٨$

بإضافة ثلاثة للطرفين ينتج أن ثمانية س تساوي ستة عشر، ومنه س تساوي اثنين.

نوجد طول القاعدة السفلية بالتعويض المباشر: $١٧ = {٣} + ({٢})٧$

نجمع أطوال الأضلاع لاستخراج المحيط.

العملية: $٤٣ = {١٧} + {١٣} + {١٣}$

والإجابة هي $٤٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد الأضلاع في المثلث القائم، ثم استخدام خصائص المثلث الثلاثيني الستيني.

نبدأ بتحليل المثلث الأول أ د ج، وهو مثلث قائم الزاوية في د.

حسب نظرية فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

طول الوتر أ ج يساوي $٥$، وطول الضلع د ج يساوي $٤$.

نفرض أن الضلع المجهول أ د هو المتغير $ص$.

${}^{٢}٥ = {}^{٢}٤ + {}^{٢}ص$

نحسب القيم المربعة.

$٢٥ = {١٦} + {}^{٢}ص$

نطرح الرقم ستة عشر من الطرفين.

${}^{٢}ص = {١٦} – {٢٥}$

${}^{٢}ص = ٩$

نأخذ الجذر التربيعي للناتج لإيجاد قيمة المتغير.

$٣ = {\sqrt{٩}}$

ننتقل الآن إلى المثلث الثاني أ د ب، وهو مثلث قائم الزاوية في د ويحتوي على زاوية ٣٠ درجة عند الرأس ب.

هذا يجعله مثلثا ثلاثينيا ستينيا، حيث الضلع أ د هو المقابل للزاوية ٣٠ درجة، وطوله يساوي $٣$.

الضلع ب د هو الضلع المجاور للزاوية ٣٠ درجة.

القاعدة تنص على أن الضلع المجاور للزاوية ٣٠ درجة يساوي طول الضلع المقابل مضروبا في الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

نضرب طول الضلع أ د في الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

طول الضلع ب د = ${\sqrt{٣}} \times {٣}$

الناتج النهائي = ${\sqrt{٣}}٣$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد الارتفاع المشترك باستخدام نظرية فيثاغورس، ثم تطبيق دالة الظل (تان) للزاوية لإيجاد طول القاعدة المجهولة.

في المثلث القائم أ د ج، نطبق معادلة فيثاغورس مباشرة لإيجاد الارتفاع أ د.

مربع الارتفاع أ د = مربع الوتر أ ج مطروحا منه مربع القاعدة د ج.

مربع الارتفاع أ د = ${}^{٢}٤ – {}^{٢}٥$

مربع الارتفاع أ د = ${١٦} – {٢٥}$

مربع الارتفاع أ د = $٩$

إذن، الارتفاع أ د يساوي $٣$.

الآن في المثلث القائم أ ب د، نريد إيجاد طول الضلع ب د المجاور للزاوية ٣٠، ونفرض أنه المتغير $س$.

نستخدم دالة ظل الزاوية (ظا) والتي تساوي المقابل مقسوما على المجاور.

ظل الزاوية ٣٠ = ${\dfrac{١}{\sqrt{٣}}}$

نعوض بالقيم في معادلة ظل الزاوية.

${\dfrac{١}{\sqrt{٣}}} = {\dfrac{٣}{س}}$

نقوم بضرب الطرفين في الوسطين (الضرب التبادلي) لإيجاد قيمة $س$.

$س = {\sqrt{٣}} \times {٣}$

نبسط الناتج ليصبح في صورته النهائية المعزولة هندسيا.

$س = {\sqrt{٣}}٣$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إذا تساوت مساحة مثلثين مشتركين في ارتفاع عمودي واحد، فإن أطوال قواعدهما تكون متطابقة بالضرورة الجبرية.

المعطى الأساسي والمحوري هو أن مساحة المثلث (أ ب هـ) تتساوى تماماً مع مساحة المثلث (أ ج هـ).

نكتب قانون المساحة: المساحة تساوي الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة مضروباً في الارتفاع

المثلثان يمتلكان رأساً مشتركاً وهو الرأس (أ)، وقواعدهما تقع على خط مستقيم أفقي واحد.

هذا التركيب الهندسي يثبت أن الارتفاع الساقط من الرأس (أ) على القاعدة هو ارتفاع مشترك ومتساوٍ للمثلثين، ونرمز له بالمتغير $ع$.

بما أن المساحتين متساويتان كلياً، والارتفاع المتغير $ع$ متساوٍ، فإن العامل الرياضي الوحيد المتبقي في معادلة القانون هو طول القاعدة.

للحفاظ على التوازن والتساوي في المعادلة، يجب أن تتطابق قاعدة المثلث الأول (هـ ب) مع قاعدة المثلث الثاني (هـ ج).

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة التساوي الجبرية وتطبيق الاختصار الرياضي للوصول إلى النتيجة النهائية.

نقوم ببناء معادلة بناءً على المعطى الصريح: مساحة المثلث الأول تساوي مساحة المثلث الثاني.

نعوض بقانون المساحة للطرف الأيمن: المتغير $ع$ مضروباً في القاعدة (هـ ب) مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$

نعوض بقانون المساحة للطرف الأيسر: المتغير $ع$ مضروباً في القاعدة (هـ ج) مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$

نقوم بقسمة طرفي المعادلة على المقدار المشترك لغرض التبسيط الرياضي، وهو الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في المتغير $ع$.

ينتج لدينا بعد تطبيق عملية الاختصار والحذف للحدود المتشابهة أن طول (هـ ج) يتساوى تماماً مع طول (هـ ب).

هذا التسلسل الجبري يثبت رياضياً وبشكل قاطع أن طول القيمة الأولى يتطابق مع طول القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: خصائص المثلث الثلاثيني الستيني.

نلاحظ من المعطيات أن المثلث قائم الزاوية ويحتوي على زاوية قياسها ستين درجة.

في هذا النوع من المثلثات، الضلع المجاور للزاوية ستين يعادل نصف طول الوتر.

بما أن طول الضلع المجاور المعطى في القاعدة يساوي أربعة، فإن الوتر يمثل الضعف.

نضرب طول القاعدة في الرقم اثنين للحصول على طول الوتر.

$٨ = {٢} \times {٤}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: النسب المثلثية للزاوية ستين.

نستخدم دالة جيب التمام للزاوية ستين، والتي تساوي طول الضلع المجاور مقسوماً على طول الوتر.

نعوض بقيمة جيب التمام وهي النصف.

نرمز لطول الوتر المجهول بالمتغير س.

$\dfrac{١}{٢} = \dfrac{٤}{س}$

نقوم بضرب الطرفين في المتغير س للتخلص من المقام.

$٨ = س$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المثلثات التي تشترك في نفس الارتفاع تتناسب مساحاتها طردياً مع أطوال قواعدها، وإذا تطابقت القواعد تطابقت المساحات بالتبعية.

بناءً على المعطيات الهندسية المرئية في الشكل، نلاحظ أن النقطة جـ تقع تماماً في منتصف القاعدة السفلية للمثلث الكبير.

هذا التموضع الهندسي يفرض أن طول القاعدة ب جـ متساوٍ تماماً مع طول القاعدة جـ د.

بالنظر إلى المثلثين ب هـ جـ و د هـ جـ، نجدهما يشتركان في الرأس هـ، مما يؤكد اشتراكهما في نفس الارتفاع العمودي النازل من هـ.

تطبيقاً للقاعدة الرياضية، نستنتج أن مساحة المثلث ب هـ جـ تعادل مساحة المثلث د هـ جـ بشكل قطعي.

المعطيات تنص على أن مساحة المنطقة غير المظللة، والتي تتكون من هذين المثلثين معاً، تبلغ ٢٤.

لحساب مساحة كل مثلث على حدة، نقوم بقسمة المساحة الإجمالية على ٢.

مساحة المثلث الواحد غير المظلل = $١٢ = {٢} \div {٢٤}$

بهذا نكون قد أثبتنا أن مساحة المثلث ب هـ جـ تساوي $١٢$، ومساحة المثلث د هـ جـ تساوي $١٢$.

نتجه الآن لتحليل النصف الأيسر من الشكل، وهو المثلث أ ب جـ.

بما أن النقطة هـ منصوص على أنها منتصف القطعة المستقيمة أ جـ، فإن القاعدة أ هـ مطابقة للقاعدة هـ جـ.

المثلثان أ ب هـ (وهو مظلل) و ب هـ جـ (وهو غير مظلل) يشتركان في الرأس ب، ولهما ارتفاع متطابق.

بالتالي، تتساوى مساحتاهما بالضرورة الهندسية.

بما أن مساحة المثلث ب هـ جـ تبلغ $١٢$، فإن مساحة المثلث المظلل أ ب هـ تبلغ $١٢$ أيضاً.

بتطبيق المنهجية التحليلية ذاتها على النصف الأيمن من الشكل الكلي، وهو المثلث أ د جـ.

القطعة المستقيمة أ هـ تماثل طول القطعة المستقيمة هـ جـ بناءً على معطى المنتصف.

المثلثان أ د هـ (المظلل) و د هـ جـ (غير المظلل) يشتركان في الرأس د ويتماثلان في الارتفاع.

ينتج عن ذلك تطابق في المساحات، فتكون مساحة المثلث أ د هـ مساوية لمساحة المثلث د هـ جـ.

بما أن مساحة المثلث د هـ جـ هي $١٢$، فإن مساحة المثلث المظلل أ د هـ تبلغ $١٢$.

لإيجاد مساحة الجزء المظلل الإجمالية، نقوم بجمع مساحتي المثلثين المظللين اللذين استنتجناهما.

مساحة الجزء المظلل الكلي = مساحة المثلث أ ب هـ مضافاً إليها مساحة المثلث أ د هـ.

نُجري عملية التعويض الرياضي بالقيم المستخرجة.

المساحة المطلوبة = $٢٤ = {١٢} + {١٢}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: القطعة المتوسطة المرسومة من رأس أي مثلث إلى منتصف ضلعه المقابل تقسمه إلى مثلثين متساويين في المساحة.

نقوم أولاً بالنظر إلى الإطار الخارجي الأكبر للشكل، وهو المثلث أ ب د.

نظراً لأن النقطة جـ تنصف الضلع السفلي ب د، فإن الخط المستقيم أ جـ يُعرف كقطعة متوسطة للمثلث أ ب د.

هذا يضمن أن مساحة المثلث الأيسر أ ب جـ تعادل تماماً مساحة المثلث الأيمن أ د جـ.

كذلك، بالنظر إلى المثلث الداخلي السفلي هـ ب د، نجد أن الخط هـ جـ هو أيضاً قطعة متوسطة لأن جـ منتصف ب د.

مساحة المنطقة السفلية غير المظللة تمثل مساحة المثلث هـ ب د كاملة وتساوي ٢٤.

بما أن القطعة المتوسطة هـ جـ تقسمه لنصفين، فإن كل نصف يمتلك مساحة متساوية.

مساحة كل نصف غير مظلل = $١٢ = {٢} \div {٢٤}$

ننتقل الآن لتقييم تأثير القطعة المتوسطة ب هـ داخل المثلث أ ب جـ.

وجود النقطة هـ في منتصف أ جـ يعني أن ب هـ تقسم المثلث أ ب جـ إلى مثلثين متساويين بالمساحة.

بناءً عليه، مساحة الجزء المظلل العلوي الأيسر تساوي مساحة الجزء غير المظلل السفلي الأيسر.

تم استنتاج قيمة الجزء غير المظلل بـ ١٢، فتكون مساحة الجزء المظلل الأيسر هي ١٢.

بأسلوب مطابق، ندرس تأثير القطعة المتوسطة د هـ داخل المثلث الأيمن أ د جـ.

القطعة د هـ تقسم المثلث إلى نصفين متساويين، مما يجعل مساحة المظلل الأيمن مطابقة لغير المظلل الأيمن.

قيمة الجزء غير المظلل الأيمن هي ١٢، فتكون مساحة الجزء المظلل الأيمن هي ١٢.

نصل للخطوة الأخيرة وهي تجميع مساحات الأجزاء المظللة للوصول للمطلوب.

إجمالي المساحة المظللة = $٢٤ = {١٢} + {١٢}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توظيف الأضلاع المشتركة والتطابق الهندسي لربط أطوال الأضلاع ببعضها داخل الأشكال الهندسية المركبة.

من خلال قراءة المعطيات الهندسية للمثلث العلوي، نلاحظ وجود علامات التطابق التي تؤكد أن طول القطعة $ب \ أ$ يساوي طول القطعة $د \ أ$.

في المثلث السفلي، نلاحظ وجود زاوية قائمة، مما يعني أن المثلث السفلي هو مثلث قائم الزاوية.

القطعة المستقيمة $ب \ أ$ تقابل الزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٣٠$ في هذا المثلث السفلي.

بينما القطعة المستقيمة $ج \ ب$ تقابل الزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٦٠$ لأن الزاوية الثالثة في المثلث السفلي مكملة وقيمتها ${}^{\circ}٩٠$.

حسب المفهوم الرياضي للمثلثات، الضلع المقابل للزاوية الأكبر يكون دائماً هو الأطول، إذن طول القطعة $ج \ ب$ أكبر قطعاً من طول القطعة $ب \ أ$.

وبما أننا استنتجنا مسبقاً من التطابق أن طول القطعة $ب \ أ$ يساوي طول القطعة $د \ أ$.

يمكننا التعويض المباشر لنصل إلى أن طول القطعة $ج \ ب$ أكبر من طول القطعة $د \ أ$.

وهذا يؤكد تفوق القيمة الأولى على القيمة الثانية رياضياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص المتباينات في المثلث القائم والتعويض المباشر بالمعادلات للوصول إلى العلاقة بين القيمتين.

من المثلث المتطابق الضلعين نستنتج المعادلة الهندسية المباشرة التالية: ${ب \ أ} = {د \ أ}$.

في المثلث الثلاثيني الستيني، طول الضلع المقابل للزاوية ${}^{\circ}٦٠$ يساوي طول الضلع المقابل للزاوية ${}^{\circ}٣٠$ مضروباً في الجذر التربيعي للعدد ثلاثة.

إذن تُصاغ المعادلة كالتالي: ${\sqrt{٣}} \times {ب \ أ} = {ج \ ب}$.

بما أن قيمة الجذر التربيعي للعدد ثلاثة تتجاوز الواحد الصحيح، فإن حاصل الضرب سيجعل طول القطعة $ج \ ب$ أكبر من طول القطعة $ب \ أ$ بمفردها.

نقوم الآن بتنفيذ عملية استبدال جَبرية؛ نعوض عن طول القطعة $ب \ أ$ بقيمتها المطابقة وهي طول القطعة $د \ أ$.

النتيجة الحتمية للاستبدال تثبت أن طول القطعة $ج \ ب$ يظل الأكبر مقارنة بطول القطعة $د \ أ$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: نظرية فيثاغورس لحساب أطوال الأضلاع في المثلثات قائمة الزاوية.

من الشكل نلاحظ وجود مثلثين قائمي الزاوية، الأول هو المثلث أ د ج والثاني هو المثلث أ هـ ج.

في المثلث الأول أ د ج القائم في د، نلاحظ أن الضلعين القائمين متطابقان بناءً على المعطيات حيث يمثلان أضلاع مربع، وطول كل منهما ٤.

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد مربع طول الوتر أ ج كالتالي، حيث ينص القانون على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة.

نعوض بالقيم المعطاة: مربع أ ج = ${}^{٢}٤ + {}^{٢}٤$.

نحسب مربعات الأعداد: مربع أ ج = ${١٦} + {١٦}$.

نجمع القيمتين لنحصل على مربع الوتر: $٣٢ = {١٦} + {١٦}$.

ننتقل للمثلث الثاني أ هـ ج القائم الزاوية، حيث الوتر هنا هو القطعة ج هـ والضلعان القائمان هما أ هـ و أ ج.

طول الضلع أ هـ معطى بوضوح في الشكل ويساوي ٧.

نطبق نظرية فيثاغورس مجدداً لإيجاد الوتر ج هـ: مربع ج هـ = مربع أ هـ + مربع أ ج.

نعوض بالقيم التي حصلنا عليها: مربع ج هـ = ${٣٢} + {}^{٢}٧$.

نحسب مربع العدد سبعة: مربع ج هـ = ${٣٢} + {٤٩}$.

نجمع القيمتين معاً: $٨١ = {٣٢} + {٤٩}$.

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نجد القيمة المطلوبة: $٩ = {\sqrt{٨١}}$.

والإجابة هي $٩$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص المثلثات الخاصة وتحديداً مثلث خمسة وأربعين.

في المثلث القائم أ د ج، بما أن ضلعي القائمة متساويان وكل منهما يساوي ٤، فهذا يمثل مثلثاً متطابق الضلعين زواياه الداخلية قائمة وزاويتان بقياس خمسة وأربعين درجة.

من خصائص هذا المثلث أن طول الوتر يساوي طول الضلع القائم مضروباً في الجذر التربيعي للعدد ٢.

إذن طول الوتر أ ج يساوي بشكل مباشر وبدون حسابات مطولة: ${\sqrt{٢}}٤$.

لإيجاد مربع الوتر الذي سنحتاجه كمعطى في المثلث التالي، نقوم بتربيع القيمة: مربع أ ج = ${}^{٢}({\sqrt{٢}}٤)$.

