اختبار: الكسور

تكنيك ١: التبسيط الجبري للكسور المركبة

المفهوم الرياضي: عند قسمة عدد على كسر، فإن مقام المقام يتحول إلى بسط ويضرب في القيمة العليا.

نأخذ الجزء الكسري من القيمة الأولى لتبسيطه: $\frac{١}{\frac{١}{٣}}$

بتطبيق القاعدة، نرفع العدد $٣$ للبسط، فيصبح الناتج $٣$

نعوض بهذه النتيجة في القيمة الأولى الأصلية: ${٢-} = {٣} – {١}$

القيمة الثانية معطاة بشكل مباشر وهي النصف $\frac{١}{٢}$

نقارن بين القيمتين النهائيتين: القيمة الأولى أصبحت $٢-$ وهي سالبة، بينما القيمة الثانية $\frac{١}{٢}$ موجبة.

بما أن العدد الموجب دائماً وأبداً أكبر من العدد السالب، فإن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: التحليل المنطقي على خط الأعداد

المفهوم الرياضي: أي عدد يقع على يمين الصفر في خط الأعداد الحقيقي يكون أكبر من أي عدد يقع على يساره.

القيمة الأولى بعد استخراج ناتج الكسر المركب والطرح هي عدد سالب مقداره $٢-$، وموقعه على يسار الصفر.

القيمة الثانية هي كسر موجب مقداره $\frac{١}{٢}$، وموقعه على يمين الصفر.

بالتالي القيمة الثانية أكبر بشكل مباشر وبدون حاجة لتوحيد مقامات.

المفهوم الرياضي: طرح الكسور ذات المقامات الموحدة، وحل المعادلات من الدرجة الأولى.

بما أن المقامات موحدة في الطرف الأيمن، نطرح البسوط مباشرة:

$٣ = \frac{١٢ – ٢٤}{س}$

$٣ = \frac{١٢}{س}$

بضرب الطرفين في $س$ للتخلص من المقام:

$س \times ٣ = ١٢$

بقسمة الطرفين على $٣$ للحصول على قيمة $س$:

قيمة $س$ = $٤$

تكنيك ١: تجميع الكسور ذات المقامات المتشابهة

المفهوم الرياضي: عند وجود سلسلة من الكسور بجمع وطرح، يسهل الحل بتجميع الكسور التي لها مقامات موحدة وإجراء العمليات عليها أولاً، ثم جمع النواتج المبسطة.

الخطوة الأولى: نجمع الكسور التي مقامها $١٦$ معاً، وهي ${ \frac{٥}{١٦} } – { \frac{١}{١٦} }$.

الخطوة الثانية: ناتج طرحها هو ${ \frac{٤}{١٦} }$، والذي يبسط بقسمة البسط والمقام على $٤$ ليصبح ${ \frac{١}{٤} }$.

الخطوة الثالثة: نجمع الكسور التي مقامها $٨$ معاً، وهي ${ \frac{٧}{٨} } + { \frac{١}{٨} }$.

الخطوة الرابعة: ناتج جمعها هو ${ \frac{٨}{٨} }$، والذي يساوي القيمة $١$.

الخطوة الخامسة: نعيد كتابة المقدار بالكامل مستخدمين النواتج المبسطة: ${ \frac{٣}{٤} } + { \frac{١}{٤} } + {١}$.

الخطوة السادسة: نجمع الكسور المتبقية ذات المقام $٤$: ${ \frac{٣}{٤} } + { \frac{١}{٤} }$ = ${ \frac{٤}{٤} }$ = $١$.

الخطوة السابعة: نجمع النواتج الصحيحة معاً: ${١} + {١}$ = $٢$.

تكنيك ١: التقريب

نقرب العدد $٩٩١$ إلى $١٠٠٠$ لتسهيل الحساب.

البسط تقريباً يساوي $١٠٠٠٠٠٠ = {}^{٢}١٠٠٠$

المقام هو $١٠٠٣$، نقربه إلى $١٠٠٠$

القيمة الثانية تقريباً تساوي $١٠٠٠ = {\frac{١٠٠٠٠٠٠}{١٠٠٠}}$

لكن يجب التدقيق، العدد الأصلي في البسط أقل من $١٠٠٠$، لذا ${}^{٢}(٩٩١)$ أقل بكثير من $١٠٠٠٠٠٠$

والمقام $١٠٠٣$ أكبر من $١٠٠٠$

بسط أصغر من مليون، ومقام أكبر من ألف، إذن الكسر قيمته أقل من $١٠٠٠$ قطعاً.

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: التحليل الدقيق

للحصول على نتيجة أدق للقيمة الأولى وتجهيزها للمقارنة:

${١٠٠٠} = {\frac{١٠٠٣٠٠٠}{١٠٠٣}}$

القيمة الثانية هي ${\frac{{}^{٢}(٩٩١) + ٣}{١٠٠٣}}$

نقارن بين البسطين حيث أن المقامات موحدة.

هل $١٠٠٣٠٠٠$ أكبر أم ${}^{٢}(٩٩١) + ٣$؟

واضح جداً أن ${}^{٢}(٩٩١)$ سيكون في حدود $٩٨٢٠٠٠$

بالتالي القيمة الأولى أكبر.

المفهوم الرياضي: خصائص المعادلات الجبرية وعملية الضرب في صفر.

من المعادلة المعطاة:

$\frac{٢}{١} = \frac{٢}{١} + \frac{س}{ص}$

بطرح $\frac{٢}{١}$ من الطرفين، نحصل على:

$٠ = \frac{س}{ص}$

الكسر يساوي صفراً إذا وفقط إذا كان بسطه يساوي صفراً (بشرط المقام لا يساوي صفر)، إذن:

قيمة $س$ = $٠$

المطلوب هو إيجاد قيمة ${}^{٢}ص \times {}^{٢}س$

نعوض بقيمة $س$ = $٠$ في المقدار المطلوب:

المقدار = ${}^{٢}ص \times {}^{٢}٠$

الناتج النهائي = صفر

تكنيك ١: تبسيط الكسور ثم توحيد المقامات

المفهوم الرياضي: لتبسيط العملية الحسابية، نقوم بتبسيط الكسور التي تقبل التبسيط أولاً، ثم نجمع أو نطرح الكسور ذات المقامات الموحدة.

الخطوة الأولى: نلاحظ الكسر الثاني ${ \frac{٣}{١٥} }$، يمكن تبسيطه بقسمة البسط والمقام على $٣$.

الخطوة الثانية: ينتج من التبسيط أن ${ \frac{٣}{١٥} }$ مساوياً للقيمة ${ \frac{١}{٥} }$.

الخطوة الثالثة: نعيد كتابة المقدار الأصلي بعد التبسيط ليصبح: ${ \frac{١٠٨-}{١٠٠} } – { \frac{١}{٥} } – { \frac{١}{٥} }$.

الخطوة الرابعة: نقوم بجمع الكسرين الأخيرين لأنهما يملكان نفس المقام: ${ \frac{١-}{٥} } – { \frac{١}{٥} }$ = ${ \frac{٢-}{٥} }$.

الخطوة الخامسة: يصبح المقدار: ${ \frac{١٠٨-}{١٠٠} } – { \frac{٢}{٥} }$.

الخطوة السادسة: نوحد المقامات بضرب بسط ومقام الكسر ${ \frac{٢}{٥} }$ في العدد $٢٠$ ليصبح مقامه $١٠٠$.

الخطوة السابعة: الكسر الجديد هو ${ \frac{٤٠}{١٠٠} }$.

الخطوة الثامنة: نعوض في المقدار ليصبح: ${ \frac{١٠٨-}{١٠٠} } – { \frac{٤٠}{١٠٠} }$.

الخطوة التاسعة: بما أن المقامات موحدة والإشارتين سالبتين، نجمع البسوط بنفس الإشارة: ${١٠٨-} – {٤٠}$ = $١٤٨-$.

الخطوة العاشرة: الناتج الكسري هو ${ \frac{١٤٨-}{١٠٠} }$.

الخطوة الحادية عشرة: نحول الكسر إلى عدد عشري بوضع الفاصلة بعد خانتين، ليصبح الناتج النهائي $١،٤٨-$.

تكنيك ١: تبسيط الكسور المركبة والمقص

المفهوم الرياضي: عند قسمة كسرين، نضرب الكسر في البسط في مقلوب الكسر في المقام لتسهيل المقارنة.

بالنسبة للقيمة الأولى نضرب بسطها في مقلوب مقامها: $\frac{٦}{٥} = \frac{٦}{١} \times \frac{١}{٥}$

بالنسبة للقيمة الثانية نضرب بسطها في مقلوب مقامها: $\frac{٥}{٦} = \frac{٥}{١} \times \frac{١}{٦}$

نقوم بعملية الضرب التبادلي للمقارنة بين الكسرين المبسطين بضرب بسط القيمة الأولى في مقام القيمة الثانية: ${٣٦} = {٦} \times {٦}$

ثم نضرب بسط القيمة الثانية في مقام القيمة الأولى: ${٢٥} = {٥} \times {٥}$

العدد $٣٦$ أكبر من العدد $٢٥$، مما يعني أن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ٢: مقارنة الكسور بالواحد الصحيح

المفهوم الرياضي: إذا كان بسط الكسر أكبر من مقامه فإن قيمته تتجاوز الواحد الصحيح، وإذا كان العكس فإن قيمته تقل عن الواحد الصحيح.

بعد تبسيط القيمة الأولى نحصل على الكسر $\frac{٦}{٥}$ وهو كسر قيمته أكبر من الواحد الصحيح.

بعد تبسيط القيمة الثانية نحصل على الكسر $\frac{٥}{٦}$ وهو كسر قيمته أقل من الواحد الصحيح.

بما أن القيمة الأولى أكبر من واحد والقيمة الثانية أقل منه، فإن القيمة الأولى أكبر قطعياً.

تكنيك ١: التبسيط من الأسفل إلى الأعلى

المفهوم الرياضي: في الكسور المستمرة، نبدأ دائماً بحل أعمق جزء (أدنى مقام) ثم نصعد تدريجياً.

الخطوة الأولى: نجمع الجزء السفلي الأخير ${\frac{١}{٢}} + {١}$

الناتج هو: $\frac{٣}{٢}$

الخطوة الثانية: نعوض في الكسر الذي يعلوه، ليصبح: $\frac{١}{\frac{٣}{٢}}$

مقام المقام بسط، فيصبح الناتج: $\frac{٢}{٣}$

الخطوة الثالثة: نضيف هذا الناتج إلى الواحد الذي بجانبه: ${\frac{٢}{٣}} + {١}$

نوحد المقامات: ${\frac{٢}{٣}} + {\frac{٣}{٣}}$

الناتج هو: $\frac{٥}{٣}$

الخطوة الرابعة: نعوض في الكسر الرئيسي في الأعلى: $\frac{١}{\frac{٥}{٣}}$

مقام المقام بسط، ونقلب الكسر.

الناتج النهائي: $\frac{٣}{٥}$

تكنيك ٢: استخدام قاعدة مقلوب العدد

المفهوم الرياضي: أي كسر على الصورة $\frac{١}{س}$ هو ببساطة مقلوب العدد $س$. يمكننا استغلال ذلك لتسريع الحل.

الخطوة الأولى: نحدد قيمة المقام الأصغر: ${\frac{١}{٢}} + {١}$ تساوي $\frac{٣}{٢}$

الخطوة الثانية: الكسر الأول يمثل المقلوب مباشرة، أي $\frac{٢}{٣}$

الخطوة الثالثة: نجمع المقلوب مع ١: ${\frac{٢}{٣}} + {١}$ تساوي $\frac{٥}{٣}$

الخطوة الرابعة: الكسر الرئيسي يمثل مقلوب الناتج السابق.

الناتج النهائي: $\frac{٣}{٥}$

تكنيك ١: تبسيط الكسر المركب واستخدام المقص

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور برفع مقام المقام إلى البسط، ثم استخدام الضرب التبادلي للمقارنة بين كسرين اعتياديين.

نبسط القيمة الأولى برفع العدد $٣$ إلى البسط: فتصبح القيمة الأولى المكافئة $\frac{٣}{٢٢}$

القيمة الثانية معطاة بأبسط صورة كالتالي: $\frac{٢}{١٥}$

نستخدم الضرب التبادلي بضرب بسط القيمة الأولى في مقام القيمة الثانية: ${٤٥} = {١٥} \times {٣}$

نضرب بسط القيمة الثانية في مقام القيمة الأولى: ${٤٤} = {٢٢} \times {٢}$

بمقارنة النواتج العددية، نجد أن $٤٥$ أكبر من $٤٤$.

إذاً القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: توحيد المقامات المشتركة

المفهوم الرياضي: ضرب كل كسر بسطاً ومقاماً في مقام الكسر الآخر لتوحيد المقامات، ثم مقارنة البسوط مباشرة.

الكسر الأول بعد التبسيط كما استنتجنا سابقاً: $\frac{٣}{٢٢}$

الكسر الثاني المعطى: $\frac{٢}{١٥}$

نضرب الكسر الأول بسطاً ومقاماً في العدد $١٥$ لينتج: $\frac{٤٥}{٣٣٠}$

نضرب الكسر الثاني بسطاً ومقاماً في العدد $٢٢$ لينتج: $\frac{٤٤}{٣٣٠}$

بما أن المقامات أصبحت متساوية وموحدة، نقارن البسوط فقط. العدد $٤٥$ أكبر من العدد $٤٤$.

إذاً القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: المقارنة والمطابقة الهيكلية

المفهوم الرياضي: تحليل التماثل البصري بين طرفي المعادلة لاستنتاج القيم المجهولة مباشرة.

بالمطابقة البصرية بين الطرفين الأيمن والأيسر، نلاحظ تكرار الهيكل الجبري البنائي.

