اختبار: الدائرة

التكنيك الأول: الحل الجبري باستخدام المعادلات

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة تعبر عن العلاقة بين طول وعرض المستطيل ومساحته، ثم ربط العرض بنصف قطر الدائرة.

ينص قانون مساحة المستطيل على: المساحة = $ل\times ع$

نفرض أن عرض المستطيل هو المتغير $س$

بما أن طول المستطيل يساوي أربعة أمثال عرضه، فإن الطول يساوي $س٤$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة $٣٦$ في القانون:

$٣٦ = {س٤} \times {س}$

$٣٦ = {}^{٢}س٤$

نقسم طرفي المعادلة على $٤$ لإيجاد قيمة ${}^{٢}س$:

$٩ = {٤} \div {٣٦}$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة $س$:

$٣ = {\sqrt{٩}}$

إذن، عرض المستطيل يساوي $٣$

من خلال الشكل الهندسي، نلاحظ أن عرض المستطيل يمثل بالضبط نصف قطر الدائرة $نق$.

المطلوب في السؤال هو قطر الدائرة كاملاً، وقانون القطر هو: القطر = $نق \times ٢$

نعوض بقيمة نصف القطر:

$٦ = {٢} \times {٣}$

والإجابة هي $٦$

التكنيك الثاني: التجربة والتخمين المنطقي

المفهوم الرياضي: البحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي المساحة المعطاة وأحدهما يمثل أربعة أمثال الآخر.

نبحث عن عوامل العدد $٣٦$ والتي تمثل الطول والعرض المحتملين.

نجرب العوامل: $١ \times ٣٦$، $٢ \times ١٨$، $٣ \times ١٢$، $٤ \times ٩$، $٦ \times ٦$

الشرط في السؤال ينص على أن الطول يجب أن يكون أربعة أمثال العرض.

نختبر الزوج $١٢$ و $٣$

هل العدد $١٢$ يساوي أربعة أمثال العدد $٣$؟ نعم، لأن $١٢ = {٤} \times {٣}$

وهل حاصل ضربهما يعطي المساحة؟ نعم، لأن $٣٦ = {١٢} \times {٣}$

إذن، العرض يساوي $٣$ والطول يساوي $١٢$

بالتأمل في الرسم البياني، نجد أن عرض المستطيل يتطابق هندسياً مع نصف قطر الدائرة المتصل بالمركز $م$.

وبالتالي نصف القطر يساوي $٣$

لإيجاد القطر نضاعف نصف القطر:

$٦ = {٣} + {٣}$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١: التحليل البصري واستخدام خاصية التماثل الدائري.

المفهوم الرياضي: نسبة الجزء المظلل إلى الكل تساوي مجموع مساحات الأجزاء المظللة مقسوماً على المساحة الكلية للدائرة.

من خلال الفحص البصري الدقيق، نلاحظ أن الدائرة مقسمة إلى نصفين متطابقين بواسطة خط رأسي يمر بالمركز.

كما نلاحظ وجود خطوط أفقية متوازية تقسم الدائرة إلى شرائح عرضية متماثلة على الجانبين.

نبدأ بتحليل النصف الأيسر، ونجد أنه يحتوي على ثلاث قطع مظللة وقطعتين بيضاويتين.

ننتقل لتحليل النصف الأيمن، ونجد أنه يحتوي على قطعتين مظللتين وثلاث قطع بيضاء.

بناءً على التماثل الهندسي للدائرة، كل قطعة مظللة في النصف الأيمن لها قطعة بيضاء مطابقة لها تماماً في المساحة في النصف الأيسر.

لو تخيلنا نقل القطع المظللة من النصف الأيمن ووضعناها في الفراغات البيضاء المطابقة لها في النصف الأيسر.

سنجد أن النصف الأيسر من الدائرة أصبح مظللاً بالكامل، بينما أصبح النصف الأيمن فارغاً تماماً.

هذا يعني أن إجمالي مساحة الأجزاء المظللة يعادل بالضبط مساحة نصف الدائرة الكلية.

لحساب النسبة المطلوبة، نقسم مساحة النصف المظلل على المساحة الكلية.

النسبة تساوي واحد على اثنان.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٢}$

تكنيك ٢: الحساب الكسري لمجموع الأجزاء المتطابقة.

المفهوم الرياضي: إيجاد النسبة من خلال عد الأجزاء المتطابقة وحساب الكسر الممثل لها.

الشكل الهندسي مقسم بواسطة الخطوط الأفقية والرأسية إلى $١٠$ قطع متناظرة وموزعة بالتساوي.

كل قطعة في الجهة اليمنى لها نظير مطابق في الجهة اليسرى يشكلان معاً شريطاً أفقياً.

نقوم بإحصاء إجمالي القطع المظللة في كلا النصفين.

يوجد $٣$ قطع مظللة في اليسار و $٢$ قطع مظللة في اليمين.

مجموع القطع المظللة يساوي $٥$ قطع من أصل الإجمالي.

بما أن الإجمالي الكلي للقطع المتناظرة هو $١٠$ قطع.

نقوم بتكوين الكسر بوضع المجموع المظلل في البسط والإجمالي في المقام.

النسبة تمثل قسمة $٥$ على $١٠$.

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو $٥$.

الناتج النهائي بعد التبسيط يمثل النصف.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٢}$

التكنيك الأول: استخدام نظرية فيثاغورس بشكل مباشر لحساب طول الوتر

المفهوم الرياضي: في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي دائما مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين للقائمة.

من خلال الفحص والتحليل البصري للمعطيات الهندسية في الدائرة، نلاحظ تشكل مثلث قائم الزاوية متطابق الضلعين من المركز.

كل ضلع من ضلعي الزاوية القائمة يمثل نصف القطر في هذه الدائرة المعطاة.

القيمة المعطاة لطول نصف القطر هي العدد ٢، مما يعني أن طولي ضلعي القائمة هما ٢ و ٢.

القانون الرياضي: مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.

نقوم بتعويض الأطوال في المعادلة الجبرية لنظرية فيثاغورس، ونرمز للوتر بالمتغير س.

${}^{٢}س = {{}^{٢}٢} + {{}^{٢}٢}$

نقوم بفك الأسس الاستباقية المعزولة بتربيع العدد ٢.

${}^{٢}س = {٤} + {٤}$

نجمع القيمتين في الطرف الأيمن ونضع الناتج في أقصى اليسار.

$٨ = {}^{٢}س$

لإيجاد طول الوتر المجهول، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين.

${\sqrt{٨}} = س$

نقوم بتبسيط الجذر الرياضي بتحليل العدد الثمانية إلى حاصل ضرب مربع كامل في عدد آخر.

${\sqrt{{٢} \times {٤}}} = س$

بما أن الجذر التربيعي للعدد ٤ هو ٢، نستخرجه كمعامل يوضع في يمين الجذر هندسيا.

${\sqrt{٢}}٢ = س$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٢$

التكنيك الثاني: استنتاج الأطوال عبر خصائص المثلث القائم متطابق الضلعين

المفهوم الرياضي: في المثلث القائم الزاوية ومتطابق الضلعين (زواياه ٤٥-٤٥-٩٠)، يكون طول الوتر مساويا لطول الضلع مضروبا في جذر ٢.

نحدد الأضلاع المعطاة، حيث أن ضلعي القائمة هما أنصاف أقطار الدائرة.

القانون الرياضي: طول الوتر = طول نصف القطر مضروبا في الجذر التربيعي للعدد ٢.

طول نصف القطر المعطى هندسيا يبلغ ٢.

نقوم بعملية التعويض المباشر في القانون المذكور بضرب القيمة في جذر ٢.

طول الوتر = ${\sqrt{٢}} \times {٢}$

لضمان صحة التموضع المكاني، ندمج المعامل مع الجذر ليصبح المعامل في الجهة اليمنى.

الناتج النهائي = ${\sqrt{٢}}٢$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج مساحة الدائرة الصغيرة بناءً على المعطيات الهندسية المرتبطة بالدائرة الكبيرة.

نلاحظ من المعطيات المرفقة في الشكل الهندسي أن نصف قطر الدائرة الكبيرة يعادل قطر الدائرة الصغيرة بالكامل.

تشير الأبعاد المعطاة إلى أن قطر الدائرة الصغيرة يبلغ $٨$ سم.

لإيجاد مساحة الدائرة الصغيرة، يجب علينا أولاً حساب طول نصف قطرها.

نصف قطر الدائرة الصغيرة يساوي القطر مقسوماً على $٢$.

$٤ = {٢} \div {٨}$

إذن نصف قطر الدائرة الصغيرة يبلغ $٤$ سم.

قانون مساحة الدائرة ينص على أن المساحة تساوي ط مضروبة في مربع نصف القطر.

نعوض بقيمة نصف القطر المستخرجة في قانون المساحة.

المساحة تساوي ${}^{٢}({٤}) \times {ط}$.

مربع العدد $٤$ يساوي $١٦$.

$١٦ = {}^{٢}({٤})$

بالتالي مساحة الدائرة الصغيرة تساوي $ط١٦$.

والإجابة هي $ط١٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الدائرة باستخدام طول القطر بشكل مباشر.

وفقاً للتحليل الهندسي للشكل، قطر الدائرة الصغيرة يساوي $٨$ سم.

يمكننا حساب مساحة الدائرة مباشرة باستخدام قانون المساحة بدلالة القطر: المساحة تساوي مربع القطر مقسوماً على $٤$ ومضروباً في ط.

نبدأ بتربيع قيمة القطر المعطى.

$٦٤ = {}^{٢}({٨})$

نقسم مربع القطر على $٤$ حسب متطلبات القانون.

$١٦ = {٤} \div {٦٤}$

نضرب الناتج النهائي في المتغير ط.

المساحة تساوي $ط١٦$.

والإجابة هي $ط١٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة القطاع الدائري تتناسب طردياً مع زاويته المركزية، والزاوية الكلية للدائرة تساوي ثلاثمائة وستون درجة.

نستخرج من المعطيات البصرية أن الأجزاء غير المظللة تتكون من ثلاثة قطاعات متساوية.

زاوية كل قطاع غير مظلل تساوي تسعون درجة كما هو موضح بالشكل.

نحسب مجموع زوايا القطاعات غير المظللة بضرب تسعون في ثلاثة.

$٢٧٠ = {٣} \times {٩٠}$

نحسب زاوية الجزء المظلل المكملة بطرح مجموع الزوايا غير المظللة من الزاوية الكلية للدائرة.

$٩٠ = {٢٧٠} – {٣٦٠}$

نستنتج أن القطاع المظلل يمثل ربع الدائرة لأن تسعون تمثل ربع الثلاثمائة وستون.

نكتب قانون مساحة الدائرة وهو مربع نصف القطر مضروباً في ط.

نعوض بقيمة نصف القطر المعطاة وهي أربعة في القانون لإيجاد المساحة الكلية.

$ط١٦ = {}^{٢}٤ \times {ط}$

نحسب مساحة الجزء المظلل بقسمة المساحة الكلية على أربعة.

$ط٤ = {٤} \div {ط١٦}$

والإجابة هي $ط٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المساحات الجزئية وطرحها من المساحة الكلية.

نحسب المساحة الكلية للدائرة أولاً باستخدام قانون المساحة.

$ط١٦ = {}^{٢}٤ \times {ط}$

نلاحظ أن كل قطاع زاويته تسعون درجة يمثل ربع مساحة الدائرة.

مساحة القطاع الواحد غير المظلل تساوي ربع المساحة الكلية.

$ط٤ = {٤} \div {ط١٦}$

بما أن لدينا ثلاثة قطاعات غير مظللة، نضرب مساحة القطاع الواحد في ثلاثة.

$ط١٢ = {٣} \times {ط٤}$

نطرح مساحة الأجزاء غير المظللة من المساحة الكلية للدائرة للحصول على مساحة الجزء المظلل.

$ط٤ = {ط١٢} – {ط١٦}$

والإجابة هي $ط٤$

تكنيك ١: الحل الجبري بخطوات مفصلة لحساب نصف القطر

المفهوم الرياضي: استخدام قانون مساحة الدائرة لإيجاد طول نصف القطر بدقة، ثم التعويض به في قانون المحيط لاستخراج القيمة المطلوبة.

نبدأ بكتابة قانون مساحة الدائرة الأساسي.

مساحة الدائرة = $ط \times {}^{٢}ر$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة في السؤال وهي ثلاثمائة وأربعة عشر، ونعوض عن الثابت ط بقيمته التقريبية.

${٣١٤} = {}^{٢}ر \times {٣،١٤}$

لقسمة الطرفين على العدد العشري واستخراج مربع نصف القطر، نقسم القيمة الكلية على الثابت ط.

${}^{٢}ر = \dfrac{٣١٤}{٣،١٤}$

لتبسيط عملية القسمة، يمكننا تحريك الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليمين في المقام، والضرب في مائة للبسط.

${١٠٠} = \dfrac{٣١٤٠٠}{٣١٤} = {}^{٢}ر$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على طول نصف القطر المجرد.

$١٠ = ر$

ننتقل الآن لحساب محيط الدائرة باستخدام القانون الخاص به.

محيط الدائرة = $ط \times ر \times ٢$

نعوض بقيمة نصف القطر التي أوجدناها للتو في المعادلة.

المحيط = ${٣،١٤} \times {١٠} \times {٢}$

نضرب العدد اثنين في عشرة أولاً لتبسيط وتسهيل العملية الحسابية.

المحيط = ${٣،١٤} \times {٢٠}$

نضرب القيمة في عشرين ليظهر لنا الناتج النهائي للمحيط.

المحيط $٦٢،٨ =$

والإجابة هي $٦٢،٨$

تكنيك ٢: المقارنة بالتناسب مع الدائرة القياسية

المفهوم الرياضي: تعتمد هذه الطريقة الذهنية على مقارنة الدائرة الحالية في السؤال بدائرة قياسية معلومة مساحتها تساوي قيمة الثابت ط.

نعلم رياضياً أن الدائرة التي مساحتها تساوي ثلاثة وأربعة عشر من مائة، يكون نصف قطرها مساوياً لواحد صحيح.

مساحة الدائرة في هذا السؤال تساوي ثلاثمائة وأربعة عشر، وهي تمثل المساحة القياسية مضروبة في العدد مائة.

${٣١٤} = {١٠٠} \times {٣،١٤}$

بما أن مساحة الدائرة تتناسب طردياً مع مربع نصف القطر، فإن مربع نصف القطر هنا يجب أن يساوي مائة.

${١٠٠} = {}^{٢}ر$

بأخذ الجذر التربيعي للعدد مائة، نجد أن نصف القطر يساوي عشرة.

$١٠ = ر$

من قوانين الدائرة، نعلم أن المحيط يتناسب طردياً مع طول نصف القطر.

ولأن نصف القطر تضاعف عشر مرات مقارنة بالدائرة القياسية، فإن المحيط سيتضاعف عشر مرات أيضاً.

المحيط للدائرة القياسية التي نصف قطرها واحد هو ستة وثمانية وعشرون من مائة.

نقوم بضرب هذا المحيط القياسي في معامل التضاعف وهو عشرة.

$٦٢،٨ = {١٠} \times {٦،٢٨}$

والإجابة هي $٦٢،٨$

تكنيك ١: حساب مساحة الدائرة ومساحة المربع وطرحهما.

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة المحصورة بين شكلين تساوي مساحة الشكل الخارجي مطروحاً منها مساحة الشكل الداخلي.

يتكون الشكل الهندسي المرفق من دائرة كبرى يحتضنها مربع، والمنطقة المظللة تمثل المساحة المتبقية من الدائرة بعد اقتطاع المربع الداخلي منها.

نبدأ أولاً بحساب مساحة الدائرة الكلية.

تشير المعطيات الرياضية في السؤال إلى أن قطر الدائرة يبلغ $١٤$.

لإيجاد نصف القطر، نقسم القطر الكلي على $٢$.

طول نصف القطر يساوي $٧$.

قانون مساحة الدائرة (حيث ر يمثل نصف القطر) = ${ط} \times {{}^{٢}ر}$.

نعوض بقيمة نصف القطر في هذا القانون الرياضي.

مساحة الدائرة = ${ط} \times {{}^{٢}٧}$.

مربع العدد $٧$ يساوي $٤٩$.

مساحة الدائرة = ${ط} \times {٤٩}$.

نستبدل الرمز $ط$ بالقيمة الكسرية المعطاة في المعطيات وهي $\dfrac{٢٢}{٧}$.

مساحة الدائرة = ${\dfrac{٢٢}{٧}} \times {٤٩}$.

نقوم بتبسيط العملية الحسابية بقسمة العدد $٤٩$ على المقام $٧$.

ينتج لدينا عملية ضرب جديدة وهي ${٢٢} \times {٧}$.

مساحة الدائرة الإجمالية تساوي $١٥٤$.

ننتقل الآن لحساب مساحة المربع الداخلي.

المعطيات تنص صراحة على أن قطر المربع يتطابق تماماً مع قطر الدائرة، ويساوي $١٤$.

قانون مساحة المربع بمعلومية القطر (حيث ق يمثل القطر) = ${\dfrac{١}{٢}} \times {{}^{٢}ق}$.

نعوض بقيمة قطر المربع في القانون.

مساحة المربع = ${\dfrac{١}{٢}} \times {{}^{٢}١٤}$.

مربع العدد $١٤$ ينتج عنه $١٩٦$.

مساحة المربع = ${\dfrac{١}{٢}} \times {١٩٦}$.

بقسمة العدد $١٩٦$ على $٢$، نحصل على مساحة المربع.

مساحة المربع تساوي $٩٨$.

الخطوة الأخيرة هي إيجاد مساحة الجزء المظلل بعملية الطرح.

مساحة المظلل = مساحة الدائرة – مساحة المربع.

نعوض بالقيم العددية التي قمنا باستخراجها للتو، بحيث نطرح المساحة الصغرى من الكبرى.

$٥٦ = {٩٨} – {١٥٤}$.

والإجابة هي $٥٦$

تكنيك ٢: تقسيم المربع إلى مثلثات وتطبيق قوانين مساحة المثلث.

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الأشكال المركبة يتم بتجزئتها إلى أشكال هندسية أبسط لتسهيل الحساب.

نبدأ كما في التكنيك السابق باستخراج مساحة الدائرة الكبرى.

المعطى الأساسي لقطر الدائرة هو $١٤$.

نقسم القطر على العدد $٢$ لنصل إلى نصف القطر.

نصف القطر يبلغ $٧$ وحدات.

نعوض في قانون مساحة الدائرة المعتمد (حيث ر يمثل نصف القطر) وهو ${ط} \times {{}^{٢}ر}$.

المساحة تساوي ${\dfrac{٢٢}{٧}} \times {{}^{٢}٧}$.

بعد حساب الأس والتبسيط، نجد أن مساحة الدائرة الإجمالية هي $١٥٤$.

ننتقل إلى المربع الداخلي، حيث يمكننا تخيل أن القطر يقسمه إلى مثلثين قائمي الزاوية ومتطابقين تماماً.

طول قاعدة كل مثلث من هذين المثلثين يساوي قطر المربع، وهو $١٤$.

ارتفاع كل مثلث يمثل نصف قطر المربع المتعامد عليه، والذي يبلغ $٧$.

قانون مساحة المثلث (حيث ق يمثل القاعدة، و ع يمثل الارتفاع) = ${\dfrac{١}{٢}} \times {ق} \times {ع}$.

نعوض بقيم القاعدة والارتفاع المستنتجة في القانون.

مساحة المثلث الواحد = ${\dfrac{١}{٢}} \times {١٤} \times {٧}$.

نضرب النصف في القاعدة لنحصل على $٧$.

مساحة المثلث الواحد = ${٧} \times {٧}$.

مساحة المثلث الواحد تساوي $٤٩$.

بما أن المربع بأكمله يتكون من هذين المثلثين المتطابقين، نضرب مساحة المثلث الواحد في $٢$.

مساحة المربع الكلية = ${٢} \times {٤٩}$.

مساحة المربع الكلية تبلغ $٩٨$.

لإيجاد مساحة المنطقة المظللة النهائية، نستخدم عملية الطرح بين المساحتين.

نقوم بصياغة المعادلة لطرح مساحة المربع من مساحة الدائرة.

$٥٦ = {٩٨} – {١٥٤}$.

والإجابة هي $٥٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة تساوي مساحة الشكل الخارجي الكلي مطروحاً منها مساحة الشكل الداخلي غير المظلل.

الشكل الهندسي الخارجي عبارة عن نصف دائرة كبيرة، والشكل الداخلي المفرغ يمثل دائرة صغيرة كاملة.

من المعطيات الهندسية، نصف قطر الدائرة الكبيرة يبلغ $٨$ سم.

نحسب مساحة الدائرة الكبيرة لو كانت مكتملة باستخدام قانون المساحة.

مساحة الدائرة الكبيرة تساوي ${}^{٢}({٨}) \times {ط}$.

مربع العدد $٨$ هو $٦٤$، فتكون المساحة الكلية $ط٦٤$.

بما أن الشكل الخارجي يمثل نصف دائرة فقط، نقسم المساحة الكلية على $٢$.

$ط٣٢ = {٢} \div {ط٦٤}$

الآن ننتقل لحساب مساحة الدائرة الصغيرة غير المظللة.

قطر الدائرة الصغيرة يطابق نصف قطر الدائرة الكبيرة ويساوي $٨$ سم.

نصف قطر الدائرة الصغيرة هو نصف هذه القيمة ويساوي $٤$ سم.

مساحة الدائرة الصغيرة تساوي ${}^{٢}({٤}) \times {ط}$.

الناتج هو $ط١٦$.

نطرح مساحة الدائرة الصغيرة من مساحة نصف الدائرة الكبيرة لإيجاد مساحة الجزء المظلل.

$ط١٦ = {ط١٦} – {ط٣٢}$

والإجابة هي $ط١٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توظيف التناسب بين أنصاف أقطار الدوائر لحساب المساحات المقتطعة.

نصف قطر الدائرة الكبيرة يبلغ $٨$ سم، ونصف قطر الدائرة الصغيرة يبلغ $٤$ سم.

نسبة نصف قطر الدائرة الصغيرة إلى الدائرة الكبيرة هي $١$ إلى $٢$.

تتناسب المساحات مع مربع نسبة أنصاف الأقطار، مما يعني أن النسبة بين المساحتين هي $١$ إلى $٤$.

مساحة الدائرة الكبيرة كاملة هي $ط٦٤$.

مساحة الدائرة الصغيرة تمثل ربع المساحة الكلية.

$ط١٦ = {٤} \div {ط٦٤}$

الشكل الخارجي المظلل مبدئياً يمثل نصف الدائرة الكبيرة.

نصف مساحة الدائرة الكبيرة تساوي $ط٣٢$.

نطرح مساحة الدائرة الصغيرة المفرغة من مساحة نصف الدائرة الكبيرة.

المساحة المظللة النهائية هي $ط١٦ = {ط١٦} – {ط٣٢}$.

والإجابة هي $ط١٦$

التكنيك الأول: التحليل الهندسي للأطوال

المفهوم الرياضي: في الدائرتين المتطابقتين والمتقاطعتين، المسافة بين المركزين تساوي مجموع نصفي القطرين مطروحاً منه طول منطقة التقاطع على خط المركزين.

من الشكل الهندسي نستنتج أن نصف قطر الدائرة الأولى يبلغ $٦$.

بما أن الدائرتين متطابقتان، فإن نصف قطر الدائرة الثانية ن يبلغ $٦$ أيضاً.

الجزء المتداخل بين الدائرتين على امتداد خط المركزين معطى في الشكل بقيمة $٤$.

طول القطعة المستقيمة م ن يمثل المسافة بين المركزين.

نقوم بجمع نصفي القطرين معاً أولاً.

مجموع نصفي القطرين = $١٢ = {٦} + {٦}$

نطرح قيمة التقاطع من المجموع الكلي لتجنب حسابه مرتين.

طول القطعة م ن = $٨ = {٤} – {١٢}$

والإجابة هي $٨$

التكنيك الثاني: التجزئة المكانية للقطعة المستقيمة

المفهوم الرياضي: تقسيم المسافة بين المركزين إلى أجزاء مستقلة بناءً على نصف القطر والتقاطع.

نصف قطر الدائرة م يمتد من المركز م إلى محيطها الخارجي بقيمة $٦$.

الجزء المتبقي من المركز ن إلى محيط الدائرة م يمثل نصف القطر مطروحاً منه منطقة التقاطع.

القطعة الخارجة عن التقاطع للدائرة ن = $٢ = {٤} – {٦}$

المسافة الكلية بين المركزين هي نصف قطر الدائرة م مضافاً إليه القطعة الخارجة من الدائرة ن.

المسافة م ن = $٨ = {٢} + {٦}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١: التناسب العكسي للمسافات والدورات

المفهوم الرياضي: عندما يتحرك جسمان في مسارات دائرية مرتبطة بمسافة خطية متساوية، فإن عدد الدورات يتناسب عكسياً مع أنصاف الأقطار.

يمثل مسار الجسم (أ) دائرة نصف قطرها ٥ أمتار.

ويمثل مسار الجسم (ب) دائرة نصف قطرها ٢ متر.

القانون: عدد دورات (أ) مضروباً في نصف قطره يساوي عدد دورات (ب) مضروباً في نصف قطره.

نعوض بالمعطيات: الجسم (أ) أكمل دورة واحدة، ونصف قطره ٥.

الطرف الأيمن للمعادلة يمثل الجسم (أ): ١ مضروباً في ٥.

${٥} = {٥} \times {١}$

الطرف الأيسر للمعادلة يمثل الجسم (ب): عدد الدورات مجهول ونرمز له بالمتغير (س) مضروباً في ٢.

$س٢ = {٢} \times {س}$

نساوي الطرفين لإيجاد قيمة (س) التي تمثل القيمة الأولى.

${٥} = {س٢}$

نقسم الطرفين على معامل (س) وهو ٢.

$٢،٥ = {\dfrac{٢}{٥}} = {س}$

بمقارنة القيمة الأولى المستنتجة (٢،٥) مع القيمة الثانية المعطاة في السؤال (٢،٥)، نجد أنهما متطابقتان تماماً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: حساب المحيط والمسافة الخطية

المفهوم الرياضي: المسافة الخطية التي يقطعها الجسم تساوي عدد الدورات مضروباً في محيط المسار الدائري.

القانون: محيط الدائرة يساوي ٢ مضروباً في ط مضروباً في نصف القطر.

نحسب محيط مسار الجسم (أ) بتعويض نصف القطر ٥ في القانون.

$ط١٠ = {٥} \times {ط} \times {٢}$

بما أن الجسم (أ) دار دورة واحدة كاملة، فالمسافة الإجمالية التي قطعها هي ط١٠.

نحسب محيط مسار الجسم (ب) بنفس القانون، حيث نعوض بنصف القطر ٢.

$ط٤ = {٢} \times {ط} \times {٢}$

القانون: عدد الدورات يساوي المسافة الخطية الإجمالية مقسومة على المحيط.

لإيجاد عدد دورات الجسم (ب)، نقسم المسافة الإجمالية على محيط مساره.

$٢،٥ = {\dfrac{ط١٠}{ط٤}}$

نختصر الثابت (ط) مع (ط) من البسط والمقام، ونقسم ١٠ على ٤ لنحصل على ٢،٥.

$٢،٥ = {\dfrac{١٠}{٤}}$

القيمة الأولى الناتجة تساوي ٢،٥ والقيمة الثانية المعطاة تساوي ٢،٥.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

التكنيك الأول: الحساب المباشر لقيمتي المحيط والمساحة

المفهوم الرياضي: إيجاد نصف قطر الدائرة من خلال قانون محيط الدائرة، ثم استخدام أبعاد المثلث المستنتجة من الشكل لحساب مساحته.