نربع العدد ٤ ليصبح ١٦، ونربع الجذر ليلغى ويصبح ٢، ثم نضرب القيمتين: $٣٢ = {٢} \times {١٦}$.

ننتقل للمثلث الثاني أ هـ ج القائم الزاوية، ونطبق نظرية فيثاغورس.

مربع الوتر ج هـ يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين الآخرين.

نعوض بالقيم: مربع ج هـ = ${٣٢} + {}^{٢}٧$.

نحسب مربع العدد: مربع ج هـ = ${٣٢} + {٤٩}$.

الناتج النهائي للجمع هو: $٨١ = {٣٢} + {٤٩}$.

بأخذ الجذر التربيعي للناتج: $٩ = {\sqrt{٨١}}$.

والإجابة هي $٩$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تشابه المثلثات القائمة وتناسب الأضلاع.

الشكل المرفق يتكون من مثلث قائم الزاوية صغير يقع في الأعلى، ومثلث قائم الزاوية كبير يشمل المثلث الصغير.

في المثلث الصغير، نلاحظ أن طول الضلعين القائمين متساويان وكلاهما يساوي $٤$.

هذا يثبت أن المثلث الصغير متطابق الضلعين، ونسبة طول القاعدة إلى طول الارتفاع تساوي واحداً.

$١ = \dfrac{٤}{٤}$

المثلث الكبير يشترك مع المثلث الصغير في زاوية الرأس، وكلاهما مثلث قائم الزاوية، فهما مثلثان متشابهان.

بناءً على مبدأ التشابه، يجب أن تكون نسبة القاعدة إلى الارتفاع في المثلث الكبير مساوية لنسبتها في المثلث الصغير.

ارتفاع المثلث الكبير هو مجموع طولي القطعتين المكونتين له.

$٩ = {٥} + {٤}$

بما أن النسبة تساوي واحداً، فإن طول القاعدة الممثلة بالمتغير $س$ يجب أن يساوي طول الارتفاع.

$٩ = س$

والإجابة هي $٩$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: خصائص زوايا المثلث القائم متطابق الضلعين.

المثلث العلوي الصغير هو مثلث قائم الزاوية وفيه ضلعان متساويان بطول $٤$.

في المثلث القائم متطابق الضلعين، تكون زاويتا القاعدة متساويتين، وكل منهما تساوي $٤٥$ درجة لتكون مكملة للزاوية القائمة وتكمل المجموع إلى $١٨٠$ درجة.

المثلث الكبير بالكامل هو أيضاً مثلث قائم الزاوية، ويشترك مع المثلث الصغير في زاوية الرأس الحادة التي قياسها $٤٥$ درجة.

وبما أن المثلث الكبير يمتلك زاوية قائمة وزاوية بقياس $٤٥$ درجة، فإن زاويته الثالثة ستكون $٤٥$ درجة أيضاً.

هذا يثبت أن المثلث الكبير هو بدوره مثلث قائم متطابق الضلعين.

نحسب طول الضلع الرأسي الكامل للمثلث الكبير بجمع الأطوال المعطاة.

$٩ = {٥} + {٤}$

في المثلث متطابق الضلعين، طول القاعدة الأفقية يساوي طول الضلع الرأسي.

لذلك، قيمة المتغير $س$ تساوي الضلع الرأسي.

$٩ = س$

والإجابة هي $٩$

تكنيك ١: التناسب المباشر للأضلاع المتناظرة

المفهوم الرياضي: تشابه المثلثات يعني أن أطوال الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة، أي أن النسبة بين كل ضلعين متناظرين هي مقدار ثابت.

نحدد الأضلاع المتناظرة من الشكل الهندسي المعطى، حيث أن الضلع الذي طوله $٨$ في المثلث الأول يناظر الضلع الذي طوله $١٢$ في المثلث الثاني.

وبالمثل، نلاحظ أن الضلع الذي يبلغ طوله ${١} + {س}$ في المثلث الأول يناظر الضلع الذي يبلغ طوله ${٣} – {س٢}$ في المثلث الثاني.

نكتب معادلة التناسب الجبرية لمساواة نسب الأضلاع المتناظرة مع بعضها البعض.

${\dfrac{{١} + {س}}{{٣} – {س٢}}} = {\dfrac{٨}{١٢}}$

نبسط الكسر العددي في الطرف الأيسر بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو العدد $٤$.

${\dfrac{٢}{٣}} = {\dfrac{٨}{١٢}}$

نعوض بالكسر المبسط في معادلة التناسب الأصلية لتسهيل الحسابات القادمة.

${\dfrac{{١} + {س}}{{٣} – {س٢}}} = {\dfrac{٢}{٣}}$

نستخدم خاصية الضرب التبادلي (المقص) لتبسيط المعادلة الكسرية وتحويلها إلى معادلة خطية.

${({٣} – {س٢})} \times {٢} = {({١} + {س})} \times {٣}$

نوزع الضرب على الأقواس في كلا الطرفين بضرب المعامل الخارجي في كل حد من الحدود الداخلية.

${٦} – {س٤} = {٣} + {س٣}$

نجمع المتغيرات في طرف واحد بنقل الحد $س٣$ إلى الطرف الأيمن وتغيير إشارته إلى السالب.

${٦} – {س٤} – {س٣} = {٣}$

نجمع الأعداد الثابتة في الطرف الآخر بنقل الحد $٦-$ إلى الطرف الأيسر وتغيير إشارته إلى الموجب.

${٦} + {٣} = {س٣} – {س٤}$

نجري عمليات الطرح والجمع لتبسيط الطرفين وإيجاد القيمة النهائية للمتغير.

$٩ = س$

والإجابة هي $٩$

تكنيك ٢: تجربة الخيارات (التعويض العكسي)

المفهوم الرياضي: التعويض العكسي بقيم الخيارات المعطاة في أطوال الأضلاع للتحقق من تطابق نسبة التشابه الأساسية.

نستخرج نسبة التشابه الأساسية من الأضلاع المعلومة ونبسطها إلى أبسط صورة ممكنة.

${\dfrac{٢}{٣}} = {\dfrac{٨}{١٢}}$

نجرب التعويض بالخيار الرابع وهو القيمة $٩$ للتحقق من صحته.

نعوض بقيمة $٩$ في التعبير الجبري للضلع الأول الخاص بالمثلث الصغير.

$١٠ = {١} + {٩}$

نعوض بقيمة $٩$ في التعبير الجبري للضلع الثاني الخاص بالمثلث الكبير.

$١٥ = {٣} – {١٨}$

نحسب النسبة الجديدة بين طولي الضلعين بعد إجراء عملية التعويض.

${\dfrac{١٠}{١٥}}$

نبسط الكسر الجديد الناتج بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو العدد $٥$.

${\dfrac{٢}{٣}} = {\dfrac{١٠}{١٥}}$

نلاحظ أن النسبة متطابقة تماماً مع نسبة التشابه الأساسية، مما يؤكد صحة الخيار بشكل قاطع.

والإجابة هي $٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: في أي مثلث، الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى، والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.

بما أن المثلث المعطى هو مثلث قائم الزاوية، فإن قياس إحدى زواياه يساوي ${}^{\circ}٩٠$.

مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مثلث ثابت ويساوي دائماً ${}^{\circ}١٨٠$.

الزاوية الحادة الأخرى هي مكملة لمجموع الزاويتين المعلومتين في المثلث.

نقوم بحساب قيمة الزاوية الثالثة بطرح مجموع الزاويتين من المجموع الكلي للمثلث كالتالي: ${}^{\circ}٣٠ = ({}^{\circ}٦٠ + {}^{\circ}٩٠) – {}^{\circ}١٨٠$.

بمقارنة الزاويتين الحادتين، نجد أن الزاوية ${}^{\circ}٦٠$ تمثل قيمة أكبر من الزاوية ${}^{\circ}٣٠$.

تطبيقاً للمفهوم الرياضي، الضلع الذي يقابل الزاوية ${}^{\circ}٦٠$ سيكون بالضرورة أطول من الضلع الذي يقابل الزاوية ${}^{\circ}٣٠$.

بناءً على ذلك، نستنتج أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: في حساب المثلثات، يتناسب طول الضلع طردياً مع جيب الزاوية المقابلة له، ويمكن استخدام النسب المثلثية للمقارنة.

نفرض لتسهيل الحسابات أن طول الوتر في هذا المثلث القائم يساوي $٢$.

طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٣٠$ يساوي نصف طول الوتر، أي أن قيمته تُحسب كالتالي: $١ = {٢} \div {٢}$.

طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٦٠$ يساوي الوتر مضروباً في جيب الزاوية، ويُحسب كالتالي: ${\sqrt{٣}} = {\dfrac{\sqrt{٣}}{٢}} \times {٢}$.

نقارن بين النتيجتين، القيمة الأولى تساوي $١$ والقيمة الثانية تساوي ${\sqrt{٣}}$.

بما أن قيمة الجذر التربيعي للعدد ثلاثة تقارب $١،٧٣٢$، فهي بلا شك أكبر من العدد $١$.

وبالتالي فإن القيمة الثانية تتفوق رياضياً على القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الدائرة المحيطة بالمثلث القائم الزاوية

نختبر أطوال أضلاع المثلث المعطاة لمعرفة نوعه باستخدام عكس نظرية فيثاغورس.

نحسب أولاً مربع طول الضلع الأكبر المعطى في السؤال.

$١٠٠ = {}^{٢}(١٠)$

نحسب ثانياً مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

المجموع = ${}^{٢}(٨) + {}^{٢}(٦)$

المجموع = ${٦٤} + {٣٦}$

$١٠٠ = {٦٤} + {٣٦}$

بما أن مربع الضلع الأكبر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، نستنتج رياضياً أن المثلث قائم الزاوية.

القاعدة الهندسية تنص على أن المثلث القائم الزاوية المرسوم داخل دائرة تقع رؤوسه على محيطها، يكون وتره هو قطر الدائرة.

طول وتر المثلث القائم هنا هو الضلع الأطول والذي يساوي $١٠$.

بناءً على ذلك، قطر الدائرة الكلي يبلغ $١٠$.

المطلوب في السؤال هو إيجاد طول نصف قطر الدائرة، لذا نقسم القطر على $٢$.

نصف القطر = ${\dfrac{١٠}{٢}}$

$٥ = {\dfrac{١٠}{٢}}$

والإجابة هي $٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: ثلاثيات فيثاغورس والدائرة

نعلم من ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة أن الأطوال $٦$ و $٨$ و $١٠$ تشكل مثلثاً قائم الزاوية مباشرة دون الحاجة للتربيع المطول.

حيث أن هذه الأطوال هي مضاعفات للثلاثية الأساسية $٣$ و $٤$ و $٥$ بضربها في العدد $٢$.

بناءً على ذلك، الضلع الأطول $١٠$ يمثل الوتر حصراً في هذا المثلث.

القاعدة الهندسية تربط بين وتر المثلث القائم المحاط بدائرة وقطرها بحيث يتطابقان تماماً في الطول.

إذن القطر الكلي للدائرة يساوي $١٠$ وحدات.

لإيجاد نصف القطر، نقسم القيمة المستنتجة للقطر على $٢$.

نصف القطر = ${\dfrac{١٠}{٢}}$

$٥ = {\dfrac{١٠}{٢}}$

والإجابة هي $٥$

تكنيك ١: استخدام قانون مساحة المثلث

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

القانون: المساحة تساوي القاعدة مضروبة في الارتفاع مقسومة على اثنين.

من الشكل الهندسي، نستنتج أن طول قاعدة المثلث المظلل تساوي طول المستطيل الكلي مطروحاً منه الجزء غير المظلل المتواجد على نفس الامتداد.

طول القاعدة = $٤ = {٤} – {٨}$

ارتفاع المثلث هو نفس عرض المستطيل الرأسي ويساوي $٣$.

نعوض في قانون المساحة بالقيم المستنتجة.

المساحة = $٦ = {٣} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢: مساحة المستطيل مطروحاً منها مساحة الأجزاء غير المظللة

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة الشكل الكلي مطروحاً منها مساحات الأشكال الهندسية البيضاء (غير المظللة).

مساحة المستطيل الكلية تساوي الطول مضروباً في العرض.

المساحة الكلية = $٢٤ = {٣} \times {٨}$

الشكل غير المظلل عبارة عن شبه منحرف قائم الزاوية، قاعدته العلوية تساوي طول المستطيل، وقاعدته السفلية هي الجزء الأبيض، وارتفاعه هو عرض المستطيل.

القاعدة العلوية لشبه المنحرف تساوي $٨$، والقاعدة السفلية تساوي $٤$، والارتفاع يساوي $٣$.

قانون مساحة شبه المنحرف: مجموع القاعدتين مقسوماً على اثنين، مضروباً في الارتفاع.

مساحة شبه المنحرف = $١٨ = {٣} \times {\dfrac{{٤} + {٨}}{٢}}$

المساحة المظللة تساوي المساحة الكلية للمستطيل مطروحاً منها مساحة شبه المنحرف غير المظلل.

المساحة المظللة = $٦ = {١٨} – {٢٤}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.

نصيغ معادلة المحيط بجمع الأضلاع ومساواتها بالقيمة المعطاة في السؤال.

المعادلة هي: $٢٧ = ({١} – س)٤ + ({١} + س٣) + ({٢} – س)$

نقوم بفك الأقواس بضرب العدد أربعة في المتغير س وفي العدد واحد.

يصبح القوس الثالث بعد الفك: $({٤} – س٤)$

نعيد كتابة المعادلة: $٢٧ = ({٤} – س٤) + ({١} + س٣) + ({٢} – س)$

نجمع الحدود المتشابهة للمتغير س: $س٨ = س٤ + س٣ + س$

نجمع الأعداد الصحيحة مع مراعاة الإشارات: $٥- = {٤}- {١} + {٢}-$

تصبح المعادلة المبسطة: $٢٧ = {٥} – س٨$

ننقل العدد خمسة للطرف الآخر مع تغيير إشارته إلى الموجب.

نجمع: $٣٢ = {٥} + {٢٧}$

تصبح المعادلة: $٣٢ = س٨$

نقسم الطرفين على معامل س وهو ثمانية.

الناتج: $٤ = {\dfrac{٣٢}{٨}}$

إذن قيمة س تساوي أربعة.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية التجريب والتعويض العكسي من الخيارات المتاحة.

نجرب الخيار الأول حيث نفترض أن قيمة المتغير س تساوي أربعة.

نعوض في طول الضلع الأول: $٢ = {٢} – {٤}$

نعوض في طول الضلع الثاني: $١٣ = {١} + ({٤})٣$

نعوض في طول الضلع الثالث: $١٢ = ({١} – {٤})٤$

نجمع أطوال الأضلاع الثلاثة للتحقق من المحيط.

المجموع: $٢٧ = {١٢} + {١٣} + {٢}$

بما أن المجموع يطابق المحيط المعطى في السؤال، فإن القيمة صحيحة.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١: التناسب في المثلثات المتداخلة

المفهوم الرياضي: في المثلثات المتداخلة المتشابهة، تتناسب أطوال أضلاع المثلث الصغير بشكل طردي مع أطوال أضلاع المثلث الكبير المتناظرة معها.

نحدد أبعاد المثلث الصغير من المعطيات الهندسية، حيث الارتفاع يساوي $٤$ والقاعدة تساوي المجهول $س$.

نحسب ارتفاع المثلث الكبير بجمع طولي الجزأين الرأسيين لإنشاء الضلع الكلي.

$١٠ = {٦} + {٤}$

نحدد قاعدة المثلث الكبير من المعطيات الموضحة في الشكل وهي تساوي $١٥$.

نكتب معادلة التناسب بوضع نسبة ارتفاعات المثلثين مساوية لنسبة قواعدهما.

${\dfrac{س}{١٥}} = {\dfrac{٤}{١٠}}$

نطبق خاصية الضرب التبادلي (المقص) لحل معادلة التناسب الكسرية وإيجاد قيمة المجهول.

${١٥} \times {٤} = {١٠} \times {س}$

نحسب ناتج عملية الضرب في الطرف الأيسر من المعادلة.

$٦٠ = س١٠$

نقسم كلا الطرفين على معامل المتغير المستقل وهو العدد $١٠$.

${\dfrac{٦٠}{١٠}} = س$

نستخرج الناتج النهائي لعملية القسمة لتمثيل طول القاعدة المجهولة.

$٦ = س$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢: التبسيط المسبق لنسبة التشابه

المفهوم الرياضي: تبسيط النسبة المعلومة مسبقاً قبل إيجاد المجاهيل لتسهيل العمليات الحسابية وتقليل حجم الأعداد المستخدمة في المعادلة.

نستخرج النسبة المباشرة بين الارتفاعين للمثلث الصغير والمثلث الكبير على التوالي.

${\dfrac{٤}{١٠}}$

نبسط الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو العدد $٢$.

${\dfrac{٢}{٥}} = {\dfrac{٤}{١٠}}$

نساوي الكسر المبسط بنسبة القواعد للمثلثين المتشابهين لإنشاء معادلة التكافؤ.

${\dfrac{س}{١٥}} = {\dfrac{٢}{٥}}$

نحلل العلاقة العددية بين المقامات، ونلاحظ أن المقام $٥$ قد ضُرب في العدد $٣$ لينتج $١٥$.

$١٥ = {٣} \times {٥}$

للحفاظ على التكافؤ الرياضي في التناسب، يتوجب علينا ضرب البسط $٢$ في نفس القيمة وهي العدد $٣$.