المقارنة المباشرة تعطي أن المقدار $١ + س$ يطابق العدد $٨$:

${٨} = ١ + س$

بنقل العدد $١$ للطرف الآخر بعكس الإشارة لعزل المتغير المجهول:

${٧} = ١ – ٨$

إذن قيمة المتغير هي $٧$.

تكنيك ٢: تجريب الخيارات

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بالخيارات المتاحة للوصول إلى متطابقة عددية صحيحة.

نقوم بتجريب الخيار الثاني وهو العدد $٧$ والتعويض به مكان $س$ في الطرف الأيسر:

$\frac{٣}{١+٧} + \frac{١+٧}{٣}$

بالتبسيط نجد أن المقدار الناتج يصبح:

$\frac{٣}{٨} + \frac{٨}{٣}$

وهذا الناتج يطابق تماماً الطرف الأيمن للمعادلة الأصلية، مما يؤكد صحة الحل.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الضرب المباشر للكسر في العدد الكلي.

لإيجاد عدد الناجحين، نضرب نسبة الناجحين في العدد الكلي للطلاب.

عدد الناجحين = $\frac{٧}{٨} \times ٥٦$

نبسط بقسمة $٥٦$ على $٨$ لنحصل على $٧$.

عدد الناجحين = $٧ \times ٧$

عدد الناجحين = $٤٩$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة الجزء الواحد ثم ضربه في عدد الأجزاء.

نحسب أولاً قيمة الثُمن الواحد من الطلاب.

قيمة الثمن = $\frac{٥٦}{٨}$

قيمة الثمن = $٧$

بما أن الناجحين يمثلون $٧$ أجزاء، نضرب قيمة الجزء في $٧$.

عدد الناجحين = $٧ \times ٧$

عدد الناجحين = $٤٩$

التكنيك الأول: مساواة المقامات

المفهوم الرياضي: إذا تساوت بسوط كسرين متساويين، فإن مقاماتهما يجب أن تكون متساوية لتتحقق المعادلة.

بما أن البسط في كلا الطرفين يساوي $١$، نساوي المقامات ببعضها مباشرة:

${٢} + {س} = {١} + {س٢}$

بنقل المتغيرات في طرف والأعداد في طرف آخر:

${١} – {٢} = {س} – {س٢}$

$١ = س$

التكنيك الثاني: تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بقيم الخيارات المعطاة للتحقق من صحة المعادلة رياضياً.

بتجربة الخيار الأول وهو $١$ والتعويض في المعادلة:

الطرف الأيمن بصرياً بعد التعويض:

$\frac{١}{٣} = \frac{١}{١ + {١} \times {٢}}$

الطرف الأيسر بصرياً بعد التعويض:

$\frac{١}{٣} = \frac{١}{٢ + ١}$

بما أن الطرفين متساويان والقيمة هي $\frac{١}{٣}$، إذن الإجابة صحيحة.

تكنيك ١: صياغة معادلة بسيطة

المفهوم الرياضي: الكسور المتكافئة لها نفس القيمة لذا مجموع ثلاثة كسور متطابقة يعادل ضرب الكسر في ثلاثة.

نفرض أن الكسر الواحد يساوي $س$.

بما أن الكسور متكافئة ومجموعها معلوم نكتب المعادلة $\frac{٦}{٢٥} = س٣$.

لإيجاد قيمة $س$ نقسم الطرفين على $٣$.

العملية هي $٣ \div \frac{٦}{٢٥} = س$.

هذا يعادل ضرب الكسر في المقلوب $\frac{١}{٣} \times \frac{٦}{٢٥} = س$.

بالتبسيط نجد أن $\frac{٢}{٢٥} = س$.

تكنيك ٢: التقسيم المباشر

المفهوم الرياضي: توزيع القيمة الإجمالية بالتساوي على عدد الأجزاء.

المجموع هو $\frac{٦}{٢٥}$ وعدد الكسور هو $٣$.

نقسم البسط فقط على $٣$ لأن المقامات موحدة ولا تتأثر بالجمع.

ناتج قسمة البسط $٢ = ٣ \div ٦$.

الكسر الواحد هو $\frac{٢}{٢٥}$.

تكنيك ١: توحيد المقامات وحل المعادلة الجبرية

المفهوم الرياضي: التخلص من المقامات الكسرية عبر توحيدها لحل معادلة من الدرجة الأولى مع الالتزام الصارم بترتيب الطرح.

المضاعف المشترك الأصغر للمقامين ثلاثة واثنين هو ستة.

نوحد المقامات بضرب بسط ومقام الكسر الأول في اثنين، وبسط ومقام الكسر الثاني في ثلاثة.

المعادلة بعد توحيد المقامات (مع الحفاظ على الكسر الأكبر مطروحاً منه الأصغر كما في المعادلة الأصلية): ${٥} = {\frac{س٩}{٦}} – {\frac{س١٠}{٦}}$

نطرح البسطين بشكل منطقي سليم ونحافظ على المقام الموحد: ${٥} = {\frac{س١}{٦}}$

نضرب طرفي المعادلة في ستة للتخلص من المقام وإيجاد قيمة سين: ${٣٠} = {٦} \times {٥} = {س}$

إذن القيمة الصحيحة للمتغير سين هي ثلاثون.

تكنيك ٢: التجريب والتعويض العكسي

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم الخيارات المعطاة في المعادلة للوصول إلى تطابق بين الطرفين.

نجرب الخيار الأول بتعويض قيمة سين بالرقم ثلاثين في الكسر الأول (من اليمين): ${٥٠} = {\frac{١٥٠}{٣}} = {\frac{٣٠ \times ٥}{٣}}$

نعوض بقيمة سين في الكسر الثاني: ${٤٥} = {\frac{٩٠}{٢}} = {\frac{٣٠ \times ٣}{٢}}$

نطرح القيمتين الناتجة بالترتيب الصحيح للمعادلة (خمسون ناقص خمسة وأربعين): ${٥} = {٤٥} – {٥٠}$

بما أن الناتج يطابق الطرف الآخر من المعادلة، فإن الخيار الأول هو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ١: التبسيط وحساب الأقواس

المفهوم الرياضي: إيجاد حاصل ضرب الكسور داخل الأقواس أولاً ثم إجراء عملية القسمة بالترتيب الصحيح.

نبدأ بحساب حاصل ضرب الكسور الثلاثة الموجودة داخل القوس.

نضرب البسوط معاً والمقامات معاً لنحصل على: ${\frac{٤}{١٢٥}} = {\frac{٢}{٥}} \times {\frac{١}{٥}} \times {\frac{٢}{٥}}$

ننتقل الآن لتبسيط الكسر العشري الموجود في الطرف الآخر من المعادلة.

نضرب البسط والمقام في عشرة لإزالة الفاصلة العشرية: ${\frac{٤}{٥٠}} = {\frac{٠،٤}{٥}}$

نبسط الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على اثنين: ${\frac{٢}{٢٥}} = {\frac{٤}{٥٠}}$

الآن نقوم بإجراء عملية القسمة بقسمة الكسر المبسط على ناتج القوس (حسب الترتيب الصحيح من اليمين لليسار).

نحول القسمة إلى ضرب بقلب الكسر الثاني: ${\frac{٥}{٢}} = {\frac{٢٥٠}{١٠٠}} = {\frac{١٢٥}{٤}} \times {\frac{٢}{٢٥}} = {\frac{٤}{١٢٥}} \div {\frac{٢}{٢٥}}$

الناتج النهائي للعملية هو خمسة أنصاف.

تكنيك ٢: تحويل الحدود لصيغة عشرية

المفهوم الرياضي: استبدال الكسور بقيمها العشرية المكافئة لتسهيل القسمة.

قيمة القوس المتسلسل عشرياً هي حاصل ضرب: $٠،٠٣٢ = ٠،٤ \times ٠،٢ \times ٠،٤$

قيمة الكسر العشري بعد القسمة المطولة هي: $٠،٠٨ = {٥} \div ٠،٤$

نقوم بقسمة الناتجين عشرياً: $٢،٥ = ٠،٠٣٢ \div ٠،٠٨$

القيمة العشرية اثنان ونصف تكافئ الكسر خمسة أنصاف.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: القسمة لمعرفة عدد المجموعات ثم الضرب.

نحسب أولاً عدد المباني في المجمع السكني عن طريق قسمة العدد الكلي للطلاب على عدد الطلاب في المبنى الواحد.

عدد المباني = $\frac{٢٥٠٠}{١٢٥}$

عدد المباني = $٢٠$

بما أن كل مبنى يحتاج إلى مشرفين اثنين، نضرب عدد المباني في $٢$.

عدد المشرفين = $٢ \times ٢٠$

عدد المشرفين = $٤٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي.

كل $١٢٥$ طالب يقابلهم $٢$ مشرف.

إذن $٢٥٠٠$ طالب يقابلهم س من المشرفين.

نطبق التناسب الطردي.

س = $\frac{٢ \times ٢٥٠٠}{١٢٥}$

س = $\frac{٥٠٠٠}{١٢٥}$

س = $٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: طرح الكسور لإيجاد قيمة الجزء المضاف.

الجزء المضاف يمثل الفرق بين النصف والسدس.

مقدار الجزء المضاف = $\frac{١}{٦} – \frac{١}{٢}$.

نوحد المقامات بضرب بسط ومقام الكسر الأول في $٣$.

مقدار الجزء المضاف = $\frac{١}{٦} – \frac{٣}{٦}$.

مقدار الجزء المضاف = $\frac{٢}{٦}$ وهو يعادل $\frac{١}{٣}$.

بما أن $\frac{١}{٣}$ السعة يعادل $٤$ لترات.

لإيجاد السعة الكلية ، نضرب القيمة في $٣$.

السعة الكلية = ${٣} \times {٤}$.

السعة الكلية = $١٢$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: المعادلات الجبرية.

نفرض أن سعة الأسطوانة هي س.

حجم السائل الأولي هو $س \frac{١}{٦}$.

المعادلة هي: $س \frac{١}{٢} = {٤} + س \frac{١}{٦}$.

بنقل المتغيرات لطرف واحد: ${٤} = س \frac{١}{٦} – س \frac{١}{٢}$.

بتوحيد المقامات: ${٤} = س \frac{١}{٦} – س \frac{٣}{٦}$.

${٤} = س \frac{٢}{٦}$.

${٤} = س \frac{١}{٣}$.

$١٢ = س$.

السعة الكلية هي $١٢$ لتراً.

تكنيك ١: التجريب من الخيارات

المفهوم الرياضي: تعويض قيم الخيارات في معطيات السؤال للتحقق من صحتها.

نجرب الخيار الثاني وهو الكسر $\frac{٣}{٤}$.

الشرط الأول نضيف $٢$ للبسط و $١$ للمقام.

البسط الجديد $٥ = ٢ + ٣$ والمقام الجديد $٥ = ١ + ٤$.

الكسر الناتج هو $\frac{٥}{٥}$ والذي يساوي $١$ وهذا يطابق الشرط الأول.

الشرط الثاني نطرح $١$ من البسط و $٣$ من المقام للكسر الأصلي.

البسط الجديد $٢ = ١ – ٣$ والمقام الجديد $١ = ٣ – ٤$.

الكسر الناتج هو $\frac{٢}{١}$ والذي يساوي $٢$ وهذا يطابق الشرط الثاني.

إذاً الخيار الصحيح هو $\frac{٣}{٤}$.

تكنيك ٢: الحل الجبري

المفهوم الرياضي: تكوين معادلتين بمجهولين وحلهما.

نفرض أن الكسر هو $\frac{س}{ص}$.

من الشرط الأول نكون المعادلة $١ = \frac{١ + ص}{٢ + س}$.

بضرب الطرفين في الوسطين $١ + ص = ٢ + س$ ومنها $١- = ص – س$.

من الشرط الثاني نكون المعادلة $٢ = \frac{٣ – ص}{١ – س}$.

بضرب الطرفين في الوسطين ${(٣ – ص)}٢ = ١ – س$ ومنها $٦ – ص٢ = ١ – س$.

بترتيب المعادلة الثانية نحصل على $٥- = ص٢ – س$.

نطرح المعادلة الأولى من الثانية لإيجاد قيمة المتغيرات ونجد أن $٤ = ص$ و $٣ = س$.

الكسر هو $\frac{٣}{٤}$.

تكنيك ١: التحليل المنطقي للإشارات

القيمة الأولى عبارة عن عدد سالب مطروح منه عدد آخر، والناتج هو قيمة سالبة قطعاً.

القيمة الثانية هي كسر موجب صريح.

القيمة الموجبة دائماً أكبر من القيمة السالبة.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: الحساب الرياضي

نحسب القيمة الأولى بتوحيد المقامات:

المقام المشترك هو $٦$

نطبق العملية الحسابية كالتالي:

${\frac{٥}{٦}}- = {\frac{٢}{٦}} – {\frac{٣}{٦}} -$

الناتج للقيمة الأولى يساوي ${\frac{٥}{٦}}-$

القيمة الثانية تساوي ${\frac{١}{٥}}$

العدد الموجب أكبر من العدد السالب، إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: الترجمة اللفظية إلى عملية ضرب مباشر

المفهوم الرياضي: في الرياضيات، الكلمات التي تعبر عن كسور مثل “ثلثي” (وهي مكملة الثلث للواحد الصحيح) تعني رياضياً ضرب هذا الكسر في القيمة المذكورة.

الخطوة الأولى: نترجم “ثلثي” إلى كسر رياضي وهو $\frac{٢}{٣}$

الخطوة الثانية: نترجم صياغة السؤال إلى عملية ضرب.

$\frac{١٦}{٣} \times \frac{٢}{٣}$

الخطوة الثالثة: نضرب البسط في البسط.

$٣٢ = ١٦ \times ٢$

الخطوة الرابعة: نضرب المقام في المقام.