ينص قانون محيط الدائرة على: المحيط = $ط \times نق٢$

بما أن محيط الدائرة معطى بقيمة $ط١٦$، نقوم بالتعويض في القانون:

$ط١٦ = {ط} \times {نق٢}$

بقسمة الطرفين على $ط٢$ لإيجاد قيمة نصف القطر:

$٨ = {ط٢} \div {ط١٦}$

إذن، نصف قطر الدائرة $نق$ يساوي $٨$

من خلال الشكل الهندسي المرفق، نلاحظ أن المثلث مرسوم داخل الدائرة بحيث يمثل كل من قاعدته وارتفاعه نصف قطر للدائرة.

ينص قانون مساحة المثلث على: المساحة = $\dfrac{١}{٢} \times ق\times ع$

نعوض بقيمة نصف القطر $٨$ كقاعدة وارتفاع للمثلث:

$٣٢ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٨} \times {٨}$

إذن، القيمة الثانية (مساحة المثلث عددياً) تساوي $٣٢$

الآن نحسب القيمة الأولى (محيط الدائرة عددياً) بتعويض قيمة $ط$ التقريبية وهي $٣,١٤$:

$٤٩,٢٤ = {٣,١٤} \times {١٦}$

بمقارنة القيمتين، نجد أن القيمة الأولى $٤٩,٢٤$ أكبر من القيمة الثانية $٣٢$

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

التكنيك الثاني: التحليل المنطقي والتقدير التقريبي

المفهوم الرياضي: استخدام التقدير للوصول إلى المقارنة دون الحاجة للحساب الدقيق للكسور العشرية.

نعلم أن محيط الدائرة يساوي $ط١٦$

بما أن قيمة $ط$ أكبر من $٣$ بقليل، فإن محيط الدائرة سيكون أكبر من ناتج ضرب $١٦ \times ٣$

$٤٨ = {٣} \times {١٦}$

لذلك، القيمة الأولى أكبر من $٤٨$ حتماً.

بالنظر إلى المثلث المكون من نصفي قطرين متعامدين، حيث نصف القطر يساوي $٨$ بناءً على حسابات المحيط.

مساحة هذا المثلث تساوي نصف مساحة المربع الذي طول ضلعه $٨$

مساحة المربع تساوي: $٦٤ = {٨} \times {٨}$

نصف مساحة المربع تساوي: $٣٢ = {٢} \div {٦٤}$

بمقارنة القيمة التقديرية للمحيط التي تتجاوز $٤٨$ مع مساحة المثلث البالغة $٣٢$، نستنتج بوضوح تفوق القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المساحة المظللة تساوي مساحة الشكل الكلي مطروحاً منها مساحة الأشكال غير المظللة.

الشكل الكلي هو مستطيل أبعاده هي طول يساوي $٤$ وعرض يساوي $٢$ بناءً على معطيات السؤال السابق.

القانون: مساحة المستطيل تساوي الطول في العرض.

نحسب مساحة المستطيل الكلية أولاً.

$٨ = {٢} \times {٤}$

يحتوي المستطيل على دائرتين غير مظللتين، ونصف قطر الدائرة الواحدة هو نصف عرض المستطيل، أي يساوي $١$.

القانون: مساحة الدائرة تساوي النسبة التقريبية ط مضروبة في مربع نصف القطر.

نصيغ كود حساب مساحة الدائرة الواحدة.

المساحة للدائرة الواحدة تساوي $ط \times {}^{٢}١$.

بما أن مربع العدد واحد هو واحد، تصبح مساحة الدائرة الواحدة مساوية للقيمة $ط$.

لدينا دائرتان متطابقتان في الشكل.

القانون: مساحة الدائرتين تساوي مساحة الدائرة الواحدة مضروبة في العدد $٢$.

المساحة الكلية للدوائر تساوي $ط٢$.

لإيجاد مساحة الجزء المظلل، نطرح مساحة الدائرتين من مساحة المستطيل الكلية.

المساحة المظللة تساوي ${ط٢} – {٨}$

والإجابة هي ${ط٢} – {٨}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المساحة المكملة لكل جزء على حدة ثم جمعهما.

نقوم بتقسيم المستطيل الكبير رأسياً من المنتصف لنحصل على مربعين متطابقين.

كل مربع يحتوي على منطقة مظللة تمثل المساحة المكملة لمساحة الدائرة الداخلية فيه.

طول ضلع المربع الواحد يساوي $٢$.

القانون: مساحة المربع تساوي طول الضلع مضروباً في نفسه.

$٤ = {٢} \times {٢}$

مساحة الدائرة الداخلية ذات نصف القطر المساوي للقيمة $١$ هي $ط$.

القانون: المساحة المظللة في المربع الواحد تساوي مساحة المربع مطروحاً منها مساحة الدائرة.

المساحة المظللة للمربع الأول تساوي ${ط} – {٤}$.

وبما أن لدينا مربعين متطابقين تماماً، نقوم بضرب هذه النتيجة في العدد $٢$.

القانون: المساحة المظللة الكلية تساوي مساحة الجزء المظلل الأول مضروباً في $٢$.

${ط٢} – {٨} = ({ط} – {٤}) \times {٢}$

والإجابة هي ${ط٢} – {٨}$

تكنيك ١: التحليل المنطقي والخصائص الهندسية المفتوحة

المفهوم الرياضي: عند مقارنة مساحات مضلعات غير منتظمة ومختلفة في عدد الأضلاع مع الاكتفاء بتثبيت المحيط فقط، فإن النتيجة النهائية تتغير جذرياً بتغير أبعاد كل مضلع.

المستطيل والمثلث يفتقران إلى الانتظام الكامل، ويمكن أن يتخذا عدداً لا نهائياً من الأشكال والأبعاد التي تحافظ رياضياً على نفس المحيط.

إذا كان المستطيل قريباً جداً في أبعاده من شكل المربع المنتظم، فإنه سيحصر مساحة كبيرة جداً ومثالية.

بالمقابل، إذا اخترنا مستطيلاً طويلاً جداً وذا عرض ضيق جداً، فإن مساحته الكلية ستقترب من الصفر على الرغم من ثبات محيطه العالي.

نفس المبدأ الهندسي ينطبق على المثلث، فالمثلث المتطابق الأضلاع يحصر المساحة القصوى، بينما المثلث المنفرج الزاوية الممتد يعطي مساحة ضئيلة جداً.

نظراً لغياب معطيات إضافية في نص السؤال تحدد نوع المثلث بدقة أو أبعاد المستطيل الطولية والعرضية، لا يمكننا إرساء قاعدة ثابتة للمقارنة بين مساحتيهما.

لذلك، المعطيات الواردة في السؤال غير كافية ولا تسمح بتحديد أيهما يحمل القيمة الأكبر بصورة قطعية.

والإجابة هي المعلومات غير كافية

تكنيك ٢: البرهان العكسي وافتراض حالات متناقضة رياضياً

المفهوم الرياضي: إثبات عدم كفاية المعلومات المعطاة من خلال تصميم وإيجاد حالتين صحيحتين رياضياً تعطيان نتائج مقارنة متعاكسة لنفس المحيط.

نفترض أولاً أن محيط كل من المستطيل والمثلث ثابت ويساوي $١٢$.

الحالة الأولى: نفترض مستطيلاً أبعاده هي $٤$ للطول و $٢$ للعرض.

نتحقق من المحيط: $١٢ = {٢} \times ({٢} + {٤})$

نحسب مساحة المستطيل بضرب الطول في العرض في هذه الحالة.

مساحة المستطيل الأولى: $٨ = {٢} \times {٤}$

في نفس السياق للحالة الأولى، نفترض مثلثاً متطابق الأضلاع طول كل ضلع من أضلاعه هو $٤$.

نتحقق من محيط المثلث بجمع أضلاعه: $١٢ = {٤} + {٤} + {٤}$

قانون مساحة المثلث متطابق الأضلاع ينص على قسمة جذر ثلاثة على أربعة مضروباً في مربع طول الضلع.

نعوض بقيمة الضلع لحساب مساحة المثلث.

مساحة المثلث: ${}^{٢}٤ \times {\dfrac{\sqrt{٣}}{٤}}$

بعد التبسيط واختصار مربع الأربعة مع المقام أربعة، نحصل على النتيجة.

النتيجة التقريبية للمساحة: ${\sqrt{٣}}٤ \approx ٦,٩٢$

في هذه الحالة الأولى، مساحة المستطيل البالغة $٨$ أكبر بوضوح من مساحة المثلث البالغة $٦,٩٢$.

ننتقل إلى الحالة الثانية: نفترض مستطيلاً ممتداً أبعاده هي $٥,٥$ للطول و $٠,٥$ للعرض.

نتحقق من المحيط: $١٢ = {٢} \times ({٠,٥} + {٥,٥})$

نحسب مساحة المستطيل الجديد بضرب أبعاده.

مساحة المستطيل الثانية: $٢,٧٥ = {٠,٥} \times {٥,٥}$

نحتفظ بنفس المثلث متطابق الأضلاع ذو المحيط $١٢$ ومساحته الثابتة $٦,٩٢$ للمقارنة العكسية.

في هذه الحالة الثانية، مساحة المثلث البالغة $٦,٩٢$ أصبحت أكبر من مساحة المستطيل البالغة $٢,٧٥$.

بما أن نتيجة المقارنة اختلفت وتناقضت بين تفوق المستطيل في الحالة الأولى وتفوق المثلث في الحالة الثانية لنفس قيمة المحيط المرجعي، نستنتج رياضياً استحالة المقارنة القطعية.

والإجابة هي المعلومات غير كافية

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: استنتاج الأبعاد من الدائرة وحساب مساحة المثلث القائم.

من المعطيات، طول قطر الدائرة الكامل يبلغ ١٠ سم.

نحسب نصف قطر الدائرة بقسمة القطر الإجمالي على العدد ٢.

$٥ = {٢} \div {١٠}$

المثلث القائم الصغير داخل الدائرة يمتلك وتراً يمثل نصف قطر الدائرة، وطوله ٥ سم.

بتطبيق نظرية فيثاغورس للمثلثات المشهورة، نجد أن أطوال أضلاع الزاوية القائمة هي ٣ و ٤.

الارتفاع العمودي للمثلث يبلغ ٣ سم، وقاعدته الصغرى تبلغ ٤ سم.

القاعدة الكلية للمثلث الكبير المطلوب حساب مساحته تتكون من جمع القاعدة الصغرى مع نصف القطر الممتد.

$٩ = {٥} + {٤}$

نكتب قانون مساحة المثلث، وهو القاعدة مضروبة في الارتفاع مقسومة على ٢.

$١٣،٥ = {\dfrac{{٣} \times {٩}}{٢}}$

والإجابة هي $١٣،٥$

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: تحليل الأجزاء الهندسية المركبة وتطبيق قوانين المساحة الأساسية.

قطر الدائرة المعطى يقسم إلى نصفين متساويين، كل منهما يمثل نصف قطر طوله ٥ سم.

$٥ = {٢} \div {١٠}$

المثلث المطلوب إيجاد مساحته يشترك في الارتفاع مع المثلث القائم الصغير المجاور للمركز.

من خلال المعطيات البصرية والأبعاد الشهيرة لفيثاغورس، الارتفاع المشترك يساوي ٣ سم.

امتداد القاعدة السفلية يتضمن قطاعاً طوله ٤ سم وقطاعاً آخر يمثل نصف القطر الكامل للجهة اليسرى وطوله ٥ سم.

نجمع القطاعين للحصول على الطول الإجمالي لقاعدة المثلث الكبير.

$٩ = {٥} + {٤}$

نطبق قانون المساحة بضرب طول القاعدة الإجمالي في الارتفاع المشترك.

$٢٧ = {٣} \times {٩}$

نقسم الناتج النهائي لعملية الضرب على العدد ٢ لاكتمال قانون المساحة.

$١٣،٥ = {٢} \div {٢٧}$

والإجابة هي $١٣،٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تمثل حاصل طرح مساحة المثلث الداخلي من مساحة القطاع الدائري.

يظهر في الشكل قطاع دائري يمثل ربع دائرة، نظراً لأن زاويته المركزية قائمة وتساوي $٩٠$ درجة.

نصف قطر الدائرة يبلغ $٦$ وحدات بناءً على القياسات الموضحة.

نحسب أولاً مساحة الدائرة الكلية باستخدام القانون المعياري.

مساحة الدائرة تساوي ${}^{٢}({٦}) \times {ط}$.

ينتج عن ذلك أن المساحة الكلية تساوي $ط٣٦$.

نقسم المساحة الكلية على $٤$ للحصول على مساحة ربع الدائرة الممثل بالقطاع.

$ط٩ = {٤} \div {ط٣٦}$

ننتقل الآن لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية غير المظلل.

قاعدة المثلث وارتفاعه يمثلان أنصاف أقطار في الدائرة، وكل منهما يساوي $٦$.

قانون مساحة المثلث ينص على ضرب نصف طول القاعدة في الارتفاع.

نعوض في القانون، مساحة المثلث تساوي ${\dfrac{١}{٢}} \times {٦} \times {٦}$.

الناتج الرياضي لضرب القاعدة في الارتفاع هو $٣٦$.

نقسم الناتج على $٢$ لنحصل على $١٨$.

نطرح مساحة المثلث من مساحة ربع الدائرة لإيجاد مساحة المنطقة المظللة.

$١٨ – ط٩ = {١٨} – {ط٩}$

والإجابة هي $١٨ – ط٩$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التطبيق المباشر لقانون القطاع الدائري والمثلث القائم المتطابق الضلعين.

نحسب مساحة القطاع الدائري من خلال ضرب نسبة الزاوية المركزية في مساحة الدائرة.

نسبة القطاع هي الزاوية $٩٠$ مقسومة على الدورة الكاملة $٣٦٠$.

هذه النسبة تتبسط رياضياً إلى الكسر ${\dfrac{١}{٤}}$.

مساحة القطاع تساوي ${\dfrac{١}{٤}} \times {ط٣٦}$.

ينتج عن ذلك أن مساحة القطاع تساوي $ط٩$.

المثلث الداخلي مرسوم بين نصفي قطرين متعامدين، فهو مثلث قائم الزاوية متطابق الضلعين طول كل منهما $٦$.

مساحة المثلث تحسب بضرب الضلعين والقسمة على $٢$.

المساحة تساوي $١٨ = {٢} \div {٣٦}$.

المساحة المظللة هي الفرق الصريح بين المساحتين.

المساحة المظللة تساوي $١٨ – ط٩$.

والإجابة هي $١٨ – ط٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: القاعدة الهندسية الثابتة للمساحات ذات المحيطات المتطابقة (نظرية التباين المتساوي المحيط).

بما أن السلك المعدني تم تقسيمه إلى قسمين متساويين في الطول تماماً، فإن طول السلك الذي صُنعت منه الدائرة يساوي طول السلك الذي صُنع منه المستطيل.

طول السلك الخارجي يمثل رياضياً محيط الشكل الهندسي، وبالتالي فإن محيط الدائرة يساوي محيط المستطيل.

القانون الهندسي الثابت ينص على أنه عند تساوي المحيطات لمجموعة من الأشكال الهندسية المستوية، فإن الدائرة تستحوذ دائماً على المساحة القصوى والأكبر بلا أي استثناء.

بناءً على هذه القاعدة الاستنتاجية، تكون مساحة الدائرة أكبر قطعاً من مساحة أي مضلع آخر يشاركها نفس المحيط.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: البرهان الجبري عبر الافتراض العددي المباشر وتطبيق قوانين المساحات.

نفترض أن طول السلك الإجمالي يبلغ $٣٢$ وحدة طول.

بما أن السلك قُسم بالتساوي، فإن طول الجزء الأول المخصص للدائرة يساوي $١٦$ وحدة، وطول الجزء الثاني المخصص للمستطيل يساوي $١٦$ وحدة.

محيط الدائرة يمثل طول السلك، إذاً محيط الدائرة يساوي $١٦$ وحدة.

قانون محيط الدائرة = القطر مضروباً في الثابت الرياضي.

لإيجاد نصف القطر نستخدم المعادلة حيث يمثل المتغير مجرداً نصف القطر: $١٦ = {س٢} \times {\pi}$

بقسمة الطرفين نحصل على قيمة نصف القطر: $س = \dfrac{٨}{\pi}$

قانون مساحة الدائرة = مربع نصف القطر مضروباً في الثابت الرياضي.

نعوض بقيمة نصف القطر في القانون ونطبق قاعدة الأسس الاستباقية: المساحة = ${}^{٢}(\dfrac{٨}{\pi}) \times {\pi}$

بعد فك التربيع الجبري تصبح المعادلة: المساحة = $\dfrac{٦٤}{\pi}$

بما أن قيمة الثابت الرياضي تقارب $٣،١٤$ فإن المساحة تقارب $٢٠،٣٨$ وحدة مربعة.

الآن ننتقل إلى المستطيل الذي يبلغ محيطه $١٦$ وحدة.

قانون محيط المستطيل = الطول مضافاً إليه العرض والناتج مضروب في $٢$.

بقسمة المحيط على $٢$، نجد أن مجموع الطول والعرض يساوي $٨$ وحدات.

نفترض أبعاداً صحيحة للمستطيل بحيث يكون الطول $٥$ وحدات والعرض $٣$ وحدات.

قانون مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض.

نعوض بالقيم الافتراضية في قانون المساحة: $١٥ = {٣} \times {٥}$

بمقارنة المساحتين رياضياً نجد أن القيمة الأولى المتمثلة في مساحة الدائرة والبالغة تقريباً $٢٠،٣٨$ أكبر بوضوح من القيمة الثانية المتمثلة في مساحة المستطيل والبالغة $١٥$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: التحليل الهندسي للأقواس

المفهوم الرياضي: محيط الشكل المظلل المحصور بين أربع دوائر متطابقة ومتماسة يساوي مجموع أطوال الأقواس المكونة له.

كل قوس من هذه الأقواس يمثل ربع محيط دائرة واحدة؛ لأن الزاوية المركزية المقابلة له تساوي تسعين درجة داخل المربع التخيلي الذي يربط مراكز الدوائر.

بما أن المنطقة المظللة تتكون من أربعة أقواس متطابقة، فإن محيطها الكلي يساوي محيط دائرة واحدة كاملة.

من المعطيات، محيط الدائرة الواحدة يساوي $ط٣٦$.

إذاً، محيط المنطقة المظللة يساوي $ط٣٦$.

والإجابة هي $ط٣٦$

تكنيك ٢: الاستنتاج الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: حساب طول القوس الواحد ثم ضربه في عدد الأقواس.

محيط الدائرة الواحدة يساوي $ط٣٦$.

طول القوس الواحد المكون للمنطقة المظللة يساوي ربع محيط الدائرة.

نقسم المحيط الكلي على أربعة لإيجاد طول القوس.

$ط٩ = {٤} \div {ط٣٦}$

المنطقة المظللة محاطة بأربعة أقواس، لذا نضرب طول القوس الواحد في أربعة.

$ط٣٦ = {٤} \times {ط٩}$

والإجابة هي $ط٣٦$

تكنيك ١: طريقة التعويض والتقسيم المباشر

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الدائرة الكاملة أولاً باستخدام قانون مساحة الدائرة، ثم إيجاد ربع هذه المساحة بالقسمة على أربعة.

نحدد قانون مساحة الدائرة الكاملة.

مساحة الدائرة = ${ط} \times {}^{٢}نق$

نعوض بقيمة نصف القطر المعطاة في السؤال وهي أربعة.

مساحة الدائرة = ${ط} \times {}^{٢}٤$

نحسب مربع العدد أربعة بضربه في نفسه.

الناتج = $١٦ = {٤} \times {٤}$

ينتج لدينا أن مساحة الدائرة الكاملة تساوي هذه القيمة.

مساحة الدائرة = $ط١٦$

بما أن المطلوب هو مساحة ربع الدائرة، نقسم المساحة الكلية على أربعة.

مساحة ربع الدائرة = $ط٤ = {٤} \div {ط١٦}$

والإجابة هي $ط٤$

تكنيك ٢: طريقة الكسر المدمج

المفهوم الرياضي: استخدام قانون مساحة قطاع دائري يمثل ربع الدائرة بشكل مباشر للوصول للناتج بخطوة واحدة.

نكتب قانون مساحة ربع الدائرة المباشر.

المساحة = ${\dfrac{١}{٤}} \times {ط} \times {}^{٢}نق$

نعوض بقيمة نصف القطر المعطاة في المعطيات.

المساحة = ${\dfrac{١}{٤}} \times {ط} \times {}^{٢}٤$

نحسب القوة المرفوعة للعدد أربعة.

المساحة = ${\dfrac{١}{٤}} \times {ط} \times {١٦}$

نبسط بضرب العدد الصحيح في بسط الكسر.

المساحة = $ط٤ = {ط} \times {\dfrac{١٦}{٤}}$

والإجابة هي $ط٤$

تكنيك ١: التقييم الجبري للمعادلات

المفهوم الرياضي: قوانين مساحة ومحيط الدائرة لإيجاد طول نصف القطر.

نبدأ بتحليل القيمة الأولى باستخدام قانون مساحة الدائرة: المساحة = $ط \times {}^{٢}س$.

المساحة المعطاة هي $ط٩$، لذا المعادلة تصبح $ط٩ = {}^{٢}س \times {ط}$.

بقسمة كلا الطرفين على $ط$، نحصل على المعادلة $٩ = {}^{٢}س$.

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نستنتج أن طول نصف قطر الدائرة للقيمة الأولى يساوي $٣ = {\sqrt{٩}}$.

ننتقل لتحليل القيمة الثانية باستخدام قانون محيط الدائرة: المحيط = $ط \times {س} \times {٢}$.

المحيط المعطى هو $ط٩$، لذا المعادلة تصبح $ط٩ = {س} \times {ط٢}$.

بقسمة كلا الطرفين على $ط٢$ لاستخراج القيمة المجردة لنصف القطر.

طول نصف قطر الدائرة للقيمة الثانية يساوي $٤,٥ = {٢} \div {٩}$.

نقارن بين القيمة الأولى وهي $٣$ والقيمة الثانية وهي $٤,٥$.

يتضح جلياً أن العدد $٤,٥$ أكبر من العدد $٣$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: التناسب المنطقي المباشر

المفهوم الرياضي: استنتاج الجذور وأنصاف الأقطار استناداً للمضاعفات.

في القيمة الأولى، مساحة الدائرة تعتمد دائماً على مربع نصف القطر مضروباً في ثابت الدائرة $ط$.

بما أن المساحة هي $ط٩$، فإننا نبحث عن الرقم الذي إذا تم تربيعه ينتج العدد $٩$.

الرقم هو $٣$، وهذا يمثل طول نصف قطر القيمة الأولى.

في القيمة الثانية، محيط الدائرة يعتمد دائماً على ضعف نصف القطر مضروباً في $ط$.

بما أن المحيط هو $ط٩$، فإننا نبحث عن الرقم الذي إذا تم مضاعفته ينتج العدد $٩$.

الرقم الذي يمثل نصف التسعة هو $٤,٥$، وهذا يمثل طول نصف قطر القيمة الثانية.

بمقارنة بسيطة ومباشرة بين العددين $٣$ و $٤,٥$، نجد أن القيمة الثانية تتفوق رياضياً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مساحة الدائرة تحسب بضرب مربع طول نصف قطرها في الثابت ط. ويمكن إيجاد طول قطر دائرة كبرى تحوي دوائر صغرى متراصة بجمع أطوال أقطار تلك الدوائر الداخلية.

نلاحظ من الشكل المرفق وجود دائرتين صغريين متراصتين طوليا داخل الدائرة الكبرى وتمران بمركزها دون تقاطع.

الدائرة الصغرى العلوية معطى أن طول نصف قطرها يساوي ١.

نحسب طول قطر الدائرة العلوية بالكامل بضربه في ٢: قطر الدائرة العلوية = $٢ = {٢} \times {١}$.

الدائرة الصغرى السفلية معطى أن طول نصف قطرها يساوي ٢.

نحسب طول قطر الدائرة السفلية بالكامل بضربه في ٢: قطر الدائرة السفلية = $٤ = {٢} \times {٢}$.

طول قطر الدائرة الكبرى يمثل مجموع طولي قطري الدائرتين الداخليتين لتراصهما التام على خط مستقيم واحد.

نجمع الأقطار المستخرجة: قطر الدائرة الكبرى = $٦ = {٤} + {٢}$.

لإيجاد مساحة الدائرة الكبرى نحتاج أولا لمعرفة طول نصف قطرها.

نقسم طول القطر الكلي على ٢: طول نصف القطر = $٣ = {٢} \div {٦}$.

نطبق قانون مساحة الدائرة: المساحة = ${}^{٢}٣ \times ط$.

بتربيع العدد ٣ ينتج ٩، فتصبح المعادلة: المساحة = $ط٩$.

والإجابة هي $ط٩$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التناسب الخطي للأبعاد المتطابقة هندسيا وتطبيق قانون المساحة الجبري المباشر لاختصار خطوات استنتاج الأقطار.

الشكل الهندسي يوضح أن الدائرتين الداخليتين تتلامسان عند مركز الدائرة الكبرى وتمسان محيطها الخارجي من طرفين متقابلين.

هذا الترتيب الهندسي الدقيق يؤكد أن طول نصف قطر الدائرة الكبرى يمثل بالضبط مجموع طولي نصفي قطري الدائرتين الداخليتين.

نجمع طولي نصفي القطرين المعطيين ١ و ٢ بشكل مباشر لإيجاد طول نصف قطر الدائرة الكبرى.

طول نصف القطر الأكبر = $٣ = {١} + {٢}$.

الآن، نعوض بقيمة طول نصف القطر في قانون المساحة الثابت: المساحة = ${}^{٢}ن \times ط$.

المعادلة تصبح بعد التعويض: المساحة = ${}^{٢}٣ \times ط$.

ناتج تربيع الأساس ٣ هو ٩، وبضربه في الثابت ط نحصل على النتيجة النهائية $ط٩$.

والإجابة هي $ط٩$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التحليل البصري واستنتاج نسبة الجزء المظلل من الشكل الكلي لربط المساحات ببعضها.

من خلال استقراء الشكل الهندسي المرفق بالسؤال، نلاحظ بوضوح أن الجزء المظلل يمثل قطاعاً دائرياً بزاوية قائمة.

الزاوية القائمة قياسها تسعون درجة، وتمثل تماماً ربع مساحة الدائرة الكاملة.

بما أن مساحة هذا الربع المظلل معطاة في السؤال وتساوي $١٠$.

يمكننا حساب مساحة الدائرة الكاملة عن طريق ضرب مساحة الربع المظلل في أربعة.

$٤٠ = {٤} \times {١٠}$

نستنتج رياضياً أن مساحة الدائرة الكاملة تساوي $٤٠$.

بالرجوع إلى معطيات السؤال، نجد نصاً صريحاً بأن مساحة المستطيل مطابقة لمساحة الدائرة.

إذاً، مساحة المستطيل تساوي المساحة الكلية التي استنتجناها للدائرة.

$٤٠ = {٤٠}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء معادلة تناسب جبرية لربط الجزء بالكل واستخراج القيم المجهولة.

نفرض أن مساحة الدائرة الكلية يمثلها المتغير $م$.

مساحة القطاع الدائري المظلل تساوي قياس زاوية القطاع مقسومة على ثلاثمائة وستين، مضروبة في مساحة الدائرة.

بما أن الزاوية قائمة، فإن نسبة القطاع تساوي تسعين مقسومة على ثلاثمائة وستين.

$\dfrac{١}{٤} = \dfrac{٩٠}{٣٦٠}$

هذا يعني أن الجزء المظلل يمثل المتغير $م$ مقسوماً على أربعة.

نساوي هذه القيمة بالمساحة المعطاة للجزء المظلل في السؤال.

$١٠ = \dfrac{م}{٤}$

لإيجاد قيمة المتغير ميم، نقوم بضرب طرفي المعادلة في العدد أربعة.

$٤٠ = م$

مساحة الدائرة الكلية تساوي $٤٠$.

وحيث أن السؤال يقرر بأن مساحة المستطيل تساوي مساحة الدائرة، فإننا نعوض بالقيمة المستخرجة مباشرة.

مساحة المستطيل تساوي القيمة ذاتها.

