اختبار: أشكال هندسية أخرى: المعين، متوازي الاضلاع وشبه المنحرف

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: علاقة مساحات المثلثات المتطابقة الأضلاع المتداخلة المرسومة من منتصفات الأضلاع.

تنص القاعدة الهندسية على أن رسم مثلث بتوصيل منتصفات أضلاع مثلث متطابق الأضلاع يقسم المثلث الأصلي إلى أربعة مثلثات صغيرة متطابقة في المساحة.

مساحة المثلث الداخلي تساوي ربع مساحة المثلث الخارجي الذي يحويه.

مساحة المثلث الأكبر المعطاة في السؤال تساوي $٦٤$.

نحسب مساحة المثلث الأوسط بقسمة مساحة المثلث الأكبر على أربعة.

$١٦ = {٤} \div {٦٤}$

إذن، مساحة المثلث الأوسط تساوي $١٦$.

نحسب مساحة المثلث الأصغر بقسمة مساحة المثلث الأوسط على أربعة.

$٤ = {٤} \div {١٦}$

إذن، مساحة المثلث الأصغر الواحد تساوي $٤$.

بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن المنطقة المظللة تتكون من ثلاثة مثلثات صغيرة متطابقة.

لحساب المساحة المظللة الكلية، نضرب مساحة المثلث الأصغر الواحد في عدد المثلثات المظللة.

$١٢ = {٣} \times {٤}$

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التقسيم الشبكي الكلي للشكل الهندسي إلى وحدات مساحية متساوية.

يمكننا تقسيم الشكل الأكبر بالكامل إلى شبكة من المثلثات الصغيرة المتطابقة تماماً.

المثلث الأكبر ينقسم إلى أربعة مثلثات متوسطة.

كل مثلث متوسط ينقسم بدوره إلى أربعة مثلثات صغيرة.

إذن، العدد الكلي للمثلثات الصغيرة داخل المثلث الأكبر يساوي حاصل ضرب أربعة في أربعة.

$١٦ = {٤} \times {٤}$

الشكل الكلي يتكون من ستة عشر مثلثاً صغيراً متطابقاً.

مساحة الشكل الكلي (المثلث الأكبر) تساوي $٦٤$.

لحساب مساحة المثلث الصغير الواحد، نقسم المساحة الكلية على العدد الكلي للمثلثات الصغيرة.

$٤ = {١٦} \div {٦٤}$

مساحة المثلث الصغير الواحد تساوي $٤$.

عدد المثلثات المظللة في الشكل هو ثلاثة مثلثات.

نحسب مساحة المنطقة المظللة بضرب عددها في مساحة المثلث الواحد.

$١٢ = {٣} \times {٤}$

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: خصائص زوايا متوازي الأضلاع، ومجموع زوايا المثلث، وخصائص المثلث متطابق الضلعين.

من خصائص متوازي الأضلاع أن كل زاويتين متحالفتين متجاورتين مجموعهما ١٨٠ درجة، أي أنهما زوايا مكملة لبعضهما.

الزاوية المعطاة في متوازي الأضلاع تساوي ١١٠ درجات.

لإيجاد الزاوية المجاورة لها والتي تمثل إحدى زوايا قاعدة المثلث، نطرح ١١٠ من ١٨٠.

$٧٠ = {١١٠} – {١٨٠}$

المثلث الموجود داخل الشكل هو مثلث متطابق الضلعين بناءً على العلامات الهندسية المرئية.

في المثلث متطابق الضلعين، تكون زاويتا القاعدة متساويتين، مما يعني أن الزاوية الأخرى للقاعدة تساوي ٧٠ درجة أيضاً.

مجموع زوايا أي مثلث الداخلية هو ١٨٠ درجة.

نجمع زاويتي القاعدة لتحديد المجموع الجزئي.

$١٤٠ = {٧٠} + {٧٠}$

لإيجاد قيمة المتغير س، نطرح مجموع زاويتي القاعدة من المجموع الكلي لزوايا المثلث.

$٤٠ = {١٤٠} – {١٨٠}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التبادل الداخلي للزوايا واستخدام خصائص المثلث لحساب الزاوية المجهولة.

في متوازي الأضلاع، كل زاويتين متقابلتين متساويتان، وكل زاويتين متجاورتين مكملة للأخرى.

بناءً على التبادل الداخلي والتحالف، الزاوية السفلية المجاورة للزاوية المنفرجة تساوي ٧٠ درجة.

الضلعان المحددان بعلامة التطابق يشيران إلى أن المثلث متطابق الضلعين.

بناءً على نظرية المثلث متطابق الضلعين، الزاويتان المقابلتان للضلعين المتطابقين متساويتان.

قيمة الزاوية الثانية للقاعدة تساوي ٧٠ درجة.

لحساب الزاوية س، نطبق قانون مجموع زوايا المثلث.

$٤٠ = ({٧٠} + {٧٠}) – {١٨٠}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الجزء المظلل عن طريق إيجاد مساحة الشكل الهندسي الكلي ثم طرح مساحة الأجزاء غير المظللة (مكملة الشكل).

الشكل الكلي عبارة عن مستطيل طوله $٧$ وعرضه $٥$.

نكتب قانون مساحة المستطيل: الطول مضروباً في العرض.

نعوض بالأرقام لحساب المساحة الكلية للمستطيل:

$٣٥ = {٥} \times {٧}$

الجزء غير المظلل يمثل مثلثاً تقع قاعدته على الحد الأيسر للمستطيل، وطول هذه القاعدة معطى وهو $٤$.

ارتفاع هذا المثلث هو الفرق بين عرض المستطيل الكلي والجزء المتبقي منه، أي نطرح $٢$ من $٥$.

$٣ = {٢} – {٥}$

نكتب قانون مساحة المثلث: نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

نعوض في القانون لحساب مساحة المثلث غير المظلل:

$٦ = {٣} \times {٤} \times \dfrac{١}{٢}$

الآن نحسب مساحة الجزء المظلل بطرح مساحة المثلث (مكملة الشكل) من مساحة المستطيل الكلية.

$٢٩ = {٦} – {٣٥}$

والإجابة هي $٢٩$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تقسيم الشكل المظلل إلى أشكال هندسية مألوفة ومنتظمة يسهل حساب مساحتها بشكل مباشر ثم جمعها.

يمكننا تقسيم الجزء المظلل أفقياً إلى مستطيل سفلي مستقل وشبه منحرف علوي.

المستطيل السفلي الناتج ستكون أبعاده $٧$ للطول و $٢$ للعرض.

مساحة هذا المستطيل السفلي تساوي حاصل ضرب الطول في العرض:

$١٤ = {٢} \times {٧}$

الجزء العلوي هو شبه منحرف قاعدتاه المتوازيتان هما $٧$ و $٣$ (حيث حصلنا على $٣$ من طرح $٤$ من $٧$).

ارتفاع شبه المنحرف هو $٣$ (والذي استنتجناه من طرح $٢$ من $٥$).

نكتب قانون مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين مضروباً في الارتفاع.

نعوض بالأرقام في القانون:

$١٥ = {٣} \times ({٣} + {٧}) \times \dfrac{١}{٢}$

نجمع مساحة المستطيل السفلي مع مساحة شبه المنحرف للحصول على المساحة المظللة الكلية.

$٢٩ = {١٥} + {١٤}$

والإجابة هي $٢٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: كل زاويتين متجاورتين في المعين تعتبر كل منهما مكملة للأخرى، أي أن مجموع قياسهما يساوي $١٨٠$ درجة.

من المعطيات على الشكل، الزاويتان المتجاورتان هما $س٢$ و $س٣$.

نكتب معادلة المجموع ونساويها بالقيمة $١٨٠$:

$١٨٠ = {س٢} + {س٣}$

نجمع المعاملات للمتغير س:

$١٨٠ = س٥$

نقسم الطرفين على $٥$ لإيجاد قيمة س:

$٣٦ = {٥} \div ١٨٠$

زاوية د تمثل الزاوية المقابلة للزاوية التي قياسها $س٣$، وفي المعين كل زاويتين متقابلتين متطابقتان.