$٩ = ٣ \times ٣$

الخطوة الخامسة: نجمع الناتجين في كسر واحد.

الناتج هو $\frac{٣٢}{٩}$

تكنيك ١: تبسيط المتباينة بحذف الحدود المتشابهة

المتباينة المعطاة في السؤال هي:

${\frac{١}{٦}} + {\frac{١}{٥}} + {\frac{١}{٤}} + {\frac{١}{س}} < {\frac{١}{٦}} + {\frac{١}{٥}} + {\frac{١}{٤}} + {\frac{١}{٣}}$

بملاحظة الطرفين بصرياً، نجد أن الكسور ${\frac{١}{٦}}$ و ${\frac{١}{٥}}$ و ${\frac{١}{٤}}$ متكررة في كلا الطرفين.

نقوم بطرح هذه الحدود المشتركة من الطرفين للتبسيط، فيتبقى لدينا:

${\frac{١}{س}} < {\frac{١}{٣}}$

بما أن معطيات السؤال تنص على أن س عدد موجب، يمكننا قلب الكسرين لمعرفة قيمة س.

عند قلب كسور المتباينة (التي تحمل نفس الإشارة الموجبة)، فإن القاعدة الرياضية تلزمنا بعكس إشارة التباين:

${٣} < {س}$

الآن، نعود للمقارنة بين القيمتين الأساسيتين في السؤال:

القيمة الأولى هي س، وقد استنتجنا أنها أكبر من ٣.

القيمة الثانية هي العدد ٢.

بما أن س أكبر من ٣، فهي حتماً أكبر من ٢.

بالتالي، القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: تحويل الكسر العشري إلى اعتيادي والمقص

المفهوم الرياضي: توحيد نوع القيم المعطاة لتسهيل المقارنة عن طريق تحويل الكسر العشري الشهير إلى كسر اعتيادي.

نقوم بتحويل القيمة الأولى من كسر عشري إلى كسر اعتيادي مبسط حيث نعلم أن $٠،٧٥$ يكافئ تماماً الكسر $\frac{٣}{٤}$

نقارن الآن بين الكسرين $\frac{٣}{٤}$ و $\frac{٥}{٧}$ باستخدام الضرب التبادلي.

نضرب بسط القيمة الأولى في مقام القيمة الثانية: ${٢١} = {٧} \times {٣}$

نضرب بسط القيمة الثانية في مقام القيمة الأولى: ${٢٠} = {٤} \times {٥}$

بما أن العدد $٢١$ أكبر من العدد $٢٠$، فإن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: توحيد المقامات للكسور

المفهوم الرياضي: جعل المقامات متساوية للكسرين يسمح بمقارنة البسوط مباشرة بشكل دقيق للوصول للنتيجة.

بعد تحويل القيمة الأولى للكسر $\frac{٣}{٤}$ والقيمة الثانية معطاة كـ $\frac{٥}{٧}$، نستخدم المقام المشترك الأصغر وهو حاصل ضرب المقامين.

نضرب الكسر الأول بسطاً ومقاماً في العدد $٧$ لنحصل على الكسر المكافئ: $\frac{٢١}{٢٨}$

نضرب الكسر الثاني بسطاً ومقاماً في العدد $٤$ لنحصل على الكسر المكافئ: $\frac{٢٠}{٢٨}$

بمقارنة البسوط الجديدة بعد توحيد المقامات، نجد أن البسط $٢١$ أكبر من البسط $٢٠$.

بالتالي القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: التبسيط الجبري عن طريق التفكيك أو الحذف

لدينا الكسران التاليان للمقارنة بينهما:

القيمة الأولى: $\frac{{أ}+{ب}}{{أ}}$

القيمة الثانية: $\frac{{أ}+{ب}}{{ب}}$

بما أن أ و ب عددان موجبان صحيحان، فإن مجموع البسط ${أ} + {ب}$ هو مقدار موجب تماماً ولا يساوي صفر.

نقوم بقسمة كلا الكسرين في القيمة الأولى والثانية على المقدار المشترك في البسط وهو ${أ} + {ب}$ لتسهيل المقارنة بصرياً:

تصبح القيمة الأولى بعد الاختصار: $\frac{١}{أ}$

تصبح القيمة الثانية بعد الاختصار: $\frac{١}{ب}$

المعطى في السؤال يوضح أن ب أكبر من أ، صياغتها الرياضية: ${أ} < {ب}$

في الكسور الموجبة ذات البسط الموحد، الكسر الذي يملك المقام الأصغر هو الكسر ذو القيمة الأكبر دائماً.

بما أن أ هو المقام الأصغر (${أ} < {ب}$)، فإن الكسر $\frac{١}{أ}$ يكون أكبر من الكسر $\frac{١}{ب}$

وبذلك تكون القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: فرض أعداد افتراضية متوافقة مع الشروط

نفرض قيم عددية موجبة وصحيحة تحقق شرط أن ب أكبر من أ.

نختار مثلاً: ${أ} = {١}$

ونختار: ${ب} = {٢}$

نعوض بهذه القيم في صيغة القيمة الأولى:

القيمة الأولى = $\frac{{١}+{٢}}{{١}}$ = $\frac{٣}{١}$ = ${٣}$

نعوض بالقيم نفسها في صيغة القيمة الثانية:

القيمة الثانية = $\frac{{١}+{٢}}{{٢}}$ = $\frac{٣}{٢}$ = $١،٥$

بمقارنة النواتج المستخرجة: نجد أن العدد ٣ أكبر من العدد $١،٥$

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: التبسيط.

المفهوم الرياضي: توحيد الصيغ الرياضية للمقارنة بين القيمتين.

القيمة الأولى هي مجموع عدد صحيح وكسر، وهي أقل بقليل من أربعة.

القيمة الثانية تحتوي على كسر غير فعلي، نقوم بتبسيطه أولا.

$٢ \frac{١}{٢} = {\frac{٥}{٢}}$

نجمع الآن مع العدد الصحيح: $٤ \frac{١}{٢} = ٢ \frac{١}{٢} + {٢}$

بمقارنة القيمتين: القيمة الأولى أقل من أربعة، بينما القيمة الثانية تساوي أربعة ونصف.

إذا القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: توحيد المقامات.

المفهوم الرياضي: تحويل القيم لكسور غير فعلية وتوحيد المقامات.

القيمة الأولى: ${\frac{٥٩}{١٥}} = {\frac{٤٥ + ١٤}{١٥}} = {٣} + {\frac{١٤}{١٥}}$

القيمة الثانية: ${\frac{٩}{٢}} = {\frac{٤ + ٥}{٢}} = {٢} + {\frac{٥}{٢}}$

نوحد مقامات الكسرين للمقارنة (المقام المشترك ثلاثون).

القيمة الأولى: ${\frac{١١٨}{٣٠}} = {\frac{٥٩ \times ٢}{١٥ \times ٢}}$

القيمة الثانية: ${\frac{١٣٥}{٣٠}} = {\frac{٩ \times ١٥}{٢ \times ١٥}}$

بما أن ${\frac{١٣٥}{٣٠}}$ أكبر من ${\frac{١١٨}{٣٠}}$، فإن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: التبسيط الجبري للقيمة الأولى

نبدأ بتبسيط المقام الموجود في القيمة الأولى.

المقام هو: ${١} + {\frac{١}{٣}}$

نقوم بتوحيد المقامات لجمع العدد الصحيح مع الكسر، حيث نكتب العدد ١ على هيئة كسر مقامه ٣:

${١} = {\frac{٣}{٣}}$

نقوم بعملية الجمع:

${\frac{٤}{٣}} = {\frac{١}{٣}} + {\frac{٣}{٣}}$

نعود الآن لتعويض هذا الناتج في الكسر الأصلي للقيمة الأولى:

القيمة الأولى = $\frac{\frac{٢}{٣}}{\frac{٤}{٣}}$

حسب قواعد قسمة الكسور، نقوم بضرب كسر البسط في مقلوب كسر المقام:

${\frac{٢}{٤}} = {\frac{٣}{٤}} \times {\frac{٢}{٣}}$

نقوم بتبسيط الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على ٢:

${\frac{١}{٢}} = {\frac{٢}{٤}}$

الآن نعقد المقارنة بين القيمتين:

القيمة الأولى = $\frac{١}{٢}$

القيمة الثانية = $\frac{١}{٢}$

نستنتج أن القيمتين متساويتان.

تكنيك ١: المضاعف المشترك الأصغر.

المفهوم الرياضي: جمع الكسور الجبرية بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

المقامات هي $س٤$ و $س٥$.

المضاعف المشترك الأصغر هو $س٢٠$.

نضرب بسط ومقام الكسر الأول في $٥$: ${\frac{٥}{س٢٠}} = {\frac{١ \times ٥}{س٤ \times ٥}}$

نضرب بسط ومقام الكسر الثاني في $٤$: ${\frac{٤}{س٢٠}} = {\frac{١ \times ٤}{س٥ \times ٤}}$

نجمع الكسرين: ${\frac{٩}{س٢٠}} = {\frac{٥ + ٤}{س٢٠}} = {\frac{٥}{س٢٠}} + {\frac{٤}{س٢٠}}$

تكنيك ٢: الضرب التبادلي.

المفهوم الرياضي: استخدام طريقة الضرب التبادلي (المقص) لجمع الكسور.

القانون: ${\frac{{أ} {د} + {ب} {ج}}{{ب} {د}}} = {\frac{أ}{ب}} + {\frac{ج}{د}}$

بتطبيق القانون على المقدار المعطى:

البسط: ${س٩} = {س٥} + {س٤} = ({س٤} \times {١}) + ({١} \times {س٥})$

المقام: ${}^{٢}س٢٠ = ({س٤}) \times ({س٥})$

الكسر الناتج: ${\frac{س٩}{{}^{٢}س٢٠}}$

نبسط بقسمة البسط والمقام على $س$: ${\frac{٩}{س٢٠}}$

تكنيك ١: التحليل المنطقي

المطروح منه متساوٍ في القيمتين وهو الكسر $\frac{١}{٥}$.

في القيمة الأولى نطرح $\frac{١}{٧}$، وفي القيمة الثانية نطرح $\frac{١}{٦}$.

نعلم من قاعدة الكسور أن $\frac{١}{٦}$ أكبر من $\frac{١}{٧}$ (لأن المقام الأصغر يعني كسراً أكبر عند تساوي البسط).

عند طرح كمية أكبر، يكون الناتج أصغر.

إذن القيمة الأولى (التي طُرح منها الكمية الأصغر) ستكون هي الأكبر.

تكنيك ٢: توحيد المقامات

حساب القيمة الأولى:

$\frac{٢}{٣٥} = \frac{٥}{٣٥} – \frac{٧}{٣٥}$

حساب القيمة الثانية:

$\frac{١}{٣٠} = \frac{٥}{٣٠} – \frac{٦}{٣٠}$

للمقارنة بين الناتجين نستخدم الضرب التبادلي (المقص):

$٦٠ = ٣٠ \times ٢$

$٣٥ = ٣٥ \times ١$

بما أن $٦٠$ أكبر من $٣٥$، فإن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: المقارنة المنطقية

نلاحظ أن كلا القيمتين تحتويان على عملية طرح للكسر $\frac{١}{٤}$ من كسر آخر.

لذا نكتفي بمقارنة المطروح منه (الكسر الأول على اليمين) في كلا القيمتين.

في القيمة الأولى، المطروح منه هو $\frac{٦}{٥}$

في القيمة الثانية، المطروح منه هو $\frac{٤}{٥}$

بما أن المقامات متساوية، نقارن البسوط بشكل مباشر. الرقم $٦$ أكبر من $٤$.

إذن $\frac{٦}{٥}$ أكبر من $\frac{٤}{٥}$.

عند طرح نفس الكمية من عددين مختلفين، فإن العدد الأكبر يعطي ناتجاً أكبر.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: الحساب المباشر وتوحيد المقامات

القيمة الأولى: المقام المشترك هو $٢٠$

$\frac{١٩}{٢٠} = \frac{٥}{٢٠} – \frac{٢٤}{٢٠}$

القيمة الثانية: المقام المشترك هو $٢٠$

$\frac{١١}{٢٠} = \frac{٥}{٢٠} – \frac{١٦}{٢٠}$

بمقارنة الناتجين، نجد أن $\frac{١٩}{٢٠}$ أكبر من $\frac{١١}{٢٠}$.

إذن القيمة الأولى أكبر.

التكنيك الأول: توحيد المقامات وحل المعادلة

المفهوم الرياضي: لعزل المتغير، نقوم بنقل الحدود وتوحيد المقامات للكسور في طرف واحد.

المعادلة الأصلية:

$\frac{٣٧}{٧٢} = \frac{٣}{س} – \frac{٥}{٩}$

بنقل الحد السالب إلى الطرف الآخر ونقل الكسر المعلوم لترتيب المعادلة:

$\frac{٣}{س} = \frac{٣٧}{٧٢} – \frac{٥}{٩}$

لتوحيد المقامات بصرياً في الطرف الأيسر، نضرب بسط ومقام الكسر $\frac{٥}{٩}$ في القيمة $٨$ ليصبح مقامه $٧٢$:

$\frac{٣}{س} = \frac{٣٧}{٧٢} – \frac{٤٠}{٧٢}$

نقوم بطرح الكسور ذات المقامات الموحدة:

$\frac{٣}{س} = \frac{٣}{٧٢}$

بما أن البسوط متساوية، فإن المقامات يجب أن تكون متساوية أيضاً:

$٧٢ = س$

التكنيك الثاني: تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: التعويض بالقيم المعطاة في الخيارات للوصول إلى تطابق طرفي المعادلة.