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١: التعويض المباشر في القوانين الهندسية

المفهوم الرياضي: مساحة الدائرة تساوي ثابت ط مضروباً في مربع نصف القطر، ومحيط الدائرة يساوي ضعف نصف القطر مضروباً في ثابت ط.

نكتب قانون مساحة الدائرة لتحديد قيمة نصف القطر المجهولة.

المساحة = $ط \times {}^{٢}ر$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة في نص السؤال وهي ثلاثة وأربعة عشر من مائة، ونعوض عن الثابت ط بقيمته التقريبية المماثلة.

${٣،١٤} = {}^{٢}ر \times {٣،١٤}$

نقسم كلا الطرفين على القيمة ثلاثة وأربعة عشر من مائة لعزل مربع نصف القطر في طرف مستقل.

$١ = \dfrac{٣،١٤}{٣،١٤} = {}^{٢}ر$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نجد أن طول نصف القطر يساوي واحداً صحيحاً.

$١ = ر$

نكتب الآن قانون محيط الدائرة للتعويض بالقيمة المستخرجة وإيجاد الناتج النهائي.

المحيط = $ط \times ر \times ٢$

نعوض بقيمة نصف القطر وهي واحد، وقيمة الثابت ط وهي ثلاثة وأربعة عشر من مائة.

المحيط = ${٣،١٤} \times {١} \times {٢}$

نضرب العدد اثنين في واحد، فيبقى كما هو، ثم نضربه في القيمة العشرية للثابت ط.

$٦،٢٨ = {٣،١٤} \times {٢}$

والإجابة هي $٦،٢٨$

تكنيك ٢: استخدام العلاقة المشتركة بين المساحة والمحيط

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد مساحة الدائرة بضرب المحيط في نصف القطر ثم قسمة الناتج الإجمالي على العدد اثنين.

نبدأ أولاً باستنتاج قيمة نصف القطر من خلال المعطيات الخاصة بالمساحة.

المساحة تساوي ثابت ط مضروباً في مربع نصف القطر.

${٣،١٤} = {}^{٢}ر \times {٣،١٤}$

من هذه المعادلة نستنتج مباشرة أن مربع نصف القطر يجب أن يساوي واحداً.

$١ = ر$

نكتب الآن العلاقة الرياضية الشاملة التي تربط بين المساحة (ح) والمحيط. (م)

المساحة = $\dfrac{ر \times م}{٢}$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة وبقيمة نصف القطر التي أوجدناها في المعادلة.

${٣،١٤} = \dfrac{١ \times م}{٢}$

بما أن الضرب في واحد لا يغير القيمة، يتبقى لدينا المحيط مقسوماً على اثنين.

${٣،١٤} = \dfrac{م}{٢}$

نضرب كلا الطرفين في العدد اثنين للتخلص من المقام وعزل المحيط.

$٦،٢٨ = {٣،١٤} \times {٢} = م$

والإجابة هي $٦،٢٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة الواقعة بين المربع والدائرة المماسة له تساوي مساحة المربع مطروحاً منها مساحة الدائرة.

نحسب أولاً مساحة المربع الكلية ونرمز لها بالرمز م.

$م = {١٠} \times {١٠}$

$م = {١٠٠}$

نحسب مساحة الدائرة التي قطرها يتطابق تماماً مع ضلع المربع.

نصف قطر الدائرة يعادل $٥$

مساحة الدائرة $ {ط} \times {}^{٢}(٥) =$

مساحة الدائرة $ {ط٢٥} =$

نعوض بقيمة ط التقريبية وهي $٣،١٤$ في المعادلة لتسهيل الطرح.

مساحة الدائرة $ {٢٥} \times {٣،١٤} =$

مساحة الدائرة $ {٧٨،٥} =$

نطرح مساحة الدائرة من مساحة المربع للحصول على مساحة الجزء المظلل.

المساحة المظللة ${٧٨،٥} – {١٠٠} =$

المساحة المظللة $ {٢١،٥} =$

والإجابة هي $٢١،٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: المنطقة المظللة تمثل الأجزاء المكملة للدائرة داخل المربع، ويمكن حسابها بضرب مساحة المربع في نسبة ثابتة تقريبية.

نرمز لنسبة المنطقة المظللة بالرمز س.

${\dfrac{ط}{٤}} – {١} = س$

نعوض بقيمة ط للحصول على النسبة العشرية بدقة.

${\dfrac{٣،١٤}{٤}} – {١} = س$

${٠،٧٨٥} – {١} = س$

${٠،٢١٥} = س$

نضرب هذه النسبة المستنتجة في مساحة المربع الكلية.

مساحة المربع تساوي $١٠٠$

مساحة المنطقة المظللة $ {١٠٠} \times {٠،٢١٥} =$

مساحة المنطقة المظللة $ {٢١،٥} =$

والإجابة هي $٢١،٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المسافة التي يقطعها شخص في مسار دائري تساوي محيط الدائرة مضروباً في عدد الدورات المكتملة.

نرمز لمحيط الدائرة بالرمز مح والقطر بالرمز ق.

$مح = {ق} \times {ط}$

القطر المعطى في المعطيات هو $٨٥$ متراً.

$مح = {٨٥} \times {ط}$

نعوض بقيمة ط التقريبية وهي $٣،١٤$ لحساب المحيط رقمياً.

$مح = {٨٥} \times {٣،١٤}$

$مح = {٢٦٦،٩}$

نحسب المسافة الإجمالية لعدد دورتين ونرمز لها بالرمز ف.

$ف = {٢} \times {٢٦٦،٩}$

$ف = {٥٣٣،٨}$

نقرب الناتج لأقرب قيمة صحيحة ليتوافق مع الخيارات المتاحة في السؤال.

المسافة التقريبية تساوي $٥٣٠$

والإجابة هي $٥٣٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن دمج العمليات الحسابية في معادلة واحدة لتبسيط عملية الضرب قبل التعويض بقيمة ط لتسريع الحل.

نرمز للمسافة الكلية بالرمز ف وعدد الدورات بالرمز ن.

$ف = {ن} \times {ق} \times {ط}$

$ف = {٢} \times {٨٥} \times {ط}$

نضرب عدد الدورات في القطر كخطوة أولى للتبسيط الرياضي.

$ف = {١٧٠} \times {ط}$

نعوض عن ط بالقيمة $٣،١٤$ ونستخدم التقدير المنطقي لتسهيل الحساب.

$ف = {١٧٠} \times {٣،١٤}$

يمكن تجزئة العملية بضرب مئة وسبعين في ثلاثة، ثم حساب الجزء العشري المتبقي.

ناتج ضرب مئة وسبعين في ثلاثة يساوي خمس مئة وعشرة.

بإضافة الجزء العشري المقدر للعملية، نجد أن الناتج يقترب جداً من خمس مئة وثلاثين.

المسافة التقريبية تساوي $٥٣٠$

والإجابة هي $٥٣٠$

تكنيك ١: الربط الهندسي المباشر بين الشكلين

المفهوم الرياضي: استغلال المعطيات العددية الخاصة بالدائرة لاستخراج أبعاد هندسية مشتركة مع المستطيل، ثم حساب مساحة المستطيل المطلوبة.

نبدأ بكتابة قانون مساحة الدائرة لإيجاد طول نصف قطرها بشكل دقيق.

مساحة الدائرة = $ط \times {}^{٢}ر$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة في السؤال، ونستخدم القيمة الكسرية للثابت ط لتسهيل الاختصارات الحسابية.

${١٥٤} = {}^{٢}ر \times \dfrac{٢٢}{٧}$

نضرب كلا الطرفين في مقلوب الكسر الكائن مع المتغير لعزل مربع نصف القطر.

${}^{٢}ر = \dfrac{٧}{٢٢} \times {١٥٤}$

نقسم العدد مائة وأربعة وخمسين على العدد اثنين وعشرين، والناتج هو سبعة، ثم نضربه في البسط.

${٤٩} = {٧} \times {٧} = {}^{٢}ر$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن نصف قطر الدائرة يساوي سبعة.

$٧ = ر$

من خلال الملاحظة البصرية الفاحصة للشكل الهندسي المرفق، نجد أن عرض المستطيل يتطابق تماماً مع نصف قطر الدائرة.

عرض المستطيل = $٧$

بناءً على نص السؤال المعطى، عرض المستطيل يساوي نصف طوله، أي أن الطول يمثل ضعف العرض.

طول المستطيل = $٧ \times ٢$

طول المستطيل = $١٤$

نطبق الآن قانون مساحة المستطيل بضرب قيمة الطول في قيمة العرض.

مساحة المستطيل = $ع \times ل$

$٩٨ = {٧} \times {١٤}$

والإجابة هي $٩٨$

تكنيك ٢: الحل المجزأ عبر صياغة المعادلات الخطية

المفهوم الرياضي: صياغة المعادلات الجبرية بشكل متسلسل ومترابط لربط المتغيرات الهندسية المختلفة ببعضها وحلها خطوة بخطوة.

نحدد المتغيرات أولاً، ليكن عرض المستطيل يمثل المتغير س، وطوله يمثل المتغير ص.

من المعطيات النصية، العرض يساوي نصف الطول، ونكتبها على شكل معادلة جبرية.

$س = \dfrac{ص}{٢}$

ومن هذه المعادلة نستنتج بوضوح أن الطول يساوي ضعف العرض.

ص = $س \times ٢$

مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب المتغيرين س وص ببعضهما.

المساحة = $ص \times س$

نعوض عن المتغير ص بقيمته المستنتجة بدلالة المتغير س لتوحيد المتغيرات.

المساحة = $س \times ٢ \times س = {}^{٢}س \times ٢$

نحتاج الآن لمعرفة القيمة العددية للمتغير س، والذي يمثل بصرياً نصف قطر الدائرة من خلال الشكل.

نكتب قانون مساحة الدائرة ونعوض فيه لنستخرج المجهول.

${١٥٤} = {}^{٢}س \times ط$

نعوض عن الثابت ط بقيمته الكسرية المعتادة وهي اثنان وعشرون على سبعة.

${١٥٤} = {}^{٢}س \times \dfrac{٢٢}{٧}$

نضرب الطرفين في العدد سبعة ونقسم الناتج على اثنين وعشرين لعزل المتغير.

${٤٩} = {}^{٢}س$

بما أننا نحتاج في قانون مساحة المستطيل المستنتج سابقاً إلى ضعف مربع المتغير س، يمكننا التعويض بهذا الرقم مباشرة دون إيجاد الجذر التربيعي.

مساحة المستطيل = ${٤٩} \times ٢$

نضرب العدد تسعة وأربعين في اثنين لنحصل على الناتج النهائي بكل دقة.

مساحة المستطيل$٩٨ =$

والإجابة هي $٩٨$

تكنيك ١: القاعدة الهندسية الثابتة للمساحات المنحنية

المفهوم الرياضي: الدائرة هي الشكل الهندسي الفريد الذي يحصر المساحة القصوى المطلقة مقارنة بأي مضلع آخر مهما كان عدد أضلاعه عند تثبيت قيمة المحيط.

عندما يتساوى محيط دائرة مع محيط أي مضلع منتظم أو غير منتظم، مثل المربع أو المثلث أو سداسي الأضلاع، فإن مساحة الدائرة تتفوق دائماً.

هذه قاعدة رياضية ثابتة تعتمد على أن الدائرة تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط التي تبعد بمسافة منتظمة تماماً عن المركز.

وبالتالي، دون الحاجة لأي حسابات معقدة، نستنتج مباشرة أن مساحة الدائرة تتجاوز مساحة المربع.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: التعويض الجبري والتحليل العددي الدقيق

المفهوم الرياضي: إثبات العلاقة الجبرية عن طريق فرض قيمة مشتركة للمحيطين واستخراج قيم المساحات بدلالة الثابت الرياضي ط ومتغير نصف القطر.

نفترض لتسهيل الحسابات أن محيط كل من المربع والدائرة يساوي $١٦$.

بالنسبة للمربع، نحسب طول الضلع بقسمة المحيط على أربعة أضلاع متطابقة.

طول ضلع المربع: $٤ = {٤} \div {١٦}$

نحسب مساحة المربع بضرب طول الضلع في نفسه.

مساحة المربع المستخرجة: $١٦ = {٤} \times {٤}$

بالنسبة للدائرة، قانون المحيط يعتمد على الثابت ط، وسنرمز لنصف القطر بالمتغير $ر$ داخل العمليات الحسابية.

قانون محيط الدائرة: المحيط = $ر \times ط \times ٢$

نعوض بقيمة المحيط في المعادلة السابقة.

المعادلة: $١٦ = {ر} \times {ط} \times {٢}$

نقسم الطرفين على اثنين وعلى الثابت ط لاستخراج قيمة نصف القطر مفردة.

قيمة نصف القطر: $\dfrac{٨}{ط} = {ط٢} \div {١٦} = ر$

قانون مساحة الدائرة ينص على ضرب الثابت ط في مربع نصف القطر.

نعوض بقيمة نصف القطر في قانون المساحة.

مساحة الدائرة: المساحة ${}^{٢}(\dfrac{٨}{ط}) \times {ط} =$

نوزع الأس على الكسر بضرب البسط في نفسه والمقام في نفسه.

المعادلة بعد التبسيط الأول: المساحة $\dfrac{٦٤}{{}^{٢}ط} \times {ط} =$

نختصر الثابت ط الموجود في البسط مع الأس التربيعي الموجود في المقام.

المساحة النهائية للدائرة بدلالة ط: $\dfrac{٦٤}{ط}$

نعلم رياضياً أن القيمة التقريبية للثابت ط هي $٣,١٤$.

نقسم البسط على المقام لتقدير المساحة العددية للدائرة.

الناتج التقريبي لمساحة الدائرة: $٢٠,٣٨ \approx {٣,١٤} \div {٦٤}$

نقارن بين مساحة المربع البالغة $١٦$ ومساحة الدائرة البالغة تقريباً $٢٠,٣٨$.

تظهر النتيجة الجبرية أن مساحة الدائرة تتفوق بشكل قاطع وتعتبر هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: تطبيق قانون مساحة الوردة

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة التي على شكل وردة داخل مربع تساوي ضعف مساحة الدائرة المطابقة مطروحاً منها مساحة المربع.

قانون مساحة الوردة هو مساحة الدائرة مضروباً في اثنين ثم نطرح منه مساحة المربع.

طول ضلع المربع يساوي $١٠$.

مساحة المربع تساوي طول الضلع مضروباً في نفسه.

$١٠٠ = {١٠} \times {١٠}$

نصف قطر الدائرة المكونة لأوراق الوردة يساوي نصف طول ضلع المربع.

$٥ = {٢} \div {١٠}$

مساحة الدائرة الواحدة تساوي نصف القطر مربعاً مضروباً في المتغير ط.

$ط٢٥ = {ط} \times {{}^{٢}٥}$

ضعف مساحة الدائرة يساوي مساحة الدائرة مضروبة في اثنين.

$ط٥٠ = {٢} \times {ط٢٥}$

نطرح مساحة المربع من ضعف مساحة الدائرة لإيجاد مساحة الوردة.

المساحة المظللة تساوي ${١٠٠} – {ط٥٠}$

نأخذ العدد خمسين كعامل مشترك لتطابق الخيارات.

$({٢ – ط})٥٠ = {١٠٠} – {ط٥٠}$

والإجابة هي $({٢ – ط})٥٠$

تكنيك ٢: تفكيك الشكل إلى أجزاء غير مظللة

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الأجزاء غير المظللة وطرحها من مساحة المربع الكلية، مع ملاحظة أن الأجزاء غير المظللة تمثل مكملة للدوائر داخل المربع.

مساحة المربع الكلية تساوي مئة.

$١٠٠ = {١٠} \times {١٠}$

مساحة الدائرة الواحدة التي قطرها يساوي ضلع المربع تبلغ $ط٢٥$.

مساحة الجزأين غير المظللين المتقابلين تساوي مساحة المربع مطروحاً منها مساحة دائرة كاملة.

مساحة الجزأين معاً تساوي ${ط٢٥} – {١٠٠}$

بما أن الشكل يحتوي على أربعة أجزاء غير مظللة متطابقة، نضرب المساحة السابقة في اثنين.

المساحة الكلية للأجزاء غير المظللة تساوي ${٢} \times ({ط٢٥} – {١٠٠})$

وهي تساوي ${ط٥٠} – {٢٠٠}$

لحساب المساحة المظللة، نطرح مساحة الأجزاء غير المظللة من مساحة المربع الكلية.

المساحة المظللة تساوي $({ط٥٠} – {٢٠٠}) – {١٠٠}$

المساحة المظللة تساوي ${ط٥٠} + {٢٠٠-} + {١٠٠}$

المساحة المظللة تساوي ${١٠٠-} + {ط٥٠}$

بترتيب المعادلة رياضياً تصبح ${١٠٠} – {ط٥٠}$

باستخراج العامل المشترك خمسين، نحصل على الناتج النهائي.

$({٢ – ط})٥٠ = {١٠٠} – {ط٥٠}$

والإجابة هي $({٢ – ط})٥٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاعتماد على خصائص المثلث متطابق الضلعين ومجموع الزوايا المتجمعة حول نقطة.

من خلال قراءة المعطيات الهندسية، نلاحظ وجود مثلث داخل الدائرة رؤوسه هي مركز الدائرة أ ونقطتان على المحيط هما ج و د.

بما أن القطعتين المستقيمة أ ج و أ د تمثلان أنصاف أقطار في نفس الدائرة، فهما متطابقتان تماماً.

هذا يجعل المثلث أ ج د مثلثاً متطابق الضلعين.

القانون: في أي مثلث متطابق الضلعين، تكون زاويتا القاعدة متطابقتين.

الزاوية المعطاة عند الرأس د تساوي $٣٠$، وبالتالي الزاوية عند الرأس ج تساوي أيضاً $٣٠$.

القانون: مجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي $١٨٠$.

نقوم بجمع زاويتي القاعدة لتحديد الجزء المعلوم من المثلث.

$٦٠ = {٣٠} + {٣٠}$

نطرح هذا المجموع من المجموع الكلي لزوايا المثلث لإيجاد قياس الزاوية المركزية أ.

$١٢٠ = {٦٠} – {١٨٠}$

ننتقل الآن لحساب الزاوية س المطلوبة، والتي تشترك مع الزاوية أ وزاوية قائمة في تكوين زوايا متجمعة حول المركز.

الزاوية القائمة الموضحة برمز المربع قياسها $٩٠$.

القانون: مجموع الزوايا المتجمعة حول نقطة واحدة يساوي $٣٦٠$.

نجمع الزوايا المعلومة حول المركز أولاً.

$٢١٠ = {٩٠} + {١٢٠}$

نطرح مجموع الزوايا المعلومة من الدورة الكاملة لاستنتاج الزاوية س.

$١٥٠ = {٢١٠} – {٣٦٠}$

والإجابة هي $١٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الزاوية المكملة للدورة الكاملة بشكل مباشر بعد إيجاد زاوية الرأس.

نبدأ باستنتاج زاوية رأس المثلث المركزي أ من خلال طرح زاويتي القاعدة من المجموع الكلي.

القانون: زاوية الرأس تساوي $١٨٠$ مطروحاً منها مجموع زاويتي القاعدة.

نعوض بقيم زاويتي القاعدة المتطابقتين.

$١٢٠ = {٣٠} – {٣٠} – {١٨٠}$

تعتبر الزاوية س زاوية مكملة للزاويتين الأخريين لتكوين دورة دائرية كاملة حول النقطة المركزية.

القانون: الزاوية المكملة لدورة كاملة تساوي $٣٦٠$ مطروحاً منها الزوايا المجاورة.

نعوض بقيمة الزاوية المستنتجة والزاوية القائمة الثابتة في الشكل.

$١٥٠ = {١٢٠} – {٩٠} – {٣٦٠}$

والإجابة هي $١٥٠$

تكنيك ١: طريقة الاستنتاج الهندسي ونظرية فيثاغورس

المفهوم الرياضي: حساب نصف قطر الدائرة من خلال إيجاد طول قطر المستطيل الداخلي، ثم طرح مساحة المستطيل من مساحة ربع الدائرة.

نلاحظ من الشكل أن قطر المستطيل يمتد من المركز إلى محيط الدائرة، مما يعني أنه يمثل نصف قطر الدائرة.

نستخدم نظرية فيثاغورس لحساب قطر المستطيل بناءً على أبعاده.

مربع الوتر = ${}^{٢}٦ + {}^{٢}٨$

نحسب مربعات الأضلاع.

مربع الوتر = $٣٦ + ٦٤$

نجمع القيمتين للحصول على مربع الوتر.

مربع الوتر = $١٠٠$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد الطول.

طول الوتر = $١٠ = {\sqrt{١٠٠}}$

نستنتج أن نصف قطر الدائرة يساوي عشرة.

نحسب مساحة الدائرة الكاملة بالتعويض في القانون.

مساحة الدائرة = $ط١٠٠ = {ط} \times {}^{٢}١٠$

نقسم المساحة الكلية على أربعة لإيجاد مساحة ربع الدائرة.

مساحة ربع الدائرة = $ط٢٥ = {٤} \div {ط١٠٠}$

نحسب مساحة المستطيل بضرب الطول في العرض.

مساحة المستطيل = $٤٨ = {٦} \times {٨}$

نحسب مساحة المنطقة المظللة بطرح مساحة المستطيل من مساحة ربع الدائرة.

المساحة المظللة = $٤٨ – ط٢٥$

والإجابة هي $٤٨ – ط٢٥$

تكنيك ٢: طريقة مضاعفات المثلثات المشهورة

المفهوم الرياضي: الاعتماد على أطوال أضلاع المثلثات قائمة الزاوية المشهورة لاختصار خطوات إيجاد نصف القطر ثم التعويض.

ندرك أن أبعاد المستطيل ستة وثمانية تمثل ضلعي زاوية قائمة في مثلث.

هذه الأبعاد هي مضاعفات للمثلث القائم المشهور ذو الأضلاع ثلاثة وأربعة وخمسة.

بضرب أضلاع المثلث المشهور في اثنان، نستنتج مباشرة أن الوتر يساوي عشرة.

وبالتالي، نصف قطر الدائرة يساوي عشرة.

نعوض بنصف القطر في قانون مساحة ربع الدائرة المباشر.

مساحة ربع الدائرة = ${\dfrac{١}{٤}} \times {ط} \times {}^{٢}١٠$

مساحة ربع الدائرة = $ط٢٥ = {\dfrac{١٠٠}{٤}} \times {ط}$

نحسب مساحة المستطيل.

مساحة المستطيل = $٤٨ = {٦} \times {٨}$

نطرح مساحة المستطيل من مساحة ربع الدائرة للحصول على المساحة المطلوبة.

المساحة المطلوبة = $٤٨ – ط٢٥$

والإجابة هي $٤٨ – ط٢٥$

تكنيك ١: التحليل الهندسي لخصائص المثلث داخل الدائرة

المفهوم الرياضي: المثلث الذي تقع رؤوس قاعدته على محيط الدائرة ورأسه الثالث في مركزها يكون متطابق الضلعين، لأن ضلعيه عبارة عن أنصاف أقطار في نفس الدائرة.

نلاحظ من الشكل الهندسي أن الدائرة مركزها النقطة $م$.

الضلع الأول للمثلث الواصل من المركز إلى نقطة على المحيط يمثل نصف قطر في الدائرة.

الضلع الثاني للمثلث الواصل من المركز إلى النقطة الأخرى على المحيط يمثل نصف قطر أيضاً.

بما أن جميع أنصاف الأقطار في الدائرة الواحدة متساوية في الطول دائماً، فإن المثلث المرسوم هو مثلث متطابق الضلعين.

القانون الرياضي: في أي مثلث متطابق الضلعين، تكون زاويتا القاعدة متساويتين في القياس كلياً.

الزاويتان المتواجدتان عند قاعدة هذا المثلث هما الزاوية $س$ والزاوية $ص$.

بناءً على القاعدة الهندسية، نستنتج رياضياً ومنطقياً أن قياس الزاوية $س$ يساوي تماماً قياس الزاوية $ص$.

نصيغ المعادلة الرياضية للنتيجة النهائية للزوايا:

$ص = س$

بما أن القيمة الأولى هي $س$ والقيمة الثانية هي $ص$، وقد أثبتنا تطابقهما الهندسي، فإن القيمتين متساويتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: الاستنتاج بالاعتماد على التطابق الهندسي ومحاور التماثل

المفهوم الرياضي: محور التماثل في المثلث متطابق الضلعين ينصف زاوية الرأس ويكون عمودياً على القاعدة، مما يطابق نصفي المثلث تماماً.

لو افترضنا رسم خط مستقيم وهمي يبدأ من النقطة $م$ (مركز الدائرة) وينزل عمودياً على قاعدة المثلث.

هذا الخط العمودي سيقسم المثلث الأصلي الكبير إلى مثلثين قائمي الزاوية صغيرين.

هذان المثلثان يتطابقان تماماً بسبب وجود وترين متساويين (وهما أنصاف أقطار الدائرة) وضلع مشترك (وهو العمود النازل).

من قوانين التطابق الهندسي للمثلثات، نستنتج أن جميع الزوايا المتناظرة ستكون متطابقة.

الزاوية $س$ في المثلث الأول تناظر الزاوية $ص$ في المثلث الثاني الناتج عن القسمة.

بالتالي، الزاويتان متساويتان في القياس دون الحاجة لأي حسابات رقمية.

عندما نقارن بين القيمة الأولى والقيمة الثانية بناءً على هذا الاستنتاج، نجد أنهما متطابقتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: التحليل الهندسي باستخدام مساحة المثلث

المفهوم الرياضي: الزوايا المتكاملة، خصائص المثلث القائم الزاوية المتطابق الضلعين، وقانون مساحة المثلث.

تشكل الزاوية المستقيمة $١٨٠$ درجة، وبما أن الزاوية الخارجية المعطاة في الشكل هي $١٣٥$ درجة، فإن الزاوية المكملة لها داخل المثلث المظلل تساوي $٤٥ = {١٣٥} – {١٨٠}$ درجة.

بما أن المثلث المظلل قائم الزاوية وإحدى زواياه $٤٥$ درجة، فإن الزاوية الثالثة يجب أن تساوي $٤٥$ درجة، مما يثبت أنه مثلث متطابق الضلعين.

بما أن قطر الدائرة يساوي ${\sqrt{٢}}٢$، فإن طول نصف القطر يساوي ${\sqrt{٢}} = {٢} \div {{\sqrt{٢}}٢}$.

نصف قطر الدائرة يمثل تماماً وتر المثلث القائم الزاوية المظلل.

في المثلث القائم المتطابق الضلعين، طول الضلع يساوي الوتر مقسوماً على ${\sqrt{٢}}$.

طول ضلعي القائمة (القاعدة والارتفاع) يساوي $١ = {\sqrt{٢}} \div {\sqrt{٢}}$.

قانون مساحة المثلث ينص على أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع.

مساحة المثلث الواحد المظلل تساوي $\dfrac{١}{٢} = {١} \times {١} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

بما أن الشكل يحتوي على مثلثين مظللين متطابقين، نقوم بضرب المساحة في $٢$.

المساحة الكلية المظللة تساوي $١ = {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

والإجابة هي $١$.

تكنيك ٢: الاستنتاج المباشر باستخدام مساحة المربع

المفهوم الرياضي: أقطار المربع ومساحته.

المثلثان القائمان المتطابقا الضلعين يشكلان معاً مربعاً كاملاً إذا تم دمجهما.

طول قطر هذا المربع التخيلي يساوي طول وتر المثلث، وهو نفسه نصف قطر الدائرة الذي يبلغ ${\sqrt{٢}}$.

قانون مساحة المربع بمعلومية طول قطره ينص على أن المساحة تساوي نصف مربع القطر.

مربع طول القطر يساوي $٢ = {}^{٢}({\sqrt{٢}})$.

مساحة المربع تساوي $١ = {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

بما أن المثلثين يمثلان هذا المربع بالكامل، فإن المساحة المظللة تساوي $١$.

والإجابة هي $١$.

