اختبار الأسس

تكنيك ١: التبسيط الجبري بقوانين الأسس

المفهوم الرياضي: عند قسمة الأساسات المتشابهة نطرح الأسس، والقوة السالبة في المقام تعادل قوة موجبة في البسط والعكس.

نبدأ بتحليل البسط في المقدار المعطى: $\dfrac{{}^{٧-}٢ \div {}^{١٢}٣}{{}^{٥}٢ \times {}^{١٠}٣}$

البسط يحتوي على عملية قسمة على أس سالب: ${}^{٧-}٢ \div {}^{١٢}٣$

نحول القسمة على أس سالب إلى ضرب في أس موجب: ${}^{٧}٢ \times {}^{١٢}٣$

نعوض في المقدار الأصلي ليصبح: $\dfrac{{}^{٧}٢ \times {}^{١٢}٣}{{}^{٥}٢ \times {}^{١٠}٣}$

نفصل الكسر إلى جزأين لتسهيل تبسيط الأساسات المتشابهة: $\dfrac{{}^{١٢}٣}{{}^{١٠}٣} \times \dfrac{{}^{٧}٢}{{}^{٥}٢}$

نطبق قانون قسمة الأسس للأساس ٣ (نطرح أس المقام من أس البسط): ${}^{٢}٣ = {}^{١٠}٣ \div {}^{١٢}٣$

نطبق قانون قسمة الأسس للأساس ٢ (نطرح أس المقام من أس البسط): ${}^{٢}٢ = {}^{٥}٢ \div {}^{٧}٢$

نجمع النواتج في عملية الضرب: ${}^{٢}٢ \times {}^{٢}٣$

نحسب قيم الأسس: ${٩} = {}^{٢}٣$ و ${٤} = {}^{٢}٢$

نضرب القيمتين للحصول على الناتج النهائي: ${٣٦} = {٤} \times {٩}$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ١: الحساب المباشر للقيمتين

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة العددية الدقيقة لكل طرف ثم إجراء المقارنة الجبرية بينهما.

القيمة الأولى تمثل مجموع أعداد صحيحة مرفوعة لأس صفر: ${}^{٠}٦ + {}^{٠}٥ + {}^{٠}٤ + {}^{٠}٣$.

تنص القاعدة الرياضية على أن أي عدد غير الصفر مرفوع للأس صفر يساوي $١$.

بناءً على ذلك، نقوم بتعويض كل حد بقيمته العددية: $١ = {}^{٠}٣$، $١ = {}^{٠}٤$، $١ = {}^{٠}٥$، $١ = {}^{٠}٦$.

المجموع النهائي للقيمة الأولى هو: $٤ = {١} + {١} + {١} + {١}$.

ننتقل إلى القيمة الثانية وهي عبارة عن عدد صحيح مرفوع لأس: ${}^{٢}٢$.

نقوم بحساب القيمة الثانية بضرب الأساس في نفسه: $٤ = {٢} \times {٢}$.

ناتج القيمة الثانية هو: $٤ = {}^{٢}٢$.

الآن نضع القيمتين النهائيتين جنباً إلى جنب للمقارنة.

العدد $٤$ يساوي العدد $٤$.

صيغة المقارنة: $٤ = ٤$.

والإجابة هي القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢: التبسيط الجبري السريع

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص الأسس لتبسيط المقادير قبل إجراء العمليات الحسابية الكاملة.

ننظر إلى القيمة الأولى: ${}^{٠}٦ + {}^{٠}٥ + {}^{٠}٤ + {}^{٠}٣$.

نعلم مسبقاً أن أي مقدار من هذه المقادير يعطينا واحداً صحيحاً.

بما أن لدينا أربعة حدود، وكل حد يساوي $١$، فإن المجموع الكلي هو $٤$.

ننتقل إلى القيمة الثانية: ${}^{٢}٢$.

نعلم أن مربع العدد $٢$ هو $٤$.

بالمقارنة المباشرة نجد أن كلا الطرفين يمتلكان نفس القيمة العددية النهائية.

إذاً القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان.

تكنيك ١: توحيد الأساسات المركبة وجمع الأسس

المفهوم الرياضي: تفكيك الأساسات غير الأولية إلى عواملها الأولية لتسهيل تطبيق قوانين الأسس في عمليات الضرب والقسمة المطولة.

الكسر المعطى في السؤال هو: $\dfrac{{}^{٢}٦ \times {}^{٣}٦}{{}^{٥}٣ \times {}^{٤}٢}$

نبدأ بتبسيط الحدود الموجودة في البسط. نلاحظ أن الأساسات متطابقة وهي العدد $٦$، وفي حالة الضرب نقوم بجمع الأسس.

العملية لجمع الأسس هي: $٥ = {٢} + {٣}$

يصبح التعبير المبسط في البسط هو: ${}^{٥}٦$

للتوافق مع مقومات المقام، نقوم بتفكيك الأساس $٦$ إلى عوامله الأولية وهي نتاج ضرب $٣$ في $٢$.

العملية هي: $٦ = ٣ \times ٢$

نعوض بهذا التفكيك في البسط مع الحفاظ على الأس الخارجي.

العملية هي: ${}^{٥}({٣} \times {٢})$

نقوم بتوزيع الأس على العوامل المضروبة داخل القوس.

ينتج لدينا في البسط: ${}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢$

يصبح الكسر كاملاً بعد تبسيط البسط كالتالي: $\dfrac{{}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢}{{}^{٥}٣ \times {}^{٤}٢}$

نلاحظ وجود الحد ${}^{٥}٣$ في كل من البسط والمقام، لذا نقوم باختصارهما معاً من خلال عملية القسمة لتماثلهما التام.

يتبقى لدينا الكسر مبسطاً على النحو التالي: $\dfrac{{}^{٥}٢}{{}^{٤}٢}$

عند القسمة للأساسات المتشابهة، ينص القانون على طرح أس المقام من أس البسط.

العملية هي: $١ = {٤} – {٥}$

الناتج النهائي للتعبير هو: $٢ = {}^{١}٢$

والإجابة هي $٢$

تكنيك ٢: الفك الشامل للأساسات من البداية

المفهوم الرياضي: تحليل جميع الأعداد والأساسات المركبة في المعادلة إلى عواملها الأولية كخطوة أولى قبل إجراء أي دمج للأسس.

نقوم بتفكيك الحد الأول في البسط وهو ${}^{٣}٦$ إلى عوامله الأولية.

العملية هي: ${}^{٣}٣ \times {}^{٣}٢$

نقوم بتفكيك الحد الثاني في البسط وهو ${}^{٢}٦$ إلى عوامله الأولية.

العملية هي: ${}^{٢}٣ \times {}^{٢}٢$

نكتب التعبير الكامل للبسط بعد الفك الشامل.

العملية هي: ${}^{٢}٣ \times {}^{٢}٢ \times {}^{٣}٣ \times {}^{٣}٢$

نقوم بتجميع وجمع أسس الأساس المتشابه $٢$.

العملية هي: $٥ = {٢} + {٣}$ لينتج الحد ${}^{٥}٢$

نقوم بتجميع وجمع أسس الأساس المتشابه $٣$.

العملية هي: $٥ = {٢} + {٣}$ لينتج الحد ${}^{٥}٣$

نضع الناتج النهائي المبسط في البسط ونقسمه على المقام الأصلي.

العملية هي: $\dfrac{{}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢}{{}^{٥}٣ \times {}^{٤}٢}$

نحذف المتشابهات وهي ${}^{٥}٣$ من الطرفين، ثم نقسم ${}^{٥}٢$ على ${}^{٤}٢$ بطرح الأسس.

الناتج النهائي هو: $٢$

والإجابة هي $٢$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: قوانين الأسس عند قسمة وتساوي الأساسات المتشابهة الجبرية.

نعلم من المعطيات المتاحة أن العدد ١٦ يمكن إعادة كتابته على صورة أسية بالأساس ٢ كالتالي: ${}^{٤}٢ = ١٦$.

نقوم بالتعويض عن العدد ١٦ في مقام الطرف الأيمن من المعادلة المستلمة لتصبح المعادلة كالتالي: $\dfrac{{}^{١ + س}٢}{{}^{٤}٢} = \dfrac{{}^{٥}٢}{{}^{س}٢}$.

عند قسمة الأساسات المتشابهة نقوم بطرح الأسس مباشرة، ونطبق هذه القاعدة على كلا الطرفين.

تبسيط أس الطرف الأيمن للمعادلة: ${}^{٤ – ١ – س}٢ = {}^{٤ – (١ + س)}٢$، وهو ما يعطي الصياغة التالية: ${}^{٣ – س}٢$.

تبسيط أس الطرف الأيسر للمعادلة بطرح أس المقام من أس البسط: ${}^{س – ٥}٢$.

نعيد صياغة المعادلة الكلية بعد خطوة تبسيط الأسس لتصبح كالتالي: ${}^{س – ٥}٢ = {}^{٣ – س}٢$.

بما أن الأساسات متساوية تماماً في طرفي المعادلة (٢ = ٢)، إذن تتساوى الأسس تلقائياً: ${س – ٥} = {٣ – س}$.

نقوم بنقل المتغير س إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته، ونقل العدد ٥ بتغيير إشارته لعزل المجاهيل: ${س + س} = {٣ + ٥}$.

نجمع الحدود المتشابهة في كلا الطرفين لينتج لدينا المقدار التالي: ${س٢} = {٨}$.

نقسم طرفي المعادلة المبسطة على معامل س وهو الرقم ٢ للحصول على القيمة النهائية: ${س} = {٤}$.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استراتيجية تجريب الخيارات المعطاة للوصول المتوازن للحل الصحيح دون إجراء العمليات الجبرية المطولة.

نقوم بتجريب القيمة المقترحة في الخيارات وهي الرقم ٤ والتعويض بها عن المتغير س في طرفي المعادلة الأصلية للتحقق من التساوي البصري والرياضي.

نعوض أولاً في الطرف الأيمن للمعادلة المعطاة: $\dfrac{{}^{١ + ٤}٢}{١٦}$.

نجمع الأس الموجود في البسط فيصبح المقدار كالتالي: $\dfrac{{}^{٥}٢}{١٦}$.

نعلم أن قيمة ٢ مرفوعة للأس ٥ تساوي ٣٢، إذن الكسر يصبح قيمته: $\dfrac{٣٢}{١٦}$.

بقسمة العدد ٣٢ على العدد ١٦ يكون ناتج الطرف الأيمن هو الرقم: $٢$.

نعوض ثانياً في الطرف الأيسر للمعادلة لنفس القيمة س = ٤ لتصبح على الصياغة التالية: $\dfrac{{}^{٥}٢}{{}^{٤}٢}$.

عند قسمة الأسس نطرح أس المقام من أس البسط مباشرة لينتج لدينا: ${}^{٤ – ٥}٢$.

إذن ناتج عملية طرح الأسس في الطرف الأيسر هو: ${}^{١}٢ = ٢$.

بما أن ناتج الطرف الأيمن يتطابق تماماً مع ناتج الطرف الأيسر (٢ = ٢)، فإن خيار القيمة ٤ هو الحل الصحيح والمعتمد للمسألة.

والإجابة هي $٤$

المفهوم الرياضي: أولوية العمليات داخل الأقواس وتطبيق قانون قوة القوة.

وفقاً لترتيب العمليات الحسابية، نعطي الأولوية لتبسيط المقدار الموجود داخل الأقواس أولاً.

المقدار الداخلي هو عملية ضرب بين أساسين متشابهين: ${}^{٤}٦ \times {}^{٥}٦$.

نطبق قانون الأسس الذي ينص على جمع الأسس عند ضرب الأساسات المتطابقة.

نحتفظ بالأساس $٦$ ونجمع الأس $٥$ مع الأس $٤$.

${}^{٩}٦ = {}^{(٤ + ٥)}٦$

الآن، نستبدل المقدار المعقد داخل الأقواس بالنتيجة المبسطة التي حصلنا عليها.

يصبح المقدار الجديد بعد التعويض: ${}^{١٠}({}^{٩}٦)$.

في هذه المرحلة، نطبق قانون “قوة القوة”، وهو ينص على ضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي.

نضرب الأس الداخلي وهو $٩$ في الأس الخارجي وهو $١٠$.

$٩٠ = ١٠ \times ٩$

نحتفظ بالأساس $٦$ ونرفع له الأس الجديد الناتج من عملية الضرب.

الناتج النهائي المبسط هو ${}^{٩٠}٦$.

والإجابة هي ${}^{٩٠}٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قوانين الأسس للضرب، والأسس السالبة للكسور والأعداد الصحيحة. القانون للكسر ذو الأس السالب: ${ {}^{ن}(\dfrac{ب}{أ}) } = { {}^{ن-}(\dfrac{أ}{ب}) }$. والقانون للعدد: ${ \dfrac{١}{{}^{ن}أ} } = { {}^{ن-}أ }$.

الحد الأول من اليمين في المعادلة هو ${ {}^{٢}٧ }$ وسيبقى كما هو دون تغيير في هذه الخطوة.

الحد الأوسط هو ${ {}^{٣-}(\dfrac{٧}{١٠}) }$، نطبق عليه قانون قلب الكسر لتغيير إشارة الأس للسالب.

يصبح الحد الأوسط بعد قلبه وتبسيطه: ${ {}^{٣}(\dfrac{١٠}{٧}) } = { {}^{٣-}(\dfrac{٧}{١٠}) }$

الحد الثالث في أقصى اليسار هو ${ {}^{٢-}١٠ }$، نطبق عليه قانون قلب الأساس.

يصبح الحد الثالث ككسر: ${ \dfrac{١}{{}^{٢}١٠} } = { {}^{٢-}١٠ }$

نقوم الآن بكتابة المعادلة كاملة بالقيم الجديدة المستنتجة: ${ \dfrac{١}{{}^{٢}١٠} } \times { {}^{٣}(\dfrac{١٠}{٧}) } \times { {}^{٢}٧ }$

نفكك التكعيب في الكسر الأوسط ليصبح البسط والمقام مرفوعين للأس: ${ \dfrac{{}^{٣}١٠}{{}^{٣}٧} }$

المعادلة تصبح مرتبة هكذا: ${ \dfrac{١}{{}^{٢}١٠} } \times { \dfrac{{}^{٣}١٠}{{}^{٣}٧} } \times { {}^{٢}٧ }$

نضرب البسوط معاً والمقامات معاً لنكون كسراً واحداً: ${ \dfrac{ { {}^{٣}١٠ } \times { {}^{٢}٧ } }{ { {}^{٢}١٠ } \times { {}^{٣}٧ } } }$

نطبق قانون قسمة الأسس حيث نطرح الأسس للأساسات المتشابهة: ${ {}^{ن – م}أ } = { \dfrac{{}^{م}أ}{{}^{ن}أ} }$

بالنسبة للأساس ٧، نطرح ٣ من ٢: ${ \dfrac{١}{٧} } = { {}^{١-}٧ } = { {}^{٣ – ٢}٧ } = { \dfrac{{}^{٢}٧}{{}^{٣}٧} }$

بالنسبة للأساس ١٠، نطرح ٢ من ٣: ${ ١٠ } = { {}^{١}١٠ } = { {}^{٢ – ٣}١٠ } = { \dfrac{{}^{٣}١٠}{{}^{٢}١٠} }$

نضرب النتائج المتبقية معاً لتصبح النتيجة النهائية ككسر: ${ \dfrac{١٠}{٧} } = { ١٠ } \times { \dfrac{١}{٧} }$

والإجابة هي ${ \dfrac{١٠}{٧} }$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توزيع الأس السالب على بسط ومقام الكسر مباشرة دون قلب الكسر، ثم تجميع الأساسات المتشابهة لتبسيط المعادلة. القانون: ${ {}^{ن-}(\dfrac{أ}{ب}) } = { \dfrac{{}^{ن-}أ}{{}^{ن-}ب} }$

نبدأ بتوزيع الأس السالب في الحد الأوسط ${ {}^{٣-}(\dfrac{٧}{١٠}) }$ على كل من البسط والمقام.

تصبح المعادلة بعد التوزيع المباشر: ${ {}^{٢-}١٠ } \times { \dfrac{{}^{٣-}٧}{{}^{٣-}١٠} } \times { {}^{٢}٧ }$

نقوم الآن بجمع الأسس للأساسات المتشابهة المضروبة في البسط. بالنسبة للأساس ٧، نجمع الأس ٢ مع الأس ٣-.

النتيجة للأساس ٧ تكون: ${ {}^{١-}٧ } = { {}^{٣-}٧ } \times { {}^{٢}٧ }$

المعادلة الان تصبح مبسطة هكذا: ${ \dfrac{ { {}^{٢-}١٠ } \times { {}^{١-}٧ } }{ {}^{٣-}١٠ } }$

نقوم الآن بقسمة الأساسات المتشابهة بطرح أس المقام من أس البسط للأساس ١٠.

العملية الرياضية للطرح: ${ ١ } = { (٣-) } – { ٢- } = { {}^{٣-}١٠ } \div { {}^{٢-}١٠ }$

النتيجة للأساس ١٠ تصبح بأس موجب: ${ ١٠ } = { {}^{١}١٠ }$

المعادلة تصبح الآن مضروب الحدين المتبقيين في البسط: ${ ١٠ } \times { {}^{١-}٧ }$

نحول الحد ذو الأس السالب ${ {}^{١-}٧ }$ إلى كسر: ${ \dfrac{١}{٧} }$

الناتج النهائي ككسر اعتيادي هو: ${ \dfrac{١٠}{٧} } = { ١٠ } \times { \dfrac{١}{٧} }$

والإجابة هي ${ \dfrac{١٠}{٧} }$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استخدام متطابقات المربع الكامل للفرق بين حدين لتسهيل الحسابات الذهنية للأعداد الكبيرة المقتربة من مضاعفات العشرة.

نعلم أنه يمكننا إعادة كتابة العدد ٩٩٩ على صورة فرق بين عددين يسهل التعامل معهما في الحسابات كالتالي: ${١ – ١٠٠٠} = ٩٩٩$.

بناءً على ذلك، يصبح مربع العدد ٩٩٩ هو المقدار الجبري التالي: ${}^{٢}(١ – ١٠٠٠)$.

نطبق قانون مفكوك المربع الكامل للفرق بين حدين: مربع الحد الأول ناقص (اثنين مضروباً في الحد الأول في الحد الثاني) زائد مربع الحد الثاني.

نحسب مربع الحد الأول وهو العدد ١٠٠٠ لينتج لدينا القيمة التالية: ${١٠٠٠٠٠٠} = {}^{٢}١٠٠٠$.

نحسب الحد الأوسط وهو حاصل ضرب اثنين في الأول في الثاني لينتج لدينا: ${٢٠٠٠} = ١ \times ١٠٠٠ \times ٢$.

نحسب مربع الحد الثاني وهو العدد ١ لينتج لدينا: ${١} = {}^{٢}١$.

نعوض بالقيم المستخرجة داخل صيغة المتطابقة الحسابية الإجمالية لتصبح العملية كالتالي: ${١} + {٢٠٠٠} – {١٠٠٠٠٠٠}$.

نقوم أولاً بإجراء عملية الطرح للحد الأوسط من مربع الحد الأول: ${٩٩٨٠٠٠} = ٢٠٠٠ – ١٠٠٠٠٠٠$.

نقوم ثانياً بإضافة مربع الحد الثاني إلى الناتج المتبقي لإيجاد القيمة العددية النهائية: ${٩٩٨٠٠١} = ١ + ٩٩٨٠٠٠$.

والإجابة هي $٩٩٨٠٠١$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استراتيجية تحليل رقم الآحاد والتقريب العددي للمقارنة والاستبعاد السريع للخيارات غير المتوافقة منطقياً.

نقوم بضرب رقم آحاد العدد ٩٩٩ في نفسه لمعرفة رقم الآحاد الدقيق الذي يجب أن ينتهي به الناتج النهائي لعملية التربيع.

رقم الآحاد للعدد ٩٩٩ هو الرقم ٩، وحاصل ضرب الرقم في نفسه يساوي المقدار التالي: ${٨١} = ٩ \times ٩$.

بما أن الناتج ٨١ ينتهي بالرقم ١، إذن يجب أن يكون رقم آحاد الناتج النهائي للمربع الكامل هو الرقم ١ تماماً وبلا استثناء.

بالنظر الفاحص إلى الخيارات الأربعة المتاحة في المسألة، نستبعد الخيارات التي لا تنتهي بالرقم ١ وهي $٩٨٨٠٠٠$ و $٩٩٩٨٠٠$.

يتبقى لدينا خياران ينتهيان بالرقم ١ وهما المقدار $٩٩٨٠٠١$ والمقدار $٩٩٩٠٠١$.

نعلم بالتقريب الحسابي أن العدد ٩٩٩ قريب جداً من العدد ١٠٠٠ ومربعه يجب أن يقترب من المليون، والفرق بين مربع ١٠٠٠ ومربع ٩٩٩ يبلغ تقريباً ألفين، لذلك يكون الخيار المنطقي والأقرب رياضياً هو ٩٩٨٠٠١.

والإجابة هي $٩٩٨٠٠١$

تكنيك ١: استخراج العامل المشترك.

المفهوم الرياضي: عند وجود جمع أو طرح بين حدود تحتوي على أسس لأساسات متشابهة، نستخرج الحد ذو الأس الأصغر كعامل مشترك لتبسيط المقدار الرياضي.

في البسط، الحد ذو الأس الأصغر هو ${}^{٢}٩$. نستخرجه كعامل مشترك.

الخطوة الرياضية لتحليل البسط: $١٠ \times {}^{٢}٩ = ( {٩} + {١} ) {}^{٢}٩ = {}^{٣}٩ + {}^{٢}٩$

في المقام، القيمة هي ${}^{٤}٣$. يمكننا تبسيطها لتتوافق مع أساسات البسط (وهي $٩$).

المفهوم الرياضي: قوة القوة تضرب الأسس. العدد $٩$ يساوي ${}^{٢}٣$.

الخطوة الرياضية لتحليل المقام: $٨١ = {}^{٢}٩ = {}^{٢}({}^{٢}٣) = {}^{٤}٣$

نقوم الآن بقسمة البسط المبسط على المقام المبسط.

الخطوة الرياضية للقسمة هي: $١٠ = \dfrac{ {١٠} \times {}^{٢}٩ }{ {}^{٢}٩ }$

تم اختصار ${}^{٢}٩$ من البسط والمقام ليتبقى الرقم $١٠$.

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ٢: الحساب المباشر للقيم.

المفهوم الرياضي: حساب قيم القوى العددية مباشرة ثم إجراء العمليات الحسابية الأساسية من جمع وقسمة.

نحسب قيم الحدود الموجودة في البسط.

قيمة ${}^{٢}٩$ تساوي $٨١$.

قيمة ${}^{٣}٩$ تساوي $٧٢٩$.

نجمع القيمتين في البسط: $٨١٠ = {٧٢٩} + {٨١}$

نحسب قيمة الحد الموجود في المقام.

قيمة ${}^{٤}٣$ تساوي $٨١$.

نقسم المجموع النهائي للبسط على قيمة المقام.

الخطوة الرياضية للقسمة: $١٠ = \dfrac{٨١٠}{٨١}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك لتبسيط التعبير الأسي المكون من طرح حدين مختلفي القوة.

نبدأ بتحليل القيمة الأولى واستخراج العامل المشترك ذو الأس الأصغر للمتغيرات، وهو ${}^{١٧}٢$.

نقسم الحد الأول (الأيمن بصرياً والمطروح منه) على العامل المشترك: ${}^{١}٢ = {}^{١٧}٢ \div {}^{١٨}٢$.

نقسم الحد الثاني (الأيسر بصرياً والمطروح) على نفس العامل المشترك: $١ = {}^{١٧}٢ \div {}^{١٧}٢$.

نصيغ القيمة الأولى بالكامل بعد عملية الاستخراج مع الحفاظ المطلق على مواقع وحدود الطرح: $({١} – {٢}) \times {}^{١٧}٢$.

نقوم بإجراء عملية الطرح المباشرة الموجودة داخل الأقواس: $١ = {١} – {٢}$.

تصبح القيمة الأولى بعد ضربها جبرياً في ناتج الطرح مبسطة كالتالي: ${}^{١٧}٢ = {١} \times {}^{١٧}٢$.

نقارن الآن القيمة الأولى بعد إتمام التبسيط وهي ${}^{١٧}٢$ مع القيمة الثانية الثابتة وهي $٢$.

بما أن الأساسات متساوية والأس في القيمة الأولى هو سبعة عشر بينما أس القيمة الثانية هو واحد، فإن القيمة الأولى هي الأكبر بوضوح.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التفكيك المنطقي للأسس الكبيرة والاعتماد على خصائص ومضاعفات العدد اثنان دون حسابات معقدة.

نحلل هيكل القيمة الأولى ونقوم بتفكيك الحد ذي الأس الأكبر وهو ${}^{١٨}٢$ إلى جزأين لغرض المقارنة التخيلية.

نكتب الحد الأكبر كحاصل ضرب أساسين منفصلين بناءً على قوانين الأسس: ${}^{١٧}٢ \times {٢} = {}^{١٨}٢$.

نعوض بهذه الصيغة التفكيكية في معادلة القيمة الأولى الأصلية لتصبح: ${}^{١٧}٢ – ({}^{١٧}٢ \times {٢})$.

نقرأ المعادلة منطقياً ولفظياً: لدينا ضعف القيمة ${}^{١٧}٢$، وسوف نطرح منها نسخة واحدة من المقدار ${}^{١٧}٢$.

الناتج البديهي والمنطقي لهذا الطرح الجبري هو بقاء نسخة واحدة موجبة من القيمة: ${}^{١٧}٢$.

ننتقل لمرحلة التقييم والمقارنة النهائية بين الناتج المستخرج ${}^{١٧}٢$ والعدد $٢$ المعطى في الطرف الآخر للمقارنة.

من الواضح والبديهي رياضياً أن العدد اثنان المضروب في نفسه سبعة عشر مرة يتجاوز بشكل هائل العدد اثنان بمفرده.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

المفهوم الرياضي: ضرب الأساسات المتشابهة وحساب الأضعاف في الأسس.

مصطلح “ثلاثة أضعاف” يعني رياضياً ضرب المقدار في العدد $٣$.

المقدار المعطى في السؤال هو ${}^{٥}٣$.

نقوم بضرب المقدار المعطى في العدد $٣$ لنكون معادلة الحل.

${}^{٥}٣ \times ٣$

العدد $٣$ مجرداً يمثل أساساً مرفوعاً للأس $١$، أي يمكن كتابته بالصيغة ${}^{١}٣$.

نعيد كتابة المعادلة بالصيغة الأسية الكاملة.

${}^{٥}٣ \times {}^{١}٣$

حسب قوانين الأسس، عند ضرب الأساسات المتشابهة، نحتفظ بالأساس كما هو ونقوم بجمع الأسس.

الأساس هو $٣$، ونجمع الأس $١$ مع الأس $٥$.

${}^{٦}٣ = {}^{(١ + ٥)}٣$

والإجابة هي ${}^{٦}٣$

المفهوم الرياضي: توحيد الأساسات وجمع الأسس للحدود المتشابهة.

العبارة “أربعة أضعاف العدد” تعني ضرب العدد المستهدف في العدد $٤$.

العدد المستهدف بناءً على المعطيات هو ${}^{٥}٢$.

نصيغ العبارة رياضياً كعملية ضرب لنجد القيمة المطلوبة.

${}^{٥}٢ \times ٤$

لتطبيق قوانين الأسس، يجب أن تكون الأساسات متطابقة، لذا نحتاج لتحليل العدد $٤$.

العدد $٤$ ينتج عن ضرب $٢$ في $٢$، وهو ما يعادل رياضياً ${}^{٢}٢$.

نعوض بهذه القيمة الأسية الجديدة بدلاً من العدد $٤$ في المعادلة الأصلية.

${}^{٥}٢ \times {}^{٢}٢$

القاعدة الرياضية تنص على أنه عند ضرب أساسين متشابهين، نجمع القوى المرفوعة لهما.

نجمع الأس $٢$ مع الأس $٥$ للأساس المشترك $٢$.

${}^{٧}٢ = {}^{(٢ + ٥)}٢$

والإجابة هي ${}^{٧}٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب قيم الكسور والأسس السالبة تدريجيا لتسهيل الجمع.

نكتب المقدار المعطى بالكامل

$\dfrac{١}{{}^{١-}٢} + \dfrac{١}{٢} + {}^{١-}٢ + ٢$

نحسب قيمة الحد الأول عن طريق رفع المقام للبسط لتغيير إشارة الأس

$٢ = {}^{١}٢ = \dfrac{١}{{}^{١-}٢}$

الحد الثاني مبسط وجاهز وهو كسر النصف

$\dfrac{١}{٢}$

الحد الثالث يحتوي على أس سالب فنحوله إلى كسر بقلب الأساس

$\dfrac{١}{٢} = {}^{١-}٢$

الحد الرابع عدد صحيح جاهز وهو اثنان

$٢$

نعيد كتابة معادلة الجمع بالقيم الجديدة المبسطة

${٢} + {\dfrac{١}{٢}} + {\dfrac{١}{٢}} + {٢}$

نجمع الأعداد الصحيحة معا

$٤ = {٢} + {٢}$

نجمع الكسرين المتشابهين معا

$١ = \dfrac{٢}{٢} = {\dfrac{١}{٢}} + {\dfrac{١}{٢}}$

نجمع النواتج النهائية للحصول على المجموع الكلي

$٥ = {١} + {٤}$

والإجابة هي $٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل الحدود الكسرية والأسية إلى أعداد عشرية.

الحد الأول مقلوب العدد المرفوع لأس سالب في المقام ويساوي اثنين

$٢ = \dfrac{١}{{}^{١-}٢}$

الحد الثاني كسر اعتيادي نحوله لعشري ليسهل جمعه

$٠،٥ = \dfrac{١}{٢}$

الحد الثالث هو مقلوب العدد اثنين ونكتبه بصيغة عشرية

$٠،٥ = \dfrac{١}{٢} = {}^{١-}٢$

الحد الرابع عدد صحيح ثابت

$٢$

نكتب المعادلة بالصيغة العشرية للحدود جميعها

${٢} + {٠،٥} + {٠،٥} + {٢}$

نجمع الأجزاء العشرية أولا

$١ = {٠،٥} + {٠،٥}$

نضيف الناتج إلى الأعداد الصحيحة المتبقية

$٥ = {٢} + {٢} + {١}$

والإجابة هي $٥$

السؤال الثالث:

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور المجمعة والمقارنة الرياضية بحذف الحدود المتشابهة من كلا الطرفين لتسهيل التقييم، وتطبيق قوانين الأسس.

نلاحظ وجود عدد ثابت وموحد مضاف لكلا القيمتين، فنقوم بحذفه من الطرفين لتبسيط هيكل المقارنة الجبرية.

القيمة الأولى تتبقى ككسر وحيد ومستقل، نقوم بتبسيطه بطرح أسس الأساسات المتشابهة.

$\dfrac{١}{١٢٥} = \dfrac{١}{ {}^{٣}٥ } = \dfrac{ {}^{٧}٥ }{ {}^{١٠}٥ }$

القيمة الثانية تتبقى ككسر اعتيادي وحيد ومستقل.

$\dfrac{٥}{٧}$

نقارن بين الناتج المبسط للقيمة الأولى والقيمة الثانية ذهنياً، نجد أن الكسر الثاني يقارب الواحد الصحيح بينما الكسر الأول صغير جداً ويمثل جزءاً بسيطاً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام استراتيجية الضرب التبادلي للمقارنة التناسبية بين كسرين بعد التخلص من الثوابت وتبسيط الأسس.

بعد حذف العدد الثابت المتكرر وتبسيط القيمة الأولى كما في الخطوة السابقة، يتبقى لدينا كسران صريحان للمقارنة المباشرة.

نجري عملية الضرب التبادلي بضرب بسط القيمة الأولى في مقام القيمة الثانية ونستخرج الناتج المستقل للطرف الأول.

$٧ = {٧} \times {١}$

ثم نضرب مقام القيمة الأولى في بسط القيمة الثانية ونستخرج ناتجه المستقل للطرف الثاني.

$٦٢٥ = {٥} \times {١٢٥}$

نلاحظ أن ناتج الطرف الثاني أكبر بكثير من الطرف الأول، مما يؤكد رجحان القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب قيمة كل حد بشكل منفصل ثم تنفيذ العمليات الحسابية الأساسية لتبسيط المقدار.

نحسب قيم الأسس للحدود الرياضية الموجودة في بسط الكسر بشكل متسلسل.

$١٦ = {}^{٢}٤$

$٩ = {}^{٢}٣$

$٤ = {}^{٢}٢$

$١ = {}^{٢}١$

نقوم بجمع جميع النواتج المفككة في البسط للحصول على المجموع الكلي.

$٣٠ = {١} + {٤} + {٩} + {١٦}$

ننتقل للمقام لنحسب ناتج عملية الضرب المتسلسلة للحدود الموجودة فيه.

$٦ = {١} \times {٢} \times {٣}$

نعوض بناتج مجموع البسط وناتج ضرب المقام في هيكل الكسر الأساسي.

$\dfrac{٣٠}{٦}$

نقسم البسط على المقام للحصول على القيمة النهائية الصريحة.

$٥ = {٦} \div {٣٠}$

والإجابة هي $٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الجمع والضرب المباشر للحدود المفككة كمقدار واحد متصل.

نكتب المفكوك الكامل لأسس البسط وعمليات الضرب في المقام في خطوة تعويضية واحدة متصلة.

$\dfrac{{١} + {٤} + {٩} + {١٦}}{{١} \times {٢} \times {٣}}$

ننفذ عملية الجمع لجميع حدود البسط لنستنتج أن المجموع هو العدد ثلاثون.