نعوض بقيمة س لحساب قياس زاوية د:

قياس زاوية د = $٣ \times ٣٦$

$١٠٨ = ٣ \times ٣٦$

والإجابة هي $١٠٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب وتقسيم الأجزاء لحساب الزوايا المتجاورة التي تعتبر كل منها مكملة للأخرى وتشكل $١٨٠$ درجة.

النسبة بين الزاويتين المتجاورتين هي $٢$ إلى $٣$.

نحسب مجموع الأجزاء للزاويتين المتجاورتين:

$٥ = ٢ + ٣$

نقسم المجموع الكلي للزاويتين وهو $١٨٠$ على مجموع الأجزاء لمعرفة قيمة الجزء الواحد:

$٣٦ = {٥} \div ١٨٠$

زاوية د تطابق الزاوية الكبرى بحسب المعطيات، والتي تمثل $٣$ أجزاء من التناسب.

نضرب قيمة الجزء الواحد في عدد أجزاء الزاوية المطلوبة:

$١٠٨ = ٣٦ \times ٣$

والإجابة هي $١٠٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحليل المساحات المتطابقة والتناسب الهندسي داخل الأشكال الرباعية.

بالنظر الدقيق إلى الشكل الهندسي المرفق، نلاحظ وجود خط مستقيم يمر عبر المستطيل ويقسمه إلى قسمين متطابقين تماماً.

بما أن القسمين متطابقان، فإن مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة الجزء غير المظلل.

هذا يعني أن الجزء المظلل يشغل بالضبط نصف المساحة الكلية للمستطيل.

لإيجاد النسبة المطلوبة، نقسم مساحة الجزء المظلل على المساحة الكلية.

صيغة النسبة رياضياً تمثل القيمة واحد للجزء المظلل مقابل القيمة اثنان للمستطيل كاملاً.

تُصاغ النسبة في صورتها النهائية لتعبر عن العلاقة الرياضية السليمة.

والإجابة هي $٢ : ١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الافتراض الجبري للأبعاد لحساب نسب المساحات.

لنفترض أن طول المستطيل يساوي قيمة عددية معينة، ولتكن أربعة وحدات.

ونفترض أن عرض المستطيل يساوي قيمة عددية أخرى، ولتكن وحدتين.

قانون مساحة المستطيل هو:

المساحة $ ل \times ع =$

نعوض بالقيم المفترضة لحساب المساحة الكلية:

$٨ = ٢ \times ٤$

الشكل المظلل عبارة عن متوازي أضلاع قاعدته تساوي نصف طول المستطيل، أي وحدتين، وارتفاعه يساوي عرض المستطيل، أي وحدتين.

قانون مساحة متوازي الأضلاع هو:

المساحة $ ق \times ع =$

نعوض لحساب مساحة الجزء المظلل:

$٤ = ٢ \times ٢$

نحسب الآن النسبة بين مساحة المظلل إلى مساحة المستطيل الكلية عن طريق القسمة.

$\dfrac{١}{٢} = {\dfrac{٤}{٨}}$

تُكتب هذه القيمة الكسرية بصيغة نسبة نقطية متكافئة.

والإجابة هي $٢ : ١$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الأجزاء المظللة عن طريق إيجاد مساحة الشكل الهندسي الأكبر ثم طرح مساحات الأشكال الفرعية غير المظللة (مكملة الشكل) منها.

الشكل الكلي يمثل شبه منحرف، قاعدته السفلية طولها $٩$، وقاعدته العلوية طولها $٣$.

ارتفاع شبه المنحرف الكلي هو مجموع ارتفاعي المثلثين الصغيرين الداخليين، أي نجمع $٦$ مع $٢$.

$٨ = {٦} + {٢}$

نكتب قانون مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين مضروباً في الارتفاع.

نعوض بالأرقام لحساب المساحة الكلية لشبه المنحرف:

$٤٨ = {٨} \times ({٣} + {٩}) \times \dfrac{١}{٢}$

نحسب الآن مساحة المثلث غير المظلل العلوي. قانون مساحة المثلث هو نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

نعوض بقاعدة طولها $٣$ وارتفاع طوله $٢$:

$٣ = {٢} \times {٣} \times \dfrac{١}{٢}$

نحسب مساحة المثلث غير المظلل السفلي بنفس القانون، بقاعدة طولها $٩$ وارتفاع $٦$:

$٢٧ = {٦} \times {٩} \times \dfrac{١}{٢}$

نجمع مساحتي المثلثين غير المظللين لنحصل على المساحة الإجمالية البيضاء.

$٣٠ = {٢٧} + {٣}$

لإيجاد مساحة الجزء المظلل، نطرح المساحة البيضاء الإجمالية من المساحة الكلية لشبه المنحرف.

$١٨ = {٣٠} – {٤٨}$

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام نظرية المساحات المتقاطعة في شبه المنحرف لحساب مساحة الأجزاء الجانبية بشكل مباشر.

الجزء المظلل يتكون من مثلثين جانبيين ناتجين عن تقاطع قطري شبه المنحرف.

تنص القاعدة الهندسية على أنه في أي شبه منحرف تتقاطع قطراه، يكون جداء مساحتي المثلثين الجانبيين متساوياً، وهو يساوي أيضاً جداء مساحتي المثلثين العلوي والسفلي.

لأن المثلثين الجانبيين المظللين متطابقان في المساحة دائماً في هذا النوع من التقسيم، نفترض أن مساحة المثلث المظلل الواحد هي المتغير $م$.

نكتب قانون الجداء المتقاطع للمساحات بناءً على النظرية:

${٢٧} \times {٣} = {م} \times {م}$

نقوم بتبسيط الطرف الأيسر بضرب المتغيرين، وحساب ناتج الضرب في الطرف الأيمن:

$٨١ = {}^{٢}م$

لإيجاد قيمة $م$ (وهي مساحة مثلث مظلل واحد)، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين.

$٩ = {\sqrt{٨١}}$

بما أن الجزء المظلل بالكامل يتكون من مثلثين متساويين في المساحة، نضرب الناتج الذي حصلنا عليه في $٢$.

$١٨ = {٢} \times {٩}$

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: العلاقات الثابتة لمساحات الأشكال الهندسية المحصورة داخل مستطيلات.

القيمة الأولى تطلب نسبة مساحة المعين إلى مساحة المستطيل المحيط به.

القاعدة الهندسية تنص على أنه إذا رُسم معين داخل مستطيل بحيث تقع رؤوس المعين على منتصفات أضلاع المستطيل، فإن مساحة المعين تساوي نصف مساحة المستطيل.

رياضياً، يمكن التعبير عن نسبة مساحة المعين للمستطيل بالكسر التالي:

$\dfrac{١}{٢}$

القيمة الثانية تطلب نسبة مساحة المثلث إلى مساحة المستطيل.

القاعدة الهندسية تنص على أنه إذا رُسم مثلث داخل مستطيل بحيث تشترك قاعدته مع ضلع المستطيل ويقع رأسه على الضلع المقابل، فإن مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل.

رياضياً، يمكن التعبير عن نسبة مساحة المثلث للمستطيل بالكسر التالي:

$\dfrac{١}{٢}$

نقوم الآن بمقارنة القيمتين الناتجتين.

نجد أن الكسر الممثل للقيمة الأولى يساوي تماماً الكسر الممثل للقيمة الثانية.

لذلك، القيمتان متساويتان رياضياً وهندسياً.

والإجابة هي متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إثبات التساوي عبر تحليل قوانين المساحة المشتركة للأبعاد.

لنفرض أن طول المستطيل هو القاعدة، وعرضه هو الارتفاع.

مساحة المستطيل تساوي ضرب القاعدة في الارتفاع.

في حالة المعين المحصور، قطراه يمثلان طولي ضلعي المستطيل (القاعدة والارتفاع).

قانون مساحة المعين بدلالة أقطاره هو: نصف حاصل ضرب القطرين.

بالتعويض المستنتج: مساحة المعين تساوي نصف مضروب القاعدة في الارتفاع.

في حالة المثلث المحصور، قاعدته هي نفس قاعدة المستطيل، وارتفاعه هو نفس ارتفاع المستطيل.

قانون مساحة المثلث هو: نصف طول القاعدة في الارتفاع.

بالتعويض المستنتج: مساحة المثلث تساوي نصف مضروب القاعدة في الارتفاع.