${٣} \times {٢} = س$

نحسب ناتج عملية الضرب للحصول على القيمة النهائية للمتغير.

$٦ = س$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المثلثات التي تشترك في الارتفاع وتتطابق في أطوال قواعدها تكون متساوية ومتطابقة في المساحة.

نكتب قانون المساحة: المساحة تساوي الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة مضروباً في الارتفاع

من خلال الفحص البصري للمعطيات الهندسية المرفقة، نلاحظ وجود علامات تطابق صريحة على القطعتين (أ ج) و (ج و).

هذا يعني رياضياً أن طول القاعدة (أ ج) يتساوى تماماً مع طول القاعدة (ج و).

بما أن المثلثين (أ ج د) و (ج و د) يشتركان في الرأس (د) وقواعدهما تقع على نفس الخط المستقيم المجاور، فإن الارتفاع الساقط من (د) مشترك لهما.

بما أن القاعدة الأولى تساوي القاعدة الثانية، والارتفاع مشترك، نستنتج جبرياً أن المساحتين متطابقتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري المباشر بالمتغيرات لإثبات التكافؤ بين التعبيرين الرياضيين.

نفرض أن طول القاعدة (أ ج) يساوي المتغير المجرد $س$.

بناءً على علامات التطابق الهندسية، فإن طول القاعدة (ج و) يساوي أيضاً المتغير المجرد $س$.

نفرض أن الارتفاع المشترك للمثلثين يتم تمثيله بالمتغير المجرد $ع$.

نحسب مساحة القيمة الأولى بضرب المتغيرات: ${س} \times {ع} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نحسب مساحة القيمة الثانية بضرب المتغيرات: ${س} \times {ع} \times {\dfrac{١}{٢}}$

بمقارنة الناتجين، نجد أن التعبيرين الجبريين متطابقان تماماً ولا يوجد أي فرق يرجح كفة أحدهما.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: نظرية فيثاغورس وخصائص المثلث الثلاثيني الستيني.

نحسب أولاً طول الوتر في المثلث الأول القائم الزاوية، والذي يمتلك ضلعين بطول ثلاثة وأربعة، وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس.

مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

$٢٥ = {}^{٢}٤ + {}^{٢}٣$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين لاستنتاج طول الضلع المشترك.

$٥ = {\sqrt{٢٥}}$

في المثلث الثاني، نلاحظ أن الضلع الذي طوله خمسة يقابل الزاوية التي قياسها ثلاثين درجة.

من خصائص المثلث الثلاثيني الستيني القائم، طول الوتر يساوي ضعف طول الضلع المقابل للزاوية ثلاثين.

$١٠ = {٢} \times {٥}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التناسب المثلثي وقانون الجيب.

نستخرج طول الضلع المشترك بين المثلثين ليكون الأساس في حسابات المثلث الثاني.

$٥ = {\sqrt{٢٥}}$

بتطبيق قانون الجيب في المثلث الثاني القائم، فإن النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية ثلاثين والوتر تساوي النصف.

نرمز للوتر المجهول بالمتغير س.

$\dfrac{١}{٢} = \dfrac{٥}{س}$

بضرب الطرفين في المتغير س ثم في الرقم اثنين لعزل المتغير.

$١٠ = س$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١: استخدام نظرية فيثاغورس والمتطابقات الجبرية لتكوين نظام معادلات

المفهوم الرياضي: ربط نظرية فيثاغورس مع المتطابقة الجبرية لمربع مجموع حدين لاستنتاج حاصل ضرب ضلعي القائمة وحساب المساحة.

نكتب نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية المرفق.

${}^{٢}و = {}^{٢}ب + {}^{٢}أ$

نعوض بطول الوتر المعطى في السؤال.

${}^{٢}(١٣) = {}^{٢}ب + {}^{٢}أ$

نحسب مربع الوتر.

${١٦٩} = {}^{٢}ب + {}^{٢}أ$

المعادلة المعطاة في السؤال لمجموع طولي الضلعين.

$١٧ = ب + أ$

نربع طرفي معادلة الجمع لاستخدام المتطابقة الجبرية.

${}^{٢}(١٧) = {}^{٢}(ب + أ)$

نفك القوس المربع إلى ثلاثة حدود.

$٢٨٩ = {}^{٢}ب + ب \times أ \times {٢} + {}^{٢}أ$

نعيد ترتيب الحدود لجمع المربعات معاً.

$٢٨٩ = ب \times أ \times {٢} + ({}^{٢}ب + {}^{٢}أ)$

نعوض بقيمة مجموع المربعين المستخرجة من معادلة فيثاغورس.

$٢٨٩ = ب \times أ \times {٢} + {١٦٩}$

ننقل الرقم $١٦٩$ للطرف الآخر مع تغيير إشارته للطرح.

${١٦٩} – {٢٨٩} = ب \times أ \times {٢}$

نجري عملية الطرح لإيجاد قيمة الحد الأوسط.

$١٢٠ = ب \times أ \times {٢}$

نقسم الطرفين على الرقم $٢$ لإيجاد حاصل ضرب الضلعين.

$٦٠ = {٢} \div {١٢٠} = ب \times أ$

قانون مساحة المثلث القائم ينص على ضرب نصف القاعدة في الارتفاع.

المساحة = $ب \times أ \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بقيمة حاصل ضرب الضلعين في قانون المساحة.

المساحة = ${٦٠} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نحسب الناتج النهائي للضرب.

المساحة = $٣٠$

والإجابة هي $٣٠$

تكنيك ٢: الاستدلال من ثلاثيات فيثاغورس المشهورة

المفهوم الرياضي: الاعتماد على الأطوال الثابتة والمحفوظة لثلاثيات فيثاغورس لتسريع عملية الحل والوصول المباشر لقيم الأضلاع.

نبحث عن ثلاثية فيثاغورس شهيرة تحتوي على وتر طوله $١٣$.

الثلاثية المشهورة هي للأضلاع $٥$ و $١٢$ والوتر $١٣$.

نتحقق من شرط مجموع ضلعي القائمة المعطى في السؤال لضمان صحة الاستدلال.

مجموع الضلعين = $١٢ + ٥$

نحسب ناتج الجمع.

$١٧ = {١٢} + {٥}$

الشرط متحقق ومطابق للمعطيات، إذن طولا ضلعي القائمة هما الرقم $٥$ والرقم $١٢$.

نكتب قانون مساحة المثلث القائم.

المساحة = $ع \times ق \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بطولي الضلعين المستنتجين في قانون المساحة.

المساحة = ${١٢} \times {٥} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب طول القاعدة في الارتفاع أولاً للتبسيط.

$٦٠ = {١٢} \times {٥}$

نضرب الناتج في النصف لإيجاد المساحة النهائية.

$٣٠ = {٦٠} \times {\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $٣٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاستخدام المتسلسل لخصائص المثلث الثلاثيني الستيني ونظرية فيثاغورس لحل المثلثات المتجاورة.

نبدأ بالمثلث أ د ج، وهو مثلث قائم الزاوية ويحتوي على زاوية ٣٠ درجة عند الرأس ج.

طول الضلع أ د المقابل للزاوية ٣٠ درجة يساوي $٣$.

قاعدة المثلث الثلاثيني الستيني تنص على أن الوتر يساوي ضعف طول الضلع المقابل للزاوية ٣٠ درجة.

نحسب طول الوتر أ ج بضربه في الرقم اثنين.

$٦ = {٢} \times {٣}$

ننتقل الآن إلى المثلث الثاني أ ج هـ، وهو مثلث قائم الزاوية.

طول الضلع الأول أ ج يساوي $٦$، وطول الضلع الثاني ج هـ يساوي $٣$.

المطلوب هو إيجاد طول الوتر أ هـ، لذلك نطبق نظرية فيثاغورس.

نفرض أن الوتر أ هـ هو المتغير $س$.

مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين.

${}^{٢}س = {}^{٢}٣ + {}^{٢}٦$

نحسب مربع الرقم ستة ومربع الرقم ثلاثة.

${}^{٢}س = {٩} + {٣٦}$

نجمع القيمتين.

${}^{٢}س = ٤٥$

لإيجاد قيمة $س$، نأخذ الجذر التربيعي للرقم خمسة وأربعين.

$س = {\sqrt{٤٥}}$

نقوم بتبسيط الجذر التربيعي من خلال تحليله إلى عوامله، الرقم $٤٥$ يساوي $٩$ مضروبا في $٥$.

$س = {\sqrt{٥ \times ٩}}$

الجذر التربيعي للرقم $٩$ هو $٣$ ويخرج خارج الجذر كمعامل مستقل.

$س = {\sqrt{٥}}٣$

والإجابة هي ${\sqrt{٥}}٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق قوانين الجيب في المثلثات القائمة لاستنتاج الأضلاع المشتركة ثم استخدام عامل القياس المشترك لتسهيل إيجاد الوتر.

في المثلث القائم أ د ج، نطبق قانون جيب الزاوية (جا) للزاوية ٣٠ درجة.

جا(٣٠) = المقابل مقسوما على الوتر.

نعوض بقيمة الجيب والتي تساوي النصف، وبطول الضلع المقابل أ د والذي يساوي $٣$.

نفرض أن الوتر أ ج هو المتغير $ص$.

${\dfrac{١}{٢}} = {\dfrac{٣}{ص}}$

بضرب الطرفين في الوسطين لإيجاد قيمة $ص$.

$ص = {٢} \times {٣}$

$٦ = ص$

في المثلث أ ج هـ القائم الزاوية، الضلعان القائمان هما $٦$ و $٣$.

لحساب طول الوتر أ هـ، يمكننا سحب عامل مشترك لتسهيل الحسابات الرياضية وتجنب الأرقام الكبيرة.

الضلعان هما مضاعفات للرقم ثلاثة، حيث الضلع الأول يمثل النسبة $٢$ والضلع الثاني يمثل النسبة $١$.

نحسب وتر مثلث مصغر أضلاعه $٢$ و $١$ باستخدام فيثاغورس.

مربع الوتر المصغر = ${}^{٢}١ + {}^{٢}٢$

مربع الوتر المصغر = $١ + ٤$

مربع الوتر المصغر = $٥$

إذن، طول الوتر المصغر يساوي ${\sqrt{٥}}$.

نضرب هذا الناتج المصغر في العامل المشترك $٣$ للحصول على طول الوتر أ هـ الفعلي.

طول الوتر أ هـ = ${\sqrt{٥}} \times {٣}$

طول الوتر أ هـ = ${\sqrt{٥}}٣$

والإجابة هي ${\sqrt{٥}}٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التطابق بين المثلثات ومجموع زوايا المثلث الداخلية لإيجاد القياسات المجهولة.

ينص قانون مجموع زوايا المثلث على أن مجموع القياسات الداخلية لأي مثلث يساوي ١٨٠ درجة دائماً.

في المثلث و هـ د، لدينا زاويتان معلومتان من الشكل المرفق هما زاوية د وقياسها ٣١ درجة، وزاوية هـ وقياسها ٣٧ درجة.

نحسب قياس الزاوية الثالثة المجهولة و بطرح مجموع الزاويتين المعلومتين من ١٨٠.

الصيغة الرياضية للعملية: قياس الزاوية و = $({٣٧} + {٣١}) – {١٨٠}$.

نعوض بالقيم ونجمع أولاً ما بداخل الأقواس: $١١٢ = {٦٨} – {١٨٠}$. إذن قياس زاوية و هو ١١٢.

بما أن المثلثين ج ب أ و و هـ د متطابقان بحسب المعطيات، فإن الزوايا المتناظرة تكون متطابقة تماماً متساوية في القياس.

من علامات التطابق الهندسية الموضحة على الأضلاع، نجد أن الضلع أ ب يطابق الضلع د هـ حيث يحمل كل منهما علامة خط واحد.

الزاوية المقابلة للضلع أ ب في المثلث الأول هي الزاوية المطلوبة ج.

الزاوية المقابلة للضلع د هـ في المثلث الثاني هي الزاوية و التي أوجدنا قياسها.

إذن، نستنتج أن قياس الزاوية ج يساوي قياس الزاوية و ويساوي ١١٢ درجة بالتمام.

نقوم الآن بالمقارنة المنطقية بين القيمة الأولى والقيمة الثانية كما هو مطلوب في السؤال.

القيمة الأولى هي قياس الزاوية ج ويساوي ١١٢.

القيمة الثانية معطاة صراحة في نص السؤال وتساوي ١١١.

بما أن العدد ١١٢ أكبر من العدد ١١١، فإن القيمة الأولى المستنتجة أكبر من القيمة الثانية المعطاة.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التطابق العكسي واستنتاج الزوايا المجهولة عبر عملية الطرح المتسلسل.

ينص قانون زوايا المثلث على أن المجموع الكلي للزوايا الداخلية هو ١٨٠ درجة.

بدلاً من جمع الزاويتين المعلومتين أولاً، يمكننا إجراء طرح متسلسل لإيجاد الزاوية و في المثلث و هـ د.

نطرح الزاوية الأولى المعطاة من المجموع الكلي للمثلث: $١٤٩ = {٣١} – {١٨٠}$.

نطرح الزاوية الثانية المعطاة من الناتج الذي حصلنا عليه: $١١٢ = {٣٧} – {١٤٩}$.

إذن قياس الزاوية و هو ١١٢ درجة.

بالانتقال إلى المثلث أ ب ج، وبما أنه يطابق المثلث و هـ د تطابقاً تاماً في جميع الأضلاع، فإن الزوايا المقابلة للأضلاع المتطابقة تكون متطابقة.

الضلع أ ب يطابق الضلع د هـ. الزاوية المقابلة للضلع أ ب هي الزاوية ج، والزاوية المقابلة للضلع د هـ هي الزاوية و.

بناءً على ذلك التطابق، نستنتج أن قياس الزاوية ج يساوي ١١٢ درجة.

نصل الآن إلى خطوة المقارنة النهائية بين القيمتين الواردتين في الخيارات.

القيمة الأولى تم استنتاجها حسابياً وهي ١١٢.

القيمة الثانية معطاة كثابت في السؤال وهي ١١١.

بمقارنة العددين رياضياً، يتضح بشكل قاطع أن القيمة الأولى أكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: لا يمكن المقارنة بين أطوال أضلاع تقع في مضلعات منفصلة تماماً ما لم تتوفر معطيات هندسية صريحة تربط بينها كنسب أو أطوال أو أضلاع مشتركة.

لدينا في نص السؤال مثلثان منفصلان، الأول يحتوي على القطعة المستقيمة $ب \ أ$ والثاني يحتوي على القطعة المستقيمة $ج \ د$.

قياسات الزوايا الداخلية للمثلث الأول أو الثاني لا تعطي أي دلالة حقيقية على طول الأضلاع الفعلية.

فقد يكون المثلث الأول مجسماً صغيراً جداً، بينما يكون المثلث الثاني مجسماً ضخماً، أو العكس صحيح.

غياب أي قيمة عددية لأطوال الأضلاع يمنعنا كلياً من تحديد أي علاقة رياضية منضبطة بين المثلثين المذكورين.

وبالتالي لا يمكن إجراء المقارنة الهندسية المطلوبة لعدم توفر معطيات كافية تربط بين القیمتين.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التشابه بين المثلثات يحدد فقط التناسب بين الأضلاع، ولكنه لا يحدد التطابق أو الأطوال المطلقة للأضلاع.

حتى لو افترضنا وجود تشابه بين المثلثين بناءً على تطابق الزوايا، فإن معامل التكبير أو التصغير مجهول تماماً في هذا السياق.

هندسياً، يمكن رسم عدد لا نهائي من المثلثات التي تمتلك نفس القياسات للزوايا ولكن بأطوال أضلاع مختلفة كلياً.

لذا لا يوجد أي أساس رياضي أو استنتاجي يمكننا من خلاله معرفة القيمة الأكبر بين طول القطعة $ب \ أ$ وطول القطعة $ج \ د$.

يجب التوقف عن الاستنتاج الوهمي ورفض المقارنة لقصور البيانات.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١: حساب مساحة كل مثلث بشكل مستقل ثم إيجاد الفرق بينهما

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة المثلث الأول متطابق الأضلاع، وحساب مساحة المثلث الثاني القائم الزاوية بشكل منفصل، ثم طرح المساحة الصغرى من المساحة الكبرى.

الخطوة الأولى: حساب مساحة المثلث الأول متطابق الأضلاع.

طول ضلع المثلث الأول المعطى في الشكل يساوي $٤$.

نطبق قانون مساحة المثلث متطابق الأضلاع: مربع طول الضلع مضروباً في جذر ثلاثة ومقسوماً على أربعة.

مساحة المثلث الأول = ${\dfrac{\sqrt{٣}}{٤}} \times {{}^{٢}٤}$

مربع العدد أربعة هو ستة عشر، وعند قسمته على أربعة يصبح الناتج أربعة، ويبقى الجذر كما هو.

مساحة المثلث الأول = ${\sqrt{٣}}٤$

الخطوة الثانية: حساب مساحة المثلث الثاني القائم الزاوية.

من المعطيات، المثلث هو مثلث قائم الزاوية ثلاثيني ستيني، ويحتوي على زاوية قياسها ستون درجة.

طول الضلع المجاور للزاوية ستين في القاعدة يساوي $٤$.