تكنيك ١: التفكيك الجبري واستخراج القيمة بدلالة ط

المفهوم الرياضي: حساب نصف القطر من قانون محيط الدائرة، ثم التعويض في قانون المساحة مع إبقاء الثابت ط كرمز مجرد في الناتج النهائي لمطابقة الخيارات.

نبدأ بكتابة قانون المحيط للوصول إلى استخراج قيمة نصف القطر.

المحيط = $ر \times ط \times ٢$

نعوض بقيمة المحيط المعطاة في نص السؤال وهي ثلاثة وأربعة عشر من مائة.

${٣،١٤} = ر \times ط \times ٢$

نلاحظ بوضوح أن القيمة العددية المعطاة للمحيط تساوي تماماً القيمة التقريبية المعتادة للثابت ط.

ط = $ر \times ط \times ٢$

بقسمة كلا الطرفين على الثابت ط، نحصل على معادلة خطية مبسطة.

$١ = ر \times ٢$

نقسم على العدد اثنين لعزل نصف القطر في طرف مستقل.

$\dfrac{١}{٢} = ر$

ننتقل الآن لقانون مساحة الدائرة لتعويض قيمة نصف القطر المستخرجة.

المساحة = $ط \times {}^{٢}ر$

نعوض بقيمة النصف في المعادلة بدلاً من المتغير ر.

المساحة = $ط \times {}^{٢}(\dfrac{١}{٢})$

نربع الكسر بضرب البسط في نفسه، وضرب المقام في نفسه.

المساحة = $ط \times \dfrac{١}{٤}$

نرتب المعادلة لتطابق النسق البصري في الخيارات المتاحة، حيث يكتب الثابت ط بجوار الكسر الاعتيادي.

المساحة $ط\dfrac{١}{٤} =$

والإجابة هي $ط\dfrac{١}{٤}$

تكنيك ٢: الاستنتاج العكسي عن طريق تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: أخذ الخيارات المعطاة للمساحة، واستخراج نصف القطر منها، ثم حساب المحيط لمعرفة أي خيار يطابق المعطيات.

نبدأ بتجربة الخيار الأول الذي يفترض أن مساحة الدائرة تساوي الثابت ط مضروباً في اثنين.

$ط \times {٢} = ط \times {}^{٢}ر$

بقسمة الطرفين على الثابت ط، نستنتج أن مربع نصف القطر يساوي اثنين، ونصف القطر يساوي جذر اثنين، وهو ما لا يحقق المحيط المطلوب إطلاقاً.

نجرب الخيار الثالث الذي يفترض أن مساحة الدائرة تساوي الثابت ط مضروباً في الكسر نصف.

$ط \times \dfrac{١}{٢} = ط \times {}^{٢}ر$

هنا نجد أن مربع نصف القطر يساوي نصفاً، ونصف القطر سيساوي جذر النصف، وهذا أيضاً استنتاج خاطئ لا يطابق المحيط المطلوب.

نجرب الخيار الرابع الذي يفترض أن المساحة تساوي الثابت ط مضروباً في الكسر ربع.

$ط \times \dfrac{١}{٤} = ط \times {}^{٢}ر$

بقسمة الطرفين على الثابت ط، نستنتج أن مربع نصف القطر يساوي ربعاً.

$\dfrac{١}{٤} = {}^{٢}ر$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، يصبح نصف القطر مساوياً لنصف.

$\dfrac{١}{٢} = ر$

نعوض بهذا الرقم في قانون المحيط لنتحقق من صحته بشكل نهائي.

المحيط = $ط \times \dfrac{١}{٢} \times ٢$

العدد اثنان يختصر تماماً مع المقام في الكسر نصف، ليتبقى الثابت ط فقط.

المحيط = ط = $٣،١٤$

بما أن الناتج يطابق المعطيات بشكل مثالي في السؤال، فإن هذا الخيار هو الخيار الصحيح والمطلوب.

والإجابة هي $ط\dfrac{١}{٤}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة تساوي مساحة الشكل الخارجي الأكبر مطروحا منها مجموع مساحات الأشكال الداخلية بالكامل.

نكتب قانون مساحة المربع أولا: مساحة المربع = طول الضلع مضروبا في نفسه.

نعوض بطول ضلع المربع المعطى في السؤال لإيجاد المساحة الكلية: $٦٤ = {٨} \times {٨}$.

نلاحظ من الشكل الهندسي أن طول ضلع المربع يمثل قطرين متلاصقين للدوائر، وبالتالي فإنه يمثل أربعة أنصاف أقطار.

نقسم طول ضلع المربع على أربعة لاستنتاج طول نصف القطر للدائرة الواحدة: $٢ = {٤} \div {٨}$.

نكتب قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = ط مضروبة في مربع نصف القطر.

نعوض بقيمة نصف القطر المستنتجة لإيجاد مساحة الدائرة الواحدة: $ط٤ = {ط} \times {}^{٢}٢$.

نضرب مساحة الدائرة الواحدة في أربعة لإيجاد مساحة جميع الدوائر المتطابقة الأربعة: $ط١٦ = {ط٤} \times {٤}$.

نطرح مساحة الدوائر الأربع مجتمعة من مساحة المربع الكلية لإيجاد المساحة المظللة: $ط١٦ – ٦٤$.

والإجابة هي $ط١٦ – ٦٤$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجزئة الشكل الهندسي إلى أربعة مربعات متطابقة وصغيرة، يحتوي كل منها على دائرة كاملة للحصول على مساحة الجزء المظلل.

نقسم المربع الكبير إلى أربعة مربعات صغيرة متطابقة عن طريق رسم خطين متقاطعين في المنتصف.

نستنتج طول ضلع المربع الصغير بقسمة طول ضلع المربع الكبير الأساسي على اثنين: $٤ = {٢} \div {٨}$.

نكتب قانون مساحة المربع ونعوض لحساب مساحة المربع الصغير الواحد بضرب طول ضلعه في نفسه: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

نلاحظ أن المربع الصغير يحتوي بداخله على دائرة واحدة تمسه من جميع الجهات، وطول قطر هذه الدائرة يساوي طول ضلع المربع الصغير.

نقسم القطر على اثنين لإيجاد نصف القطر: $٢ = {٢} \div {٤}$.

نكتب قانون مساحة الدائرة ونحسب مساحة الدائرة الواحدة عن طريق التعويض في القانون: $ط٤ = {ط} \times {}^{٢}٢$.

نحسب مساحة الجزء المظلل في المربع الصغير الواحد بطرح مساحة الدائرة من مساحة المربع الصغير: $ط٤ – ١٦$.

نضرب الناتج النهائي في أربعة لإيجاد المساحة المظللة الكلية في الشكل الهندسي: $ط١٦ – ٦٤ = ({ط٤} – {١٦}) \times {٤}$.

والإجابة هي $ط١٦ – ٦٤$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج مساحة المنطقة المظللة بطرح مساحة المثلث المتطابق الأضلاع من مساحة القطاع الدائري.

الزاوية المركزية للقطاع الدائري المعطى تبلغ $٦٠$ درجة.

نصف قطر الدائرة الموضح في الشكل يبلغ $٦$ سم.

نحسب مساحة القطاع الدائري الذي يمثل سدس مساحة الدائرة الكلية لأن الزاوية $٦٠$ هي سدس الزاوية $٣٦٠$.

مساحة الدائرة الكلية تساوي ${}^{٢}({٦}) \times {ط}$ وهو ما يعادل $ط٣٦$.

نقسم المساحة الكلية على $٦$ لنحصل على مساحة القطاع.

$ط٦ = {٦} \div {ط٣٦}$

المثلث الداخلي يتكون من ضلعي نصف قطر طول كل منهما $٦$ وزاوية محصورة بينهما تبلغ $٦٠$ درجة.

وفقاً للخصائص الهندسية، المثلث المتطابق الضلعين الذي يحوي زاوية $٦٠$ درجة يكون متطابق الأضلاع بالضرورة.

نستخدم قانون مساحة المثلث متطابق الأضلاع: جذر ثلاثة مقسوماً على أربعة، مضروباً في مربع طول الضلع.

مربع طول الضلع يساوي $٣٦ = {}^{٢}({٦})$.

نضرب القيمة $٣٦$ في جذر ثلاثة ثم نقسم على $٤$.

ينتج من التبسيط الرياضي أن مساحة المثلث تساوي ${\sqrt{٣}}٩$.

مساحة الجزء المظلل هي ناتج طرح مساحة المثلث من مساحة القطاع الدائري.

المساحة المظللة تساوي ${\sqrt{٣}}٩ – ط٦$.

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٩ – ط٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: دمج قانون جيب الزاوية لحساب مساحة المثلث مع التناسب الدائري للقطاع.

نستخرج مساحة القطاع الدائري بضرب نسبته من الدائرة في المساحة الكلية.

نسبة القطاع الدائري هي الزاوية $٦٠$ مقسومة على $٣٦٠$، وتتبسط إلى ${\dfrac{١}{٦}}$.

نضرب النسبة في مساحة الدائرة الكلية $ط٣٦$.

ينتج أن مساحة القطاع الدائري تساوي $ط٦$.

لحساب مساحة المثلث بمعلومية ضلعين وزاوية محصورة، نطبق قانون نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية.

مساحة المثلث تساوي نصف القيمة المضروبة للضلعين $٦$ و $٦$ مضروبة في جيب الزاوية $٦٠$.

قيمة جيب الزاوية $٦٠$ تساوي رياضياً الجذر التربيعي للعدد ثلاثة مقسوماً على $٢$.

حاصل ضرب نصف الضلعين هو $١٨ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٣٦}$.

نضرب القيمة $١٨$ في الكسر المكون من جذر ثلاثة على $٢$.

الناتج بعد التبسيط الرياضي هو ${\sqrt{٣}}٩$.

نطرح مساحة المثلث من مساحة القطاع الدائري للحصول على الجزء المظلل.

المساحة المظللة تساوي ${\sqrt{٣}}٩ – ط٦$.

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٩ – ط٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التسلسل الجبري لإيجاد المحيط ومن ثم استنتاج نصف القطر للوصول إلى قانون المساحة للمقارنة.

نبدأ بالدائرة نون التي نعلم أن نصف قطرها يبلغ $٣$ سنتيمترات.

قانون محيط الدائرة يساوي نصف القطر مضروباً في اثنين مضروباً في الثابت ط.

نقوم بالتعويض في القانون لحساب محيط الدائرة نون.

${ط}٦ = {ط} \times {٣} \times {٢}$

وفقاً للمعطيات، محيط الدائرة ميم يعادل ثلاثة أمثال محيط الدائرة نون.

نضرب محيط الدائرة نون في العدد ثلاثة لإيجاد محيط الدائرة ميم.

${ط}١٨ = {٣} \times {ط}٦$

الآن، نساوي محيط الدائرة ميم بقانون المحيط الأساسي لإيجاد نصف قطرها الذي نرمز له بالمتغير $ر$.

${ط}١٨ = {ط} \times {ر} \times {٢}$

بقسمة الطرفين على ضعف الثابت ط لعزل المتغير.

$٩ = ر$

استنتجنا أن نصف قطر الدائرة ميم يساوي $٩$ سنتيمترات.

القيمة الأولى المطلوبة في المقارنة هي مساحة الدائرة ميم.

قانون مساحة الدائرة يساوي مربع نصف القطر مضروباً في الثابت ط.

${ط}٨١ = {ط} \times {{}^{٢}٩}$

نقوم الآن بالمقارنة بين القيمة الأولى وهي ${ط}٨١$ والقيمة الثانية المعطاة وهي ${ط}٦٠$.

بما أن المعامل $٨١$ أكبر بوضوح من المعامل $٦٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التطبيق المتقدم لنسب التشابه والتناسب الطردي بين الأطوال والمساحات لاختصار الخطوات.

من القواعد الهندسية الثابتة، النسبة بين محيطي أي دائرتين تتطابق تماماً مع النسبة بين نصفي قطريهما.

بما أن السؤال ينص على أن محيط الدائرة ميم يساوي ثلاثة أمثال محيط الدائرة نون.

فإن القاعدة تحتم أن نصف قطر الدائرة ميم سيساوي حتماً ثلاثة أمثال نصف قطر الدائرة نون.

نصف قطر الدائرة نون معطى في السؤال وقيمته $٣$.

نضرب هذه القيمة في ثلاثة لإيجاد نصف قطر الدائرة ميم مباشرة.

$٩ = {٣} \times {٣}$

ننتقل لحساب القيمة الأولى وهي مساحة الدائرة ميم.

نعوض بقيمة نصف القطر في قانون المساحة وهو الثابت ط مضروباً في مربع نصف القطر.

${ط}٨١ = {ط} \times {{}^{٢}٩}$

نضع القيمة الأولى مقابل القيمة الثانية المعطاة في السؤال لإجراء المقارنة.

القيمة الأولى تساوي ${ط}٨١$.

القيمة الثانية تساوي ${ط}٦٠$.

نجد أن القيمة الأولى تفوق القيمة الثانية عددياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل المحصور بين ثلاث دوائر متماسة تساوي مساحة المثلث المتطابق الأضلاع الواصل بين مراكزها مطروحا منه مساحة قطاعات الدوائر الثلاثة المتقاطعة معه.

نكون مثلثا بربط مراكز الدوائر الثلاث، وبما أنها متطابقة فإن طول ضلع المثلث يساوي ضعف نصف القطر، وتكون الزوايا الداخلية متطابقة ولا نبحث عن زاوية مكملة لها هنا.

نجمع نصفي القطر المتقاطعين لإيجاد طول ضلع المثلث: $٤ = {٢} + {٢}$.

نكتب قانون مساحة المثلث المتطابق الأضلاع: المساحة تساوي الجذر التربيعي للعدد ثلاثة مقسوما على أربعة، والناتج يضرب في مربع طول الضلع.

نعوض بطول الضلع في القانون لإيجاد مساحة المثلث الكلية: ${\sqrt{٣}}٤ = {}^{٢}٤ \times {\dfrac{\sqrt{٣}}{٤}}$.

نستنتج مساحة القطاعات الدائرية الثلاثة المحصورة داخل المثلث، وبما أن كل زاوية تساوي ستين درجة، فإن مجموع الزوايا يساوي مائة وثمانين درجة.

تمثل المائة والثمانون درجة نصف دائرة كاملة، لذا نكتب قانون مساحة نصف الدائرة: مساحة نصف الدائرة = ط مضروبة في مربع نصف القطر، والناتج مقسوم على اثنين.

نعوض بنصف القطر في قانون الدائرة الكلية لإيجاد مساحتها: $ط٤ = {ط} \times {}^{٢}٢$.

نقسم مساحة الدائرة الكلية على اثنين لإيجاد مساحة القطاعات الثلاثة مجتمعة: $ط٢ = {٢} \div {ط٤}$.

نطرح مساحة القطاعات الدائرية الثلاثة من مساحة المثلث للحصول على المساحة المظللة النهائية: $ط٢ – {\sqrt{٣}}٤$.

والإجابة هي $ط٢ – {\sqrt{٣}}٤$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاعتماد على القاعدة الجاهزة لحساب مساحة الجزء المظلل المحصور بين ثلاث دوائر متطابقة ومتماسة.

تنص القاعدة المباشرة على أن المساحة المظللة تساوي مربع نصف القطر مضروبا في ناتج الطرح بين الجذر التربيعي للعدد ثلاثة ومقدار ط مقسوما على اثنين.

نكتب القاعدة الرياضية كمعادلة: مساحة المظلل = مربع نصف القطر مضروبا في القوس الذي يحتوي على الجذر التربيعي لثلاثة مطروحا منه ط على اثنين.

نعوض بقيمة نصف القطر المعطاة وهي اثنان داخل المعادلة الثابتة.

نربع نصف القطر ليصبح أربعة، ثم نضربه في الحد الأول داخل القوس وهو الجذر التربيعي لثلاثة: ${\sqrt{٣}}٤ = {\sqrt{٣}} \times {}^{٢}٢$.

نضرب مربع نصف القطر في الحد الثاني داخل القوس وهو ط مقسوما على اثنين: $ط٢ = {\dfrac{ط}{٢}} \times {}^{٢}٢$.

نجمع الحدين المستنتجين لتمثيل معادلة المساحة النهائية مطبقين إشارة الطرح بينهما ليكون الناتج صحيحا.

والإجابة هي $ط٢ – {\sqrt{٣}}٤$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر لمحيط كل شكل هندسي على حدة والمقارنة بين النواتج النهائية.

أولاً، نحسب محيط الدائرة التي يبلغ نصف قطرها $٤$ سنتيمترات.

قانون محيط الدائرة يساوي نصف القطر مضروباً في اثنين مضروباً في الثابت ط.

${ط}٨ = {ط} \times {٤} \times {٢}$

نعوض عن قيمة ط التقريبية لغرض المقارنة الدقيقة.

$٢٥،١٢ = {٣،١٤} \times {٨}$

ثانياً، نحسب محيط المستطيل الذي أبعاده $٨$ و $١٤$ سنتيمتراً.

قانون محيط المستطيل يساوي مجموع الطول والعرض مضروباً في اثنين.

$٤٤ = {٢} \times ({١٤} + {٨})$

ثالثاً، نحسب محيط المثلث متطابق الأضلاع الذي طول ضلعه $٩$ سنتيمترات.

قانون محيط المثلث متطابق الأضلاع يساوي طول الضلع مضروباً في ثلاثة.

$٢٧ = {٣} \times {٩}$

رابعاً، نحسب محيط المربع الذي طول ضلعه $٨$ سنتيمترات.

قانون محيط المربع يساوي طول الضلع مضروباً في أربعة.

$٣٢ = {٤} \times {٨}$

بمقارنة النواتج العددية النهائية، نجد أن العدد $٤٤$ يمثل القيمة الأكبر بين جميع المحيطات.

والإجابة هي مستطيل بعداه $٨$ سم وَ $١٤$ سم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التقدير المنطقي السريع واستبعاد الخيارات الأقل دون الحاجة لحسابات معقدة.

نبدأ بالنظر إلى المربع، محيطه يمثل حاصل ضرب ضلعه في أربعة، مما يعطي القيمة $٣٢$.

ننتقل إلى المثلث متطابق الأضلاع، محيطه يمثل ضرب ضلعه في ثلاثة، مما يعطي القيمة $٢٧$.

بما أن $٢٧$ أصغر من $٣٢$، نستبعد المثلث من المقارنة.

ننظر إلى الدائرة، محيطها هو الثابت ط مضروباً في ثمانية.

بما أن قيمة ط قريبة جداً من العدد ثلاثة، فإن المحيط يقارب العدد $٢٤$.

بما أن $٢٤$ أصغر من $٣٢$، نستبعد الدائرة أيضاً.

يتبقى لدينا المستطيل، نلاحظ أن مجموع بعديه فقط يساوي $٢٢$.

عند ضرب هذا المجموع في اثنين للحصول على المحيط، نصل إلى القيمة $٤٤$.

نقارن بين $٤٤$ للمستطيل و $٣٢$ للمربع، ونجد أن المستطيل هو الأكبر بوضوح.

والإجابة هي مستطيل بعداه $٨$ سم وَ $١٤$ سم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تبسيط معادلة الدائرة للوصول إلى الصيغة القياسية واستخراج مساحتها مباشرة.

نكتب المعادلة الأصلية المعطاة في نص السؤال تماماً كما وردت.

$١٨ = {}^{٢}ص \dfrac{١}{٢} + {}^{٢}س \dfrac{١}{٢}$

نلاحظ أن المعادلة تحتوي على كسر وهو النصف كمعامل للمتغيرات في الطرف الأيسر بصرياً.

نضرب طرفي المعادلة في العدد اثنان للتخلص من المقامات وتبسيط المعادلة.

${٢} \times {١٨} = {٢} \times {({}^{٢}ص \dfrac{١}{٢} + {}^{٢}س \dfrac{١}{٢})}$

ينتج لدينا بعد الضرب المعادلة بالصيغة القياسية المألوفة.

$٣٦ = {}^{٢}ص + {}^{٢}س$

الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة تنص على أن مجموع مربعي المتغيرين يساوي مربع نصف القطر.

نستنتج من ذلك أن مربع نصف القطر يساوي ستة وثلاثون.

$٣٦ = {}^{٢}ر$

قانون مساحة الدائرة ينص على ضرب مربع نصف القطر في ط.

بما أن مربع نصف القطر جاهز، نعوض به مباشرة في القانون دون الحاجة لإيجاد نصف القطر نفسه.

$ط٣٦ = {ط} \times {٣٦}$

والإجابة هي $ط٣٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخراج نصف القطر كخطوة وسيطة قبل حساب المساحة.

نبدأ بالمعادلة المعطاة في السؤال.

$١٨ = {}^{٢}ص \dfrac{١}{٢} + {}^{٢}س \dfrac{١}{٢}$

نستخرج النصف كعامل مشترك من الحدود.

$١٨ = {({}^{٢}ص + {}^{٢}س)} \dfrac{١}{٢}$

نقسم الطرفين على نصف، وهو ما يعادل رياضياً الضرب في مقلوب الكسر أي اثنان.

$٣٦ = {}^{٢}ص + {}^{٢}س$

نجد أن مربع نصف القطر يساوي ستة وثلاثون.

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد طول نصف القطر.

$٦ = {\sqrt{٣٦}}$

نعوض بقيمة نصف القطر المستخرجة في قانون مساحة الدائرة.

$ط٣٦ = {}^{٢}٦ \times {ط}$

والإجابة هي $ط٣٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل المحصور بين أربع دوائر متطابقة تساوي مساحة المربع الواصل بين مراكزها مطروحا منها مساحة قطاعات الدوائر الأربعة المتقاطعة معه.

نكون مربعا داخليا بربط مراكز الدوائر الأربع، وطول ضلعه يساوي ضعف نصف قطر الدائرة الواحدة.

بما أن المربع الخارجي المعطى طول ضلعه ثمانية ويحتوي على دائرتين متجاورتين تماما، فإن طول قطر الدائرة الواحدة يساوي أربعة.

نقسم طول القطر الكلي للدائرة على اثنين لإيجاد نصف القطر: $٢ = {٢} \div {٤}$.

نحسب طول ضلع المربع الداخلي الواصل بين المراكز والذي يتكون من نصفي قطرين متجاورين، أي يساوي أربعة وحدات.

نكتب قانون مساحة المربع ونحسب مساحة المربع الداخلي بضرب ضلعه في نفسه: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

نلاحظ أن زوايا المربع الداخلي الأربع تقتطع أربعة أرباع من الدوائر، ومجموع هذه الأرباع الأربعة يشكل دائرة واحدة كاملة.

نكتب قانون مساحة الدائرة ونحسب مساحة هذه الدائرة الكاملة التي نصف قطرها اثنان: $ط٤ = {ط} \times {}^{٢}٢$.

نطرح مساحة هذه الدائرة الكاملة من مساحة المربع الداخلي للحصول على مساحة الجزء المظلل المستهدف.

والإجابة هي $ط٤ – ١٦$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام القاعدة الثابتة لمساحة الجزء المظلل المحصور بين أربع دوائر متطابقة ومتماسة.

تنص القاعدة الهندسية الجاهزة على أن مساحة هذا الجزء المظلل تساوي مربع نصف القطر مضروبا في القوس الذي يحتوي على أربعة مطروحا منها ط.

نكتب القاعدة الرياضية كمعادلة: مساحة المظلل = مربع نصف القطر مضروبا في ناتج طرح ط من أربعة.

نستنتج طول نصف قطر الدائرة الواحدة من معطيات المربع الخارجي، والذي يمثل ربع طول ضلع المربع الخارجي الكلي.

بقسمة الثمانية على أربعة، نحصل على قيمة نصف القطر المستهدفة: $٢ = {٤} \div {٨}$.

نعوض بقيمة نصف القطر في القاعدة الثابتة لإنتاج المعادلة: $({ط} – {٤}) \times {}^{٢}٢$.

نربع نصف القطر ليصبح أربعة، ثم نوزع عملية الضرب على جميع الحدود الموجودة بداخل القوس.

نضرب الأربعة في الحد الأول لتعطي ستة عشر، ونضربها في الحد الثاني لتعطي أربعة ط.

نطرح الحد الثاني من الحد الأول لإنتاج الصيغة النهائية للمساحة المظللة.

والإجابة هي $ط٤ – ١٦$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة تكون قائمة، ومحيط الدائرة يساوي القطر مضروباً في المتغير ط.

بما أن المثلث مرسوم داخل نصف دائرة، فإن الزاوية المقابلة للقطر يمثلها زاوية قائمة.

القانون: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

مربع الوتر = ${}^{٢}١٢ + {}^{٢}٥$

مربع الوتر = ${١٤٤} + {٢٥}$

مربع الوتر = $١٦٩$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$١٣ = {\sqrt{١٦٩}}$

إذن طول قطر الدائرة يساوي $١٣$.

قانون محيط الدائرة = القطر مضروباً في $ط$.

بالتعويض بقيمة القطر:

المحيط = $ط١٣$.

والإجابة هي $ط١٣$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاعتماد على ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة للمثلث قائم الزاوية لاختصار خطوات الحل الجبرية، ثم حساب محيط الدائرة.

من خصائص الدوائر، أي مثلث مرسوم داخل دائرة وأحد أضلاعه يمر بالمركز كقطر، يكون مثلثاً قائم الزاوية.

أضلاع القائمة المعطاة في الشكل هي $٥$ و $١٢$.

من ثلاثيات فيثاغورس المشهورة للمثلث قائم الزاوية، نستنتج مباشرة أن طول الوتر يساوي $١٣$.

الوتر في هذا المثلث يمثل قطر الدائرة بالكامل.

قانون محيط الدائرة = القطر مضروباً في $ط$.

بالتعويض المباشر:

محيط الدائرة = $ط١٣$.

والإجابة هي $ط١٣$.

تكنيك ١: التحليل الجبري لمساحات الدوائر

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تمثل حلقة دائرية، ومساحتها تساوي مساحة الدائرة الكبيرة مطروحاً منها مساحة الدائرة الصغيرة.

مساحة الدائرة الكبيرة معطاة وتساوي $ط٣٦$.

نحسب نصف قطر الدائرة الكبيرة من خلال قانون مساحة الدائرة عن طريق أخذ الجذر التربيعي لمعامل المساحة.

$٦ = {\sqrt{٣٦}}$

من خلال المعطيات في الشكل، نلاحظ أن عرض الحلقة المظللة يساوي وحدتين.

نحسب نصف قطر الدائرة الصغيرة غير المظللة بطرح عرض الحلقة من نصف قطر الدائرة الكبيرة.

$٤ = {٢} – {٦}$

نحسب مساحة الدائرة الصغيرة غير المظللة بضرب مربع نصف القطر في المتغير ط.

$ط١٦ = {ط} \times {{}^{٢}٤}$

نطرح مساحة الدائرة الصغيرة من مساحة الدائرة الكبيرة لإيجاد مساحة المنطقة المظللة.

$ط٢٠ = {ط١٦} – {ط٣٦}$

والإجابة هي $ط٢٠$

تكنيك ٢: تطبيق قانون مساحة الحلقة الدائرية

المفهوم الرياضي: يمكن حساب مساحة الحلقة الدائرية المظللة باستخدام قانون الفرق بين مربعي نصفي القطرين الخارجي والداخلي مضروباً في المتغير ط.

نصف القطر الخارجي يمثل نصف قطر الدائرة الكبيرة، ونجده بأخذ الجذر التربيعي للعدد ستة وثلاثين.

$٦ = {\sqrt{٣٦}}$

عرض الجزء المظلل يبلغ وحدتين كما هو موضح على الخط الهندسي في الشكل.

نصف القطر الداخلي يساوي نصف القطر الخارجي ناقصاً عرض الجزء المظلل.

$٤ = {٢} – {٦}$

مربع نصف القطر الخارجي يساوي ستة وثلاثين.

$٣٦ = {{}^{٢}٦}$

مربع نصف القطر الداخلي يساوي ستة عشر.

$١٦ = {{}^{٢}٤}$

نحسب الفرق بين المربعين بطرح العدد الأصغر من الأكبر.