بتجربة الخيار الأول وهو $٧٢$ والتعويض عن قيمة س في المعادلة:

$\frac{٣٧}{٧٢} = \frac{٣}{٧٢} – \frac{٥}{٩}$

بتوحيد مقامات الطرف الأيمن بصرياً، نضرب بسط ومقام الكسر الثاني في القيمة $٨$:

$\frac{٣٧}{٧٢} = \frac{٣}{٧٢} – \frac{٤٠}{٧٢}$

بالطرح نجد أن:

$\frac{٣٧}{٧٢} = \frac{٣٧}{٧٢}$

الطرفان متساويان، إذن الخيار الأول هو الصحيح.

تكنيك ١: الحساب المباشر وتوحيد المقامات

بالنسبة للقيمة الأولى، نوحد المقامات كالتالي:

$٢ = \frac{٤}{٢}$

إذن العملية تصبح:

$\frac{١-}{٢} = \frac{٥}{٢} – \frac{٤}{٢}$

الناتج للقيمة الأولى هو قيمة سالبة.

بالنسبة للقيمة الثانية، نوحد المقامات كالتالي:

$٣ = \frac{٢٤}{٨}$

إذن العملية تصبح:

$\frac{١٥}{٨} = \frac{٩}{٨} – \frac{٢٤}{٨}$

الناتج للقيمة الثانية هو قيمة موجبة.

القيمة الموجبة دائماً أكبر من القيمة السالبة.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: فك الكسور وتوحيد المقامات

نركز أولاً على تبسيط الجزء الكسري في القيمة الأولى، ونبدأ بمقامه: ${{\frac{١}{٣}} – {١}}$

نوحد المقامات لتحويل العدد الصحيح إلى كسر:

${١} = {\frac{٣}{٣}}$

نجري عملية الطرح:

${\frac{٢}{٣}} = {\frac{١}{٣}} – {\frac{٣}{٣}}$

نستبدل المقام في الكسر الأصلي بالناتج:

الكسر يصبح: ${\frac{١}{\frac{٢}{٣}}}$

باستخدام قاعدة مقام المقام بسط، يُقلب الكسر ليصبح:

${\frac{٣}{٢}}$

نعلم أن الكسر ${\frac{٣}{٢}}$ يعادل القيمة العشرية $١،٥$

نعوض بهذه القيمة في معادلة القيمة الأولى الأساسية:

القيمة الأولى = ${١،٥} – {٤}$

نطرح القيمتين:

${٢،٥} = {١،٥} – {٤}$

الآن نقارن الناتج النهائي مع القيمة الثانية:

القيمة الأولى = $٢،٥$

القيمة الثانية = $٠،٧٥$

من الواضح أن $٢،٥$ أكبر بكثير من $٠،٧٥$، مما يعني أن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ١: جمع الكسور ذات المقامات الموحدة

المفهوم الرياضي: عند جمع كسور لها نفس المقام، نقوم بجمع البسوط فقط ونحتفظ بنفس المقام دون تغييره.

الخطوة الأولى: نلاحظ أن المقامات في جميع الحدود متساوية وقيمتها $٣٥$.

الخطوة الثانية: نقوم بجمع البسوط معاً: ${١} + {١} + {١}$ = $٣$.

الخطوة الثالثة: نكتب الناتج النهائي بوضع مجموع البسوط على المقام الموحد لتصبح النتيجة ${ \frac{٣}{٣٥} }$.

تكنيك ١: التناسب والكسور

المفهوم الرياضي: إيجاد الجزء المتبقي من الوحدة الكاملة لتمثيل الجزء الظاهر من العصا وربطه بالطول الفعلي.

نعلم أن المتر الواحد يعادل $١٠٠$ سم.

الطول الكلي للعصا يمثل الوحدة الكاملة $\frac{٥}{٥}$.

الجزء المغمور في الماء يمثل $\frac{١}{٥}$ من الطول الكلي.

نحسب الجزء الظاهر بطرح الجزء المغمور من الوحدة الكاملة:

$\frac{٤}{٥} = \frac{١}{٥} – \frac{٥}{٥}$

الجزء الظاهر والذي يمثل $\frac{٤}{٥}$ من العصا يعادل $١٠٠$ سم.

لإيجاد الطول الكلي، نضرب طول الجزء الظاهر في مقلوب الكسر:

$١٢٥ = \frac{٥}{٤} \times {١٠٠}$

إذن طول العصا الكلي هو $١٢٥$ سم.

تكنيك ٢: الرسم الذهني والتقسيم

المفهوم الرياضي: تقسيم الوحدة إلى أجزاء متساوية لتسهيل الحساب الذهني المباشر.

نتخيل العصا مقسمة إلى $٥$ أجزاء متساوية.

بما أن جزءاً واحداً فقط مغمور في الماء، يتبقى لدينا $٤$ أجزاء ظاهرة.

مجموع طول هذه الأجزاء الأربعة الظاهرة هو $١٠٠$ سم.

نحسب طول الجزء الواحد بقسمة الطول الظاهر على عدد الأجزاء الظاهرة:

$٢٥ = {٤} \div {١٠٠}$

الطول الكلي للعصا يتكون من $٥$ أجزاء، لذا نضرب طول الجزء الواحد في إجمالي عدد الأجزاء:

$١٢٥ = {٥} \times {٢٥}$

تكنيك ١: توحيد الصيغ الرياضية (التحويل لكسور عشرية)

المفهوم الرياضي: المقارنة بين الأعداد تتطلب توحيد صيغتها.

القيمة المعطاة في السؤال هي $٣،٣٣$ ككسر عشري.

نقوم بتحويل الخيارات من كسور اعتيادية إلى كسور عشرية لتسهيل المقارنة مع وضع الناتج يساراً:

الخيار الأول: $٣،٣٢ = {\frac{٣٣٢}{١٠٠}}$

الخيار الثاني: $٣،٣٣ = {\frac{٣٣٣}{١٠٠}}$

الخيار الثالث: $٣،٣٤ = {\frac{٣٣٤}{١٠٠}}$

الخيار الرابع: $٣،٣٥ = {\frac{٣٣٥}{١٠٠}}$

المطلوب هو إيجاد القيمة التي يكون المقدار $٣،٣٣$ “أكبر منها”.

بمقارنة القيم، نجد أن $٣،٣٣$ أكبر من $٣،٣٢$ فقط.

تكنيك ٢: تحويل القيمة المعطاة إلى كسر اعتيادي

المفهوم الرياضي: تحويل العدد العشري إلى كسر اعتيادي ليتطابق مع الخيارات.

المقدار $٣،٣٣$ يمكن كتابته على صورة كسر مقامه ١٠٠:

${\frac{٣٣٣}{١٠٠}} = ٣،٣٣$

نقارن هذا الكسر مع الخيارات المتاحة للبحث عن الكسر الأصغر منه.

بما أن المقامات جميعها متساوية وموحدة على $١٠٠$، نقارن البسوط فقط.

البسط $٣٣٣$ أكبر من البسط $٣٣٢$.

إذن الكسر ${\frac{٣٣٣}{١٠٠}}$ أكبر من الكسر ${\frac{٣٣٢}{١٠٠}}$.

وبالتالي الإجابة الصحيحة هي الخيار الأول.

المفهوم الرياضي: تبسيط المعادلات الخطية وتحليل تأثير إشارات الأعداد في المقارنات.

الطريقة الأولى: التبسيط ثم التعويض المباشر

أولاً نبسط طرفي المعادلة بضرب الأعداد.

الطرف الأيمن يعطي: $١٠٠ = ١٠ \times ١٠$

الطرف الأيسر يعطي: $٦٢٥ = ٥ \times ٥ \times ٥ \times ٥$

تصبح المعادلة المبسطة: $ص٦٢٥ = س١٠٠$

بما أن السؤال لم يحدد إشارات س وص (موجبة، سالبة، أو صفر)، يجب اختبار جميع الحالات.

الحالة الأولى: القيم الموجبة

نفرض س = $٦٢٥$ وص = $١٠٠$. هنا س أكبر من ص.

الحالة الثانية: القيم السالبة

نفرض س = $٦٢٥-$ وص = $١٠٠-$. هنا ص أكبر من س.

الحالة الثالثة: الصفر

نفرض س = صفر وص = صفر. هنا القيمتان متساويتان.

الاستنتاج: لا يمكن تحديد علاقة ثابتة بين س وص، لذا المعطيات غير كافية.

تكنيك ١: قاعدة التصفير للكسور

المفهوم الرياضي: يكون الكسر مساوياً للصفر إذا كان بسطه يساوي صفراً ومقامه لا يساوي صفراً.

نأخذ البسط ونساويه بالصفر: $٠ = ٢ + ل$.

ننقل الرقم للطرف الآخر: $٢- = ل$.

نتحقق من المقام: $٦- = ٤ – ٢-$.

نعوض بقيمة المتغير في المعادلة المطلوبة: $١ – ل$.

التعويض: $١ – ٢-$.

الناتج النهائي: $٣-$.

تكنيك ٢: الضرب التبادلي

المفهوم الرياضي: ضرب الطرفين في الوسطين لحل المعادلة.

نكتب الصفر على شكل كسر: $\frac{٠}{١}$.

نضرب الطرفين: $٠ \times (٤ – ل) = ١ \times (٢ + ل)$.

ينتج لدينا: $٠ = ٢ + ل$.

نستنتج قيمة المتغير: $٢- = ل$.

نعوض في المعادلة المطلوبة: $٣- = ١ – ٢-$.

الناتج النهائي: $٣-$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مساواة المقامات عندما تتساوى البسوط ثم الحل جبرياً.

بما أن بسط الطرف الأيمن يساوي بسط الطرف الأيسر وكلاهما يساوي $٥$.

نستنتج أن المقامات متساوية أيضاً.

إذن $٦ = {١} + \frac{ص}{س}$.

نطرح $١$ من الطرفين.

ينتج لنا $٥ = \frac{ص}{س}$.

نضرب الطرفين في المتغير س.

نحصل على $س٥ = ص$.

بقسمة الطرفين على $٥$ نجد أن $\frac{١}{٥}ص = س$.

نحول الكسر $\frac{١}{٥}$ إلى كسر عشري وهو $٠،٢$.

إذن $ص٠،٢ = س$.

بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية نجد أنهما متساويتان تماماً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم افتراضية تحقق شرط المعادلة.

نفرض قيمة للمتغير س لا تساوي صفراً ولتكن $١ = س$.

نعوض في المعادلة لتصبح $٦ = {١} + \frac{ص}{١}$.

نستنتج أن $٥ = ص$.

القيمة الأولى هي س وتساوي $١$.

القيمة الثانية هي $ص٠،٢$ ونعوض بقيمة ص لتصبح $١ = {٥} \times {٠،٢}$.

القيمتان متساويتان في هذا الافتراض.

نجرب قيمة أخرى مثل $٢ = س$ فتصبح المعادلة $٦ = {١} + \frac{ص}{٢}$.

نستنتج أن $١٠ = ص$.

القيمة الأولى $٢$ والقيمة الثانية $٢ = {١٠} \times {٠،٢}$.

تتأكد لنا النتيجة بأن القيمتان متساويتان دائماً.

تكنيك ١: حساب الأقواس أولاً

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية يقتضي البدء بما داخل الأقواس، مع تبسيط الكسور إن أمكن قبل إجراء عمليتي الجمع والطرح.

الخطوة الأولى: نحسب ناتج القوس الأول (الأيمن بصرياً في المعادلة).

العملية: نضرب البسط في البسط والمقام في المقام $ { \frac{٧}{٤} } = { \frac{١}{٤} } \times { \frac{٧}{١} } $

الخطوة الثانية: نحسب ناتج القوس الثاني (الأيسر بصرياً في المعادلة).

العملية: نختصر العدد ٥ من البسط والمقام ليتبقى $ { \frac{٢}{٤} } = { \frac{٥}{٤} } \times { \frac{٢}{٥} } $

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على ٢ ليصبح $ { \frac{١}{٢} } $

الخطوة الثالثة: نعوض بالنواتج في المقدار الأصلي.

المقدار يصبح: $ { \frac{٧}{٤} } – { \frac{١}{٢} } – { \frac{٧}{٤} } + { \frac{٣}{٢} } $

الخطوة الرابعة: نلاحظ وجود الكسر $ { \frac{٧}{٤} } $ بالموجب مرة وبالسالب مرة أخرى، فيلغي كل منهما الآخر.

المقدار المتبقي: $ { \frac{١}{٢} } – { \frac{٣}{٢} } $

الخطوة الخامسة: نطرح الكسرين لتساوي المقامات.

العملية: $ { \frac{٢}{٢} } = { \frac{١ – ٣}{٢} } $

الناتج النهائي هو: $١$

تكنيك ٢: إعادة الترتيب وتجميع الحدود المتشابهة

المفهوم الرياضي: بعد فك الأقواس، يمكننا استخدام خاصية الإبدال في الجمع والطرح لتجميع الكسور ذات المقامات المتشابهة معاً لتسهيل الحساب.

الخطوة الأولى: نفك الأقواس بضرب الكسور.

الحدود الناتجة بالترتيب: $ { \frac{٧}{٤} } – { \frac{١٠}{٢٠} } – { \frac{٧}{٤} } + { \frac{٣}{٢} } $

الخطوة الثانية: نبسط الكسر $ { \frac{١٠}{٢٠} } $ بقسمة البسط والمقام على ١٠ ليصبح $ { \frac{١}{٢} } $

الخطوة الثالثة: نعيد ترتيب الحدود لتجميع الأرباع معاً والأنصاف معاً.

المقدار بعد الترتيب: $ ( { \frac{١}{٢} } – { \frac{٣}{٢} } ) + ( { \frac{٧}{٤} } – { \frac{٧}{٤} } ) $

الخطوة الرابعة: نحسب ناتج كل قوس على حدة.

قوس الأرباع نتيجته: صفر.

قوس الأنصاف نتيجته: $ { \frac{٢}{٢} } $ ويساوي $١$

الخطوة الخامسة: نجمع النواتج.