بمقارنة الصيغتين الجبريتين النهائيتين، نلاحظ التطابق التام في القيمة الرياضية.

وهذا يؤكد أن كلا الشكلين يشغلان مساحة متطابقة تمثل نصف المساحة الكلية الحاضنة لهما.

والإجابة هي متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلع المعين من خلال أنصاف أقطاره، واستخدام قانون المساحة لإيجاد طول ضلع المربع، ثم حساب ومقارنة محيطي الشكلين.

نشرع أولاً في تحليل المعطيات المرتبطة بالقيمة الأولى، والتي تمثل محيط معين أطوال قطريه هي ستة وثمانية سنتيمترات.

من خصائص المعين أن أقطاره تنصف بعضها البعض وتشكل زوايا قائمة، مما ينتج أربعة مثلثات قائمة الزاوية بداخل المعين.

لحساب طول ضلع المعين، يجب علينا إيجاد أطوال أضلاع الزاوية القائمة في هذه المثلثات، وهي تساوي نصف طول كل قطر.

نحسب طول الضلع الأول للمثلث بقسمة القطر الأول على اثنين، ونرمز للناتج بالمتغير س.

$س = {٢} \div {٦}$

$٣ = {٢} \div {٦}$

نحسب طول الضلع الثاني للمثلث بقسمة القطر الثاني على اثنين، ونرمز للناتج بالمتغير ص.

$ص = {٢} \div {٨}$

$٤ = {٢} \div {٨}$

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد الوتر الذي يمثل طول ضلع المعين، ونرمز للوتر بالمتغير ع.

${}^{٢}ع = {}^{٢}ص + {}^{٢}س$

نعوض بالقيم العددية لأنصاف الأقطار داخل المعادلة.

${}^{٢}ع = {}^{٢}({٤}) + {}^{٢}({٣})$

نوجد مربعات الأعداد لتبسيط المعادلة.

${}^{٢}ع = {١٦} + {٩}$

نجمع القيمتين معاً.

${}^{٢}ع = {٢٥}$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لاستخراج طول الضلع المجرد من الأس.

$ع = {\sqrt{٢٥}}$

$٥ = {\sqrt{٢٥}}$

بما أن أطوال أضلاع المعين الأربعة متطابقة، نحسب المحيط بضرب طول الضلع في العدد أربعة، ونرمز للمحيط بالمتغير ح.

$ح = {٤} \times {٥}$

$٢٠ = {٤} \times {٥}$

ننتقل إلى تقييم القيمة الثانية، وهي تمثل محيط مربع عُلمت مساحته بأنها خمسة وعشرون سنتيمتراً مربعاً.

قانون مساحة المربع ينص على تربيع طول الضلع، ونرمز لطول الضلع بالمتغير ل.

$٢٥ = {}^{٢}ل$

نستخرج الجذر التربيعي للطرفين لمعرفة طول الضلع.

$ل = {\sqrt{٢٥}}$

$٥ = {\sqrt{٢٥}}$

نحسب محيط المربع بضرب طول ضلعه المستخرج في العدد أربعة، ونرمز للمحيط بالمتغير ط.

$ط = {٤} \times {٥}$

$٢٠ = {٤} \times {٥}$

نقوم الآن بإجراء المقارنة الرياضية بين النتيجتين النهائيتين للمحيطين.

يتضح لنا أن محيط المعين يساوي عشرين، ومحيط المربع يساوي عشرين أيضاً، مما يثبت تطابقهما التام.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توظيف الاستنتاج المباشر المبني على حفظ الأرقام المشهورة لثلاثيات فيثاغورس، والخصائص الجبرية للمربعات الكاملة لاختصار الخطوات.

بالتركيز على معطيات القيمة الأولى، نعلم أن أقطار المعين هي ستة وثمانية.

نستنتج ذهنياً أن أنصاف هذه الأقطار هي الأعداد ثلاثة وأربعة.

بمجرد ملاحظة الأعداد ثلاثة وأربعة كأضلاع زاوية قائمة، نستدعي فوراً ثلاثية فيثاغورس الشهيرة المكونة من الأعداد ثلاثة وأربعة وخمسة.

استناداً إلى ذلك، ندرك بشكل قاطع أن طول وتر المثلث، والذي هو ضلع المعين، يبلغ خمسة.

نجمع أضلاع المعين الأربعة المتساوية لنوجد المحيط، ونرمز له بالمتغير ح.

$ح = {٥} + {٥} + {٥} + {٥}$

$٢٠ = {٥} + {٥} + {٥} + {٥}$

نتجه لفحص القيمة الثانية المتعلقة بمربع مساحته تبلغ خمسة وعشرين.

العدد الصحيح الموجب الوحيد الذي ينتج خمسة وعشرين عند ضربه في نفسه هو العدد خمسة، وهو بذلك يمثل طول الضلع.

نوجد محيط المربع بجمع أطوال أضلاعه الأربعة، ونرمز له بالمتغير ط.

$ط = {٥} + {٥} + {٥} + {٥}$

$٢٠ = {٥} + {٥} + {٥} + {٥}$

بمقارنة القيمتين العدديتين المستخرجتين، نلاحظ أنهما متساويتان بشكل كامل.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: أقطار المعين متعامدة وينصف كل منهما الآخر، مما يشكل أربعة مثلثات قائمة الزاوية، وتر كل منها هو ضلع المعين.

طول ضلع المعين يمثل الوتر في المثلث القائم ويساوي $١٠$.

نحسب نصف طول القطر المعلوم الذي يساوي $١٢$ ليكون أحد ضلعي القائمة:

$٦ = {٢} \div ١٢$

نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف القطر الآخر ونرمز له بالمتغير س: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

نعوض بالقيم المعلومة في المعادلة:

${}^{٢}(١٠) = {}^{٢}(٦) + {}^{٢}س$

نحسب مربعات الأعداد:

$١٠٠ = ٣٦ + {}^{٢}س$

نطرح $٣٦$ من الطرفين لإيجاد مربع نصف القطر الآخر:

$ {٣٦} – ١٠٠ = {}^{٢}س$

$٦٤ = {}^{٢}س$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

${\sqrt{٦٤}} = س$

$٨ = س$

بما أن $٨$ هو نصف القطر، نضربه في $٢$ للحصول على طول القطر بالكامل:

$١٦ = ٨ \times ٢$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة ومضاعفاتها لتسريع الحل واستنتاج الأضلاع المجهولة.

المثلث القائم الناتج عن تقاطع الأقطار يحتوي على وتر يمثل ضلع المعين وهو $١٠$.

نحسب الضلع القائم الأول بقسمة القطر المعطى على $٢$:

$٦ = {١٢} \div ٢$

نلاحظ أن الأضلاع $٦$ و $١٠$ هي مضاعفات لثلاثية فيثاغورس الشهيرة $٣$ و $٤$ و $٥$.

عند ضرب أضلاع هذه الثلاثية في $٢$، نحصل على الأضلاع $٦$ و $٨$ و $١٠$.

بما أن الوتر هو $١٠$ وأحد الأضلاع هو $٦$، فإن الضلع الناقص وهو نصف القطر الآخر يساوي $٨$.

نحسب طول القطر الآخر كاملاً بضرب نصف القطر المكتشف في $٢$:

$١٦ = ٨ \times ٢$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج المساحة الكلية من خلال معرفة مساحة جزء نسبي منها عبر التناسب الشبكي.

بتحليل الشبكة الهندسية المكونة للمربع الكبير، نلاحظ أنه تم تقسيمه إلى أربعة مربعات صغيرة متطابقة.

وكل مربع صغير من هذه الأربعة تم تقسيمه قُطرياً إلى مثلثين متطابقين.

إذا قمنا بحصر عدد المثلثات الإجمالي داخل المربع الكبير، سنجد أنها ثمانية مثلثات متساوية المساحة.

الجزء المظلل المعطى في السؤال يمثل مثلثاً واحداً فقط من هذه المثلثات الثمانية.

نستنتج من ذلك أن مساحة المثلث الواحد المظلل تساوي ثلاثة سنتيمترات مربعة.

قانون إيجاد المساحة الكلية بناءً على الأجزاء المتطابقة هو:

المساحة الكلية = مساحة الجزء الواحد × عدد الأجزاء الكلي

نعوض في القانون بالقيم التي استنتجناها.