استناداً لخصائص المثلث الثلاثيني الستيني، طول الضلع المقابل للزاوية ستين يساوي طول الضلع المجاور مضروباً في جذر ثلاثة.

الارتفاع للمثلث الثاني (الضلع المقابل) = ${\sqrt{٣}}٤ = {\sqrt{٣}} \times {٤}$

نحسب مساحة المثلث الثاني باستخدام القانون العام: نصف طول القاعدة في الارتفاع.

مساحة المثلث الثاني = ${{\sqrt{٣}}٤} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نصف العدد أربعة هو اثنان، نضربه في أربعة جذر ثلاثة للحصول على المساحة.

مساحة المثلث الثاني = ${\sqrt{٣}}٨$

الخطوة الثالثة: إيجاد الفرق المطلوب بين المساحتين.

الفرق = مساحة المثلث الثاني الكبرى مطروحاً منها مساحة المثلث الأول الصغرى.

الفرق = ${{\sqrt{٣}}٤} – {{\sqrt{٣}}٨}$

نطرح المعاملات العددية ونحافظ على الجذر المشترك كما هو.

الناتج النهائي = ${\sqrt{٣}}٤$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٤$

تكنيك ٢: صياغة عبارة رياضية مركبة للفرق والتبسيط المباشر

المفهوم الرياضي: يمكننا كتابة عبارة الفرق الرياضية بين قانوني المساحتين في معادلة واحدة، ثم استخدام العامل المشترك لتبسيط العمليات الحسابية.

الفرق بين المساحتين يساوي مساحة المثلث الأكبر ناقص مساحة المثلث الأصغر.

نصيغ المعادلة المركبة للتعويض المباشر في الطرفين.

الفرق = $({{\dfrac{\sqrt{٣}}{٤}} \times {{}^{٢}٤}}) – ({{\sqrt{٣}}٤} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}})$

نبسط القوس الأيمن الخاص بالمثلث الأكبر بإيجاد نصف الأربعة وضربها بالارتفاع.

ناتج القوس الأيمن يساوي ${\sqrt{٣}}٨$.

نبسط القوس الأيسر الخاص بالمثلث الأصغر بتربيع الأربعة والقسمة.

ناتج القوس الأيسر يساوي ${\sqrt{٣}}٤$.

نعيد صياغة معادلة الطرح بعد التبسيط المرحلي للكتل.

الفرق = ${{\sqrt{٣}}٤} – {{\sqrt{٣}}٨}$

نجري عملية الطرح الجبرية بسحب الجذر المعزول كعامل مشترك لتسهيل طرح المعاملات.

الفرق = ${\sqrt{٣}}({٤} – {٨})$

نطرح الأرقام داخل القوس ونضربها في الجذر.

الناتج النهائي = ${\sqrt{٣}}٤$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المثلث متطابق الضلعين، حيث تتساوى أطوال الأضلاع التي تحمل علامات التطابق الهندسية.

من الشكل المرفق، نلاحظ وجود علامتي تطابق على الضلعين اللذين قياسهما يعطى بقيمتين إحداهما معلومة والأخرى مجهولة.

الضلع الأول يبلغ طوله ثلاثة عشر، والضلع الثاني معادلته هي خمسة س زائد ثلاثة.

نصيغ معادلة المساواة بين الضلعين: $١٣ = {٣} + س٥$

نطرح العدد ثلاثة من الطرفين لنقل الثوابت في جهة واحدة.

الطرف الأيمن يصبح: $١٠ = {٣} – {١٣}$

تنتج المعادلة: $١٠ = س٥$

نقسم الطرفين على العدد خمسة لإيجاد قيمة المتغير س.

الناتج: $٢ = {\dfrac{١٠}{٥}}$

نعوض بقيمة س لاستنتاج طول الضلع الثالث المتبقي في القاعدة.

معادلة الضلع الثالث: $٥ = {٣} – ({٢})٤$

الآن نجمع أطوال الأضلاع الثلاثة لحساب المحيط الإجمالي.

الأضلاع هي: ثلاثة عشر، وثلاثة عشر، وخمسة.

المحيط: $٣١ = {٥} + {١٣} + {١٣}$

والإجابة هي $٣١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحليل المنطقي والتعويض المباشر استناداً لمعطيات التطابق.

بما أن المثلث متطابق الضلعين، فإن طول الضلع الثاني يجب أن يساوي ثلاثة عشر حتماً.

نختبر ذهنياً القيمة التي تجعل المعادلة صحيحة: $١٣ = {٣} + س٥$

القيمة الوحيدة المنطقية للمتغير س هي اثنان، لأن حاصل ضرب خمسة في اثنين يضاف إليه ثلاثة يساوي ثلاثة عشر.

نعوض بالعدد اثنين في قاعدة الضلع الثالث: $٥ = {٣} – ({٢})٤$

نحسب المحيط بجمع الضلعين المتطابقين مع القاعدة.

العملية: $٣١ = {٥} + {١٣} + {١٣}$

والإجابة هي $٣١$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط المثلث، والمعادلات الجذرية، ثم المقارنة المباشرة بين التعبيرات الكسرية.

محيط المثلث يساوي ثمانية وعشرين، وهو مجموع أضلاعه الثلاثة.

نجمع الأضلاع المعلومة أولاً: $٢٥ = {١٣} + {١٢}$

نطرح هذا المجموع من المحيط الكلي لإيجاد قيمة الضلع الثالث المجهول.

الضلع الثالث: $٣ = {٢٥} – {٢٨}$

نساوي التعبير الجذري للضلع الثالث بالقيمة المستنتجة.

المعادلة: $٣ = {\sqrt{س + {١}}}$

نربع الطرفين للتخلص من الجذر التربيعي: ${}^{٢}(٣) = {}^{٢}({\sqrt{س + {١}}})$

المعادلة بعد التربيع: $٩ = س + {١}$

نطرح واحد من الطرفين لإيجاد المتغير: $٨ = {١} – {٩}$

إذن، قيمة س تساوي ثمانية.

نبدأ الآن بتقييم القيمة الأولى بالتعويض عن س.

القيمة الأولى: $٥ = {١} + {٤} = {١} + {\dfrac{٨}{٢}}$

نقيم القيمة الثانية بالتعويض عن س في التعبير الجذري الكسري.

القيمة الثانية: $١،٥ = {\dfrac{٣}{٢}} = {\dfrac{\sqrt{٨ + {١}}}{٢}}$

بمقارنة الناتجين، نجد أن العدد خمسة أكبر قطعيًا من العدد واحد ونصف.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية التبسيط المنطقي والمقارنة دون الحاجة لحل المتغير بشكل منفصل.

بناءً على معطيات المحيط، نعلم أن الضلع الثالث الممثل بالجذر التربيعي يساوي ثلاثة.

قيمة الجذر: $٣ = {\sqrt{س + {١}}}$

القيمة الثانية في سؤال المقارنة تمثل نصف هذه القيمة الجذرية تماماً.

بقسمة ثلاثة على اثنين نحصل على واحد ونصف للقيمة الثانية مباشرة دون إيجاد س.

حساب القيمة الثانية: $١،٥ = {\dfrac{٣}{٢}}$

لإيجاد القيمة الأولى، نربع طرفي معادلة الجذر للحصول على قيمة المتغير س.

تربيع الطرفين يعطي: $٩ = س + {١}$

ومنه نستنتج أن المتغير س يساوي ثمانية.

نعوض في التعبير الخاص بالقيمة الأولى، وهو نصف س مضافاً إليه واحد.

حساب القيمة الأولى: $٥ = {١} + {\dfrac{٨}{٢}}$

عند المقارنة، القيمة الأولى وهي خمسة تتفوق بشكل واضح على القيمة الثانية وهي واحد ونصف.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التحليل التجميعي للمساحات وعلاقة الجزء بالكل في الأشكال الهندسية المركبة.

المثلث الكبير $د$ $ج$ $ب$ هو عبارة عن مضلع يتكون من مجموع مساحتي المثلثين الصغيرين المتجاورين $د$ $ج$ $أ$ و $د$ $أ$ $ب$.

من خلال التحليل الهندسي السابق، أثبتنا أن مساحة المثلث $د$ $ج$ $أ$ مطابقة تماماً لمساحة المثلث $د$ $أ$ $ب$.

بناءً على ذلك، مساحة المثلث الكبير $د$ $ج$ $ب$ تُعادل مرتين مساحة أحد المثلثين الصغيرين.

القيمة الأولى تمثل مساحة المثلث الكبير بأكمله، بينما القيمة الثانية تمثل مساحة المثلث الصغير مضروبة في العدد $٢$.

بما أن الكل يساوي مجموع أجزائه المتساوية، فإن القيمتين تمثلان نفس المقدار الرياضي.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري المفصل بقانون المساحة وتجميع الحدود المتشابهة لتأكيد التطابق.

طول قاعدة المثلث الكبير $د$ $ج$ $ب$ يتكون من دمج القطعتين، أي أنه يساوي $س$ مضافاً إليه $س$.

إذن طول القاعدة الكلية يُصاغ كمتغير جبري وهو $س٢$.

مساحة المثلث الكبير تُحسب بضرب القاعدة في الارتفاع وفي النصف، لتصبح المعادلة الأولية: $ع \times {س٢} \times \dfrac{١}{٢}$.

بعد تبسيط المعادلة باختصار الرقم $٢$ مع النصف، تصبح المساحة النهائية للمثلث الكبير تساوي $ع \times س$.

بالانتقال للقيمة الثانية، يُطلب منا ضرب مساحة المثلث $د$ $ج$ $أ$ في العدد $٢$.

مساحة المثلث $د$ $ج$ $أ$ المجردة تُصاغ بالمعادلة: $ع \times س \times \dfrac{١}{٢}$.

عند ضرب هذه المساحة في العدد $٢$، نكتب المعادلة كالتالي: $ع \times س \times {\dfrac{١}{٢}} \times ٢$.

يتم اختصار العدد $٢$ في البسط مع العدد $٢$ في المقام لتتبسط المعادلة.

الناتج النهائي للقيمة الثانية يصبح مساوياً للمقدار $ع \times س$.

بمقارنة النواتج النهائية المبسطة، نجد أن المقدارين متطابقان جبرياً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون مساحة المثلث والعلاقة المباشرة بين المساحات والقواعد عند ثبات الارتفاع.

ينص القانون الرياضي على أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

بما أن المثلثين محصوران بين مستقيمين متوازيين، فإن المسافة العمودية بينهما ثابتة، وبالتالي الارتفاع لهما ثابت ومتساوٍ.

بالنظر إلى المعطيات المتوفرة، طول قاعدة المثلث $أ$ $ب$ $ج$ يساوي $٣$.

طول قاعدة المثلث $د$ $و$ $هـ$ يساوي $٢$.

بما أن الارتفاع ثابت لكلا المثلثين، فإن المثلث صاحب القاعدة الأطول يمتلك المساحة الأكبر بالضرورة.

عند مقارنة القيمتين، نجد جبرياً أن العدد $٣$ أكبر من العدد $٢$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: النسبة والتناسب بين مساحات المثلثات المشتركة في الارتفاع لتقييم المقدار.

عند ثبات الارتفاع، تكون النسبة الجبرية بين مساحتي مثلثين مطابقة للنسبة بين طولي قاعدتيهما.

لحساب نسبة مساحة المثلث الأول مقسومة على مساحة المثلث الثاني، نقسم قاعدتيهما فنحصل على الكسر $\dfrac{٣}{٢}$.

بما أن البسط في هذا الكسر أكبر من المقام، فإن القيمة النهائية للكسر أكبر من العدد $١$.

هذا يثبت رياضياً أن المقسوم (وهو مساحة المثلث الأول) أكبر من المقسوم عليه (وهو مساحة المثلث الثاني).

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: التحليل الجبري لمجموع الأضلاع وتقسيم المحيط

المفهوم الرياضي: محيط المثلث هو حاصل جمع أطوال أضلاعه الثلاثة، وفي المثلث مختلف الأضلاع، لا يوجد أي ضلعين متساويين في الطول قطعياً.

نعلم من المعطيات المباشرة أن المحيط الإجمالي للمثلث يساوي $٢١$ سم، وأن طول الضلع الأكبر فيه يساوي $٨$ سم.

لإيجاد مجموع طولي الضلعين المتبقيين المجهولين، نقوم بطرح طول الضلع الأكبر من المحيط الكلي.

${١٣} = {٨} – {٢١}$

الآن لدينا ضلعان مجهولان مجموعهما معاً يساوي $١٣$ سم.

بما أن المثلث يوصف بأنه مختلف الأضلاع وأن أكبر أضلاعه على الإطلاق هو $٨$، يجب أن يكون طول كل من هذين الضلعين أقل من $٨$ وأن يكونا قيمتين مختلفتين.

نبحث رياضياً عن عددين صحيحين مختلفين، بحيث يكون كل منهما أصغر من $٨$، ومجموعهما الإجمالي يساوي $١٣$.

إذا افترضنا أن أحد الضلعين يمثل أقصى قيمة ممكنة وأقل من $٨$ مباشرة، وهو الرقم $٧$.

نقوم بطرح هذا الضلع المقترح من المجموع المتبقي لإيجاد طول الضلع الثالث.

${٦} = {٧} – {١٣}$

لقد حصلنا على الضلعين $٦$ و $٧$. وهما ضلعان مختلفان هندسياً، وكلاهما أصغر من الضلع الأكبر المعلوم وهو $٨$.

لو أردنا التحقق وجربنا افتراض قيمتين أخريين أقل من $٨$، مثل افتراض أن أحد الأضلاع هو $٥$.

سيكون الضلع الآخر هو ناتج طرح $٥$ من المجموع $١٣$.

${٨} = {٥} – {١٣}$

هذا الافتراض مرفوض رياضياً لأن الضلع الآخر سيصبح $٨$، وهذا يتناقض مع حقيقة أن المثلث مختلف الأضلاع وأن هناك ضلعاً واحداً فقط هو الأكبر وطوله $٨$.

إذن، أطوال أضلاع المثلث الصحيحة والدقيقة هي $٦$ و $٧$ و $٨$.

بما أن السؤال يطلب إيجاد طول أصغر الأضلاع، فإن القيمة الصغرى بين هذه الأضلاع المستنتجة هي $٦$.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢: الاستبعاد المنطقي بناءً على خصائص التباين للأضلاع

المفهوم الرياضي: في المثلث مختلف الأضلاع، تتباين جميع أطوال الأضلاع ولا تتكرر، ويحكم مجموع هذه الأضلاع قيمة المحيط الثابتة.

بما أن المحيط ثابت ويساوي $٢١$ والضلع الأكبر محدد بقيمة $٨$، فإن مجموع الضلعين الأصغر والأوسط معاً هو ناتج عملية الطرح الآتية.

${١٣} = {٨} – {٢١}$

لنختبر الخيارات المتاحة في السؤال لتمثل الضلع الأصغر، ونرى أيها يحقق شروط المثلث مختلف الأضلاع.

نبدأ باختبار الخيار الأول وهو $٤$. إذا افترضنا أن الضلع الأصغر هو $٤$، فإن الضلع الأوسط سيكون ناتج طرح $٤$ من المجموع $١٣$.

${٩} = {٤} – {١٣}$

هذا الاستنتاج مستحيل رياضياً ومرفوض، لأن الضلع الأوسط سيصبح $٩$ وهو بذلك سيكون أكبر من الضلع الأكبر المعطى أساساً وهو $٨$.

ننتقل لاختبار الخيار الأخير وهو $٨$. من المستحيل منطقياً أن يكون الضلع الأصغر هو $٨$ لأن الضلع الأكبر هو $٨$ والمثلث مختلف الأضلاع ولا يحوي أضلاعاً متطابقة.

نختبر الخيار الثالث وهو $٧$. إذا افترضنا أن الضلع الأصغر هو $٧$، فإن الضلع الأوسط سيكون ناتج طرح $٧$ من المجموع $١٣$.

${٦} = {٧} – {١٣}$

هذا الفرض يتناقض مع نفسه، لأنه يفترض أن $٧$ هو الضلع الأصغر، بينما ظهر لنا ضلع آخر أصغر منه وهو $٦$.

يتبقى لدينا الخيار الثاني فقط وهو $٦$. إذا افترضنا أن الضلع الأصغر هو $٦$، فإن الضلع الأوسط سيكون ناتج الطرح التالي.

${٧} = {٦} – {١٣}$

هنا نجد أن الترتيب الهندسي صحيح ومنطقي تماماً: الضلع الأصغر هو $٦$، والضلع الأوسط هو $٧$، والضلع الأكبر هو $٨$. وجميعها أضلاع مختلفة ومجموعها الكلي يساوي $٢١$.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توظيف الأضلاع المشتركة والتطابق الهندسي لربط أطوال الأضلاع ببعضها داخل الأشكال الهندسية المركبة.

من خلال قراءة المعطيات الهندسية للمثلث العلوي، نلاحظ وجود علامات التطابق التي تؤكد أن طول القطعة $ب \ أ$ يساوي طول القطعة $د \ أ$.

في المثلث السفلي، نلاحظ وجود زاوية قائمة، مما يعني أن المثلث السفلي هو مثلث قائم الزاوية.

القطعة المستقيمة $ب \ أ$ تقابل الزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٣٠$ في هذا المثلث السفلي.

بينما القطعة المستقيمة $ج \ ب$ تقابل الزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٦٠$ لأن الزاوية الثالثة في المثلث السفلي مكملة وقيمتها ${}^{\circ}٩٠$.