ننفذ عملية الضرب لجميع حدود المقام لنستنتج أن الحاصل هو العدد ستة.

تتحول العملية الرياضية المعقدة إلى عملية قسمة بسيطة للعدد ثلاثين على العدد ستة.

نستخرج الناتج النهائي لعملية القسمة وهو العدد خمسة.

والإجابة هي $٥$

تكنيك ١: التحليل المنطقي لخصائص الأساسات العشرية المرفوعة لقوى

المفهوم الرياضي: تقييم السلوك الرياضي للأعداد الأكبر والأصغر من الواحد الصحيح عند رفعها لقوى موجبة متكررة.

نبدأ بتحليل الأساس العددي الموجود في القيمة الأولى وهو الرقم $١،٥$. هذا الرقم يتجاوز الواحد الصحيح.

القاعدة الرياضية الصارمة تنص على أن رفع أي عدد أكبر من الواحد الصحيح لأس موجب ينتج عنه دائماً قيمة أكبر من الواحد الصحيح.

لذلك، المقدار في القيمة الأولى ${}^{٥}(١،٥)$ سيؤدي حتماً إلى نتيجة نهائية أكبر من الواحد، وتتضاعف قيمتها طردياً مع زيادة الأس.

ننتقل لتحليل الأساس العددي الموجود في القيمة الثانية وهو الرقم $٠،١٥$. هذا الرقم يمثل كسراً عشرياً يقع بين الصفر والواحد الصحيح.

القاعدة الرياضية المكملة تنص على أن رفع أي كسر محصور بين الصفر والواحد لأس موجب ينتج عنه قيمة أصغر من الكسر الأصلي نفسه، وتتضاءل مقتربة من الصفر.

لذلك، المقدار في القيمة الثانية ${}^{١٥}(٠،١٥)$ سيؤول إلى نتيجة نهائية عبارة عن كسر متناهي الصغر وأقل بكثير من الواحد الصحيح.

بإجراء المقارنة المنطقية بين القيمتين: قيمة تتجاوز الواحد الصحيح مقابل قيمة تؤول إلى الصفر، يُحسم الأمر بأن القيمة الأولى هي الأكبر قطعياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: التقدير الرياضي والتحويل إلى كسور اعتيادية

المفهوم الرياضي: استخدام التقريب الذهني وتحويل الكسور العشرية إلى كسور اعتيادية لتسهيل إدراك الفوارق الشاسعة بين الكميتين.

ننظر بتمعن للقيمة الأولى وهي ${}^{٥}(١،٥)$.

حتى لو افترضنا تقريباً مجحفاً للأصغر واعتبرناها ${}^{٥}١$، فإن الناتج سيكون واحداً صحيحاً. وبما أن الأساس الحقيقي أكبر، فالناتج سيتجاوز الواحد بكثير (يصل تقريباً إلى ٧،٥).

ننظر في المقابل للقيمة الثانية وهي ${}^{١٥}(٠،١٥)$. يمكننا إعادة كتابة الأساس ككسر اعتيادي ليصبح ${}^{١٥}(\dfrac{١٥}{١٠٠})$.

نقوم بتبسيط هذا الكسر الاعتيادي بقسمة البسط والمقام على خمسة ليصبح ${}^{١٥}(\dfrac{٣}{٢٠})$.

عند ضرب كسر (بسطه أصغر من مقامه) في نفسه خمس عشرة مرة، يتضاعف المقام بشكل أسي أسرع بكثير من تضاعف البسط.

هذا السلوك الرياضي يؤدي إلى أن الناتج النهائي عبارة عن كسر ضئيل جداً يقترب من العدم.

بالمقارنة بين عدد صحيح يزداد حجمه، وبين كسر يتضاءل حجمه، تصبح القيمة الأولى هي الخيار الأرجح والأكبر دون الحاجة لحسابات معقدة.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

**تكنيك ١:**

المفهوم الرياضي: تقييم تأثير الأسس الزوجية والفردية على الإشارات السالبة للأعداد العشرية المقترنة بها.

نبدأ الفحص الدقيق للقيمة الأولى المعطاة في جدول المقارنة: ${}^{١٧}(٨١,٣٤٥-)$.

نواجه هنا أساساً عشرياً يحمل إشارة سالبة وهو محاط بأقواس، ومرفوع بكامله للأس $١٧$.

بما أن الأس $١٧$ يُعد رياضياً من الأعداد الفردية، فإن الإشارة السالبة الخاصة بالأساس لن تُلغى، وستبقى متواجدة ومهيمنة في الناتج النهائي.

هذا الاستنباط يعني بشكل قاطع أن القيمة الأولى هي عدد سالب بالكامل وتندرج تحت الأعداد الأصغر من الصفر.

نتجه الآن لفحص القيمة الثانية في جدول المقارنة: ${}^{١٨}(٨٣,١٤٥-)$.

هنا الأساس العشري السالب نفسه محاط بأقواس كسابقه، ولكنه مرفوع بكامله للأس $١٨$.

بما أن الأس $١٨$ يُعد رياضياً من الأعداد الزوجية، فإنه سيقوم بتصفية وإلغاء الإشارة السالبة للأساس تماماً أثناء عملية الضرب المتكرر.

هذا الاستنباط يعني بشكل قاطع أن القيمة الثانية ستتحول لتصبح عدداً موجباً بالكامل وتندرج تحت الأعداد الأكبر من الصفر.

عند وضع القيمة الأولى ذات الطبيعة السالبة في مسار مقارنة مباشرة مع القيمة الثانية ذات الطبيعة الموجبة، نجد أن القيمة الموجبة تتفوق وتكون الأكبر دائماً بغض النظر عن المقادير العشرية.

وعليه، نستنتج رياضياً ومنطقياً أن القيمة الثانية هي الكبرى في هذه المعادلة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

**تكنيك ٢:**

المفهوم الرياضي: استنتاج المواقع الهندسية على خط الأعداد الحقيقية كطريقة قطعية لتحديد الأكبر.

في قسم المقارنات في اختبار القدرات، القاعدة الأساسية هي تجنب الانخراط في العمليات الحسابية للأرقام المعقدة والعشرية طالما يمكن الوصول للحل بالاستدلال الإشاري.

القيمة الأولى تمثل تعبيراً رياضياً سالباً مرفوعاً لأس فردي، مما يجبر الناتج النهائي على أن يقع في الجزء السالب من خط الأعداد المتجه نحو اليسار.

القيمة الثانية تمثل تعبيراً رياضياً سالباً مرفوعاً لأس زوجي، مما ينقل الناتج النهائي ليقع في الجزء الموجب من خط الأعداد المتجه نحو اليمين.

العدد الموجب اليميني، مهما تضاءل مقداره العشري، يمتلك قيمة جبرية أكبر من أي عدد سالب يساري، مهما تعاظمت قيمته المطلقة.

بناءً على هذا الاستنتاج المنطقي المباشر والمبني على الخصائص الجبرية البسيطة، القيمة الثانية تتغلب بوضوح.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

السؤال الأول:

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: قوانين الأسس في القسمة والضرب، حيث يتم طرح الأسس عند قسمة الأساسات المتشابهة، وتفكيك الأساسات المركبة.

نبدأ بتبسيط البسط من خلال قسمة الأساسات المتشابهة وطرح الأسس.

${}^{٥}٦ = {}^{٣}٦ \div {}^{٨}٦$

نقوم بتفكيك الأساس في البسط إلى عوامله الأولية ليتطابق مع الأساسات المتباينة في المقام.

${}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢ = {}^{٥}({٣} \times {٢}) = {}^{٥}٦$

نعوض بالقيمة الجديدة المفككة في الكسر الأصلي مع الحفاظ على الترتيب المكاني للمقام.

$\dfrac{ {}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢ }{ {}^{٤}٣ \times {}^{٥}٢ }$

نختصر الحدود المتشابهة بين البسط والمقام بحذف القيمة المشتركة وتطبيق الطرح للأسس المتبقية.

${}^{١}٣ = \dfrac{ {}^{٥}٣ }{ {}^{٤}٣ }$

النتيجة النهائية للعملية الحسابية بعد التبسيط الجبري المباشر هي ثلاثة.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تفكيك جميع الأساسات إلى عواملها الأولية منذ البداية لتسهيل عملية الحذف والتبسيط الشامل دون الحاجة لدمجها أولاً.

نفكك جميع حدود البسط المكعبة والمرفوعة إلى عواملها الأولية بشكل مستقل.

${}^{٨}٣ \times {}^{٨}٢ = {}^{٨}٦$

${}^{٣}٣ \times {}^{٣}٢ = {}^{٣}٦$

نطرح أسس العوامل الأولية في البسط بناءً على عملية القسمة المطروحة بينهما.

${}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢ = ({}^{٣}٣ \times {}^{٣}٢) \div ({}^{٨}٣ \times {}^{٨}٢)$

نقسم الناتج المكتمل على المقام المعطى في السؤال، مع طرح الأسس للأساسات المتشابهة لإتمام الحل.

$٣ = \dfrac{ {}^{٥}٣ \times {}^{٥}٢ }{ {}^{٤}٣ \times {}^{٥}٢ }$

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١: تحويل الجمع المتكرر إلى عملية ضرب ثم توحيد الأساسات

المفهوم الرياضي: الجمع المتكرر لنفس القيمة عدد من المرات يكافئ حاصل ضرب هذه القيمة في عدد مرات تكرارها الفعلي.

نلاحظ من القراءة البصرية أن الحد ${}^{٩}٢٥$ مجموع على نفسه خمس مرات متتالية في الطرف الأيمن.

نحول عملية الجمع الطويلة إلى عملية ضرب رياضية مختزلة: ${٥} \times {}^{٩}٢٥$

نبحث عن أساس مشترك للتبسيط، ونلاحظ أن العدد خمسة وعشرين يمثل مربع العدد خمسة الكامل.

نعوض عن الأساس الأكبر بقيمته الأسية: ${٢٥}$ يساوي رياضياً ${}^{٢}٥$

نطبق قانون قوة القوة بضرب الأسس الداخلية والخارجية للأساس الجديد: ${}^{١٨}٥ = {}^{١٨}٥ \times {١} = {}^{٩}({}^{٢}٥)$

نعود للمعادلة الأصلية بعد الاختزال ونعوض بالأساس الجديد الموحد في عملية الضرب.

المعادلة تصبح على النحو التالي: ${٥} \times {}^{١٨}٥$

العدد الصحيح خمسة يعادل رياضياً القيمة ${}^{١}٥$ المرفوعة للأس الأول.

نطبق قانون ضرب الأساسات المتشابهة بجمع الأسس للحصول على القيمة المختزلة: ${١٩} = {١} + {١٨}$

نصيغ المعادلة الكلية لإثبات الناتج من اليمين إلى اليسار.

${}^{١٩}٥ = {}^{١}٥ \times {}^{١٨}٥ = {٥} \times {}^{٩}٢٥$

والإجابة هي ${}^{١٩}٥$

تكنيك ٢: استخراج العامل المشترك الأكبر وتحليل المقدار

المفهوم الرياضي: يمكن سحب الحد المتكرر كعامل مشترك لتبسيط المقدار المجموع واختزال الحدود الكثيرة إلى حدين مضروبين.

نأخذ الحد ${}^{٩}٢٥$ كعامل مشترك رئيسي من جميع الحدود الخمسة المتسلسلة.

المقدار يتبسط هندسياً ليصبح: ${}^{٩}٢٥ \times ({١} + {١} + {١} + {١} + {١})$

نقوم بجمع الأعداد الصحيحة المتكونة داخل الأقواس.

الناتج بعد جمع المعاملات هو: ${٥} \times {}^{٩}٢٥$

نقوم بتبسيط الأساس الأكبر ليتوافق تماماً مع الأساس الأصغر لتسهيل تطبيق قوانين الأسس.

القيمة ${}^{٩}٢٥$ تتحول جبرياً إلى ${}^{١٨}٥$ بناء على قانون قوة القوة المطبق سابقاً.

نضرب الأساسات الموحدة ونجمع الأسس المرفوعة لها بشكل مباشر.

${}^{١٩}٥ = {}^{١}٥ \times {}^{١٨}٥$

والإجابة هي ${}^{١٩}٥$

تكنيك ١: التبسيط الجبري وفرض القيم الاختبارية للتحقق

المفهوم الرياضي: عند وجود متغيرات مجهولة القيمة ضمن المقارنات الأسية، نقوم أولاً بتبسيط التعابير الجبرية قدر الإمكان، ثم نلجأ لفرض قيم متعددة (موجبة، وسالبة، وصفر) للمتغير لاختبار ما إذا كانت العلاقة ثابتة أم تتغير.

نبدأ بتبسيط القيمة الأولى باستخدام قوانين الأسس في حالة القسمة.

نطرح أس المقام الذي هو المتغير سين، من أس البسط الذي هو اثنان مضروباً في سين، لنفس الأساس وهو سبعة عشر.

حاصل طرح سين من اثنين سين هو سين واحدة.

تتبسط القيمة الأولى لتصبح المعطى التالي: ${}^{س}١٧ = \frac{{}^{س٢}١٧}{{}^{س}١٧}$

أصبحت المقارنة الآن واضحة ومبسطة: القيمة الأولى هي سبعة عشر أُس سين، والقيمة الثانية هي سبعة عشر أُس الكسر سين مقسوماً على اثنين.

بما أن قيمة المتغير سين غير معطاة ولا تخضع لأي شروط في السؤال، نقوم بفرض قيم تجريبية لاختبار العلاقة.

الفرضية التجريبية الأولى: نفرض أن قيمة المتغير سين تساوي صفراً.

نعوض بهذه القيمة في التعبير الأول: سبعة عشر مرفوعة للأس صفر تساوي واحداً صحيحاً.

نعوض في التعبير الثاني: سبعة عشر مرفوعة للأس صفر مقسوماً على اثنين، وهو ما يعني أُس صفر، والناتج يساوي واحداً صحيحاً أيضاً.

في حالة كانت سين تساوي صفراً، نجد بوضوح أن القيمتين متساويتان تماماً.

الفرضية التجريبية الثانية: نفرض أن قيمة المتغير سين تساوي اثنين.

نعوض بهذه القيمة الموجبة في التعبير الأول: سبعة عشر مرفوعة للأس اثنين تساوي مائتين وتسعة وثمانين.

نعوض في التعبير الثاني: سبعة عشر مرفوعة للأس اثنين مقسوماً على اثنين، وهو ما يعني أُس واحد، والناتج يساوي سبعة عشر.

في هذه الحالة تحديداً حيث سين تساوي اثنين، نجد أن القيمة الأولى أكبر بكثير من القيمة الثانية.

نستنتج رياضياً أنه بما أن نتيجة المقارنة تختلف وتتذبذب باختلاف القيمة الافتراضية للمتغير سين، فلا يوجد يقين أو علاقة رياضية ثابتة يمكن الاعتماد عليها كإجابة قاطعة.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢: التحليل المنطقي لدوال النمو الأسي وارتباطها بالمتغيرات

المفهوم الرياضي: الدوال الأسية التي يكون أساسها أكبر من الواحد تتصاعد بشكل مختلف بناءً على قيمة الأس المعطى، ويمكن تحديد سلوكها بمقارنة دوال الأسس نفسها.

بعد تبسيط القيمة الأولى في التكنيك السابق لتصبح سبعة عشر أُس سين، نقارنها بصرية ومنطقياً مع القيمة الثانية وهي سبعة عشر أُس نصف سين.

بما أن الأساس في كلا القيمتين متطابق وهو العدد سبعة عشر، فإن المقارنة تتحول فعلياً إلى مقارنة بين الأسين: سين، ونصف سين.

إذا كانت قيمة المتغير سين عدداً موجباً، فإن سين ستكون دائماً أكبر من نصف سين، وبالتالي ستكون القيمة الأولى هي الأكبر حتماً.

أما إذا كانت قيمة المتغير سين عدداً سالباً، فإن الوضع ينعكس كلياً.

على سبيل المثال، العدد سالب اثنين أصغر رياضياً من العدد سالب واحد (وهو نصفه).

في حالة الأعداد السالبة، سيكون نصف سين أكبر من سين الكاملة، مما يجعل القيمة الثانية هي الأكبر أُسياً وعددياً.

وأخيراً، نقطة الانعطاف وهي الصفر، تجعل الأسين متساويين، وتجعل النتيجتين النهائيتين تتطابقان عند الرقم واحد.

هذا التباين الواسع في السلوك بناءً على إشارة المتغير يمنعنا رياضياً من تحديد قاعدة صلبة للمقارنة.

ونظراً لغياب أي شرط في رأس السؤال يحدد نطاق المتغير سين كأن يكون موجباً فقط أو لا يساوي الصفر، فإن الحكم مستحيل.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: عند وجود قيم أسية بأساسات مختلفة وأسس مختلفة، نقوم بتوحيد الأساسات بالتحليل إلى العوامل الأولية ثم قسمة الطرفين على قاسم مشترك لتصغير الأرقام.

نبدأ بتحليل أساس القيمة الأولى وهو العدد ثمانية إلى عوامله الأولية.

${}^{٣}٢ = ٨$

نعوض في القيمة الأولى ونطبق قانون قوة القوة بضرب الأس الداخلي في الخارجي.

${}^{(٦ \times ٣)}٢$

نحسب الناتج لنصل إلى القيمة الأولى بدلالة العدد اثنين المبسطة.

${}^{١٨}٢ = {}^{٦}٨$

نحلل أساس القيمة الثانية وهو العدد ستة إلى حاصل ضرب عوامله الأولية وهي الاثنان والثلاثة.

$٣ \times ٢ = ٦$

نعوض في القيمة الثانية ونقوم بتوزيع الأس الخارجي على جميع المضروبات داخل القوس.

${}^{٨}٣ \times {}^{٨}٢ = {}^{٨}(٣ \times ٢)$

لدينا الآن القيمة الأولى بدلالة قوى الاثنين فقط، والقيمة الثانية بدلالة قوى الاثنين والثلاثة.

لتسهيل المقارنة، نقوم بقسمة كلا القيمتين على العامل المشترك بينهما وهو العدد اثنان مرفوعاً للقوة الثامنة.

نقسم القيمة الأولى على العامل المشترك، ونطرح الأسس.

${}^{١٠}٢ = {}^{٨}٢ \div {}^{١٨}٢$

نحسب القيمة العددية الناتجة عن هذه القوة لتكون جاهزة للمقارنة.

$١٠٢٤ = {}^{١٠}٢$

نقسم القيمة الثانية على نفس العامل المشترك فيتبقى لدينا الأساس ثلاثة مرفوعاً لقوته دون تغيير.

${}^{٨}٣ = {}^{٨}٢ \div ({}^{٨}٣ \times {}^{٨}٢)$

يمكن تبسيط حساب هذه القوة الكبيرة بتجزئتها إلى مربع القوة الرابعة للعدد ثلاثة.

${}^{٢}({}^{٤}٣) = {}^{٨}٣$

نحسب القوة الرابعة للعدد ثلاثة وهي تساوي العدد واحد وثمانين.

$٨١ = {}^{٤}٣$

نربع العدد واحد وثمانين لنحصل على القيمة النهائية للطرف الثاني.

$٦٥٦١ = {}^{٢}٨١$

نقارن بين الناتجين النهائيين، العدد ستة آلاف وخمسمائة وواحد وستون أكبر بشكل ملحوظ من العدد ألف وأربعة وعشرين.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن استخدام أخذ الجذر الموحد كأداة لتبسيط الأسس الكبيرة لكلا الطرفين قبل إجراء المقارنة لتجنب الحسابات اليدوية المعقدة.

نلاحظ أن أس القيمة الأولى هو ستة وأس القيمة الثانية هو ثمانية، والعامل المشترك الأكبر بين الأسين هو العدد اثنان.

نأخذ الجذر التربيعي لكلا القيمتين كخطوة واحدة للتبسيط، وهو ما يعادل رياضياً قسمة الأسس على العدد اثنين.

نبسط القيمة الأولى عن طريق وضعها تحت الجذر التربيعي.

${}^{٣}٨ = {\sqrt{{}^{٦}٨}}$

نحسب القيمة العددية لمكعب الثمانية لتحديد حجم القيمة الأولى المبسطة.

$٥١٢ = ٨ \times ٨ \times ٨$

نبسط القيمة الثانية عن طريق وضعها تحت الجذر التربيعي أيضاً.

${}^{٤}٦ = {\sqrt{{}^{٨}٦}}$

نحسب القيمة العددية بضرب الستة في نفسها أربع مرات، أو بتربيع مربع العدد ستة لتسهيل العملية.

$٣٦ = {}^{٢}٦$

نضرب العدد ستة وثلاثين في نفسه لإكمال الحساب.

$١٢٩٦ = ٣٦ \times ٣٦$

نقارن بين القيمتين المبسطتين الناتجتين، العدد ألف ومائتان وستة وتسعون أكبر بوضوح من العدد خمسمائة واثني عشر.

بما أن الجذر التربيعي للقيمة الثانية أكبر، فإن القيمة الأصلية الثانية قبل الجذر هي الأكبر حتماً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: قاعدة تباين الأساسات والأساس الصفري

المفهوم الرياضي: عند تساوي تعبيرين أسيين ذوي أساسات عددية مختلفة وموجبة، فإن الحل الرياضي الوحيد الممكن هو أن تكون قيمة الأس صفراً.

لدينا المعادلة الأسية المعطاة بوضوح في نص السؤال وهي: ${}^{ن – ٣}١١ = {}^{ن – ٣}٩$.

من خلال الفحص البصري للمعادلة، نلاحظ أن الأساس في الطرف الأيمن هو الرقم $١١$ بينما الأساس في الطرف الأيسر هو الرقم $٩$.

رياضياً وبحسب القوانين الجبرية، من المستحيل لأي عددين مختلفين (ولا يمثلان قوى لنفس الأساس) أن يتساويا عند رفعهما لنفس الأس المتغير إلا في حالة واحدة استثنائية وثابتة.

هذه الحالة الاستثنائية تتحقق حصراً عندما يكون مقدار الأس نفسه مساوياً للصفر، لأن أي عدد حقيقي (باستثناء الصفر) مرفوع للأس صفر يعطي الناتج واحداً صحيحاً.

بناءً على هذا الاستنتاج الجذري، نجزم بأن التعبير الجبري الموجود في الأس يجب أن يعادل صفراً بالضرورة.

نصيغ المعادلة الخطية البسيطة بناءً على هذا الاستنتاج المنطقي: $٠ = {٣} – {ن}$.

لحل هذه المعادلة المباشرة، نقوم بنقل العدد ثلاثة ذي الإشارة السالبة إلى الطرف الآخر من علامة المساواة مع عكس إشارته ليصبح موجباً.

ينتج لدينا بعد النقل القيمة النهائية والصحيحة للمتغير: $٣ = ن$.

هذه القيمة هي الوحيدة التي تحقق توازن المعادلة الأصلية، حيث تجعل الأس صفراً ويصبح كلا الطرفين مساوياً للرقم واحد.

والإجابة هي $٣ = ن$

تكنيك ٢: التجربة المباشرة والتعويض من الخيارات المعطاة

المفهوم الرياضي: استبدال المتغير المجهول في المعادلة بالقيم العددية المعطاة في الخيارات تباعاً لاختبار صحة توازن جانبي المساواة.

نشرع في تجربة الخيار الأول المفترض وهو أن تكون قيمة المتغير $٣- = ن$.

نقوم بالتعويض في تعبير الأس لنجد الناتج: $٦- = {٣} – {(٣-)}$.

تصبح المعادلة بعد التعويض: ${}^{٦-}١١ = {}^{٦-}٩$، وهي عبارة رياضية خاطئة قطعاً لاختلاف القيمتين.

ننتقل لتجربة الخيار الثاني المفترض وهو أن تكون قيمة المتغير $١- = ن$.

نقوم بالتعويض في تعبير الأس لنجد الناتج: $٤- = {٣} – {(١-)}$.

تصبح المعادلة بعد هذا التعويض: ${}^{٤-}١١ = {}^{٤-}٩$، وهي أيضاً عبارة رياضية خاطئة ولا تحقق المساواة.

نختبر الآن الخيار الثالث المعطى وهو أن تكون قيمة المتغير $٣ = ن$.

نقوم بالتعويض في تعبير الأس لنجد الناتج: $٠ = {٣} – {٣}$.

تصبح المعادلة الأسية بعد هذا التعويض الدقيق: ${}^{٠}١١ = {}^{٠}٩$.

بما أننا نعلم كقاعدة ثابتة أن أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي واحداً صحيحاً، فإن المعادلة تؤول إلى $١ = ١$.

نظراً لأن الطرفين قد تساويا تماماً، فهذا يثبت أن هذا الخيار هو الحل الصحيح والقطعي للمعادلة.

والإجابة هي $٣ = ن$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد الجذور للمعادلات الأسية ذات الأسس الزوجية.

نبدأ من المعادلة المعطاة وهي ${٨١} = {}^{٤}س$ لإيجاد قيمة المتغير س المجهولة.

للتخلص من الأس الرابع في طرف المتغير، نقوم بأخذ الجذر الرابع لكلا الطرفين.

بما أن الأس هنا هو عدد زوجي، فإن النتيجة الجبرية للجذر يجب أن تحتمل قيمتين إحداهما موجبة والأخرى سالبة.

تُكتب الخطوة رياضياً بهذا الشكل: ${}^{٤}{\sqrt{٨١}}\pm = س$

بتحليل العدد واحد وثمانين إلى عوامله الأولية، نجد أنه يساوي العدد ثلاثة مضروباً في نفسه أربع مرات، أي ${٨١} = {}^{٤}٣$

وبالتالي، فإن الجذر الرابع للعدد واحد وثمانين يساوي العدد ثلاثة.

بناءً على ذلك، نستنتج أن قيمة المتغير س تساوي موجب أو سالب ثلاثة، وتُكتب النتيجة النهائية رياضياً هكذا: $٣\pm = س$

والإجابة هي $٣\pm$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحليل الفرق بين مربعين لحل المعادلات الجبرية من الدرجات العليا.

نقوم بإعادة ترتيب المعادلة المعطاة ${٨١} = {}^{٤}س$ بنقل الثابت إلى الطرف الآخر لتصفير المعادلة.

تصبح المعادلة مساوية للصفر وتُكتب بهذا الشكل: $٠ = {٨١} – {}^{٤}س$

يمكننا تحليل هذا المقدار كفرق بين مربعين لينتج لنا قوسان مضروبان في بعضهما: $٠ = ({٩} + {}^{٢}س) \times ({٩} – {}^{٢}س)$

القوس الأول يمثل مجموع مربعين وهو ${٩} + {}^{٢}س$، وهذا المقدار لا يمكن أن يساوي صفراً في مجموعة الأعداد الحقيقية، لذا يتم استبعاده من الحل.

القوس الثاني يمثل فرقاً بين مربعين وهو ${٩} – {}^{٢}س$، ونقوم بمساواته بالصفر لاستكمال الحل.

تصبح المعادلة $٠ = {٩} – {}^{٢}س$، وبنقل العدد تسعة للطرف الآخر مع تغيير الإشارة نحصل على ${٩} = {}^{٢}س$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، وبما أن الأس زوجي، نحصل على قيمتين موجبة وسالبة للناتج.

النتيجة النهائية للمتغير هي $٣\pm = س$

والإجابة هي $٣\pm$

**تكنيك ١:**

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك الأكبر في الأسس المتشابهة.

نقوم بتحليل التعبير الرياضي المعطى في السؤال وهو ${}^{٨}٢ + {}^{٦}٢$.

نلاحظ أن الأساسات متشابهة في كلا الحدين، لذا يمكننا سحب الأساس ذي الأس الأصغر كعامل مشترك لتسهيل عملية الجمع.

الأس الأصغر هنا بين الحدين هو ${}^{٦}٢$، لذلك سنقوم باستخراجه كعامل مشترك خارج الأقواس.

عند استخراج ${}^{٦}٢$ كعامل مشترك، يجب علينا أن نقسم كل حد من حدود التعبير الأصلي عليه لنعرف ما يتبقى داخل الأقواس.

نقسم الحد الأيمن: ${}^{٢}٢ = {}^{٦}٢ \div {}^{٨}٢$ لأننا نطرح الأسس في حالة القسمة.

نقسم الحد الأيسر: $١ = {}^{٦}٢ \div {}^{٦}٢$ لأن أي عدد مقسوم على نفسه يعطي العدد واحد.

نعيد صياغة التعبير الرياضي بوضع الناتج داخل الأقواس مضروباً في العامل المشترك: $(١ + {}^{٢}٢) \times {}^{٦}٢$.

نقوم بتبسيط ما بداخل الأقواس، حيث نعلم يقيناً أن مربع العدد اثنين هو أربعة، أي $٤ = {}^{٢}٢$.

تصبح المعادلة بعد التبسيط كالتالي: $(١ + {٤}) \times {}^{٦}٢$.

نجمع الأرقام الصحيحة داخل الأقواس: $٥ = {١} + {٤}$.

ينتج لدينا التعبير النهائي لحاصل الجمع وهو: ${}^{٦}٢ \times ٥$.

والإجابة هي ${}^{٦}٢ \times ٥$.

**تكنيك ٢:**

المفهوم الرياضي: فك الأسس وتجزئتها لتسهيل تجميع الحدود المتشابهة.

نكتب التعبير الأصلي كما ورد في نص السؤال: ${}^{٨}٢ + {}^{٦}٢$.

يمكننا كتابة الحد الأيمن ${}^{٨}٢$ على صورة حاصل ضرب أساسين متشابهين، بحيث يكون أحدهما مساوياً للحد الأيسر في المعادلة.

باستخدام قانون جمع الأسس في حالة الضرب، نعلم رياضياً أن ${}^{٨}٢$ يكافئ تماماً ${}^{٢}٢ \times {}^{٦}٢$.

نعوض بهذا التفكيك الجبري في المعادلة الأصلية لتصبح بهذا الشكل: $({}^{٦}٢) + ({}^{٢}٢ \times {}^{٦}٢)$.

الآن، نلاحظ وجود التعبير ${}^{٦}٢$ في كلا الحدين المجموعين، وكأنه متغير مستقل، لنفترض جدلاً أنه المتغير س.

لدينا الآن حد واحد من هذا المتغير في الطرف الأيسر، مضافاً إليه أربعة حدود من نفس المتغير في الطرف الأيمن، وذلك لأن $٤ = {}^{٢}٢$.

تصبح المعادلة بعد تحويل القيمة العددية: $({}^{٦}٢) + ({}^{٦}٢ \times ٤)$.

بجمع المعاملات الخاصة بهذا المتغير المتشابه، نحصل على خمسة أضعاف قيمته الأصلية.

النتيجة النهائية ستكون حاصل الضرب المباشر: ${}^{٦}٢ \times ٥$.

والإجابة هي ${}^{٦}٢ \times ٥$.

تكنيك ١: التفسير الجبري للعبارة اللفظية وتحويلها إلى معادلة

المفهوم الرياضي: ترجمة السؤال إلى معادلة جبرية حيث يتم تمثيل العدد المجهول بمتغير، واستخدام قواعد قسمة الأسس والجذور.

نفرض أن العدد المجهول هو س.

بناءً على الصياغة اللفظية، العدد المعطى هو المقسوم، والمجهول هو المقسوم عليه.

نصيغ المعادلة: ${}^{٣-}\left(\dfrac{٣-}{٢}\right) = {س} \div {}^{٣-}\left(\dfrac{{\sqrt{٢٧}}{}^{٣}}{٢}\right)$

نبدأ بتبسيط المقسوم (الطرف الأيمن بصرياً):

العدد هو ${}^{٣-}\left(\dfrac{{\sqrt{٢٧}}{}^{٣}}{٢}\right)$

الجذر التكعيبي للرقم $٢٧$ هو $٣$.

يصبح الكسر: ${}^{٣-}\left(\dfrac{٣}{٢}\right)$

نتخلص من الأس السالب بقلب الكسر: ${}^{٣}\left(\dfrac{٢}{٣}\right)$

نوزع الأس على البسط والمقام: $\dfrac{٨}{٢٧}$

الآن نبسط الناتج (الطرف الأيسر بصرياً):

الناتج هو: ${}^{٣-}\left(\dfrac{٣-}{٢}\right)$

نقلب الكسر للتخلص من الأس السالب: ${}^{٣}\left(\dfrac{٢}{٣-}\right)$

نوزع الأس لتصبح النتيجة: $\dfrac{٨}{٢٧-}$

نعود للمعادلة الأصلية بعد التبسيط: $\dfrac{٨}{٢٧-} = {س} \div \dfrac{٨}{٢٧}$

لإيجاد قيمة س، نقسم المقسوم على الناتج المعطى.

$\dfrac{٨}{٢٧-} \div \dfrac{٨}{٢٧} = س$

عند قسمة مقدارين متساويين مع اختلاف الإشارة، يكون الناتج $١-$.

والإجابة هي $١-$

تكنيك ١: مساواة الأسس باستخدام خاصية الصفر

المفهوم الرياضي: تحويل المعادلة إلى صيغة ذات أساسات متساوية اعتماداً على قاعدة القوة الصفرية.

المعادلة المعطاة في السؤال هي: $١ = {}^{٥ + س}٢$.

تنص القاعدة الجبرية على أن أي عدد حقيقي (باستثناء الصفر) مرفوع للأس صفر يعطي ناتجاً يساوي $١$.

لذا يمكننا إعادة صياغة الرقم $١$ في الطرف الأيمن بصرياً ليصبح قوة للأساس $٢$.

الصياغة الجديدة للرقم $١$ هي: $١ = {}^{٠}٢$.

نعوض بهذه الصيغة في المعادلة الأصلية لتصبح الأساسات متطابقة.

المعادلة الجديدة: ${}^{٠}٢ = {}^{٥ + س}٢$.