$٢٤ = ٣ \times ٨$

بذلك تكون مساحة المربع الكبير أربعة وعشرين سنتيمتراً مربعاً.

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج البنائي للمساحات من الأصغر إلى الأكبر هندسياً.

معطى أن مساحة المثلث الصغير المظلل تساوي ثلاثة سنتيمترات مربعة.

الشكل الهندسي يوضح أن كل مربع صغير يحتوي على مثلثين متطابقين تماماً.

لإيجاد مساحة مربع صغير واحد، نضرب مساحة المثلث المظلل في اثنين.

$٦ = ٢ \times ٣$

الآن، أصبحنا نعلم أن مساحة المربع الداخلي الصغير هي ستة سنتيمترات مربعة.

المربع الكبير الخارجي يتكون بشكل كامل من أربعة مربعات صغيرة متطابقة.

لإيجاد المساحة الكلية للمربع الكبير، نضرب مساحة المربع الصغير في عددها الإجمالي وهو أربعة.

$٢٤ = ٤ \times ٦$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تفكيك الشكل المعقد إلى أشكال هندسية بسيطة (شبه منحرف) وحساب مساحاتها.

نلاحظ من الشكل أن المنطقة المظللة تتكون من شكلين متطابقين، كل منهما يمثل شبه منحرف.

قاعدة شبه المنحرف العلوية تمثل طول ضلع المربع وتساوي ستة سنتيمترات.

القاعدة السفلية لشبه المنحرف معطاة في الشكل وتساوي اثنين سنتيمتر.

ارتفاع شبه المنحرف يمثل نصف طول ضلع المربع، لأن الشكلين يلتقيان في المنتصف.

نحسب الارتفاع بقسمة طول الضلع على اثنين:

$٣ = {٢} \div {٦}$

قانون مساحة شبه المنحرف هو:

المساحة $ ع \times \dfrac{٢ق + ١ق}{٢} =$

نعوض بالقيم في القانون لحساب مساحة شبه منحرف واحد:

$١٢ = ٣ \times \dfrac{٢ + ٦}{٢}$

بما أن لدينا شكلين متطابقين من شبه المنحرف، نجمع المساحتين معاً للحصول على المساحة المظللة الكلية.

$٢٤ = {١٢} + {١٢}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: طريقة الطرح العكسي للمساحات (المساحة الكلية ناقص مساحة الأجزاء غير المظللة).

نبدأ بحساب المساحة الكلية للمربع الخارجي.

قانون مساحة المربع هو:

المساحة $ ل\times ل=$

نعوض بقيمة طول الضلع وهي ستة سنتيمترات:

$٣٦ = ٦ \times ٦$

الجزء غير المظلل يتكون من مثلثين متطابقين يقعان على يمين ويسار الشكل.

قاعدة كل مثلث تقع على ضلع المربع وتساوي ستة سنتيمترات.

ارتفاع كل مثلث يساوي نصف المسافة المتبقية بعد طرح القاعدة الصغرى لشبه المنحرف من ضلع المربع.

خطوة استنتاج ارتفاع المثلث:

$٢ = {٢} \div ({٢} – {٦})$

قانون مساحة المثلث هو:

المساحة $ ع\times ق\times \dfrac{١}{٢}=$

نعوض لحساب مساحة مثلث واحد:

$٦ = ٢ \times ٦ \times \dfrac{١}{٢}$

نحسب مساحة المثلثين معاً بجمع مساحتيهما:

$١٢ = {٦} + {٦}$

نطرح مساحة الأجزاء غير المظللة من المساحة الكلية للحصول على مساحة الجزء المظلل.

$٢٤ = {١٢} – {٣٦}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١: مجموع الزوايا الداخلية للمضلع الرباعي

المفهوم الرياضي: مجموع الزوايا الداخلية لأي شكل رباعي مغلق يساوي دائماً $٣٦٠$ درجة.

الشكل المرفق هو شكل طائرة ورقية، وفيه زاويتان متقابلتان متطابقتان، وكل منهما ممثلة بالمتغير $س$.

الزاويتان الأخريان المتبقيتان قيمتهما $٦٠$ و $٥٠$.

نقوم بتكوين معادلة جبرية بجمع جميع الزوايا الأربع ومساواتها بالرقم $٣٦٠$.

${٣٦٠} = {س} + {س} + {٥٠} + {٦٠}$

نقوم أولاً بجمع الأرقام الثابتة المتوفرة في المعادلة معاً:

${١١٠} = {٥٠} + {٦٠}$

ثم نقوم بجمع المتغيرات المجهولة معاً:

${س٢} = {س} + {س}$

تصبح المعادلة الرياضية بعد هذا التبسيط الأولي:

${٣٦٠} = {١١٠} + {س٢}$

لإيجاد قيمة المتغير، ننقل الرقم $١١٠$ إلى الطرف الآخر بإشارة سالبة لنطرحه من $٣٦٠$.

${س٢} = {١١٠} – {٣٦٠}$

نقوم بتنفيذ عملية الطرح للحصول على الناتج المرحلي:

${٢٥٠} = {س٢}$

بقسمة الطرفين على معامل المتغير وهو الرقم $٢$ للتخلص منه:

${س} = {٢} \div {٢٥٠}$

ينتج لدينا بعد تنفيذ عملية القسمة الناتج النهائي:

${١٢٥} = {س}$

والإجابة هي $١٢٥$

تكنيك ٢: تقسيم الشكل إلى مثلثين متطابقين

المفهوم الرياضي: يمكن تقسيم شكل الطائرة الورقية هندسياً برسم قطر يمر بالزاويتين المختلفتين ليقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين تماماً.

هذا القطر المنصف سيقسم كلاً من الزاويتين $٦٠$ و $٥٠$ إلى نصفين متساويين، حيث يذهب نصف لكل مثلث.

في المثلث الواحد المتكون، ستكون الزوايا الداخلية هي: الزاوية $س$ كاملة، ونصف الزاوية $٦٠$، ونصف الزاوية $٥٠$.

نحسب نصف الزاوية $٦٠$ بالقسمة على $٢$:

${٣٠} = {٢} \div {٦٠}$

نحسب نصف الزاوية $٥٠$ بالقسمة على $٢$:

${٢٥} = {٢} \div {٥٠}$

بما أن مجموع زوايا المثلث الواحد هو $١٨٠$ درجة، نكتب المعادلة الآتية للمثلث:

${١٨٠} = {س} + {٢٥} + {٣٠}$

نجمع الأرقام الثابتة داخل المعادلة:

${٥٥} = {٢٥} + {٣٠}$

تصبح المعادلة بعد تبسيط الأرقام:

${١٨٠} = {٥٥} + {س}$

لإيجاد قيمة المتغير نعزله بطرح $٥٥$ من الطرفين:

${س} = {٥٥} – {١٨٠}$

الناتج النهائي بعد الطرح هو:

${١٢٥} = {س}$

والإجابة هي $١٢٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب مساحة شبه المنحرف باستخدام قانون المساحة واستنتاج الأطوال من خصائص المربع.

مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين مضروباً في الارتفاع.

بما أن الشكل الخارجي مربع طول ضلعه ٢، فإن طول القاعدة السفلية الكبرى لشبه المنحرف يساوي ٢.

يتم تنصيف الضلع الأيمن للمربع لتشكيل الارتفاع الخاص بشبه المنحرف، مما يجعل الارتفاع يساوي نصف طول ضلع المربع.

$١ = {٢} \div {٢}$

القاعدة العلوية الصغرى لشبه المنحرف تمثل منتصف المسافة الأفقية وتقابل نصف المربع، وبالتالي طولها يساوي ١.

نقوم بالتعويض في قانون مساحة شبه المنحرف بالقيم المستنتجة حيث القاعدتان ١ و ٢ والارتفاع ١.

نجمع القاعدتين أولاً داخل الأقواس.

$٣ = {١} + {٢}$

نضرب مجموع القاعدتين في الارتفاع وهو ١.

$٣ = {١} \times {٣}$

نقسم الناتج النهائي على ٢ حسب القانون.