$٢٠ = {١٦} – {٣٦}$

نضرب الناتج النهائي في المتغير ط لنحصل على المساحة الكلية للحلقة المظللة.

$ط٢٠ = {ط} \times {٢٠}$

والإجابة هي $ط٢٠$

تكنيك ١: طريقة استنتاج نصف القطر والتعويض

المفهوم الرياضي: استخراج قطر الدائرة من عرض المستطيل الملاصق لها، ثم إيجاد نصف القطر واستخدامه لحساب مساحة نصف الدائرة.

من الشكل الهندسي، يتضح أن قاعدة نصف الدائرة تنطبق تماماً على عرض المستطيل.

إذن، قطر الدائرة الكامل يساوي عرض المستطيل وهو أربعة.

لإيجاد نصف القطر، نقسم القطر على اثنان.

نصف القطر = $٢ = {٢} \div {٤}$

نكتب قانون مساحة الدائرة الكاملة.

المساحة الكلية = ${ط} \times {}^{٢}نق$

نعوض بقيمة نصف القطر التي استنتجناها.

المساحة الكلية = ${ط} \times {}^{٢}٢$

نحسب مربع العدد اثنان.

المساحة الكلية = $ط٤$

لإيجاد مساحة المنطقة العلوية الممثلة بنصف دائرة، نقسم المساحة الكلية على اثنان.

مساحة نصف الدائرة = $ط٢ = {٢} \div {ط٤}$

والإجابة هي $ط٢$

تكنيك ٢: طريقة التعويض المباشر في قانون نصف الدائرة

المفهوم الرياضي: استخدام القانون المباشر لمساحة نصف الدائرة اختصاراً للخطوات الحسابية.

نحدد قطر الدائرة بناءً على عرض المستطيل وهو أربعة.

نستنتج أن نصف القطر يساوي اثنان.

نكتب القانون المباشر لمساحة نصف الدائرة.

المساحة = ${\dfrac{١}{٢}} \times {ط} \times {}^{٢}نق$

نعوض بقيمة نصف القطر في القانون.

المساحة = ${\dfrac{١}{٢}} \times {ط} \times {}^{٢}٢$

نحسب القوة المرفوعة للعدد.

المساحة = ${\dfrac{١}{٢}} \times {ط} \times {٤}$

نبسط بضرب العدد أربعة في الكسر.

المساحة = $ط٢ = {ط} \times {\dfrac{٤}{٢}}$

والإجابة هي $ط٢$

تكنيك ١: استخدام قانون النسبة الثابتة للدوائر المتطابقة المرسومة على قطر دائرة.

المفهوم الرياضي: إذا رُسمت عدة دوائر صغيرة متطابقة بحيث تقع مراكزها على قطر دائرة كبرى وتغطي القطر بالكامل، فإن نسبة محيط الدائرة الصغيرة الواحدة إلى محيط الدائرة الكبرى تساوي العدد واحد مقسوماً على عدد الدوائر الصغيرة.

نحدد المعطيات من نص السؤال، حيث أن عدد الدوائر (ع د) الصغيرة المرسومة على القطر يساوي أربعين دائرة.

نكتب قانون النسبة للتعويض المباشر.

النسبة = $\dfrac{١}{دع}$

نقوم بالتعويض المباشر في القانون بعدد الدوائر لاستخراج النتيجة.

النسبة = $\dfrac{١}{٤٠}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٤٠}$

تكنيك ٢: الحساب الجبري المفصل لمحيط كل دائرة على حدة ثم إيجاد النسبة بينهما.

المفهوم الرياضي: محيط الدائرة يساوي طول القطر مضروباً في الثابت الرياضي ط.

أولاً، نحسب محيط الدائرة الصغيرة الواحدة بناءً على المعطيات.

قطر الدائرة الصغيرة معطى في السؤال ويساوي ثمانية سنتيمترات.

محيط الدائرة الصغيرة = $ط٨$

ثانياً، نحسب طول قطر الدائرة الكبرى.

بما أن الدوائر الصغيرة متطابقة ومرسومة على امتداد القطر، فإن قطر الدائرة الكبرى يساوي عدد الدوائر مضروباً في قطر الدائرة الواحدة.

قطر الدائرة الكبرى = ${٤٠} \times {٨}$

قطر الدائرة الكبرى = $٣٢٠$

ثالثاً، نحسب محيط الدائرة الكبرى باستخدام طول قطرها الكلي الذي أوجدناه في الخطوة السابقة.

محيط الدائرة الكبرى = $ط٣٢٠$

أخيراً، نوجد النسبة المطلوبة بقسمة محيط الدائرة الصغيرة على محيط الدائرة الكبرى.

النسبة = $\dfrac{ط٨}{ط٣٢٠}$

نقوم بتبسيط الكسر جبرياً بقسمة البسط والمقام على الثابت الرياضي ط.

النسبة = $\dfrac{٨}{٣٢٠}$

نقسم البسط والمقام على العدد ثمانية للوصول إلى الكسر في أبسط صورة ممكنة.

النسبة = $\dfrac{١}{٤٠}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٤٠}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: نسبة مساحة القطاع الدائري تساوي نسبة زاويته إلى الزاوية الكلية للدائرة.

نحدد الزاوية الكلية للدائرة وهي ثلاثمائة وستون درجة.

زاوية القطاع غير المظلل معطاة في الشكل وتساوي ستون درجة.

نحسب الزاوية المكملة للقطاع المظلل بطرح زاوية القطاع غير المظلل من الزاوية الكلية.

$٣٠٠ = {٦٠} – {٣٦٠}$

نوجد نسبة القطاع المظلل بقسمة زاويته على الزاوية الكلية.

$\dfrac{٥}{٦} = {٣٦٠} \div {٣٠٠}$

نكتب قانون مساحة الدائرة الكلية وهو مربع نصف القطر مضروباً في ط.

نعوض بقيمة نصف القطر المعطاة وهي ثلاثة لإيجاد المساحة الكلية.

$ط٩ = {}^{٢}٣ \times {ط}$

نضرب المساحة الكلية في نسبة القطاع المظلل لإيجاد مساحته.

$ط \dfrac{١٥}{٢} = {\dfrac{٥}{٦}} \times {ط٩}$

والإجابة هي $ط \dfrac{١٥}{٢}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب مساحة الجزء غير المظلل وطرحه من المساحة الكلية.

نحسب مساحة الدائرة الكلية بتعويض نصف القطر في قانون المساحة.

$ط٩ = {}^{٢}٣ \times {ط}$

نوجد نسبة الجزء غير المظلل بقسمة زاويته على ثلاثمائة وستون درجة.

$\dfrac{١}{٦} = {٣٦٠} \div {٦٠}$

نحسب مساحة الجزء غير المظلل بضرب نسبته في المساحة الكلية للدائرة.

$ط \dfrac{٣}{٢} = {\dfrac{١}{٦}} \times {ط٩}$

نطرح مساحة الجزء غير المظلل من المساحة الكلية لإيجاد مساحة الجزء المظلل.

لتنفيذ الطرح بشكل صحيح نوحد مقامات المساحة الكلية لتصبح ثمانية عشر على اثنان مضروبة في ط.

$ط \dfrac{١٥}{٢} = {ط \dfrac{٣}{٢}} – {ط \dfrac{١٨}{٢}}$

والإجابة هي $ط \dfrac{١٥}{٢}$

التكنيك الأول: حساب مساحة المثلث عبر إيجاد الارتفاع والقاعدة باستخدام حساب المثلثات

المفهوم الرياضي: مساحة أي مثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروبا في الارتفاع العمودي الساقط عليها أو امتدادها.

من خلال تحليل الشكل الهندسي، نلاحظ أن المنطقة المظللة عبارة عن مثلث منفرج الزاوية يقع رأسه الأيمن عند مركز الدائرة.

نعتبر الضلع العمودي للمثلث المظلل، والذي يمثل المسافة من مركز الدائرة إلى محيطها في الأعلى، هو قاعدة هذا المثلث.

هذا الضلع العمودي يمثل هندسيا نصف قطر الدائرة المعطاة.

ارتفاع هذا المثلث المظلل هو المسافة الأفقية العمودية الممتدة من الرأس الأيسر إلى خط القاعدة العمودي أو امتداده.

بناء على المعطيات الموضحة على الشكل، المسافة الأفقية التي تمثل الارتفاع تساوي العدد ٦.

لإيجاد طول القاعدة (وهي نصف القطر)، نقوم بتحليل المثلث القائم الزاوية الأسفل وغير المظلل.

يحتوي هذا المثلث السفلي على زاوية حادة قياسها ٣٠ درجة، وضلعه الأفقي المجاور لهذه الزاوية يبلغ طوله ٦.

الضلع العمودي المقابل للزاوية ٣٠ يمثل نصف قطر الدائرة المجهول، ونرمز له بالمتغير س.

القانون الرياضي الأساسي: ظل الزاوية = طول الضلع المقابل مقسوما على طول الضلع المجاور.

نعلم رياضيا من الزوايا الشهيرة أن ظل الزاوية ٣٠ يساوي القيمة الكسرية واحد مقسوما على جذر ٣.

نقوم بصياغة المعادلة الجبرية للتعويض بالقيم المعطاة لإيجاد قيمة س.

${\dfrac{١}{\sqrt{٣}}} = {\dfrac{س}{٦}}$

لإيجاد قيمة س المجردة، نقوم بضرب الطرفين في العدد ٦ لعزل المتغير.

${\dfrac{٦}{\sqrt{٣}}} = س$

نقوم بإنطاق المقام للتخلص من الجذر عبر ضرب البسط والمقام في جذر ٣.

${\dfrac{{\sqrt{٣}}٦}{٣}} = س$

نبسط الكسر رياضيا بقسمة العدد ٦ في البسط على العدد ٣ في المقام ليصبح الناتج ٢ مضروبا في جذر ٣.

${\sqrt{٣}}٢ = س$

الآن أصبحت لدينا أبعاد المثلث المظلل مكتملة، حيث قاعدته تساوي ٢ جذر ٣، وارتفاعه يساوي ٦.

القانون الرياضي: مساحة المثلث = نصف طول القاعدة مضروبا في الارتفاع.

نرمز للمساحة بالمتغير م ونقوم بالتعويض بالقيم المستخرجة.

${م} = {٦} \times {{\sqrt{٣}}٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نقوم بتبسيط المعادلة بضرب الكسر نصف في العدد ٢ ليصبح الناتج ١، ويبقى المعامل ٦.

${م} = {٦} \times {\sqrt{٣}}$

ندمج المعامل مع الجذر ليتوافق مع التنسيق الهندسي النهائي.

${\sqrt{٣}}٦ = م$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٦$

التكنيك الثاني: استنتاج الأطوال عبر خصائص المثلث الثلاثيني الستيني

المفهوم الرياضي: في المثلث القائم الزاوية الذي قياس زواياه ٣٠ و ٦٠ و ٩٠ درجة، تكون النسبة بين الأطوال ثابتة ومعروفة مسبقا.

القاعدة الهندسية تنص على أن الضلع المقابل للزاوية ٦٠ يساوي طول الضلع المقابل للزاوية ٣٠ مضروبا في الثابت جذر ٣.

نحدد المثلث القائم السفلي في الشكل، حيث الزاوية المعطاة هي ٣٠ درجة والزاوية القائمة تقع عند مركز الدائرة.

بما أن مجموع زوايا المثلث ١٨٠ درجة، فإن الزاوية الثالثة العلوية في هذا المثلث ستكون حتما ٦٠ درجة.

الضلع الأفقي المعطى في أسفل الشكل والذي طوله ٦، يمثل هندسيا الضلع المقابل للزاوية ٦٠ درجة.

الضلع العمودي للمثلث يمثل نصف قطر الدائرة، وهو الضلع المقابل للزاوية ٣٠ درجة، ونرمز له رياضيا بالمتغير س.

بناء على خصائص المثلث الثلاثيني الستيني، نصيغ المعادلة الجبرية التي تربط بين الضلعين.

${٦} = {\sqrt{٣}} \times {س}$

نقسم طرفي المعادلة على جذر ٣ لعزل المتغير س في طرف مستقل.

${\dfrac{٦}{\sqrt{٣}}} = س$

بتطبيق عملية إنطاق المقام كما في التكنيك السابق، نصل إلى الطول النهائي لنصف القطر.

${\sqrt{٣}}٢ = س$

الآن ننتقل لحساب مساحة المنطقة المظللة، وهي عبارة عن مثلث.

قاعدة هذا المثلث المظلل هي الضلع العمودي المطابق لطول نصف القطر، وارتفاعه الخارجي هو المسافة الأفقية المطابقة للعدد ٦.

مساحة المثلث = نصف القاعدة مضروبا في الارتفاع.

نعوض بالقيم العددية التي حصلنا عليها لإيجاد المساحة م.

${م} = {٦} \times {{\sqrt{٣}}٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نختصر العدد ٢ الموجود في المقام مع العدد ٢ المضروب في الجذر.

${م} = {٦} \times {\sqrt{٣}}$

نرتب الناتج النهائي بوضع المعامل في الجهة اليمنى للجذر.

${\sqrt{٣}}٦ = م$

والإجابة هي ${\sqrt{٣}}٦$

تكنيك ١: التطبيق الجبري لقوانين الأشكال المتداخلة

المفهوم الرياضي: محيط الدائرة، محيط المربع، واستنتاج الأبعاد من الرسم الهندسي.

من خلال الفحص البصري الدقيق للشكل الهندسي، يتبين أن طول ضلع المربع مساوٍ تماماً لطول نصف قطر الدائرة.

نستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد قيمة نصف القطر، حيث المحيط = $ط \times {س} \times {٢}$.

نعوض بقيمة المحيط المعطاة في السؤال، لتصبح المعادلة $ط١٠ = {س} \times {ط٢}$.

نقسم كلا الطرفين على $ط٢$ لعزل المتغير الذي يمثل نصف القطر الجبري.

نستنتج من ذلك أن طول نصف القطر يساوي $٥ = {٢} \div {١٠}$.

بناءً على العلاقة المستنتجة من الشكل، فإن طول ضلع المربع يساوي أيضاً $٥$.

قانون محيط المربع ينص على ضرب طول ضلع المربع في العدد $٤$.

محيط المربع يساوي $٢٠ = {٤} \times {٥}$.

والإجابة هي $٢٠$.

تكنيك ٢: تجزئة الأبعاد وحساب المجاميع المتتالية

المفهوم الرياضي: التناسب الخطي للأشكال الهندسية واستنتاج المحيط بالجمع المتكرر.

محيط الدائرة يمثل رياضياً حاصل ضرب القطر الكامل للدائرة في $ط$.

بما أن المحيط المعطى هو $ط١٠$، فإن القطر الكامل للدائرة يساوي $١٠$ بشكل مباشر.

الشكل الهندسي يوضح أن ضلع المربع يطابق المسافة من المركز للمحيط، وهي نصف قطر الدائرة.

نحسب نصف القطر بقسمة القطر الكامل على $٢$.

طول ضلع المربع المجرد يساوي $٥ = {\dfrac{١٠}{٢}}$.

المربع يتألف من أربعة أضلاع متطابقة تماماً في الطول.

نحسب محيط المربع بجمع طول الضلع أربع مرات متتالية لتمثيل الحدود الخارجية.

محيط المربع الكلي يساوي $٢٠ = {٥} + {٥} + {٥} + {٥}$.

والإجابة هي $٢٠$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قطر المربع المرسوم داخل دائرة يطابق قطر الدائرة نفسها، ثم استخدام قانون مساحة الدائرة.

بما أن المربع مرسوم داخل دائرة وتلامس رؤوسه محيطها، فإن قطر المربع يمثل قطر الدائرة.

قانون طول قطر المربع = طول الضلع مضروباً في ${\sqrt{٢}}$.

بالتعويض بطول ضلع المربع المعطى:

قطر المربع = ${\sqrt{٢}}١٠$.

بما أن قطر المربع هو قطر الدائرة، فإن قطر الدائرة = ${\sqrt{٢}}١٠$.

لإيجاد مساحة الدائرة، نحتاج إلى حساب نصف القطر.

نصف القطر = القطر مقسوماً على $٢$.

نصف القطر = ${\sqrt{٢}}٥ = {٢} \div {{\sqrt{٢}}١٠$.

قانون مساحة الدائرة = مربع نصف القطر مضروباً في $ط$.

بالتعويض بقيمة نصف القطر:

المساحة = $ط \times {}^{٢}({\sqrt{٢}}٥)$.

عند تربيع القيمة، نربع المعامل ونربع الجذر:

المساحة = $ط \times ({٢} \times {٢٥})$.

المساحة = $ط \times ٥٠$.

المساحة = $ط٥٠$.

والإجابة هي $ط٥٠$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تقسيم المربع إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين لحساب القطر عبر نظرية فيثاغورس، ثم إيجاد مساحة الدائرة.

قطر المربع يقسمه إلى مثلثين قائمي الزاوية، حيث طول كل ضلع من أضلاع القائمة يساوي $١٠$.

القانون: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

مربع الوتر = ${}^{٢}١٠ + {}^{٢}١٠$

مربع الوتر = ${١٠٠} + {١٠٠}$

مربع الوتر = $٢٠٠$

الوتر والذي يمثل قطر المربع والدائرة = ${\sqrt{٢٠٠}}$.

لإيجاد مساحة الدائرة، نحتاج إلى مربع نصف القطر.

بما أن القطر = ${\sqrt{٢٠٠}}$، فإن نصف القطر = $\dfrac{{\sqrt{٢٠٠}}}{٢}$.

قانون مساحة الدائرة = مربع نصف القطر مضروباً في $ط$.

مربع نصف القطر = ${}^{٢}(\dfrac{{\sqrt{٢٠٠}}}{٢})$.

$٥٠ = \dfrac{٢٠٠}{٤}$

بالتعويض في قانون المساحة:

المساحة = $ط٥٠$.

والإجابة هي $ط٥٠$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج نصف القطر من مساحة الدائرة ثم تطبيقه لحساب المسافات الخطية المكونة للقطعة المستقيمة.

أفادنا السؤال بأن مساحة الدائرة الواحدة تساوي $ط٩$.

القانون: مساحة الدائرة تساوي النسبة ط مضروبة في مربع نصف القطر.

نعوض بقيمة المساحة المعطاة في القانون الجبري لإيجاد المتغير.

$ط٩ = ط \times {}^{٢}نق$

نقسم كلا الطرفين على النسبة التقريبية ط لتبسيط المعادلة وعزل المتغير.

$٩ = {}^{٢}نق$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن قيمة نصف القطر نق تساوي $٣$.

بالنظر إلى الرسم، القطعة المستقيمة م ن تصل بين مركز الدائرة اليمنى ومركز الدائرة اليسرى.

المسافة تتكون من ثلاثة أجزاء متصلة: نصف قطر الدائرة اليمنى، قطر الدائرة الوسطى بالكامل، ونصف قطر الدائرة اليسرى.

هذا يعادل جمع أربعة أنصاف أقطار معاً.

القانون: المسافة الكلية تساوي عدد أنصاف الأقطار مضروباً في قيمة نصف القطر الواحد.

نعوض بعدد الأجزاء وقيمة نصف القطر المستنتجة.

$١٢ = {٣} \times {٤}$

والإجابة هي $١٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: دمج المسافات وتحويلها إلى أقطار كاملة لتسريع الحساب الرياضي.

من المعطيات نعلم أن مساحة الدائرة تساوي $ط٩$، مما يعني أن نصف قطرها يساوي $٣$.

القانون: قطر الدائرة الكامل يساوي ضعف نصف القطر.

$٦ = {٣} \times {٢}$

الخط المستقيم الواصل من م إلى ن يتجاوز منتصف المسافة لثلاث دوائر.

المسافة من المركز م في الدائرة اليمنى إلى محيط الدائرة الوسطى هي نصف قطر وتساوي $٣$.

والمسافة من محيط الدائرة الوسطى إلى المركز ن في الدائرة اليسرى هي نصف قطر آخر ومقداره $٣$.

يُضاف إلى ذلك قطر الدائرة الوسطى الكامل الذي يعبره الخط، وهو يساوي $٦$.

بجمع المسافات الثلاث، يمكن اعتبار الخط م ن يمثل طول قطرين كاملين متصلين.

القانون: طول القطعة المستقيمة يساوي قطر الدائرة مضروباً في العدد $٢$.

$١٢ = {٦} \times {٢}$

والإجابة هي $١٢$

التكنيك الأول: تحليل المساحات المركبة وعمليات الطرح الهندسي

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة تساوي المساحة الكلية للشكل الخارجي مطروحا منها مساحة الأشكال الداخلية غير المظللة.

الشكل الخارجي عبارة عن مستطيل يحتوي على تجويفين بشكل نصف دائرة، وتُعد مساحة الدائرة المطروحة مساحة مكملة للتجويف داخل المستطيل للحصول على المساحة الصافية.

القانون الرياضي للمستطيل: مساحة المستطيل = الطول مضروبا في العرض.

من المعطيات، طول المستطيل يساوي ٦ وعرضه يساوي ٢.

نحسب مساحة المستطيل الكلية بضرب القيمتين، ونضع الناتج يسارا.

$١٢ = {٢} \times {٦}$

بما أن هناك نصفي دائرة، فإنهما يشكلان معا دائرة كاملة غير مظللة.

قطر هذه الدائرة يساوي عرض المستطيل، وهو ٢.

لإيجاد نصف القطر، نقسم القطر على ٢، ليصبح نصف القطر مساويا للعدد ١.

القانون الرياضي للدائرة: مساحة الدائرة = مربع نصف القطر مضروبا في الثابت ط.

نقوم بتعويض قيمة نصف القطر في المعادلة.

مساحة الدائرة = ${ط} \times {{}^{٢}١}$

بما أن مربع العدد ١ هو ١، فإن المساحة الكلية للدائرة هي ط.

لحساب المساحة المظللة، نطرح مساحة الدائرة من مساحة المستطيل، مع الحفاظ على الترتيب الجبري الصارم حيث المستطيل هو المطروح منه.

المساحة المظللة = ${ط} – {١٢}$

والإجابة هي ${ط} – {١٢}$

التكنيك الثاني: التقسيم الهيكلي للشكل إلى وحدات أصغر

المفهوم الرياضي: يمكن تنصيف الشكل المركب عموديا لتسهيل الحسابات وتقليل احتمالية الخطأ.

نقوم بتقسيم المستطيل الكبير إلى مستطيلين صغيرين متطابقين.

أبعاد كل مستطيل صغير ستكون الطول ٣ والعرض ٢.

نحسب مساحة المستطيل الصغير بضرب أبعاده.

$٦ = {٢} \times {٣}$

كل مستطيل صغير يحتوي على تجويف يمثل نصف دائرة نصف قطرها ١.

مساحة الدائرة الكاملة تساوي ط، وبالتالي مساحة نصف الدائرة تساوي نصف ط.

مساحة الجزء المظلل في المستطيل الصغير الواحد تساوي ٦ مطروحا منها نصف ط.

لإيجاد المساحة الكلية المظللة، نضرب مساحة الجزء المظلل الصغير في العدد ٢.

المساحة الإجمالية = ${({\dfrac{ط}{٢}} – {٦})} \times {٢}$

نقوم بتوزيع عملية الضرب على القوس الجبري.

المساحة الإجمالية = ${ط} – {١٢}$

والإجابة هي ${ط} – {١٢}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج عرض المستطيل بناءً على العلاقة الهندسية بأقطار الدوائر المتطابقة داخله.

يظهر من الشكل الهندسي أن المستطيل يحتوي على دائرتين متطابقتين تماماً تملآن طوله بالكامل.

طول المستطيل المعطى يساوي $٤$.

هذا الطول يمثل القطر الكامل للدائرة الأولى مضافاً إليه القطر الكامل للدائرة الثانية.

القانون: قطر الدائرة الواحدة يساوي الطول الكلي مقسوماً على عدد الدوائر المصطفة أفقياً.

نقوم بقسمة طول المستطيل على العدد $٢$.

$٢ = {٢} \div {٤}$

بما أن الدوائر تمس حواف المستطيل العلوية والسفلية، فإن قطر الدائرة الواحدة يمثل بالضبط عرض المستطيل.

إذاً، عرض المستطيل يساوي $٢$.

القانون: مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

نعوض بقيمتي الطول المعطاة والعرض المستنتج في القانون الجبري.

$٨ = {٢} \times {٤}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تقسيم المستطيل إلى مربعات متطابقة وحساب المساحة التراكمية.

بما أن الدائرتين متطابقتان وتملآن المستطيل، يمكننا تخيل تقسيم المستطيل بخط رأسي من المنتصف.

ينتج عن هذا التقسيم شكلان هندسيان متطابقان، كل منهما عبارة عن مربع يحوي بداخله دائرة واحدة.

طول ضلع المربع الواحد يعادل قطر الدائرة، وهو يساوي نصف طول المستطيل الكلي.

القانون: طول ضلع المربع يساوي طول المستطيل مقسوماً على العدد $٢$.

$٢ = {٢} \div {٤}$

نحسب الآن مساحة المربع الواحد.

القانون: مساحة المربع تساوي طول الضلع مضروباً في نفسه.

$٤ = {٢} \times {٢}$

مساحة المستطيل الكلية هي مجموع مساحتي هذين المربعين.

$٨ = {٤} + {٤}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١: استخدام القاعدة الجاهزة للمربعات والدوائر المتماسة

المفهوم الرياضي: في هذا الشكل الهندسي، مساحة المربع الكبير الخارجي تساوي أربعة أضعاف مساحة المربع الصغير الداخلي.

طول ضلع المربع الكبير الخارجي يساوي $١٠$.

نحسب مساحة المربع الكبير بضرب طول الضلع في نفسه.

$١٠٠ = {١٠} \times {١٠}$

بناءً على القاعدة الهندسية، نقسم مساحة المربع الكبير على أربعة لإيجاد مساحة المربع الصغير.

$٢٥ = {٤} \div {١٠٠}$

والإجابة هي $٢٥$

تكنيك ٢: الاستنتاج من أنصاف الأقطار

المفهوم الرياضي: طول ضلع المربع الكبير يساوي قطرين متجاورين لدائرتين، وطول ضلع المربع الصغير الداخلي يساوي مجموع نصفي قطري دائرتين متجاورتين.

طول ضلع المربع الكبير يساوي عشرة، وهو يمثل قطرين متصلين.

طول قطر الدائرة الواحدة يساوي نصف طول ضلع المربع الكبير.

$٥ = {٢} \div {١٠}$

نصف قطر الدائرة الواحدة يساوي نصف طول القطر الكلي.

$٢،٥ = {٢} \div {٥}$

المربع الصغير الداخلي تتكون أضلاعه من المسافات التي تصل بين مراكز الدوائر الأربع.

طول ضلع المربع الصغير يساوي نصف قطر الدائرة الأولى مضافاً إليه نصف قطر الدائرة الثانية المتجاورة.

بمعنى آخر، طول ضلع المربع الصغير يساوي القطر الكامل لدائرة واحدة.

إذاً، طول ضلع المربع الصغير يساوي خمسة.

نحسب مساحة المربع الصغير بضرب طول ضلعه في نفسه.

$٢٥ = {{}^{٢}٥}$

والإجابة هي $٢٥$

تكنيك ١: طريقة تفكيك الأشكال الهندسية المتداخلة

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة نصف الدائرة الكبيرة ومساحة المثلث الداخلي، ثم حساب الفرق بينهما لاستخراج مساحة الجزء المظلل.

من الشكل، نستنتج أن المنطقة المظللة هي ناتج طرح مساحة مثلث متطابق الضلعين من مساحة نصف دائرة.

قطر الدائرة ينطبق على طول ضلع المربع، مما يعني أن قطرها يساوي عشرين.

بالتالي، نصف قطر الدائرة يساوي عشرة.

نحسب مساحة الدائرة الكاملة مع التعويض عن الثابت ط بقيمته التقريبية.

مساحة الدائرة = ${٣،١٤} \times {}^{٢}١٠$

نحسب مربع العشرة ونضربه في الثابت.