المجموع: $١$ زائد صفر يساوي $١$

تكنيك ١: أخذ العامل المشترك

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور الجبرية بإيجاد العامل المشترك الأكبر.

المقدار المعطى هو $\frac{س٣ + ٩}{س + ٣}$ ونلاحظ أن البسط يحتوي على عامل مشترك.

البسط $س٣ + ٩$ يمكن كتابته على صورة ${(س + ٣)}٣$.

بالتعويض في الكسر نحصل على $\frac{{(س + ٣)}٣}{س + ٣}$.

بما أن $٣- \neq س$ يمكننا اختصار القوس ${(س + ٣)}$ من البسط والمقام.

النتيجة النهائية تساوي $٣$.

تكنيك ٢: التعويض المباشر التجريبي

المفهوم الرياضي: اختبار قيمة اختيارية لمتغير للوصول إلى النتيجة.

نفرض أن قيمة $س$ تساوي $١$.

نعوض في البسط: $١٢ = ٩ + ١ \times ٣$.

نعوض في المقام: $٤ = ٣ + ١$.

نقسم البسط على المقام: $٣ = ٤ \div ١٢$.

النتيجة هي $٣$ وهي تتطابق مع الخيار الأول.

تكنيك ١: التعويض الجبري.

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة أحد المتغيرين بدلالة الآخر والتعويض.

من المعادلة الأولى، نضرب ضربا تبادليا: ${ص٢} = س$

نعوض بقيمة $س$ في المعادلة الثانية.

المعادلة الثانية: ${٣} = {س} + {ص}$

بعد التعويض: ${٣} = ({ص٢}) + {ص}$

نجمع المتغيرات: ${٣} = ص٣$

بقسمة الطرفين على $٣$، ينتج $١ = ص$.

نعوض بقيمة $ص$ لإيجاد $س$: $٢ = {١} \times {٢} = س$

إذا قيمة $س$ تساوي $٢$.

تكنيك ٢: التجريب.

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المتاحة للوصول إلى القيم التي تحقق المعادلتين معا.

نجرب الخيار الثاني، نفرض أن $٢ = س$.

نعوض في المعادلة الثانية لإيجاد $ص$: ${٣} = {٢} + {ص}$

بطرح $٢$ من الطرفين: $١ = {٣} – {٢} = ص$

نتحقق من صحة هذه القيم في المعادلة الأولى.

الطرف الأيمن: ${\frac{١}{١}} = {\frac{١}{ص}}$ ويساوي $١$.

الطرف الأيسر: ${\frac{٢}{٢}} = {\frac{٢}{س}}$ ويساوي $١$.

بما أن الطرفين متساويان، فالقيمة الصحيحة للمتغير $س$ هي $٢$.

تكنيك ١: التعويض المباشر والتبسيط

المفهوم الرياضي: لإيجاد قيمة المقدار الجبري، نعوض بقيمة المتغير المعطاة في السؤال ونقوم بإجراء العمليات الحسابية حسب الأولويات.

الخطوة الأولى: نكتب المقدار المعطى.

$أ \frac{١}{٨} + \frac{١}{٢}$

الخطوة الثانية: نعوض عن المتغير أ بقيمته وهي ٤.

${٤} \times \frac{١}{٨} + \frac{١}{٢}$

الخطوة الثالثة: نقوم بعملية الضرب أولاً.

$\frac{٤}{٨} = {٤} \times \frac{١}{٨}$

الخطوة الرابعة: نبسط الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على ٤.

$\frac{١}{٢} = \frac{٤}{٨}$

الخطوة الخامسة: نجمع الكسرين معاً.

$١ = \frac{١}{٢} + \frac{١}{٢}$

الناتج النهائي هو ١.

تكنيك ١: التعويض المباشر الجبري

المفهوم الرياضي: يمكن استبدال تعبير رياضي بقيمته العددية في معادلة أخرى.

من المعطيات نعلم أن: ${٢} = \frac{١}{س}$

نعوض بهذه القيمة في المعادلة الأولى: ${٣} = \frac{١}{ص} + {٢}$

نطرح ٢ من كلا الطرفين لنعزل المتغير: ${١} = {٢} – {٣} = \frac{١}{ص}$

بقلب الكسرين نستنتج أن قيمة المتغير هي: ${١} = ص$

من المعادلة الثانية، نقلب الكسر لإيجاد المتغير الآخر: $\frac{١}{٢} = س$

الآن نجمع القيمتين كما هو مطلوب: ${١،٥} = {٠،٥} + {١} = س + ص$

تكنيك ١: التحليل المنطقي والتقسيم

المفهوم الرياضي: حساب الأجزاء من الكل ثم القسمة لإيجاد العدد.

الكمية الكلية تساوي $٤٠٠$ لتر.

ربع الكمية يعادل $١٠٠ = ٤٠٠ \times \frac{١}{٤}$ لتر.

يتم تعبئة الربع في علب سعة نصف لتر لذا عدد العلب يساوي $٢٠٠ = ٠،٥ \div ١٠٠$ علبة.

نصف الكمية الكلية يعادل $٢٠٠ = ٤٠٠ \times \frac{١}{٢}$ لتر.

يتم تعبئة النصف في علب سعة $٢$ لتر لذا عدد العلب يساوي $١٠٠ = ٢ \div ٢٠٠$ علبة.

الكمية المتبقية تعتبر مكملة للكمية الكلية وقيمتها $١٠٠ = ٢٠٠ – ١٠٠ – ٤٠٠$ لتر.

يتم تعبئة الباقي في علب سعة لتر واحد لذا عدد العلب يساوي $١٠٠ = ١ \div ١٠٠$ علبة.

المجموع الكلي لعدد العلب يساوي $٤٠٠ = ١٠٠ + ١٠٠ + ٢٠٠$ علبة.

تكنيك ٢: بناء معادلة

المفهوم الرياضي: يمكننا صياغة معادلة لحساب الإجمالي المباشر.

إجمالي العلب يساوي ${١ \div ١٠٠} + {٢ \div ٢٠٠} + {٠،٥ \div ١٠٠}$.

الناتج النهائي يساوي $٤٠٠$ علبة.

تكنيك ١: جمع الأعداد الكسرية بفصل الصحيح عن الكسر

المفهوم الرياضي: لجمع أعداد كسرية، يمكننا جمع الأعداد الصحيحة معاً وجمع الكسور معاً بشكل منفصل، ثم دمج النواتج.

الخطوة الأولى: نجمع الأجزاء الصحيحة من الأعداد: ${٢} + {١}$ = $٣$.

الخطوة الثانية: نجمع الأجزاء الكسرية معاً: ${ \frac{٣}{٤} } + { \frac{١}{٤} }$ = ${ \frac{٤}{٤} }$.

الخطوة الثالثة: نبسط الكسر الناتج، حيث أن ${ \frac{٤}{٤} }$ = $١$.

الخطوة الرابعة: نضيف ناتج تبسيط الكسر إلى مجموع الأعداد الصحيحة: ${١} + {٣}$ = $٤$.

تكنيك ٢: تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية

الخطوة الأولى: نحول $١ \frac{١}{٤}$ إلى كسر غير فعلي بضرب المقام في العدد الصحيح وجمع البسط: ${١} + {٤} \times {١}$ على المقام $٤$، ليصبح ${ \frac{٥}{٤} }$.

الخطوة الثانية: نحول $٢ \frac{٣}{٤}$ بنفس الطريقة: ${٣} + {٤} \times {٢}$ على المقام $٤$، ليصبح ${ \frac{١١}{٤} }$.

الخطوة الثالثة: نجمع الكسرين ذوي المقامات الموحدة: ${ \frac{١١}{٤} } + { \frac{٥}{٤} }$ = ${ \frac{١٦}{٤} }$.

الخطوة الرابعة: نقسم البسط على المقام للحصول على الناتج النهائي: ${٤} = {٤} \div {١٦}$، فتكون النتيجة $٤$.

تكنيك ١: توحيد المقامات للكسور الاعتيادية

المفهوم الرياضي: لجمع أو طرح الكسور، يجب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

المقامات في المسألة هي: $٥$، $٢٥$، $١٠٠$. المضاعف المشترك الأصغر لها هو $١٠٠$.

نقرأ المعادلة من اليمين لليسار، ونحول المقامات إلى $١٠٠$:

الكسر الأول: ${\frac{٤٠}{١٠٠}}- = ٢٠ \times {\frac{٢}{٥}}-$

الكسر الثاني: ${\frac{٢٨}{١٠٠}}- = ٤ \times {\frac{٧}{٢٥}}-$

الكسر الثالث: مقامه جاهز $١٠٠$.

نصيغ المعادلة بعد التوحيد مع الاحتفاظ بالإشارات المرئية:

${\frac{٣٢}{١٠٠}} – {\frac{٢٨}{١٠٠}} – {\frac{٤٠}{١٠٠}}-$

نجمع البسوط لأن المقامات موحدة والإشارات جميعها سالبة:

$١٠٠- = (٤٠- – ٢٨- – ٣٢-)$

الكسر النهائي بعد وضع الناتج يساراً:

$١- = {\frac{١٠٠-}{١٠٠}}$

الناتج هو $١-$ ، وهو يطابق الخيار الأول.

تكنيك ٢: الحل بالكسور العشرية

المفهوم الرياضي: تحويل الكسور لاعتيادية لكسور عشرية لتسهيل الحساب.

نحول كل كسر لصورته العشرية:

${\frac{٢}{٥}}-$ يكافئ $٠،٤-$

${\frac{٧}{٢٥}}$ يكافئ $٠،٢٨$

${\frac{٣٢}{١٠٠}}$ يكافئ $٠،٣٢$

المعادلة العشرية: $٠،٣٢ – ٠،٢٨ – ٠،٤-$

ننفذ الطرح المتسلسل:

$٠،٦٨- = (٠،٢٨ – ٠،٤-)$

$١،٠٠- = (٠،٣٢ – ٠،٦٨-)$

الناتج النهائي $١-$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الفرق بين الكسور لإيجاد الحجم.

الفرق بين الحالة النهائية والحالة الابتدائية يمثل الكمية المضافة.

مقدار الجزء المضاف = $\frac{١}{٤} – \frac{٣}{٤}$.

مقدار الجزء المضاف = $\frac{٢}{٤}$ وهو يعادل $\frac{١}{٢}$.

هذا يعني أن نصف سعة الأسطوانة يعادل $٧٠$ لتراً.

لإيجاد السعة الكلية ، نضرب القيمة في $٢$.

السعة الكلية = ${٢} \times {٧٠}$.

السعة الكلية = $١٤٠$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم.

إذا كان نصف السعة $\frac{١}{٢}$ يعادل $٧٠$ لتراً.

فإن ربع السعة $\frac{١}{٤}$ يعادل $٣٥$ لتراً.

السعة الكاملة تتكون من أربعة أرباع.

نضرب القيمة في $٤$.

السعة الكلية = ${٤} \times {٣٥}$.

السعة الكلية = $١٤٠$.

تكنيك ١: تبسيط القيمة الأولى

نبدأ بتبسيط المقام في القيمة الأولى والذي يحتوي على عدد صحيح وكسر مجموعين.

المقام هو $٧ + \frac{١}{٢}$ وهو ما يعادل الكسر غير الفعلي $\frac{١٥}{٢}$.

نعوض في القيمة الأولى لتصبح:

$\frac{١}{\frac{١٥}{٢}}$

حسب القاعدة الرياضية (مقام المقام بسط)، ترتفع الـ $٢$ إلى البسط لتضرب في الـ $١$.

فتصبح القيمة الأولى تساوي $\frac{٢}{١٥}$.

نقارن الناتج النهائي مع القيمة الثانية.

نجد أن القيمة الثانية أيضاً تساوي $\frac{٢}{١٥}$.

إذن القيمتان متساويتان تماماً.

تكنيك ١: التخلص من الفواصل العشرية ثم توحيد المقامات

المفهوم الرياضي: لتسهيل الحل، نبسط الكسور التي تحتوي على فواصل عشرية بضرب البسط والمقام في قوى العدد عشرة للتخلص منها، ثم نوحد مقامات جميع الكسور لإجراء الطرح.

الخطوة الأولى: نتخلص من الفاصلة العشرية في الكسر الأول بضرب البسط والمقام في العدد $١٠$.

الخطوة الثانية: يصبح شكل الكسر الأول بعد الضرب ${ \frac{٢٤٥}{٧٥} }$.

الخطوة الثالثة: نبسط الكسر الأول بقسمة البسط والمقام على $٥$ ليصبح في أبسط صورة ${ \frac{٤٩}{١٥} }$.

الخطوة الرابعة: نكتب المعادلة بالكسور المبسطة لتصبح: ${ \frac{١٦}{٥} } – { \frac{١}{١٥} } – { \frac{٤٩}{١٥} }$.

الخطوة الخامسة: نوحد مقام الكسر الأخير ${ \frac{١٦}{٥} }$ ليصبح مساوياً للمقامات الأخرى وذلك بضربه بسطاً ومقاماً في $٣$ ليصبح ${ \frac{٤٨}{١٥} }$.

الخطوة السادسة: نعيد كتابة المعادلة بالكامل بكسور ذات مقامات موحدة: ${ \frac{٤٨}{١٥} } – { \frac{١}{١٥} } – { \frac{٤٩}{١٥} }$.

الخطوة السابعة: نطرح البسوط بالترتيب من اليمين إلى اليسار: ${٤٨-} – {١-} + {٤٩}$ = صفر.

الخطوة الثامنة: الناتج هو قسمة صفر على المقام $١٥$، وبما أن الصفر مقسوماً على أي عدد يساوي صفر، فإن النتيجة النهائية = صفر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب الأجزاء النسبية من الكل ثم طرح المجموع من المبلغ الأصلي.