$١،٥ = {٢} \div {٣}$

والإجابة هي $١،٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب المساحة باستخدام طريقة تجزئة الأشكال الهندسية لتبسيط العمليات الحسابية.

يمكننا تقسيم شبه المنحرف المطلوب إلى شكلين هندسيين أبسط، وهما مستطيل ومثلث قائم الزاوية.

من استنتاج الأطوال، المستطيل الناتج له طول قاعدة يساوي ١ وارتفاع يساوي ١.

مساحة المستطيل تساوي الطول مضروباً في العرض.

$١ = {١} \times {١}$

المثلث القائم الزاوية المتبقي له قاعدة تساوي ١ وارتفاع يساوي ١.

مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

$٠،٥ = ({١} \times {١}) \times \dfrac{١}{٢}$

نجمع مساحة المستطيل ومساحة المثلث للحصول على المساحة الإجمالية لشبه المنحرف.

$١،٥ = {٠،٥} + {١}$

والإجابة هي $١،٥$

تكنيك ١: التحليل المنطقي وحذف الأجزاء المشتركة

المفهوم الرياضي: عند مقارنة قيمتين رياضيتين أو هندسيتين تتضمنان مقداراً مشتركاً، فإن استبعاد هذا المقدار الثابت من كلا الطرفين يبسط عملية المقارنة ولا يغير من النتيجة النهائية.

القيمة الأولى تمثل مجموع مساحات الأشكال المكونة من:

${٥} + {٢} + {١}$

القيمة الثانية تمثل مجموع مساحات الأشكال المكونة من:

${٥} + {٤} + {٣}$

بملاحظة القيمتين، نجد أن مساحة الشكل رقم $٥$ عبارة عن قيمة مشتركة ومضافة للطرفين.

نقوم بحذف مساحة الشكل رقم $٥$ من كلا القيمتين لتبسيط المقارنة.

تصبح القيمة الأولى المتبقية هي مساحة الأشكال:

${٢} + {١}$

وتصبح القيمة الثانية المتبقية هي مساحة الأشكال:

${٤} + {٣}$

بالنظر إلى الشكل الهندسي المرفق، نلاحظ أن الأشكال الموجودة في الجزء العلوي وهي الأشكال $١$ و $٢$ تمثل نصف أجزاء المستطيل، وتتطابق قواعدها مع القواعد الموجودة في الجزء السفلي للأشكال $٣$ و $٤$.

القاعدة الصغرى في جميع هذه الأشكال متطابقة ومتساوية في الطول.

القاعدة الكبرى في جميع هذه الأشكال متطابقة ومتساوية في الطول أيضاً.

وبناءً على المعطيات الواردة في نص السؤال، فإن ارتفاعات أشباه المنحرفات جميعها متساوية.

وحيث أن مساحة شبه المنحرف تعتمد بشكل مباشر على مجموع طولي قاعدتيه وارتفاعه، فإن تطابق القواعد والارتفاعات يعني بالضرورة تطابق المساحات.

إذن مجموع مساحات الأشكال $٢ + ١$ مساوٍ تماماً لمجموع مساحات الأشكال $٤ + ٣$.

مما يعني أن القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية بشكل قطعي.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: التطابق الهندسي الشامل

المفهوم الرياضي: مساحة أي مضلع كشبه المنحرف تعتمد حصرياً على أبعاده الأساسية وهي طولي القاعدتين المتوازيتين والارتفاع.

بما أن الارتفاع متساوٍ لجميع الأشكال بناءً على المعطيات، فإن المساحة الإجمالية تعتمد كلياً على مجموع أطوال القواعد.

نلاحظ أن مجموع قواعد الأشكال $١$ و $٢$ و $٥$ يشكل طول ضلع المستطيل الكلي من الجهة العلوية والوسطى.

وفي المقابل، مجموع قواعد الأشكال $٣$ و $٤$ و $٥$ يشكل طول نفس ضلع المستطيل الكلي من الجهة السفلية والوسطى.

بما أن الأطوال الإجمالية للقواعد متساوية، والارتفاعات ثابتة ومتساوية لجميع الأشكال، فإن المساحة الإجمالية للمجموعة الأولى تتطابق تماماً مع المساحة الإجمالية للمجموعة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المربع وعلاقة المربع المرسوم من منتصفات أضلاع مربع آخر به.

تنص القاعدة الهندسية على أن مساحة المربع المرسوم من توصيل منتصفات أضلاع مربع آخر تساوي نصف مساحة ذلك المربع الخارجي.

بناءً على ذلك، مساحة المربع الخارجي تساوي ضعف مساحة المربع الداخلي المرسوم من منتصفات أضلاعه.

نبدأ بحساب مساحة المربع الأصغر المعطى طول ضلعه في السؤال.

مساحة المربع تساوي طول الضلع مضروباً في نفسه.

طول ضلع المربع الأصغر يساوي $٢$.

نعوض في القانون لحساب مساحة المربع الأصغر.

$٤ = {٢} \times {٢}$

إذن، مساحة المربع الأصغر تساوي $٤$.

ننتقل الآن لحساب مساحة المربع الأوسط الذي يحوي المربع الأصغر.

مساحة المربع الأوسط تساوي ضعف مساحة المربع الأصغر.

$٨ = {٢} \times {٤}$

إذن، مساحة المربع الأوسط تساوي $٨$.

أخيراً، نحسب مساحة المربع الأكبر الذي يحوي المربع الأوسط.

مساحة المربع الأكبر تساوي ضعف مساحة المربع الأوسط.

$١٦ = {٢} \times {٨}$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استنتاج الأطوال باستخدام نظرية فيثاغورس أو خصائص المثلثات القائمة المتطابقة الضلعين.

طول ضلع المربع الأصغر هو $٢$.

المربع الأصغر يمثل وتراً للمثلثات القائمة المتطابقة الضلعين المتشكلة في زوايا المربع الأوسط.

إذا كان الوتر يساوي $٢$، فإن طولي ضلعي القائمة في ذلك المثلث متساويان.

طول الضلع الواحد للمربع الأوسط يساوي مجموع طولي ضلعي القائمة للمثلثين المتجاورين.

بتطبيق خصائص المثلث القائم الزاوية ومتطابق الضلعين، نجد أن مساحة المربع تتضاعف مع كل درجة انتقال للخارج.

مساحة المربع الداخلي هي $٤ = {}^{٢}{٢}$.

نضاعف المساحة لنحصل على مساحة المربع الأوسط.

$٨ = {٢} \times {٤}$

نضاعف المساحة مرة أخرى لنحصل على مساحة المربع الأكبر.

$١٦ = {٢} \times {٨}$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاعتماد على مبدأ جمع القطع المستقيمة، واستخدام علامات التطابق الهندسي للتعويض، وتطبيق خصائص متوازي الأضلاع لإيجاد المحيط الكلي.

استناداً إلى المعطيات النصية الموضحة في الشكل الهندسي، نعلم أن طول القطعة المستقيمة الكاملة أ س يبلغ خمسة عشر سنتيمتراً.

هندسياً، هذه القطعة المستقيمة المجزأة تتألف من حاصل جمع طول القطعة أ ب مع طول القطعة ب س.

نرمز لطول القطعة أ ب بالمتغير س، ولطول القطعة ب س بالمتغير ص، ونصيغ معادلة الجمع.

$١٥ = {ص} + {س}$

بالتدقيق البصري الدقيق في العلامات الهندسية المرسومة على الشكل، نرصد وجود علامات تطابق صريحة على الضلعين ب س و ب ج.

هذا يعني رياضياً أن طول الضلع ب ج مساوٍ تماماً لطول الضلع ب س، ونرمز للضلع ب ج بالمتغير ع.

$ع = ص$

بناءً على هذه العلاقة، نقوم بخطوة التعويض الجبري في معادلتنا الأولى، حيث نستبدل المتغير ص بالمتغير ع.

$١٥ = {ع} + {س}$

هذا الاستنتاج يعني أن مجموع الضلعين المتجاورين في متوازي الأضلاع، وهما أ ب و ب ج، يساوي خمسة عشر.

من القواعد الثابتة لمتوازي الأضلاع أن كل ضلعين متقابلين فيه يكونان متطابقين في الطول.