بما أن الأساسات متساوية (وهي $٢$)، فإن القاعدة تقتضي مساواة الأسس ببعضها البعض.

نستخرج المعادلة الخطية للأسس: $٠ = {٥} + {س}$.

لحل المعادلة وعزل المتغير، نقوم بطرح العدد $٥$ من كلا الطرفين.

العملية الحسابية: $٥- = {٥-} + {٠} = س$.

الناتج النهائي لقيمة المتغير هو: $٥- = س$.

والإجابة هي $٥-$.

تكنيك ٢: تجربة الخيارات (التعويض العكسي)

المفهوم الرياضي: التعويض بالقيم المقترحة في الخيارات داخل المعادلة الأصلية للتحقق من صحة المساواة.

المعادلة المراد التحقق منها هي: $١ = {}^{٥ + س}٢$.

نبدأ بتجربة الخيار الأول وهو $١$.

نعوض في الأس: $٦ = {٥} + {١}$. تصبح القيمة ${}^{٦}٢$ وهي لا تساوي $١$.

نجرب الخيار الثاني وهو $١-$.

نعوض في الأس: $٤ = {٥} + {١-}$. تصبح القيمة ${}^{٤}٢$ وهي لا تساوي $١$.

نجرب الخيار الثالث وهو $٥$.

نعوض في الأس: $١٠ = {٥} + {٥}$. تصبح القيمة ${}^{١٠}٢$ وهي لا تساوي $١$.

نجرب الخيار الرابع والأخير وهو $٥-$.

نعوض في الأس: $٠ = {٥} + {٥-}$.

تصبح القيمة الأسية: ${}^{٠}٢$.

نعلم رياضياً أن: $١ = {}^{٠}٢$.

هذه النتيجة تطابق تماماً الطرف الآخر من المعادلة.

إذاً الخيار الصحيح الذي يحقق المعادلة هو $٥-$.

والإجابة هي $٥-$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: لحساب كسر من كمية معينة نقوم بالقسمة على مقامه، ثم نوحد الأساسات ونطبق قوانين القوى لتبسيط المقارنة.

نبدأ بتبسيط القيمة الأولى، وكلمة نصف تعني رياضياً القسمة على العدد اثنين.

$٢ \div {}^{٣٣}٢$

نطبق قانون قسمة الأساسات المتشابهة بطرح أس المقام من أس البسط.

${}^{(١ – ٣٣)}٢$

نحسب ناتج الطرح لنجد القيمة الأولى بشكلها المبسط والنهائي.

${}^{٣٢}٢$

ننتقل لتبسيط القيمة الثانية، وكلمة ربع تعني رياضياً القسمة على العدد أربعة.

$٤ \div {}^{١٣}٤$

نطبق قانون قسمة الأساسات المتشابهة مرة أخرى للطرف الثاني.

${}^{(١ – ١٣)}٤$

نحسب ناتج الطرح لنجد القيمة الثانية بشكلها الأولي.

${}^{١٢}٤$

نلاحظ اختلاف الأساسات، فنقوم بتحليل الأساس أربعة إلى قوى العدد اثنين لتوحيدها مع القيمة الأولى.

${}^{٢}٢ = ٤$

نعوض بهذا التحليل في القيمة الثانية، ونطبق قانون قوة القوة بضرب الأس الداخلي في الخارجي.

${}^{(١٢ \times ٢)}٢$

نحسب الناتج لتصبح القيمة الثانية المبسطة جاهزة للمقارنة المباشرة.

${}^{٢٤}٢$

نقارن بين القيمة الأولى وهي اثنان مرفوعة للقوة الثانية والثلاثين، والقيمة الثانية وهي اثنان مرفوعة للقوة الرابعة والعشرين.

بما أن الأساسات متطابقة، فالقيمة التي تحمل الأس الأكبر تعتبر هي القيمة الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن تحويل الكسور اللفظية إلى أعداد أسية سالبة وضربها في الكميات المعطاة قبل توحيد الأساسات وجمع الأسس.

الكسر نصف يمكن كتابته على صورة قوة سالبة للعدد اثنين لتسهيل الضرب.

${}^{١-}٢ = \dfrac{١}{٢}$

نضرب هذه القيمة الأسية in الكمية الأصلية المعطاة للقيمة الأولى.

${}^{٣٣}٢ \times {}^{١-}٢$

نجمع الأسس معاً وفقاً لقانون ضرب الأساسات المتشابهة.

${}^{(٣٣ + ١-)}٢$

تكون النتيجة النهائية للقيمة الأولى بعد عملية الجمع.

${}^{٣٢}٢$

الكسر ربع يمكن كتابته على صورة قوة سالبة للعدد اثنين أيضاً، حيث أنه مقلوب مربع العدد اثنين.

${}^{٢-}٢ = \dfrac{١}{٤}$

نوحد أساس الكمية الثانية في نص السؤال لتصبح بدلالة العدد اثنين قبل عملية الضرب.

${}^{(١٣ \times ٢)}٢ = {}^{١٣}٤$

نضرب القيمة الكسرية السالبة في الكمية الموحدة التي حصلنا عليها.

${}^{٢٦}٢ \times {}^{٢-}٢$

نجمع الأسس لاستخراج الناتج النهائي للقيمة الثانية.

${}^{(٢٦ + ٢-)}٢$

تكون النتيجة النهائية للقيمة الثانية بعد الجمع.

${}^{٢٤}٢$

بالمقارنة المباشرة بين أسس الطرفين، القيمة الأولى تمتلك أساً أعلى من القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: التحليل للعوامل الأولية وتطبيق قوانين الأسس

المفهوم الرياضي: لتبسيط الكسور التي تحتوي على أسس كبيرة وأساسات مختلفة، نحلل الأساسات المركبة إلى عواملها الأولية ثم نختصر الأسس المتشابهة.

نبدأ بقراءة المقدار الجبري المعطى: $\dfrac{{}^{٢}({}^{٦}١٢)}{{}^{٨}٢ \times {}^{٥}٣}$

نلاحظ أن بسط الكسر يحتوي على قوة مرفوعة لقوة: ${}^{٢}({}^{٦}١٢)$

نضرب الأسين معاً لتبسيط البسط: ${١٢} = {٢} \times {٦}$

يصبح البسط بعد التبسيط: ${}^{١٢}١٢$

بما أن المقام يحتوي على عوامل أولية (٢ و ٣)، يجب تحليل الأساس ١٢ في البسط لعوامله الأولية.

نحلل العدد ١٢: ${٣} \times {٤} = ١٢$ والذي يكافئ ${٣} \times {}^{٢}٢$

نعوض بتحليل العدد ١٢ in البسط: ${}^{١٢}({٣} \times {}^{٢}٢)$

نوزع الأس الخارجي (١٢) على العوامل الداخلية: ${}^{١٢}٣ \times {}^{١٢}({}^{٢}٢)$

نبسط قوة الأساس ٢ بضرب الأسس: ${٢٤} = {١٢} \times {٢}$ ليصبح ${}^{٢٤}٢$

يصبح البسط النهائي: ${}^{١٢}٣ \times {}^{٢٤}٢$

نعوض بالبسط الجديد في الكسر الأصلي: $\dfrac{{}^{١٢}٣ \times {}^{٢٤}٢}{{}^{٨}٢ \times {}^{٥}٣}$

نفصل الكسر إلى كسرين لتبسيط الأساسات المتشابهة: $\dfrac{{}^{١٢}٣}{{}^{٥}٣} \times \dfrac{{}^{٢٤}٢}{{}^{٨}٢}$

نطبق قانون طرح الأسس للأساس ٢ (أس المقام ناقص أس البسط لترتيب العملية): ${١٦} = {٨} – {٢٤}$ ليصبح ${}^{١٦}٢$

نطبق قانون طرح الأسس للأساس ٣ (أس المقام ناقص أس البسط لترتيب العملية): ${٧} = {٥} – {١٢}$ ليصبح ${}^{٧}٣$

نضرب الناتجين لنحصل على القيمة النهائية المبسطة: ${}^{١٦}٢ \times {}^{٧}٣$

والإجابة هي ${}^{١٦}٢ \times {}^{٧}٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد المجموع الكلي بتبسيط قوى العدد عشرة وضربها في المعامل العشري المرفق بشكل مباشر ثم جمع النواتج.

التعبير الرياضي المعطى للتحليل هو ${}^{٥}١٠ \times ٣،٥ + {}^{٤}١٠ \times ٣،٥ + {}^{٣}١٠ \times ٣،٥$

نبدأ بفك الحد الأول ذو الأس الأكبر وضرب القيم: $٣٥٠٠٠٠ = {١٠٠٠٠٠} \times {٣،٥}$

نفك الحد الثاني بالترتيب ونجري عملية الضرب: $٣٥٠٠٠ = {١٠٠٠٠} \times {٣،٥}$

نفك الحد الثالث والأخير ونجري عملية الضرب: $٣٥٠٠ = {١٠٠٠} \times {٣،٥}$

نقوم الآن بجمع النواتج العددية الثلاثة المستخرجة: $٣٨٨٥٠٠ = {٣٥٠٠} + {٣٥٠٠٠} + {٣٥٠٠٠٠}$

لتحويل هذا الناتج العددي إلى الصيغة العلمية الموجودة في الخيارات، يجب أن نحرك الفاصلة العشرية خمس خانات باتجاه اليسار.

ينتج لدينا التعبير الرياضي بالصيغة العلمية المطلوبة: ${}^{٥}١٠ \times ٣،٨٨٥$

والإجابة هي ${}^{٥}١٠ \times ٣،٨٨٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التحليل الجبري الذكي عبر استخراج العامل المشترك الأكبر لتبسيط واختصار عملية الجمع المتسلسلة.

نلاحظ بوضوح أن القيمة العشرية $٣،٥$ والقوة ${}^{٣}١٠$ يمثلان عوامل مشتركة متواجدة في جميع الحدود الثلاثة.

بناءً على ذلك، نستخرج التعبير ${}^{٣}١٠ \times ٣،٥$ كعامل مشترك أكبر من المعادلة.

يصبح التعبير الجبري بعد الاستخراج محاطاً بالأقواس كالتالي: $({}^{٢}١٠ + {١٠} + {١}) {}^{٣}١٠ \times ٣،٥$

نبسط القيم العددية المجمعة ما داخل القوس: $١١١ = {١} + {١٠} + {١٠٠}$

نضرب الناتج الصحيح في المعامل العشري المستخرج: $٣٨٨،٥ = {١١١} \times {٣،٥}$

المعادلة الشاملة الآن أصبحت مبسطة في التعبير: ${}^{٣}١٠ \times ٣٨٨،٥$

نحرك الفاصلة العشرية خانتين إلى اليسار لمطابقة نسق الخيارات المعطاة، مما يتطلب رياضياً إضافة العدد اثنين إلى أس العدد عشرة.

يصبح التعبير النهائي مطابقاً للخيارات تماماً وهو: ${}^{٥}١٠ \times ٣،٨٨٥$

والإجابة هي ${}^{٥}١٠ \times ٣،٨٨٥$

“

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد الأساسات لحل المعادلات الأسية وعزل المتغيرات الجبرية.

المعادلة الجبرية المستخرجة هي ${}^{٢-س}٤ \times ٢ = {}^{١-ص}٨$

نحلل الأساسات في كلا الطرفين لنجعلها متوافقة مع الأساس المشترك وهو العدد اثنان.

للطرف الأيمن: نعلم أن العدد ثمانية يساوي ${}^{٣}٢$، فنستبدله ونضرب الأسس لنحصل على: ${}^{٣ – ص٣}٢ = {}^{١-ص}({}^{٣}٢)$

للطرف الأيسر: نعلم أن العدد أربعة يساوي ${}^{٢}٢$، فنستبدله ونضرب الأسس لنحصل على: ${}^{٤ – س٢}٢ = {}^{٢-س}({}^{٢}٢)$

نضرب الناتج في المعامل المتبقي في الطرف الأيسر وهو العدد اثنان لتجميع القوى: ${}^{٣ – س٢}٢ = {}^{٤ – س٢}٢ \times {}^{١}٢$

نعيد كتابة المعادلة المتكافئة بعد توحيد كافة الأساسات: ${}^{٣ – س٢}٢ = {}^{٣ – ص٣}٢$

بما أن الأساسات متساوية، نساوي بين الأسس بشكل مباشر: $٣ – ص٣ = ٣ – س٢$

نضيف العدد ثلاثة لكلا الطرفين لتبسيط المعادلة الجبرية: $ص٣ = س٢$

نقسم كلا الطرفين على العدد اثنين بهدف عزل المتغير المستهدف: $ ص{\dfrac{٣}{٢}} = س$

والإجابة هي $ص{\dfrac{٣}{٢}}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام اللوغاريتمات لتبسيط المعادلات الأسية والوصول للمتغير المطلوب.

المعادلة المعطاة هي: ${}^{٢-س}٤ \times ٢ = {}^{١-ص}٨$

نأخذ اللوغاريتم للأساس اثنين لكلا الطرفين لتبسيط القوى المرفوعة.

في الطرف الأيمن: ينتج لدينا التعبير $٣ – ص٣$

في الطرف الأيسر: يتحول الضرب إلى جمع لوغاريتمين، لينتج $س٢ – ٤ + ١$ وهو ما يساوي رياضياً $٣ – س٢$

نساوي بين الطرفين جبرياً: $٣ – ص٣ = ٣ – س٢$

نختصر العدد ثلاثة من كلا الطرفين: $ص٣ = س٢$

نقسم على معامل المتغير الأول لعزله بشكل تام: $ ص{\dfrac{٣}{٢}} = س$

والإجابة هي $ص{\dfrac{٣}{٢}}$

تكنيك ١: فك الجذور وتجزئة العمليات

المفهوم الرياضي: تبسيط الجذور المعقدة عن طريق تحويل الأعداد العشرية إلى كسور اعتيادية أو قوى للعدد عشرة، وحساب كل جذر على حدة قبل إجراء عملية الضرب لتسهيل الحساب.

نبدأ بتبسيط الحد الثاني المتمثل في الجذر التربيعي للعدد أربعة مضروباً في عشرة أس أربعة.

الحد الثاني${{\sqrt{{}^{٤}١٠ \times ٤}}} = $

نفصل الجذر على العددين المضروبين حسب خصائص الجذور.

الحد الثاني${{\sqrt{{}^{٤}١٠}}} \times {{\sqrt{٤}}} = $

نحسب قيمة كل جذر؛ جذر أربعة يساوي اثنين، وجذر عشرة أس أربعة يساوي عشرة أس اثنين.

الحد الثاني${{}^{٢}١٠} \times {٢} = $

عشرة أس اثنين تساوي مئة، نضربها في اثنين لنحصل على قيمة الحد الثاني.

الحد الثاني${٢٠٠} = {١٠٠} \times {٢} = $

ننتقل لتبسيط الحد الأول وهو الجذر التربيعي للكسر العشري ستة عشر من عشرة آلاف.

الحد الأول${{\sqrt{٠،٠٠١٦}}} = $

نحول الكسر العشري إلى كسر اعتيادي لتسهيل إيجاد الجذر.

الحد الأول${{\sqrt{\dfrac{١٦}{١٠٠٠٠}}}} = $

نأخذ الجذر التربيعي للكسر؛ جذر ستة عشر يساوي أربعة، وجذر عشرة آلاف يساوي مئة.

الحد الأول${\dfrac{٤}{١٠٠}} = $

نحول الناتج إلى كسر عشري ليصبح أربعة من مئة.

الحد الأول${٠،٠٤} = $

نقوم الآن بضرب قيمة الحد الأول في قيمة الحد الثاني كما ورد في نص السؤال الأصلي.

الناتج${٢٠٠} \times {٠،٠٤} = $

نحرك الفاصلة العشرية منزلتين لليمين مقابل الصفرين في العدد مئتين.

الناتج${٢} \times {٤} = $

نجري عملية الضرب النهائية لنحصل على النتيجة.

الناتج${٨} = $

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التحليل المنطقي لإشارات الأعداد (الموجبة والسالبة) وتأثير الأسس الفردية عليها دون الحاجة لتعويض رقمي.

نبدأ بقراءة المعطى الشرطي في السؤال: $٠ > س$

هذا المعطى الرياضي يعني بشكل قاطع أن المتغير $س$ يمثل رقماً سالباً (أي قيمة تقع يسار الصفر على خط الأعداد).

نتجه لفحص القيمة الأولى، وهي المتغير $س$ بشكل مجرد.

بناءً على الاستنتاج السابق، القيمة الأولى هي قيمة سالبة قطعاً.

ننتقل الآن لفحص القيمة الثانية، وهي التعبير الرياضي ${}^{٣}(س-)$

نبدأ بتحليل ما بداخل القوس أولاً وهو $(س-)$

بما أن $س$ بحد ذاته رقم سالب، فإن ضربه في إشارة سالبة خارجية سيؤدي إلى تحوله إلى رقم موجب (سالب × سالب = موجب).

إذن، محتوى القوس تحول بالكامل إلى قيمة موجبة.

ننظر الآن إلى الأس المرفوع له هذا القوس، وهو الرقم $٣$ (أس فردي).

رفع أي عدد موجب لأس فردي سيحافظ على إشارته الموجبة، وينتج عنه قيمة موجبة.

إذاً، النتيجة النهائية للقيمة الثانية هي قيمة موجبة قطعاً.

نقوم الآن بالمقارنة المنطقية بين القيمة الأولى (التي ثبت أنها سالبة) والقيمة الثانية (التي ثبت أنها موجبة).

من المسلمات الرياضية أن أي عدد موجب يكون دائماً أكبر من أي عدد سالب مهما كانت قيمته المطلقة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية التعويض العددي المباشر باختيار قيمة افتراضية تحقق الشرط لاختبار العلاقة الجبرية بين القيمتين.

نختار قيمة عددية منطقية وبسيطة للمتغير $س$ بحيث تحقق شرط السؤال وهو $٠ > س$

لنفترض أن قيمة $س$ تساوي سالب واحد، ونعبر عنها برمجياً: $١- = {س}$

الآن، نقوم بالتعويض بهذه القيمة الافتراضية في كلا الطرفين لنقارن بين النواتج الحقيقية.

نبدأ بالقيمة الأولى، وهي $س$

بعد التعويض، تصبح القيمة الأولى تساوي $١-$ مباشرة.

ننتقل للتعويض في القيمة الثانية، والتي صيغتها الأصلية ${}^{٣}(س-)$

نستبدل المتغير بقيمته الافتراضية بدقة متناهية: ${}^{٣}((١-)-)$

نقوم بتبسيط العمليات داخل القوس، فنجد أن الإشارة السالبة تُضرب في الإشارة السالبة وتلغيها.

يصبح ما بداخل القوس عدداً موجباً: ${}^{٣}(١)$

الآن نحسب ناتج رفع الرقم واحد للأس ثلاثة.

الناتج النهائي للقيمة الثانية: $١ = {}^{٣}(١)$

نصل الآن إلى مرحلة المقارنة النهائية بين نواتج التعويض الجبري.

النتيجة للقيمة الأولى هي الرقم $١-$

النتيجة للقيمة الثانية هي الرقم $١$

بمقارنة الرقمين على خط الأعداد، نجد أن العدد الموجب $١$ يقع في الجهة اليمنى، وبالتالي هو الأكبر بشكل مؤكد.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: فك الأسس وجمع الحدود في البسط ثم إتمام عملية القسمة.

نبدأ بحساب قيمة مكعب العدد ثلاثة الموجود في البسط.

$٢٧ = {٣} \times {٣} \times {٣} = {}^{٣}٣$

نحسب قيمة مربع العدد ثلاثة.

$٩ = {٣} \times {٣} = {}^{٢}٣$

نعوض بهذه القيم الناتجة في بسط الكسر الأصلي.

$\dfrac{{٢٧} + {٩} + {٣}}{١٣}$

نجمع الأعداد في البسط للحصول على القيمة الإجمالية.

$٣٩ = {٣} + {٩} + {٢٧}$

نقسم مجموع البسط على المقام لتبسيط الكسر.

$٣ = {١٣} \div {٣٩}$

والإجابة هي $٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: أخذ العامل المشترك من حدود البسط لتسهيل الاختصار مع المقام.

نلاحظ أن جميع حدود البسط تقبل القسمة على العدد ثلاثة، فنأخذه كعامل مشترك.

نفتح قوساً ونكتب الحدود المتبقية بعد سحب العامل المشترك.

$\dfrac{({}^{٢}٣ + {}^{١}٣ + ١)٣}{١٣}$

نفك الأسس ونجمع الأعداد بداخل القوس.

$١٣ = {٩} + {٣} + {١}$

نعوض بقيمة القوس في الكسر الأصلي.

$\dfrac{({١٣})٣}{١٣}$

نختصر العدد ثلاثة عشر في البسط مع العدد ثلاثة عشر في المقام بعملية القسمة.

يتبقى لدينا العامل المشترك الذي تم سحبه وهو العدد ثلاثة.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١: استخدام قوانين الأسس في عملية القسمة

المفهوم الرياضي: عند قسمة الأساسات المتشابهة، نقوم بطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم مع الحفاظ على الأساس كما هو.

نحدد الحد الأول في العملية وهو المقسوم: ${}^{٥}٢$

نحدد الحد الثاني في العملية وهو المقسوم عليه: ${}^{٤-}٢$

نقوم بتطبيق القاعدة الرياضية لطرح الأسس للأساس المشترك وهو العدد اثنان.

نصيغ معادلة الطرح للأسس مع مراعاة الإشارة السالبة المزدوجة أثناء العملية: ${٩} = ({٤-}) – {٥}$

نطبق الناتج النهائي للطرح كأس جديد على الأساس ليصبح التعبير مبسطاً في طرف واحد.

${}^{٩}٢ = {}^{({٤-}) – {٥}}٢ = {}^{٤-}٢ \div {}^{٥}٢$

والإجابة هي ${}^{٩}٢$

تكنيك ٢: تحويل الأس السالب إلى موجب وتغيير العملية الحسابية

المفهوم الرياضي: القوة ذات الأس السالب في المقام (أو كمقسوم عليه) يمكن تحويلها إلى قوة بأس موجب عن طريق أخذ المقلوب الرياضي وتحويل عملية القسمة إلى ضرب.

الحد المقسوم عليه هو ${}^{٤-}٢$ وهو يعادل رياضياً المقلوب بأس موجب في سياق القسمة.

نكتب المقلوب لتحويل الإشارة: ${}^{٤-}٢$ مقلوبه يساوي ${\frac{١}{{}^{٤}٢}}$

نستبدل عملية القسمة بعملية الضرب في المقلوب الذي تم استنتاجه.

المعادلة تصبح بمسار الضرب المتسلسل: ${}^{٤}٢ \times {}^{٥}٢$

نطبق قانون ضرب الأساسات المتشابهة بجمع الأسس بشكل مباشر: ${٩} = {٤} + {٥}$

نصيغ المعادلة النهائية بعد إتمام عملية الجمع للأسس.

${}^{٩}٢ = {}^{٤}٢ \times {}^{٥}٢ = {}^{٤-}٢ \div {}^{٥}٢$

والإجابة هي ${}^{٩}٢$

تكنيك ١: تفكيك الأسس والمطابقة الجبرية

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص الأسس، وتحديداً قاعدة ضرب الأسس ذات الأساسات المتشابهة في اتجاه عكسي، لتفكيك أس مركب إلى جزأين مضروبين، ثم مطابقة الناتج مع المطلوب.

لدينا المعادلة الأسية المعطاة في السؤال كالتالي:

${٦} = {{}^{١ + ص٣}٢}$

نقوم بتفكيك الأس المركب في الطرف الأيسر باستخدام قاعدة أن الجمع في الأسس يمثل عملية ضرب للأساسات.

${٦} = {{}^{١}٢} \times {{}^{ص٣}٢}$

العدد اثنان أس واحد هو اثنان، لذا نقوم بقسمة الطرفين على اثنين للتخلص منه وعزل المتغير.

${\dfrac{٦}{٢}} = {{}^{ص٣}٢}$

نجري عملية القسمة في الطرف الأيمن.

${٣} = {{}^{ص٣}٢}$

نستخدم خاصية قوة القوة لتعديل شكل الطرف الأيسر، حيث أن اثنان أس ثلاثة صاد يمكن كتابتها على شكل اثنان أس ثلاثة الكل أس صاد.

${٣} = {{}^{ص}({}^{٣}٢)}$

نحسب قيمة اثنان أس ثلاثة الموجودة داخل القوس، والتي تساوي ثمانية.

${٣} = {{}^{ص}٨}$

نلاحظ أن الطرف الأيسر الآن أصبح مطابقاً تماماً للقيمة المطلوب إيجادها في السؤال وهي ثمانية أس صاد، وقيمتها تساوي ثلاثة.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١: الحل الجبري المباشر للمعادلات

المفهوم الرياضي: إيجاد قيم المتغيرات أ، ب، ج من خلال حل كل معادلة على حدة ثم جمعها.

نبدأ بالمعادلة الأولى لإيجاد قيمة المتغير أ:

المعادلة هي $٠ = {٨} – {}^{٣}أ$

بنقل المتغير ذي الإشارة السالبة للطرف الآخر لتتغير إشارته إلى الموجب:

${٨} = {}^{٣}أ$

بأخذ الجذر التكعيبي للطرفين للتخلص من الأس:

${}^{٣}{\sqrt{٨}} = {أ}$

نستخرج الناتج:

$٢ = {أ}$

ننتقل للمعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير ب:

المعادلة هي $٠ = {٤} – {}^{٢}ب$

بنقل المتغير ذي الإشارة السالبة للطرف الآخر:

${٤} = {}^{٢}ب$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

${\sqrt{٤}} = {ب}$

بما أن السؤال يشترط أن ب موجبة، نعتمد القيمة الموجبة فقط:

$٢ = {ب}$

ننتقل للمعادلة الثالثة لإيجاد قيمة المتغير ج:

المعادلة معطاة كالتالي $٠ = {٨} – {ج}$

بنقل المتغير للطرف الآخر للتخلص من الإشارة السالبة:

${٨} = {ج}$

الآن نعوض بالقيم المستخرجة في المقدار المطلوب إيجاده:

المقدار هو $ج + ب + أ$

نعوض عن كل متغير بقيمته الرياضية التي حصلنا عليها:

$١٢ = {٨} + {٢} + {٢}$

والإجابة هي $١٢$

المفهوم الرياضي: ضرب الإشارات المستقلة متبوعاً بضرب المتغيرات الجبرية.

يتكون المقدار الرياضي من عملية ضرب صريحة بين حدين جبريين، الحد الأول هو $س-$ والحد الثاني هو ${}^{١١}س-$.

وجود الأقواس دون فواصل جمع أو طرح يؤكد أن العملية بينهما هي عملية ضرب حصرية.

لتبسيط الحل وضمان عدم الخطأ، نقوم بفصل الإشارات عن المتغيرات ومعالجتها كخطوة أولى.

الحد الأول يحمل إشارة سالبة، والحد الثاني يحمل إشارة سالبة أيضاً.

ينص قانون ضرب الإشارات على أن حاصل ضرب قيمة سالبة في قيمة سالبة ينتج دائماً قيمة موجبة.

بذلك نكون قد ضمنا أن الناتج النهائي للمقدار سيكون موجباً، ونتجاهل الإشارات في الخطوات التالية.

يتبقى لدينا الجزء المتغير من الحدين، وهو ضرب الأساس $س$ في الأساس ${}^{١١}س$.

نعيد كتابة المتغير $س$ بصيغته الأسية الكاملة كقوة للعدد $١$، أي ${}^{١}س$.

نطبق قانون الأسس للضرب، والذي يشترط جمع القوى إذا كانت الأساسات متطابقة.

نجمع الأس $١$ الخاص بالحد الأول، مع الأس $١١$ الخاص بالحد الثاني.

${}^{١٢}س = {}^{(١١ + ١)}س$

بما أن إشارة الناتج استنتجناها مسبقاً بأنها موجبة، فإن المقدار المبسط يظل كما هو.

والإجابة هي ${}^{١٢}س$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: القوى والأسس السالبة، حيث نقوم بتحويل الأس السالب إلى موجب بقلب الأساس. القانون: ${ \dfrac{١}{{}^{ن}أ} } = { {}^{ن-}أ }$

نبدأ بحساب القيمة الأولى في اليمين وهي ${ {}^{٢-}٤ }$.

بتطبيق القانون بقلب الأساس، نحصل على النتيجة في الطرف الأيسر: ${ \dfrac{١}{١٦} } = { \dfrac{١}{{}^{٢}٤} } = { {}^{٢-}٤ }$

ننتقل الآن إلى حساب القيمة الثانية في اليسار وهي ${ {}^{١-}٤ } \times { {}^{٢-}٤ }$.

في حالة الضرب لأساسات متطابقة، نقوم بجمع الأسس. القانون: ${ {}^{م + ن}أ } = { {}^{م}أ } \times { {}^{ن}أ }$

نجمع الأسس للأساس ٤ لتصبح المعادلة المدمجة: ${ {}^{٣-}٤ } = { {}^{١-}٤ } \times { {}^{٢-}٤ }$

نطبق قانون الأس السالب مرة أخرى على النتيجة بقلب الأساس لجعله موجباً: ${ \dfrac{١}{٦٤} } = { \dfrac{١}{{}^{٣}٤} } = { {}^{٣-}٤ }$

نقارن الآن بين القيمة الأولى وهي ${ \dfrac{١}{١٦} }$ والقيمة الثانية وهي ${ \dfrac{١}{٦٤} }$.

بما أن البسط متساوٍ في الكسرين، فإن الكسر الذي يمتلك مقاماً أصغر يمثل القيمة الأكبر رياضياً.

إذن الكسر ${ \dfrac{١}{١٦} }$ أكبر من الكسر ${ \dfrac{١}{٦٤} }$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحليل سلوك الكسور والقوى المضروبة بأسس سالبة لاستنتاج العلاقة منطقياً دون الحاجة لإكمال الحسابات المطولة.

نلاحظ أن القيمة الثانية تتكون من القيمة الأولى مضروبة في الحد الإضافي ${ {}^{١-}٤ }$.

بصياغة رياضية، القيمة الثانية تساوي: ${ {}^{١-}٤ } \times { {}^{٢-}٤ }$

الحد المضروب ${ {}^{١-}٤ }$ يعادل الكسر ${ \dfrac{١}{٤} }$.

هذا يعني أن القيمة الثانية تمثل رياضياً ربع القيمة الأولى.

بما أن القيمة الأولى هي عدد موجب أكبر من الصفر، فإن ضربها في كسر أقل من واحد سيجعل نتيجتها تصغر بالضرورة.

وبالتالي، القيمة الأولى الكاملة تكون دائماً أكبر من ربع قيمتها.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

**تكنيك ١:**

المفهوم الرياضي: التفريق الجبري الدقيق بين الإشارة السالبة التابعة هيكلياً للأساس والإشارة السالبة الخارجية المضروبة في التعبير كمعامل مستقل.

نبدأ بقراءة وتحليل الهيكل الهندسي للقيمة الأولى بدقة متناهية: ${}^{٦}٥-$.

نلاحظ هنا وبشكل قطعي غياب الأقواس الدائرية التي تحيط بالعدد السالب وتضمه مع الإشارة، وهذا يشكل فارقاً جوهرياً في المعنى الجبري.

هذا الغياب للأقواس يعني جبرياً أن الأس $٦$ يطبق سلطته حصرياً على الرقم الموجب $٥$ فقط، ولا يمتد تأثيره ليشمل الإشارة السالبة المجاورة له.

تُقرأ هذه العملية الرياضية برمجياً ومنطقياً كأنها حاصل ضرب الإشارة السالبة (كأنها معامل سالب واحد) في العدد خمسة المرفوع بمفرده للأس ستة.

قيمة ${}^{٦}٥$ بحد ذاتها هي رقم موجب ضخم جداً. وبإضافة الإشارة السالبة المسبقة له في النهاية، نحصل على رقم سالب يمتلك قيمة مطلقة كبيرة جداً، مما يجعله يبتعد بمسافة شاسعة نحو اليسار العميق على خط الأعداد.

ننتقل الآن لقراءة وتحليل الهيكل الهندسي للقيمة الثانية: ${}^{٣}٥-$.

بتطبيق نفس المبدأ الصارم، عدم وجود الأقواس يعني حصراً أن الأس $٣$ يطبق سلطته على الرقم $٥$ فقط بصفة مستقلة.

قيمة ${}^{٣}٥$ الموجبة تساوي رياضياً $١٢٥$. بإضافة الإشارة السالبة كمعامل خارجي، يستقر الناتج النهائي كعدد سالب وهو $١٢٥-$.

الآن نقوم بعقد المقارنة بين القيمتين السالبتين. القاعدة الأساسية في الأعداد السالبة تنص على أنه كلما صغرت القيمة المطلقة للرقم (أي أصبح أقرب هندسياً لنقطة الصفر)، كان هو العدد الأكبر رياضياً.

القيمة المطلقة للقيمة الأولى المرفوعة للأس السادس تفوق وتتضخم بشكل هائل عن القيمة المطلقة للقيمة الثانية.

بالتالي، القيمة الأولى رغم كبر رقمها الظاهري هي الأصغر الفعلي لانغماسها في السالب، والقيمة الثانية هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

**تكنيك ٢:**

المفهوم الرياضي: تحليل سلوك المتراجحات والتباين عند دخول الأعداد السالبة كمعاملات خارجية.

لتسهيل الفهم، لنفترض جدلاً في الخطوة الأولى أن الأرقام المعطاة هي أرقام موجبة خالصة، ونعقد المقارنة بين ${}^{٦}٥$ وبين ${}^{٣}٥$.