نحسب مبلغ الوقود بضرب المبلغ الكلي في الكسر المخصص له.

مبلغ الوقود = $٦٢،٥ = \frac{١}{٨} \times ٥٠٠$ ريال.

نحسب مبلغ الكتب وهو ثلاثة أمثال مبلغ الوقود.

مبلغ الكتب = $١٨٧،٥ = {٣} \times {٦٢،٥}$ ريال.

نجمع المصاريف الكلية.

المجموع = $٢٥٠ = {١٨٧،٥} + {٦٢،٥}$ ريال.

نحسب المبلغ المتبقي بطرح المجموع من المبلغ الأصلي.

المتبقي = $٢٥٠ = {٢٥٠} – {٥٠٠}$ ريال.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: جمع النسب الكسرية أولاً ثم حساب القيمة المتبقية.

نسبة ما صرفه للوقود هي $\frac{١}{٨}$.

نسبة ما صرفه للكتب هي ثلاثة أمثال الوقود أي $\frac{٣}{٨}$.

مجموع النسب المصروفة = $\frac{٤}{٨} = \frac{٣}{٨} + \frac{١}{٨}$.

نبسط الكسر لنجد أنه صرف النصف $\frac{١}{٢}$.

النسبة المكملة المتبقية هي $\frac{١}{٢}$ أيضا.

المبلغ المتبقي = $٢٥٠ = \frac{١}{٢} \times ٥٠٠$ ريال.

تكنيك ١: عزل المتغير وتبسيط الكسور

المفهوم الرياضي: لحل معادلة من الدرجة الأولى تحتوي على كسور، نقوم بضرب طرفي المعادلة في المقلوب الضربي لمعامل المتغير لعزله في طرف لوحده.

الخطوة الأولى: المعادلة الأصلية هي $\frac{٤٦}{٣} = أ \frac{٢٣}{٦}$

الخطوة الثانية: نضرب طرفي المعادلة في مقلوب الكسر لمعامل أ وهو $\frac{٦}{٢٣}$

$\frac{٦}{٢٣} \times \frac{٤٦}{٣} = أ$

الخطوة الثالثة: نبسط الكسور قبل الضرب. العدد ٤٦ هو ضعف ٢٣، فتصبح $\frac{٤٦}{٢٣}$ تساوي ٢.

الخطوة الرابعة: العدد ٦ هو ضعف ٣، فتصبح $\frac{٦}{٣}$ تساوي ٢.

الخطوة الخامسة: نضرب النواتج.

$٤ = ٢ \times ٢$

إذن قيمة أ هي ٤.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الأجزاء من كل.

حجم العلبة الأولى = ربع الكمية الكلية.

العلبة الأولى = $\frac{١}{٤} \times {٤٠٠}$.

العلبة الأولى = $١٠٠$.

حجم العلبة الثانية = نصف الكمية الكلية.

العلبة الثانية = $\frac{١}{٢} \times {٤٠٠}$.

العلبة الثانية = $٢٠٠$.

الكمية المتبقية للعلبة الثالثة (المكملة) = الكمية الكلية مطروحاً منها مجموع العلبة الأولى والثانية.

العلبة الثالثة = $({٢٠٠} + {١٠٠}) – {٤٠٠}$.

العلبة الثالثة = ${٣٠٠} – {٤٠٠}$.

العلبة الثالثة = $١٠٠$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: جمع الكسور واستخراج المكملة.

نسبة العلبة الأولى والثانية معاً = $\frac{١}{٢} + \frac{١}{٤}$.

النسبة = $\frac{٢}{٤} + \frac{١}{٤}$.

النسبة = $\frac{٣}{٤}$.

إذن العلبة الثالثة تمثل المكملة وهي $\frac{١}{٤}$ من الكمية الكلية.

سعة العلبة الثالثة = $\frac{١}{٤} \times {٤٠٠}$.

سعة العلبة الثالثة = $١٠٠$.

المفهوم الرياضي: التناسب والمقارنة بين المعاملات في المعادلات الخطية ذات المتغيرات الموجبة.

الطريقة الأولى: التعويض المباشر بقيم تحقق المعادلة

بما أن $س٥ = ل٤$ وأن س ول أعداد صحيحة موجبة.

أسهل طريقة هي افتراض قيم لـ س ول تحقق المساواة عبر تبديل المعاملات.

نفرض أن ل = $٥$ و س = $٤$

بالتعويض في المعادلة: $٤ \times ٥ = ٥ \times ٤$

تكون النتيجة متساوية والمعادلة صحيحة.

بمقارنة القيمتين: ل = $٥$ وس = $٤$، إذن ل أكبر.

القيمة الأولى أكبر.

الطريقة الثانية: الاستنتاج من خواص التناسب

من المعادلة $س٥ = ل٤$، يمكننا كتابة التناسب على صورة كسرين.

$\frac{٥}{٤} = \frac{ل}{س}$

بما أن المتغيرات أعداد صحيحة موجبة، فإن ل تقابل $٥$ وس تقابل $٤$ كنِسَب.

بما أن بسط الكسر أكبر من مقامه، فإن المتغير ل لا بد أن يكون أكبر من المتغير س.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إعادة ترتيب المعادلات الخطية وضرب الطرفين في ثابت.

الخطوة الأولى: نبدأ بالمعادلة المعطاة في السؤال وهي $\frac{ع}{٢} = ص + س$.

للتخلص من الكسر في المعادلة وتسهيل المقارنة مع الخيارات، نضرب طرفي المعادلة في العدد $٢$.

الطرف الأيمن بصرياً هو المقدار $ص + س$، عند ضربه في $٢$ يصبح: $ص٢ + س٢$.

الطرف الأيسر بصرياً هو الكسر $\frac{ع}{٢}$، عند ضربه في $٢$ يصبح: $ع$.

المعادلة الجديدة والمكافئة تصبح: $ع = ص٢ + س٢$.

الخطوة الثانية: نقارن هذه المعادلة بالخيارات المتاحة لاختيار الإجابة الصحيحة.

نلاحظ أن الخيار الثاني يضع المقدار $س٢$ في طرف مستقل لوحده.

لذا نقوم بإعادة ترتيب المعادلة التي حصلنا عليها بعزل $س٢$ في طرف مستقل.

ننقل المقدار $ص٢$ إلى الطرف الآخر مع عكس الإشارة لتصبح سالبة.

تصبح المعادلة بعد الترتيب: $ص٢ – ع = س٢$.

وهذه المعادلة المستنتجة تتطابق تماماً مع الخيار الثاني، وهو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم افتراضية لاختبار صحة الخيارات رياضياً.

نفرض قيماً عددية للمتغيرات تحقق المعادلة الأصلية $\frac{ع}{٢} = ص + س$.

نفرض أن $١ = س$ وأن $٢ = ص$.

مجموعهما هو $٣ = ٢ + ١$. إذن يجب أن تكون المعادلة $٣ = \frac{ع}{٢}$.

بناءً على ذلك، نستنتج أن قيمة $ع$ يجب أن تكون $٦ = ع$.

الآن نختبر الخيارات بهذه القيم المعطاة: $١ = س$، $٢ = ص$، $٦ = ع$.

الخيار الأول: هل المعادلة $س٢ + ص = ع$ صحيحة؟ نعوض بالقيم: هل $٦$ تساوي $٢ + (١ \times ٢)$؟ النتيجة $٤$ لا تساوي $٦$. إذن الخيار الأول خاطئ.

الخيار الثاني: هل المعادلة $س٢ = ص٢ – ع$ صحيحة؟ نعوض بالقيم لحساب الطرفين.

قيمة الطرف الأول $س٢$ تعني $١ \times ٢$ ويساوي $٢$.

قيمة الطرف الثاني $ص٢ – ع$ تعني $٦$ مطروحاً منها ضعف $ص$، أي $٤ – ٦$ ويساوي $٢$.

بما أن الطرفان متساويان وقيمتهما $٢ = ٢$، إذن الخيار الثاني هو الخيار الصحيح.

تكنيك ١: التناسب الطردي وحساب الجزء من الكل

المفهوم الرياضي: حساب الإجمالي بناء على قيمة جزء معلوم ثم طرح ما تم استخدامه لإيجاد الكمية المتبقية.

المنزل بأكمله يمثل الوحدة الكاملة $\frac{٦}{٦}$.

تم استخدام $٥$ جالونات لدهان $\frac{١}{٦}$ المنزل.

لمعرفة إجمالي الجالونات المطلوبة لدهان المنزل كاملاً، نضرب الكمية المستخدمة للسدس في $٦$:

$٣٠ = {٦} \times {٥}$

إجمالي الجالونات المطلوبة للمنزل هو $٣٠$ جالوناً.

نحسب الجالونات المتبقية لدهان باقي المنزل بطرح ما تم استخدامه من الإجمالي:

$٢٥ = {٥} – {٣٠}$

إذن القيمة الأولى تساوي $٢٥$.

القيمة الثانية المعطاة في السؤال هي $٢٠$.

بمقارنة القيمتين، نجد أن $٢٥ > ٢٠$، وبالتالي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: حساب المتبقي مباشرة من الكسور

المفهوم الرياضي: تحديد الكسر المتبقي ثم حساب قيمته العددية مباشرة بخطوة واحدة.

بما أنه تم دهان $\frac{١}{٦}$ المنزل، فإن الجزء المتبقي بدون دهان يمثل $\frac{٥}{٦}$ من المنزل.

إذا كان السدس الواحد $\frac{١}{٦}$ يحتاج إلى $٥$ جالونات.

فإن خمسة أسداس $\frac{٥}{٦}$ تحتاج إلى ضرب هذه الكمية الأساسية في $٥$:

$٢٥ = {٥} \times {٥}$

القيمة الأولى هي $٢٥$ جالوناً، والقيمة الثانية $٢٠$ جالوناً، إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: تبسيط الكسور.

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور وجمعها لتسهيل المقارنة.

نبسط الكسر الأخير في القيمة الثانية بقسمة البسط والمقام على $٢٥$.

${\frac{٤}{٥}} = {\frac{١٠٠}{١٢٥}}$

نعوض في القيمة الثانية: ${\frac{٤}{٥}} + {\frac{٢}{٥}} + {\frac{١}{٥}} + {١}$

نجمع الكسور ذات المقامات الموحدة: ${\frac{٧}{٥}} = {\frac{٤ + ٢ + ١}{٥}} = {\frac{٤}{٥}} + {\frac{٢}{٥}} + {\frac{١}{٥}}$

نضيف العدد الصحيح: ${\frac{١٢}{٥}} = {\frac{٧}{٥}} + {\frac{٥}{٥}} = {\frac{٧}{٥}} + {١}$

نحول الكسر لعدد كسري: $٢ \frac{٢}{٥} = {\frac{١٢}{٥}}$

نقارن بين $٣$ و $٢ \frac{٢}{٥}$، نجد أن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: التحويل العشري.

المفهوم الرياضي: تحويل الكسور إلى أعداد عشرية.

نعلم أن ${\frac{١}{٥}}$ يساوي $٠،٢$.

ونعلم أن ${\frac{٢}{٥}}$ يساوي $٠،٤$.

والكسر ${\frac{١٠٠}{١٢٥}}$ يمكن تبسيطه إلى ${\frac{٤}{٥}}$ والذي يساوي $٠،٨$.

نجمع القيم العشرية: $٢،٤ = ٠،٨ + ٠،٤ + ٠،٢ + ١$

القيمة الثانية تساوي $٢،٤$ والقيمة الأولى تساوي $٣$.

إذا القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حل نظام من المعادلات الخطية بالتعويض المتسلسل.

الخطوة الأولى: نبدأ بالمعادلة الأبسط المعطاة في المسألة وهي $٨ = ع$.

الخطوة الثانية: نستخدم هذه القيمة في المعادلة الثانية $٦ = ص – ع$ لإيجاد قيمة المتغير $ص$.

نعوض بقيمة $ع$ في المعادلة لتصبح: $٦ = ص – ٨$.

بحل المعادلة وطرح $٦$ من $٨$، نجد أن قيمة $٢ = ص$.

الخطوة الثالثة: نستخدم قيمة $ص$ في المعادلة الأولى $٤ = \frac{س}{ص}$ لإيجاد قيمة المتغير $س$.

نعوض بقيمة $ص$ لتصبح المعادلة: $٤ = \frac{س}{٢}$.

بضرب الطرفين في العدد $٢$، نجد أن $٨ = س$.

الخطوة الرابعة: نحسب المجموع المطلوب في السؤال وهو $س + ص + ع$.

نعوض بالقيم التي استخرجناها في الخطوات السابقة: $٨ + ٢ + ٨$.

مجموع $٨$ و $٢$ هو $١٠$.

نضيف $٨$ إلى $١٠$، فيكون الناتج النهائي هو $١٨$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر والتحقق من التناسق الرياضي للمعادلات.

لدينا ثلاث معادلات، نبدأ بتحليل المعادلة $٦ = ص – ع$.

بما أن $٨ = ع$، نستنتج أن المتغير $ص$ يجب أن يكون عدداً إذا طرحناه من $٨$ يعطينا الناتج $٦$.

العدد المتوافق مع هذا الشرط هو $٢$، إذن $٢ = ص$.

من المعادلة $٤ = \frac{س}{ص}$، نعلم أن المتغير $س$ يساوي أربعة أضعاف المتغير $ص$.

بما أن $٢ = ص$، فإن المعادلة تصبح $٢ \times ٤ = س$، والناتج هو $٨ = س$.

الآن نجمع القيم الثلاث المطلوبة لحل المقدار $س + ص + ع$.

القيم هي: $٨ = س$، و $٢ = ص$، و $٨ = ع$.

عملية الجمع هي $٨ + ٢ + ٨$ والناتج النهائي يساوي $١٨$.