مساحة الدائرة = $٣١٤ = {٣،١٤} \times {١٠٠}$

نحسب مساحة نصف الدائرة بقسمة الناتج على اثنان.

مساحة نصف الدائرة = $١٥٧ = {٢} \div {٣١٤}$

ننتقل الآن لحساب مساحة المثلث الداخلي، حيث قاعدته تساوي طول ضلع المربع وهي عشرين.

بما أن رأس المثلث يقع في مركز المربع، فإن ارتفاعه يساوي نصف طول ضلع المربع، أي عشرة.

نعوض في قانون مساحة المثلث.

مساحة المثلث = ${\dfrac{١}{٢}} \times {١٠} \times {٢٠}$

نضرب القاعدة في الارتفاع ثم نقسم على اثنان.

مساحة المثلث = $١٠٠ = {\dfrac{٢٠٠}{٢}}$

نحسب مساحة المنطقة المظللة بطرح مساحة المثلث من مساحة نصف الدائرة.

المساحة المظللة = $٥٧ = {١٠٠} – {١٥٧}$

والإجابة هي $٥٧$

تكنيك ٢: المعادلة الجبرية الشاملة

المفهوم الرياضي: بناء معادلة واحدة تتضمن قوانين المساحتين معاً، ثم التعويض والتبسيط بخطوات متسلسلة لتقليل نسبة الخطأ.

نصيغ المعادلة العامة: المساحة المظللة = مساحة نصف الدائرة – مساحة المثلث.

نترجم المعادلة إلى قوانين رياضية.

المساحة المظللة = $({\dfrac{١}{٢}} \times {ط} \times {}^{٢}نق) – ({\dfrac{١}{٢}} \times {ع} \times {ق})$

نعوض بالقيم المستنتجة: نصف القطر عشرة، الارتفاع عشرة، القاعدة عشرين، وقيمة ط التقريبية.

المساحة المظللة = $({\dfrac{١}{٢}} \times {٣،١٤} \times {١٠٠}) – ({\dfrac{١}{٢}} \times {١٠} \times {٢٠})$

نحسب ناتج القوس الأول الخاص بنصف الدائرة.

القوس الأول = $١٥٧ = {\dfrac{٣١٤}{٢}}$

نحسب ناتج القوس الثاني الخاص بالمثلث.

القوس الثاني = $١٠٠ = {\dfrac{٢٠٠}{٢}}$

نطرح ناتج القوس الثاني من القوس الأول.

الناتج النهائي = $٥٧ = {١٠٠} – {١٥٧}$

والإجابة هي $٥٧$

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: محيط المستطيل واستقطاع الأطوال مع إضافة الأقواس الدائرية.

الأرض الأصلية مستطيلة الشكل، ويبلغ طولها ٤ أمتار.

استُقطع من العرض نصف دائرة يبلغ نصف قطرها ١ متر.

بما أن نصف القطر ١، فإن القطر الكامل للدائرة المقطوعة يبلغ ٢، وهو يمثل العرض الكلي للمستطيل.

$٢ = {١} \times {٢}$

المحيط للمنطقة المتبقية يتكون من الأضلاع الخارجية التي لم تتأثر بالاستقطاع، وهي الطولان والعرض المقابل.

مجموع الأضلاع المستقيمة المتبقية يساوي ٤ مضافاً إليها ٤ مضافاً إليها ٢.

$١٠ = {٢} + {٤} + {٤}$

الجزء المستقطع تم استبداله بقوس يمثل نصف دائرة يحد المنطقة المتبقية من الداخل.

نحسب طول هذا القوس بضرب الثابت ط في قطر الدائرة الكامل، ثم نقسم على ٢.

${ط} = {\dfrac{{ط} \times {٢}}{٢}}$

نضيف طول القوس المنحني إلى مجموع أطوال الأضلاع المستقيمة للحصول على المحيط النهائي.

$ط + {١٠} = {ط} + {١٠}$

والإجابة هي $ط + ١٠$

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: حساب المحيط الكلي وطرح الأجزاء المفقودة وإضافة الحدود الجديدة.

نحسب محيط المستطيل الكامل قبل إجراء عملية الاستقطاع.

المحيط الأصلي = ٢ مضروباً في ناتج جمع الطول والعرض، حيث العرض يساوي ٢.

$١٢ = ({٢} + {٤}) \times {٢}$

عملية استقطاع نصف الدائرة أدت إلى إزالة ضلع كامل من المستطيل، وهو أحد العرضين الذي يبلغ طوله ٢.

نطرح طول الضلع المزال من المحيط الإجمالي الأصلي للمستطيل.

$١٠ = {٢} – {١٢}$

هذا الاستقطاع خلق حداً جديداً يفصل بين المنطقة المزروعة والمنطقة غير المزروعة، وهو عبارة عن قوس نصف دائري.

محيط نصف الدائرة الذي يمثل هذا الحد الجديد يساوي ط مضروباً في نصف القطر (والذي يساوي ١).

${ط} = {١} \times {ط}$

نقوم بجمع طول الحد المنحني الجديد مع المحيط المتبقي للأضلاع المستقيمة.

$ط + {١٠} = {ط} + {١٠}$

والإجابة هي $ط + ١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط الجزء المظلل المحصور بين ثلاث دوائر متطابقة ومتماسة يساوي مجموع أطوال الأقواس الثلاثة التي تحده من الداخل.

نقوم برسم مثلث وهمي يصل بين مراكز الدوائر الثلاث المتطابقة لتحديد الزوايا المركزية.

بما أن الدوائر متطابقة، فإن أضلاع المثلث تتكون من مجموع نصفي قطرين متجاورين، مما يجعله مثلثا متطابق الأضلاع.

نستنتج أن قياس كل زاوية داخلية في هذا المثلث المتطابق الأضلاع يساوي ستين درجة.

نكتب قانون طول القوس المقابل لزاوية مركزية: طول القوس = قياس الزاوية مقسوما على ثلاثمائة وستين، والناتج مضروب في محيط الدائرة.

نعوض بقيمة الزاوية للحصول على نسبة القوس من المحيط الكلي للدائرة: $\dfrac{١}{٦} = {٣٦٠} \div {٦٠}$.

نكتب قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة = اثنان مضروبة في ط مضروبة في نصف القطر.

نعوض بقيمة نصف القطر المعطاة في السؤال لإيجاد المحيط الكلي للدائرة الواحدة: $ط٢ = {١} \times {ط} \times {٢}$.

نحسب طول القوس الواحد بضربه في النسبة الكسرية المستنتجة: $\dfrac{ط}{٣} = {ط٢} \times {\dfrac{١}{٦}}$.

بما أن الجزء المظلل محاط بثلاثة أقواس متطابقة، نضرب طول القوس الواحد في ثلاثة لإيجاد المحيط الكلي للمظلل: $ط = {\dfrac{ط}{٣}} \times {٣}$.

والإجابة هي $ط$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاعتماد على القاعدة الجاهزة والمباشرة لمحيط المنطقة المظللة المحصورة بين ثلاث دوائر متطابقة ومتماسة مثنى مثنى.

تنص القاعدة الهندسية الثابتة على أن محيط الجزء المظلل بين ثلاث دوائر متطابقة متماسة يساوي ط مضروبة في طول نصف القطر.

نكتب القاعدة الرياضية كمعادلة صريحة: محيط المظلل = ط مضروبة في نصف القطر.

نستخرج قيمة نصف القطر من معطيات السؤال المباشرة وهي تساوي واحد.

نعوض بقيمة نصف القطر في القاعدة الثابتة لنجد الناتج النهائي: $ط = {١} \times {ط}$.

نستنتج مباشرة أن محيط الجزء المظلل يطابق القيمة المستخرجة بعد التعويض المباشر.

والإجابة هي $ط$.

التكنيك الأول: بناء مثلث قائم الزاوية داخل الدائرة وحله جبريا

المفهوم الرياضي: العمود الساقط من مركز الدائرة على أي وتر فيها ينصف ذلك الوتر ويشكل مثلثا قائم الزاوية مع نصف القطر.

نقوم برسم خط وهمي يمثل نصف القطر من المركز إلى طرف الوتر لتكوين المثلث القائم.

بناء على المعطيات المعروضة، طول نصف القطر المعطى هو ٥، وهو يمثل الوتر في هذا المثلث القائم.

طول العمود الساقط من المركز يبلغ ٣، وهو يمثل أحد ضلعي القائمة.

القانون الرياضي: مربع طول نصف القطر = مربع العمود الساقط + مربع نصف الوتر المعطى.

نفرض أن طول نصف الوتر هو المتغير س، ونقوم بالتعويض المباشر.

${{}^{٢}س} + {{}^{٢}٣} = {{}^{٢}٥}$

نقوم بفك الأسس الاستباقية بكتابة القيم الصريحة.

${{}^{٢}س} + {٩} = {٢٥}$

لنقل العدد ٩ للطرف الآخر وعزله، نقوم بطرحه من العدد ٢٥ مع الالتزام بترتيب المطروح منه.

${}^{٢}س = {٩} – {٢٥}$

ننفذ عملية الطرح ونضع الناتج الصافي في اليسار.

$١٦ = {}^{٢}س$

نأخذ الجذر التربيعي للعدد ١٦ لإيجاد قيمة المتغير س المجردة.

$٤ = س$

بما أن س يمثل نصف الوتر أب، نضرب القيمة في ٢ للحصول على الطول الكلي.

الطول الكلي = ${٢} \times {٤}$

$٨ = {٢} \times {٤}$

والإجابة هي $٨$

التكنيك الثاني: الاعتماد على ثلاثيات فيثاغورس الهندسية المشهورة

المفهوم الرياضي: استخدام النسب الثابتة لثلاثيات فيثاغورس يوفر الوقت للوصول للحل دون الحاجة لتربيع الأرقام وطرحها.

من دراستنا للمثلثات القائمة، ندرك أن المثلث الذي أطوال أضلاعه ٣ و ٤ و ٥ هو أشهر مثلث قائم الزاوية.

في الشكل المعطى، نلاحظ أن وتر المثلث القائم يبلغ طوله ٥، وأحد أضلاعه يبلغ ٣.

بناء على القاعدة الثابتة لثلاثيات فيثاغورس، الضلع الثالث المجهول يجب أن يكون حتما ٤.

هذا الضلع الذي استنتجناه يمثل هندسيا نصف طول الوتر المطلوب في الدائرة.

القانون الرياضي: طول الوتر أب = نصف الوتر مضافا إليه النصف الآخر، أو مضروبا في ٢.

نقوم بجمع القيمة مع نفسها للحصول على النتيجة النهائية.

الطول الكلي = ${٤} + {٤}$

$٨ = {٤} + {٤}$

والإجابة هي $٨$

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث المتطابق الأضلاع ومساحة القطاعات الدائرية.

المثلث المعطى متطابق الأضلاع، ومحيطه الإجمالي يبلغ ٢٤ سم.

نحسب طول الضلع الواحد بقسمة المحيط الإجمالي على عدد الأضلاع وهو ٣.

$٨ = {٣} \div {٢٤}$

نكتب قانون مساحة المثلث المتطابق الأضلاع، وهو مربع طول الضلع مضروباً في الجذر التربيعي للعدد ٣، مقسوماً على ٤.

${{\sqrt{٣}}١٦} = {\dfrac{{{\sqrt{٣}}} \times {{}^{٢}٨}}{٤}}$

الشكل العلوي يمثل نصف دائرة يرتكز قطرها بالكامل على ضلع المثلث، إذن قطر الدائرة يبلغ ٨ سم.

نصف قطر هذه الدائرة يساوي نصف القطر الإجمالي، ويبلغ ٤ سم.

$٤ = {٢} \div {٨}$

نحسب مساحة نصف الدائرة عن طريق ضرب الثابت ط في مربع نصف القطر، ثم القسمة على ٢.

${ط٨} = {\dfrac{{ط} \times {{}^{٢}٤}}{٢}}$

نجمع مساحة المثلث مع مساحة نصف الدائرة لإيجاد المساحة الكلية للشكل.

${ط٨} + {{\sqrt{٣}}١٦} = {ط٨} + {{\sqrt{٣}}١٦}$

نقوم بتبسيط المقدار الجبري باستخراج العدد ٨ كعامل مشترك أكبر للحدين.

$({ط} + {{\sqrt{٣}}٢})٨ = {ط٨} + {{\sqrt{٣}}١٦}$

والإجابة هي $({ط} + {\sqrt{٣}}٢)٨$

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: استنتاج المساحات المستقلة وتوظيف تبسيط العوامل المشتركة.

طول ضلع المثلث يمثل الأساس لحساب كلتا المساحتين، ويساوي المحيط مقسوماً على ٣.

$٨ = {٣} \div {٢٤}$

نوجد مربع طول الضلع لاستخدامه في القوانين الهندسية اللاحقة.

$٦٤ = {}^{٢}٨$

نعوض في قانون مساحة المثلث المتطابق الأضلاع بضرب ٦٤ في جذر ٣، ثم نقسم الناتج على ٤.

${{\sqrt{٣}}١٦} = {٤} \div ({{\sqrt{٣}}} \times {٦٤})$

الضلع يمثل قطر الدائرة أيضاً، لذا نصف قطر الدائرة المرفقة هو ٤.

مساحة الدائرة الكاملة تساوي ط مضروبة في مربع نصف القطر، أي ١٦ ط.

نأخذ نصف هذه المساحة لتمثيل الشكل المرفق، لتصبح ٨ ط.

${ط٨} = {٢} \div {ط١٦}$

المساحة الإجمالية للشكل المركب تنتج عن جمع مساحة المثلث مع مساحة نصف الدائرة.

الناتج النهائي يكتب بصيغة رياضية مجمعة تعتمد على استخراج القاسم المشترك الأكبر وهو ٨.

$({ط} + {{\sqrt{٣}}٢})٨ = {ط٨} + {{\sqrt{٣}}١٦}$

والإجابة هي $({ط} + {\sqrt{٣}}٢)٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المربع المرسوم داخل دائرة تعتمد على طول قطره، حيث يتطابق قطر المربع مع قطر الدائرة.

بما أن المربع مرسوم بالكامل داخل الدائرة، فإن قطر المربع يساوي قطر الدائرة تماماً.

طول قطر المربع يعادل $١٠$

قانون مساحة المربع بمعلومية طول قطره هو نصف مربع طول القطر.

نرمز لمساحة المربع بالرمز م ولقطره بالرمز ق ونكتب المعادلة.

$ {\dfrac{١}{٢}} \times {}^{٢}ق = م $

نعوض بقيمة القطر المعطاة في المعادلة الرياضية.

${\dfrac{١}{٢}} \times {}^{٢}(١٠)= م$

نقوم بتربيع العدد عشرة لنحصل على مئة.

${\dfrac{١}{٢}} \times {١٠٠} = م$

نقسم المئة على اثنين للوصول إلى المساحة النهائية.

${٥٠} = م$

والإجابة هي $٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن تقسيم المربع المرسوم داخل دائرة إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية تلتقي في مركز الدائرة.

نصف قطر الدائرة يمثل قاعدة وارتفاع كل مثلث من هذه المثلثات الأربعة.

نرمز لنصف القطر بالرمز نق ونحسبه بقسمة القطر الكلي على اثنين.

نق $ {١٠} \div {٢} =$

نق $ {٥} =$

نحسب مساحة المثلث الواحد ونرمز لها بالرمز ث.

${\dfrac{١}{٢}} \times {ق} \times {ع} = ث$

نعوض بقيمة القاعدة والارتفاع وهي خمسة لكل منهما في هذه الحالة.

${\dfrac{١}{٢}} \times {٥} \times {٥} = ث$

${١٢،٥} = ث$

بما أن المربع يتكون من أربعة مثلثات متطابقة، نضرب مساحة المثلث الواحد في أربعة لحساب المساحة الكلية.

المساحة الكلية $ {٤} \times {١٢،٥} =$

المساحة الكلية $ {٥٠} =$

والإجابة هي $٥٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التطابق الخطي ومفهوم المحيط الخارجي.

محيط أي شكل هندسي مغلق ثنائي الأبعاد هو ببساطة إجمالي طول الخط الخارجي الذي يحد هذا الشكل.

نص السؤال يوضح بصريح العبارة أن السلك الأساسي تم تقسيمه إلى قسمين متساويين في الطول بشكل دقيق.

الجزء الأول من السلك تم طيه بالكامل ليصنع المربع، مما يعني أن محيط المربع يطابق طول هذا الجزء الأول.

الجزء الثاني من السلك تم طيه بالكامل ليصنع المستطيل، مما يعني أن محيط المستطيل يطابق طول هذا الجزء الثاني.

بما أن طولي الجزأين متساويان أصلاً، فإن المحيطين متساويان حتمياً دون الحاجة لأي حسابات لأبعاد الأشكال الداخلية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحليل الجبري للثوابت الخطية.

نفترض رياضياً أن الطول الكلي للسلك المعدني يرمز له بالمتغير $ل٢$.

عملية التقسيم إلى قسمين متساويين تعني قسمة الطول الكلي على $٢$.

طول القسم المخصص للمربع = $ل = {٢} \div {ل٢}$

طول القسم المخصص للمستطيل = $ل = {٢} \div {ل٢}$

محيط الشكل هندسياً يساوي مجموع أطوال أضلاعه الخارجية، وهو ما يعادل طول المادة المستخدمة في تشكيله.

القيمة الأولى تمثل محيط المربع، وهي تساوي المتغير $ل$.

القيمة الثانية تمثل محيط المستطيل، وهي تساوي المتغير ذاته $ل$.

بمقارنة القيمتين الجبريتين، نجد أن كلاهما متطابقان تماماً ويمثلان نفس المقدار.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: استخدام خصائص قطر المربع والمثلث قائم الزاوية متطابق الضلعين.

المفهوم الرياضي: قطر المربع يمثل خط التماس لربعي الدائرتين، وبالتالي فإن مجموع طولي نصفي قطريهما يساوي طول قطر المربع المار بين مركزيهما.

بما أن طولي ضلعي المربع يمثلان ضلعي الزاوية القائمة في مثلث، فإن القطر يمثل الوتر في هذا المثلث.

طول وتر المثلث قائم الزاوية متطابق الضلعين يساوي طول الضلع مضروباً في الجذر التربيعي للعدد اثنان.

نعوض بقيمة طول ضلع المربع المعطاة في السؤال داخل القانون.

طول القطر = ${\sqrt{٢}}٦$

بما أن مجموع نصفي القطرين يساوي طول قطر المربع، فإن النتيجة النهائية هي ذاتها.

المجموع = ${\sqrt{٢}}٦$

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٦$

تكنيك ٢: تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر.

المفهوم الرياضي: في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين القائمين.

نرسم قطر المربع الذي يمر بنقطتي التماس لربعي الدائرتين، وهو يمثل الوتر في المثلث القائم الذي ضلعه يساوي طول ضلع المربع.

مربع طول الضلع الأول = ${}^{٢}٦$

مربع طول الضلع الثاني = ${}^{٢}٦$

نجمع مربعي الضلعين للحصول على مربع الوتر.

مربع الوتر = ${}^{٢}٦ + {}^{٢}٦$

مربع الوتر = ${٣٦} + {٣٦}$

مربع الوتر = $٧٢$

لإيجاد طول الوتر، نأخذ الجذر التربيعي للناتج النهائي.

طول الوتر = ${\sqrt{٧٢}}$

نقوم بتبسيط الجذر التربيعي من خلال تحليله إلى عوامله الأولية.

طول الوتر = ${\sqrt{٢ \times ٣٦}}$

طول الوتر = ${\sqrt{٢}}٦$

بما أن الوتر يمثل القطعة المستقيمة الواصلة بين مركزي الدائرتين ويساوي مجموع نصفي قطريهما، فإن النتيجة مطابقة.

والإجابة هي ${\sqrt{٢}}٦$

التكنيك الأول: الحساب المباشر لمساحات الدوائر

المفهوم الرياضي: مساحة الدائرة تساوي ثابت ط مضروباً في مربع نصف القطر.

نستخرج من الشكل المرفق أن نصف قطر الدائرة الصغرى م يساوي $١$.

نقوم بحساب مساحة الدائرة الصغرى م بتربيع نصف القطر.

مساحة الدائرة م = $ط١ = {}^{٢}١ \times ط$

نستخرج من الشكل أن نصف قطر الدائرة الأخرى ن يساوي $٢$.

قطر الدائرة الكبرى يساوي مجموع أقطار الدائرتين الداخليتين.

قطر الدائرة م = $٢ = {٢} \times {١}$

قطر الدائرة ن = $٤ = {٢} \times {٢}$

قطر الدائرة الكبرى = $٦ = {٤} + {٢}$

نصف قطر الدائرة الكبرى يساوي نصف القطر الكلي، أي $٦$ مقسوماً على $٢$.

نصف قطر الدائرة الكبرى = $٣ = {٢} \div {٦}$

مساحة الدائرة الكبرى = $ط٩ = {}^{٢}٣ \times ط$

النسبة بين مساحة الدائرة م إلى مساحة الدائرة الكبرى هي قسمة المساحة الأولى على الثانية.

النسبة = $\dfrac{١}{٩}$

تُكتب النسبة بصيغة التناسب المطابقة للخيارات.

والإجابة هي $٩ : ١$

التكنيك الثاني: التناسب المباشر لمربعات أنصاف الأقطار

المفهوم الرياضي: النسبة بين مساحتي دائرتين تساوي النسبة بين مربعي نصفي قطريهما.

نحدد نصف قطر الدائرة م والذي يساوي $١$.

نحدد نصف قطر الدائرة الكبرى من خلال جمع أنصاف أقطار الدوائر الداخلية المتماسة على نفس القطر.

نصف قطر الدائرة الكبرى = $٣ = {٢} + {١}$

نربع نصف قطر الدائرة م لنجد القيمة الأولى.

مربع نصف القطر الأول = $١ = {}^{٢}١$

نربع نصف قطر الدائرة الكبرى لنجد القيمة الثانية.

مربع نصف القطر الثاني = $٩ = {}^{٢}٣$

تكون النسبة بين المساحتين هي نسبة المربعين.

النسبة بين المساحتين = $\dfrac{١}{٩}$

والإجابة هي $٩ : ١$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الدائرة المرسومة داخل مربع وتمس أضلاعه من الداخل يكون قطرها مساوياً لطول ضلع هذا المربع.

طول ضلع المربع المعطى في السؤال يساوي $١٠$

إذاً، قطر الدائرة يعادل $١٠$

نحسب نصف القطر ونرمز له بالرمز نق عن طريق قسمة القطر على اثنين.

نق ${١٠} \div {٢} =$

نق${٥} = $

نطبق قانون مساحة الدائرة ونرمز لها بالرمز م.

$م = {ط} \times {}^{٢}نق$

نعوض بقيمة نصف القطر التي استنتجناها في خطوتنا السابقة.

$م = {ط} \times {}^{٢}(٥)$

نقوم بتربيع العدد خمسة لنصل للنتيجة النهائية.

$م = {ط٢٥}$

والإجابة هي $ط٢٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن استنتاج مساحة الدائرة المماسة لأضلاع المربع مباشرة كنسبة من مساحة المربع الذي يحتويها.

مساحة الدائرة بالنسبة للمربع المماس لها تساوي مساحة المربع مضروبة في النسبة ط مقسومة على أربعة.

نحسب مساحة المربع بضرب طول الضلع في نفسه.

مساحة المربع $ {١٠} \times {١٠} =$

مساحة المربع $ {١٠٠}$ =

نرمز لمساحة الدائرة بالرمز م ونطبق علاقة النسبة المباشرة.

$م = {١٠٠} \times {\dfrac{ط}{٤}}$

نبسط الكسر بقسمة مئة على أربعة.

$م = {٢٥} \times {ط}$

$م = {ط٢٥}$

والإجابة هي $ط٢٥$

التكنيك الأول: الطرح الجبري للمساحات

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة الشكل الكلي مطروحاً منها مساحة الأجزاء غير المظللة.

نحدد قطر الدائرة الكبرى الخارجية التي تحيط بالدائرتين.

بما أن الدائرتين متماستين داخلياً، فإن قطر الدائرة الخارجية يساوي مجموع قطري الدائرتين الداخليتين.

قطر الدائرة الخارجية = $١٠ = {٤} + {٦}$

نصف قطر الدائرة الخارجية يساوي القطر مقسوماً على $٢$.

نصف قطر الدائرة الخارجية = $٥ = {٢} \div {١٠}$

نحسب مساحة الدائرة الخارجية الكلية باستخدام قانون مساحة الدائرة.

مساحة الدائرة الخارجية = $ط٢٥ = {}^{٢}٥ \times ط$

نحسب مساحة الدائرة الداخلية الأولى ذات القطر $٦$.

نصف قطر الدائرة الأولى = $٣ = {٢} \div {٦}$

مساحة الدائرة الأولى = $ط٩ = {}^{٢}٣ \times ط$

نحسب مساحة الدائرة الداخلية الثانية ذات القطر $٤$.

نصف قطر الدائرة الثانية = $٢ = {٢} \div {٤}$

مساحة الدائرة الثانية = $ط٤ = {}^{٢}٢ \times ط$

مجموع مساحتي الدائرتين الداخليتين الغير مظللتين هو الجمع الجبري لهما.

المجموع = $ط١٣ = {ط٤} + {ط٩}$

مساحة الجزء المظلل هي المساحة الكلية مطروحاً منها مجموع المساحات الداخلية.

مساحة الجزء المظلل = $ط١٢ = {ط١٣} – {ط٢٥}$

والإجابة هي $ط١٢$

التكنيك الثاني: التعويض في قانون المساحة المشتركة

المفهوم الرياضي: المساحة المظللة هي الفرق بين مساحة الدائرة المحيطة ومجموع مساحات الدوائر المحاطة المتماسة على القطر.

نصف قطر الدائرة الكلية المحيطة هو نصف مجموع القطرين المعطى.

نصف القطر الكلي = $٥ = {٢} \div {١٠}$

مساحة الدائرة الكلية = $ط٢٥ = {}^{٢}٥ \times ط$

مجموع مساحات الأجزاء البيضاء يعتمد على مربعات أنصاف أقطارها.

مربع نصف القطر الأول = $٩ = {}^{٢}٣$

مربع نصف القطر الثاني = $٤ = {}^{٢}٢$

إجمالي الأجزاء البيضاء = $ط١٣$

نقوم بطرح مساحة الأجزاء البيضاء من المساحة الكلية.

المساحة المتبقية المظللة = $ط١٢ = {ط١٣} – {ط٢٥}$

والإجابة هي $ط١٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المساحات للمضلعات المنتظمة وغير المنتظمة عند ثبات المحيط.

السلك قُسم بالتساوي، مما يعني أن محيط المربع يتطابق تماماً مع محيط شبه المنحرف.

القاعدة الهندسية تنص على أنه بين المضلعات التي تمتلك المحيط ذاته، المضلع المنتظم (الذي تتطابق أضلاعه وزواياه كالمربع) يغطي مساحة أكبر من المضلع غير المنتظم (كشبه المنحرف).

كلما اقترب الشكل من الانتظام والتماثل المركزي، زادت مساحته الداخلية المحتواة ضمن نفس الإطار الخارجي.

بناءً على هذا التحليل، مساحة المربع تتفوق حتمياً على مساحة شبه المنحرف.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض العددي وحساب الأبعاد الهندسية القصوى.

نفترض أن السلك تم تقسيمه بحيث يحصل كل شكل على محيط مقداره $١٦$ وحدة طول.

بالنسبة للمربع، محيطه يساوي $١٦$ وحدة.

قانون طول ضلع المربع = المحيط مقسوماً على $٤$.

طول الضلع = $٤ = {٤} \div {١٦}$

قانون مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه (مربع الضلع).

نعوض بالقيمة بتطبيق قاعدة الأسس الاستباقية: المساحة = $١٦ = {}^{٢}{٤}$

بالنسبة لشبه المنحرف، محيطه يساوي $١٦$ وحدة.