نعلم جميعاً كحقيقة رياضية بديهية أن القيمة الموجبة ${}^{٦}٥$ تتفوق وهي أكبر من القيمة الموجبة ${}^{٣}٥$.

إذا أردنا تحويل وتطبيق هذه العبارة الجبرية لتطابق المقادير المعطاة في نص السؤال الفعلي، يتحتم علينا ضرب كلا طرفي المتراجحة في العدد السالب واحد.

القاعدة الذهبية والثابتة لخصائص المتراجحات تنص على أن عملية الضرب أو القسمة في عدد سالب تتطلب وتعني بالضرورة العكس الفوري لإشارة التباين والمقارنة.

إذن، عند تنفيذ عملية الضرب للطرفين في الإشارة السالبة، ينعكس اتجاه الأكبر والأصغر رأسياً وعكسياً.

بما أن المقدار الموجب المرفوع للأس السادس كان يحتل مرتبة الأكبر، فإن نظيره وصورته السالبة ${}^{٦}٥-$ سيتراجع ليصبح هو الأصغر.

وبما أن المقدار الموجب المرفوع للأس الثالث كان يحتل مرتبة الأصغر، فإن نظيره وصورته السالبة ${}^{٣}٥-$ سيتقدم ليصبح هو الأكبر رياضياً.

هذا التحليل المتسلسل يثبت بما لا يدع مجالاً للشك أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى وفقاً للقوانين الجبرية الصارمة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التخلص من الأس السالب للحصول على قيمة عددية موجبة للطرف الأيمن، ثم أخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة المتغير المستقل.

المعادلة المعطاة كما هي: ${ {}^{٢}س } = { {}^{٤-}٣ }$

نبدأ بتبسيط الطرف الأيمن ${ {}^{٤-}٣ }$ باستخدام… قانون الأسس السالبة لجعله كسراً: ${ \dfrac{١}{{}^{ن}أ} } = { {}^{ن-}أ }$

نطبق القانون لنحصل على الكسر ذو الأس الموجب: ${ \dfrac{١}{{}^{٤}٣} } = { {}^{٤-}٣ }$

نحسب قيمة المقام بضرب الرقم ٣ في نفسه أربع مرات متتالية: ${ ٨١ } = { ٣ } \times { ٣ } \times { ٣ } \times { ٣ }$

تصبح القيمة العددية للطرف الأيمن: ${ \dfrac{١}{٨١} }$

نساويها الآن بالطرف الأيسر لتصبح المعادلة الجديدة: ${ \dfrac{١}{٨١} } = { {}^{٢}س }$

لإيجاد قيمة المتغير س المجردة، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.

قيمة س تستخرج بجذر الكسر: ${ \dfrac{١}{٩}\pm } = { \sqrt{\dfrac{١}{٨١}} }$

بما أن الخيارات المعطاة تحتوي على القيمة الموجبة فقط، نعتمدها كحل نهائي.

والإجابة هي ${ \dfrac{١}{٩} }$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: معالجة الأساس الرياضي لتعديل الأسس وجعلها متطابقة في كلا الطرفين، مما يسمح بمساواة الأساسات المتبقية واستخراج المتغير مباشرة.

المعادلة المعطاة من السؤال هي: ${ {}^{٢}س } = { {}^{٤-}٣ }$

نحتاج لتبسيط الأس في الطرف الأيمن من ٤- ليصبح ٢، ليتطابق هندسياً مع أس المتغير س.

يمكننا تفكيك الأس ٤- باستخدام خصائص الضرب للأسس: ${ ٢ } \times { ٢- } = { ٤- }$

نكتب الطرف الأيمن بالشكل الهيكلي الجديد كأساس مرفوع لأسين: ${ {}^{٢}({}^{٢-}٣) } = { {}^{٤-}٣ }$

نساوي المعادلة الآن بعد التعديل الشكلي: ${ {}^{٢}س } = { {}^{٢}({}^{٢-}٣) }$

بما أن الأسس الخارجية متساوية (وهي القوة ٢)، يمكننا استنتاج أن الأساسات متساوية.

نأخذ القيمة المطلقة للأساسات، لنجد أن قيمة س تعادل الأساس الداخلي للطرف الأيمن: ${ {}^{٢-}٣ } = { س }$

نقوم بتبسيط الحد ${ {}^{٢-}٣ }$ باستخدام قانون الأس السالب بقلب الأساس لأسفل.

النتيجة النهائية ككسر هي: ${ \dfrac{١}{٩} } = { \dfrac{١}{{}^{٢}٣} } = { س }$

والإجابة هي ${ \dfrac{١}{٩} }$

=== طريقة حل السؤال الأول ===

تكنيك ١: استخدام قوانين الأسس (قوة القوة)

المفهوم الرياضي: عند رفع عدد مرفوع لأس إلى أس آخر، نقوم بضرب الأسسين معاً للحصول على الأس النهائي الموحد.

نبدأ بتبسيط القيمة الأولى بضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي.

القيمة الأولى: ${}^{٥١}٣ = {}^{\frac{٥١}{٤} \times {٤}}٣$

ننتقل لتبسيط القيمة الثانية بنفس الطريقة مع الانتباه إلى قسمة الكسر أولاً لتسهيل العملية الحسابية.

نقسم كسر الأس الخارجي أولاً: $٢١ = {٤} \div {٨٤}$

نضرب الأس الداخلي في الناتج: $٦٣ = {٢١} \times {٣}$

لتصبح القيمة الثانية بعد التبسيط: ${}^{٦٣}٣$

بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية، نجد أن الأساسات متساوية تماماً وهي $٣$.

بما أن الأس $٦٣$ أكبر من الأس $٥١$، فإن القيمة الثانية هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: تفكيك الأسس لتسهيل المقارنة المباشرة

المفهوم الرياضي: يمكننا تبسيط الكسور في الأسس المرفوعة قبل إجراء عملية ضرب القوى لتفادي التعامل مع الأرقام الكبيرة.

ننظر إلى القيمة الأولى ونختصر الرقم $٤$ في البسط مع الرقم $٤$ في مقام الأس الخارجي بشكل مباشر.

ينتج لدينا في الطرف الأول القيمة المبسطة: ${}^{٥١}٣$

ننظر إلى القيمة الثانية ونقوم بقسمة $٨٤$ على $٤$ ذهنياً لتفكيك الكسر.

الناتج من القسمة هو $٢١$، ثم نقوم بضربه في الأس الداخلي وهو $٣$.

ينتج لدينا في الطرف الثاني القيمة المبسطة: ${}^{٦٣}٣$

نلاحظ أن الأساس متطابق في كلتا القيمتين وهو $٣$.

الأس في القيمة الثانية وهو $٦٣$ أكبر من الأس في القيمة الأولى وهو $٥١$.

إذن القيمة الرياضية للطرف الثاني هي الأكبر حتماً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: توحيد الأساسات الجبرية

المفهوم الرياضي: تعتمد هذه الطريقة على تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية للوصول إلى أساسات مشتركة، وبناءً على القاعدة الجبرية التي تنص على أنه إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس.

بناءً على المعطيات المستخرجة، لدينا المعادلة الأسية التالية:

${١٢٨} = {{}^{١ + س \frac{١}{٣}}٨}$

نقوم بتحليل العددين مئة وثمانية وعشرين وثمانية إلى عواملهما الأولية لتوحيد الأساسات بين طرفي المعادلة.

${{}^{٧}٢} = {١٢٨}$

${{}^{٣}٢} = {٨}$

نعوض بهذه القيم الأولية في المعادلة الأصلية، مع وضع الأساسات الجديدة داخل أقواس التجميع لضمان العزل الهيكلي.

${{}^{٧}٢} = {{}^{١ + س \frac{١}{٣}}({}^{٣}٢)}$

نضرب الأس الخارجي في الأس الداخلي للطرف الأيسر حسب قوانين ضرب الأسس.

${٣} + {س} = {({١} + {س \frac{١}{٣}})} \times {٣}$

تصبح المعادلة الأسية بعد التبسيط الجبري كالتالي:

${{}^{٧}٢} = {{}^{٣ + س}٢}$

بما أن الأساسات في الطرفين قد تساوت، فإن الأسس تتساوى أيضاً بشكل مباشر وقطعي.

${٧} = {٣} + {س}$

نقوم بنقل العدد ثلاثة إلى الطرف الأيمن مع تغيير إشارته إلى السالب لعزل المتغير سين.

${٤} = {٣} – {٧} = {س}$

بالتالي، القيمة الصحيحة رياضياً للمتغير سين هي أربعة، وبناءً على قاعدة حظر التبرير القسري، نعتمد هذا الناتج الصارم رغم عدم تطابقه مع الخيارات المرفقة.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢: التجريب العكسي والتحليل المنطقي

المفهوم الرياضي: التعويض بالقيم المحتملة أو المستنتجة للتحقق من صحة طرفي المعادلة، وهو ما يُعرف بالتحقيق الجبري لإثبات صحة الاستنتاج.

نقوم باختبار القيمة الجبرية الصارمة التي استنتجناها وهي أربعة، وذلك للتحقق من سلامة العملية وتأكيد النتيجة.

نعوض بقيمة المتغير سين في الأس الأصلي للطرف الأيسر من المعادلة المعطاة.

الأس${١} + {({٤}) \times \frac{١}{٣}} = $

نجري عملية الضرب للكسر أولاً كخطوة ابتدائية.

الأس${١} + {\dfrac{٤}{٣}} = $

نوحد المقامات بإرجاع العدد الصحيح إلى كسر مكافئ للحصول على القيمة النهائية للأس.

${\dfrac{٧}{٣}} = {\dfrac{٣}{٣}} + {\dfrac{٤}{٣}}$

نعوض بالأس الجديد فوق الأساس ثمانية للطرف الأيسر من المعادلة.

الطرف الأيسر${{}^{\frac{٧}{٣}}٨} = $

نحول الأساس ثمانية إلى اثنين أس ثلاثة لتسهيل عملية التبسيط الرياضي للأسس الكسرية.

الطرف الأيسر${{}^{\frac{٧}{٣}}({}^{٣}٢)} = $

نضرب الأس الداخلي بالأس الخارجي، حيث يُلغى المقام ثلاثة مع العدد ثلاثة المضروب فيه.

الطرف الأيسر${{}^{٧}٢} = $

نحسب القيمة النهائية للعدد اثنين المرفوع للقوة سبعة.

${١٢٨} = {{}^{٧}٢}$

نلاحظ أن الناتج يتطابق تماماً مع الطرف الأيمن للمعادلة الأصلية، مما يؤكد صحة الاستنتاج الجبري القاطع للحل.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام قوانين الأسس الجبرية لتحويل عملية الجمع إلى ضرب عند تساوي الأساسات.

القيمة الأولى في سؤال المقارنة تتكون من جمع عددين آسيين متطابقين تماماً.

${}^{٩٩}٢ + {}^{٩٩}٢$

رياضياً، جمع أي مقدار جبري مع نفسه يعادل ضرب هذا المقدار في العدد اثنين.

بناءً على ذلك، نعيد صياغة القيمة الأولى لتصبح عملية ضرب لتسهيل تطبيق قوانين الأسس.

${}^{٩٩}٢ \times ٢$

ينص قانون الأسس على أنه عند ضرب أساسات متشابهة، نقوم بجمع أسسها.

نعلم أن العدد اثنين المنفرد كمعامل يحمل أساً خفياً قيمته واحد.

${}^{٩٩}٢ \times {}^{١}٢$

نطبق القانون ونجمع الأسس للأساس المشترك وهو العدد اثنين.

$١٠٠ = {٩٩} + {١}$

تصبح القيمة الأولى بعد تطبيق التبسيط الجبري كالتالي.

${}^{١٠٠}٢$

نقارن هذا الناتج المبسط للقيمة الأولى مع القيمة الثانية المعطاة نصاً في السؤال.

نلاحظ وبشكل قطعي أن القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية تماماً دون زيادة أو نقصان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: أخذ العامل المشترك الأصغر لتبسيط مقدار الجمع وتحويله لأس واحد.

نحلل القيمة الأولى التي تحتوي على مقدارين متطابقين مجموعين معاً.

نأخذ العامل المشترك الأصغر بينهما وهو العدد اثنين مرفوعاً للقوة تسعة وتسعين.

نستخرج العامل المشترك المذكور ونفتح قوساً لجمع المعاملات المتبقية لتمثيل العملية الجبرية.

$({١} + {١}){}^{٩٩}٢$

نجمع الأعداد المستخرجة بداخل القوس لنحصل على معامل قيمته اثنان.

$٢ = {١} + {١}$

نعوض بقيمة القوس في المقدار ليصبح معامل ضرب متصلاً بالأساس.

$٢ \times {}^{٩٩}٢$

نطبق قانون الأسس بجمع أسس الأساسات المتشابهة في حالة توفر عملية الضرب.

${}^{١٠٠}٢ = {}^{١+٩٩}٢$

يتضح لنا بعد كل هذه الخطوات أن ناتج القيمة الأولى متطابق كلياً وشكلياً مع القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: التفكيك الجبري للأسس

المفهوم الرياضي: تطبيق قوانين الأسس وتحديداً قانون قوة القوة، حيث يمكن كتابة الأس المضروب على شكل أس مرفوع لأس آخر.

نبدأ بكتابة المعادلة المعطاة في السؤال:

$٣ = {}^{س}٢$

المقدار المطلوب إيجاد قيمته الرياضية هو:

${}^{س٣}٢$

نقوم بتفكيك الأس باستخدام قاعدة الضرب المتتالي في الأسس:

${}^{٣}({}^{س}٢) = {}^{س٣}٢$

نقوم الآن بالتعويض بقيمة المقدار الأساسي من المعطيات المتاحة:

${}^{٣}(٣) = {}^{س٣}٢$

نحسب القيمة النهائية بتكعيب العدد ثلاثة، أي ضربه في نفسه ثلاث مرات:

$٢٧ = {٣} \times {٣} \times {٣}$

والإجابة هي $٢٧$

تكنيك ٢: البناء التراكمي للمعادلة

المفهوم الرياضي: إجراء عملية رياضية متطابقة على طرفي المعادلة للوصول إلى الصيغة المطلوبة بشكل مباشر دون تعويض تفصيلي.

نكتب المعادلة الأصلية كمرجع انطلاق:

$٣ = {}^{س}٢$

نلاحظ أن المقدار المطلوب يحتوي على المتغير مضروباً في العدد ثلاثة في قوة الأس.

للوصول إلى هذه الصيغة المطابقة، نقوم بتكعيب طرفي المعادلة معاً في خطوة واحدة:

${}^{٣}(٣) = {}^{٣}({}^{س}٢)$

نطبق قانون ضرب الأسس في الطرف الأيمن من المعادلة رياضياً:

${}^{٣}(٣) = {}^{س٣}٢$

نحسب ناتج الطرف الأيسر من المعادلة للحصول على القيمة العددية النهائية:

$٢٧ = {}^{٣}٣$

نساوي الطرفين لنحصل على النتيجة المطلوبة في السؤال:

$٢٧ = {}^{س٣}٢$

والإجابة هي $٢٧$

تكنيك ١: توحيد الأساسات والتبسيط الجبري للمقارنة

المفهوم الرياضي: استخدام قوانين ضرب الأسس لتحليل القيم المركبة والمقارنة بينها بناءً على الثوابت المعطاة.

نص السؤال يمنحنا المعادلة الأساسية التي سنبني عليها الحل وهي ${}^{ن}٢ = ص$.

بتطبيق التدقيق الرياضي المتقاطع على القيمة الأولى في ضوء قوانين القدرات وصياغتها، نجد أن القصد الرياضي للكسر المدمج هو الأساس المرفوع لأس مركب وتُكتب كـ ${}^{٣ + ن}٢$.

نقوم بتفكيك الأس المركب في القيمة الأولى باستخدام قانون جمع الأسس عند ضرب الأساسات المتشابهة: ${}^{٣ + ن}٢ = {}^{٣}٢ \times {}^{ن}٢$.

نحسب القيمة العددية للأساس المرفوع لقوة ثابتة: $٨ = {}^{٣}٢$.

تصبح القيمة الأولى بعد عملية التبسيط هذه: ${}^{ن}٢ \times {٨}$.

بناءً على معطى السؤال المتمثل في ${}^{ن}٢ = ص$، نقوم بالتعويض في القيمة الأولى لتصبح الصيغة النهائية لها $ص٨$.

نستدعي القيمة الثانية المعطاة في السؤال كما هي وهي $ص٤$.

بما أن الدالة الأسية ${}^{ن}٢$ تعطي دائماً ناتجاً موجباً (أكبر من الصفر) لأي قيمة حقيقية للمتغير نون، فإن المتغير $ص$ موجب قطعياً.

عند مقارنة المقدار $ص٨$ مع المقدار $ص٤$ لقيمة موجبة، نجد أن ضرب القيمة في ثمانية يعطي ناتجاً أكبر من ضربها في أربعة.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: التعويض الافتراضي بقيمة عددية للمتغير

المفهوم الرياضي: استبدال المتغيرات بقيم عددية حقيقية لتبسيط التعبيرات الجبرية وتسهيل المقارنة بين الكميتين بشكل مباشر.

نفترض قيمة عددية بسيطة للمتغير نون لتسهيل الحساب وتجنب الكسور، ولتكن هذه القيمة $٢ = ن$.

نحسب قيمة المتغير $ص$ من خلال المعطى الأساسي للسؤال: ${}^{٢}٢ = ص$، ومنه نستنتج أن $٤ = ص$.

نقوم الآن بحساب القيمة الأولى رياضياً بناءً على القصد الرياضي الصحيح: ${}^{٣ + ٢}٢ = {}^{٥}٢$.

الناتج النهائي للقيمة الأولى بعد فك الأس هو $٣٢ = {}^{٥}٢$.

ننتقل لحساب القيمة الثانية بالتعويض المباشر عن المتغير $ص$ بالقيمة المستنتجة: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

الناتج النهائي للقيمة الثانية هو الرقم $١٦$.

بمقارنة الناتجين العدديين النهائيين، يتضح بوضوح أن الرقم $٣٢$ أكبر من الرقم $١٦$.

هذه النتيجة العددية تتطابق تماماً مع الاستنتاج الجبري، مما يؤكد أن القيمة الأولى هي الأكبر في كل الحالات.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الأسس السالبة وتحويل الكسور العشرية إلى اعتيادية.

القيمة الأولى جاهزة ومبسطة وهي $٤$

نقوم بتبسيط القيمة الثانية المرفوعة لأس سالب

${}^{٢-}(٠،٢٥)$

نحول الكسر العشري إلى كسر اعتيادي لتسهيل الحساب

الكسر العشري خمسة وعشرون من مئة يساوي ربعا

$\dfrac{١}{٤} = {٠،٢٥}$

نعوض بالكسر في المقدار الأصلي

${}^{٢-}(\dfrac{١}{٤})$

قانون الأس السالب ينص على قلب الكسر وتغيير إشارة الأس إلى موجبة

${}^{٢}(\dfrac{٤}{١}) = {}^{٢-}(\dfrac{١}{٤})$

أي عدد مقامه واحد يساوي العدد نفسه

${}^{٢}٤ = {}^{٢}(\dfrac{٤}{١})$

نحسب مربع العدد أربعة بضربه في نفسه

$١٦ = {٤} \times {٤}$

الآن نقارن بين القيمة الأولى وهي $٤$ والقيمة الثانية التي أصبحت $١٦$

نجد أن العدد ستة عشر أكبر من العدد أربعة

إذن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: خصائص مقلوب الأعداد العشرية المرفوعة لأس سالب.

القيمة الأولى معلومة وهي $٤$

القيمة الثانية هي ${}^{٢-}(٠،٢٥)$

للتخلص من الإشارة السالبة في الأس، نأخذ مقلوب الأساس

${}^{٢}(\dfrac{١}{٠،٢٥}) = {}^{٢-}(٠،٢٥)$

قسمة العدد واحد على ربع تعطي أربعة

$٤ = \dfrac{١}{٠،٢٥}$

نعوض في القوس المرفوع للأس الموجب

${}^{٢}٤$

نحسب قيمة أربعة أس اثنين

$١٦ = {}^{٢}٤$

القيمة الثانية تساوي $١٦$ والقيمة الأولى تساوي $٤$

القيمة الثانية هي الأكبر بوضوح

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص الأسس السالبة وقاعدة جمع الأسس عند ضرب الأساسات المتشابهة، وحقيقة أن أي عدد (غير الصفر) مرفوع للأس صفر يساوي واحداً.

نبدأ بتحليل المعادلة المعطاة في السؤال والتي تتضمن كسرين مضروبين ببعضهما ومرفوعين لأسس سالبة.

المعادلة هي: ${}^{٣-}(\dfrac{٩}{٧}) \times {}^{٣-}(\dfrac{٧}{٩})$

لتبسيط الحل، نقوم بتحويل الأس السالب في الكسر الثاني إلى أس موجب من خلال قلب بسط ومقام الكسر.

الكسر الثاني هو ${}^{٣-}(\dfrac{٧}{٩})$، وعند قلبه يصبح ${}^{٣}(\dfrac{٩}{٧})$

الآن، نقوم بإعادة كتابة المعادلة الأصلية بعد هذا التعديل الهيكلي.

تصبح المعادلة: ${}^{٣}(\dfrac{٩}{٧}) \times {}^{٣-}(\dfrac{٩}{٧})$

نلاحظ الآن أن الأساسات أصبحت متطابقة تماماً، وكلاهما هو الكسر $\dfrac{٩}{٧}$

تنص القاعدة الجبرية على أنه عند ضرب أساسات متشابهة، نقوم بجمع الأسس الخاصة بها.

نقوم بجمع الأس الأول مع الأس الثاني: $٠ = ({٣}) + ({٣-})$

نكتب الأساس المشترك مرفوعاً للناتج الجديد من جمع الأسس.

تصبح القيمة: ${}^{٠}(\dfrac{٩}{٧})$

وفقاً للقواعد الرياضية الثابتة، أي قيمة عددية (باستثناء الصفر) تُرفع للأس صفر، فإن نتيجتها الحتمية هي واحد.

$١ = {}^{٠}(\dfrac{٩}{٧})$

والإجابة هي $١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجميع الأساسات المضروبة ذات الأس المشترك داخل قوس واحد، واستخدام قاعدة ضرب الكسر في مقلوبه.

بمراجعة المعادلة، نلاحظ أن كلا الكسرين مرفوعان لنفس الأس الجبري بالضبط وهو $٣-$

استناداً لقوانين الأسس، إذا كانت الأسس متساوية في عملية ضرب، يمكننا ضرب الأساسات معاً ورفع الناتج النهائي للأس المشترك.

نقوم بفتح قوس كبير ونضع بداخله الكسرين مضروبين معاً، ونرفع القوس بأكمله للأس السالب.

الشكل البرمجي للخطوة: ${}^{٣-}({\dfrac{٧}{٩}} \times {\dfrac{٩}{٧}})$

نركز الآن على العملية الحسابية الموجودة داخل القوس الكبير.

نحن نضرب الكسر $\dfrac{٩}{٧}$ في مقلوبه الرياضي $\dfrac{٧}{٩}$

عند ضرب أي كسر في مقلوبه، يتم تبسيط البسط مع المقام المقابل، ويكون ناتج الضرب دائماً واحداً.

بالتالي، يتم اختزال ما بداخل القوس بالكامل إلى الرقم واحد.

نعوض بالرقم واحد داخل القوس المرفوع للأس المشترك.

ينتج لدينا: ${}^{٣-}(١)$

الرقم واحد يتمتع بخاصية فريدة، وهي أن رفعه لأي أس، سواء كان موجباً أو سالباً أو صفراً، ينتج عنه واحد دائماً.

$١ = {}^{٣-}(١)$

والإجابة هي $١$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك الأصغر في عملية الطرح الجبرية لتبسيط قيمة البسط.

نحلل بسط الكسر الذي يحتوي على عملية طرح ونستخرج القيمة ذات الأس الأصغر كعامل مشترك، وهي ${}^{٢٤}١٠$.

نقسم الحد الأول (الأيمن بصرياً والمطروح منه) على العامل المشترك: $١ = {}^{٢٤}١٠ \div {}^{٢٤}١٠$.

نقسم الحد الثاني (الأيسر بصرياً والمطروح) على العامل المشترك: ${}^{١}١٠ = {}^{٢٤}١٠ \div {}^{٢٥}١٠$.

نعيد كتابة البسط كاملاً بعد التحليل مع الحفاظ الصارم على الترتيب المكاني لعملية الطرح: $({١٠} – {١}) \times {}^{٢٤}١٠$.

نحسب ناتج عملية الطرح الموجودة داخل الأقواس وطرح الأكبر من الأصغر يولد قيمة سالبة: $٩- = {١٠} – {١}$.

نكتب الكسر بشكله الجديد والكامل بعد تبسيط البسط: $\dfrac{{٩-} \times {}^{٢٤}١٠}{٩}$.

نختصر العدد $٩-$ الموجود في البسط مع العدد $٩$ الموجود في المقام، مما يترك لنا القيمة السلبية $١-$.

نضرب القيمة السالبة المتبقية في العامل المشترك للحصول على النتيجة النهائية: ${}^{٢٤}(١٠-) = {}^{٢٤}١٠ \times {١-}$.

والإجابة هي ${}^{٢٤}(١٠-)$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توزيع حدود البسط المطروحة على المقام المشترك وفصلها جبرياً ثم التبسيط.

نجزئ الكسر الأساسي الجبري إلى كسرين منفصلين يحملان نفس المقام مع إبقاء إشارة الطرح بينهما.

نصيغ المعادلة بعد التجزئة للحفاظ على الترتيب المنطقي للعملية: $\dfrac{{}^{٢٥}١٠}{٩} – \dfrac{{}^{٢٤}١٠}{٩}$.

نستخرج العامل المشترك الأصغر وهو ${}^{٢٤}١٠$ من بسطي الكسرين كقيمة مستقلة مخرجة خارج الأقواس.

تصبح المعادلة بعد عزل العامل المشترك وبقاء المعاملات: $(\dfrac{{}^{١}١٠}{٩} – \dfrac{١}{٩}) \times {}^{٢٤}١٠$.

نطرح الكسرين الموجودين داخل القوس بسهولة بما أن المقامات موحدة تماماً: $\dfrac{٩-}{٩} = \dfrac{١٠}{٩} – \dfrac{١}{٩}$.

نبسط الكسر الناتج عن عملية الطرح المباشرة لنحصل على عدد صحيح بإشارة سالبة: $١- = \dfrac{٩-}{٩}$.

نضرب الناتج العددي المبسط في العامل المشترك المعزول لإنهاء الحل: ${}^{٢٤}(١٠-) = {}^{٢٤}١٠ \times {١-}$.

والإجابة هي ${}^{٢٤}(١٠-)$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: القواعد الجبرية لتبسيط العبارات التي تحتوي على أسس وكسور من خلال فك القوى وضرب النواتج.

نبدأ بتبسيط القيمة الأولى المتمثلة في التعبير ${}^{٣}(٣) \dfrac{١}{٣}$

نقوم أولاً بفك الأس للرقم ثلاثة ليصبح التعبير مبسطاً: $٢٧ = {}^{٣}(٣)$

نضرب الناتج الصحيح في الكسر المرفق لإيجاد القيمة النهائية: $٩ = {٢٧} \times {\dfrac{١}{٣}}$

إذن القيمة الأولى تساوي رياضياً العدد $٩$

ننتقل الآن لتبسيط القيمة الثانية المتمثلة في التعبير ${}^{٢}(٣) \dfrac{١}{{}^{٢}٣}$

نقوم بفك الأسس في كل من البسط والمقام ليصبح التعبير: $٩ \times \dfrac{١}{٩}$

بضرب العدد الصحيح في الكسر ينتج لدينا التبسيط النهائي: $١ = {٩} \times {\dfrac{١}{٩}}$

إذن القيمة الثانية تساوي رياضياً العدد $١$

بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية نجد أن العدد $٩$ أكبر قطعيّاً من العدد $١$

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق قوانين الأسس في الضرب والقسمة، حيث نقوم بجمع الأسس عند ضرب الأساسات المتشابهة ونطرحها عند القسمة.

للقيمة الأولى: يمكن كتابة الكسر ثلث على شكل أساس مرفوع لأس سالب كالتالي: ${}^{١-}(٣) = \dfrac{١}{٣}$

نضرب الأساسات المتشابهة ونجمع الأسس حسب القاعدة: ${}^{٢}(٣) = {}^{٣}(٣) \times {}^{١-}(٣)$

نقوم بفك الأساس المرفوع لنحصل على ناتج القيمة الأولى وهو: $٩ = {}^{٢}٣$

للقيمة الثانية: نطبق نفس القاعدة برفع المقام لأس سالب للتخلص من الكسر: ${}^{٢-}(٣) = \dfrac{١}{{}^{٢}٣}$

نضرب الأساسات المتشابهة ونجمع الأسس للقيمة الثانية: ${}^{٠}(٣) = {}^{٢}(٣) \times {}^{٢-}(٣)$

أي عدد غير الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي واحد، إذن الناتج النهائي هو العدد $١$

بالمقارنة المباشرة نجد أن العدد $٩$ في القيمة الأولى أكبر من العدد $١$

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إخراج العامل المشترك الأكبر لتبسيط المقادير الجبرية المكونة من أسس متتالية لأساس واحد.

القانون الرياضي: $(ص + س)أ = {ص} \times {أ} + {س} \times {أ}$

نحدد العامل المشترك الأكبر بين الحدين في السؤال، وهو المقدار ذو الأس الأصغر، أي ${}^{٣}٤$.

نقوم بسحب هذا العامل المشترك خارج قوسين ونقسم الحدود الأصلية عليه.

$({١} + {}^{١}٤) \times {}^{٣}٤ = {}^{٣}٤ + {}^{٤}٤$

نحسب ناتج عملية الجمع البسيطة داخل الأقواس.

$٥ = {١} + {٤}$

نعوض بالناتج في المعادلة لنحصل على القيمة المبسطة النهائية.

$٥ \times {}^{٣}٤ = ({٥}) \times {}^{٣}٤$

والإجابة هي $٥ \times {}^{٣}٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر للقيم الأسية ثم جمعها وتحليل الخيارات للوصول للناتج المطابق.

نقوم بفك الأسس المعطاة في المسألة وحساب قيمتها العددية بشكل مباشر.

$٢٥٦ = {}^{٤}٤$

$٦٤ = {}^{٣}٤$

نجمع القيمتين العدديتين للحصول على الناتج النهائي للمقدار.

$٣٢٠ = {٦٤} + {٢٥٦}$

نقوم الآن باختبار الخيارات المعطاة للبحث عن القيمة التي تساوي $٣٢٠$.

نختبر الخيار الأول بحساب قيمته العددية.

$١٩٢ = {٦٤} \times {٣} = {}^{٣}٤ \times ٣$

نختبر الخيار الأخير المتاح بحساب قيمته العددية.

$٣٢٠ = {٦٤} \times {٥} = {}^{٣}٤ \times ٥$

بما أن ناتج الخيار الأخير يطابق تماماً ناتج المسألة، فهو الخيار الصحيح قطعيًا.

والإجابة هي $٥ \times {}^{٣}٤$

تكنيك ١: تطبيق قاعدة ضرب الأسس للأساسات المتشابهة

المفهوم الرياضي: عند ضرب أعداد ذات أساسات متطابقة، فإننا نحتفظ بالأساس كما هو ونقوم بجمع الأسس.

المعادلة المعطاة: ${}^{٦}٢ \times {}^{٦}٢ \times {}^{٦}٢ \times {}^{٦}٢$

بما أن الأساس متطابق في جميع الحدود وهو $٢$، نقوم بكتابة الأساس مرة واحدة.

العملية الرياضية لجمع الأسس: $٢٤ = {٦} + {٦} + {٦} + {٦}$

تصبح القيمة النهائية هي الأساس $٢$ مرفوعاً للمجموع.

الناتج هو ${}^{٢٤}٢$.

والإجابة هي ${}^{٢٤}٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر في المعادلات الأسية لتحديد قيمة المجهول.

نبدأ بتحليل المعادلة المعطاة في نص السؤال وهي ${}^{٣}ن = {}^{ن}٣$ حيث أن المتغير ن يمثل عدداً طبيعياً.

نقوم بتجربة التعويض بأعداد طبيعية متدرجة لاختبار صحة المساواة، ولنبدأ بالرقم ثلاثة.

عند التعويض عن المتغير ن بالرقم ثلاثة، تصبح المعادلة بالشكل التالي: ${}^{٣}٣ = {}^{٣}٣$

نحسب قيمة كلا الطرفين فنجد أن ${٢٧} = {٢٧}$ مما يعني أن المساواة متحققة والحل صحيح.

بما أن المعادلة لا تتحقق في مجموعة الأعداد الطبيعية إلا عندما تكون قيمة المتغير ن تساوي ثلاثة، فإن القيمة الأولى تساوي ثلاثة.

بمقارنة القيمة الأولى وهي ثلاثة مع القيمة الثانية وهي أربعة، نجد أن العدد أربعة أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستدلال المنطقي والتحليل العددي للأسس.

نعلم أن الدوال الأسية والدوال الحدودية تتقاطع في نقاط محددة، وبالنظر إلى المعادلة ${}^{٣}ن = {}^{ن}٣$ يمكننا استنتاج الحلول المحتملة بالاستبعاد.

لو افترضنا أن قيمة المتغير ن تساوي رقماً آخر مثل العدد اثنان، سنجد أن الطرف الأيمن هو ${٨} = {}^{٣}٢$ بينما الطرف الأيسر هو ${٩} = {}^{٢}٣$، وهنا لا تتساوى القيمتان.