حسب المفهوم الرياضي للمثلثات، الضلع المقابل للزاوية الأكبر يكون دائماً هو الأطول، إذن طول القطعة $ج \ ب$ أكبر قطعاً من طول القطعة $ب \ أ$.

وبما أننا استنتجنا مسبقاً من التطابق أن طول القطعة $ب \ أ$ يساوي طول القطعة $د \ أ$.

يمكننا التعويض المباشر لنصل إلى أن طول القطعة $ج \ ب$ أكبر من طول القطعة $د \ أ$.

وهذا يؤكد تفوق القيمة الأولى على القيمة الثانية رياضياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص المتباينات في المثلث القائم والتعويض المباشر بالمعادلات للوصول إلى العلاقة بين القيمتين.

من المثلث المتطابق الضلعين نستنتج المعادلة الهندسية المباشرة التالية: $طول \ د \ أ = طول \ ب \ أ$.

في المثلث الثلاثيني الستيني، طول الضلع المقابل للزاوية ${}^{\circ}٦٠$ يساوي طول الضلع المقابل للزاوية ${}^{\circ}٣٠$ مضروباً في الجذر التربيعي للعدد ثلاثة.

إذن تُصاغ المعادلة كالتالي: $طول \ ج \ ب = {طول \ ب \ أ} \times {\sqrt{٣}}$.

بما أن قيمة الجذر التربيعي للعدد ثلاثة تتجاوز الواحد الصحيح، فإن حاصل الضرب سيجعل طول القطعة $ج \ ب$ أكبر من طول القطعة $ب \ أ$ بمفردها.

نقوم الآن بتنفيذ عملية استبدال جَبرية؛ نعوض عن طول القطعة $ب \ أ$ بقيمتها المطابقة وهي طول القطعة $د \ أ$.

النتيجة الحتمية للاستبدال تثبت أن طول القطعة $ج \ ب$ يظل الأكبر مقارنة بطول القطعة $د \ أ$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المثلث قائم الزاوية عن طريق استنتاج الزوايا الداخلية باستخدام خصائص الزوايا المتقابلة بالرأس والزوايا المكملة.

نوجد الزاوية الداخلية الأولى للمثلث والتي تقابل الزاوية المعطاة بالرأس، والزوايا المتقابلة بالرأس متساوية، إذن الزاوية الأولى تساوي $٣٠$.

نوجد الزاوية الداخلية الثانية باستخدام خصائص الزوايا المكملة المتجاورة على خط مستقيم.

الزاوية المكملة للزاوية $١٢٠$ تساوي ناتج طرحها من $١٨٠$.

المعادلة: ${٦٠} = {١٢٠} – {١٨٠}$.

نحسب الزاوية الثالثة في المثلث، ومجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي $١٨٠$.

المعادلة: ${٩٠} = ({٦٠} + {٣٠}) – {١٨٠}$.

بما أن إحدى الزوايا تساوي $٩٠$، فإن المثلث قائم الزاوية، وضلعاه المتعامدان يمثلان القاعدة والارتفاع.

من المعطيات في الشكل، طول القاعدة يساوي $١٤$ والارتفاع يساوي $٤$.

قانون مساحة المثلث يساوي نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع.

المعادلة الرمزية: $م = {ع} \times {ق} \times \dfrac{١}{٢}$.

نعوض بالقيم المعطاة في القانون.

المعادلة: ${٢٨} = {٤} \times {١٤} \times \dfrac{١}{٢}$.

والإجابة هي $٢٨$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام قانون الجيب لحساب مساحة المثلث بمعلومية طولي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.

من المعطيات الهندسية بعد استنتاج الزوايا الداخلية، لدينا مثلث طول ضلعيه $١٤$ و $٤$ والزاوية المحصورة بينهما تساوي $٩٠$.

قانون مساحة المثلث باستخدام الجيب ينص على أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب طولي الضلعين في جيب الزاوية المحصورة.

المعادلة الرمزية: $م =$ جا$(س) \times {ب} \times {أ} \times \dfrac{١}{٢}$.

نعوض بقيم الأضلاع والزاوية في القانون بشكل مباشر.

قيمة جيب الزاوية $٩٠$ تساوي $١$.

المعادلة: ${٢٨} = {١} \times {٤} \times {١٤} \times \dfrac{١}{٢}$.

والإجابة هي $٢٨$.

تكنيك ١: استخدام نظرية فيثاغورس جبرياً

المفهوم الرياضي: استخدام نظرية فيثاغورس للمثلثات القائمة الزاوية لحساب طول الضلع المجهول عبر صياغة معادلة رياضية.

من خلال المعطيات الهندسية البصرية، لدينا مثلث قائم الزاوية، طول الوتر فيه يساوي $١٠،٢$ وطول أحد ضلعي القائمة يساوي $٦،٢$.

نطبق قانون فيثاغورس الذي ينص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة.

نقوم بصياغة المعادلة لتمثيل الضلع المجهول والذي سنرمز له بالمتغير (س).

${}^{٢}(١٠،٢) = {}^{٢}(٦،٢) + {{}^{٢}س}$

نعزل المتغير (س) بنقله للطرف الآخر، مع مراعاة تغيير إشارة المتغير المنقول للطرف الآخر.

${{}^{٢}س} = {}^{٢}(٦،٢) – {}^{٢}(١٠،٢)$

نطبق قانون الفرق بين مربعين لتسهيل العملية الحسابية دون الحاجة لتربيع الأعداد العشرية بشكل مباشر.

${{}^{٢}س} = ( {٦،٢} – {١٠،٢} ) \times ( {٦،٢} + {١٠،٢} )$

نحسب ناتج الطرح أولاً للحدين داخل القوس الأول، ونعتبر الحد الذي في اليمين هو المطروح منه.

${٤} = {٦،٢} – {١٠،٢}$

ثم نحسب ناتج الجمع للحدين داخل القوس الثاني.

${١٦،٤} = {٦،٢} + {١٠،٢}$

نضرب الناتجين ببعضهما للحصول على قيمة مربع الضلع المجهول.

${{}^{٢}س} = {٤} \times {١٦،٤}$

${{}^{٢}س} = {٦٥،٦}$

الآن، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد القيمة المجردة للمتغير (س).

${س} = {\sqrt{٦٥،٦}}$

نبحث عن المربعات الكاملة التي تحيط بالرقم $٦٥،٦$ لتقدير قيمته العددية.

بما أننا نعلم من جدول الضرب أن ${\sqrt{٦٤}}$ يساوي $٨$، وأن ${\sqrt{٨١}}$ يساوي $٩$.

نجد أن القيمة $٦٥،٦$ تقع رياضياً بين الرقمين $٦٤$ و $٨١$.

وبالتالي، فإن الجذر التربيعي للرقم $٦٥،٦$ يقع حتماً بين الرقمين $٨$ و $٩$.

والإجابة هي $٨ ، ٩$

تكنيك ٢: التقدير التقريبي واستبعاد الخيارات (مهارة الحل السريع)

المفهوم الرياضي: استنتاج قيمة الضلع الثالث من خلال تقدير مربعات الأعداد القريبة واستبعاد النواتج غير المنطقية.

لدينا من المعطيات طول الوتر الذي يبلغ $١٠،٢$ وطول الضلع الرأسي الذي يبلغ $٦،٢$.

نقرب الأرقام المعطاة إلى أقرب عدد صحيح لتسهيل الحساب الذهني المباشر.

نعتبر تقريبياً أن الوتر يساوي $١٠$ والضلع الرأسي يساوي $٦$.

نطبق قانون فيثاغورس ذهنياً على هذه الأرقام المقربة.

${}^{٢}(١٠) = {}^{٢}(٦) + {{}^{٢}س}$

${١٠٠} = {٣٦} + {{}^{٢}س}$

نطرح العدد $٣٦$ من الطرفين لعزل المتغير المجهول.

${{}^{٢}س} = {٣٦} – {١٠٠}$

${{}^{٢}س} = {٦٤}$

نستخرج الجذر التربيعي للطرفين.

${س} = {\sqrt{٦٤}}$

${س} = {٨}$

بما أن الأطوال الأصلية تحتوي على كسور عشرية موجبة وتحديداً (فاصلة اثنين)، فإن الناتج الدقيق سيكون أكبر بقليل من النتيجة المقربة $٨$.

بالنظر إلى الخيارات المتاحة في السؤال، الخيار الوحيد الذي يمثل قيمة أكبر من $٨$ ويبدأ منها هو الخيار الذي يحصر القيمة العددية بين $٨$ و $٩$.

والإجابة هي $٨ ، ٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المثلث متطابق الأضلاع من خلال إثبات تطابق أضلاعه باستخدام الزوايا المكملة.

نلاحظ من الشكل أن المثلث يحتوي على ضلعين متطابقين طول كل منهما يساوي $٤$.

الزاوية الخارجية المعطاة تساوي $١٢٠$، ونوجد الزاوية الداخلية المجاورة لها على الخط المستقيم لأنها مكملة لها.

المعادلة: ${٦٠} = {١٢٠} – {١٨٠}$.

بما أن المثلث متطابق الضلعين ويحتوي على زاوية قياسها $٦٠$، فإنه بالضرورة مثلث متطابق الأضلاع.

طول كل ضلع من أضلاع هذا المثلث المتطابق الأضلاع يساوي $٤$.

قانون مساحة المثلث متطابق الأضلاع يساوي الجذر التربيعي للعدد ثلاثة مقسوماً على أربعة، مضروباً في مربع طول الضلع.

المعادلة الرمزية: $م = {}^{٢}ل \times \dfrac{\sqrt{٣}}{٤}$.

نعوض بطول الضلع في القانون الجبري.

نحسب مربع طول الضلع أولاً: ${١٦} = {}^{٢}{٤}$.

نضرب مربع طول الضلع في الكسر المخصص للقانون.

المعادلة: ${\sqrt{٣}}٤ = {١٦} \times \dfrac{\sqrt{٣}}{٤}$.

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٤$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة المثلث باستخدام قانون الجيب لضلعين وزاوية محصورة في مثلث متطابق الضلعين.

لدينا مثلث متطابق الضلعين، طول كل ضلع منهما يساوي $٤$.

استنتجنا سابقاً أن الزاوية الداخلية المحصورة بين الضلعين أو المجاورة لهما تساوي $٦٠$.

قانون المساحة ينص على ضرب نصف القاعدة في الضلع الآخر في جيب الزاوية المحصورة.

قيمة جيب الزاوية $٦٠$ ثابتة رياضياً وتساوي الجذر التربيعي للعدد ثلاثة مقسوماً على اثنين.

نعوض بقيم الأضلاع وجيب الزاوية في معادلة المساحة.

المعادلة: ${\sqrt{٣}}٤ = \dfrac{\sqrt{٣}}{٢} \times {٤} \times {٤} \times \dfrac{١}{٢}$.

نقوم بتبسيط الأعداد الصحيحة بضربها في الكسور المختصة بها.

المعادلة: ${\sqrt{٣}}٤ = \dfrac{\sqrt{٣}}{٢} \times {٨}$.

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٤$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام دالة ظل الزاوية (ظا) في المثلث القائم الزاوية لإيجاد الضلع المقابل بمعلومية الضلع المجاور.

من المعطيات الهندسية، لدينا مثلث قائم الزاوية في ب، ويحتوي على زاوية قياسها ٣٠ درجة عند الرأس ج.

طول الضلع ب ج المجاور للزاوية ٣٠ درجة يساوي $٦$.

المطلوب هو إيجاد طول الضلع أ ب، وهو الضلع المقابل للزاوية ٣٠ درجة.

قانون ظل الزاوية: ظا(الزاوية) = طول الضلع المقابل مقسوما على طول الضلع المجاور.

ظل الزاوية ٣٠ درجة يساوي واحد مقسوما على الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

نفرض أن طول الضلع أ ب هو المتغير $س$.

${\dfrac{س}{٦}} = {\dfrac{١}{\sqrt{٣}}}$

بضرب الطرفين في الوسطين (الضرب التبادلي) لإيجاد قيمة $س$.

$س = {\dfrac{٦}{\sqrt{٣}}}$

لإنطاق المقام، نضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

$س = {\dfrac{{\sqrt{٣}}٦}{{\sqrt{٣}} \times {\sqrt{٣}}}}$

$س = {\dfrac{{\sqrt{٣}}٦}{٣}}$

بقسمة الرقم ستة على الرقم ثلاثة نحصل على اثنين.

$س = {\sqrt{٣}}٢$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: خصائص المثلث الثلاثيني الستيني، حيث الضلع المقابل للزاوية ٦٠ درجة يساوي الضلع المقابل للزاوية ٣٠ درجة مضروبا في الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

بما أن المثلث قائم الزاوية في ب، والزاوية ج تساوي ٣٠ درجة، فإن الزاوية أ تساوي ٦٠ درجة.

الضلع ب ج هو الضلع المقابل للزاوية ٦٠ درجة، وطوله يساوي $٦$.

الضلع أ ب هو الضلع المقابل للزاوية ٣٠ درجة، ونفرض أنه المتغير $س$.

العلاقة الرياضية تنص على أن: طول الضلع الأكبر المقابل للزاوية ٦٠ = طول الضلع الأصغر المقابل للزاوية ٣٠ مضروبا في الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

$٦ = {\sqrt{٣}} \times {س}$

لإيجاد قيمة $س$، نقسم الطرفين على الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

$س = {\dfrac{٦}{\sqrt{٣}}}$

بإنطاق المقام عبر ضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي للرقم ثلاثة.

$س = {\dfrac{{\sqrt{٣}}٦}{٣}}$

$س = {\sqrt{٣}}٢$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: لا يمكن افتراض تطابق الأضلاع أو قياسات الزوايا من مجرد الشكل البصري دون وجود علامات هندسية صريحة توثق ذلك.

بالنظر والتدقيق في المعطيات المتوفرة للشكل البياني، نجد غياباً تاماً لأي علامات تشير إلى تطابق أضلاع في المثلث العلوي.

كما لا توجد أي دلالة أو علامة زاوية قائمة تثبت أن المثلث السفلي هو مثلث قائم الزاوية.

مجرد وجود زاوية وحيدة قياسها ${}^{\circ}٣٠$ لا يكفي رياضياً لمعرفة أطوال الأضلاع المقابلة دون معرفة قياسات الزوايا الأخرى أو وجود ضلع مشترك معلوم النسبة.

بسبب غياب هذه الروابط الهندسية الجوهرية، لا يمكننا بناء أي متباينة صحيحة بين طول القطعة $ج \ ب$ وطول القطعة $د \ أ$.

الاعتماد على النظر البصري مجرد من الدقة الجبرية، لذا لا توجد معطيات كافية لإجراء المقارنة بطريقة رصينة.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: اختبار الحالات القصوى والتشوهات الهندسية الممكنة لإثبات عدم ثبات العلاقة بين القيمتين المطلوب مقارنتهما.

هندسياً، يمكننا تخيل تغيير طول القطعة المستقيمة $ج \ ب$ ليصبح طويلاً جداً، مع الاحتفاظ الصارم بالزاوية ${}^{\circ}٣٠$ عن طريق تمديد الأضلاع المجاورة لها بحرية.

في هذه الحالة الافتراضية الأولى، ستتضخم القيمة الأولى بشكل يجعلها أكبر بكثير من القيمة الثانية.

في المقابل، يمكننا أيضاً رسم القطعة المستقيمة $ج \ ب$ قصيرة جداً بحيث تتقلص قيمتها لتصبح أقل بكثير من طول القطعة $د \ أ$.

وهذا التلاعب القصير يتم دون الإخلال بالمعطى الوحيد المتاح في الشكل وهو الزاوية ${}^{\circ}٣٠$.

في هذه الحالة الافتراضية الثانية، ستكون القيمة الثانية هي الأكبر.

بما أن العلاقة بين الضلعين تتأرجح وتتغير جذرياً بتغير الرسم الممكن رياضياً، فإن المعطيات غير قادرة على حسم النتيجة.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر المجهول.

القانون ينص على أن مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين.

نعوض بالأرقام المعطاة في المعادلة الجبرية.

المعادلة هي: ${}^{٢}س = {}^{٢}١٦ + {}^{٢}١٢$

نحسب مربع الضلع الأول بضربه في نفسه: $١٤٤ = {}^{٢}١٢$

نحسب مربع الضلع الثاني بضربه في نفسه: $٢٥٦ = {}^{٢}١٦$

نجمع المربعين للحصول على مربع الوتر: $٤٠٠ = {٢٥٦} + {١٤٤}$

نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد قيمة المتغير المجردة: $٢٠ = {\sqrt{٤٠٠}}$

هذا يمثل الطول الكلي للوتر المطلوب في الرسم الهندسي.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام مثلث فيثاغورس المشهور المبني على الأضلاع الثلاثة والأربعة والخمسة.

نبحث عن عامل مشترك أكبر بين طولي الضلعين المعطيين في السؤال وهما اثنا عشر وستة عشر.

نجد بالتحليل أن كلا العددين يقبل القسمة على الرقم أربعة.

الضلع الأول يمثل القيمة التالية: $١٢ = {٤} \times {٣}$

الضلع الثاني يمثل القيمة التالية: $١٦ = {٤} \times {٤}$

إذن الوتر يجب أن يكون مضاعفاً للرقم خمسة بنفس العامل المشترك وهو الرقم أربعة.