بناءً على قاعدة التطابق هذه، فإن مجموع الضلعين المتقابلين المتبقيين، وهما أ د و د ج، سيكون حتماً مساوياً لمجموع الضلعين الأولين، أي خمسة عشر.

لإيجاد المحيط الكلي، والذي نرمز له بالمتغير ح، نقوم بجمع كل الأضلاع الأربعة لمتوازي الأضلاع.

$ح = {١٥} + {١٥}$

$٣٠ = {١٥} + {١٥}$

والإجابة هي $٣٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق صيغة محيط متوازي الأضلاع المباشرة والتي تعتمد على ضرب مجموع أي ضلعين متجاورين في العدد اثنين.

الخطوة التأسيسية للحل تبدأ من إدراك أن الخط المستقيم الكلي أ س يمثل الطول الإجمالي لخمسة عشر وحدة.

هذا الخط مقسم بنقطة التقاطع ب إلى قطعتين متصلتين، وهما أ ب و ب س، ومجموعهما الجبري يساوي خمسة عشر.

تشير الرموز الهندسية المرفقة بالشكل إلى أن القطعة المستقيمة ب س تطابق القطعة المستقيمة ب ج بشكل تام.

إذا قمنا بالاستعاضة عن الضلع ب س بالضلع ب ج المطابق له، نصل إلى نتيجة مفادها أن مجموع الضلع أ ب والضلع ب ج يساوي خمسة عشر.

الضلعان أ ب و ب ج هما في الواقع ضلعان متجاوران يشكلان معاً نصف محيط متوازي الأضلاع.

نكتب الصيغة الرياضية المختصرة لحساب محيط متوازي الأضلاع، ونرمز للمحيط بالمتغير ح.

(مجموع الضلعين المتجاورين) × ٢ = ح

نقوم بالتعويض بقيمة مجموع الضلعين المتجاورين التي استنتجناها مسبقاً داخل الأقواس في الصيغة الرياضية.

$ح = {٢} \times ({١٥})$

ننفذ عملية الضرب للحصول على الناتج النهائي لقيمة المحيط.

$٣٠ = {٢} \times {١٥}$

والإجابة هي $٣٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي المساحة الكلية للشكل مطروحاً منها مساحة الجزء غير المظلل.

نكتب قانون مساحة المربع: مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه.

نحسب مساحة المربع الكلية الذي طول ضلعه سبعة: $٤٩ = {٧} \times {٧}$ وحدة مربعة.

نكتب قانون مساحة المثلث: مساحة المثلث = نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

نحدد أبعاد المثلث غير المظلل من الشكل: القاعدة تساوي سبعة والارتفاع يساوي أربعة.

نحسب مساحة المثلث غير المظلل: $١٤ = {٤} \times {٧} \times {\dfrac{١}{٢}}$ وحدة مربعة.

نطرح مساحة المثلث غير المظلل من مساحة المربع الكلية لإيجاد مساحة الجزء المظلل.

العملية الحسابية: $٣٥ = {١٤} – {٤٩}$.

والإجابة هي $٣٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحليل الشكل إلى أشكال هندسية أبسط وحساب مساحتها.

يمكننا استخدام المساحة العكسية أو مكملة المساحة للوصول إلى الحل.

بما أن الشكل الخارجي مربع طول ضلعه سبعة، فإن مساحته الإجمالية هي $٤٩ = {٧} \times {٧}$.

الجزء غير المظلل هو مثلث قاعدته تنطبق على ضلع المربع العلوي وطولها سبعة، وارتفاعه المعطى هو أربعة.

مساحة هذا المثلث غير المظلل هي: $١٤ = {٤} \times {٧} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

مساحة الجزء المظلل هي مكملة مساحة المثلث غير المظلل للوصول إلى مساحة المربع الكلية.

نطرح المساحتين: $٣٥ = {١٤} – {٤٩}$.

والإجابة هي $٣٥$

تكنيك ١: الاستنتاج التسلسلي لأطوال القطع المتبقية

المفهوم الرياضي: طول القطعة المستقيمة الكلية يساوي مجموع أطوال القطع الجزئية المتجاورة والمكونة لها على خط مستقيم واحد.

القطعة الكلية الممتدة هي $د أ$ وطولها المعطى هو $٢٤$.

القطعة $ب أ$ تمثل جزءاً من هذه القطعة الكلية وطولها المعطى هو $١٨$.

يمكننا إيجاد طول القطعة المتبقية $د ب$ عن طريق طرح طول $ب أ$ من الطول الكلي $د أ$.

نصيغ المعادلة الرياضية لعملية الطرح:

${د ب} = {ب أ} – {د أ}$

نعوض بالقيم العددية المعطاة في السؤال داخل المعادلة:

${د ب} = {١٨} – {٢٤}$

ناتج عملية الطرح يمثل طول القطعة $د ب$:

${٦} = {د ب}$

الآن، ننتقل للقطعة $ج د$ والتي طولها المعطى هو $١٤$.

من الرسم، القطعة $ج د$ تتكون من مجموع القطعتين المتجاورتين $ج ب$ و $د ب$.

لإيجاد الطول المطلوب وهو $ج ب$، نقوم بطرح القطعة $د ب$ التي أوجدناها من القطعة الكلية $ج د$.

نصيغ المعادلة الثانية كالتالي:

${ج ب} = {د ب} – {ج د}$

نعوض بالقيم العددية التي أصبحنا نملكها الآن:

${ج ب} = {٦} – {١٤}$

ناتج عملية الطرح النهائي هو:

${٨} = {ج ب}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢: قانون تداخل القطع المستقيمة

المفهوم الرياضي: عند وجود قطعتين مستقيمتين متداخلتين وتقعان ضمن قطعة كلية أطول، فإن مجموع طوليهما مطروحاً منه طول منطقة التقاطع المشتركة يساوي الطول الإجمالي للقطعة الكلية.

القطعة الكلية لدينا هي $د أ$ وطولها الإجمالي هو $٢٤$.

القطعتان المتداخلتان هما القطعة $ج د$ وطولها $١٤$، والقطعة $ب أ$ وطولها $١٨$.

المنطقة المشتركة والتي تمثل التقاطع بين هاتين القطعتين هي القطعة المطلوبة $ج ب$.

نكتب القانون الجبري: طول القطعة الكلية = القطعة الأولى + القطعة الثانية – التقاطع المشترك.

نصيغ المعادلة بالرموز المعطاة:

${د أ} = {ج ب} – {ب أ} + {ج د}$

نعوض بالقيم العددية المتوفرة لدينا في نص السؤال:

${٢٤} = {ج ب} – {١٨} + {١٤}$

نقوم بجمع القيم الثابتة والموجبة معاً لتبسيط المعادلة:

${٣٢} = {١٨} + {١٤}$

تصبح المعادلة بعد خطوة التبسيط:

${٢٤} = {ج ب} – {٣٢}$

لإيجاد قيمة القطعة المجهولة $ج ب$، نقوم بنقلها للطرف الآخر وننقل $٢٤$ للطرف المقابل بإشارة سالبة.

${ج ب} = {٢٤} – {٣٢}$

ناتج عملية الطرح النهائي يمثل القيمة المطلوبة:

${٨} = {ج ب}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المعين بالاعتماد على قانون المساحة الخاص بمعلومية طولي قطريه، حيث المساحة تساوي نصف حاصل ضرب طولي القطرين.

نبدأ باستخراج أطوال أقطار المعين من خلال تحليل وتمحيص الإحداثيات والنقاط الموضحة على المستوى الديكارتي في الشكل الهندسي المرفق.

نلاحظ بوضوح أن القطر الأفقي للمعين يمتد على محور السينات، ومن خلال قياس المسافة بين النقطتين المحددتيه، نجد أن طول هذا القطر يبلغ وحدتين.

وبالمثل، نفحص القطر الرأسي الذي يمتد على محور الصادات، ومن خلال قياس امتداده، نجد أن طوله يبلغ أربع وحدات كاملة.

نصيغ القانون رياضياً، حيث نرمز للمساحة بالمتغير م، وللقطر الأول بالمتغير س، وللقطر الثاني بالمتغير ص.

$م = {\dfrac{١}{٢}} \times {ص} \times {س}$

نقوم الآن بالتعويض بالقيم الرقمية التي استخرجناها من الرسم بدلاً من المتغيرات في المعادلة السابقة.