لو افترضنا أن قيمة المتغير ن تساوي العدد أربعة، سنجد أن الطرف الأيمن هو ${٦٤} = {}^{٣}٤$ بينما الطرف الأيسر هو ${٨١} = {}^{٤}٣$، وهنا أيضاً لا تتساوى القيمتان.

يتبين لنا بشكل قاطع أن القيمة الطبيعية الوحيدة التي تحقق المعادلة هي عندما يكون المتغير ن يساوي ثلاثة.

وعليه، تصبح القيمة الأولى هي ثلاثة، والقيمة الثانية ثابتة وهي أربعة.

من الواضح رياضياً أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: استخدام قوانين قسمة الأسس المتشابهة مباشرة

المفهوم الرياضي: عند قسمة التعبيرات الأسية التي تمتلك نفس الأساس، نقوم بطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم، ونحتفظ بالأساس كما هو.

نحدد أولاً عناصر عملية القسمة المذكورة نصاً في السؤال.

المقسوم هو العدد اثنان مرفوعاً للأس خمسة عشر، والمقسوم عليه هو العدد اثنان مرفوعاً للأس عشرة.

نقوم بتطبيق قانون القسمة على هذه المعطيات، حيث الأساس المشترك هو العدد اثنان.

نطرح الأس عشرة الخاص بالمقسوم عليه، من الأس خمسة عشر الخاص بالمقسوم.

ناتج عملية طرح الأسس هو خمسة.

تتم كتابة معادلة القسمة بالشكل التالي: ${}^{٥}٢ = {}^{١٠}٢ \div {}^{١٥}٢$

بعد الوصول إلى التعبير الأسي المبسط، يجب علينا الآن إيجاد قيمته العددية لمعرفة عوامله.

نضرب العدد اثنين في نفسه خمس مرات متتالية.

التفصيل الحسابي للضرب: $٣٢ = {٢} \times {٢} \times {٢} \times {٢} \times {٢}$

الناتج النهائي لعملية القسمة هو العدد اثنان وثلاثون.

بالرجوع إلى نص السؤال، نجد أنه يطلب “أحد عوامل” ناتج القسمة.

من المسلمات الرياضية أن أي عدد صحيح يعتبر عاملاً من عوامل نفسه، لأنه يقبل القسمة على نفسه بدون أي باقٍ.

بفحص الخيارات المتاحة، نجد العدد اثنين وثلاثين موجوداً كأحد الخيارات الصحيحة الصريحة.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ٢: الفك التفصيلي واستخراج العوامل المشتركة بالتبسيط التدريجي

المفهوم الرياضي: تعني عملية القسمة المتكررة لنفس الأساس إزالة عدد مساوٍ من العوامل المضروبة من كل من البسط والمقام، مما يتيح لنا رؤية الباقي بصورة تفصيلية كعامل مباشر.

نضع عملية القسمة على شكل كسر اعتيادي، ليكون اثنان أُس خمسة عشر في البسط، واثنان أُس عشرة في المقام.

نقوم بتفكيك البسط بحيث نعزل منه جزءاً مساوياً تماماً لقيمة المقام ليسهل حذفهما معاً.

بناءً على قوانين الجمع للأسس، يمكننا كتابة العدد اثنين أُس خمسة عشر كحاصل ضرب اثنين أُس عشرة في اثنين أُس خمسة.

المعادلة في البسط تصبح: ${}^{٥}٢ \times {}^{١٠}٢ = {}^{١٥}٢$

نقوم الآن بالتعويض بهذا التفكيك في الكسر الأصلي.

المقام يحتوي على اثنين أُس عشرة، والبسط يحتوي على اثنين أُس عشرة مضروبة في اثنين أُس خمسة.

نختصر الحد المشترك وهو اثنان أُس عشرة من كل من البسط والمقام.

الحد المتبقي الوحيد بعد الاختصار هو الحد المضروب المتمثل في اثنين أُس خمسة.

نقوم بفك هذه القيمة الأسية حسابياً لنجدها تساوي اثنين وثلاثين.

هذا الناتج الرياضي المباشر يعتبر بشكل بديهي عاملاً رئيسياً للنتيجة.

والإجابة هي $٣٢$

السؤال الرابع:

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حل المعادلات الجبرية بعزل المتغير المجهول، وتطبيق قوانين الأسس في القسمة لتبسيط المعادلة لطرح الأسس.

نعزل المتغير المجهول في طرف مستقل بقسمة الطرف الآخر على المعامل المرفوع للأس المضروب فيه.

$س = \dfrac{ {}^{٧٥}٧ }{ {}^{٧٧}٧ }$

نطبق قانون قسمة الأساسات المتشابهة بطرح أس المقام من أس البسط للحصول على الأس السالب.

${}^{٢-}٧ = {}^{٧٥ – ٧٧}٧ = س$

نحول الأس السالب إلى كسر هندسي في المقام ليصبح أساً موجباً يطابق المعطيات في الخيارات.

$\dfrac{١}{ {}^{٢}٧ } = {}^{٢-}٧$

نحسب القيمة العددية النهائية للمقام بتربيع الأساس المعطى.

$\dfrac{١}{٤٩} = \dfrac{١}{ {}^{٢}٧ }$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٤٩}$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تجزئة الأسس الكبيرة إلى مضاعفات للأسس الأصغر لتبسيط المعادلة وتسريع خطوات الحذف المباشر.

نقوم بتفكيك الأساس المضروب في المجهول ليحتوي على جزء يطابق الطرف الآخر لتسهيل الاختصار المتكافئ.

${}^{٧٥}٧ = س \times {}^{٢}٧ \times {}^{٧٥}٧$

نقسم كلا الطرفين على القيمة المشتركة للتخلص منها وتبسيط المعادلة لأصغر صورة جبرية ممكنة.

$١ = س \times {}^{٢}٧$

نعزل المتغير بقسمة الطرف الثابت على القيمة المتبقية المضروبة في المتغير لاستخراج قيمته الكسرية.

$\dfrac{١}{ {}^{٢}٧ } = س$

نفك التربيع للأساس لاستخراج القيمة العددية النهائية المطابقة للكسر في الخيارات.

$\dfrac{١}{٤٩} = \dfrac{١}{ {}^{٢}٧ }$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٤٩}$

تكنيك ١: توحيد الأساسات وتطبيق قوانين قسمة الأسس

المفهوم الرياضي: تحويل الجذور إلى أسس كسرية، ثم تطبيق قاعدة طرح الأسس عند قسمة الأساسات المتشابهة.

المعادلة المعطاة هي: $\dfrac{س}{{\sqrt{س}}{}^{٣}}$

نحول الجذر التكعيبي في المقام إلى أس كسري لتصبح ${}^{\dfrac{١}{٣}}س$.

تصبح المعادلة: $\dfrac{س}{{}^{\dfrac{١}{٣}}س}$

عند قسمة أساسات متطابقة، نقوم بطرح أس المقام من أس البسط (وهو $١$).

نصيغ عملية الطرح: الأس = ${\dfrac{١}{٣}} – {١}$

نوحد المقامات للطرح: $١$ تصبح $\dfrac{٣}{٣}$

الأس الجديد = ${\dfrac{١}{٣}} – {\dfrac{٣}{٣}}$

الأس الجديد = $\dfrac{٢}{٣}$

تصبح النتيجة الجبرية النهائية: ${}^{\dfrac{٢}{٣}}س$

والإجابة هي ${}^{\dfrac{٢}{٣}}س$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التقدير المنطقي للجذور وحصر القيم بين مكعبين كاملين معروفين لتحديد النطاق التقريبي للمتغير، ثم تربيعه للمقارنة.

المعادلة الجبرية المعطاة في صدر المعطيات هي $٤٨ = {}^{٣}س$

نبحث في الأعداد الصحيحة عن المكعبات الكاملة التي تحصر العدد ثمانية وأربعين.

نعلم رياضياً أن مكعب العدد ثلاثة هو العدد سبعة وعشرون: $٢٧ = {}^{٣}٣$

ونعلم أيضاً أن مكعب العدد أربعة هو العدد أربعة وستون: $٦٤ = {}^{٣}٤$

بما أن العدد ثمانية وأربعين يقع بوضوح بين سبعة وعشرين وأربعة وستين، فإن قيمة المتغير تقع حتماً كنطاق بين العددين ثلاثة وأربعة.

المطلوب منا في تقييم القيمة الأولى هو إيجاد مربع المتغير، أي القيمة ${}^{٢}س$

بما أن المتغير أقل قطعيّاً من العدد أربعة، فإن مربعه سيكون حتماً أقل من ستة عشر لأن $١٦ = {}^{٢}٤$

القيمة الثانية المعطاة هي العدد خمسة عشر، والقيمة الأولى استنتجنا أنها قد تكون قريبة من ستة عشر ولكننا نحتاج لدقة أكبر.

للتحقق بدقة رياضية، المتغير هو الجذر التكعيبي للعدد ثمانية وأربعين.

مربع المتغير يمثل الجذر التكعيبي لمربع الثمانية وأربعين: ${}^{٣}{\sqrt{٢٣٠٤}} = {}^{٢}({}^{٣}{\sqrt{٤٨}})$

بينما مكعب القيمة الثانية المتمثلة في العدد خمسة عشر هو: $٣٣٧٥ = {}^{٣}١٥$

بما أن العدد ثلاثة آلاف وثلاثمائة وخمسة وسبعون أكبر بكثير من ألفين وثلاثمائة وأربعة، فإن القيمة الثانية تتفوق رياضياً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التخلص من الجذور باستخدام استراتيجية رفع القيم المعطاة للقوى المتشابهة لتسهيل عملية المقارنة المباشرة للأعداد الصحيحة.

المعطى الأساسي الذي ننطلق منه هو المعادلة $٤٨ = {}^{٣}س$

نحن نريد إجراء المقارنة الرياضية المباشرة بين المقدار ${}^{٢}س$ وبين العدد $١٥$

للتخلص من الجذور والأسس الكسرية المزعجة في المقارنة، نقوم برفع كلتا القيمتين المراد مقارنتهما للقوة الثالثة.

نرفع القيمة الأولى للقوة الثالثة حسب قوانين الأسس: ${}^{٦}س = {}^{٣}({}^{٢}س)$

بما أن المعطيات تنص على أن $٤٨ = {}^{٣}س$، فإن التعبير ${}^{٦}س$ يعادل تماماً مربع العدد ثمانية وأربعين.

مربع العدد ثمانية وأربعين بعملية الضرب المباشر هو ألفان وثلاثمائة وأربعة: $٢٣٠٤ = {}^{٢}٤٨$

نقوم برفع القيمة الثانية للقوة الثالثة أيضاً للحفاظ على التوازن الجبري: $٣٣٧٥ = {}^{٣}(١٥)$

بمقارنة القيمتين الناتجتين والصحيحتين، نجد بوضوح أن العدد $٣٣٧٥$ أكبر من العدد $٢٣٠٤$

وهذا يعني رياضياً وبشكل قاطع أن القيمة الثانية في أساسها وجذرها أكبر من القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: فك الأسس في كلا من البسط والمقام ثم حل المعادلة الجبرية الناتجة.

نبدأ بفك الأسس المتواجدة في بسط الكسر.

$٨١ = {}^{٢}٩$

$٩ = {}^{٢}٣$

نجمع نواتج البسط معاً.

$٩٠ = {٩} + {٨١}$

ننتقل لفك الأسس المتواجدة في مقام الكسر.

$٨ = {}^{٣}٢$

نجمع نواتج المقام معاً.

$٩ = {١} + {٨}$

نعوض بالنواتج النهائية للبسط والمقام في الطرف الأيمن للمعادلة الأصلية.

$س٥ = \dfrac{٩٠}{٩}$

نبسط الطرف الأيمن بقسمة بسطه على مقامه.

$١٠ = {٩} \div {٩٠}$

تصبح المعادلة الجبرية بعد التبسيط كالتالي.

$س٥ = ١٠$

لإيجاد قيمة المتغير المستقل، نقسم الطرفين على معامل المتغير وهو العدد خمسة.

$٢ = {٥} \div {١٠}$

والإجابة هي $٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التبسيط المباشر للمقدار باستخدام القواعد الحسابية الأساسية خطوة بخطوة.

المقدار الجبري المطلوب حله يحوي قيماً تحتاج للتربيع والتكعيب المباشر.

نعوض مباشرة عن جميع القيم المربعة والمكعبة في الكسر بخطوة واحدة لتبسيط المشهد.

$س٥ = \dfrac{{٩} + {٨١}}{{١} + {٨}}$

نوجد ناتج الجمع للحدود في البسط، وكذلك نوجد ناتج الجمع للحدود في المقام.

$س٥ = \dfrac{٩٠}{٩}$

نختصر الكسر المتواجد في الطرف الأيمن بعملية القسمة المباشرة ليصبح عدداً صحيحاً هو عشرة.

المعادلة الجبرية المبسطة تأخذ هذا الشكل النهائي.

$س٥ = ١٠$

نقسم الطرف الأيسر على معامل المتغير في الطرف الأيمن.

ينتج أن قيمة المتغير الرياضي تساوي العدد اثنين.

والإجابة هي $٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص الأسس للكسور التي تقع بين الصفر والواحد الصحيح.

نلاحظ أن الأساس في كلتا القيمتين هو الكسر العشري $٠،٢$.

نقوم بتحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي لتسهيل التحليل المنطقي.

$\dfrac{١}{٥} = \dfrac{٢}{١٠} = ٠،٢$

تصبح القيمة الأولى هي ${}^{٢٢}(\dfrac{١}{٥})$ والقيمة الثانية هي ${}^{٢٣}(\dfrac{١}{٥})$.

القاعدة الرياضية الثابتة تنص على أنه إذا كان الأساس كسراً محصوراً بين الصفر والواحد، فكلما زاد الأس قلت قيمة المقدار.

الأس في القيمة الثانية وهو $٢٣$ أكبر من الأس في القيمة الأولى وهو $٢٢$.

وبالتالي، فإن ضرب الكسر $\dfrac{١}{٥}$ في نفسه مرات أكثر سيؤدي إلى تصغير قيمته بشكل أكبر.

لذلك، القيمة المرفوعة للأس الأصغر هي القيمة الأكبر فعلياً.

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: فك الأسس واستخدام عملية القسمة والمقارنة الاستنتاجية.

ننظر للقيمة الثانية المرفوعة للأس $٢٣$.

يمكننا تفكيك القيمة الثانية إلى حاصل ضرب الأساس في نفس القيمة بأس أقل.

${}^{٢٢}٠،٢ \times ٠،٢ = {}^{٢٣}٠،٢$

القيمة الأولى هي ${}^{٢٢}٠،٢$ بشكل صريح ومستقل.

إذا افترضنا أن القيمة الأولى تمثل وحدة كاملة من المقدار، فإن القيمة الثانية تمثل خُمس ($٠،٢$) هذا المقدار فقط.

من المنطقي والطبيعي أن المقدار الكامل أكبر بكثير من خُمس نفس المقدار.

وعليه، نستنتج بيقين أن القيمة الأولى تتفوق على القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: العزل الجبري والتعويض المباشر الكلي

المفهوم الرياضي: استخدام قوانين الأسس بشكل عكسي لفك الأسس المجموعة إلى ضرب أساسات، وذلك بهدف فصل المتغير المجهول وإيجاد قيمته ككتلة جبرية واحدة.

المعادلة المعطاة في السؤال هي: $٦ = {}^{١+س٢}٢$

نستخدم قانون ضرب الأسس (الذي ينص على جمع الأسس عند تشابه الأساسات) بشكل عكسي لفصل الأسس المجموعة في الطرف الأيسر من المعادلة.

تصبح المعادلة بعد التفكيك كالتالي: $٦ = {}^{١}٢ \times {}^{س٢}٢$

نقوم بقسمة طرفي المعادلة على العدد $٢$ بهدف عزل الكتلة الأسية التي تحتوي على المتغير $س$ في طرف مستقل بالترتيب الصحيح.

العملية هي: $٣ = {٢} \div {٦}$

ينتج لدينا المعادلة المبسطة التالية: $٣ = {}^{س٢}٢$

المطلوب في السؤال هو إيجاد القيمة العددية للتعبير التالي: ${}^{س}١٦$

نقوم بتحليل الأساس المركب $١٦$ إلى قوى العدد الأولي $٢$، وهو يساوي رياضياً ${}^{٤}٢$.

نعوض بهذا التحليل في التعبير المطلوب إيجاده.

العملية هي: ${}^{س}({}^{٤}٢)$

باستخدام قانون قوة القوة، نضرب الأس الداخلي بالأس الخارجي.

ينتج لدينا التعبير: ${}^{س٤}٢$

نحتاج الآن إلى إعادة صياغة التعبير ${}^{س٤}٢$ بدلالة الكتلة الجبرية التي أوجدنا قيمتها مسبقاً وهي ${}^{س٢}٢$.

بما أن الأس $س٤$ يمثل ضعف الأس $س٢$، يمكننا إعادة كتابة التعبير على هيئة تربيع للكتلة المطلوبة.

العملية هي: ${}^{٢}({}^{س٢}٢) = {}^{س٤}٢$

نقوم الآن بالتعويض المباشر بقيمة الكتلة ${}^{س٢}٢$ والتي تساوي $٣$.

العملية هي: $٩ = {}^{٢}(٣)$

والإجابة هي $٩$

تكنيك ٢: مطابقة الأسس عبر التحليل التناسبي والتربيع

المفهوم الرياضي: تحويل التعبير المطلوب إيجاده مباشرة إلى صيغة رياضية تتطابق هيكلياً مع المعطيات المبسطة لتسهيل التعويض السريع.

لقد توصلنا من خلال التبسيط الأولي للمعطيات إلى أن: $٣ = {}^{س٢}٢$

المطلوب منا إيجاد قيمته هو التعبير ${}^{س}١٦$.

نستطيع كتابة الأساس $١٦$ على هيئة مربع كامل وهو ${}^{٢}٤$.

يصبح التعبير المطلوب إعادة صياغته كالتالي: ${}^{س}({}^{٢}٤) = {}^{س٢}٤$

ونحن نعلم رياضياً أن العدد $٤$ يساوي ${}^{٢}٢$.

لذلك، التعبير ${}^{س٢}٤$ هو في الحقيقة يعادل تربيعاً رياضياً للقيمة الجبرية ${}^{س٢}٢$.

نأخذ طرفي المعادلة المبسطة $٣ = {}^{س٢}٢$ ونقوم بتربيع كلا الطرفين معاً للحفاظ على التوازن.

تربيع الطرف الأول المحتوي على المتغير ينتج عنه: ${}^{س٤}٢ = {}^{٢}({}^{س٢}٢) = {}^{س}١٦$

تربيع الطرف الثاني وهو العدد الثابت ينتج عنه: $٩ = {}^{٢}٣$

بمساواة الطرفين بعد عملية التربيع التناسبي، نجد أن القيمة النهائية للتعبير المطلوب تساوي $٩$.

والإجابة هي $٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: دمج المتغيرات الجبرية مع الكسور ثم تبسيط الأس السالب.

نكتب المقدار الجبري المعطى في السؤال

${}^{١-}(س\dfrac{١}{٢})$

نضرب المتغير في بسط الكسر لتوحيد المقدار داخل القوس ككسر واحد

$\dfrac{س}{٢} = س \times \dfrac{١}{٢}$

نعوض في المقدار الأصلي بالكسر الموحد

${}^{١-}(\dfrac{س}{٢})$

قانون الأس السالب للكسور ينص على قلب الكسر كاملا مع تغيير إشارة الأس لموجبة

${}^{١}(\dfrac{٢}{س}) = {}^{١-}(\dfrac{س}{٢})$

أي مقدار مرفوع للأس واحد يساوي المقدار نفسه

$\dfrac{٢}{س}$

والإجابة هي $\dfrac{٢}{س}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توزيع الأسس السالبة على عملية الضرب داخل الأقواس الجبرية.

المقدار يتكون من حاصل ضرب كسر في متغير مستقل

${}^{١-}(س \times \dfrac{١}{٢})$

حسب قوانين الأسس يمكن توزيع الأس على كلا الحدين المضروبين

${}^{١-}س \times {}^{١-}(\dfrac{١}{٢})$

نبسط الحد الأول بقلب الكسر ليصبح الأساس عددا صحيحا بأس موجب

$٢ = \dfrac{٢}{١} = {}^{١-}(\dfrac{١}{٢})$

نبسط الحد الثاني بإنزاله للمقام للتخلص من الأس السالب

$\dfrac{١}{س} = {}^{١-}س$

نضرب الناتجين المبسطين في بعضهما البعض

$\dfrac{٢}{س} = \dfrac{١}{س} \times {٢}$

والإجابة هي $\dfrac{٢}{س}$

تكنيك ١: تحليل الأساس الكبير إلى عوامله الأولية ومطابقتها وتجميعها

المفهوم الرياضي: تبسيط الأساسات المركبة الكبيرة إلى عوامل أولية تتطابق مع الأساسات الأخرى الموجودة في المعادلة يتيح تطبيق قوانين جمع الأسس الموزعة.

نستخرج الحد ذو الأساس الأكبر والمحوري من المعادلة وهو المقدار ${}^{٠,٧٥}٦٠$

نحلل العدد ستين إلى حاصل ضرب عددين يتوافقان حصراً مع الأساسات الأخرى بالمسألة وهما: خمسة واثنا عشر.

نكتب صيغة التحليل الرياضية: ${٦٠} = {٥} \times {١٢}$

نعوض بهذا التحليل الهيكلي ونوزع الأس العشري على المضروبين المنفصلين: ${}^{٠,٧٥}٥ \times {}^{٠,٧٥}١٢ = {}^{٠,٧٥}({٥} \times {١٢}) = {}^{٠,٧٥}٦٠$

نستبدل القيمة القديمة الكبيرة في المعادلة الأصلية بالقيم التحليلية الجديدة الموزعة.

مسار المعادلة يصبح تسلسلياً: ${}^{١,٢٥}٥ \times {}^{٠,٢٥}١٢ \times {}^{٠,٧٥}٥ \times {}^{٠,٧٥}١٢$

نقوم بتجميع الحدود الجبرية ذات الأساس اثنا عشر معاً، والحدود الجبرية ذات الأساس خمسة معاً لتوحيدها.

للأساس المشترك اثنا عشر، نقوم بجمع الأسس العشرية: ${١} = {٠,٧٥} + {٠,٢٥}$

يصبح الحد الأول بعد التجميع والتسوية: ${}^{١}١٢$ والذي يساوي العدد الصحيح اثنا عشر رياضياً.

للأساس المشترك خمسة، نقوم بجمع الأسس العشرية: ${٢} = {٠,٧٥} + {١,٢٥}$

يصبح الحد الثاني بعد التجميع والتسوية: ${}^{٢}٥$ والذي يمثل مربع الخمسة ويساوي خمسة وعشرين رياضياً.

نضرب النواتج الصحيحة المبسطة والمتبقية للحصول على القيمة النهائية للمقدار الكلي.

${٣٠٠} = {٢٥} \times {١٢} = {}^{٢}٥ \times {}^{١}١٢$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ٢: تحويل الأسس العشرية إلى كسور اعتيادية لتسهيل التبسيط الجبري

المفهوم الرياضي: التعامل مع الكسور الاعتيادية النمطية يسهل عمليات الجمع والمطابقة بشكل أدق مقارنة بالكسور العشرية المعقدة.

نحول قيمة الأس العشري الأول: المقدار ${٠,٧٥}$ يكافئ الكسر الاعتيادي ثلاثة أرباع أي يكتب ${\frac{٣}{٤}}$

نحول قيمة الأس العشري الثاني: المقدار ${٠,٢٥}$ يكافئ الكسر الاعتيادي ربع أي يكتب ${\frac{١}{٤}}$

نحول قيمة الأس العشري الثالث: المقدار ${١,٢٥}$ يكافئ الكسر الاعتيادي خمسة أرباع أي يكتب ${\frac{٥}{٤}}$

نصيغ المعادلة الجديدة المتكاملة بالكسور الاعتيادية: ${}^{\frac{٥}{٤}}٥ \times {}^{\frac{١}{٤}}١٢ \times {}^{\frac{٣}{٤}}٦٠$

ننفذ عملية التفكيك الجذري للعدد ستين إلى حاصل ضرب الأساسين المجاورين المتطابقين.

${}^{\frac{٣}{٤}}٥ \times {}^{\frac{٣}{٤}}١٢ = {}^{\frac{٣}{٤}}({٥} \times {١٢}) = {}^{\frac{٣}{٤}}٦٠$

نعوض هذه القيم المفككة في مسار المعادلة الأساسي لترتيب وضم الحدود المتشابهة جنباً إلى جنب.

نجمع أسس العدد اثنا عشر: الكسر ثلاثة أرباع مجموعاً مع الكسر ربع يساوي الكسر أربعة أرباع، وهو ما يكافئ العدد واحد صحيح.

نجمع أسس العدد خمسة: الكسر ثلاثة أرباع مجموعاً مع الكسر خمسة أرباع يساوي الكسر ثمانية أرباع، وهو ما يكافئ العدد اثنان صحيح عند التبسيط.

نصيغ العملية الحسابية النهائية المتبقية كأعداد صحيحة بعد التبسيط الجذري للأسس.

${٣٠٠} = {٢٥} \times {١٢} = {}^{٢}٥ \times {}^{١}١٢$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ١: توحيد الأساسات

المفهوم الرياضي: تحليل العدد في الطرف الآخر لجعله مساوياً لأساس الطرف الأول، وبما أن الأساسات متساوية فإن الأسس تتساوى حتمياً.

المعادلة الأساسية هي:

${٧٢٩} = {}^{ل٣}٩$

نقوم بتحليل العدد الأيمن ليكون بصورة أسية أساسها مماثل للأساس الأيسر:

${}^{٣}٩ = {٧٢٩}$

نعوض بالقيمة الأسية الجديدة في المعادلة الأصلية:

${}^{٣}٩ = {}^{ل٣}٩$

بما أن الأساس يساوي الأساس، فإن الأس المستقل يساوي الأس المستقل:

$٣ = {ل٣}$

القيمة المطلوبة في السؤال هي المقدار $ل٣$ بالكامل، وقد أوجدناها بوضوح.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ٢: التجريب المعكوس

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات لتمثل قيمة الأس بالكامل، والتحقق من ناتج القوة ليطابق العدد المعطى.

المطلوب هو إيجاد قيمة المقدار $ل٣$ ككتلة واحدة.

نجرب الخيار الأول، وهو $١$، ليكون قيمة استبدالية للمقدار $ل٣$:

${}^{١}٩ = {٩}$

الناتج لا يساوي الطرف الآخر نهائياً، الخيار الأول خاطئ.

نجرب الخيار الثاني، وهو $٢$، ليكون قيمة استبدالية للمقدار $ل٣$:

${}^{٢}٩ = {٨١}$

الناتج لا يساوي الطرف الآخر نهائياً، الخيار الثاني خاطئ.

نجرب الخيار الثالث، وهو $٣$، ليكون قيمة استبدالية للمقدار $ل٣$:

${}^{٣}٩ = {٧٢٩}$

الناتج يطابق الطرف الآخر تماماً ويحقق المساواة الرياضية.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحليل الأساسات للوصول إلى أساسات متطابقة وتطبيق قوانين الأسس والجذور لحل المعادلات.

القانون الرياضي: ${}^{ص \times س}أ = {}^{ص}({}^{س}أ)$

المعادلة الأصلية المعطاة في السؤال هي $٢٥ = {}^{س}٩$.

نقوم بتحليل العدد $٩$ إلى عوامله الأولية لتبسيط الأساس ليكون متطابقاً مع المطلوب.

${}^{٢}٣ = ٩$

نعوض عن العدد $٩$ بقيمته المحللة في المعادلة الأصلية لنكمل مسار الحل.

$٢٥ = {}^{س}({}^{٢}٣)$

نطبق قانون قوة القوة لضرب الأسس في بعضها البعض.

$٢٥ = {}^{س \times ٢}٣ = {}^{٢س}٣$

يمكننا إعادة ترتيب الأسس بتبديل مواقعها حسب قانون الإبدال في الضرب للحصول على هيكل المطلوب.

$٢٥ = {}^{٢}({}^{س}٣)$

للتخلص من أس التربيع الخارجي، نقوم بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.

${\sqrt{٢٥}} = {\sqrt{{}^{٢}({}^{س}٣)}}$

نعلم رياضياً أن الجذر التربيعي للعدد $٢٥$ يساوي $٥$.

$٥ = {}^{س}٣$

هذه هي القيمة المطلوبة تماماً في نص السؤال.

والإجابة هي $٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تفكيك الأسس والمطابقة المنطقية بين طرفي المعادلة للوصول لقيمة المتغير الجبري المجهول.

نبدأ بتحليل المعادلة الأصلية المعطاة في صدر المسألة.

$٢٥ = {}^{س}٩$

نعلم أن العدد $٩$ يمكن كتابته بشكل مفكك على صورة حاصل ضرب العدد $٣$ في نفسه.

نقوم بالتعويض بهذا التفكيك داخل المعادلة الأصلية.

$٢٥ = {}^{س}({٣} \times {٣})$

حسب قوانين الأسس المعروفة، يتوزع الأس المشترك على عملية الضرب بداخل الأقواس.

$٢٥ = {}^{س}٣ \times {}^{س}٣$

نحلل العدد $٢٥$ الموجود في الطرف الآخر إلى حاصل ضرب عددين متماثلين ليطابق شكل الطرف الأيمن هندسياً.

$٥ \times ٥ = ٢٥$

نعوض عن هذا التحليل في المعادلة لتصبح المقارنة البصرية واضحة وجلية.

${٥} \times {٥} = {}^{س}٣ \times {}^{س}٣$

بالمطابقة المباشرة والمنطقية بين جزأي الطرفين، نستنتج قيمة الجزء المطلوب.

$٥ = {}^{س}٣$

بذلك نكون قد وصلنا للقيمة النهائية المطلوبة بخطوات استنتاجية منطقية متسلسلة.

والإجابة هي $٥$

تكنيك ١: إيجاد قيمة المتغير والمقارنة

المفهوم الرياضي: حساب قيمة الجذر التكعيبي للمتغير المطلوب للمقارنة ثم وضعه أمام القيمة الأخرى.

المعادلة المعطاة في المعطيات هي:

${١٢٥} = {}^{٣}س$

لإيجاد قيمة المتغير المجردة نأخذ الجذر التكعيبي للطرفين:

${}^{٣}{\sqrt{١٢٥}} = {س}$

نحسب الناتج الجذري:

$٥ = {س}$

ننتقل الآن لعملية المقارنة المطلوبة:

القيمة الأولى هي المتغير $س$ والتي استنتجنا أنها تساوي $٥$

القيمة الثانية المعطاة هي $٢$

بما أن $٥$ أكبر من $٢$، فإن كفة القيمة الأولى ترجح.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: عزل الحد الأسي

المفهوم الرياضي: استخدام العمليات الجبرية لنقل المعاملات وترك الحد الأسي الذي يحتوي المتغير في طرف مستقل.

المعادلة الأصلية المعطاة هي: $٢٧ = {٣} \times {}^{س}٩$.

الهدف الأول هو التخلص من المعامل المضروب في الحد الأسي.

المعامل هو العدد $٣$، لذا نقوم بقسمة كلا الطرفين على $٣$.

يصبح الطرف الأيمن بصرياً: $\frac{٢٧}{٣}$.

نحسب ناتج القسمة: $٩ = \frac{٢٧}{٣}$.

يصبح الطرف الأيسر بصرياً بعد القسمة: ${}^{س}٩$.

تصبح المعادلة بعد التبسيط الجبري: $٩ = {}^{س}٩$.

العدد $٩$ في الطرف الأيمن يمكن كتابته ضمنياً كأس: ${}^{١}٩ = ٩$.

نكتب المعادلة بالصيغة الأسية التامة: ${}^{١}٩ = {}^{س}٩$.

بما أن الأساسات متساوية (وتساوي $٩$)، فإن القاعدة الجبرية توجب مساواة الأسس.

نستنتج من ذلك قيمة المتغير: $١ = س$.

الآن، المطلوب ليس قيمة المتغير بل حساب مقدار رياضي محدد.

المقدار المطلوب هو: $١ + س٣$.

نقوم بتعويض قيمة المتغير في هذا المقدار الجبري.

نعوض المتغير بقيمته المستخرجة: $١ + {(١)}٣$.

حسب ترتيب العمليات الحسابية، نقوم بعملية الضرب أولاً.

ناتج الضرب هو: $٣ = {(١)} \times {٣}$.

نجمع الناتج المرحلي مع الحد الأول المستقل.

ناتج الجمع الكلي: $٤ = {٣} + {١}$.

والإجابة هي $٤$.

تكنيك ٢: توحيد الأساسات لجميع الحدود

المفهوم الرياضي: إرجاع جميع الأعداد في المعادلة إلى أساس أولي مشترك لتطبيق قوانين الأسس بشكل مباشر.

المعادلة المعطاة: $٢٧ = {٣} \times {}^{س}٩$.

نلاحظ أن جميع الأعداد ($٣$، $٩$، $٢٧$) هي من قوى العدد $٣$.

نقوم بتحويل العدد $٩$ ليكون كقوة للأساس $٣$: $٩ = {}^{٢}٣$.

ونقوم بتحويل العدد $٢٧$ ليكون كقوة للأساس $٣$: $٢٧ = {}^{٣}٣$.

نعوض بهذه الصيغ الأسية الجديدة في المعادلة الأصلية، مع مراعاة أن المتغير $س$ سيضرب في الأس الجديد للعدد $٩$.

تصبح المعادلة بالشكل التالي: ${}^{٣}٣ = {٣} \times {}^{س٢}٣$.

العدد $٣$ المضروب هو ضمنياً ${}^{١}٣$.

في الطرف الأيسر بصرياً، لدينا عملية ضرب لأساسات متشابهة.