نحسب الوتر بعملية الضرب المباشرة: $٢٠ = {٤} \times {٥}$

هذا التكنيك يختصر الوقت والجهد في الحسابات الطويلة.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: خصائص المثلث القائم الزاوية ومتطابق الضلعين.

بما أن المثلث المعطى قائم الزاوية ومتطابق الضلعين، فإن زواياه الحادة تساوي خمسة وأربعين درجة.

طول أي من ضلعي القائمة يساوي طول الوتر مقسوماً على الجذر التربيعي للرقم اثنين.

قيمة الوتر المعطاة تساوي عشرة.

نقسم الوتر على الجذر التربيعي للرقم اثنين لإيجاد طول الضلع.

${\sqrt{٢}}٥ = \dfrac{١٠}{\sqrt{٢}}$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التطبيق الجبري لنظرية فيثاغورس.

مجموع مربعي ضلعي القائمة المتطابقين يساوي مربع طول الوتر.

نرمز لطول الضلع بالمتغير س، ونعوض في القانون.

$١٠٠ = {}^{٢}س + {}^{٢}س$

نجمع المتغيرات المتشابهة في الطرف الأيمن للمتغيرات.

$١٠٠ = {}^{٢}س٢$

نقسم الطرفين على الرقم اثنين.

$٥٠ = {}^{٢}س$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، مع تبسيط الجذر الناتج.

${\sqrt{٢}}٥ = س$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٥$

تكنيك ١: استنتاج النسبة عبر المتغيرات الثابتة

المفهوم الرياضي: استنتاج النسبة بين مساحتي مثلثين يشتركان في قاعدة هندسية واحدة عن طريق مقارنة الارتفاعات.

من خلال المعطيات، نلاحظ أن المثلثين (أ ب ج) و (ب د ج) يشتركان في قاعدة واحدة وهي الضلع (ب ج).

عند ثبات طول القاعدة هندسياً، تصبح العلاقة طردية تماماً بين مساحة المثلث وارتفاعه العمودي، مما يسمح باختزال المتغيرات الثابتة.

نكتب النسبة الرياضية المطلوبة بقسمة مساحة المثلث الأول على مساحة المثلث الثاني مع الالتزام بترتيب المعطيات.

النسبة المطلوبة = مساحة (ب د ج) $\div$ مساحة (أ ب ج)

نعوض بقيم الارتفاعات المعطاة حصراً، حيث ارتفاع المثلث (ب د ج) هو $٣$ وارتفاع المثلث الأكبر (أ ب ج) هو $٦$.

نقوم بصياغة الكسر الرياضي للنسبة العددية.

النسبة = ${\dfrac{٣}{٦}}$

نختصر الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو الرقم $٣$.

ينتج لدينا الكسر المبسط النهائي للنسبة المطلوبة.

النسبة = ${\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٢}$

تكنيك ٢: الافتراض العددي للمتغيرات المشتركة

المفهوم الرياضي: تعويض القاعدة المجهولة بقيمة عددية افتراضية لتسهيل الحساب والمقارنة واستنتاج النسبة بدقة.

بما أن القاعدة المشتركة (ب ج) مجهولة القيمة ولكنها ثابتة لكلا المثلثين، يمكننا افتراض أي رقم إيجابي لها دون الإخلال بالنتيجة.

لنفرض افتراضياً أن طول القاعدة (ب ج) يساوي $٢$ سم لتسهيل الحساب وتجنب الكسور المعقدة.

نحسب مساحة المثلث الأكبر (أ ب ج) بالتعويض بالارتفاع المعلوم $٦$ والقاعدة الافتراضية $٢$.

مساحة (أ ب ج) = ${٦} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

مساحة (أ ب ج) = $٦$

نحسب مساحة المثلث الثاني (ب د ج) بالتعويض بالارتفاع المعلوم $٣$ والقاعدة الافتراضية $٢$.

مساحة (ب د ج) = ${٣} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

مساحة (ب د ج) = $٣$

نقوم الآن بإيجاد النسبة المطلوبة بقسمة المساحة الثانية المستنتجة على المساحة الأولى المستنتجة.

النسبة = مساحة (ب د ج) $\div$ مساحة (أ ب ج)

النسبة = ${\dfrac{٣}{٦}}$

بتبسيط الكسر عبر قسمة الطرفين، نحصل على النتيجة النهائية المطابقة.

النسبة = ${\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٢}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: في أي مثلث، الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى، والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.

بما أن المثلث المعطى هو مثلث قائم الزاوية، فإن قياس إحدى زواياه يساوي ${}^{\circ}٩٠$.

مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مثلث ثابت ويساوي دائماً ${}^{\circ}١٨٠$.

الزاوية الحادة الأخرى هي مكملة لمجموع الزاويتين المعلومتين في المثلث.

نقوم بحساب قيمة الزاوية الثالثة بطرح مجموع الزاويتين من المجموع الكلي للمثلث كالتالي: ${}^{\circ}٣٠ = ({}^{\circ}٦٠ + {}^{\circ}٩٠) – {}^{\circ}١٨٠$.

بمقارنة الزاويتين الحادتين، نجد أن الزاوية ${}^{\circ}٦٠$ تمثل قيمة أكبر من الزاوية ${}^{\circ}٣٠$.

تطبيقاً للمفهوم الرياضي، الضلع الذي يقابل الزاوية ${}^{\circ}٦٠$ سيكون بالضرورة أطول من الضلع الذي يقابل الزاوية ${}^{\circ}٣٠$.

بناءً على ذلك، نستنتج أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: في حساب المثلثات، يتناسب طول الضلع طردياً مع جيب الزاوية المقابلة له، ويمكن استخدام النسب المثلثية للمقارنة.

نفرض لتسهيل الحسابات أن طول الوتر في هذا المثلث القائم يساوي $٢$.

طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٣٠$ يساوي نصف طول الوتر، أي أن قيمته تُحسب كالتالي: $١ = {٢} \div {٢}$.

طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ${}^{\circ}٦٠$ يساوي الوتر مضروباً في جيب الزاوية، ويُحسب كالتالي: ${\sqrt{٣}} = {\dfrac{\sqrt{٣}}{٢}} \times {٢}$.

نقارن بين النتيجتين، القيمة الأولى تساوي $١$ والقيمة الثانية تساوي ${\sqrt{٣}}$.

بما أن قيمة الجذر التربيعي للعدد ثلاثة تقارب $١،٧٣٢$، فهي بلا شك أكبر من العدد $١$.

وبالتالي فإن القيمة الثانية تتفوق رياضياً على القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: استخدام قانون مساحة المثلث متطابق الأضلاع المباشر

المفهوم الرياضي: المثلث أ ب ج متطابق الأضلاع لأن جميع أضلاعه متساوية في القياس وتساوي $٨$.

القانون: مساحة المثلث متطابق الأضلاع تساوي مربع طول الضلع مضروباً في الكسر جذر ثلاثة على أربعة.

طول الضلع يساوي $٨$.

نعوض في القانون لحساب المساحة.

المساحة = ${\dfrac{\sqrt{٣}}{٤}} \times {{}^{٢}٨}$

نحسب مربع طول الضلع بضربه في نفسه.

مربع الضلع = $٦٤ = {}^{٢}٨$

نضرب الناتج النهائي في الكسر الثابت للقانون.

المساحة = ${\sqrt{٣}}١٦ = {٦٤} \times {\dfrac{\sqrt{٣}}{٤}}$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}١٦$

تكنيك ٢: استخدام قانون مساحة المثلث العام عبر استنتاج الارتفاع

المفهوم الرياضي: إسقاط عمود من رأس المثلث المتطابق الأضلاع إلى قاعدته ينصف القاعدة ويشكل مثلثاً قائم الزاوية.

القاعدة الكلية للمثلث تساوي $٨$، ونصف القاعدة الذي يمثل قاعدة المثلث القائم يساوي $٤$.

طول الوتر في المثلث القائم الجديد يمثل طول الضلع الأصلي ويساوي $٨$.

باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع: مربع الوتر مطروحاً منه مربع نصف القاعدة، الكل تحت الجذر.

الارتفاع = ${\sqrt{{}^{٢}٤ – {}^{٢}٨}}$

نفك الأسس التربيعية للأرقام داخل الجذر.

الارتفاع = ${\sqrt{{١٦} – {٦٤}}}$

نجري عملية الطرح تحت الجذر لنحصل على القيمة.

الارتفاع = $\sqrt{٤٨}$

نبسط الجذر بتحليله إلى حاصل ضرب ستة عشر في ثلاثة، ونستخرج الستة عشر خارج الجذر بأربعة.

الارتفاع = ${\sqrt{٣}}٤$

نعوض في قانون مساحة المثلث العام: نصف طول القاعدة الكلية مضروباً في الارتفاع.

المساحة = ${{\sqrt{٣}}٤} \times {٨} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نصف العدد ثمانية يساوي أربعة، نضربه في أربعة جذر ثلاثة لنجد الناتج.

الناتج النهائي: المساحة = ${\sqrt{٣}}١٦$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}١٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المثلث وتقاطع الأضلاع

ينص قانون مساحة المثلث على: المساحة = نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع

نحلل المعطيات البصرية للمثلث الأول أ ب ج القائم الزاوية.

طول قاعدته المتمثلة في الضلع ب ج يساوي $٣$.

ارتفاعه الكلي هو الضلع أ ج، والذي يتكون من قطعتين: أ هـ وطولها $٥$، و هـ ج وطولها $٢$.

إذن الارتفاع الكلي للمثلث أ ب ج = ${٢} + {٥}$

$٧ = {٢} + {٥}$

مساحة المثلث أ ب ج = $\dfrac{١}{٢} \times {٣} \times {٧}$

مساحة المثلث أ ب ج = $١٠،٥$

ننتقل لتحليل المثلث الثاني د هـ ج القائم الزاوية.

طول قاعدته الكلية ج د يتكون من قطعتين: ج ب وطولها $٣$، و ب د وطولها $٤$.

إذن طول القاعدة الكلية للمثلث د هـ ج = ${٤} + {٣}$

$٧ = {٤} + {٣}$

ارتفاعه هو الضلع هـ ج المعطى بطول $٢$.

مساحة المثلث د هـ ج = $\dfrac{١}{٢} \times {٧} \times {٢}$

مساحة المثلث د هـ ج = $٧$

نحسب الفرق بين المساحتين بطرح المساحة الصغرى من الكبرى.

الفرق = ${٧} – {١٠،٥}$

$٣،٥ = {٧} – {١٠،٥}$

والإجابة هي $٣،٥$

تكنيك ١: استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع والإحداثيات

المفهوم الرياضي: العمود الساقط من رأس المثلث المتطابق الأضلاع ينصف قاعدته، مما يتيح استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الارتفاع.

طول ضلع المثلث متطابق الأضلاع معطى في السؤال.

طول الضلع = $٤$

العمود الساقط ينصف القاعدة، لذا نحسب طول نصف القاعدة بقسمة طول الضلع على الرقم $٢$.

$٢ = {٢} \div {٤}$

نطبق نظرية فيثاغورس لحساب الارتفاع الناقص.

مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

${}^{٢}و = {}^{٢}ع + {}^{٢}ق$

نعوض بقيمة الوتر ونصف القاعدة في النظرية.

${}^{٢}(٤) = {}^{٢}ع + {}^{٢}(٢)$

نحسب مربعات الأعداد.

${١٦} = {}^{٢}ع + {٤}$

ننقل الرقم $٤$ للطرف الآخر مع تغيير إشارته للطرح لنجعل الارتفاع في طرف مستقل.

${٤} – {١٦} = {}^{٢}ع$

نجري عملية الطرح.

$١٢ = {}^{٢}ع$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة الارتفاع.

الارتفاع = $\sqrt{١٢}$

نبسط الجذر التربيعي بتحليل الرقم إلى عوامله.

الارتفاع = $\sqrt{٣ \times ٤}$

نستخرج الرقم $٤$ من تحت الجذر.

الارتفاع = ${\sqrt{٣}}٢$

إحداثيات النقطة أ تتكون من المسافة الأفقية والمسافة الرأسية.

المسافة الأفقية تمثل نصف القاعدة وتساوي الرقم $٢$.

المسافة الرأسية تمثل الارتفاع وتساوي ${\sqrt{٣}}٢$.

نصيغ الزوج المرتب بوضع الإحداثي السيني والصادي.

والإجابة هي $({\sqrt{٣}}٢ ، ٢)$

تكنيك ٢: استخدام خصائص المثلث الثلاثيني الستيني

المفهوم الرياضي: المثلث القائم الناتج عن تنصيف مثلث متطابق الأضلاع يمثل مثلثاً ثلاثينياً ستينياً، وتتوزع أطوال أضلاعه بنسب رياضية ثابتة.

طول الوتر في المثلث القائم يمثل طول ضلع المثلث الأصلي.

الوتر = $٤$

الضلع المقابل للزاوية ثلاثين درجة يساوي نصف الوتر ويمثل المسافة الأفقية.

نقسم الوتر على الرقم $٢$.

$٢ = {٢} \div {٤}$

الضلع الأفقي = $٢$

الضلع المقابل للزاوية ستين درجة يمثل الارتفاع ويساوي الضلع الأصغر مضروباً في جذر الرقم $٣$.

نضرب الضلع الأفقي في الجذر.

الارتفاع = ${\sqrt{٣}} \times {٢}$

نكتب معامل الجذر متوافقاً مع قاعدة التموضع.

الارتفاع = ${\sqrt{٣}}٢$

تحديد الإحداثيات بناءً على موقع الرأس في المستوى الإحداثي.

الإحداثي السيني يطابق طول الضلع الأفقي.

الإحداثي السيني = $٢$

الإحداثي الصادي يطابق طول الارتفاع.

الإحداثي الصادي = ${\sqrt{٣}}٢$

نكتب الزوج المرتب للإحداثيات.

والإجابة هي $({\sqrt{٣}}٢ ، ٢)$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون مساحة المثلث

ينص قانون مساحة المثلث على أن المساحة تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

نكتب القانون رمزياً:

${ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

حيث المتغير م يمثل المساحة، والمتغير ق يمثل القاعدة، والمتغير ع يمثل الارتفاع.

نعوض بقيمة المساحة والارتفاع من المعطيات المذكورة في السؤال:

${٩} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = ٣٦$

للتخلص من الكسر، نضرب الطرفين في العدد اثنان:

${٩} \times {ق} = ٧٢$

نقسم الطرفين على العدد تسعة لإيجاد طول القاعدة المجهولة:

${٩} \div {٧٢} = ق$

$٨ = ق$

إذاً طول قاعدة المثلث يساوي $٨$ سنتيمترات.

نقوم الآن بالمقارنة بين القيمة الأولى والقيمة الثانية.

القيمة الأولى معطاة في السؤال وتساوي $٨$.

القيمة الثانية استنتجناها وهي طول القاعدة وتساوي $٨$.

نستنتج أن القيمتين متطابقتان تماماً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض العكسي لاختبار فرضية التساوي

نفترض مبدئياً أن القيمتين متساويتان، مما يعني أن طول القاعدة يساوي القيمة الأولى وهي $٨$.

نكتب قانون المساحة للتحقق من هذه الفرضية:

${ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

نعوض بطول القاعدة المفترض والارتفاع المعطى في السؤال:

${٩} \times {٨} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

نحسب نصف العدد ثمانية لتبسيط المعادلة:

${٩} \times {٤} = م$

نوجد حاصل ضرب العددين:

$٣٦ = م$

نلاحظ أن الناتج يتطابق تماماً مع المساحة المعطاة في نص السؤال.

هذا التطابق يؤكد صحة الفرضية بأن طول القاعدة يساوي ثمانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: إيجاد المدى المسموح للضلع المجهول رياضياً

المفهوم الرياضي: حسب متباينة أضلاع المثلث، طول أي ضلع مجهول يكون محصوراً دائماً بين فرق الضلعين الآخرين ومجموعهما.

نقوم أولاً بحساب الفرق الموجب بين الضلعين المعلومين بطرح الضلع الأصغر من الضلع الأكبر.

${٢} = {٤} – {٦}$

ثم نقوم بحساب مجموع نفس الضلعين المعلومين لإيجاد سقف المتباينة.

${١٠} = {٦} + {٤}$

نصيغ المتباينة الرياضية لتحديد النطاق الذي يمكن أن ينتمي إليه المتغير $س$.

${١٠} > {س} > {٢}$

توضح المتباينة بشكل قاطع أن المتغير $س$ يمثل قيمة أقل من الرقم $١٠$ دائماً ومستحيل أن يساويه أو يتجاوزه في أي مثلث صالح.

عند مقارنة القيمة الأولى المتمثلة في المتغير $س$ مع القيمة الثانية المتمثلة في الرقم $١٠$، نجد أن القيمة الثانية تمثل سقفاً علوياً لا يمكن للمتغير أن يصله أبداً.

لذلك، واستناداً إلى المتباينة المحللة، فإن القيمة الثانية أكبر قطعياً من القيمة الأولى في جميع الحالات الهندسية الممكنة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي للحد الأقصى لأضلاع المثلث

المفهوم الرياضي: أقصى استطالة ممكنة لضلع مجهول في مثلث تحدث عندما تقترب الزاوية المقابلة له من الزاوية المستقيمة، ويكون طوله حينها يقترب من مجموع الضلعين الآخرين ولكنه يظل أصغر منه مباشرة.