$م = {\dfrac{١}{٢}} \times {٤} \times {٢}$

نبدأ بتبسيط المعادلة من خلال ضرب الكسر في العدد الأول لتسهيل عملية الحساب.

$١ = {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب الناتج المرحلي الذي حصلنا عليه في طول القطر الثاني لاستخراج المساحة النهائية للمعين.

$٤ = {٤} \times {١}$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استنتاج المساحة الكلية عبر تفكيك الشكل الهندسي الرئيسي إلى أشكال هندسية فرعية أبسط، وحساب مساحة كل جزء على حدة ثم تجميعها.

من المعروف هندسياً أن قطري المعين يتعامدان وينصف كل منهما الآخر، وهذا يؤدي إلى تقسيم سطح المعين إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية ومتطابقة تماماً.

بالنظر إلى الرسم، نجد أن قاعدة كل مثلث من هذه المثلثات الأربعة تمثل نصف طول القطر الأفقي، مما يعني أن طول القاعدة هو وحدة واحدة.

كما نجد أن ارتفاع كل مثلث من هذه المثلثات يمثل نصف طول القطر الرأسي، مما يعني أن الارتفاع يبلغ وحدتين.

نكتب قانون مساحة المثلث، ونرمز للمساحة بالمتغير أ، وللقاعدة بالمتغير ب، وللارتفاع بالمتغير ج.

$أ = {\dfrac{١}{٢}} \times {ج} \times {ب}$

نعوض بقيمتي القاعدة والارتفاع المستنتجتين في قانون مساحة المثلث.

$أ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٢} \times {١}$

ننفذ عملية الضرب لإيجاد مساحة المثلث الواحد.

$١ = {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

بما أن المعين الكلي مكون من أربعة مثلثات متطابقة، نقوم بضرب مساحة المثلث الواحد في العدد أربعة.

$م = {٤} \times {١}$

$٤ = {٤} \times {١}$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية للجزء من الكل تساوي عدد الأجزاء المطلوبة مقسوماً على العدد الكلي للأجزاء المتطابقة، مضروباً في مائة.

نقوم بعد الأجزاء المتطابقة الكلية التي يتكون منها الشكل الهندسي.

نجد أن الشكل مقسم بالكامل إلى ثمانية مثلثات متطابقة.

نقوم بعد المثلثات التي تم تظليلها فقط داخل الشكل.

نجد أن عدد المثلثات المظللة هو أربعة مثلثات.

نكتب الكسر الذي يمثل نسبة المظلل إلى الكل: ${\dfrac{٤}{٨}}$.

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على أربعة لنحصل على النصف: ${\dfrac{١}{٢}} = {\dfrac{٤}{٨}}$.

نحول الكسر إلى نسبة مئوية بضربه في مائة: $\%٥٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

والإجابة هي $\%٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الملاحظة البصرية للتماثل الخطي والهندسي في الأشكال المقسمة بانتظام.

نلاحظ من الشكل أن كل مثلث مظلل يقابله مثلث غير مظلل مطابق له تماماً في المساحة.

هذا التناظر يعني أن نصف مساحة الشكل الكلية مظللة، والنصف الآخر غير مظلل.

النسبة التي تعبر عن النصف في علم الرياضيات هي الخمسون بالمائة.

لذلك، نستنتج مباشرة أن نسبة المظلل هي مكملة النسبة المتبقية، وتمثل النصف.

والإجابة هي $\%٥٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد النسبة من خلال مقارنة عدد الأجزاء المطلوبة إلى إجمالي عدد الأجزاء المتطابقة في الشكل الهندسي.

نقوم أولاً بعد المثلثات الصغيرة المتطابقة التي يتكون منها الشكل الكلي لنجد أن العدد الإجمالي هو $١٦$ مثلثاً.

نقوم بعد ذلك بحصر عدد المثلثات المظللة فقط لنجد أنها تساوي $٦$ مثلثات.

نكتب قانون النسبة: النسبة تساوي الجزء مقسوماً على الكل.

نعوض في القانون بالقيم التي استنتجناها لنحصل على الكسر التالي:

$\dfrac{٦}{١٦}$

نقوم بتبسيط الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو $٢$.

الناتج بعد التبسيط هو:

$\dfrac{٣}{٨}$

والإجابة هي $\dfrac{٣}{٨}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب والمساحات الجزئية الكبرى لتبسيط عملية العد.

يمكننا تقسيم الشكل المعين الكبير بصرياً إلى $٤$ مثلثات كبرى متطابقة.

نجد بالنظر أن كل مثلث كبير يحتوي بداخله على $٤$ مثلثات صغيرة متطابقة.

المثلثات المظللة تشغل مساحة تعادل مثلثاً كبيراً واحداً بالكامل، بالإضافة إلى نصف مثلث كبير آخر (أي $١،٥$ من أصل $٤$ أجزاء كبرى).

نقسم المساحة المظللة على المساحة الكلية للحصول على النسبة المطلوبة:

$\dfrac{١،٥}{٤}$

للتخلص من الفاصلة العشرية في البسط، نضرب كلاً من البسط والمقام في الرقم $٢$.

الناتج النهائي للنسبة هو:

$\dfrac{٣}{٨}$

والإجابة هي $\dfrac{٣}{٨}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المستطيل ومساحة متوازي الأضلاع والمقارنة بينهما بالاعتماد على خصائص المثلث القائم الزاوية.

نقوم أولاً بحساب مساحة المستطيل بناءً على المعطيات المرئية في الشكل حيث الطول ٤ والعرض ٥.

مساحة المستطيل تساوي الطول مضروباً في العرض.

$٢٠ = {٤} \times {٥}$

ننتقل الآن إلى حساب مساحة متوازي الأضلاع الذي طول قاعدته ٤ وطول ضلعه المائل ٥.

مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول القاعدة مضروباً في الارتفاع العمودي.

نلاحظ من الشكل أن الارتفاع العمودي يمثل ضلعاً في مثلث قائم الزاوية الوتر فيه يساوي ٥.

بما أن الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم، فإن الارتفاع العمودي يجب أن يكون أقل من ٥.

مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٤ مضروبة في الارتفاع العمودي الذي هو أقل من ٥.

بالتالي مساحة متوازي الأضلاع ستكون حتماً أقل من ٢٠.

بمقارنة القيمتين، نجد أن مساحة المستطيل أكبر من مساحة متوازي الأضلاع.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التحليل المنطقي والتقدير الذهني للارتفاعات الهندسية.

بمقارنة الشكلين بصرياً وهندسياً، نجد أن كلاهما يشتركان في قاعدة طولها ٤.

في المستطيل، الارتفاع العمودي هو الضلع الجانبي ويساوي ٥ بالضبط.

في متوازي الأضلاع، الضلع الجانبي مائل ويساوي ٥، مما يعني أن الارتفاع العمودي الفعلي أقصر من الضلع المائل هندسياً.

بما أن القاعدة مشتركة ومتساوية في الشكلين، فإن المساحة الأكبر تعود للشكل ذي الارتفاع الأكبر.

ارتفاع المستطيل أكبر من ارتفاع متوازي الأضلاع.

لذلك، القيمة الأولى وهي مساحة المستطيل أكبر من القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المربع الكلية تساوي مربع طول ضلعه، ومساحة الجزء المظلل تُحسب بجمع مساحات الأجزاء المكونة له.

نكتب قانون مساحة المربع: مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه.

نقوم بحساب المساحة الكلية للمربع الكبير: $١٦ = {٤} \times {٤}$ سم${}^{٢}$.

نلاحظ من الشكل أن المربع الكبير مقسم إلى أربعة مربعات صغيرة متطابقة.

نحسب مساحة كل مربع صغير بقسمة المساحة الكلية على أربعة: $٤ = {٤} \div {١٦}$ سم${}^{٢}$.

نلاحظ أن المنطقة المظللة تتكون من مربع صغير كامل ومثلث يمثل نصف مربع صغير آخر.

مساحة المربع الصغير المظلل بالكامل هي $٤$ سم${}^{٢}$.

مساحة المثلث المظلل هي نصف مساحة المربع الصغير: $٢ = {٢} \div {٤}$ سم${}^{٢}$.