نفترض أبعاداً لشبه منحرف متطابق الساقين لتعظيم مساحته، بحيث تكون القاعدتان المتوازيتان $٦$ و $٤$، والساقان الجانبيان $٣$ و $٣$.

مجموع هذه الأضلاع يساوي $١٦$، مما يحقق شرط المحيط.

لإيجاد الارتفاع، نسقط عموداً من القاعدة الصغرى على الكبرى، فيتشكل مثلث قائم الزاوية وتره $٣$ وقاعدته $١$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس، مربع الارتفاع يساوي مربع الوتر مطروحاً منه مربع القاعدة.

الارتفاع = ${\sqrt{٨}} = {\sqrt{{}^{٢}{١} – {}^{٢}{٣}}}$

قيمة الجذر تقارب $٢،٨٢$ وحدة.

قانون مساحة شبه المنحرف = مجموع القاعدتين مقسوماً على $٢$ ومضروباً في الارتفاع.

المساحة = $١٤،١ = {٢،٨٢} \times {٥}$

بمقارنة النواتج، مساحة المربع البالغة $١٦$ وحدة مربعة أكبر من مساحة شبه المنحرف البالغة $١٤،١$ وحدة مربعة.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

التكنيك الأول: الاستنتاج الجذري للنسبة

المفهوم الرياضي: النسبة بين مساحتي دائرتين تساوي مربع النسبة بين طولي نصفي قطريهما.

النسبة المعطاة لمساحتي الدائرتين هي $١٤٤ : ١$

نكتب هذه النسبة على شكل كسر اعتيادي لسهولة التعامل الجبري.

النسبة الكسرية = $\dfrac{١}{١٤٤}$

للحصول على النسبة بين نصفي القطرين، نأخذ الجذر التربيعي للبسط والمقام.

نطبق الجذر التربيعي على قيمة البسط.

جذر البسط = $١ = {\sqrt{١}}$

نطبق الجذر التربيعي على قيمة المقام.

جذر المقام = $١٢ = {\sqrt{١٤٤}}$

الكسر الناتج يمثل النسبة المطلوبة بين نصفي القطرين.

النسبة المطلوبة = $\dfrac{١}{١٢}$

نعيد صياغة الكسر إلى تناسب رياضي يعكس الترتيب في الخيارات.

والإجابة هي $١٢ : ١$

التكنيك الثاني: استخدام قانون المساحة الجبري

المفهوم الرياضي: العلاقة بين المساحة ونصف القطر هي علاقة تربيعية مباشرة ضمن التناسب.

نفرض أن نصف قطر الدائرة الأولى هو المتغير س، ونصف قطر الدائرة الثانية هو المتغير ص.

مساحة الدائرة الأولى تساوي الثابت ط مضروباً في مربع المتغير س.

مساحة الدائرة الأولى = $ط \times {}^{٢}س$

مساحة الدائرة الثانية تساوي الثابت ط مضروباً في مربع المتغير ص.

مساحة الدائرة الثانية = $ط \times {}^{٢}ص$

نضع مساحة الدائرة الأولى مقسومة على مساحة الدائرة الثانية لنشكل المعادلة التناسبية.

المعادلة التناسبية = $\dfrac{ط \times {}^{٢}س}{ط \times {}^{٢}ص} = \dfrac{١}{١٤٤}$

نختصر الثابت ط من البسط والمقام لتبسيط المعادلة.

المعادلة بعد الاختصار = $\dfrac{{}^{٢}س}{{}^{٢}ص} = \dfrac{١}{١٤٤}$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من التربيع واستخراج القيم المجردة.

النتيجة النهائية = $\dfrac{س}{ص} = \dfrac{١}{١٢}$

نقوم بكتابة النتيجة بصيغة التناسب المعتمدة.

والإجابة هي $١٢ : ١$

التكنيك الأول: الاستنتاج الهندسي المتسلسل

المفهوم الرياضي: إيجاد طول ضلع المربع من مساحته، ثم تقسيم الضلع على عدد الدوائر لاستنتاج قطر الدائرة، وأخيراً حساب مساحة الدوائر المظللة.

ينص قانون مساحة المربع على: المساحة = ${}^{٢}(ل)$

بما أن مساحة المربع المعطاة تساوي $١٤٤$ سم${}^{٢}$، نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد طول الضلع:

$١٢ = {\sqrt{١٤٤}}$

إذن، طول ضلع المربع يساوي $١٢$ سم.

من الرسم، نلاحظ أن طول ضلع المربع يوازي تماماً قطر ثلاث دوائر متطابقة متراصة.

لإيجاد قطر الدائرة الواحدة، نقسم طول ضلع المربع على $٣$:

$٤ = {٣} \div {١٢}$

إذن، قطر الدائرة الواحدة يساوي $٤$ سم، ومنه نستنتج أن نصف القطر $نق$ يساوي $٢$ سم.

ينص قانون مساحة الدائرة على: المساحة = $ط \times {}^{٢}نق$

نعوض بقيمة نصف القطر لإيجاد مساحة الدائرة الواحدة:

$ط٤ = {ط} \times {}^{٢}٢$

بالنظر إلى الشكل، نجد أن المنطقة المظللة تتكون من $٤$ دوائر متطابقة (في زوايا المربع).

لإيجاد المساحة الكلية للمظلل، نضرب مساحة الدائرة الواحدة في عدد الدوائر المظللة:

$ط١٦ = {ط٤} \times {٤}$

والإجابة هي $ط١٦$

التكنيك الثاني: النسب والتناسب المساحي

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة جميع الدوائر وضربها في نسبة الدوائر المظللة من الإجمالي.

كما استنتجنا سابقاً، طول ضلع المربع $١٢$ سم استناداً إلى مساحته $١٤٤$ سم${}^{٢}$.

يحتوي المربع على شبكة مكونة من $٩$ دوائر متطابقة (ثلاثة صفوف في ثلاثة أعمدة).

قطر الدائرة الواحدة يساوي ثلث طول الضلع: $٤ = {٣} \div {١٢}$

نصف القطر لكل دائرة هو $٢$ سم.

مساحة الدائرة الواحدة هي $ط٤$ سم${}^{٢}$.

الدوائر المظللة تمثل $٤$ دوائر من أصل $٩$ دوائر موجودة في الشكل.

نقوم بجمع مساحات الدوائر الأربع المظللة معاً بدلاً من الضرب.

المساحة المظللة = مساحة الدائرة الأولى + مساحة الدائرة الثانية + مساحة الدائرة الثالثة + مساحة الدائرة الرابعة

$ط١٦ = {ط٤} + {ط٤} + {ط٤} + {ط٤}$

نلاحظ أن مجموع مساحات هذه الدوائر الأربع يعطينا المساحة المطلوبة بدقة.

والإجابة هي $ط١٦$

التكنيك الأول: التعويض المباشر في قوانين المحيط

المفهوم الرياضي: حساب محيط المضلع المنتظم بضرب طول الضلع في عدد الأضلاع، وحساب محيط الدائرة باستخدام قانون المحيط.

نبدأ بحساب القيمة الأولى وهي محيط الخماسي المنتظم.

ينص قانون محيط المضلع المنتظم على: المحيط = $ل \times ن$

نعوض بطول الضلع المعطى $١$ سم وعدد أضلاع الخماسي وهو $٥$:

$٥ = {٥} \times {١}$

إذن، القيمة الأولى تساوي $٥$

ننتقل لحساب القيمة الثانية وهي محيط الدائرة.

ينص قانون محيط الدائرة على: المحيط = $ط \times نق٢$

نعوض بنصف القطر المعطى $١$ سم:

$ط٢ = {ط} \times {٢} \times {١}$

نعوض عن قيمة $ط$ التقريبية والتي تساوي $٣,١٤$:

$٦,٢٨ = {٣,١٤} \times {٢}$

إذن، القيمة الثانية تساوي $٦,٢٨$

بمقارنة القيمتين، نجد أن العدد $٦,٢٨$ أكبر من العدد $٥$

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الثاني: التحليل التقديري دون حسابات معقدة

المفهوم الرياضي: استخدام القيم المعروفة لثابت الدائرة $ط$ لإجراء مقارنة سريعة.

القيمة الأولى تمثل محيط خماسي طول ضلعه $١$ سم، وهو ناتج جمع الضلع خمس مرات.

$٥ = {١} + {١} + {١} + {١} + {١}$

القيمة الثانية تمثل محيط الدائرة التي نصف قطرها $١$ سم، وقانون المحيط هو القطر مضروباً في $ط$.

القطر يساوي ضعف نصف القطر: $٢ = {٢} \times {١}$

محيط الدائرة يساوي القطر مضروباً في $ط$، أي $ط٢$.

بما أننا نعلم يقيناً أن قيمة $ط$ هي تقريباً $٣,١٤$ وهي قيمة أكبر من العدد $٣$ بشكل قطعي.

إذا افترضنا الحد الأدنى وهو $٣$، فإن المحيط سيكون: $٦ = {٢} \times {٣}$

الرقم $٦$ كحد أدنى للقيمة الثانية هو بالفعل أكبر من القيمة الأولى التي تساوي $٥$

لذا فإن القيمة الثانية أكبر دون الحاجة لضرب الفواصل العشرية الدقيقة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحسب مساحة الدائرة بضرب مربع طول نصف القطر في الثابت ط. والنسبة تمثل عملية قسمة بين مساحتين للوصول إلى أبسط كسر اعتيادي.

مساحة الدائرة الصغرى المعطاة في نص السؤال هي $ط١٦$.

نساوي هذه القيمة بقانون المساحة لإيجاد طول نصف قطر الدائرة الصغرى الذي سنرمز له بالمتغير س.

المعادلة هي: $ط١٦ = {}^{٢}س \times ط$.

نقسم طرفي المعادلة على الثابت ط لنحصل على: $١٦ = {}^{٢}س$.

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج: $٤ = س$.

إذن طول نصف قطر الدائرة الصغرى يساوي ٤.

من خلال تحليل الشكل الهندسي المرفق، نلاحظ أن الدائرة الصغرى يقع مركزها في منتصف نصف قطر الدائرة الكبرى وتمس محيطها الخارجي.

هذا يعني هندسيا أن طول قطر الدائرة الصغرى بالكامل يتطابق مع طول نصف قطر الدائرة الكبرى.

نحسب طول قطر الدائرة الصغرى بضربه في ٢: $٨ = {٢} \times {٤}$.

إذن طول نصف قطر الدائرة الكبرى يساوي ٨.

نحسب مساحة الدائرة الكبرى باستخدام القانون: المساحة = ${}^{٢}٨ \times ط$.

بتربيع الرقم ٨ ينتج ٦٤، وتصبح المساحة: $ط٦٤$.

المطلوب هو النسبة بين مساحة الدائرة الصغرى إلى مساحة الدائرة الكبرى، فنقسم المساحة الأولى على الثانية.

النسبة = $\dfrac{ط١٦}{ط٦٤}$.

بتبسيط الكسر عبر قسمة البسط والمقام على ط١٦ ينتج: النسبة = $\dfrac{١}{٤}$.

تكتب هذه النسبة بالشكل الرياضي التناسبي: $٤ : ١$.

والإجابة هي $٤ : ١$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: النسبة بين مساحتي دائرتين تتناسب طرديا مع مربع النسبة بين طولي نصفي قطريهما بناء على قوانين تشابه الأشكال الهندسية، مما يختصر حساب المساحات الفعلية.

من المعطيات البصرية في الشكل المرفق، الدائرة الصغرى مرسومة بحيث يشكل قطرها الكلي نصف قطر للدائرة الكبرى.

نستنتج من ذلك مباشرة أن طول نصف قطر الدائرة الكبرى يساوي ضعف طول نصف قطر الدائرة الصغرى.

بناء على هذا الاستنتاج، النسبة بين طول نصف قطر الدائرة الصغرى إلى طول نصف قطر الدائرة الكبرى هي $\dfrac{١}{٢}$.

لإيجاد النسبة بين المساحتين، نقوم بتربيع هذه النسبة الخطية.

النسبة بين المساحتين = ${}^{٢}(\dfrac{١}{٢})$.

بتوزيع الأس على البسط والمقام ينتج: النسبة = $\dfrac{١}{٤}$.

نقوم بصياغة الكسر الناتج على هيئة نسبة رياضية تقرأ كجزأين: $٤ : ١$.

والإجابة هي $٤ : ١$.

تكنيك ١: حساب مساحة القطاع الدائري وطرحه من المساحة الكلية للمثلث

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة الشكل الكلي الأكبر مطروحاً منها مساحة الجزء الداخلي غير المظلل.

من خلال التحليل البصري الدقيق للشكل، نجد أن الجزء المظلل يمثل المساحة المتبقية من المثلث بعد اقتطاع مساحة القطاع الدائري منه.

القانون الرياضي لمساحة القطاع الدائري: مساحة القطاع = (زاوية القطاع $\div$ الزاوية الكلية للدائرة) $\times$ مساحة الدائرة.

نعوض بقيمة زاوية القطاع المعطاة في الشكل البصري وهي $٤٥$ درجة، والزاوية الكلية للدائرة المعروفة وهي $٣٦٠$ درجة.

نسبة القطاع الدائري من مساحة الدائرة الكلية تتمثل في قسمة الزاويتين.

نسبة القطاع = ${٣٦٠} \div {٤٥}$

نبسط هذا الكسر بقسمة كل من المقسوم والمقسوم عليه على الرقم $٤٥$ للوصول إلى أبسط صورة.

$\dfrac{١}{٨} = \dfrac{٤٥}{٣٦٠}$

هذا الاستنتاج يعني أن مساحة القطاع الدائري تمثل ثُمن مساحة الدائرة الكلية.

نضرب هذه النسبة الكسرية في المساحة الكلية للدائرة المعطاة في السؤال لاستخراج مساحة الجزء غير المظلل.

$ط٥ = {\dfrac{١}{٨}} \times {ط٤٠}$

النتيجة هي أن مساحة القطاع الدائري تساوي $ط٥$.

نصيغ الآن معادلة مساحة الجزء المظلل: مساحة المظلل = مساحة المثلث الكلية – مساحة القطاع الدائري.

نعوض بقيمة مساحة المثلث الكلية المعطاة وهي $٢٠$، ومساحة القطاع الدائري التي حسبناها للتو وهي $ط٥$.

الحد الأول في عملية الطرح هو المساحة الكلية، والحد الثاني هو الجزء المقتطع.

مساحة الجزء المظلل = ${ط٥} – {٢٠}$

نجد أن هذا الناتج الجبري يتطابق بشكل كامل وتام مع الخيار الثالث المعطى.

والإجابة هي $ط٥ – ٢٠$

تكنيك ٢: الاستنتاج النسبي والتناسب المباشر للمساحات الهندسية

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد مساحة أي قطاع دائري باستخدام التناسب المباشر بين زاوية القطاع والمساحة الإجمالية للدائرة.

الزاوية الكلية للدائرة تقابل المساحة الكلية، وزاوية القطاع الجزئي تقابل المساحة الجزئية للقطاع.

القانون الرياضي للتناسب: (مساحة القطاع الجزئي $\div$ مساحة الدائرة الكلية) = (زاوية القطاع $\div$ زاوية الدائرة كاملة).

نعوض بالمعطيات، حيث مساحة الدائرة تساوي $ط٤٠$ وزاوية القطاع المركزية تساوي $٤٥$.

نفرض أن مساحة القطاع الدائري المجهولة هي المتغير الجبري $س$.

نصيغ معادلة التناسب الكسرية بناءً على المعطيات.

$\dfrac{٤٥}{٣٦٠} = \dfrac{س}{ط٤٠}$

نقوم بتبسيط الكسر الموجود في الطرف الأيمن، وهو يمثل النسبة بين الزوايا.

$\dfrac{١}{٨} = \dfrac{س}{ط٤٠}$

نستخدم خاصية الضرب التبادلي للكسور لحل التناسب المباشر وإيجاد قيمة المتغير $س$.

$ط٤٠ = س٨$

نقسم كلا الطرفين على الرقم $٨$ لعزل المتغير $س$ بمفرده في طرف مستقل.

$ط٥ = س$

بالتالي، استنتجنا أن مساحة القطاع الدائري الأبيض غير المظلل داخل المثلث تساوي $ط٥$.

المساحة المظللة المطلوبة تمثل الجزء المتبقي من المثلث الكلي الذي مساحته الإجمالية هي $٢٠$.

نجري عملية الطرح لاستخراج المتبقي: الحد المطروح منه هو المساحة الكلية، والمطروح هو مساحة القطاع.

المساحة المظللة = ${ط٥} – {٢٠}$

والإجابة هي $ط٥ – ٢٠$

تكنيك ١: تحليل الزوايا المتقابلة بالرأس وخصائص المثلثات داخل الدائرة

المفهوم الرياضي: الزوايا المتقابلة بالرأس تكون متساوية في القياس دائماً، والمثلثات التي يتكون ضلعان منها من أنصاف أقطار في الدائرة تكون مثلثات متطابقة الضلعين.

من المعطيات النصية للسؤال، قياس الزاوية (هـ م̂ جـ) يساوي $١١٠$ درجات.

نلاحظ من التحليل البصري للشكل أن الزاوية (هـ م̂ جـ) تقابل بالرأس الزاوية (أ م̂ ب) عند مركز الدائرة المشترك.

بناءً على نظرية الزوايا المتقابلة بالرأس هندسياً، نستنتج أن قياس الزاوية (أ م̂ ب) يساوي أيضاً $١١٠$ درجات.

نكتب هذه النتيجة المرحلية: قياس الزاوية المركزية للمثلث الأول هو $١١٠$ درجات.

ندرس الآن خصائص المثلث الأول (أ م ب).

الضلعان الممتدان من المركز وهما (م أ) و (م ب) يمثلان أنصاف أقطار في نفس الدائرة، مما يجعلهما متساويين في الطول قطرياً.

هذا المعطى الهندسي يؤكد أن المثلث (أ م ب) متطابق الضلعين، وبالتالي زاويتا القاعدة المتناظرتان متساويتان في القياس.

القانون الرياضي الثابت: مجموع زوايا أي مثلث الداخلية يساوي $١٨٠$ درجة.

نحسب مجموع قياس زاويتي القاعدة معاً بطرح زاوية الرأس المركزية من المجموع الكلي لزوايا المثلث لتكون زوايا القاعدة مكملة لها للوصول إلى $١٨٠$.

مجموع زاويتي القاعدة = ${١١٠} – {١٨٠}$

$٧٠ = {١١٠} – {١٨٠}$

بما أن زاويتي القاعدة متطابقتان، نقسم المتبقي على الرقم $٢$ لإيجاد قياس كل زاوية فرعية منهما.

$٣٥ = {٢} \div {٧٠}$

إذاً، القيمة الأولى المطلوبة في المقارنة وهي قياس الزاوية (أ ب̂ م) تساوي $٣٥$.

ننتقل لدراسة المثلث الثاني (ج م هـ) الموجود في الطرف المقابل.

الضلعان (م ج) و (م هـ) هما أيضاً أنصاف أقطار في ذات الدائرة، مما يجعله مثلثاً متطابق الضلعين هو الآخر.

زاوية الرأس المركزية في هذا المثلث معطاة بشكل مباشر في السؤال وهي $١١٠$ درجات.

باتباع نفس التسلسل المنطقي والرياضي، نحسب زاويتي القاعدة بطرح زاوية الرأس من المجموع $١٨٠$ ثم القسمة على $٢$.

مجموع زاويتي القاعدة للمثلث الثاني = ${١١٠} – {١٨٠}$

$٧٠ = {١١٠} – {١٨٠}$

قياس كل زاوية قاعدة مكملة في المثلث الثاني = ${٢} \div {٧٠}$

$٣٥ = {٢} \div {٧٠}$

إذاً، القيمة الثانية المطلوبة وهي قياس الزاوية (م هـ̂ جـ) تساوي $٣٥$.

بإجراء المقارنة النهائية بين القيمة الأولى وهي $٣٥$ مع القيمة الثانية وهي $٣٥$، نجد أنهما متساويتان تماماً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: التطابق الكلي للمثلثات بالاعتماد على حالة (ضلع – زاوية – ضلع)

المفهوم الرياضي: يتطابق أي مثلثين تطابقاً كاملاً إذا تطابق فيهما طول ضلعين متناظرين والزاوية المحصورة بينهما، وينتج عن هذا التطابق تساوي جميع الزوايا والأضلاع المتناظرة المتبقية.

في تحليلنا للمثلث الأول (أ م ب) والمثلث الثاني (ج م هـ)، نلاحظ أن لديهما مركزاً مشتركاً وهو النقطة $م$.

الضلع (م أ) في المثلث الأول يطابق الضلع (م ج) في المثلث الثاني نظراً لأنهما أنصاف أقطار مرسومة في الدائرة نفسها.

الضلع (م ب) يطابق الضلع (م هـ) للسبب الهندسي ذاته كونهما أنصاف أقطار متساوية.

الزاوية المركزية المحصورة بين الضلعين الأولين وهي (أ م̂ ب) تطابق الزاوية المركزية المحصورة (هـ م̂ جـ) بسبب التقابل بالرأس، وكلتاهما تساوي $١١٠$ درجات.

بذلك، تحققت الشروط الهندسية الصارمة للتطابق (ضلعان وزاوية محصورة بينهما).

هذا يعني أن المثلث (أ م ب) يطابق المثلث (ج م هـ) تطابقاً كلياً وشاملاً في كافة خصائصه.

من النتائج الحتمية لهذا التطابق الرياضي، نستنتج أن جميع الزوايا المتناظرة في كلا المثلثين يجب أن تكون متطابقة تماماً.

الزاوية (أ ب̂ م) الموجودة في المثلث الأول تمثل إحدى زاويتي القاعدة.

الزاوية (م هـ̂ جـ) في المثلث الثاني تمثل إحدى زاويتي القاعدة المناظرة لها بشكل مباشر.

بما أن زاويتي القاعدة في المثلث الواحد متساويتان أساساً بسبب خاصية أنصاف الأقطار، فإن الزوايا الأربع للقواعد في كلا المثلثين المتطابقين ستكون متساوية بالضرورة.

وبالتالي، يمكننا الاستنتاج مباشرة وبدون إجراء أي عمليات طرح أو قسمة رقمية أن الزاوية في القيمة الأولى تطابق الزاوية في القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: محيط الدائرة يساوي حاصل ضرب طول القطر في الثابت ط. والفرق بين محيطي دائرتين متحدتي المركز يعتمد على الفرق بين طولي نصف قطريهما.

نفرض أن طول نصف قطر الدائرة الكبرى هو المتغير س، وطول نصف قطر الدائرة الصغرى هو المتغير ص.

محيط الدائرة الكبرى يعطى بالمعادلة: المحيط الأكبر = ${س} \times {ط٢}$.

محيط الدائرة الصغرى يعطى بالمعادلة: المحيط الأصغر = ${ص} \times {ط٢}$.

لحساب الفرق بين المحيطين، نطرح المحيط الأصغر من المحيط الأكبر.

المعادلة تصبح: الفرق = $({ص} – {س}) \times {ط٢}$.

بأخذ الثابت ط٢ كعامل مشترك ينتج: الفرق = $({ص} – {س}) \times {ط٢}$.

من المعطيات الهندسية في الشكل المرفق، نلاحظ أن المسافة بين محيطي الدائرتين تساوي ٢، وهو ما يمثل رياضيا الفرق بين طولي نصفي القطرين.

إذن نعوض عن الفرق بين المتغيرين بالقيمة ٢ لتصبح المعادلة: $٢ = {ص} – {س}$.

نعوض في معادلة الفرق بين المحيطين: الفرق = ${٢} \times {ط٢}$.

بإجراء عملية الضرب: الفرق = $ط٤$.

والإجابة هي $ط٤$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: يمكن استنتاج الفرق بين محيطي دائرتين متحدتي المركز مباشرة باستخدام قانون الفرق الذي ينص على أن الفرق يساوي حاصل ضرب الثابت ط٢ في مقدار الزيادة في طول نصف القطر.

نستخرج من الشكل المرفق أن سمك المنطقة المحصورة والمظللة بين الدائرتين يساوي ٢.

هذا السمك يمثل رياضيا مقدار الزيادة (ز) في طول نصف القطر بالانتقال من الدائرة الصغرى إلى الدائرة الكبرى.

نكتب القانون المباشر: الفرق بين المحيطين = $ز \times {ط٢}$.

نعوض بقيمة الزيادة في القانون: الفرق = ${٢} \times {ط٢}$.

ينتج عن عملية الضرب: الفرق = $ط٤$.

والإجابة هي $ط٤$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المقارنة الهندسية باستخدام العلاقات الجبرية بين الأقطار وأطوال الأضلاع.

نرمز لنصف قطر الدائرة بالمتغير ر، ولطول ضلع المربع بالمتغير ل.

نلاحظ من الشكل أن مركز المربع يقع على محيط الدائرة وأن مركز الدائرة هو أحد رؤوس المربع.

المسافة من رأس المربع إلى مركزه تساوي نصف قطر الدائرة ر لأنها تمتد من المركز إلى المحيط.

نستخدم قانون المسافة بين رأس المربع ومركزه، وهو يساوي طول الضلع مقسوماً على الجذر التربيعي لاثنان.

$ر = {\sqrt{٢}} \div {ل}$

نضرب الطرفين في الجذر التربيعي لاثنان لإيجاد طول ضلع المربع بدلالة نصف قطر الدائرة.

${\sqrt{٢}}ر = {ل}$

نكتب قانون القيمة الأولى وهو محيط المربع الذي يساوي طول الضلع مضروباً في أربعة.

نعوض بقيمة الضلع المستنتجة في قانون محيط المربع.

${\sqrt{٢}}ر ٤ = {٤} \times {{\sqrt{٢}}ر}$

نقرب الجذر التربيعي لاثنان رياضياً إلى القيمة واحد فاصلة أربعة لتسهيل المقارنة التقريبية.

نضرب أربعة في واحد فاصلة أربعة لنحصل على معامل ر في القيمة الأولى.

$ر ٥،٦ = {١،٤} \times {ر٤}$

نكتب قانون القيمة الثانية وهو محيط الدائرة الذي يساوي ضعف نصف القطر مضروباً في ط.

نعوض بقيمة ط التقريبية وهي ثلاثة فاصلة أربعة عشر في قانون المحيط.

$ر ٦،٢٨ = {٣،١٤} \times {ر٢}$

نقارن بين النتيجتين، القيمة الأولى تقارب خمسة فاصلة ستة أمثال نصف القطر.

القيمة الثانية تقارب ستة فاصلة ثمانية وعشرون أمثال نصف القطر.

يتضح جلياً أن معامل نصف القطر في القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستنتاج المنطقي باستخدام أقطار الأشكال دون حسابات معقدة.

نعلم أن طول قطر المربع بالكامل يمثل ضعف المسافة من مركزه إلى أي رأس من رؤوسه.

بما أن المسافة من المركز إلى الرأس تساوي نصف قطر الدائرة، فإن قطر المربع يساوي ضعف نصف قطر الدائرة.

نستنتج أن قطر المربع يساوي قطر الدائرة بالتمام والكمال.

محيط الدائرة يساوي قطرها مضروباً في قيمة ط، وهي نسبة تزيد عن ثلاثة أضعاف بقليل.

محيط المربع يتكون من أربعة أضلاع، وكل ضلع أصغر من القطر وفقاً لنظرية فيثاغورس.

رياضياً، محيط المربع يساوي قطره مضروباً في ضعف الجذر التربيعي لاثنان، وهذه القيمة تساوي تقريباً اثنان فاصلة ثمانية.

عند مقارنة المعاملات، نجد أن قيمة ط أكبر من ضعف الجذر التربيعي لاثنان.

وبما أن القطر متساوٍ في كلا الشكلين، فإن الشكل المضروب في المعامل الأكبر يمتلك المحيط الأكبر.

يتبين لنا بشكل قاطع أن محيط الدائرة يتفوق على محيط المربع في هذه الحالة الهندسية.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مساحة المنطقة المظللة تحسب عبر إيجاد مساحة الشكل الهندسي الأكبر وطرح مساحة الشكل الهندسي الأصغر المتداخل معه، معتمدة على استنتاج الأطوال من الرسم.