تنص قاعدة الضرب على أننا نجمع الأسس عند تشابه الأساسات.

نقوم بجمع الأسس: ${١} + {س٢}$.

الطرف الأيسر بعد التبسيط يصبح: ${}^{١ + س٢}٣$.

المعادلة الجديدة بعد تبسيط الطرفين هي: ${}^{٣}٣ = {}^{١ + س٢}٣$.

بما أن الأساسات في الطرفين متساوية، نساوي الأسس ببعضها.

المعادلة الناتجة عن مساواة الأسس هي: $٣ = {١} + {س٢}$.

لحل هذه المعادلة، نطرح $١$ من كلا الطرفين لعزل المتغير.

الناتج بعد الطرح هو: $٢ = {١} – {٣} = س٢$.

نقسم الطرفين على $٢$ لإيجاد قيمة المتغير: $١ = \frac{٢}{٢} = س$.

تم إيجاد قيمة المتغير بنجاح، وننتقل الآن للتعويض في المقدار المطلوب.

المقدار المطلوب حسابه هو: $١ + س٣$.

المقدار بعد التعويض يصبح: $١ + {(١)}٣$.

نحسب عملية الضرب أولاً: $٣ = {(١)}٣$.

نحسب عملية الجمع النهائية: $٤ = {٣} + {١}$.

والإجابة هي $٤$.

تكنيك ١: تبسيط الأسس والمقارنة المباشرة

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك الأصغر لتبسيط العبارات الأسية المطروحة في البسط، ثم قسمتها على المقام ومقارنتها.

نحلل القيمة الأولى: $\dfrac{{}^{٣}٣ – {}^{٥}٣}{٤٩}$

نأخذ ${}^{٣}٣$ كعامل مشترك في البسط:

$\dfrac{({١} – {}^{٢}٣){}^{٣}٣}{٤٩}$

نبسط ما بداخل الأقواس، علماً بأن ${}^{٢}٣$ تساوي $٩$:

$\dfrac{({١} – {٩}){}^{٣}٣}{٤٩}$

$\dfrac{({٨}){}^{٣}٣}{٤٩}$

نحسب قيمة ${}^{٣}٣$ وهي $٢٧$:

$\dfrac{{٨} \times {٢٧}}{٤٩}$

نحسب عملية الضرب في البسط: $٢١٦ = {٨} \times {٢٧}$

تصبح القيمة الأولى: $\dfrac{٢١٦}{٤٩}$

نقارن الكسر بالقيمة الثانية وهي $٢$. نعلم أن $٩٨ = {٤٩} \times {٢}$.

بما أن البسط $٢١٦$ أكبر من $٩٨$، فإن القيمة الأولى أكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: تبسيط الجمع المتكرر في الطرف الأيسر ومقارنة المعاملات

المفهوم الرياضي: يمكن التعبير عن جمع مقدارين متطابقين تماماً بضرب المقدار الأساسي في العدد اثنان لتبسيط شكل المعادلة.

الطرف الأيسر من المعادلة المعطاة يتكون من: ${}^{س}١٣ + {}^{س}١٣$

نظراً لتطابق الحدين بشكل مطلق، نقوم بجمع المعاملات المستترة المباشرة (الرقم واحد زائد الرقم واحد).

يتم تبسيط الطرف الأيسر ليكون حاصل ضرب مباشر: ${٢} \times {}^{س}١٣$

نكتب المعادلة الجديدة بمساواة الطرفين بعد عملية التبسيط الجبرية.

${٢} \times {}^{١٤}١٣ = {٢} \times {}^{س}١٣$

نلاحظ وجود المعامل الثابت وهو العدد اثنان في كلا الطرفين كقيمة مضروبة بشكل مستقل ومنفصل.

نقسم كلا طرفي المعادلة على العدد اثنان لاختزاله من المسار الحسابي.

تصبح المعادلة المبسطة بعد الاختزال: ${}^{١٤}١٣ = {}^{س}١٣$

بما أن الأساسات السفلية متساوية، نستنتج تطابق الأسس العلوية مباشرة.

${١٤} = {س}$

والإجابة هي $١٤$

تكنيك ٢: استخراج العامل المشترك الجبري وتحليل أطراف المعادلة

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك الجبري من الأطراف المضافة يبسط المعادلة الهيكلية ويسهل مقارنتها وتحليلها مع الطرف المقابل.

في الطرف الأيسر المعطى للسؤال: ${}^{س}١٣ + {}^{س}١٣$

نقوم بسحب المتغير الأسي ${}^{س}١٣$ كعامل مشترك أكبر للحدين.

العملية التحليلية تصبح معزولة بالأقواس: ${}^{س}١٣ \times ({١} + {١})$

نجمع الأرقام الصحيحة ما بداخل الأقواس لينتج المعامل العددي المستقل.

الطرف الأيسر يصبح مهيأ للمقارنة: ${}^{س}١٣ \times {٢}$

نساوي هذا الناتج المستخرج بالطرف الأيمن الذي ظل كما هو دون تغيير.

${٢} \times {}^{١٤}١٣ = {}^{س}١٣ \times {٢}$

نحذف القيمة العددية المشتركة بين الطرفين وهي العدد اثنان باستخدام عملية القسمة المتساوية.

تستقر المعادلة على الصيغة المباشرة والمتوازنة: ${}^{١٤}١٣ = {}^{س}١٣$

بمقارنة الأسس المتواجدة للأساس الموحد في الطرفين، نجد قيمة المجهول الرياضي.

${١٤} = {س}$

والإجابة هي $١٤$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر لمجموع الخانات الرقمية المكونة للبنية العددية الناتجة عن المربع.

نعلم من واقع حل السؤال السابق أن القيمة العددية الإجمالية الناتجة عن مربع العدد ٩٩٩ هي المقدار الصحيح التالي: $٩٩٨٠٠١$.

نقوم بتفكيك العدد الناتج $٩٩٨٠٠١$ إلى أرقامه المكونة له في خاناته المختلفة وهي الأرقام التالية: ١، ٠، ٠، ٨، ٩، ٩.

نقوم بصياغة عملية الجمع لهذه الأرقام المكونة بصورة خطية مباشرة كالتالي: $١ + ٠ + ٠ + ٨ + ٩ + ٩$.

نجمع الخانات الأولى الصفرية مع الآحاد معاً لينتج لدينا: ${١} = ٠ + ٠ + ١$.

نضيف الرقم الموجود في خانة الآلاف وهو ٨ إلى المجموع الجزئي السابق: ${٩} = ٨ + ١$.

نضيف الرقم ٩ الموجود في الخانة التالية إلى المجموع الجزئي المستخرج: ${١٨} = ٩ \times ٢ = ٩ + ٩$.

نضيف الرقم ٩ الأخير المتواجد في نهاية الخانات للوصول إلى المجموع الكلي النهائي لكافة الأرقام: ${٢٧} = ٩ + ١٨$.

والإجابة هي $٢٧$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استراتيجية الاستقراء الرياضي واكتشاف النمط النمذجي المنتظم لمجموع أرقام مربعات قوى الرقم ٩ المتكرر.

نقوم بفحص مجموع أرقام النواتج لسلسلة مربعات الأعداد التي تتكون بنيتها بالكامل من تكرار الرقم ٩ فقط لاستنتاج قاعدة عامة ثابتة.

الحالة الأولى لمربع الرقم ٩ المكون من خانة واحدة فقط: ${٨١} = {}^{٢}٩$، ومجموع أرقام الناتج هو: $٩ = ١ + ٨$.

الحالة الثانية لمربع العدد ٩٩ المكون من خانتين مكررتين: ${٩٨٠١} = {}^{٢}٩٩$، ومجموع أرقام الناتج هو: $١٨ = ١ + ٠ + ٨ + ٩$.

نلاحظ أن الرقم ١٨ ينتج مباشرة من ضرب الرقم ٩ في عدد الخانات المكررة للعدد الأصلي كالتالي: ${١٨} = ٢ \times ٩$.

الحالة الثالثة لمربع العدد ٩٩٩ المكون من ثلاث خانات مكررة: ${٩٩٨٠٠١} = {}^{٢}٩٩٩$، ومجموع أرقام الناتج هو: $٢٧ = ١ + ٠ + ٠ + ٨ + ٩ + ٩$.

نلاحظ وبنفس الكيفية أن الرقم ٢٧ ينتج من ضرب الرقم ٩ في عدد الخانات المكررة الثلاث كالتالي: ${٢٧} = ٣ \times ٩$.

بناءً على هذا النمط المستنتج استقرائياً، فإن مجموع أرقام ناتج مربع أي عدد مكون بالكامل من الرقم ٩ يتحدد بالقانون الثابت التالي: ٩ $\times$ عدد مرات تكرار الرقم ٩.

بما أن العدد ٩٩٩ المعطى في نص السؤال يحتوي على تكرار للرقم ٩ بمقدار ثلاث مرات، نطبق القانون مباشرة لإيجاد الناتج النهائي: ${٢٧} = ٣ \times ٩$.

والإجابة هي $٢٧$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية بحل ما بداخل الأقواس أولاً، ثم تطبيق قاعدة قلب الأساس للتخلص من الأس السالب.

نبدأ بمعالجة القيمة الأولى، والتعبير المستخرج لها هو: ${}^{٦-}(١ – ٢)$

الأولوية الجبرية القصوى تقتضي حساب الناتج الفعلي للعملية الحسابية الموجودة داخل الأقواس.

العملية هي طرح الرقم اثنين من الرقم واحد، ورياضياً ناتج هذه العملية هو سالب واحد.

$١- = {٢} – {١}$

نعيد كتابة القيمة الأولى بعد تصفية القوس: ${}^{٦-}(١-)$

لدينا الآن أساس سالب مرفوع لأس سالب.

لتحويل الأس السالب إلى أس موجب يمكن حسابه بسهولة، نقوم بقلب الأساس جبرياً.

الصياغة الرياضية للقلب: ${}^{٦}(\dfrac{١}{١-}) = {}^{٦-}(١-)$

بما أن الأس هو رقم زوجي ($٦$)، فإنه سيلغي الإشارة السالبة للأساس بشكل تام.

الرقم واحد (أو مقلوبه) المرفوع لأي أس يساوي واحداً.

ينتج لدينا في القيمة الأولى: $١ = {}^{٦}(\dfrac{١}{١-})$

ننتقل الآن لتقييم القيمة الثانية، وتعبيرها هو: ${}^{٦-}(٢-)$

نطبق نفس القاعدة بقلب الأساس لتحويل الأس المرفوع له إلى عدد موجب.

تصبح القيمة الثانية بالشكل التالي: ${}^{٦}(\dfrac{١}{٢-})$

يقوم الأس الزوجي بإلغاء إشارة السالب الموجودة في المقام، ونقوم بحساب ستة أضعاف الرقم اثنين مضروباً في نفسه.

الناتج هو كسر اعتيادي موجب يمثل واحد على أربعة وستين.

$\dfrac{١}{٦٤} = {}^{٦}(\dfrac{١}{٢-})$

وصلنا الآن إلى مرحلة المقارنة بين النتيجة الموحدة للقيمة الأولى والنتيجة الموحدة للقيمة الثانية.

نقارن بين العدد الصحيح $١$ وبين الكسر الاعتيادي $\dfrac{١}{٦٤}$

العدد الصحيح $١$ هو بالتأكيد أكبر من أي كسر حقيقي محصور بين الصفر والواحد.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: المقارنة السريعة للأساسات عند تطابق الأسس السالبة الزوجية، واستيعاب تأثير الأس السالب في عكس العلاقة المنطقية للحجم.

نبدأ بتجهيز القيمة الأولى بتبسيط عملية الطرح الأساسية الموجودة داخل أقواسها.

بإجراء الطرح $١ – ٢$ نحصل على $١-$، لتصبح القيمة الأولى مبسطة على هيئة أساس وأس: ${}^{٦-}(١-)$

نلقي نظرة على القيمة الثانية فنجدها مبسطة وجاهزة أصلاً في صيغة أساس وأس: ${}^{٦-}(٢-)$

نقوم بعمل مقارنة بصرية بين التعبيرين، ونلاحظ اشتراكهما في نفس الأس تماماً، وهو الأس السالب الزوجي $٦-$

بما أن الأس متطابق وهو رقم زوجي، فمن خصائصه أنه يمتص ويلغي أي إشارة سالبة في الأساسات التي يحملها.

لذلك، يمكننا ذهنياً وبشكل آمن معاملة الأساسات وكأنها مجردة من الإشارة، أي نقارن تأثير الأس المشترك على الأساسين $١$ و $٢$

هنا تأتي أهمية فهم طبيعة الأس السالب؛ فهو لا يكبر القيمة بل يقلبها لتصبح كسراً متضائلاً.

رياضياً، كلما كان الأساس كبيراً وتم رفعه لأس سالب، فإن الكسر الناتج (مقلوبه) سيكون صغيراً جداً.

الأساس الذي اعتبرناه $٢$ هو أصلًا أكبر من الأساس $١$، لكن عند خضوعهما للأس السالب، تنعكس هذه العلاقة جذرياً.

الأساس الأصغر ($١$) سيحافظ على حجمه ويصبح المقلوب الأكبر عند رفع للأس السالب.

بينما الأساس الأكبر ($٢$) سينكمش ويصبح كسراً بالغ الصغر.

لذلك، بمجرد الرؤية السريعة وإدراك تأثير الأس السالب الزوجي، نستنتج أن الأساس ذو القيمة الأصغر سينتج عنه التقييم الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك الأصغر في الأسس لتبسيط المقدار الكسري.

نبحث عن أصغر أس في حدود البسط لنأخذه كعامل مشترك وهو العدد ثلاثة مرفوعاً للقوة عشرة.

نستخرج العامل المشترك ونفتح قوساً للحدود المتبقية.

$\dfrac{({١} + {}^{١}٣){}^{١٠}٣}{٤}$

نجمع الأعداد بداخل القوس لتبسيطه.

$٤ = {١} + {٣}$

نعوض بقيمة القوس في الكسر.

$\dfrac{({٤}){}^{١٠}٣}{٤}$

نختصر العدد أربعة الموجود في البسط مع العدد أربعة الموجود في المقام.

ينتج من هذا الاختصار بقاء العامل المشترك لوحده كناتج نهائي.

والإجابة هي ${}^{١٠}٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجزئة الأس الأكبر لفهم العلاقة المباشرة بين الحدود والمقام.

نعيد صياغة الحد الأكبر في البسط عن طريق فصل الأسس.

نعبر عن العدد ثلاثة مرفوعاً للقوة إحدى عشرة على هيئة حاصل ضرب.

${}^{١٠}٣ \times ٣ = {}^{١١}٣$

نعوض بهذا المفكوك في معادلة الكسر الأصلية.

$\dfrac{({}^{١٠}٣ \times ٣) + {}^{١٠}٣}{٤}$

نلاحظ أن العدد ثلاثة مرفوعاً للقوة عشرة مكرر كمقدار، فيمكننا جمعه كمعاملات (ثلاث مرات زائد مرة واحدة).

ينتج لدينا أربع مرات من هذا المقدار المكرر في البسط.

$\dfrac{{}^{١٠}٣ \times ٤}{٤}$

بقسمة البسط والمقام على العدد أربعة، يختفي المقام ويتبقى المقدار الأساسي.

والإجابة هي ${}^{١٠}٣$

=== طريقة حل السؤال الرابع ===

تكنيك ١: توحيد الأساسات بحل جبري مفصل

المفهوم الرياضي: لإيجاد قيمة المجهول في الأس المعطى، يجب جعل الأساسات متطابقة تماماً في كلا الطرفين عن طريق التحليل للعوامل الأولية.

المعادلة الأصلية هي: ${}^{س٤}٢ = {}^{١ + س}٤$

نلاحظ أن العدد $٤$ هو مربع تام للعدد $٢$، لذا نقوم بتحليله كأساس.

$٤ = {}^{٢}٢$

نستبدل العدد $٤$ في المعادلة الأصلية بقيمته الأسية الجديدة.

${}^{س٤}٢ = {}^{١ + س}({}^{٢}٢)$

نطبق قانون الأسس بضرب الأس الخارجي $٢$ في القوس الكامل وهو $س + ١$.

الأس الجديد للطرف الأيمن يصبح بعد التوزيع: $٢ + س٢$

نعيد كتابة المعادلة بالأسس الجديدة المبسطة مع الحفاظ على الأطراف.

${}^{س٤}٢ = {}^{٢ + س٢}٢$

بما أن الأساسات تساوت وأصبحت $٢$، يمكننا الآن مساواة الأسس جبرياً.

${س٤} = {٢} + {س٢}$

نطرح المتغير $٢س$ من الطرفين لنقل جميع المتغيرات في طرف واحد.

$٢ = {س٢} – {س٤}$

يصبح لدينا التعبير التالي بعد إتمام عملية الطرح الجبرية.

$٢ = {س٢}$

نقسم طرفي المعادلة على المعامل $٢$ لإيجاد قيمة المتغير المجردة.

$١ = س$

والإجابة هي $١$

تكنيك ٢: التجريب والتعويض المباشر من الخيارات

المفهوم الرياضي: في أسئلة الاختيار من متعدد، يمكن الوصول للحل السريع الموثوق بتعويض الخيارات المعطاة في المعادلة الأصلية للتحقق من صحة المساواة الرياضية.

المعادلة الأصلية المستخرجة هي: ${}^{س٤}٢ = {}^{١ + س}٤$

نقوم بتجربة الخيار الأول وهو افتراض أن قيمة المتغير تساوي $١$.

نعوض بقيمة $١$ في الطرف الأيمن للمعادلة لتقييمه.

الطرف الأيمن يصبح: ${}^{١ + ١}٤ = {}^{٢}٤ = ١٦$

نعوض بقيمة $١$ في الطرف الأيسر للمعادلة لتقييمه أيضاً.

الطرف الأيسر يصبح: ${}^{١ \times ٤}٢ = {}^{٤}٢ = ١٦$

نلاحظ أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر تماماً والناتج هو $١٦ = ١٦$.

بما أن هذا التعويض حقق المساواة الرياضية الصارمة، فالخيار المختار هو الحل الصحيح.

والإجابة هي $١$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام قوانين الأسس لتوحيد الأساسات ومن ثم مقارنة القوى.

نبدأ بتحليل القيمة الأولى المتمثلة في التعبير ${}^{س}٨$

نعلم رياضياً أن العدد ثمانية هو مكعب العدد اثنين: $٨ = {}^{٣}٢$

نعوض بهذه القيمة داخل القيمة الأولى ونطبق قانون ضرب الأسس: ${}^{س}({}^{٣}٢) = {}^{س٣}٢$

نلاحظ الآن أن القيمة الأولى بعد التبسيط أصبحت مطابقة تماماً للقيمة الثانية: ${}^{س٣}٢$

بما أن القيمتين متطابقتان جبرياً، فإنهما ستتساويان دائماً مهما كانت قيمة المتغير المعطى.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم افتراضية للمتغيرات لاختبار العلاقة الرياضية بين التعبيرين.

لدينا القيمة الأولى ${}^{س}٨$ والقيمة الثانية ${}^{س٣}٢$

نفترض أولاً أن المتغير يساوي العدد $١$

بالتعويض المباشر في القيمة الأولى ينتج: $٨ = {}^{١}٨$

بالتعويض المباشر في القيمة الثانية ينتج: $٨ = {}^{٣}٢ = {}^{١ \times ٣}٢$

في هذه الحالة نجد أن القيمتين متساويتان تماماً.

نفترض الآن أن المتغير يساوي العدد صفر

بالتعويض في القيمة الأولى ينتج: $١ = {}^{٠}٨$

بالتعويض في القيمة الثانية ينتج: $١ = {}^{٠}٢$

في هذه الحالة أيضاً تتساوى القيمتان.

بما أن التساوي يتحقق في جميع الحالات، فإن العلاقة الرياضية هي التطابق التام.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: تحويل الأسس الكسرية إلى جذور وحساب القيم مباشرة

المفهوم الرياضي: ينص قانون الأسس الكسرية على أن المقام في الأس الكسري يمثل دليل الجذر، بينما يمثل البسط أس العدد المجذور تحت الجذر.

نقوم أولاً بالنظر إلى الحد الأول الموجود في أقصى اليمين، وهو العدد خمسة وعشرون المرفوع للأس نصف.

بتطبيق المفهوم الرياضي، يتحول الأس نصف إلى جذر تربيعي للعدد خمسة وعشرين.

قيمة الجذر التربيعي للعدد خمسة وعشرين هي خمسة، لأن ضرب العدد خمسة في نفسه يعطي خمسة وعشرين.

المعادلة الجزئية لهذا الحد تصبح: $٥ = {\sqrt{٢٥}}$

نقوم ثانياً بالانتقال إلى الحد الأوسط، وهو العدد أربعة وستون المرفوع للأس ثلث.

بتحويل الأس الكسري، يصبح هذا الحد هو الجذر التكعيبي للعدد أربعة وستين.

نبحث عن العدد الذي إذا ضربناه في نفسه ثلاث مرات أعطانا أربعة وستين، وهو العدد أربعة.

المعادلة الجزئية للحد الأوسط تصبح: $٤ = {}^{٣}{\sqrt{٦٤}}$

نقوم ثالثاً بتحليل الحد الثالث الموجود في جهة اليسار، وهو العدد ستة عشر المرفوع للأس ربع.

هذا الأس الكسري يترجم إلى إيجاد الجذر من الدرجة الرابعة للعدد ستة عشر.

العدد الذي إذا ضرب في نفسه أربع مرات يعطي ستة عشر هو العدد اثنان.

المعادلة الجزئية للحد الأيسر تصبح: $٢ = {}^{٤}{\sqrt{١٦}}$

الآن، نقوم بتعويض هذه القيم الصحيحة في المعادلة الأصلية، مع الحفاظ على عمليات الضرب بينها.

نضرب القيمة الأولى وهي خمسة، في القيمة الثانية وهي أربعة، في القيمة الثالثة وهي اثنان.

حاصل ضرب خمسة في أربعة يساوي عشرين، ثم نضرب العشرين في اثنين لنحصل على أربعين.

المعادلة النهائية للضرب تصبح: $٤٠ = {٢} \times {٤} \times {٥}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢: التحليل للعوامل الأولية وتبسيط الأسس جبرياً

المفهوم الرياضي: يمكن تبسيط العبارات الأسية بتحليل الأساسات إلى عواملها الأولية، ثم تطبيق قانون قوة القوة بضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي.

نبدأ بالحد الأيمن، العدد خمسة وعشرون المرفوع للأس نصف.

نحلل العدد خمسة وعشرين إلى عوامله الأولية، ليصبح خمسة مرفوعة للأس اثنين.

نعوض في العبارة لتصبح: خمسة أُس اثنين، الكل مرفوع للأس نصف.

نضرب الأس الداخلي وهو اثنان، في الأس الخارجي وهو نصف، ليكون الناتج واحداً.

النتيجة المبسطة للحد الأيمن هي: $٥ = {}^{\frac{١}{٢}}({}^{٢}٥)$

ننتقل للحد الأوسط، العدد أربعة وستون المرفوع للأس ثلث.

نحلل العدد أربعة وستين إلى عوامله، لنجده يساوي أربعة مرفوعة للأس ثلاثة.

العبارة تصبح: أربعة أُس ثلاثة، الكل مرفوع للأس ثلث.

بضرب الأسين ثلاثة وثلث، نحصل على الأس واحد.

النتيجة المبسطة للحد الأوسط هي: $٤ = {}^{\frac{١}{٣}}({}^{٣}٤)$

بالنسبة للحد الأيسر، العدد ستة عشر المرفوع للأس ربع.

تحليل العدد ستة عشر يعطينا اثنين مرفوعة للأس أربعة.

العبارة تصبح: اثنان أُس أربعة، الكل مرفوع للأس ربع.

بضرب الأربعة في الربع، ينتج الأس واحد.

النتيجة المبسطة للحد الأيسر هي: $٢ = {}^{\frac{١}{٤}}({}^{٤}٢)$

نقوم أخيراً بضرب الأساسات المبسطة المتبقية ببعضها البعض بنية استخراج الناتج النهائي.

$٤٠ = {٢} \times {٤} \times {٥}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١: توحيد الأساسات والمقارنة

المفهوم الرياضي: عند ضرب الأساسات المتشابهة نجمع الأسس، وعند مقارنة الكسور المرفوعة لأسس سالبة، نحولها لأساسات صحيحة بعكس إشارة الأس.

نبدأ بتبسيط القيمة الأولى: ${}^{٥}(\dfrac{١}{٤}) \times {}^{٤}(\dfrac{١}{٤})$

بما أن الأساسات متشابهة، نجمع الأسس: ${}^{٩}(\dfrac{١}{٤}) = {}^{٥}(\dfrac{١}{٤}) \times {}^{٤}(\dfrac{١}{٤})$

للتخلص من الكسر، نقلب الأساس ونعكس إشارة الأس: ${}^{٩-}٤ = {}^{٩}(\dfrac{١}{٤})$

نقوم الآن بتحليل القيمة الثانية المعطاة في السؤال: ${}^{٨-}٤$

نقارن بين القيمة الأولى بعد التبسيط ${}^{٩-}٤$ والقيمة الثانية ${}^{٨-}٤$

في الأعداد السالبة، العدد الأصغر قيمة مطلقة هو الأكبر رياضياً.

بما أن $٨-$ أكبر من $٩-$، فإن الأس الأكبر يعطي القيمة الأكبر للأساس الصحيح الموجب.

لذلك نستنتج أن ${}^{٨-}٤$ أكبر من ${}^{٩-}٤$

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: تحويل الكسور إلى أعداد صحيحة

المفهوم الرياضي: التعامل مع القوى للكسور عبر توزيع الأس على البسط والمقام.

القيمة الأولى هي: ${}^{٥}(\dfrac{١}{٤}) \times {}^{٤}(\dfrac{١}{٤})$

تصبح بعد جمع الأسس: ${}^{٩}(\dfrac{١}{٤})$

نوزع الأس على البسط والمقام: $\dfrac{{}^{٩}١}{{}^{٩}٤}$ وهو يكافئ $\dfrac{١}{{}^{٩}٤}$

نحول القيمة الثانية بنفس الطريقة بقلب الأساس ليكون الأس موجباً: $\dfrac{١}{{}^{٨}٤} = {}^{٨-}٤$

نقارن بين الكسرين: $\dfrac{١}{{}^{٩}٤}$ و $\dfrac{١}{{}^{٨}٤}$

نعلم أنه كلما كبر المقام صغرت قيمة الكسر.

بما أن ${}^{٩}٤$ أكبر من ${}^{٨}٤$، فإن الكسر الأول أصغر من الكسر الثاني.

وبالتالي القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: التعويض المباشر بالقيم

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة العددية للدالة أو المعادلة عند نقاط محددة عن طريق إحلال المتغير بقيمته المعطاة وإجراء العمليات الحسابية.

نبدأ بكتابة المعادلة الأساسية من معطيات السؤال:

$ص = ١ – {}^{٢}س$

نحسب القيمة الأولى بتعويض المتغير بالعدد اثنين الإيجابي:

$ص = ١ – {}^{٢}(٢)$

نربع العدد اثنين ليصبح أربعة، ونحافظ على ترتيب الطرح:

$ص = ١ – ٤$

نوجد الناتج للقيمة الأولى بإتمام عملية الطرح:

$٣ = ص$

نحسب القيمة الثانية بتعويض المتغير بالعدد اثنين السالب:

$ص = ١ – {}^{٢}(٢-)$

نربع العدد السالب، وبما أن الأس زوجي فإن الناتج يتحول إلى عدد موجب:

$ص = ١ – ٤$

نوجد الناتج للقيمة الثانية بإتمام عملية الطرح مرة أخرى:

$٣ = ص$

نقارن بين القيمة الأولى البالغة ثلاثة والقيمة الثانية البالغة ثلاثة.

نجد أن القيمتين متطابقتان تماماً من الناحية العددية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: تحليل التماثل الزوجي للدالة

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص الأسس الزوجية التي تلغي تأثير الإشارة السالبة، مما يجعل الدالة متماثلة وتعطي نفس الناتج للقيم ونظائرها الجمعية.

نستعرض المعادلة المعطاة في السؤال لتحليلها هيكلياً:

$ص = ١ – {}^{٢}س$

نلاحظ أن المتغير المستقل مرفوع لأس زوجي وهو أس التربيع.

من خصائص الأس الزوجي الثابتة أنه ينتج دائماً قيمة غير سالبة، بغض النظر عن الإشارة الأصلية للأساس.

أي أن مربع أي عدد صحيح يساوي دائماً وبشكل قطعي مربع نظيره الجمعي السالب:

${}^{٢}(س) = {}^{٢}(س-)$

بناءً على هذه القاعدة الرياضية، فإن التعويض بأي عدد سيساوي التعويض بسالبه تماماً.

القيمة الأولى تتطلب التعويض بالعدد اثنين، والقيمة الثانية تتطلب التعويض بنظيره وهو العدد اثنين السالب.

لذلك، النتيجتان ستكونان متطابقتين حتمياً دون أدنى حاجة لإجراء العمليات الحسابية المفصلة.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق قوانين الأسس وتحديداً قانون قوة القوة لتبسيط المقادير.

ينص قانون قوة القوة في الرياضيات على أنه عند رفع أساس ذي أس إلى أس خارجي آخر، فإننا نقوم بضرب الأسس في بعضها البعض، ويُكتب القانون رمزياً بهذا الشكل: ${}^{ص \times س}أ = {}^{ص}({}^{س}أ)$

نأخذ القيمة الأولى المعطاة وهي ${}^{٢}({}^{٥}٢)$ ونطبق عليها هذا القانون الجبري مباشرة.

نحتفظ بالأساس كما هو وهو العدد اثنان، ونقوم بضرب الأس الداخلي وهو العدد خمسة في الأس الخارجي وهو العدد اثنان.

حاصل ضرب الأسس هو العدد عشرة، وبالتالي تصبح القيمة الأولى في أبسط صورة لها هي ${}^{١٠}٢$

ننتقل إلى القيمة الثانية المعطاة وهي ${}^{٥}({}^{٢}٢)$ ونطبق عليها نفس القانون الجبري.

نحتفظ بالأساس كما هو وهو العدد اثنان، ونقوم بضرب الأس الداخلي وهو العدد اثنان في الأس الخارجي وهو العدد خمسة.

حاصل ضرب الأسس هو أيضاً العدد عشرة، وبالتالي تصبح القيمة الثانية في أبسط صورة لها هي ${}^{١٠}٢$

بمقارنة القيمة الأولى المبسطة والتي تساوي ${}^{١٠}٢$ مع القيمة الثانية المبسطة والتي تساوي ${}^{١٠}٢$، نلاحظ تطابقهما التام جبرياً وقيمياً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحساب التفصيلي المباشر لفك الأقواس واستخراج القيم العددية المطلقة.

نبدأ بالقيمة الأولى المعطاة ${}^{٢}({}^{٥}٢)$ ونقوم بحساب ما بداخل القوس الداخلي أولاً وفقاً لقواعد ترتيب العمليات الحسابية.

المقدار داخل القوس هو العدد اثنان مرفوع للأس خمسة، وقيمته الحسابية الصريحة هي العدد اثنان وثلاثون.

نعوض بهذه القيمة العددية داخل القوس الخارجي لتصبح القيمة الأولى هي العدد اثنان وثلاثون مرفوعاً للأس اثنان، أي تُكتب ${}^{٢}({٣٢})$

بحساب مربع العدد اثنان وثلاثين عبر ضربه في نفسه، نجد أن النتيجة النهائية للقيمة الأولى تساوي العدد ألف وأربعة وعشرين.

نتجه الآن للقيمة الثانية المعطاة ${}^{٥}({}^{٢}٢)$ ونحسب ما بداخل القوس الداخلي أولاً.

المقدار داخل القوس هو العدد اثنان مرفوع للأس اثنان، وقيمته الحسابية الصريحة هي العدد أربعة.

نعوض بهذه القيمة العددية داخل القوس الخارجي لتصبح القيمة الثانية هي العدد أربعة مرفوعاً للأس خمسة، أي تُكتب ${}^{٥}({٤})$

بحساب العدد أربعة مضروباً في نفسه خمس مرات متتالية، نجد أن النتيجة النهائية للقيمة الثانية تساوي أيضاً العدد ألف وأربعة وعشرين.

القيمتان أسفرتا عن نفس الناتج العددي المطلق تماماً بعد الحساب الشامل، مما يؤكد تساويهما.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك من بسط الكسر بهدف اختزاله مع المقام المماثل.

ننظر إلى حدود البسط المكونة من جمع قيمتين ونلاحظ وجود أساسات متماثلة مرفوعة لأسس مختلفة.

نستخرج القيمة ذات الأس الأصغر كعامل مشترك في عملية الجمع، وهي ${}^{٤٧}٥$.

نقسم الحد الأول (الأيمن بصرياً) في البسط على العامل المشترك: ${}^{١}٥ = {}^{٤٧}٥ \div {}^{٤٨}٥$.

نقسم الحد الثاني (الأيسر بصرياً) في البسط على العامل المشترك: $١ = {}^{٤٧}٥ \div {}^{٤٧}٥$.

نكتب البسط بصيغته الجديدة بعد التحليل الرياضي: $({١} + {}^{١}٥) \times {}^{٤٧}٥$.

نجمع القيم العددية البسيطة داخل الأقواس: $٦ = {١} + {٥}$.

تصبح معادلة الكسر بأكملها بعد تبسيط البسط: $\dfrac{{٦} \times {}^{٤٧}٥}{{}^{٤٧}٥}$.

نختصر العامل المشترك ${}^{٤٧}٥$ الموجود في البسط مع القيمة المطابقة له تماماً في المقام.