تكنيك ١: التعويض المباشر

المفهوم الرياضي: عزل الثوابت والمتغيرات للاستفادة من المعطيات المتوفرة.

القانون: نجزئ الكسر المطلوب ليفصل المعامل عن المتغيرات.

${\frac{١}{٣} \times \frac{أ}{ب}} = \frac{أ}{ب٣}$

نعوض بقيمة الكسر المعلوم في المسألة وهو $٦٠$:

${٢٠} = {٦٠} \times \frac{١}{٣}$

تكنيك ٢: فرض قيم للمتغيرات

المفهوم الرياضي: فرض قيم عددية سهلة تحقق الشرط المعطى لتسهيل الحل.

نفرض أن ${٦٠} = أ$ وأن ${١} = ب$ لتكون النتيجة $٦٠$.

نعوض في الكسر المطلوب مباشرة:

${٢٠} = \frac{٦٠}{{١} \times {٣}}$

المفهوم الرياضي: حل معادلات الدرجة الأولى التي تحتوي على كسور، وتوحيد المقامات.

المعادلة الأصلية هي:

$\frac{٨}{٢٧} = \frac{٥}{٢٧} + \frac{س}{٩}$

تكنيك ١: التخلص من الكسر في الطرف الأيمن بنقله للطرف الأيسر مع تغيير الإشارة:

$\frac{٥}{٢٧} – \frac{٨}{٢٧} = \frac{س}{٩}$

بما أن المقامات موحدة (٢٧)، نطرح البسوط:

$\frac{٣}{٢٧} = \frac{س}{٩}$

نقوم بتبسيط الكسر $\frac{٣}{٢٧}$ بقسمة البسط والمقام على ٣:

$\frac{١}{٩} = \frac{س}{٩}$

بما أن المقامات متساوية، إذن البسوط متساوية، وبالتالي قيمة $س$ = $١$.

تكنيك ١: ترتيب العمليات الحسابية وفك الأقواس

المفهوم الرياضي: الأولوية لإيجاد نواتج ما بداخل الأقواس قبل إجراء عملية الضرب الخارجي.

نبدأ بالقوس الأول، وقسمة أي مقدار على نفسه تساوي واحدا: ${١} = \frac{٢}{٣} \div \frac{٢}{٣}$

بالنسبة للقوس الثاني، نضرب البسطين والمقامين معا: $\frac{٤}{٩} = \frac{٢}{٣} \times \frac{٢}{٣}$

القوس الثالث مطابق للأول تماما، ونتيجته أيضا: ${١} = \frac{٢}{٣} \div \frac{٢}{٣}$

نضرب النواتج الثلاثة النهائية ببعضها: $\frac{٤}{٩} = {١} \times \frac{٤}{٩} \times {١}$

التكنيك الأول: توحيد مقامات المعاملات الكسرية

المفهوم الرياضي: لجمع المتغيرات المضروبة في كسور، يجب توحيد مقامات تلك الكسور أولاً لإيجاد المعامل الإجمالي.

المعادلة الأصلية هي مجموع أنصاف وأثلاث وأرباع القيمة س:

$٦،٥ = س \frac{١}{٤} + س \frac{١}{٣} + س \frac{١}{٢}$

المضاعف المشترك الأصغر للمقامات $٢$ و $٣$ و $٤$ هو $١٢$. نوحد المقامات بضرب كل كسر بما يكمله:

$٦،٥ = س \frac{٣}{١٢} + س \frac{٤}{١٢} + س \frac{٦}{١٢}$

نجمع البسوط للمعاملات الكسرية:

$٦،٥ = س \frac{١٣}{١٢}$

نحول العدد العشري إلى كسر اعتيادي للتبسيط، حيث $٦،٥$ يساوي $\frac{١٣}{٢}$:

$\frac{١٣}{٢} = س \frac{١٣}{١٢}$

بقسمة الطرفين على القيمة $١٣$ لتبسيط المعادلة نجد أن:

$\frac{١}{٢} = س \frac{١}{١٢}$

بضرب الطرفين في القيمة $١٢$ لإيجاد قيمة س النهائية:

$\frac{١٢}{٢} = س$

$٦ = س$

التكنيك الثاني: تجربة الخيارات

المفهوم الرياضي: نعوض بالقيم المعطاة في الخيارات في المعادلة للوصول إلى تطابق بين الطرفين.

بتجربة الخيار الثالث وهو $٦$:

نعوض في المعادلة الأصلية:

$٦،٥ = ({٦} \times \frac{١}{٤}) + ({٦} \times \frac{١}{٣}) + ({٦} \times \frac{١}{٢})$

نحسب نواتج الضرب للكسور:

$٦،٥ = ١،٥ + ٢ + ٣$

بجمع الأعداد معاً:

$٦،٥ = ٦،٥$

بما أن الطرفين متساويان، فالخيار الثالث هو الصحيح.

تكنيك ١: توزيع الضرب على الجمع

المفهوم الرياضي: نستخدم خاصية التوزيع لضرب القيمة الخارجية في كل حد من الحدود داخل القوس لتجنب عملية توحيد المقامات المطولة.

الخطوة الأولى: نحسب ناتج القوس الصغير الخاص بعملية الضرب.

الناتج: ${٢٤} = {٦} \times {٤}$

الخطوة الثانية: نوزع العدد ٢٤ بالضرب على كل حد من حدود القوس الكبير.

العملية: $= { ( {١} \times {٢٤} ) } + { ( {\frac{١}{٢}} \times {٢٤} ) } + { ( {\frac{١}{٣}} \times {٢٤} ) } + { ( {\frac{١}{٤}} \times {٢٤} ) }$

الخطوة الثالثة: نحسب ناتج كل عملية ضرب وقسمة بشكل مستقل.

الحدود الناتجة: $= {٢٤} + {١٢} + {٨} + {٦}$

الخطوة الرابعة: نجمع القيم بالكامل للحصول على الحل النهائي.

المجموع: $= {٥٠}$

تكنيك ٢: توحيد المقامات أولاً

الخطوة الأولى: نحدد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات ٢، ٣، ٤ وهو العدد ١٢.

الخطوة الثانية: نوحد مقامات الكسور داخل القوس على ١٢.

القوس يصبح: ${ ( {\frac{١٢}{١٢}} + {\frac{٦}{١٢}} + {\frac{٤}{١٢}} + {\frac{٣}{١٢}} ) }$

الخطوة الثالثة: نجمع البسوط لتصبح قيمة القوس ${\frac{٢٥}{١٢}}$

الخطوة الرابعة: نضرب الناتج في قيمة القوس الأول (٢٤).

العملية: ${٥٠} = {\frac{٢٥}{١٢}} \times {٢٤}$

الناتج النهائي هو: ${٥٠}$

تكنيك ١: تحويل القسمة إلى ضرب والمقارنة

المفهوم الرياضي: لتبسيط كسر مركب يتكون من كسرين، نقوم بضرب الكسر العلوي في المقلوب الضربي للكسر السفلي.

نبسط القيمة الأولى بضرب البسط في مقلوب المقام: $\frac{٣٦}{٢٥} = \frac{٦}{٥} \times \frac{٦}{٥}$

نبسط القيمة الثانية بالطريقة ذاتها: $\frac{٢٥}{٣٦} = \frac{٥}{٦} \times \frac{٥}{٦}$

نقارن بين النتيجتين، نجد أن القيمة الأولى هي كسر بسطه أكبر من مقامه، أي أن قيمته تتجاوز الواحد الصحيح.

بينما القيمة الثانية هي كسر بسطه أصغر من مقامه، أي أن قيمته تقل عن الواحد الصحيح.

إذاً القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: استخدام الضرب التبادلي للأعداد الكبيرة

المفهوم الرياضي: يمكننا دائماً استخدام طريقة المقص كقاعدة عامة للمقارنة بين أي كسرين بعد تبسيطهما.

نأخذ الكسرين الناتجين من التبسيط وهما $\frac{٣٦}{٢٥}$ للقيمة الأولى و $\frac{٢٥}{٣٦}$ للقيمة الثانية.

نضرب بسط الأول في مقام الثاني: ${١٢٩٦} = {٣٦} \times {٣٦}$

نضرب بسط الثاني في مقام الأول: ${٦٢٥} = {٢٥} \times {٢٥}$

بما أن العدد $١٢٩٦$ أكبر من العدد $٦٢٥$، نستنتج أن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: الحساب المتسلسل للأنصبة

المفهوم الرياضي: حساب قيم الكسور من الإجمالي ثم إيجاد القيمة المكملة.

نصيب الزوجتين = $٣٠٠٠٠ = \frac{١}{٨} \times ٢٤٠٠٠٠$ ريال.

نصيب البنتين = $١٦٠٠٠٠ = \frac{٢}{٣} \times ٢٤٠٠٠٠$ ريال.

مجموع ما تم توزيعه = $١٩٠٠٠٠ = ١٦٠٠٠٠ + ٣٠٠٠٠$ ريال.

نصيب الأخت وهي القيمة المكملة للتركة = $٥٠٠٠٠ = ١٩٠٠٠٠ – ٢٤٠٠٠٠$ ريال.

تكنيك ٢: توحيد المقامات وجمع الكسور

المفهوم الرياضي: جمع حصص الورثة ككسور من التركة ثم إيجاد الكسر المكمل المتبقي.

مجموع حصص الزوجتين والبنتين = $\frac{٢}{٣} + \frac{١}{٨}$.

بتوحيد المقامات على $٢٤$ نجد أن المجموع = $\frac{١٩}{٢٤} = \frac{١٦}{٢٤} + \frac{٣}{٢٤}$.

الكسر الممثل لنصيب الأخت وهو النسبة المكملة = $\frac{٥}{٢٤} = \frac{١٩}{٢٤} – ١$.

قيمة نصيب الأخت = $٥٠٠٠٠ = \frac{٥}{٢٤} \times ٢٤٠٠٠٠$ ريال.

تكنيك ١: تبسيط الأقواس أولاً ثم القسمة

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية يقتضي البدء بما داخل الأقواس، ولضرب كسرين نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

القانون: $\frac{أ}{ب} \times \frac{ج}{د} = \frac{أ \times ج}{ب \times د}$

الخطوة الأولى: نحسب ناتج القوس $= {(\frac{١}{٢} \times \frac{٤}{٣})}$

الناتج هو: $\frac{٤}{٦}$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على ٢ ليصبح: $\frac{٢}{٣}$

الخطوة الثانية: نعوض في المعادلة الأصلية، فتصبح: $= {\frac{٢}{٣}} \div {\frac{٩}{٨}}$

القانون: لقسمة كسرين، نحول علامة القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر الثاني (المقسوم عليه).

تصبح المعادلة: $= {\frac{٣}{٢}} \times {\frac{٩}{٨}}$

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: $٢٧ = ٣ \times ٩$ و $١٦ = ٢ \times ٨$

الناتج النهائي: $\frac{٢٧}{١٦}$

تكنيك ٢: تحويل القسمة إلى ضرب مباشرة

الخطوة الأولى: يمكننا قلب الكسر الذي يلي علامة القسمة وتحويل العملية إلى ضرب.

المعادلة الأصلية: $= {(\frac{١}{٢} \times \frac{٤}{٣})} \div {\frac{٩}{٨}}$

نقلب القوس ليصبح: $= {(\frac{٢}{١} \times \frac{٣}{٤})} \times {\frac{٩}{٨}}$

الخطوة الثانية: نضرب محتوى القوس المقلوب: $\frac{٦}{٤}$ والذي يبسط إلى $\frac{٣}{٢}$

الخطوة الثالثة: نضرب الناتج في الكسر الأول: $= {\frac{٣}{٢}} \times {\frac{٩}{٨}}$

الناتج هو: $\frac{٢٧}{١٦}$

المفهوم الرياضي: إيجاد العلاقة بين المتغيرات في المعادلات المفتوحة دون تحديد إشاراتها.

الطريقة الأولى: التعويض بقيم موجبة وسالبة وصفر

بما أن $ص٥ = س٢$ ولم يحدد ما إذا كانت س وص أعداداً موجبة أو سالبة أو صفراً، نقوم باختبار عدة حالات.

الحالة الأولى: التعويض بأعداد موجبة

نفرض أن س = $٥$ وص = $٢$، فتكون المعادلة صحيحة.

في هذه الحالة س أكبر من ص.

الحالة الثانية: التعويض بأعداد سالبة

نفرض أن س = $٥-$ وص = $٢-$، فتكون المعادلة صحيحة.

في هذه الحالة ص أكبر من س.

الحالة الثالثة: التعويض بصفر

نفرض أن س = صفر وص = صفر، فتكون المعادلة صحيحة.

في هذه الحالة القيمتان متساويتان.

الاستنتاج: بما أن النتيجة تختلف باختلاف القيم المعوض بها، فإن المعطيات غير كافية.

تكنيك ١: توحيد المقامات والتبسيط

المفهوم الرياضي: عند قسمة كسرين، نحول القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر الثاني.

أولا، نوحد مقامات البسط: $\frac{س – ص}{ص} = \frac{ص}{ص} – \frac{س}{ص}$

ثانيا، نوحد مقامات المقام: $\frac{ص – س}{س} = \frac{س}{س} – \frac{ص}{س}$

نحول العملية لضرب ونقلب الكسر السفلي: $\frac{س}{ص – س} \times \frac{س – ص}{ص}$

لتبسيط الأقواس المتعاكسة، نسحب إشارة سالبة كعامل مشترك: $\frac{س}{({س – ص}) -} \times \frac{س – ص}{ص}$

نحذف القوس المشترك من البسط والمقام ونضرب: $\frac{س-}{ص} = \frac{س-}{١} \times \frac{١}{ص}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب معدل الإنجاز اليومي لكل شخص عن طريق القسمة.

نحسب ما ينجزه أحمد في اليوم الواحد بقسمة إجمالي الصفحات على عدد الأيام.