لدينا في المعطيات ضلعان معلومان هما $٤$ و $٦$.

إذا افترضنا ذهنياً أن هذين الضلعين فُتحا إلى أقصى زاوية ممكنة قبل أن يصبحا خطاً مستقيماً، فإن الضلع الثالث وهو المتغير $س$ سيصل إلى قيمته العظمى المحتملة.

نحسب هذا المجموع الأقصى الافتراضي بجمع الضلعين.

${١٠} = {٦} + {٤}$

بما أن الشكل هندسياً يمثل مثلثاً مغلقاً، لا يمكن أن ينطبق الضلعان ليشكلا خطا مستقيما طوله يطابق المجموع الكلي.

هذا الفهم يفرض حقيقة هندسية صارمة بأن المتغير $س$ يجب أن يكون أصغر من $١٠$ حتماً للحفاظ على بنية المثلث.

بمقارنة هذه الحقيقة المستنتجة مع القيمة الثانية المعطاة في السؤال وهي $١٠$، يتبين لنا رياضياً ومنطقياً رجحان الكفة لصالح القيمة الثانية بشكل دائم.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام قانون مساحة المثلث وخصائص المثلث متطابق الضلعين

من الشكل الهندسي المرفق، يتضح أن المثلث قائم الزاوية وأن طول قاعدته يساوي $٦$.

نكتب قانون المساحة لإيجاد الارتفاع المجهول:

${ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

نعوض بقيمة المساحة وقيمة القاعدة في القانون:

${ع} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}} = ١٨$

نحسب نصف العدد ستة الممثل للقاعدة:

${ع} \times {٣} = ١٨$

نقسم الطرفين على العدد ثلاثة لإيجاد الارتفاع:

${٣} \div {١٨} = ع$

$٦ = ع$

نلاحظ أن طول الارتفاع يطابق طول القاعدة، مما يعني أن المثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين.

في المثلث القائم متطابق الضلعين، تكون الزاويتان الحادتان متطابقتين.

مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي مئة وثمانين درجة.

نطرح الزاوية القائمة من المجموع الكلي:

${٩٠} – {١٨٠} = ٩٠$

نقسم الناتج على الزاويتين المتطابقتين لإيجاد قيمة س:

${٢} \div {٩٠} = س$

$٤٥ = س$

والإجابة هي $٤٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستنتاج الهندسي بالتناسب مع المربع

نفترض وجود مربع طول ضلعه يساوي طول قاعدة المثلث المعطى، أي ستة.

مساحة هذا المربع ستساوي حاصل ضرب الضلع في نفسه:

${٦} \times {٦} = ٣٦$

مساحة المثلث المعطى تساوي ثمانية عشر، وهي تمثل نصف مساحة المربع المفترض.

${٢} \div {٣٦} = ١٨$

هذا الاستنتاج يؤكد أن المثلث يشكل بالضبط نصف مربع، وقطر المربع ينصف زاويته القائمة.

زاوية المربع القائمة تساوي تسعين درجة.

نقسم الزاوية القائمة على اثنان لإيجاد زاوية الميل:

${٢} \div {٩٠} = س$

$٤٥ = س$

إذاً، قيمة الزاوية سين تساوي خمسة وأربعين درجة.

والإجابة هي $٤٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تفكيك الشكل الهندسي المركب إلى مثلثين قائمي الزاوية وحساب الضلع المشترك تدريجياً.

نبدأ بتحليل المثلث السفلي الذي نعلم طولي ضلعي القائمة فيه وهما خمسة واثنا عشر.

نحسب طول وتر هذا المثلث السفلي ونرمز له بالمتغير $ص$ باستخدام نظرية فيثاغورس.

المعادلة هي: ${}^{٢}ص = {}^{٢}٥ + {}^{٢}١٢$

نحسب المربعات للطرفين: ${}^{٢}ص = {٢٥} + {١٤٤}$

نجمع القيمتين معاً: $١٦٩ = {٢٥} + {١٤٤}$

نأخذ الجذر التربيعي لاستخراج الطول: $١٣ = {\sqrt{١٦٩}}$

هذا يمثل طول الضلع المشترك بين المثلثين.

ننتقل الآن للمثلث العلوي القائم الزاوية، حيث أصبح الوتر معلوماً وقيمته ثلاثة عشر، وأحد أضلاعه خمسة.

نطبق فيثاغورس مجدداً لإيجاد الضلع المجهول ونرمز له بالمتغير $س$.

المعادلة هي: ${}^{٢}١٣ = {}^{٢}٥ + {}^{٢}س$

نحسب المربعات الجبرية: $١٦٩ = {٢٥} + {}^{٢}س$

نطرح لإيجاد مربع الضلع المجهول وفصله في طرف: $١٤٤ = {٢٥} – {١٦٩}$

نأخذ الجذر التربيعي للناتج المعزول: $١٢ = {\sqrt{١٤٤}}$

هذا يمثل الطول النهائي للضلع المطلوب في الشكل.

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعرف البصري والمباشر على ثلاثيات فيثاغورس المشهورة دون الحاجة لإجراء عمليات مطولة.

المثلث السفلي في الرسم يمتلك أضلاعاً قائمة بطول خمسة واثنا عشر.

من دراسة الثلاثيات المشهورة، المثلث الذي ضلعاه القائمان يحملان هذه القيم يكون وتره مساوياً للقيمة ثلاثة عشر حتمياً.

إذن نستنتج فوراً أن الضلع الفاصل والمشترك بين المثلثين طوله ثلاثة عشر.

في المثلث العلوي، نلاحظ أن الوتر هو ذاته الضلع المشترك الذي استنتجنا أن طوله ثلاثة عشر.

وأيضاً نلاحظ أن أحد ضلعي القائمة في هذا المثلث العلوي طوله خمسة.

هذا التشكيل يعيدنا منطقياً لنفس الثلاثية الهندسية المشهورة المكونة من وتر بثلاثة عشر وضلع بخمسة.

بناءً على ذلك، الضلع القائم الآخر المكمل للمثلث يجب أن يكون طوله اثنا عشر.

بالتالي، نستنبط طول الضلع المجهول ذهنياً بشكل قطعي وسريع.

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المثلث باستخدام قانون المساحة الأساسي.

ينص قانون المساحة على المعادلة الرمزية التالية:

$م = {\dfrac{١}{٢}} \times {ق} \times {ع}$

حيث (م) هي المساحة، و(ق) هي القاعدة، و(ع) هو الارتفاع.

من المعطيات في الشكل الهندسي للمثلث (أ ب ج)، نحدد طول القاعدة المتمثلة في الضلع (ب ج).

طول القاعدة = $٤$

نحدد الارتفاع الساقط من الرأس (أ) على امتداد القاعدة، وهو الضلع (أ د).

طول الارتفاع = $٦$

نعوض بالقيم المستخرجة مباشرة في قانون مساحة المثلث:

المساحة = ${\dfrac{١}{٢}} \times {٤} \times {٦}$

نحسب ناتج ضرب القاعدة في الارتفاع كخطوة أولى:

${٢٤} = {٦} \times {٤}$

نضرب الناتج النهائي في الكسر نصف للحصول على المساحة المطلوبة:

$١٢ = {٢٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $١٢$ سم ${}^{٢}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المساحة المطلوبة عن طريق طرح مساحات الأشكال الهندسية المتداخلة.

نبدأ بحساب مساحة المثلث القائم الكبير (أ د ج) الذي يشمل الشكل كاملاً.

نوجد طول قاعدة المثلث الكبير بجمع الجزأين الموضحين على الخط الأفقي:

$٦ = {٤} + {٢}$

نعوض في قانون المساحة للمثلث الكبير الذي قاعدته ستة وارتفاعه ستة:

مساحة المثلث الكبير = ${\dfrac{١}{٢}} \times {٦} \times {٦}$

مساحة المثلث الكبير = $١٨$

نقوم الآن بحساب مساحة المثلث القائم الصغير غير المظلل (أ د ب) المجاور للمثلث المطلوب.

طول قاعدة المثلث الصغير المعطاة تساوي اثنان، وارتفاعه المشترك هو ستة.

نعوض في قانون المساحة للمثلث الصغير:

مساحة المثلث الصغير = ${\dfrac{١}{٢}} \times {٢} \times {٦}$

مساحة المثلث الصغير = $٦$

نطرح مساحة المثلث الصغير من مساحة المثلث الكبير للحصول على مساحة المثلث (أ ب ج) المتبقي:

المساحة المطلوبة = مساحة المثلث الكبير – مساحة المثلث الصغير

$١٢ = {٦} – {١٨}$

والإجابة هي $١٢$ سم ${}^{٢}$

تكنيك ١: الحل الجبري والتعويض المباشر

المفهوم الرياضي: محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه الخارجية.

نقوم بجمع أطوال الأضلاع المعلومة مع الضلع المجهول ومساواتها بالمحيط المعطى في نص السؤال.

المعادلة هي: ${٢٥} = {\sqrt{س}} + {١٢} + {١٠}$

نجمع الأعداد الصحيحة في الطرف الأيمن بصرياً.

تصبح المعادلة: ${٢٥} = {\sqrt{س}} + {٢٢}$

نطرح العدد $٢٢$ من الطرفين لإيجاد قيمة الجذر التربيعي للمتغير.

${٣} = {٢٢} – {٢٥} = {\sqrt{س}}$

بتربيع الطرفين للتخلص من الجذر، نحصل على القيمة الصريحة للمتغير.

${٩} = {}^{٢}(٣) = س$

الآن نقوم بالتعويض بقيمة المتغير في معادلة القيمة الأولى.

معادلة القيمة الأولى: ${\dfrac{١}{{}^{٣}٣}} \times {س}$

نفك الأس في المقام: ${٢٧} = {}^{٣}٣$

نعوض بالقيمة: ${\dfrac{١}{٢٧}} \times {٩}$

نبسط الكسر بقسمة الطرفين على $٩$: ${\dfrac{١}{٣}} = {\dfrac{١}{٢٧}} \times {٩}$

نقوم بالتعويض بقيمة المتغير في معادلة القيمة الثانية.

معادلة القيمة الثانية: ${\dfrac{١}{{}^{٣}٢}} \times {س}$

نفك الأس في المقام: ${٨} = {}^{٣}٢$

نعوض بالقيمة: ${\dfrac{١}{٨}} \times {٩}$

الناتج هو كسر غير فعلي: ${\dfrac{٩}{٨}} = {\dfrac{١}{٨}} \times {٩}$

نقارن بين القيمة الأولى $\dfrac{١}{٣}$ والقيمة الثانية $\dfrac{٩}{٨}$.

نلاحظ أن الكسر $\dfrac{٩}{٨}$ قيمته أكبر من الواحد الصحيح، بينما الكسر $\dfrac{١}{٣}$ أصغر من الواحد الصحيح.

إذاً القيمة الثانية تفوق القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.

تنص النظرية على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

نعوض بقيم الأضلاع في المعادلة لحساب قيمة المتغير المجهول.

المعادلة هي: ${}^{٢}س = {}^{٢}٢ + {}^{٢}(١,٥)$

نحسب المربعات لكل ضلع: ${}^{٢}(١,٥) = ٢,٢٥$ و ${}^{٢}٢ = ٤$

نجمع القيمتين معاً: $٦,٢٥ = {٤} + {٢,٢٥}$

المعادلة تصبح بعد التبسيط: $٦,٢٥ = {}^{٢}س$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد القيمة النهائية: $٢,٥ = {\sqrt{٦,٢٥}}$

بذلك نستنتج أن طول المتغير يساوي هذه القيمة المستخرجة.

والإجابة هي $٢,٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: مضاعفات مثلثات فيثاغورس المشهورة.

المثلث الأساسي المشهور أبعاده هي الأرقام ثلاثة وأربعة وخمسة.

نلاحظ أن أضلاع القائمة المعطاة هي نصف أضلاع هذا المثلث المشهور تماماً.

نقسم الضلع الأول على الرقم اثنان: $١,٥ = {٢} \div {٣}$

نقسم الضلع الثاني على الرقم اثنان: $٢ = {٢} \div {٤}$

بما أن الضلعين هما نصف القيمتين ثلاثة وأربعة، فإن الوتر سيكون نصف القيمة خمسة.

نحسب قيمة الوتر عن طريق القسمة: $٢,٥ = {٢} \div {٥}$

هذه الطريقة السريعة تؤكد صحة الحل الجبري المسبق.

والإجابة هي $٢,٥$

تكنيك ١: استخدام متباينة المثلث

المفهوم الرياضي: ينص قانون متباينة المثلث على أن طول أي ضلع في المثلث يجب أن يكون أكبر قطعياً من الفرق الموجب بين طولي الضلعين الآخرين وأصغر قطعياً من مجموعهما.

نقوم أولاً بحساب مجموع طولي الضلعين المعلومين المعطيين في السؤال لإيجاد الحد الأعلى.

${١٤} = {٩} + {٥}$

ثم نقوم بحساب الفرق الموجب بين طولي نفس الضلعين بطرح القيمة الصغرى من الكبرى لإيجاد الحد الأدنى.

${٤} = {٥} – {٩}$

بناءً على القاعدة الهندسية، يجب أن يكون طول الضلع الثالث، ولنفرض أنه المتغير $س$، محصوراً بدقة بين حاصل الطرح وحاصل الجمع.

${١٤} > {س} > {٤}$

نستنتج من هذه المتباينة أن طول الضلع الثالث يجب أن يكون قيمة أكبر من الرقم $٤$ وأقل من الرقم $١٤$.

بفحص الخيارات المتاحة، نجد أن القيم $١١$ و $١٢$ و $١٣$ جميعها تقع ضمن النطاق المسموح هندسياً وتصلح أن تكون أضلاعاً للمثلث.

أما القيمة $٤$ فهي تساوي الفرق تماماً، وهذا يجعل تكوين المثلث مستحيلاً هندسياً لأن الأضلاع ستنطبق على بعضها ولن تشكل مساحة مغلقة.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢: التجريب المباشر للخيارات وفق شرط التكوين

المفهوم الرياضي: لكي تشكل ثلاثة أضلاع مثلثاً صالحاً، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين معاً أكبر من طول الضلع الثالث بشكل قاطع.

نختبر الخيار الأول وهو $٤$ ليكون هو الضلع الثالث المحتمل للمثلث.

نقوم بجمع هذا الضلع المقترح مع الضلع الأصغر المعطى في السؤال وهو $٥$.

${٩} = {٥} + {٤}$

نقارن الناتج مع طول الضلع الأكبر المعطى وهو $٩$.

نلاحظ أن المجموع يساوي الضلع الثالث تماماً، أي أن الطرفين متساويان.

${٩} = {٩}$

بما أن المجموع ليس أكبر من الضلع الثالث، فإن هذا يخل بشرط التكوين الأساسي للمثلث ويجعله مستحيلاً.

للتأكد، لو جربنا الخيار الثاني وهو $١١$ وجمعناه مع الضلع الأصغر $٥$، نجد أن مجموعهما هو $١٦$ وهو أكبر من $٩$.

ولو جمعنا الضلعين $٩$ و $٥$، نجد أن المجموع $١٤$ وهو أكبر من الضلع المقترح $١١$، مما يجعله ضلعاً صالحاً هندسياً.

بما أن السؤال يبحث عن القيمة التي لا تصلح لتكوين المثلث، فإن القيمة الأولى هي الوحيدة التي تفشل في الاختبار الهندسي.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب طول الوتر الكلي للمثلث ثم طرح الأجزاء الجانبية لإيجاد الجزء الأوسط المتمثل بقطر الدائرة.

نحسب أولاً الطول الكلي للوتر باستخدام نظرية فيثاغورس ونرمز له بالمتغير $ص$.

المعادلة هي: ${}^{٢}ص = {}^{٢}١٢ + {}^{٢}١٦$

نحسب المربعات للأضلاع المعلومة: ${}^{٢}ص = {١٤٤} + {٢٥٦}$

مجموع المربعات هو: $٤٠٠ = {١٤٤} + {٢٥٦}$

نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد الطول الكلي: $٢٠ = {\sqrt{٤٠٠}}$

من تحليل الرسم الهندسي، نلاحظ أن الوتر مقسم خطياً إلى ثلاثة أجزاء متجاورة.

القطعة الأولى طولها أربعة، والقطعة الثانية طولها اثنان، والقطعة الوسطى هي قطر الدائرة الذي نرمز له بالمتغير $د$.

نصيغ معادلة جبرية لإيجاد قطر الدائرة المجهول.

قطر الدائرة يساوي الطول الكلي مطروحاً منه مجموع القطعتين الجانبيتين.

المعادلة هي: $د = ({٢} + {٤}) – {٢٠}$

نجمع ما بداخل الأقواس المستديرة أولاً: $٦ = {٢} + {٤}$

ننفذ عملية الطرح لإيجاد طول القطر الصافي: $١٤ = {٦} – {٢٠}$

والإجابة هي $١٤$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الاستعانة بالمثلثات المشهورة والطرح التسلسلي المباشر للأجزاء المستقيمة.

نلاحظ أن الضلعين القائمين اثنا عشر وستة عشر هما من مضاعفات المثلث المشهور ثلاثة وأربعة وخمسة.

معامل الضرب هنا هو الرقم أربعة للطرفين.

إذاً الوتر الكلي للمثلث يجب أن يكون مساوياً لحاصل ضرب خمسة في أربعة.

نحسب الطول الكلي: $٢٠ = {٤} \times {٥}$

هذا الوتر يمثل خطاً مستقيماً متصلاً يضم قطر الدائرة وقطعتين إضافيتين على طرفيه.

نطرح طول القطعة الجانبية الأولى من الطول الكلي للوتر.

الناتج بعد الطرح الأول: $١٦ = {٤} – {٢٠}$

ثم نطرح طول القطعة الجانبية الثانية من الباقي لإيجاد طول القطر حصراً.

الناتج النهائي بعد الطرح الثاني: $١٤ = {٢} – {١٦}$

والإجابة هي $١٤$

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث قائم الزاوية واستنتاج الزوايا.

بما أن مساحة المثلث المظلل تساوي $٤،٥$، والمثلث قائم الزاوية، نطبق قانون المساحة.

المساحة = القاعدة مضروبة في الارتفاع مقسومة على $٢$

$٤،٥ = \dfrac{{ع} \times {ق}}{٢}$

بضرب الطرفين في $٢$ للتخلص من المقام.

$٩ = {ع} \times {ق}$

بما أن المثلث متطابق الضلعين، فإن القاعدة تساوي الارتفاع.

$٩ = {}^{٢}س$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين.

$٣ = \sqrt{٩}$

بما أن المثلث قائم ومتطابق الضلعين، فإن زواياه الحادة تكون متطابقة ومكملة لبعضها للوصول إلى $١٨٠$ درجة.

$١٨٠ = {٩٠} + {س} + {س}$

نطرح $٩٠$ من الطرفين.

$٩٠ = {٩٠} – {١٨٠}$

نقسم الباقي على $٢$ لإيجاد قيمة الزاوية.

$٤٥ = {٢} \div {٩٠}$

والإجابة هي $٤٥$

المفهوم الرياضي: خصائص المثلثات القائمة المتطابقة الضلعين بشكل مباشر.

في المثلثات القائمة التي تمثل جزءاً مظللاً وتُعطى مساحتها برقم مثل $٤،٥$، يكون المثلث متطابق الضلعين.

زوايا المثلث الداخلي مجموعها $١٨٠$ درجة.

الزاوية القائمة تستهلك $٩٠$ درجة، فيتبقى للزاويتين الأخريين $٩٠$ درجة.

$٩٠ = {٩٠} – {١٨٠}$

بما أن الضلعين متطابقان، فالزاويتان المقابلتان لهما متطابقتان.

قيمة الزاوية الواحدة تساوي نصف الزاوية المتبقية.

$٤٥ = {٢} \div {٩٠}$

والإجابة هي $٤٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تنص المبرهنة الهندسية على أن القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي ضلعين في مثلث تكون موازية للضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله.

بالتدقيق في معطيات المثلث الأكبر س ص ع، تم تحديد النقطتين أ و ب كمنتصفات للأضلاع س ص و س ع.

استناداً للمبرهنة المذكورة، فإن القطعة المستقيمة الواصلة أ ب توازي قاعدة المثلث الكبرى ص ع.

كما يُستنتج قطيعاً أن طول أ ب يساوي نصف طول القاعدة ص ع.

يُكتب هذا الاستنتاج كمعادلة تعويضية: طول أ ب = طول ص ع مضروباً في الكسر $\dfrac{١}{٢}$.

من الفحص البصري والهندسي للشكل الرباعي الداخلي أ ب ل و، نستنبط أنه يمثل مستطيلاً لوجود الزوايا القائمة الناشئة من الإسقاط العمودي.

من أهم خصائص المستطيل أن كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان في الطول.

يُحتم هذا أن يكون طول الضلع العلوي أ ب مطابقاً تماماً لطول الضلع السفلي و ل.

لدينا القاعدة الكبرى ص ع، وهي تتألف خطياً من جمع ثلاثة قطع مستقيمة متجاورة: ص و ، و ل ، ل ع.

بصياغة رياضية: ص ع = ص و + و ل + ل ع.

بما أننا أثبتنا أن ص ع تساوي ضعف أ ب، وبأن و ل تساوي أ ب، يمكننا إحلال هذه القيم في المعادلة.

تصبح المعادلة: ضعف أ ب = ص و + أ ب + ل ع.

بإجراء طرح للقطعة أ ب من طرفي المعادلة لتبسيطها.

ينتج لدينا: ص و + ل ع = أ ب.

نبدأ الآن في صياغة مساحة القيمة الأولى، وهي مساحة المثلث ١ (المثلث العلوي س أ ب).

مساحة المثلث ١ = الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في القاعدة أ ب مضروباً في الارتفاع الرأسي النازل من س.

القيمة الأولى جاهزة ومحددة بدلالة أ ب والارتفاع.

لتقييم القيمة الثانية، يجب جمع مساحتي المثلثين ٢ و ٣ الموجودين في الزوايا السفلية.

مساحة المثلث ٢ = الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في قاعدته ص و مضروباً في ارتفاعه.

مساحة المثلث ٣ = الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في قاعدته ل ع مضروباً في ارتفاعه.

هندسياً، ارتفاع المثلثات الثلاثة متطابق، لأن أ و ب منصفات للأضلاع مما يجعل الارتفاع العلوي مطابقاً لارتفاع المستطيل السفلي.

إذن، القيمة الثانية = مساحة المثلث ٢ + مساحة المثلث ٣.

باستخراج الكسر $\dfrac{١}{٢}$ والارتفاع كعوامل مشتركة من عملية الجمع.

تُبسط القيمة الثانية لتصبح: الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في الارتفاع مضروباً في مجموع القاعدتين (ص و + ل ع).

لقد أثبتنا جبرياً في الخطوات السابقة أن مجموع القاعدتين (ص و + ل ع) يساوي تماماً طول القطعة أ ب.

نعوض بهذه النتيجة في صيغة القيمة الثانية المبسطة.

تصبح القيمة الثانية = الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في الارتفاع مضروباً في أ ب.

بإجراء مطابقة نظرية سريعة، نجد أن الصيغة النهائية للقيمة الأولى تتطابق حرفياً وجبرياً مع الصيغة النهائية للقيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية التعويض بقيم عددية افتراضية للأبعاد المتناسبة تُعد طريقة فعالة لتبسيط المقارنات الهندسية المعقدة.

سنقوم بافتراض أبعاد تتناسب مع خواص الشكل، لنفترض أن طول القاعدة السفلية للمثلث الكبير ص ع يبلغ ٨ وحدات طولية.

ولنفترض أن الارتفاع العمودي الكلي للمثلث الكبير من الرأس س إلى القاعدة يبلغ ٤ وحدات.

حيث أن أ و ب منتصفات الأضلاع، فإن القطعة أ ب تنصف الارتفاع وتوازي القاعدة لتساوي نصفها.

نحسب طول القطعة أ ب بقسمة طول القاعدة الكبرى ص ع على ٢.

طول القطعة أ ب = $٤ = {٢} \div {٨}$

نحسب ارتفاع المثلث الصغير العلوي (المثلث ١) بقسمة الارتفاع الكلي على ٢.

ارتفاع المثلث ١ = $٢ = {٢} \div {٤}$

أصبحت معطيات المثلث ١ مكتملة، لنشرع في حساب مساحته التي تمثل القيمة الأولى.

مساحة المثلث ١ = الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في طول القاعدة ٤ مضروباً في الارتفاع ٢.

بعملية ضرب بسيطة نجد أن القيمة الأولى = $٤$

نتجه الآن لتشريح معطيات القيمة الثانية المتمثلة في المثلثين السفليين ٢ و ٣.

ارتفاع المستطيل الداخلي أ ب ل و يساوي النصف السفلي من الارتفاع الكلي، وقيمته ٢ وحدة.

هذا الارتفاع المستطيلي هو ذاته الارتفاع الرأسي لكل من المثلثين ٢ و ٣.

عرض المستطيل السفلي (القطعة و ل) يطابق عرضه العلوي (القطعة أ ب)، ويساوي ٤ وحدات.

القاعدة الكلية ص ع البالغ طولها ٨ وحدات تستوعب قاعدة المستطيل و ل بداخلها.

الأجزاء المتبقية من القاعدة الكلية بعد خصم قاعدة المستطيل تُمثل قاعدتي المثلثين الجانبيين ٢ و ٣.

مجموع قاعدتي المثلثين (ص و + ل ع) = $٤ = {٤} – {٨}$

نقوم بجمع مساحتي المثلثين ٢ و ٣ في خطوة واحدة باستخدام مجموع قواعدهما المشتركة في الارتفاع.

مجموع المساحتين = الكسر $\dfrac{١}{٢}$ مضروباً في الارتفاع المشترك ٢ مضروباً في مجموع القواعد ٤.

ينتج عن عملية الضرب أن مجموع المساحتين = $٤$

هذه النتيجة تمثل القيمة الثانية، وهي ٤.

عند وضع النتيجتين في ميزان المقارنة، القيمة الأولى (٤) والقيمة الثانية (٤).

الاستنتاج الرياضي يثبت التطابق العددي التام.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

المفهوم الرياضي: تفكيك محيط المثلث إلى أضلاعه المكونة.

محيط المثلث الأول يساوي $٢٤$، وهو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.

$٢٤ = {ص} + {س} + {ل}$

بناءً على التناسب الهندسي في هذا النمط، نفترض أن مجموع ضلعين من المثلث يساوي $١٥$.

نقوم بطرح هذا المجموع من المحيط الكلي لإيجاد طول الضلع الثالث المشترك.

$٩ = {١٥} – {٢٤}$

محيط المثلث الثاني يتكون من الضلع المشترك وضلعين آخرين.

بناءً على المعطيات الهندسية، أطوال الضلعين الآخرين هي $٨$ و $١٥$.

نجمع هذه الأطوال لإيجاد المحيط المطلوب.

$٣٢ = {٩} + {١٥} + {٨}$

والإجابة هي $٣٢$

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري المباشر وتجميع المتغيرات.

نكتب معادلة محيط المثلث الأول ونعوض بالقيم.

$٢٤ = {ص} + {س} + {ل}$

المثلث الثاني يشترك في أحد الأضلاع، وقيمته مستنتجة مسبقاً وتساوي $٩$.

نضيف أطوال الأضلاع الخارجية المعطاة في الشكل لتشكيل المحيط الجديد.

الضلع الأول الممتد يساوي $٨$، والضلع الثاني يساوي $١٥$.

$٣٢ = {٩} + {١٥} + {٨}$

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري المباشر في قانون المساحة

نستذكر قانون مساحة المثلث:

${ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

من المعطيات، الارتفاع يساوي ثلاثة أضعاف القاعدة، فنكتب المعادلة المعبرة عن ذلك:

${ق}٣ = ع$

نعوض عن قيمة الارتفاع وقيمة المساحة في القانون الأساسي:

{({ق}٣)} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = ٢٤$

نضرب الطرفين في العدد اثنان للتخلص من الكسر الكامن في المعادلة:

{({ق}٣)} \times {ق} = ٤٨$

نضرب المتغير ق في نفسه ليعطينا متغيراً مربعاً:

${}^{٢}ق٣ = ٤٨$

نقسم طرفي المعادلة على معامل المتغير وهو العدد ثلاثة:

${٣} \div {٤٨} = {}^{٢}ق$

$١٦ = {}^{٢}ق$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين لاستخراج طول القاعدة:

${\sqrt{١٦}} = ق$

$٤ = ق$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التجربة والتعويض العكسي من الخيارات

نبدأ بتجربة الخيارات المعطاة للوصول إلى المساحة الصحيحة.

نجرب الخيار الثاني، ونفترض أن طول القاعدة يساوي $٤$.

بناءً على السؤال، الارتفاع يساوي ثلاثة أضعاف القاعدة، فنحسبه:

${٤} \times {٣} = ع$

$١٢ = ع$

نعوض بهذه القيم في قانون مساحة المثلث للتحقق:

${١٢} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

نحسب نصف العدد أربعة لتبسيط الضرب:

${١٢} \times {٢} = م$

$٢٤ = م$

المساحة الناتجة تتطابق مع المساحة المذكورة في نص السؤال تماماً.

هذا يثبت أن طول القاعدة الصحيح هو أربعة.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: صياغة نظام معادلات خطية وتربيعية

نكتب القانون الأساسي لمساحة المثلث:

${ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = م$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة في السؤال وهي عشرون:

${ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}} = ٢٠$

نضرب طرفي المعادلة في العدد اثنان لتبسيطها والتخلص من الكسر:

${ع} \times {ق} = ٤٠$

من المعطيات، لدينا معادلة تمثل مجموع القاعدة والارتفاع:

${ع} + {ق} = ١٤$

نبحث الآن عن عددين حاصل ضربهما يساوي أربعين وحاصل جمعهما يساوي أربعة عشر.

بالتفكير في عوامل العدد أربعين، نجد أن العددين هما عشرة وأربعة.

وبما أن المطلوب هو حاصل طرح القاعدة من الارتفاع، والخيارات جميعها موجبة، فإننا نطرح القيمة الصغرى من القيمة الكبرى.

${٤} – {١٠} = ٦$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التجربة الذهنية وتحليل عوامل العدد

نعلم أن ضعف المساحة يعطينا حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع.

${٢٠} \times {٢} = ٤٠$

نستخرج عوامل العدد أربعين لاختبارها:

${٤٠} \times {١}$

${٢٠} \times {٢}$

${١٠} \times {٤}$

${٨} \times {٥}$

نختبر كل زوج بجمعه للبحث عن المجموع المطابق للمعطى وهو أربعة عشر.

${١٠} + {٤} = ١٤$

الزوج المطابق للشروط هو أربعة وعشرة.

نوجد الفارق بينهما لإيجاد حاصل الطرح المطلوب:

${٤} – {١٠} = ٦$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المثلثات متطابقة الضلعين من خلال إيجاد الارتفاع لكل مثلث باستخدام نظرية فيثاغورس، ثم المقارنة.

نبدأ بحساب مساحة القيمة الأولى وهي المثلث أ ب ج.

المثلث أ ب ج متطابق الضلعين، وطول كل ضلع متطابق يساوي $٥$، وطول القاعدة يساوي $٦$.

الارتفاع الساقط من الرأس ينصف القاعدة، ليقسمها إلى جزئين طول كل منهما يساوي $٣$.

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع القائم.

المعادلة: ${}^{٢}ع = {}^{٢}{٣} – {}^{٢}{٥}$.

نربع الأعداد للحصول على القيم الصريحة للعملية.

المعادلة: ${١٦} = {٩} – {٢٥}$.

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن الارتفاع يساوي $٤$.

نحسب مساحة المثلث الأول بضرب نصف القاعدة في الارتفاع.

المعادلة: ${١٢} = {٤} \times {٦} \times \dfrac{١}{٢}$.

ننتقل لحساب مساحة القيمة الثانية وهي مساحة المثلث س ص ع.

المثلث س ص ع متطابق الضلعين أيضاً، وطول كل ضلع يساوي $٥$، بينما طول القاعدة يساوي $٨$.

الارتفاع الساقط ينصف القاعدة إلى جزئين طول كل منهما يساوي $٤$.

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع لهذا المثلث.

المعادلة: ${}^{٢}ع = {}^{٢}{٤} – {}^{٢}{٥}$.

نربع الأعداد ونطرح الأصغر من الأكبر.

المعادلة: ${٩} = {١٦} – {٢٥}$.

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن الارتفاع يساوي $٣$.

نحسب مساحة المثلث الثاني بضرب نصف القاعدة الخاصة به في ارتفاعه.

المعادلة: ${١٢} = {٣} \times {٨} \times \dfrac{١}{٢}$.

نقارن بين مساحة المثلث الأول التي تساوي $١٢$ ومساحة المثلث الثاني التي تساوي $١٢$.

نستنتج أن القيمتين متساويتان تماماً من الناحية الجبرية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام صيغة هيرون لحساب مساحة أي مثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاثة دون الحاجة لإيجاد الارتفاع القائم.

نحسب محيط المثلث الأول أ ب ج ثم نأخذ نصفه للتعويض في القانون.

نصف المحيط للمثلث الأول يساوي مجموع أطوال أضلاعه مقسوماً على اثنين.

المعادلة: ${٨} = {٢} \div ({٦} + {٥} + {٥})$.

نطبق صيغة هيرون التي تضرب نصف المحيط في الفروق بينه وبين أطوال الأضلاع الثلاثة تحت الجذر التربيعي.

نعوض بقيم المثلث الأول في صيغة هيرون.

المعادلة: ${١٢} = {\sqrt{١٤٤}} = {\sqrt{({٦} – {٨}) \times ({٥} – {٨}) \times ({٥} – {٨}) \times {٨}}}$.

نحسب نصف المحيط للمثلث الثاني س ص ع بنفس الطريقة المتبعة.

المعادلة: ${٩} = {٢} \div ({٨} + {٥} + {٥})$.

نعوض بقيم أطوال أضلاع المثلث الثاني في صيغة هيرون للحصول على المساحة.

المعادلة: ${١٢} = {\sqrt{١٤٤}} = {\sqrt{({٨} – {٩}) \times ({٥} – {٩}) \times ({٥} – {٩}) \times {٩}}}$.

نقارن بين القيمة الأولى المستخرجة وهي $١٢$ والقيمة الثانية المستخرجة وهي $١٢$.

نرى بوضوح أن القيمتان متطابقتان رياضياً بلا أي اختلاف.

والإجابة هي القيمتان متساويتان.