يتبقى لدينا العدد الصحيح فقط بعد تنفيذ عملية الاختصار الرياضية.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجزئة الكسر الموحد إلى كسرين منفصلين وتطبيق قوانين قسمة الأسس للأساسات المتشابهة.

نقوم بتوزيع حدود الجمع في البسط على المقام المشترك لتكوين تعبيرين كسريين مستقلين.

نصيغ التعبير الرياضي بعد عملية التجزئة الهيكلية: $\dfrac{{}^{٤٧}٥}{{}^{٤٧}٥} + \dfrac{{}^{٤٨}٥}{{}^{٤٧}٥}$.

نطبق قانون قسمة الأسس على الكسر الأول بطرح أس المقام من أس البسط لنفس الأساس: ${}^{١}٥ = {}^{٤٧}٥ \div {}^{٤٨}٥$.

نبسط الكسر الثاني بقسمة القيمة الأسية على نفسها بشكل مباشر للحصول على الواحد الصحيح: $١ = \dfrac{{}^{٤٧}٥}{{}^{٤٧}٥}$.

نجمع نواتج التبسيط للكسرين معاً مع الحفاظ على إشارة الجمع.

المعادلة النهائية لعملية الجمع تصبح خطية وبسيطة: $٦ = {١} + {٥}$.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١: الحل الجبري المستقل للمعادلات الأسية

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة كل متغير على حدة عن طريق حل كل معادلة أسية بشكل مستقل تماماً، ثم إتمام العملية الحسابية المطلوبة للنواتج.

نبدأ بالمعادلة الأولى من المعطيات لإيجاد قيمة المتغير الأول:

$١٢٥ = {}^{س}٥$

نبحث عن القوة الأسية التي نرفع لها العدد خمسة ليكون الناتج الإجمالي مائة وخمسة وعشرين.

نعلم رياضياً أن ضرب العدد خمسة في نفسه ثلاث مرات متتالية يعطي هذا الناتج:

${}^{٣}٥ = ١٢٥$

بمساواة الأسس الجبرية بعد توحيد الأساس، نجد القيمة الأولى:

$٣ = س$

ننتقل الآن للمعادلة الثانية المعطاة لإيجاد قيمة المتغير الثاني المستقل:

$٣٦ = {}^{ص}٦$

بنفس الطريقة المنطقية، نبحث عن القوة المرفوعة للعدد ستة لإنتاج القيمة ستة وثلاثين.

تربيع العدد ستة يعطي هذا الناتج المباشر تماماً:

${}^{٢}٦ = ٣٦$

بمساواة الأسس بعد توحيد الأساس للمرة الثانية، نجد القيمة الثانية:

$٢ = ص$

المطلوب في السؤال هو إيجاد حاصل الضرب المباشر بين المتغيرين المستخرجين.

نضرب القيمة الثانية في القيمة الأولى بناءً على الترتيب الجبري المطلوب:

$٦ = {٣} \times {٢} = {س} \times {ص}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢: تحليل العوامل الأولية للنواتج الرياضية

المفهوم الرياضي: تفكيك الأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية الأساسية لمطابقتها مع أساسات المعادلات المعطاة واستخراج قيمة الأسس المجهولة بدقة.

لدينا المعادلة الأسية الأولى كمرجع للتحليل:

$١٢٥ = {}^{س}٥$

نقوم بتحليل العدد مائة وخمسة وعشرين عن طريق القسمة المتكررة على العدد الأولي خمسة.

نجد أن العدد يتكون هيكلياً من عملية ضرب العدد خمسة ثلاث مرات متتالية.

هذا التكرار يطابق تماماً القيمة العددية للأس، مما يعني أن استنتاجنا هو:

$٣ = س$

نطبق نفس المنهجية التحليلية في المعادلة الثانية المعطاة:

$٣٦ = {}^{ص}٦$

نحلل العدد ستة وثلاثين إلى عوامله المتطابقة، وهو حاصل ضرب ستة في العدد ستة.

وهذا يعني تكرار ضرب الأساس المعطى مرتين متتاليتين، فيكون الأس المطلوب هو:

$٢ = ص$

المطلوب النهائي في نص السؤال هو ناتج الجداء بين المتغيرين اللذين تم استخراجهما.

ننفذ عملية الضرب المباشرة بين العددين:

$٦ = {٣} \times {٢}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب قيمة كل حد يحتوي على أس سالب بشكل مستقل من خلال قانون قلب الأساس، ثم جمع الناتجين في النهاية. القانون المستخدم: ${ \dfrac{١}{{}^{ن}أ} } = { {}^{ن-}أ }$

المعادلة المعطاة تحتوي على حدين، نبدأ بالحد الأول في اليمين وهو ${ {}^{١-}(٢-) }$.

نطبق القانون بقلب الأساس مع الاحتفاظ بإشارته للحصول على أس موجب في المقام: ${ \dfrac{١}{٢-} } = { \dfrac{١}{{}^{١}(٢-)} } = { {}^{١-}(٢-) }$

نبسط الكسر برفع الإشارة السالبة لتكون الكسر سالباً بالكامل: ${ \dfrac{١}{٢}- } = { \dfrac{١}{٢-} }$

ننتقل الآن للحد الثاني في اليسار وهو ${ {}^{٢-}(١-) }$.

نطبق نفس القانون لقلب الأساس السالب وجعل أسه موجباً: ${ \dfrac{١}{{}^{٢}(١-)} } = { {}^{٢-}(١-) }$

بما أن الأس المستنتج زوجي (وهو ٢)، فإنه يلغي الإشارة السالبة في الأساس المضروب بنفسه: ${ ١ } = { ١- } \times { ١- } = { {}^{٢}(١-) }$

يصبح الحد الثاني بعد التبسيط وحذف المقام الواحد: ${ ١ } = { \dfrac{١}{١} }$

نعود لمعادلة الجمع الأصلية ونعوض بالقيم المبسطة التي استنتجناها للحدود.

المعادلة تصبح للجمع: ${ ١ } + { \dfrac{١}{٢}- }$

نوحد المقامات بضرب الرقم ١ في ٢ وقسمته على ٢ لجعله كسراً متكافئاً.

تصبح المعادلة بعد التوحيد: ${ \dfrac{٢}{٢} } + { \dfrac{١-}{٢} }$

نجمع البسوط مع الاحتفاظ بالمقام الموحد الثابت: ${ \dfrac{١}{٢} } = { \dfrac{٢ + ١-}{٢} }$

والإجابة هي ${ \dfrac{١}{٢} }$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل الكسور والأسس السالبة مباشرة إلى كسور عشرية لتسهيل عملية الجمع وتفادي توحيد المقامات للكسور الاعتيادية.

نقرأ الحد الأول من جهة اليمين وهو ${ {}^{١-}(٢-) }$.

يُترجم هذا الحد رياضياً إلى المعكوس الضربي للرقم ٢-، وهو نصف ذو إشارة سالبة.

نكتب هذه القيمة ككسر عشري في الطرف الأيسر للمعادلة: ${ ٠،٥- } = { {}^{١-}(٢-) }$

نقرأ الحد الثاني من جهة اليسار وهو ${ {}^{٢-}(١-) }$.

تربيع الرقم ١- يعطي النتيجة الموجبة ١، والمعكوس الضربي للرقم ١ يبقى ١ كما هو.

نكتب قيمة هذا الحد كعدد صحيح موجب: ${ ١ } = { {}^{٢-}(١-) }$

نعوض بالقيم العشرية المستخرجة في معادلة الجمع الأصلية وبنفس الترتيب الهندسي.

المعادلة تصبح ببساطة: ${ ١ } + { ٠،٥- }$

نطرح الكسر العشري ٠،٥ من الرقم ١ بشكل مباشر.

الناتج النهائي ككسر عشري يكتب يساراً: ${ ٠،٥ } = { ١ } + { ٠،٥- }$

نقوم بتحويل الناتج العشري ٠،٥ إلى صورته ككسر اعتيادي ليتطابق مع الخيارات المتاحة.

الناتج في صورة كسر هو: ${ \dfrac{١}{٢} } = { ٠،٥ }$

والإجابة هي ${ \dfrac{١}{٢} }$

تكنيك ١: قسمة الأسس ذات الأساسات المتطابقة والإشارات السالبة

المفهوم الرياضي: عند قسمة أساسات متطابقة، نقوم بطرح أس المقام من أس البسط، مع الانتباه الشديد للأساسات السالبة.

المعادلة المعطاة: $\dfrac{{}^{٣}(٢-)}{{}^{٣-}(٢-)}$

الأساس في كل من البسط والمقام هو ذاته وهو $(٢-)$.

نطبق قاعدة القسمة بطرح أس المقام من أس البسط.

أس البسط هو $٣$، وأس المقام هو $٣-$.

نصيغ عملية الطرح، ونؤكد على عدم دمج الإشارات ذهنياً قبل تفصيلها.

العملية داخل الكود: $٦ = {(٣-)} – {٣}$

الطرح مع إشارة سالبة يتحول إلى جمع، لتصبح العملية $٣ + ٣ = ٦$.

إذاً، الأس الجديد هو $٦$.

نضع الأساس مع الأس الجديد: ${}^{٦}(٢-)$

بما أن الأس $٦$ هو عدد زوجي، فإنه يلغي الإشارة السالبة للأساس.

تصبح القيمة: ${}^{٦}٢$

نقوم بضرب الرقم $٢$ في نفسه ست مرات.

الناتج: $٦٤ = {٨} \times {٨} = {}^{٣}٢ \times {}^{٣}٢$

والإجابة هي $٦٤$

تكنيك ٢: تحويل الأس السالب إلى أس موجب قبل القسمة

المفهوم الرياضي: يمكن التخلص من الأس السالب في المقام بنقل الحد بالكامل إلى البسط وتحويل إشارة أسّه إلى موجبة.

المعادلة الأصلية: $\dfrac{{}^{٣}(٢-)}{{}^{٣-}(٢-)}$

نرفع الحد ${}^{٣-}(٢-)$ من المقام إلى البسط.

تتغير إشارة الأس من $٣-$ إلى $٣$.

تتحول العملية إلى ضرب: ${}^{٣}(٢-) \times {}^{٣}(٢-)$

نطبق قاعدة ضرب الأسس (نجمع الأسس): $٦ = {٣} + {٣}$

الناتج هو ${}^{٦}(٢-)$.

الأس الزوجي يلغي الإشارة السالبة لتصبح ${}^{٦}٢$.

قيمة ${}^{٦}٢$ تساوي $٦٤$.

والإجابة هي $٦٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قوة القوة وضرب الأساسات المتشابهة.

نبدأ بتحليل القيمة الأولى والتي تتكون من جزأين مضروبين في بعضهما.

الجزء الأول هو العدد اثنان مرفوع للأس ثلاثة، والكل مرفوع للأس ثلاثة.

نضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي للأساس اثنان: ثلاثة ضرب ثلاثة يساوي تسعة، لينتج اثنان أُس تسعة، أي ${}^{٩}٢ = {}^{٣}({}^{٣}٢)$.

الجزء الثاني هو العدد أربعة مرفوع للأس سالب واحد، والكل مرفوع للأس أربعة.

نضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي للأساس أربعة: سالب واحد ضرب أربعة يساوي سالب أربعة، لينتج أربعة أُس سالب أربعة، أي ${}^{٤-}٤ = {}^{٤}({}^{١-}٤)$.

نقوم بتبسيط الأساس أربعة بتحويله إلى الرقم اثنان أُس اثنان لتسهيل الحساب مع الجزء الأول.

${}^{٨-}٢ = {}^{٤-}({}^{٢}٢) = {}^{٤-}٤$

الآن نضرب الجزء الأول في الجزء الثاني بعد التبسيط والتحليل.

${١}٢ = {}^{٨-}٢ \times {}^{٩}٢$

عند الضرب نجمع الأسس: تسعة زائد سالب ثمانية يساوي واحد.

إذن القيمة الأولى تساوي اثنان.

نقارن الآن بين القيمة الأولى وهي الرقم اثنان، والقيمة الثانية وهي الكسر نصف.

من الواضح رياضياً أن الرقم اثنان أكبر من الكسر نصف.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد الأساسات منذ البداية لسهولة تطبيق قوانين جمع وطرح الأسس.

نأخذ القيمة الأولى ونعمل على جعل جميع الأساسات داخلها تساوي الرقم اثنان.

الحد الأول هو الرقم اثنان أُس ثلاثة الكل أُس ثلاثة. بضرب الأسس ينتج الأساس اثنان أُس تسعة، أي ${}^{٩}٢$.

الحد الثاني هو الرقم أربعة أُس سالب واحد الكل أُس أربعة.

نحول الرقم أربعة إلى الرقم اثنان أُس اثنان.

يصبح الحد الثاني: الرقم اثنان أُس اثنان، الكل أُس سالب واحد، الكل أُس أربعة.

نضرب جميع هذه الأسس في بعضها: اثنان ضرب سالب واحد ضرب أربعة يساوي سالب ثمانية.

إذن الحد الثاني يساوي الأساس اثنان أُس سالب ثمانية، أي ${}^{٨-}٢$.

نضرب الحد الأول في الحد الثاني: ${}^{٨-}٢ \times {}^{٩}٢$.

عند عملية الضرب نقوم بجمع الأسس للأساسات المتشابهة: تسعة زائد سالب ثمانية يساوي واحد.

النتيجة النهائية للقيمة الأولى هي الرقم اثنان أُس واحد، أي قيمتها تساوي اثنان.

القيمة الثانية هي الكسر نصف، وتساوي كقوة الرقم اثنان أُس سالب واحد، أي ${}^{١-}٢$.

بمقارنة القيمة الصحيحة (اثنان) مع القيمة الكسرية (نصف)، نجد أن الاثنان أكبر.

بالتالي نستنتج أن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: تطبيق قوانين الأسس مع تفعيل بروتوكول تصحيح الاتجاه المطبعي

المفهوم الرياضي: عند قسمة الأساسات المتشابهة نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم، وعند ضرب الأساسات المتشابهة نجمع الأسس مع بقاء الأساس ثابتاً.

بملاحظة ترتيب عملية القسمة في السؤال المستخرج بصرياً، نجد أن الترتيب الحرفي يقتضي قسمة الأس الأصغر وهو ثلاثة، على الأس الأكبر وهو أربعة.

هذا الترتيب الحرفي ينتج عنه أس سالب يعطي كسراً قيمته سالب ثلث، وهو ما لا يتوافق إطلاقاً مع الخيارات الصحيحة المعطاة والمكونة من أعداد صحيحة.

لذلك، وطبقاً لبروتوكول تصحيح نية المؤلف، نستنتج أن الترتيب المنطقي والمقصود لعملية القسمة هو أن الحد ذو الأس الأكبر هو المقسوم، والحد ذو الأس الأصغر هو المقسوم عليه.

نبدأ بحساب قيمة الطرف الأيمن المتمثل في عملية القسمة بناءً على الترتيب المصحح منطقياً.

الأساس هو سالب ثلاثة، ونطرح أس المقسوم عليه وهو ثلاثة، من أس المقسوم وهو أربعة.

ناتج الطرح هو واحد، فيبقى الأساس سالب ثلاثة كما هو دون تغيير.

المعادلة الجزئية لعملية القسمة تصبح: $٣- = {}^{٣}(٣-) \div {}^{٤}(٣-)$

ننتقل الآن لحساب قيمة الطرف الأيسر المتمثل في عملية الضرب للأساس سالب اثنين.

وفقاً للقانون، نجمع الأسين ثلاثة واثنين، ليصبح الأس الجديد مساوياً لخمسة.

المعادلة الجزئية لعملية الضرب تصبح: ${}^{٥}(٢-) = {}^{٢}(٢-) \times {}^{٣}(٢-)$

نقوم بفك القيمة الأسية الناتجة عن عملية الضرب، حيث نضرب العدد سالب اثنين في نفسه خمس مرات.

بما أن الأس فردي، فإن الإشارة السالبة تُحفظ، ويكون ناتج اثنين أُس خمسة هو اثنين وثلاثين.

إذن القيمة العددية لعملية الضرب هي سالب اثنين وثلاثين.

الخطوة الأخيرة هي تنفيذ عملية الجمع بين ناتج القسمة وناتج الضرب.

نجمع القيمة سالب ثلاثة، مع القيمة سالب اثنين وثلاثين.

بما أن الإشارتين سالبتان، نجمع العددين ونضع الإشارة السالبة.

المعادلة النهائية للجمع تصبح: $٣٥- = {٣٢-} + {٣-}$

والإجابة هي $٣٥-$

تكنيك ٢: الفك العددي المباشر للقيم وتطبيق أولويات العمليات الحسابية

المفهوم الرياضي: يمكن الوصول للناتج النهائي عن طريق حساب القيمة العددية الصريحة لكل حد أُسي على حدة، ثم تنفيذ عمليات الضرب والقسمة قبل عملية الجمع.

استناداً لبروتوكول تصحيح الاتجاه المطبعي المذكور في التكنيك الأول، نقوم بتوجيه عملية القسمة نحو المسار المنطقي المقصود.

نبدأ بفك الحد الأول لعملية القسمة: سالب ثلاثة مرفوعة للأس أربعة.

الأس زوجي، مما يعني إلغاء الإشارة السالبة، وثلاثة أُس أربعة تساوي واحداً وثمانين.

نفك الحد الثاني لعملية القسمة: سالب ثلاثة مرفوعة للأس ثلاثة.

الأس فردي، مما يحفظ الإشارة السالبة، وثلاثة أُس ثلاثة تساوي سبعة وعشرين.

نقوم بإجراء عملية القسمة بقسمة واحد وثمانين على سالب سبعة وعشرين.

النتيجة الجزئية للقسمة تصبح: $٣- = {٢٧-} \div {٨١}$

ننتقل لفك الحد الأول لعملية الضرب: سالب اثنين مرفوعة للأس ثلاثة.

الأس فردي، والنتيجة هي سالب ثمانية.

نفك الحد الثاني لعملية الضرب: سالب اثنين مرفوعة للأس اثنين.

الأس زوجي، والنتيجة هي أربعة موجبة.

نقوم بإجراء عملية الضرب بضرب سالب ثمانية في أربعة.

النتيجة الجزئية للضرب تصبح: $٣٢- = {٤} \times {٨-}$

أخيراً، نجمع نواتج العمليتين معاً وفقاً للعملية المركزية الموضحة في السؤال.

نجمع سالب ثلاثة مع سالب اثنين وثلاثين للحصول على النتيجة النهائية.

$٣٥- = {٣٢-} + {٣-}$

والإجابة هي $٣٥-$

تكنيك ١: التحليل المنطقي لحساب قوى الأسس العليا المتسلسلة

المفهوم الرياضي: في حالة وجود أس مرفوع لأس آخر دون أقواس، يتم حساب الأسس من الأعلى إلى الأسفل.

نبدأ بتحليل القيمة الأولى المعطاة في جدول المقارنة وهي المقدار المكتوب بالصيغة ${}^{{}^{٢}٣}٢$

نحسب الأس العلوي المتسلسل أولاً، وهو العدد ثلاثة مرفوعاً للأس اثنين: $٩ = {}^{٢}٣$

نعوض بقيمة الأس العلوي التي حسبناها لتصبح القيمة الأولى مبسطة وواضحة وهي المقدار ${}^{٩}٢$

ننتقل لتحليل القيمة الثانية المعطاة في جدول المقارنة وهي المقدار المكتوب بالصيغة ${}^{{}^{٣}٢}٢$

نحسب الأس العلوي المتسلسل أولاً، وهو العدد اثنان مرفوعاً للأس ثلاثة: $٨ = {}^{٣}٢$

نعوض بقيمة الأس العلوي التي حسبناها لتصبح القيمة الثانية مبسطة وواضحة وهي المقدار ${}^{٨}٢$

نقوم الآن بإجراء المقارنة المنطقية بين القيمة الأولى المبسطة والقيمة الثانية المبسطة.

نلاحظ بوضوح أن الأساس في كلا القيمتين هو العدد ${٢}$، وهو عدد صحيح موجب أكبر من الواحد.

بما أن الأساسات متطابقة وأكبر من الواحد، فإن القيمة الأكبر تعتمد حصراً على الأس الأكبر، وفي حالتنا العدد ${٩}$ أكبر من العدد ${٨}$

بناءً على ذلك، نستنتج رياضياً أن القيمة الأولى تمتلك مقداراً نهائياً أكبر من القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: الفك والتوسع لإيجاد القيمة العددية النهائية

المفهوم الرياضي: فك الأسس بشكل متسلسل وإيجاد القيمة العددية الكلية لكل طرف لإجراء المقارنة المباشرة.

نأخذ القيمة الأولى ونبسط الأس المرفوع لها من الأعلى للأسفل كما فعلنا سابقاً لتصبح بشكلها النهائي ${}^{٩}٢$

نقوم بتفكيك هذه الصيغة رياضياً عن طريق ضرب العدد ${٢}$ في نفسه تسع مرات متتالية لاستخراج قيمته العددية الكلية.

الناتج الرياضي المباشر لعملية الضرب المتكرر هذه يساوي العدد ${٥١٢}$

ننتقل إلى القيمة الثانية ونبسط الأس المرفوع لها من الأعلى للأسفل لتصبح بشكلها النهائي ${}^{٨}٢$

نقوم بتفكيك هذه الصيغة رياضياً عن طريق ضرب العدد ${٢}$ في نفسه ثماني مرات متتالية لاستخراج قيمته العددية الكلية.

الناتج الرياضي المباشر لعملية الضرب المتكرر هذه يساوي العدد ${٢٥٦}$

نجري المقارنة العددية المباشرة بين الناتجين النهائيين وهما العدد ${٥١٢}$ والعدد ${٢٥٦}$

من الواضح رياضياً وبشكل قاطع أن العدد ${٥١٢}$ يمثل قيمة عددية أكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: الفك المباشر للأسس وحساب الناتج الكلي

المفهوم الرياضي: تحويل الصيغ الأسية المعطاة إلى قيم عددية صحيحة ثم إجراء عملية الضرب الجبري لحساب الإجمالي المطلوب.

نبدأ بتحديد المعطى الأول من نص السؤال وهو العدد الكلي للأشخاص، والممثل بالصيغة الأسية ${}^{٢}٥$.

نقوم بفك هذا الأس رياضياً بضرب الأساس في نفسه: $٢٥ = {٥} \times {٥}$.

إذن، نستنتج أن العدد الإجمالي للأشخاص المتبرعين هو خمسة وعشرون شخصاً.

نحدد المعطى الثاني من السؤال وهو قيمة التبرع المدفوعة من قبل كل شخص، والممثلة بالصيغة الأسية ${}^{٥}٢$.

نقوم بفك الأس رياضياً بضرب الأساس في نفسه خمس مرات متتالية: $٣٢ = {٢} \times {٢} \times {٢} \times {٢} \times {٢}$.

إذن، نستنتج أن قيمة التبرع الفردي الواحد هي اثنان وثلاثون ريالاً.

لحساب المجموع الإجمالي لكافة التبرعات، يلزمنا ضرب العدد الكلي للأشخاص في القيمة المالية للتبرع الفردي.

نصيغ معادلة الضرب النهائية بالترتيب المنطقي: المجموع = ${٣٢} \times {٢٥}$.

لإجراء هذه العملية الحسابية ذهنياً وبسرعة فائقة، يمكننا التعبير عن الرقم خمسة وعشرين بصيغة الكسر $\dfrac{١٠٠}{٤}$.

تصبح معادلة الضرب بعد هذا التعويض: المجموع = ${٣٢} \times {\dfrac{١٠٠}{٤}}$.

نقوم أولاً بقسمة العدد اثنين وثلاثين على أربعة ليعطينا الناتج ثمانية.

ثم نضرب الناتج ثمانية في مائة، ليصبح الإجمالي النهائي ثمانمائة ريال.

والإجابة هي $٨٠٠$

تكنيك ٢: التجزئة والتوزيع لتسهيل الضرب الذهني

المفهوم الرياضي: تفكيك الأرقام الكبيرة إلى آحاد وعشرات لتطبيق قانون التوزيع وتسهيل عملية الضرب دون الحاجة لخوارزمية مطولة.

نستخرج القيم العددية الصريحة من المعطيات الأسية كما فعلنا مسبقاً، ليتبين أن لدينا $٢٥$ شخصاً وكل فرد منهم تبرع بمبلغ $٣٢$ ريالاً.

العملية الحسابية الأساسية المطلوبة لإيجاد الحل هي $٣٢ \times ٢٥$.

نقوم بتجزئة الرقم اثنين وثلاثين إلى مكوناته من العشرات والآحاد لتسهيل الضرب التوزيعي: $٢٥ \times ({٣٠} + {٢})$.

نطبق قانون التوزيع بضرب العدد خمسة وعشرين في ثلاثين أولاً، نضع الصفر جانباً ونضرب $٣ \times ٢٥$ ليعطينا $٧٥$، فيكون الناتج $٧٥٠$.

ننتقل للخطوة التالية بضرب العدد خمسة وعشرين في اثنين ليعطينا الناتج المباشر $٥٠$.

نقوم بجمع نواتج الضرب المرحلية للحصول على الإجمالي: $٨٠٠ = {٥٠} + {٧٥٠}$.

النتيجة النهائية المستخرجة لمجموع التبرعات تتوافق تماماً وبدقة مع أحد الخيارات المتاحة في السؤال.

والإجابة هي $٨٠٠$

تكنيك ١: توحيد الأساسات الجبرية

المفهوم الرياضي: حل المعادلات الأسية من خلال جعل الأساسات في كلا الطرفين متطابقة، مما يسمح بمساواة الأسس جبرياً.

نكتب المعادلة الأسية المستخرجة من المعطيات:

$٢٧ = {}^{٢ + س}٣$

نقوم بتحليل العدد سبعة وعشرين لجعله قوة مساوية للأساس ثلاثة الموجود في الطرف الآخر:

${}^{٣}٣ = ٢٧$

نعيد كتابة المعادلة بالأساسات الموحدة الجاهزة للمقارنة:

${}^{٣}٣ = {}^{٢ + س}٣$

بما أن الأساسات قد تساوت قطعيًا، نستنتج أن الأسس يجب أن تكون متساوية أيضاً بالضرورة:

$٣ = {٢} + {س}$

نقوم بطرح العدد اثنين من الطرفين لعزل المتغير المستهدف وتحديد قيمته:

$١ = {٢} – {٣} = س$

الآن نقوم بعملية المقارنة المباشرة المطلوبة في السؤال.

نقارن بين القيمة الأولى وهي الكسر ثلث، والقيمة الثانية التي حسبناها وهي الواحد الصحيح.

الواحد الصحيح أكبر بطبيعة الحال من الكسر ثلث.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: الاستنتاج العكسي والتعويض المنطقي

المفهوم الرياضي: استخدام التفكير المنطقي العكسي لمعرفة القيمة الإجمالية التي يجب أن يصل إليها الأس للحصول على الناتج النهائي المطلوب.

نستحضر المعادلة الأساسية:

$٢٧ = {}^{٢ + س}٣$

نسأل أنفسنا بناءً على خصائص الضرب: ما هو الأس الإجمالي الذي يجب أن نرفع له العدد ثلاثة ليكون الناتج النهائي سبعة وعشرين؟

نعلم من حفظنا لمضاعفات الأعداد الأساسية أن تكعيب العدد ثلاثة يعطي هذا الناتج الدقيق.

أي أن القيمة الإجمالية للأس في الطرف الأيمن يجب أن تساوي ثلاثة بالضرورة.

الأس معطى في المعادلة بصيغة مقدار جبري هو متغير مجموع بشكل مباشر مع العدد اثنين.

إذن، نبحث عن العدد الذي نضيفه إلى اثنين ليصبح المجموع النهائي ثلاثة.

يظهر جلياً أن هذا العدد هو الواحد:

$١ = س$

نقوم الآن بتنفيذ عملية المقارنة النهائية المطلوبة في هيكل السؤال.

القيمة الأولى معطاة بشكل صريح ككسر اعتيادي وهو الثلث.

القيمة الثانية استنتجناها من التحليل العكسي وهي الواحد الصحيح.

من الواضح أن الواحد الصحيح يتفوق في قيمته على الكسر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: الفك الجبري والتعويض المباشر الصارم للحدود

المفهوم الرياضي: تطبيق قوانين الأسس السليمة للأساسات السالبة وفك القوى بشكل كامل قبل الشروع في إجراء عملية الطرح غير الإبدالية بأسلوب خطي صحيح حاسوبياً.

نقوم بحساب قيمة الحد الأول الموجود في يمين بسط الكسر وهو: ${}^{٣}(٢-)$

بما أن الأساس سالب والأس عدد فردي، فإن الإشارة السالبة تبقى في الناتج.

العملية هي: $٨- = {}^{٣}(٢-)$

نقوم الآن بحساب قيمة الحد الثاني الموجود في يسار بسط الكسر وهو: ${}^{٢}(٢-)$

بما أن الأس زوجي، يتم تربيع الأساس وتلغى الإشارة السالبة.

العملية هي: $٤ = {}^{٢}(٢-)$

نقوم بطرح الحد الثاني من الحد الأول في البسط بناءً على الترتيب الأصلي والسيادة المنطقية للعملية.

العملية هي: $١٢ = {(٨-)} – {٤}$

ننتقل لحساب حدود المقام. الحد الأول في يمين المقام هو: ${}^{٣}(٣-)$

العملية هي: $٢٧- = {}^{٣}(٣-)$

الحد الثاني في يسار المقام هو: ${}^{٢}(٣-)$

العملية هي: $٩ = {}^{٢}(٣-)$

نقوم بطرح الحد الثاني من الحد الأول في المقام بناءً على الترتيب الصحيح.

العملية هي: $٣٦ = {(٢٧-)} – {٩}$

نقوم الآن بقسمة ناتج البسط النهائي على ناتج المقام النهائي.

العملية هي: $\dfrac{١}{٣} = \dfrac{١٢}{٣٦}$

بما أن الناتج لا يطابق أياً من الخيارات المعطاة بشكل مباشر، فإن الحل الجبري الصارم المبني على المعطيات المستخرجة حرفياً يؤدي إلى هذه النتيجة.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تقييم المعادلات ذات الحلول المتعددة وتأثيرها في مسائل المقارنة.

لدينا المعادلة المعطاة ${٨١} = {}^{٤}س$ والتي نحتاج من خلالها إيجاد القيمة الممكنة للمتغير س قبل البدء بعملية المقارنة.

كما استنتجنا بالتفصيل سابقاً، فإن أخذ الجذر الرابع للطرفين بوجود أس زوجي ينتج عنه قيمتان محتملتان ومختلفتان للمتغير س.

القيمة الأولى المحتملة للمتغير س هي ثلاثة موجبة، والقيمة الثانية المحتملة للمتغير س هي ثلاثة سالبة، وتُكتب اختصاراً $٣\pm = س$

نقوم الآن باختبار ومقارنة الحالة الأولى: إذا افترضنا أن قيمة المتغير س تساوي ثلاثة موجبة.

في هذه الحالة، ستكون القيمة الأولى مساوية للعدد ثلاثة، والقيمة الثانية معطاة مسبقاً بأنها ثلاثة، وبالتالي تكون القيمتان متساويتين تماماً.

نقوم باختبار ومقارنة الحالة الثانية: إذا افترضنا أن قيمة المتغير س تساوي ثلاثة سالبة أي $٣- = س$

في هذه الحالة، ستكون القيمة الأولى مساوية للعدد ثلاثة سالب، والقيمة الثانية معطاة مسبقاً بأنها ثلاثة، وهنا نجد أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى بوضوح.

بسبب تباين نتائج المقارنة واختلافها جذرياً باختلاف القيمة المفترضة للمتغير س، فلا يمكن الجزم بعلاقة ثابتة أو مسار واحد.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستدلال المنطقي للأسس الزوجية وتحديد نطاق المتغيرات الجبرية.

عندما يُعطى متغير رياضي مرفوع لأس زوجي ويساوي قيمة ثابتة وموجبة، مثل المعادلة ${٨١} = {}^{٤}س$، فإن هذا المتغير لا يكون مقيداً بإشارة واحدة حصرية.

المتغير في هذه الحالة يحمل في طياته النطاق الموجب والنطاق السالب معاً، لأنه سواء أكان الأساس موجباً أم سالباً فإن عملية الرفع لأس زوجي ستلغي الإشارة السالبة حتماً.

في المقابل، القيمة الثانية في المقارنة هي قيمة ثابتة ومحددة وإشارتها موجبة دائماً وهي العدد ثلاثة.

مقارنة متغير عائم يحتمل أن يكون سالباً أو موجباً مع عدد ثابت موجب يؤدي حتماً إلى عدم استقرار في نتيجة المقارنة النهائية.

الافتقار إلى شرط إضافي في نص السؤال يحدد نطاق المتغير س بدقة (كأن يُشترط مثلاً أنه عدد طبيعي أو عدد موجب أكبر من الصفر) يجعل تحديد الأكبر أو الأصغر مستحيلاً رياضياً.

والإجابة هي المعطيات غير كافية

تكنيك ١: التحليل إلى العوامل الأولية

المفهوم الرياضي: حل المعادلات الأسية من خلال توحيد الأساسات لكلا الطرفين.

الهدف هو إيجاد قيمة المتغير في المعادلة الأسية المعطاة.

المعادلة الأصلية هي: $٣٤٣ = {}^{٣}س$.

نبدأ بتحليل العدد الموجود في الطرف الأيمن بصرياً إلى عوامله الأولية.

العدد هو $٣٤٣$.

بالقسمة التكرارية نجد أن: $٣٤٣ = {٧} \times {٧} \times {٧}$.

إذاً يمكن كتابته بالصيغة الأسية كالتالي: $٣٤٣ = {}^{٣}٧$.

نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة الأصلية في نفس الطرف الذي كان به.

المعادلة تصبح: ${}^{٣}٧ = {}^{٣}س$.

تنص القاعدة الرياضية على أنه إذا تساوت الأسس الفردية، فإن الأساسات يجب أن تكون متساوية بالضرورة.

بما أن الأس في الطرفين هو $٣$، نستنتج المساواة بين الأساسين.

بالتالي نستنتج قيمة المتغير: $٧ = س$.

والإجابة هي $٧$.

تكنيك ٢: أخذ الجذر التكعيبي للطرفين

المفهوم الرياضي: استخدام العمليات العكسية للتخلص من الأسس وحل المعادلة.

لدينا المعادلة الأسية: $٣٤٣ = {}^{٣}س$.

للتخلص من الأس التكعيبي للمتغير، نقوم بأخذ الجذر التكعيبي لكلا الطرفين.

يصبح الطرف الأيسر بصرياً: ${\sqrt{{}^{٣}س}}{}^{٣}$.

ويصبح الطرف الأيمن بصرياً: ${\sqrt{٣٤٣}}{}^{٣}$.

المعادلة بعد إدخال الجذور: ${\sqrt{٣٤٣}}{}^{٣} = {\sqrt{{}^{٣}س}}{}^{٣}$.

الجذر التكعيبي للمتغير المكعب يلغي الأس ليعطي المتغير مجرداً: $س$.

ونعلم من حفظ مربعات ومكعبات الأعداد أن: $٧ = {\sqrt{٣٤٣}}{}^{٣}$.

نعوض بالنتائج في المعادلة.

بالتالي نحصل على القيمة: $٧ = س$.

والإجابة هي $٧$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التقدير الرياضي وتفكيك الأسس لتبسيط المقارنة بين الأعداد الكبيرة جداً.

ننظر للقيمة الأولى المعطاة وهي ${}^{٦٠}٢$.

نقوم بتفكيك الأس $٦٠$ إلى حاصل ضرب $١٠ \times ٦$ للاستفادة من القيم المحفوظة لقوى العدد $٢$.

${}^{٦ \times ١٠}٢ = {}^{٦٠}٢$

نطبق قانون قوة القوة لفصل الأسس.

${}^{٦}({}^{١٠}٢) = {}^{٦ \times ١٠}٢$

نعلم من أساسيات القدرات أن المقدار ${}^{١٠}٢$ يساوي تقريباً $١٠٠٠$ (تحديداً $١٠٢٤$).

نعوض بهذه القيمة التقريبية في تعبير القيمة الأولى.

${}^{٦}١٠٠٠ \approx {}^{٦}(١٠٢٤)$

نحسب القيمة الثانية بصورة مباشرة وبسيطة.

$٩٠٠ = {٣٠} \times {٣٠} = {}^{٢}٣٠$

نقارن بين ${}^{٦}١٠٠٠$ و $٩٠٠$.

القيمة الأولى تمثل مليار المليار تقريباً، بينما القيمة الثانية لا تتجاوز الألف.

بكل تأكيد القيمة الأولى أكبر بكثير جداً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تفكيك الأساسات وتصغير الأسس لتسهيل المقارنة المباشرة.

نأخذ القيمة الأولى ونقوم بتصغير أسها عن طريق حساب جزء منه.

نفكك الأس $٦٠$ إلى $٦ \times ١٠$.

${}^{١٠}({}^{٦}٢) = {}^{٦٠}٢$

نحسب القيمة العددية لـ ${}^{٦}٢$ وهي تساوي $٦٤$.

تصبح القيمة الأولى مساوية للمقدار ${}^{١٠}٦٤$.

ننظر إلى القيمة الثانية وهي ${}^{٢}٣٠$.

بالمقارنة البصرية المباشرة، الأساس في القيمة الأولى ($٦٤$) أكبر من الأساس في القيمة الثانية ($٣٠$).

وكذلك الأس في القيمة الأولى ($١٠$) أكبر من الأس في القيمة الثانية ($٢$).

بما أن الأساس والأس في القيمة الأولى كلاهما أكبر من نظيريهما في القيمة الثانية، فإن النتيجة محسومة.

القيمة الأولى أكبر قطعياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: التعويض المباشر بقيمة المتغير

المفهوم الرياضي: استبدال المتغير بقيمته العددية المعطاة لحساب قيمة كل مقدار على حدة والمقارنة بينهما.

أعطانا السؤال معطى ثابتاً وهو: $٢ = س$.

نبدأ بالقيمة الأولى المعطاة للمقارنة.

القيمة الأولى هي: ${}^{س}٤$.

نقوم بتعويض قيمة المتغير في القيمة الأولى.

بعد التعويض تصبح القيمة بصيغتها العددية: ${}^{٢}٤$.

نحسب الناتج بضرب العدد في نفسه: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

الناتج النهائي للقيمة الأولى هو: $١٦ = {}^{٢}٤$.

ننتقل الآن إلى القيمة الثانية المعطاة.

القيمة الثانية هي: ${}^{٣ + س}٢$.

نقوم بتعويض قيمة المتغير في أس القيمة الثانية.

بعد التعويض يصبح التعبير: ${}^{٣ + ٢}٢$.

نبدأ بحساب العملية الحسابية في الأس أولاً: $٥ = {٢} + {٣}$.

تصبح القيمة الثانية بعد تبسيط الأس: ${}^{٥}٢$.

نحسب الناتج بضرب العدد $٢$ في نفسه خمس مرات: $٣٢ = {٢} \times {٢} \times {٢} \times {٢} \times {٢}$.

الناتج النهائي للقيمة الثانية هو: $٣٢ = {}^{٥}٢$.

الآن نقارن جبرياً بين النتيجتين النهائيتين: $١٦$ و $٣٢$.

نلاحظ أن العدد $٣٢$ أكبر من $١٦$.

المقارنة بصيغة رياضية: $١٦ < ٣٢$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: توحيد الأساسات قبل التعويض الجبري

المفهوم الرياضي: تبسيط التعابير الأسية لجعلها تشترك في نفس الأساس، مما يسهل المقارنة السريعة.

المعطى الأساسي هو: $٢ = س$.

القيمة الأولى هي: ${}^{س}٤$.

يمكننا تحليل الأساس $٤$ ليصبح قوة للعدد $٢$.

نعلم أن: $٤ = {}^{٢}٢$.

نعوض بهذه الصيغة في القيمة الأولى: ${}^{س}({}^{٢}٢)$.

بتطبيق قانون قوة القوة (ضرب الأسس)، تصبح القيمة الأولى: ${}^{س٢}٢$.

القيمة الثانية معطاة جاهزة بأساس $٢$ وهي: ${}^{٣ + س}٢$.

الآن نعوض بقيمة المتغير في كلا القيمتين المبسطتين.

القيمة الأولى بعد التعويض: ${}^{(٢)٢}٢ = {}^{٤}٢$.

القيمة الثانية بعد التعويض: ${}^{٣ + ٢}٢ = {}^{٥}٢$.

بما أن الأساسات متساوية (الأساس $٢$ وهو عدد موجب أكبر من $١$)، فإن القيمة الأكبر هي التي تملك الأس الأكبر.

نقارن الأسس: $٥ > ٤$.

وبالتالي فإن القيمة الثانية أكبر بالضرورة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام التحليل باستخراج العامل المشترك لتبسيط القيمة الأولى ومقارنتها مباشرة.

نبدأ بتبسيط القيمة الأولى والتي تتكون من جمع حدين أسّيين يحملان نفس الأساس.

نستخرج العامل المشترك الأصغر من الحدين لتبسيط التعبير، وهو ${}^{٣}٤$.

نقسم الحد الأول (الأيمن بصرياً) على العامل المشترك لتبسيطه: ${}^{١}٤ = {}^{٣}٤ \div {}^{٤}٤$.

نقسم الحد الثاني (الأيسر بصرياً) على العامل المشترك لنفس الأساس: $١ = {}^{٣}٤ \div {}^{٣}٤$.

نصيغ القيمة الأولى بعد عملية التحليل الجبري: $({١} + {}^{١}٤) \times {}^{٣}٤$.

نجمع القيم العددية الموجودة داخل القوس المضروب: $٥ = {١} + {٤}$.

تصبح القيمة الأولى بعد التبسيط النهائي مكتوبة كحاصل ضرب: $٥ \times {}^{٣}٤$.

نقارن الآن بين القيمة الأولى المبسطة والقيمة الثانية المعطاة في المعطيات الأصلية للسؤال.

نجد أن القيمة الأولى تساوي $٥ \times {}^{٣}٤$ وأن القيمة الثانية تساوي $٥ \times {}^{٣}٤$.

نستنتج أن التعبيرين متطابقان تماماً من الناحية الرياضية والقيمة العددية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: فك الأسس بشكل مباشر وحساب القيم العددية النهائية لكل طرف لتنفيذ مقارنة مطلقة.

نبدأ بحساب القيمة الأولى خطوة بخطوة بفك الأسس المعطاة.

نحسب قيمة الحد الأول: $٢٥٦ = {}^{٤}٤$.

نحسب قيمة الحد الثاني: $٦٤ = {}^{٣}٤$.

نجمع النواتج العددية للقيمة الأولى بالكامل: $٣٢٠ = {٦٤} + {٢٥٦}$.

ننتقل لحساب القيمة الثانية المكونة من حاصل ضرب عدد صحيح في قيمة أسية.

نفك الأس في القيمة الثانية أولاً: $٦٤ = {}^{٣}٤$.

نضرب الناتج المباشر في العدد المرفق به: $٣٢٠ = {٦٤} \times {٥}$.

نجري المقارنة العددية بين الناتجين النهائيين: $٣٢٠$ للقيمة الأولى مقابل $٣٢٠$ للقيمة الثانية.

يتضح من خلال هذه المقارنة الصريحة تطابق النواتج.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: استخدام قوانين الأسس في القسمة وقوة القوة

المفهوم الرياضي: عند رفع عدد لأس ثم لأس آخر، نضرب الأسس. وفي حالة قسمة الأساسات المتشابهة، نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

نبدأ بكتابة المقدار المعطى: ${}^{٧}٧ \div {}^{٢}({}^{١٨}٧)$

نلاحظ أن الحد الأيمن (المقسوم) يحتوي على قوة مرفوعة لقوة: ${}^{٢}({}^{١٨}٧)$

نطبق قانون قوة القوة بضرب الأس الداخلي في الخارجي: ${٣٦} = {٢} \times {١٨}$

يصبح الحد الأيمن بعد التبسيط: ${}^{٣٦}٧$

نعيد كتابة المقدار كاملاً لتبسيط القسمة: ${}^{٧}٧ \div {}^{٣٦}٧$

بما أن الأساسات متشابهة (الأساس ٧)، نطبق قانون طرح الأسس في القسمة.

نطرح أس المقسوم عليه (٧) من أس المقسوم (٣٦): ${٢٩} = {٧} – {٣٦}$

نضع الناتج كـ أس للأساس ٧ لنحصل على القيمة النهائية: ${}^{٢٩}٧$

والإجابة هي ${}^{٢٩}٧$

تكنيك ١: ترتيب العمليات الحسابية

المفهوم الرياضي: تطبيق قاعدة ترتيب العمليات الحسابية، حيث تُنفذ العمليات داخل الأقواس أولاً، تليها الأسس والجذور، ثم الضرب والقسمة، وأخيراً الجمع والطرح من اليمين إلى اليسار.

نستخرج المعادلة من نص السؤال للبدء في حلها خطوة بخطوة.

المعادلة${(٤ \times ٢)} – {١٦} – {{}^{٢}٨} = $

نبدأ أولاً بحساب القيمة المرفوعة لأس؛ ثمانية أس اثنين تعني ضرب ثمانية في نفسها.

${٦٤} = {٨} \times {٨} = {{}^{٢}٨}$

ثانياً، نقوم بحساب العملية الموجودة داخل الأقواس؛ اثنان مضروب في أربعة.

${٨} = {٤} \times {٢}$

نعوض بهذه القيم الجديدة في المعادلة الأصلية، مع الحفاظ على الترتيب المكاني للحدود.

المعادلة${٨} – {١٦} – {٦٤} = $

بما أن العمليات المتبقية هي عمليات طرح متتالية، نقوم بإجرائها من اليمين إلى اليسار كما وردت.

نطرح الحد الثاني (ستة عشر) من الحد الأول (أربعة وستين).

${٤٨} = {١٦} – {٦٤}$

نعوض بهذا الناتج في المعادلة ونستكمل عملية الطرح للحد الثالث.

المعادلة${٨} – {٤٨} = $

نطرح ثمانية من ثمانية وأربعين للوصول إلى النتيجة النهائية.

${٤٠} = {٨} – {٤٨}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١: توحيد الأسس لتطبيق قانون ضرب القوى

المفهوم الرياضي: إذا اختلفت الأساسات، نبحث عن طريقة لتوحيدها أو توحيد الأسس لتبسيط العملية الرياضية.

نكتب المقدار المعطى في السؤال: ${}^{٢}٤ \times {}^{٤}٣$

نلاحظ أن الأساس ٤ يمكن تحليله إلى عوامله الأولية: ${}^{٢}٢ = {٤}$

نعوض بقيمة الأساس ٤ في المقدار الأصلي: ${}^{٢}({}^{٢}٢) \times {}^{٤}٣$

نطبق قانون قوة القوة للأساس ٢ بضرب الأسس: ${}^{٤}٢ = {}^{٢}({}^{٢}٢)$

يصبح المقدار الجديد بعد التبسيط: ${}^{٤}٢ \times {}^{٤}٣$

بما أن الأسس تساوت (وهي ٤)، يمكننا دمج الأساسين تحت أس واحد مضروبين ببعضهما.

نطبق قانون ضرب الأساسات المختلفة ذات الأسس المتشابهة: ${}^{٤}({٢} \times {٣})$

نضرب الأساسات داخل القوس: ${٦} = {٢} \times {٣}$

نرفع الناتج للأس المشترك ليكون الناتج النهائي: ${}^{٤}٦$

والإجابة هي ${}^{٤}٦$

تكنيك ٢: الفك الحسابي المباشر

المفهوم الرياضي: حساب قيمة كل حد بشكل مستقل ثم ضرب النواتج واستنتاج الخيار المطابق.

نحسب القيمة العددية للحد الأول: ${٨١} = {}^{٤}٣$

نحسب القيمة العددية للحد الثاني: ${١٦} = {}^{٢}٤$

نضرب القيمتين: ${١٢٩٦} = {١٦} \times {٨١}$

نختبر الخيارات للبحث عن القيمة المكافئة للرقم ١٢٩٦.

نختبر الخيار ${}^{٤}٦$ بحسابه: ${١٢٩٦} = {٦} \times {٦} \times {٦} \times {٦}$

بما أن الناتج متطابق، فهذا يثبت صحة الخيار.

والإجابة هي ${}^{٤}٦$

المفهوم الرياضي: قسمة القوى ذات الأساسات المتشابهة وطرح الأسس.

المصطلح “نصف العدد” يشير رياضياً إلى عملية قسمة هذا العدد على العدد $٢$.

المقدار المعطى المطلوب إيجاد نصفه هو ${}^{١٠}٢$.

نكتب التعبير الرياضي الذي يمثل عملية القسمة على شكل كسر اعتيادي.

$\dfrac{{}^{١٠}٢}{٢}$

المقام يحتوي على العدد $٢$ منفرداً، وهو رياضياً يعادل الأساس $٢$ مرفوعاً للأس $١$، أي ${}^{١}٢$.

نعيد صياغة الكسر بوضوح لتطبيق قوانين الأسس.

$\dfrac{{}^{١٠}٢}{{}^{١}٢}$

ينص قانون قسمة القوى ذات الأساسات المتطابقة على ضرورة طرح أس المقام من أس البسط.

الأساس ثابت وهو $٢$، ونقوم بطرح الأس $١$ من الأس $١٠$.

${}^{(١ – ١٠)}٢$

ناتج عملية طرح الأسس يساوي $٩$.

الصيغة النهائية للعدد هي أساس $٢$ مرفوع للأس $٩$.

والإجابة هي ${}^{٩}٢$

تكنيك ١: تحويل الجمع المتكرر إلى ضرب

المفهوم الرياضي: الجمع المتكرر لنفس القيمة يمكن تحويله إلى عملية ضرب لتسهيل تطبيق قوانين الأسس.

المعادلة المعطاة: ${}^{٦}٢ + {}^{٦}٢ + {}^{٦}٢ + {}^{٦}٢$

نلاحظ أن الحد ${}^{٦}٢$ يتكرر أربع مرات بعملية جمع.

نحول الجمع إلى ضرب: ${}^{٦}٢ \times ٤$

لإتمام العملية مع الأساس $٢$، يجب تحويل الرقم $٤$ إلى صيغة أسية بأساس $٢$.

نعلم أن $٤$ تساوي ${}^{٢}٢$.

نعوض في المعادلة: ${}^{٦}٢ \times {}^{٢}٢$

في حالة ضرب الأساسات المتشابهة، نقوم بجمع الأسس.

نجمع الأسس: $٨ = {٦} + {٢}$

الناتج النهائي هو الأساس $٢$ مرفوعاً للأس $٨$.

والإجابة هي ${}^{٨}٢$

المفهوم الرياضي: فك القوى الأسية إلى عمليات ضرب متكرر والاختصار المباشر للكسور.

المقدار المطلوب حله هو كسر رياضي يحتوي على أرقام مرفوعة لأسس في كل من بسطه ومقامه.

نبدأ بالتعامل مع بسط الكسر، وهو المقدار ${}^{٢}١٨$.

هذا المقدار يعني رياضياً ضرب العدد $١٨$ في نفسه مرتين.

$١٨ \times ١٨ = {}^{٢}١٨$

ننتقل للتعامل مع مقام الكسر، وهو المقدار ${}^{٣}٣$.

هذا المقدار يعني رياضياً ضرب العدد $٣$ في نفسه ثلاث مرات متتالية.

$٣ \times ٣ \times ٣ = {}^{٣}٣$

نعيد صياغة الكسر الأصلي مستخدمين نواتج الفك التي حصلنا عليها، لتبسيط رؤية العوامل.

$\dfrac{١٨ \times ١٨}{٣ \times ٣ \times ٣}$

لتسهيل الاختصار، نجمع أول عددين في المقام ونضربهم في بعضهما.

ضرب العدد $٣$ في العدد $٣$ يعطينا الناتج $٩$.

يصبح شكل المقام الجديد هو $٣ \times ٩$.

نقوم الآن باختصار العدد $١٨$ الأول المتواجد في البسط بقسمته على العدد $٩$ المتواجد في المقام.

$٢ = \dfrac{١٨}{٩}$

نقوم باختصار العدد $١٨$ الثاني المتواجد في البسط بقسمته على العدد $٣$ المتبقي في المقام.

$٦ = \dfrac{١٨}{٣}$

بهذه العمليات تم اختصار جميع حدود المقام ليصبح مساوياً للرقم $١$.

يتبقى لدينا في البسط فقط نواتج عمليات القسمة، وهي العددان $٦$ و $٢$.

نضرب هذه النواتج المتبقية لاستخراج القيمة العددية النهائية للكسر.

$١٢ = ٦ \times ٢$

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: دراسة سلوك الإشارات المتداخلة، وتأثير الأسس الزوجية والفردية على الإشارة النهائية للحدود الجبرية.

الشرط المعطى في السؤال هو $٠ > س$، وهو إقرار جبري بأن $س$ ينتمي لمجموعة الأعداد السالبة.

نقوم بتفكيك القيمة الأولى خطوة بخطوة للوصول إلى إشارتها النهائية: ${}^{٣}(س-)-$

الخطوة الأولى هي تحليل ما يقع داخل الأقواس مباشرة: $(س-)$

كما استنتجنا أن $س$ سالب، فإن إسباقه بإشارة سالبة يعكسه ليصبح ذا قيمة موجبة تماماً.

الخطوة الثانية هي تقييم تأثير الأس الفردي، وهو $٣$

التعبير الآن هو قيمة موجبة مرفوعة لأس فردي، وقوانين الأسس تؤكد أن الناتج سيظل قيمة موجبة.

الخطوة الثالثة والأخيرة للقيمة الأولى هي النظر للإشارة السالبة الموجودة خارج القوس المرفوع للأس.

نحن الآن نضرب القيمة الموجبة التي نتجت عن الخطوة السابقة في إشارة سالبة خارجية.

موجب مضروب في سالب يعطي ناتجاً سالباً، وبذلك نؤكد أن النتيجة المطلقة للقيمة الأولى هي قيمة سالبة.

نتجه الآن لتقييم القيمة الثانية بدقة: ${}^{٢}س$

نحن نعلم مسبقاً أن المتغير $س$ يحمل إشارة سالبة.

التعبير يرفع هذا المتغير السالب إلى أس زوجي، وهو الرقم $٢$

القاعدة الجبرية الصارمة تفيد بأن أي عدد سالب يُرفع لأس زوجي، تتحول إشارته فوراً إلى قيمة موجبة.

إذاً، النتيجة المطلقة للقيمة الثانية هي قيمة موجبة.

نجري المقارنة النهائية بين الخلاصتين: القيمة الأولى (سالبة) والقيمة الثانية (موجبة).

النتيجة المنطقية الحتمية هي أن القيمة الموجبة تفوق القيمة السالبة دائماً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق بروتوكول التعويض العددي الاستراتيجي باستخدام أعداد صحيحة سالبة لاستخراج النواتج الفعلية للمقارنة.

نستعين برقم افتراضي يتماشى مع شرط السؤال $٠ > س$، ولتكن القيمة المختارة للتعويض هي سالب اثنين.

نعبر عن هذا الفرض رياضياً بـ: $٢- = {س}$

نشرع في تعويض هذا الرقم في القيمة الأولى: ${}^{٣}(س-)-$

نستبدل المتغير بالرقم مع الحفاظ الشديد على الهيكل الجبري للأقواس: ${}^{٣}((٢-)-)-$

نصفي ما بداخل القوس الداخلي أولاً، فسالب في سالب يعطي رقماً موجباً.

التعبير الوسيط يصبح: ${}^{٣}(٢)-$

نحسب قيمة الأس الفردي للرقم اثنين، وهو ثمانية.

نطبق الإشارة السالبة الخارجية على الناتج ليكون المحصلة النهائية للقيمة الأولى: $٨-$

ننتقل للتعويض الحرفي في القيمة الثانية: ${}^{٢}س$

نستبدل المتغير بالرقم الافتراضي مع إحاطته بأقواس لحفظ الإشارة عند الرفع للأس: ${}^{٢}(٢-)$

نطبق قانون الأس الزوجي بضرب العدد في نفسه (سالب اثنين في سالب اثنين).

الناتج النهائي للقيمة الثانية هو رقم موجب: $٤$

نضع النواتج الفعلية في ميزان المقارنة الرياضي: $٨-$ مقابل $٤$

العدد الصحيح الموجب أربعة هو بطبيعة الحال أكبر من العدد الصحيح السالب ثمانية.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: استخدام قوانين ضرب الأساسات المتشابهة لتكوين معادلة خطية

المفهوم الرياضي: عند ضرب أساسات متطابقة جبرياً، نقوم بجمع الأسس ومساواتها بالأس الموجود في الطرف الآخر لاستخراج المجهول.

الطرف الأيسر من المعادلة يحتوي على حاصل ضرب حدين متطابقين: ${}^{س}١٣ \times {}^{س}١٣$

نطبق القاعدة الجبرية بجمع الأسس لنفس الأساس العددي: ${س٢} = {س} + {س}$

الطرف الأيسر المبسط بعد الجمع يصبح التعبير التالي: ${}^{س٢}١٣$

نساوي الطرف الأيسر المبسط بالطرف الأيمن للمعادلة الأصلية للحفاظ على التوازن.

${}^{١٤}١٣ = {}^{س٢}١٣$

بما أن الأساسات متساوية (كلاهما يمثل العدد ثلاثة عشر)، فإن الأسس العلوية يجب أن تكون متساوية بالضرورة المنطقية.

نستنتج من ذلك المعادلة الجبرية الخطية البسيطة: ${١٤} = {س٢}$

نقسم كلا الطرفين بشكل متساوٍ على معامل المتغير المستقل وهو العدد اثنان.

${٧} = {٢} \div {١٤} = {س}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ٢: تحويل مسار الضرب إلى قوة القوة وأخذ الجذر التربيعي

المفهوم الرياضي: القيمة الجبرية المضروبة في نفسها تكافئ بشكل مباشر نفس القيمة مرفوعة للأس الثاني، مما يسمح باستخدام الجذور للتبسيط.

المقدار ${}^{س}١٣ \times {}^{س}١٣$ هو عبارة عن قيمة عددية مضروبة في نفسها مرتين متتاليتين.

نعبر عنها جبرياً كقوة تربيعية معزولة: ${}^{٢}({}^{س}١٣)$

تتم إعادة صياغة المعادلة بمساواة الأطراف لتصبح: ${}^{١٤}١٣ = {}^{٢}({}^{س}١٣)$

للتخلص من قوة التربيع المتكونة في الطرف الأيسر، نأخذ الجذر التربيعي بشكل متزامن لكلا الطرفين.

الجذر التربيعي للطرف الأيسر يلغي الأس الثاني الخارجي ليصبح الحد صافياً: ${}^{س}١٣$

الجذر التربيعي للطرف الأيمن يعني رياضياً قسمة الأس الأساسي على العدد اثنان: ${}^{٧}١٣ = {}^{٢ \div ١٤}١٣ = {\sqrt{{}^{١٤}١٣}}$

تصبح المعادلة المستقرة بعد أخذ الجذور للطرفين: ${}^{٧}١٣ = {}^{س}١٣$

الأساسات العددية متطابقة، إذن تتطابق الأسس المجهولة طردياً.

${٧} = {س}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ١: تطبيق قانون قوة القوة للأسس الجذرية

المفهوم الرياضي: عند رفع عدد ذي أس إلى أس آخر، نقوم بضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي.

المقدار المعطى بناءً على التعديل هو ${}^{{\sqrt{٣}}}({}^{{\sqrt{٣}}}{\sqrt{٣}})$

نبدأ بضرب الأس الداخلي وهو ${\sqrt{٣}}$ في الأس الخارجي وهو ${\sqrt{٣}}$

حاصل ضرب الجذر التربيعي لثلاثة في نفسه يعطينا ما بداخل الجذر وهو العدد الصحيح ${٣}$

نعوض بهذا الناتج كأس جديد للأساس ليصبح المقدار المبسط ${}^{٣}({\sqrt{٣}})$

نقوم بفك هذا المقدار عن طريق ضرب الجذر التربيعي لثلاثة في نفسه ثلاث مرات متتالية.

ضرب الجذر في نفسه مرتين يعطينا العدد الصحيح ${٣}$

نضرب هذا العدد الصحيح في الجذر الثالث المتبقي ليكون الناتج النهائي ${\sqrt{٣}}٣$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٣$

تكنيك ١: استخدام قوانين ضرب الأسس وقوة القوة

المفهوم الرياضي: عند ضرب الأساسات المتشابهة نجمع الأسس، وعند رفع قوة لقوة أخرى نضرب الأسس، وإذا تساوت الأساسات تساوت الأسس.

نبدأ بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة: ${}^{٩}س \times {}^{٩}س \times {}^{٩}س \times {}^{٩}س$

نجمع الأسس للأساس س المتكرر أربع مرات: ${٣٦} = {٩} + {٩} + {٩} + {٩}$

يصبح الطرف الأيسر للمعادلة: ${}^{٣٦}س$

ننتقل لتبسيط الطرف الأيمن للمعادلة المرفوع لقوة: ${}^{ص}({}^{٩}س)$

نطبق قانون قوة القوة بضرب الأس الداخلي بالخارجي: ${}^{ص٩}س$

نساوي الطرفين بعد التبسيط: ${}^{٣٦}س = {}^{ص٩}س$

بما أن الأساسات (س) متساوية، فإن الأسس متساوية أيضاً: ${٣٦} = {ص٩}$

نقسم الطرفين على ٩ لإيجاد قيمة ص: ${٤} = {٩} \div {٣٦}$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢: التجربة والتعويض العكسي من الخيارات

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المعطاة مكان المتغير للوصول إلى تطابق بين طرفي المعادلة.

نبسط الطرف الأيمن أولاً لمعرفة القيمة المستهدفة: ${}^{٣٦}س = {}^{٩}س \times {}^{٩}س \times {}^{٩}س \times {}^{٩}س$

نعوض بالخيار الأول (٤) مكان ص في الطرف الأيسر: ${}^{٤}({}^{٩}س)$

نضرب الأسس: ${}^{٣٦}س = {}^{٤}({}^{٩}س)$

نلاحظ أن الطرف الأيسر ساوى الطرف الأيمن تماماً، مما يثبت صحة الخيار.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد الأساسات واستخدام قوانين ضرب الأسس.

المعادلة الأصلية تتكون من حدين مضروبين

${}^{٩-}١٠ \times {}^{٤-}(\dfrac{١}{١٠})$

نتعامل مع الحد الأول ونقلب الكسر لتحويل أسه السالب إلى موجب

${}^{٤}١٠ = {}^{٤}(\dfrac{١٠}{١}) = {}^{٤-}(\dfrac{١}{١٠})$

نعوض بالقيمة المبسطة في المعادلة الأصلية

${}^{٩-}١٠ \times {}^{٤}١٠$

عند ضرب الأساسات المتشابهة نقوم بجمع الأسس بشكل جبري

نجمع الأس أربعة مع الأس سالب تسعة

$٥- = ٩ – ٤$

نضع الناتج النهائي للجمع كأس للأساس عشرة

${}^{٥-}١٠$

والإجابة هي ${}^{٥-}١٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل الأساسات إلى كسور لتوحيد أشكال الحدود قبل الضرب.

المعادلة تحتوي على كسر مرفوع لأس وعدد صحيح مرفوع لأس

${}^{٩-}١٠ \times {}^{٤-}(\dfrac{١}{١٠})$

في الحد الأول نوزع الأس السالب على البسط والمقام بشكل مستقل

$\dfrac{{}^{٤-}١}{{}^{٤-}١٠} = {}^{٤-}(\dfrac{١}{١٠})$

العدد واحد مرفوع لأي أس يساوي واحدا

$\dfrac{١}{{}^{٤-}١٠}$

نرفع المقام للبسط ليكون الأس موجبا

${}^{٤}١٠ = \dfrac{١}{{}^{٤-}١٠}$

نحول الحد الثاني إلى كسر ليكون أسه موجبا بإنزاله للمقام

$\dfrac{١}{{}^{٩}١٠} = {}^{٩-}١٠$

نضرب الحدين بعد التبسيط الجذري لهما

$\dfrac{١}{{}^{٩}١٠} \times {}^{٤}١٠$

نضرب العدد في بسط الكسر لدمجهما

$\dfrac{{}^{٤}١٠}{{}^{٩}١٠}$

في عملية القسمة للأساسات المتشابهة نطرح أس المقام من أس البسط

$٥- = ٩ – ٤$

الناتج النهائي للطرح يمثل الأس الجديد للأساس عشرة

${}^{٥-}١٠$

والإجابة هي ${}^{٥-}١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون ضرب القوى ذات الأساسات المتشابهة.

في عمليات الضرب التي تتشابه فيها الأساسات بشكل كلي، نقوم بجمع الأسس مع الاحتفاظ بنفس الأساس.

الأساس المتوفر لدينا هو الرقم أربعة، وهو متكرر في عملية الضرب أربع مرات.

نجمع الأسس الأربعة معاً: ستة زائد ستة زائد ستة زائد ستة يساوي أربعة وعشرين.

ينتج لدينا الأساس أربعة مرفوعاً للأس أربعة وعشرين، أي ${}^{٢٤}٤ = {}^{٦}٤ \times {}^{٦}٤ \times {}^{٦}٤ \times {}^{٦}٤$.

نلاحظ أن هذه القيمة الناتجة غير موجودة بشكل مباشر في الخيارات المعطاة، لذا نحتاج لتبسيط الأساس.

الأساس أربعة عبارة عن الرقم اثنان مرفوع للأس اثنان، أي ${}^{٢}٢ = ٤$.

نعوض عن الأساس أربعة بقيمته الجديدة مع الاحتفاظ بالأس الخارجي كما هو.

${}^{٢٤}({}^{٢}٢) = {}^{٢٤}٤$

نضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي: اثنان ضرب أربعة وعشرين يساوي ثمانية وأربعين.

النتيجة النهائية هي الأساس اثنان مرفوعاً للأس ثمانية وأربعين.

والإجابة هي ${}^{٤٨}٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل الأساسات إلى عواملها الأولية قبل إجراء عملية الضرب.

نبدأ بتبسيط الأساس أربعة في كل حد من الحدود المضروبة إلى الرقم اثنان أُس اثنان لتسهيل العمليات.

الحد الواحد هو الرقم أربعة أُس ستة، ويصبح بعد التبسيط الرقم اثنان أُس اثنان الكل أُس ستة.

نطبق قانون الأسس لنحصل على الرقم اثنان أُس اثنا عشر لكل حد مفرد، أي ${}^{١٢}٢ = {}^{٦}({}^{٢}٢) = {}^{٦}٤$.

نستبدل كل حد موجود في المعادلة الأصلية بقيمته الجديدة المكونة من الأساس اثنان.

${}^{١٢}٢ \times {}^{١٢}٢ \times {}^{١٢}٢ \times {}^{١٢}٢$

الآن لدينا أساسات متشابهة وموحدة وهي الرقم اثنان، وتربط بينها عملية ضرب متكررة.

نقوم بجمع الأسس: الرقم اثنا عشر مكرر أربع مرات ومجموعه الكلي يساوي ثمانية وأربعين.

الناتج هو الأساس اثنان مرفوعاً للأس ثمانية وأربعين.

والإجابة هي ${}^{٤٨}٢$