نجمع مساحات الأجزاء المظللة: $٦ = {٢} + {٤}$ سم${}^{٢}$.

القيمة الأولى تساوي $٦$، والقيمة الثانية تساوي $٧$.

نقارن بين القيمتين: $٧ > ٦$.

نستنتج أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التقسيم المتكافئ للشكل الهندسي وحساب النسب.

بما أن المربع الكبير مقسم إلى أربعة مربعات صغيرة، وكل مربع صغير يمكن تقسيمه إلى مثلثين متطابقين، فإن إجمالي عدد المثلثات المتطابقة هو ثمانية.

نحسب مساحة المثلث الواحد بقسمة مساحة المربع الكبير على ثمانية: $٢ = {٨} \div {١٦}$ سم${}^{٢}$.

نعد المثلثات المظللة في الشكل، فنجد أنها ثلاثة مثلثات.

نحسب مساحة المنطقة المظللة بضرب عدد المثلثات المظللة في مساحة المثلث الواحد: $٦ = {٣} \times {٢}$ سم${}^{٢}$.

القيمة الأولى تساوي $٦$.

القيمة الثانية المعطاة في السؤال هي $٧$.

بالمقارنة بين القيمتين نجد أن القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام العلاقة النسبية بين الأجزاء المظللة والمساحة الكلية للشكل المنتظم للوصول إلى المساحة المطلوبة.

من خلال النظر إلى الشكل المستطيل، نلاحظ أن القطرين المتقاطعين يقسمان المستطيل إلى $٤$ مثلثات متطابقة تماماً في المساحة.

يوجد لدينا في الشكل $٣$ مثلثات مظللة من أصل $٤$ مثلثات.

إذن مساحة الجزء المظلل تمثل ثلاثة أرباع مساحة المستطيل الكلية.

نفترض أن مساحة المستطيل الكلية هي المتغير $س$.

نكتب المعادلة الجبرية التي تمثل هذه العلاقة النسبية:

$٤٢ = {س} \times \dfrac{٣}{٤}$

لإيجاد قيمة $س$، نضرب طرفي المعادلة في مقلوب الكسر وهو أربعة أثلاث.

$٥٦ = \dfrac{٤}{٣} \times {٤٢} = {س}$

المطلوب في السؤال هو إيجاد مساحة نصف الشكل الكلي، لذا نقسم المساحة الكلية التي حصلنا عليها على $٢$.

$٢٨ = {٢} \div {٥٦}$

والإجابة هي $٢٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة الوحدة الواحدة (المثلث الواحد) كخطوة وسيطة، ثم استخدامها للوصول للمطلوب بشكل مباشر.

الشكل الهندسي مقسم إلى $٤$ أجزاء متساوية المساحة، منها $٣$ أجزاء مظللة مساحتها الإجمالية معطاة وتساوي $٤٢$.

لإيجاد مساحة الجزء الواحد، نقسم المساحة المظللة الإجمالية على عدد الأجزاء المظللة.

$١٤ = {٣} \div {٤٢}$

استنتجنا الآن أن مساحة الجزء الواحد (المثلث الواحد) تساوي $١٤$.

بما أن الشكل الكلي يتكون من $٤$ أجزاء متطابقة، فإن نصف الشكل يتكون بالضرورة من جزأين (أي مثلثين اثنين).

لحساب مساحة نصف الشكل، نكتفي بضرب مساحة الجزء الواحد الذي أوجدناه في $٢$.

$٢٨ = {٢} \times {١٤}$

والإجابة هي $٢٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طول قطريه.

نكتب القانون الرياضي للمساحة خارج الكود: المساحة تساوي القطر الأول مضروباً في القطر الثاني مقسوماً على اثنين.

نعوض بقيم الأقطار المعطاة في السؤال وهي $٦$ و $٨$:

المساحة = $٢ \div ({٦} \times {٨})$

نقوم بضرب الأقطار أولاً:

$٤٨ = {٦} \times {٨}$

نقسم الناتج على $٢$ للحصول على المساحة النهائية:

$٢٤ = {٢} \div ٤٨$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن حساب مساحة المعين بضرب نصف القطر الأول في القطر الثاني بالكامل لتسهيل الحساب.

نكتب القانون بصيغة أخرى: المساحة تساوي نصف القطر الأول مضروباً في القطر الثاني.

نأخذ القطر الأول الذي يساوي $٦$ ونقسمه على $٢$:

$٣ = {٢} \div ٦$

نضرب الناتج في القطر الثاني الذي يساوي $٨$:

المساحة = ${٨} \times {٣}$

$٢٤ = {٨} \times {٣}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة منطقة محصورة عن طريق إيجاد الفرق بين مساحتي مضلعين متداخلين.

نحدد أولاً المعطيات: طول ضلع المربع الخارجي الأكبر يساوي سبعة سنتيمترات.

وطول ضلع المربع الداخلي الأصغر غير المظلل يساوي خمسة سنتيمترات.

نقوم بكتابة قانون مساحة المربع لكي نطبقه على كلا المربعين.

المساحة = الضلع × الضلع

نحسب مساحة المربع الخارجي الأكبر عن طريق التعويض بطول ضلعه:

$٤٩ = ٧ \times ٧$

نحسب مساحة المربع الداخلي الأصغر عن طريق التعويض بطول ضلعه:

$٢٥ = ٥ \times ٥$

نستنتج أن مساحة الجزء المظلل هي المساحة المتبقية بعد إزالة المربع الداخلي.

نقوم بعملية طرح رياضية؛ بطرح مساحة المربع الأصغر من مساحة المربع الأكبر.

$٢٤ = {٢٥} – {٤٩}$

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الأسس في قوانين المساحة وتطبيق الطرح الجبري المباشر.

يُمكن التعبير عن قانون مساحة المربع باستخدام الأس الاستباقي للأساس.

المساحة ${}^{٢}ل =$

نصيغ معادلة واحدة متصلة تمثل الفرق بين المساحتين باستخدام الأقواس لتنظيم العمليات.

مساحة الجزء المظلل $ {}^{٢}(ص ل) – {}^{٢}(ك ل) =$

نعوض بالقيم العددية المعطاة في الصورة داخل المعادلة المدمجة.

$٢٤ = {}^{٢}(٥) – {}^{٢}(٧)$

نقوم بفك الأسس أولاً حسب ترتيب العمليات الرياضية.

$٢٤ = {٢٥} – {٤٩}$

ننفذ عملية الطرح للحصول على الناتج النهائي.

والإجابة هي $٢٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل وتجزئته إلى مساحات متطابقة أصغر.

نكتب قانون مساحة المستطيل: مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض.

نحسب مساحة المستطيل الكلية: $٢٤ = {٤} \times {٦}$ وحدة مربعة.

بما أن المستطيل مقسم إلى اثني عشر مثلثاً متطابقاً، نوجد مساحة المثلث الواحد بقسمة المساحة الكلية على عدد المثلثات.

مساحة المثلث الواحد: $٢ = {١٢} \div {٢٤}$ وحدة مربعة.

من خلال النظر إلى الشكل، نعد المثلثات المظللة لنجد أنها أربعة مثلثات.

نحسب مساحة المنطقة المظللة بضرب عدد المثلثات المظللة في مساحة المثلث الواحد: $٨ = {٤} \times {٢}$ وحدة مربعة.

القيمة الأولى تساوي $٨$، والقيمة الثانية تساوي $٩$.

نقارن بين القيمتين لنجد أن: $٩ > ٨$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعامل مع الكتل المربعة كأجزاء من المستطيل.

نلاحظ أن المستطيل الذي أبعاده ستة وأربعة يمكن تقسيمه إلى ستة مربعات متطابقة، كل مربع طول ضلعه اثنان.

نحسب مساحة المربع الواحد: $٤ = {٢} \times {٢}$ وحدة مربعة.

المنطقة المظللة تغطي مساحة تعادل مربعين كاملين.

نحسب مساحة المنطقة المظللة: $٨ = {٢} \times {٤}$ وحدة مربعة.

نقارن القيمة الأولى المستنتجة وهي $٨$ مع القيمة الثانية المعطاة وهي $٩$.

يتضح لنا أن القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر