تكنيك ١
المفهوم الرياضي: حساب حجوم الأشكال الهندسية المجسمة المختلفة والمتمثلة في المكعب والأسطوانة، لإجراء المقارنة الكمية الدقيقة بينهما.
نبدأ أولاً بالعمل على القيمة الأولى والتي تمثل الحجم الكلي لمجسم المكعب.
قانون حجم المكعب ينص على ضرب طول الحرف في نفسه ثلاث مرات متتالية.
نقوم بالتعويض الجبري بطول حرف المكعب المعطى في السؤال وهو $٨$ سم.
$٥١٢ = {٨} \times {٨} \times {٨}$
إذن، الحجم الإجمالي للمكعب والذي يمثل القيمة الأولى بشكل صريح يساوي $٥١٢$ سم مكعب.
ننتقل ثانياً للعمل المنهجي على القيمة الثانية والتي تمثل الحجم الإجمالي لأربع زجاجات أسطوانية متطابقة الهيكل.
قانون حجم الأسطوانة الدائرية القائمة ينص على أن الحجم يساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع، وبصيغة أخرى هو مربع نصف القطر مضروباً في الثابت $ط$ مضروباً في الارتفاع.
نقوم بالتعويض العددي بمعطيات الأسطوانة الواحدة: نصف قطر القاعدة يساوي $٣$ سم، والارتفاع العمودي يساوي $٤$ سم.
نحسب مربع نصف القطر أولاً برفع العدد لأس اثنان.
$٩ = {}^{٢}٣$
نضرب مربع نصف القطر المستخرج في الارتفاع وفي الثابت $ط$ لحساب حجم الزجاجة الأسطوانية الواحدة.
$ط٣٦ = {ط} \times {٤} \times {٩}$
حجم الزجاجة الأسطوانية الواحدة يعادل بالضبط $ط٣٦$ سم مكعب.
بما أن القيمة الثانية في المقارنة تتطلب استخراج حجم أربع زجاجات مجتمعة، نقوم بضرب حجم الزجاجة الواحدة في العدد أربعة.
$ط١٤٤ = {٤} \times {ط٣٦}$
لغرض إجراء مقارنة رقمية خالية من المجاهيل، نعوض عن قيمة الثابت الرياضي $ط$ بقيمته التقريبية المعتادة وهي $٣،١٤$.
نضرب القيمة التقريبية المعتمدة في المعامل العددي للحجم المستخرج.
$٤٥٢،١٦ = {٣،١٤} \times {١٤٤}$
القيمة الثانية المعبرة عن حجم الزجاجات الأربع تعادل تقريباً $٤٥٢،١٦$ سم مكعب.
الآن نعقد المقارنة المنطقية النهائية بين القيمة الأولى وهي العدد $٥١٢$ والقيمة الثانية وهي العدد $٤٥٢،١٦$.
من الواضح رياضياً وبشكل قاطع أن العدد $٥١٢$ يتفوق كقيمة عددية وحجمية على العدد $٤٥٢،١٦$.
والإجابة هي القيمة الأولى أكبر
تكنيك ٢
المفهوم الرياضي: استخدام منهجية التقدير المنطقي والتبسيط السريع في مقارنة الحجوم الهندسية دون اللجوء للعمليات الحسابية العشرية المعقدة.
حجم المكعب الكلي يمثل القيمة الأولى المستهدفة بالمقارنة، وهو عبارة عن حاصل ضرب العدد $٨$ في نفسه ثلاث مرات.
$٥١٢ = {٨} \times {٨} \times {٨}$
حجم الزجاجات الأسطوانية الأربع مجتمعة يمثل القيمة الثانية المستهدفة بالمقارنة.
نستذكر أن الحجم الكلي للزجاجات الأربع يساوي العدد $٤$ مضروباً في حجم الأسطوانة الواحدة.
حجم الأسطوانة الواحدة هو الارتفاع ($٤$) مضروباً في مربع نصف القطر ($٩$) مضروباً في الثابت $ط$.
الحجم الكلي للزجاجات بناءً على التعويض يساوي $٤$ مضروباً في $٤$ مضروباً في $٩$ مضروباً في $ط$.
بتبسيط عمليات الضرب المتتالية نجد أن الحجم الكلي يساوي العدد $١٤٤$ مضروباً في الثابت $ط$.
نعلم يقيناً في علم الرياضيات أن قيمة الثابت $ط$ أصغر قطعياً من العدد $٤$ (حيث أن $ط$ تساوي تقريباً $٣،١٤$).
لو افترضنا تقديراً وتضخيماً أن قيمة $ط$ تساوي العدد $٤$ الصحيح لغرض المبالغة القصوى في تقدير القيمة الثانية لاختبارها.
$٥٧٦ = {٤} \times {١٤٤}$
لكن الثابت $ط$ فعلياً قريب جداً من العدد $٣$ الصحيح وليس $٤$.
لو ضربنا العدد $١٤٤$ في العدد $٣$ نحصل على تقدير أدنى معقول وهو $٤٣٢$.
$٤٣٢ = {٣} \times {١٤٤}$
نستنتج من هذا الحصر المرن أن القيمة الثانية تتراوح فعلياً حول العدد $٤٥٠$ تقريباً، وهي في كل الأحوال والتقديرات الممكنة أقل بكثير من العدد $٥١٢$.
بالتالي، القيمة الأولى التي تبلغ $٥١٢$ تبقى هي القيمة الأكبر بشكل حاسم ونهائي متجاوزة أي هامش للخطأ التقريبي.
والإجابة هي القيمة الأولى أكبر