من المعطيات، طول نصف قطر الدائرة الصغرى الداخلية (التي مركزها المتغير ن) يساوي ٤.

نحسب مساحة هذه الدائرة الصغرى غير المظللة باستخدام القانون: المساحة = ${}^{٢}٤ \times ط$.

بتربيع العدد ٤ ينتج ١٦، لتصبح مساحة الدائرة الصغرى: $ط١٦$.

من خلال تحليل الشكل، نلاحظ أن الدائرة الصغرى تمتد من مركز الدائرة الكبرى حتى محيطها الخارجي دون فراغات.

هذا يثبت هندسيا أن قطر الدائرة الصغرى بالكامل يتطابق في الطول مع نصف قطر الدائرة الكبرى.

نحسب طول نصف قطر الدائرة الكبرى بضرب نصف قطر الدائرة الصغرى في ٢: $٨ = {٢} \times {٤}$.

نحسب الآن مساحة الدائرة الكبرى الكلية: المساحة = ${}^{٢}٨ \times ط$.

بتربيع العدد ٨ ينتج ٦٤، لتصبح مساحة الدائرة الكبرى: $ط٦٤$.

نطبق قانون مساحة الجزء المظلل بطرح مساحة الدائرة الصغرى من مساحة الدائرة الكبرى.

المعادلة تصاغ بحيث ينتج الفرق الصائب: مساحة المظلل = $ط٤٨ = {ط١٦} – {ط٦٤}$.

إذن مساحة الجزء المظلل تساوي $ط٤٨$.

والإجابة هي $ط٤٨$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استنتاج المساحات المتبقية عبر التناسب الطردي لمربعات الأطوال لتسريع عملية الحساب وتجنب مضاعفة خطوات التعويض.

بما أننا استنتجنا من الرسم أن نصف قطر الدائرة الكبرى يساوي قطر الدائرة الصغرى، فإن نسبة نصفي القطرين هي ٢ إلى ١.

نقوم بتربيع هذه النسبة لمعرفة معامل تضاعف المساحة: $٤ = {}^{٢}(٢)$.

هذا يعني رياضيا أن مساحة الدائرة الكلية الكبرى تساوي أربعة أضعاف مساحة الدائرة الصغرى.

الجزء المظلل يمثل المساحة الكلية مطروحا منها مساحة الدائرة الصغرى، والتي تمثل ربع المساحة الكلية.

إذن مساحة الجزء المظلل تمثل ثلاثة أضعاف مساحة الدائرة الصغرى.

نحسب أولا مساحة الدائرة الصغرى التي طول نصف قطرها ٤: المساحة = $ط١٦ = {}^{٢}٤ \times ط$.

نضرب هذه المساحة في ٣ لإيجاد مساحة المظلل: مساحة المظلل = ${٣} \times {ط١٦}$.

بإجراء عملية الضرب ينتج: $ط٤٨ = {٣} \times {ط١٦}$.

والإجابة هي $ط٤٨$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام قوانين المساحات لإيجاد النسبة الجبرية بين الأطوال.

قانون مساحة الدائرة يساوي الثابت ط مضروباً في مربع نصف القطر.

قانون مساحة المربع يساوي مربع طول الضلع.

نفرض أن نصف قطر الدائرة هو المتغير $ر$ وأن طول ضلع المربع هو المتغير $ل$.

نقوم بكتابة معادلة النسبة المعطاة في السؤال حيث الكسر الأيمن يمثل المساحات.

$\dfrac{١}{٤} = \dfrac{{ط} \times {{}^{٢}ر}}{{}^{٢}ل}$

لإيجاد النسبة بين الأطوال، نحتاج إلى عزل المتغيرات المربعة في طرف واحد، وذلك بنقل الثابت ط إلى المقام في الطرف الآخر.

$\dfrac{١}{{ط}٤} = \dfrac{{}^{٢}ر}{{}^{٢}ل}$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من الأسس واستخراج النسبة المطلوبة.

جذر الواحد في البسط يساوي واحدا، وجذر المقام يتوزع على الأربعة وعلى الثابت ط.

$\dfrac{١}{{\sqrt{ط}}٢} = \dfrac{ر}{ل}$

تصبح النسبة النهائية لنصف القطر إلى طول الضلع مطابقة للكسر المستخرج.

والإجابة هي $\dfrac{١}{{\sqrt{ط}}٢}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض قيم عددية صحيحة تحقق شرط النسبة لتسهيل الحساب المباشر.

بناءً على النسبة المعطاة، نفرض أن مساحة الدائرة تساوي $١$ ومساحة المربع تساوي $٤$.

بما أن مساحة المربع تساوي $٤$، فإن طول ضلع المربع يساوي الجذر التربيعي للمساحة.

$٢ = {\sqrt{٤}}$

نستنتج أن طول ضلع المربع يساوي $٢$.

بالرجوع إلى مساحة الدائرة التي فرضناها، نعوض في قانون مساحة الدائرة.

$١ = {ط} \times {{}^{٢}ر}$

بقسمة الطرفين على الثابت ط لعزل مربع نصف القطر.

$\dfrac{١}{ط} = {}^{٢}ر$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على قيمة نصف القطر.

$\dfrac{١}{\sqrt{ط}} = ر$

الآن نقوم بحساب النسبة المطلوبة وهي نصف قطر الدائرة مقسوماً على طول ضلع المربع.

نعوض بقيمة نصف القطر في البسط وبقيمة طول الضلع في المقام.

$\dfrac{١}{{\sqrt{ط}}٢} = \dfrac{\dfrac{١}{\sqrt{ط}}}{٢}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{{\sqrt{ط}}٢}$

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: حساب محيط الدوائر وتجميع الأجزاء الخارجية للأشكال الهندسية المركبة.

الشكل المعطى يتكون من ٤ أنصاف دوائر، وهو ما يعادل محيط دائرتين كاملتين متطابقتين.

نستنتج طول القطر للدوائر من الرسم الهندسي، حيث يبلغ ٤، وبالتالي نصف القطر يساوي ٢.

$٢ = {٢} \div {٤}$

نكتب قانون محيط الدائرة الواحدة، وهو ٢ مضروباً في نصف القطر مضروباً في الثابت ط.

$ط٤ = {ط} \times {٢} \times {٢}$

نضاعف المحيط المحسوب لنحصل على محيط الدائرتين الكاملتين (أي الأقواس الأربعة مجتمعة).

$ط٨ = {٢} \times {ط٤}$

الشكل يحتوي أيضاً على قطعتين مستقيمتين خارجيتين، طول كل منهما يبلغ ٤.

نحسب مجموع أطوال القطع المستقيمة الخارجية.

$٨ = {٤} + {٤}$

نجمع محيط الأقواس الدائرية مع مجموع أطوال القطع المستقيمة للحصول على المحيط الإجمالي.

$٨ + {ط٨} = {٨} + {ط٨}$

والإجابة هي $٨ + ط٨$

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: تفكيك المحيط الخارجي إلى وحدات منفصلة ثم تجميعها.

المحيط الخارجي للشكل لا يتضمن الخطوط الداخلية، بل يقتصر على الأقواس المنحنية والحدود المستقيمة.

نصف القطر لكل قوس يبلغ ٢، بناءً على قسمة الارتفاع الكلي على ٢.

نحسب طول قوس نصف الدائرة الواحدة بضرب نصف القطر في الثابت ط.

$ط٢ = {ط} \times {٢}$

بما أن الشكل يحتوي على ٤ أنصاف دوائر، نضرب طول القوس الواحد في ٤.

$ط٨ = {٤} \times {ط٢}$

نحدد الأجزاء المستقيمة في الحدود الخارجية، وهي قطعتان متطابقتان طول كل منهما ٤.

نجري عملية الجمع للقطع المستقيمة.

$٨ = {٤} + {٤}$

ندمج الأجزاء المنحنية مع الأجزاء المستقيمة لتكوين التعبير الجبري النهائي للمحيط.

$٨ + {ط٨} = {٨} + {ط٨}$

والإجابة هي $٨ + ط٨$

تكنيك ١: القاعدة الهندسية الثابتة

المفهوم الرياضي: الأشكال الهندسية المنتظمة تحصر مساحة أكبر مقارنة بالأشكال غير المنتظمة عند تساويهما في المحيط الثابت.

المربع هو شكل رباعي منتظم، حيث أن جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه قائمة ومتطابقة.

المستطيل هو شكل رباعي زواياه متطابقة، ولكن أضلاعه ليست متطابقة بالضرورة، مما يجعله أقل انتظاماً من المربع.

بما أن المربع يمثل الحالة المثالية والمنتظمة للمستطيل، فإنه بناءً على القاعدة الهندسية الثابتة للمساحات، يحصر المربع المساحة الأكبر دائماً متى ما تساوى المحيطان.

لذلك، نستنتج بوضوح تام أن مساحة المربع تكون دائماً أكبر من مساحة المستطيل.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: التعويض العددي وافتراض القيم الجبرية

المفهوم الرياضي: استخدام قيم عددية افتراضية صحيحة وتطبيق قوانين المساحة والمحيط لإثبات العلاقة الرياضية بين الشكلين.

نفترض من أجل المقارنة أن محيط كل من المربع والمستطيل يساوي $١٦$.

قانون محيط المربع ينص على ضرب طول الضلع في أربعة.

نحسب أولاً طول ضلع المربع بقسمة المحيط الإجمالي على أربعة أضلاع.

طول ضلع المربع: $٤ = {٤} \div {١٦}$

قانون مساحة المربع ينص على ضرب طول الضلع في نفسه.

نحسب مساحة المربع بالتعويض المباشر عن طول الضلع.

مساحة المربع: $١٦ = {٤} \times {٤}$

الآن، ننتقل للمستطيل الذي يبلغ محيطه أيضاً $١٦$.

قانون محيط المستطيل ينص على أن المحيط يساوي الطول زائد العرض، والكل مضروب في اثنين.

نقسم المحيط على اثنين لإيجاد مجموع الطول والعرض معاً.

مجموع الطول والعرض: $٨ = {٢} \div {١٦}$

نفترض أبعاداً للمستطيل بحيث يكون مجموعها ثمانية، ونحرص أن تكون الأبعاد مختلفة، مثلاً الطول يساوي $٥$ والعرض يساوي $٣$.

قانون مساحة المستطيل ينص على ضرب الطول في العرض.

نحسب مساحة المستطيل بالتعويض بالقيم المفترضة.

مساحة المستطيل: $١٥ = {٣} \times {٥}$

نقارن رياضياً بين المساحتين المستخرجتين من الحسابات.

نجد أن مساحة المربع البالغة $١٦$ أكبر بشكل واضح من مساحة المستطيل البالغة $١٥$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: حساب زاوية القطاع المظلل عبر خصائص الزوايا المتكاملة والمتقابلة

المفهوم الرياضي: الزاويتان المتجاورتان على خط مستقيم تشكلان زاوية مستقيمة، وكل زاوية تعتبر مكملة للأخرى بحيث يبلغ مجموعهما ١٨٠ درجة، كما أن الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية.

من خلال استقراء الشكل الهندسي، الزاوية المعطاة للقطاع غير المظلل هي ١٣٥ درجة.

الزاوية المجاورة لها تمثل أحد القطاعين المظللين، وهي مكملة لها للوصول إلى ١٨٠ درجة.

القانون: الزاوية المكملة تساوي ١٨٠ مطروحاً منها الزاوية المعلومة.

نطرح ١٣٥ من ١٨٠ لإيجاد قياس زاوية القطاع المظلل الواحد.

${٤٥} = {١٣٥} – {١٨٠}$

بما أن الدائرة مقسمة بخطين مستقيمين متقاطعين، فإن القطاعين المظللين متقابلان بالرأس ومتساويان في القياس.

القانون: إجمالي الزاوية المظللة يساوي مجموع زاويتي القطاعين المظللين.

نجمع الزاويتين معاً (٤٥ و ٤٥) لإيجاد إجمالي الزاوية المظللة في الدائرة.

${٩٠} = {٤٥} + {٤٥}$

الآن نحسب مساحة الدائرة الكاملة. نصف القطر معطى وقيمته ٤ سم.

القانون: المساحة الإجمالية للدائرة تساوي ط مضروبة في مربع نصف القطر.

نعوض بالرقم ٤ في القانون لنجد المساحة الكلية.

$ط١٦ = {ط} \times {}^{٢}{٤}$

القانون: نسبة مساحة القطاع إلى الدائرة تساوي زاوية القطاع مقسومة على ٣٦٠.

نقسم الزاوية ٩٠ على ٣٦٠ لنحصل على نسبة الجزء المظلل، والتي تتبسط رياضياً إلى الربع.

${\dfrac{١}{٤}} = {\dfrac{٩٠}{٣٦٠}}$

القانون: مساحة الجزء المظلل تساوي نسبة الجزء المظلل مضروبة في المساحة الإجمالية.

نضرب نسبة الربع في المساحة الإجمالية ط١٦.

$ط٤ = {ط١٦} \times {\dfrac{١}{٤}}$

والإجابة هي $ط٤$

تكنيك ٢: حساب مساحة الأجزاء غير المظللة وطرحها من المساحة الكلية

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي المساحة الكلية للشكل مطروحاً منها مساحة الجزء غير المظلل.

القانون: المساحة الإجمالية للدائرة تساوي ط مضروبة في مربع نصف القطر.

نحسب المساحة الإجمالية للدائرة التي نصف قطرها معطى بقيمة ٤.

$ط١٦ = {ط} \times {}^{٢}{٤}$

نحدد إجمالي زوايا القطاعات غير المظللة. لدينا زاوية معطاة ١٣٥ درجة، والزاوية المقابلة لها بالرأس تساويها ١٣٥ درجة حتماً.

القانون: إجمالي الزوايا غير المظللة يساوي مجموع الزاويتين المتقابلتين.

نجمع الزاويتين للحصول على إجمالي زوايا الأجزاء غير المظللة.

${٢٧٠} = {١٣٥} + {١٣٥}$

القانون: نسبة الجزء غير المظلل تساوي مجموع زواياه مقسوماً على الزاوية الكاملة ٣٦٠.

نقسم ٢٧٠ على ٣٦٠ لنوجد نسبة المساحة غير المظللة، والتي تتبسط إلى ثلاثة أرباع.

${\dfrac{٣}{٤}} = {\dfrac{٢٧٠}{٣٦٠}}$

القانون: مساحة الجزء غير المظلل تساوي نسبته مضروبة في المساحة الكلية.

نحسب مساحة الجزء غير المظلل بضرب الكسر ثلاثة أرباع في المساحة الإجمالية ط١٦.

$ط١٢ = {ط١٦} \times {\dfrac{٣}{٤}}$

القانون: مساحة الجزء المظلل تساوي المساحة الكلية مطروحاً منها المساحة غير المظللة.

نطرح مساحة الجزء غير المظلل (ط١٢) من المساحة الكلية للدائرة (ط١٦) للحصول على المساحة المطلوبة.

${ط٤} = {ط١٢} – {ط١٦}$

والإجابة هي $ط٤$

تكنيك ١: حساب المساحات الكلية والجزئية

المفهوم الرياضي: مساحة الدائرة ومساحة المثلث.

مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة الدائرة كاملة مطروحاً منها مساحة المثلث غير المظلل.

قانون مساحة الدائرة هو المساحة = $ط \times {}^{٢}س$ حيث س يمثل نصف القطر.

بما أن نصف القطر يساوي $١$، فإن مساحة الدائرة الكلية تساوي $ط = {}^{٢}(١) \times {ط}$.

قانون مساحة المثلث هو المساحة = القاعدة مضروبة في الارتفاع مقسومة على $٢$.

قاعدة المثلث تمتد على طول قطر الدائرة بالكامل، لذا القاعدة تساوي $٢ = {٢} \times {١}$.

ارتفاع المثلث يمثل نصف قطر الدائرة العمودي من المركز إلى المحيط، لذا الارتفاع يساوي $١$.

مساحة المثلث غير المظلل تساوي $١ = {١} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

لإيجاد المساحة المظللة، نقوم بطرح مساحة المثلث من مساحة الدائرة الكلية.

مساحة الجزء المظلل تساوي $١ – ط$.

والإجابة هي $١ – ط$.

تكنيك ٢: تقسيم مساحة الشكل هندسياً

المفهوم الرياضي: مساحة نصف الدائرة وتجزئة الأشكال المعقدة.

الشكل المظلل يتكون من نصف الدائرة السفلي المظلل بالكامل، مضافاً إليه الأجزاء المظللة في نصف الدائرة العلوي.

مساحة الدائرة الكلية تساوي $ط$.

مساحة نصف الدائرة السفلي تساوي ${\dfrac{ط}{٢}}$.

نصف الدائرة العلوي يحتوي على مثلث غير مظلل مساحته تساوي $١ = {١} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

مساحة الأجزاء المظللة في النصف العلوي تساوي مساحة نصف الدائرة مطروحاً منها مساحة هذا المثلث.

مساحة الأجزاء المظللة علوياً تساوي ${١} – {\dfrac{ط}{٢}}$.

نجمع مساحة نصف الدائرة السفلي مع مساحة الأجزاء العلوية المظللة.

المساحة الكلية المظللة تساوي ${١} – {\dfrac{ط}{٢}} + {\dfrac{ط}{٢}}$.

بتبسيط المعادلة الجبرية، المساحة الكلية المظللة تساوي $١ – ط$.

والإجابة هي $١ – ط$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المنطقة المظللة تمثل نصف مساحة الزوايا المكملة للدائرة داخل المربع.

نحسب مساحة الزوايا الأربع المكملة بطرح مساحة الدائرة من مساحة المربع الكلية.

مساحة المربع الكلية $ {١٠} \times {١٠} =$

مساحة المربع الكلية $ {١٠٠} =$

نحسب مساحة الدائرة المماسة لأضلاع المربع.

مساحة الدائرة $ {ط} \times {}^{٢}(٥) =$

نعوض عن ط بالقيمة التقريبية $٣،١٤$ ونكمل الحسابات الجبرية.

مساحة الدائرة $ {٢٥} \times {٣،١٤} =$

مساحة الدائرة $ {٧٨،٥} =$

مساحة الزوايا الأربع المكملة للدائرة $ {١٠٠} – {٧٨،٥} =$

مساحة الزوايا الأربع المكملة للدائرة $ {٢١،٥} =$

وبما أن الجزء المظلل يمثل نصف هذه المساحة فقط، نقسم الناتج رياضياً على اثنين.

المساحة المظللة $ {٢١،٥} \div {٢} =$

المساحة المظللة $ {١٠،٧٥} =$

والإجابة هي $١٠،٧٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن تقسيم الشكل الهندسي إلى نصفين متساويين وحساب مساحة الجزء المظلل في نصف المربع فقط.

نحسب مساحة نصف المربع بقسمة المساحة الكلية على اثنين بشكل مباشر.

مساحة نصف المربع $ {١٠٠} \div {٢} =$

مساحة نصف المربع $ {٥٠} =$

نحسب مساحة نصف الدائرة بقسمة مساحتها الكلية المستنتجة سابقاً على اثنين.

مساحة نصف الدائرة $ {٧٨،٥} \div {٢} =$

مساحة نصف الدائرة $ {٣٩،٢٥} =$

نطرح مساحة نصف الدائرة من مساحة نصف المربع للحصول على مساحة الجزء المظلل.

المساحة المظللة $ {٥٠} – {٣٩،٢٥} =$

المساحة المظللة $ {١٠،٧٥} =$

والإجابة هي $١٠،٧٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: متباينة المحيط الثابت وتحليل الكفاءة المساحية.

تقسيم السلك إلى جزأين متساويين يفرض شرطاً هندسياً ثابتاً وهو تساوي المحيط الخارجي لكلا الشكلين (الدائرة والمربع).

قانون الكفاءة المساحية ينص على أن الشكل الذي يمتلك عدداً لا نهائياً من محاور التماثل (وهو الدائرة) يستوعب المساحة الأكبر الممكنة لأي طول محيطي معطى.

المربع، رغم كونه مضلعاً منتظماً، إلا أن زواياه الحادة تهدر جزءاً من الكفاءة المساحية مقارنة بالانحناء المثالي للدائرة.

وعليه، وبشكل قاطع، الدائرة التي تشترك مع مربع في نفس المحيط تمتلك مساحة سطحية أكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الإثبات بالتحليل الكمي والمقارنة الجبرية المباشرة.

لإجراء مقارنة رياضية دقيقة، نخصص قيمة طولية مقدارها $١٦$ وحدة لكل من القسمين المتساويين من السلك.

نبدأ بتحليل القيمة الثانية وهي المربع، حيث محيطه يساوي $١٦$.

طول ضلع المربع = $٤ = {٤} \div {١٦}$

مساحة المربع بتطبيق أسس الضرب الاستباقية = $١٦ = {}^{٢}{٤}$

ننتقل لتحليل القيمة الأولى وهي الدائرة، حيث محيطها يساوي $١٦$.

قانون محيط الدائرة يعتمد على القطر، وبقسمة المحيط على الثابت الرياضي نستخرج طول القطر.

نصف القطر المرموز له بالمتغير المجرد = $س = \dfrac{٨}{\pi}$

نعوض في قانون مساحة الدائرة المعتمد على تربيع نصف القطر.

المساحة = ${}^{٢}(\dfrac{٨}{\pi}) \times {\pi}$

بالتبسيط الجبري الصارم ينتج لدينا مساحة الدائرة = $\dfrac{٦٤}{\pi}$

نقوم بتقييم الكسر عددياً باستخدام قيمة الثابت التقريبية، لنجد أن الناتج يساوي $٢٠،٣٨$ تقريباً.

تتم الآن عملية المقارنة النهائية بين القيمتين: المساحة الدائرية $٢٠،٣٨$ تقابل المساحة المربعة $١٦$.

يتبين أن الكفة ترجح بوضوح للقيمة الأولى متجاوزة القيمة الثانية بمقدار ملحوظ.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: حساب مساحة الشكل المظلل رياضياً باستخدام قوانين المساحة.

المفهوم الرياضي: مساحة الدائرة تُحسب باستخدام القانون، ونقارن النتيجة بالقيمة المعطاة.

من خلال التحليل البصري للشبكة البيانية، نجد أن كل مربع يمثل وحدة طول واحدة.

يمتد الشكل المظلل أفقياً من النقطة $٢$ إلى النقطة $٦$، أي أن طول قطره الأفقي يساوي $٤$ وحدات.

ويمتد الشكل رأسياً من النقطة $٢$ إلى النقطة $٦$، مما يعني أن طول قطره الرأسي يساوي $٤$ وحدات أيضاً.

نظراً لتطابق القطرين، نستنتج أن الشكل الهندسي يمثل دائرة تامة قطرها يساوي $٤$.

لإيجاد مساحة الدائرة، نحتاج أولاً لمعرفة طول نصف القطر.

نقسم طول القطر على $٢$ لنحصل على نصف القطر.

نصف القطر يساوي $٢$.

قانون مساحة الدائرة = ${ط} \times {{}^{٢}ر}$.

نعوض بقيمة نصف القطر المستخرجة في القانون الرياضي.

مساحة الدائرة = ${ط} \times {{}^{٢}٢$.

مربع العدد $٢$ يساوي $٤$.

مساحة الدائرة = $ط٤$.

نعوض بقيمة الثابت التقريبية $٣،١٤$ بدلاً من $ط$ لمعرفة القيمة العددية.

مساحة الدائرة = ${٤} \times {٣،١٤}$.

مساحة الدائرة تساوي $١٢،٥٦$.

نقوم الآن بإجراء المقارنة بين القيمة الأولى والقيمة الثانية.

القيمة الأولى التي تمثل مساحة المظلل تساوي $١٢،٥٦$.

القيمة الثانية المعطاة في السؤال تساوي $٨$.

من الواضح رياضياً أن العدد $١٢،٥٦$ هو أكبر من العدد $٨$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: تقدير المساحة عن طريق عد المربعات في الشبكة البيانية.

المفهوم الرياضي: مساحة الشكل المرسوم على شبكة بيانية قياسية تعادل تقريباً عدد المربعات التي يغطيها بالكامل أو جزئياً.

نبدأ بحساب عدد المربعات الكاملة التظليل والتي تقع في مركز الشكل الدائري.

يوجد $٤$ مربعات ممتلئة بالكامل باللون المظلل.

نقوم الآن بإحصاء المربعات التي يغطي التظليل أكثر من نصف مساحتها في الأطراف.

يوجد حوالي $٨$ مربعات إضافية مغطاة بنسبة كبيرة جداً.

عند جمع هذه المربعات، نجد أن المساحة المغطاة تتخطى بسهولة $١٢$ مربعاً.

بما أن كل مربع في الشبكة يمثل $١$ سم ${}^{٢}$، فإن المساحة التقديرية أكبر من $١٢$ سم ${}^{٢}$.

نضع هذه المساحة التقديرية في مقارنة مباشرة مع القيمة الثانية.

القيمة الثانية المعطاة تساوي $٨$ سم ${}^{٢}$.

بما أن مساحة الشكل تتجاوز $١٢$، فهي بالضرورة أكبر من $٨$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: حساب نصف القطر باستخدام نظرية فيثاغورس وخصائص المربع

المفهوم الرياضي: القطعة المستقيمة الواصلة من مركز الدائرة والعمودية على ضلع المربع المحاط بها تمثل نصف طول ضلع المربع.

من الشكل، نلاحظ أن المسافة من المركز إلى منتصف الضلع العلوي للمربع تساوي ٢.

إذا رسمنا خطاً من مركز الدائرة إلى زاوية المربع، سيتشكل لدينا مثلث قائم الزاوية متطابق الضلعين.

طول ضلعي القائمة في هذا المثلث هما نصف طول ضلع المربع، أي أن كل ضلع يساوي ٢.

الوتر في هذا المثلث يمثل نصف قطر الدائرة، ونرمز لمربعه بالمتغير (ر).

القانون: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة.

نعوض بقيم ضلعي القائمة (٢ و ٢) في نظرية فيثاغورس.

${}^{٢}ر = {}^{٢}{٢} + {}^{٢}{٢}$

نحسب مربع العدد ٢ وهو ٤ لكلا الضلعين.

${}^{٢}ر = {٤} + {٤}$

نجمع القيمتين لنحصل على مربع نصف القطر.

${٨} = {}^{٢}ر$

القانون: مساحة الدائرة تساوي الثابت ط مضروباً في مربع نصف القطر.

نعوض بقيمة مربع نصف القطر (٨) في قانون المساحة.

$ط٨ = {ط} \times {٨}$

والإجابة هي $ط٨$

تكنيك ٢: حساب طول قطر المربع لاستنتاج مساحة الدائرة

المفهوم الرياضي: قطر المربع المحاط بدائرة يتطابق تماماً مع قطر الدائرة نفسها.

المسافة من المركز إلى منتصف ضلع المربع تساوي ٢، مما يعني أن طول الضلع الكامل للمربع يساوي ضعف هذه المسافة.

${٤} = {٢} \times {٢}$

القانون: طول قطر المربع يساوي طول ضلعه مضروباً في الجذر التربيعي للعدد ٢.

نعوض بطول الضلع (٤) لإيجاد قطر المربع، والذي يمثل أيضاً قطر الدائرة.

القطر = ${\sqrt{٢}}٤$

القانون: مساحة الدائرة تساوي ط مضروبة في مربع نصف القطر، ونصف القطر هو القطر مقسوماً على ٢.

نقسم قطر الدائرة على ٢ لإيجاد نصف القطر.

نصف القطر = ${\dfrac{{\sqrt{٢}}٤}{٢}}$

نبسط الكسر بقسمة ٤ على ٢ لينتج لدينا نصف القطر.

نصف القطر = ${\sqrt{٢}}٢$

نربع نصف القطر لحساب المساحة. نربع المعامل (٢ ليصبح ٤) ونربع الجذر (ليصبح ٢).

${٨} = {٢} \times {٤}$

نضرب الناتج النهائي في الثابت ط للحصول على المساحة.

المساحة = $ط٨$

والإجابة هي $ط٨$