معدل أحمد = $٤٠ = {٦} \div {٢٤٠}$ صفحة يومياً.

نحسب ما ينجزه محمد في اليوم الواحد بقسمة إجمالي الصفحات على عدد الأيام.

معدل محمد = $٣٠ = {٩} \div {٢٧٠}$ صفحة يومياً.

نقارن بين القيمتين.

القيمة الأولى $٤٠$ أكبر من القيمة الثانية $٣٠$.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور والمقارنة المباشرة.

القيمة الأولى تمثل الكسر $\frac{٢٤٠}{٦}$ وبعد التبسيط تساوي $٤٠$.

القيمة الثانية تمثل الكسر $\frac{٢٧٠}{٩}$ وبعد التبسيط تساوي $٣٠$.

بما أن $٤٠$ أكبر من $٣٠$ فإن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ١: الجذور والمعادلة التربيعية.

المفهوم الرياضي: تحويل المعادلة الكسرية إلى معادلة تربيعية وإيجاد الجذور.

المعادلة المعطاة: ${٤} = {س} + {\frac{١}{س}}$

نضرب طرفي المعادلة في $س$ للتخلص من المقام: ${س٤} = {}^{٢}س + {١}$

نرتب المعادلة بنقل الحد للطرف الآخر: $٠ = {}^{٢}س + {س٤-} + {١}$

نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية: ${\frac{{ب-} \pm {}^{٢}ب – {٤}{أ}{ج}\sqrt{}}{{أ٢}}} = س$

المعاملات هي: $١ = أ$ ، $٤- = ب$ ، $١ = ج$.

نعوض بالقيم (مع تجريد الإشارة السالبة كما تقتضي القواعد): ${\frac{{٤} \pm {}^{٢}{٤-} – {٤} \times {١} \times {١}\sqrt{}}{٢ \times ١}} = س$

نبسط القيم تحت الجذر: ${\frac{{٤} \pm {١٦} – {٤}\sqrt{}}{٢}} = س$

نكمل الطرح: ${\frac{{٤} \pm ١٢\sqrt{}}{٢}} = س$

نبسط الجذر: ${٢} \times ٣\sqrt{} = ١٢\sqrt{}$

نقسم البسط على المقام: ${٢} \pm ٣\sqrt{} = س$

القيمة التقريبية للجذر ثلاثة هي $١،٧٣$.

نأخذ الجذر الموجب الأكبر: $٣،٧٣ = ٢ + ١،٧٣$

إذا قيمة $س$ التقريبية تقارب $٣،٧$.

تكنيك ٢: التقريب والتعويض.

المفهوم الرياضي: التعويض بالخيارات المعطاة للوصول للقيمة الأقرب للناتج.

بما أن الخيارات أعداد عشرية، نقوم بالتجريب.

نجرب الخيار الأول $٣،٧ = س$.

نعوض في المعادلة: ${٣،٧} + {\frac{١}{٣،٧}}$

نحسب قيمة الكسر: ${\frac{١}{٣،٧}}$ يقارب $٠،٢٧$.

نجمع القيمتين: $٣،٩٧ = {٣،٧} + {٠،٢٧}$.

القيمة $٣،٩٧$ قريبة جدا من $٤$.

إذا الخيار الصحيح هو $٣،٧$.

تكنيك ١: التخلص من الفواصل

بما أن الفاصلة بعد ثلاثة أرقام في البسط والمقام، نضرب في $١٠٠٠$ للتخلص منها:

${\frac{٣٥٣}{١١١}} = {\frac{١٠٠٠ \times ٠،٣٥٣}{١٠٠٠ \times ٠،١١١}}$

نحسب قيمة القيمة الأولى إذا جعلنا مقامها $١١١$ لتسهيل المقارنة:

${٤} = {\frac{٤٤٤}{١١١}} = {\frac{٤ \times ١١١}{١١١}}$

نقارن بين البسطين:

القيمة الأولى بسطها $٤٤٤$

القيمة الثانية بسطها $٣٥٣$

بما أن $٤٤٤$ أكبر من $٣٥٣$، فإن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: التقدير المباشر

نلاحظ أن المقام $٠،١١١$ لو ضربناه في $٤$ سيعطينا $٠،٤٤٤$

بما أن البسط في القيمة الثانية $٠،٣٥٣$ وهو أصغر من $٠،٤٤٤$، فهذا يعني أن ناتج القسمة سيكون أقل من $٤$

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب القيم المجتزأة خطوة بخطوة وطرحها من المتبقي.

نحسب أولاً قيمة المصاريف بضرب الربح الكلي في الربع.

المصاريف = $٩٠٠ = \frac{١}{٤} \times ٣٦٠٠$ ريال.

نحسب المبلغ الباقي بعد خصم المصاريف.

الباقي الأول = $٢٧٠٠ = {٩٠٠} – {٣٦٠٠}$ ريال.

نحسب مبلغ الإيجار بضرب الباقي الأول في ثلاثة أرباع.

الإيجار = $٢٠٢٥ = \frac{٣}{٤} \times ٢٧٠٠$ ريال.

نحسب صافي الربح بطرح الإيجار من الباقي الأول.

صافي الربح = $٦٧٥ = {٢٠٢٥} – {٢٧٠٠}$ ريال.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام النسب المكملة لحساب الباقي مباشرة باختصار الخطوات.

دفع المقصف ربع الربح للمصاريف، إذن النسبة المكملة المتبقية هي ثلاثة أرباع الربح الكلي.

الباقي الأول = $٢٧٠٠ = \frac{٣}{٤} \times ٣٦٠٠$ ريال.

من هذا الباقي دفع ثلاثة أرباع للإيجار، إذن النسبة المكملة المتبقية كصافي ربح هي ربع الباقي الأول.

نحسب صافي الربح بضرب الباقي الأول في الربع.

صافي الربح = $٦٧٥ = \frac{١}{٤} \times ٢٧٠٠$ ريال.

وبهذا نصل للناتج النهائي بشكل أسرع.

تكنيك ١: جمع الكسور متحدة المقام

المفهوم الرياضي: عند تساوي المقامات، نكتفي بجمع القيم الموجودة في البسط ونحتفظ بالمقام نفسه.

بما أن المقام المشترك هو س، نجمع البسوط: ${١٨} = \frac{٣ + ٢ + ١}{س}$

ناتج الجمع هو: ${١٨} = \frac{٦}{س}$

نضرب الطرفين في المقام للتخلص منه: ${س١٨} = {٦}$

نقسم الطرفين على معامل المتغير: $\frac{٦}{١٨} = س$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على ٦ للوصول للناتج: $\frac{١}{٣} = س$

تكنيك ١: التقريب وتجاهل القيم الصغيرة

المفهوم الرياضي: في الكسور التي تحتوي على متغيرات بقيم كبيرة جداً، يمكن إهمال الثوابت المضافة لأن تأثيرها على القيمة الإجمالية يكاد يكون معدوماً.

الخطوة الأولى: بما أن س رقم كبير جداً وهو $٩٩٩٩ = س$، فإن ضعفه سيكون رقماً كبيراً جداً.

الخطوة الثانية: في المقام، إضافة العدد ١ إلى ضعف س لن تؤثر بشكل ملحوظ على القيمة الكلية للمقام.

الخطوة الثالثة: نقرب المقام ليصبح $س٢$ فقط.

الخطوة الرابعة: نعيد كتابة المقدار بعد التقريب.

$\frac{س}{س٢}$

الخطوة الخامسة: نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على س.

الناتج التقريبي يساوي $\frac{١}{٢}$

تكنيك ١: مساواة المقامات

المفهوم الرياضي: إذا تساوت البسوط في كسرين متساويين، فإن المقامات تتساوى أيضاً.

بما أن البسط في كلا الطرفين يساوي $١$، نساوي المقامات: $\frac{س}{٣} + \frac{١}{٢} = \frac{س}{٢} + \frac{١}{٣}$.

نجمع المتغيرات في طرف والأرقام في طرف آخر: $\frac{١}{٣} – \frac{١}{٢} = \frac{س}{٣} – \frac{س}{٢}$.

نوحد المقامات في الطرفين على $٦$.

الطرف الأيمن: $\frac{س}{٦} = \frac{٢س}{٦} – \frac{٣س}{٦}$.

الطرف الأيسر: $\frac{١}{٦} = \frac{٢}{٦} – \frac{٣}{٦}$.

بما أن المقامات متساوية، إذن البسوط متساوية.

الناتج النهائي: $١ = س$.

تكنيك ٢: التعويض بالخيارات

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المتاحة للوصول إلى تطابق بين الطرفين.

نجرب الخيار الأول (صفر): $\frac{١}{\frac{٠}{٣} + \frac{١}{٢}} = \frac{١}{\frac{١}{٣} + \frac{٠}{٢}}$ (غير متساويين).

نجرب الخيار الثاني ($١$): الطرف الأيمن يصبح $\frac{٦}{٥} = \frac{١}{\frac{٥}{٦}} = \frac{١}{\frac{١}{٣} + \frac{١}{٢}}$.

الطرف الأيسر يصبح $\frac{٦}{٥} = \frac{١}{\frac{٥}{٦}} = \frac{١}{\frac{١}{٣} + \frac{١}{٢}}$.

الطرفان متساويان.

الناتج النهائي: $١$.

تكنيك ١: حل المعادلات بالتناسب

المفهوم الرياضي: الجزء يساوي النسبة مضروبة في الكل.

نصيغ المعطيات كمعادلة، حيث ثلث الكل يساوي الجزء المعطى: ${٢٢٠} = \frac{١}{٣}$

للتخلص من الكسر وإيجاد العدد الكلي، نضرب الطرفين في المقام: ${٦٦٠} = {٣} \times {٢٢٠}$

إذن العدد الكلي للطلاب هو ٦٦٠ طالبا.

المفهوم الرياضي: خصائص الأسس للكسور التي تنحصر قيمتها بين صفر وواحد.

الطريقة الأولى: المقارنة باستخدام خصائص الأسس مباشرة

القاعدة الذهبية تنص على أنه إذا كان الأساس كسراً حقيقياً موجباً (قيمته تقع بين صفر وواحد)، فإن قيمته الفعلية تتناقص كلما زادت قيمة أُسه.

بما أن الأساس $\frac{١}{٣}$ يقع بين صفر و $١$، والأُس في القيمة الأولى ($٤$) أصغر من الأُس في القيمة الثانية ($٥$).

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

الطريقة الثانية: فك الأسس والحساب التوضيحي

نحسب القيمة الأولى بضرب الكسر في نفسه أربع مرات متتالية: $\frac{١}{٨١}$

نحسب القيمة الثانية بضرب الكسر في نفسه خمس مرات متتالية: $\frac{١}{٢٤٣}$

بمقارنة الكسرين $\frac{١}{٨١}$ و $\frac{١}{٢٤٣}$، نجد أنه عند تساوي قيم البسط، فإن الكسر الذي يمتلك المقام الأصغر هو الأكبر قيمة.

بما أن $٨١ < ٢٤٣$، فإن القيمة الأولى أكبر قطعياً.

تكنيك ١: الحساب المباشر للأنصبة

المفهوم الرياضي: حساب المواريث وتوزيع الحصص حيث للذكر مثل حظ الأنثيين.

نحسب نصيب الزوجة وهو الثمن من إجمالي التركة.

نصيب الزوجة = $١١٠٠٠ = \frac{١}{٨} \times ٨٨٠٠٠$ ريال.

المبلغ المتبقي = $٧٧٠٠٠ = ١١٠٠٠ – ٨٨٠٠٠$ ريال.

نحسب عدد الحصص للأبناء والبنات، للذكر سهمان وللأنثى سهم.

مجموع الحصص = $٢٢ = {٤} + {١٨} = {٤} + {٢ \times ٩}$ حصة.

قيمة الحصة الواحدة وهو نصيب البنت = $٣٥٠٠ = ٢٢ \div ٧٧٠٠٠$ ريال.

تكنيك ٢: استخدام التناسب

المفهوم الرياضي: توزيع القيمة المكملة للتركة كنسب مئوية أو أجزاء متناسبة.

نصيب الزوجة = $١١٠٠٠ = \frac{١}{٨} \times ٨٨٠٠٠$ ريال.

الباقي = $٧٧٠٠٠ = ١١٠٠٠ – ٨٨٠٠٠$ ريال.

نسبة نصيب البنت إلى إجمالي الحصص هي $١ : ٢٢$.

نصيب البنت = $٣٥٠٠ = ٢٢ \div ٧٧٠٠٠$ ريال.

تكنيك ١: التحليل المنطقي السريع

في القيمة الأولى، نقوم بطرح كسر كبير وهو ${\frac{١}{٢}}$ من كسر أصغر منه وهو ${\frac{١}{٤}}$

طرح عدد كبير من عدد صغير ينتج عنه قيمة سالبة قطعاً.

بما أن القيمة الثانية موجبة صريحة، فهي الأكبر فوراً دون الحاجة لتوحيد المقامات.

تكنيك ٢: الحساب المباشر

نوجد ناتج القيمة الأولى بتوحيد المقامات:

المقام المشترك بين $٢$ و $٤$ هو $٤$

${\frac{١}{٤}}- = {\frac{٢}{٤}} – {\frac{١}{٤}}$

الناتج للقيمة الأولى هو عدد سالب يساوى ${\frac{١}{٤}}-$

القيمة الثانية هي عدد موجب يساوى ${\frac{١}{٧}}$

العدد الموجب أكبر من العدد السالب دائماً.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: التحليل المنطقي وعزل المربعات

بدلاً من حساب المربع الكبير للعدد ٩٩٩٩، نستخدم قواعد المقارنات النسبية.

نعلم يقيناً أن العدد ٩٩٩٩ أصغر من العدد ١٠٠٠٠:

${١٠٠٠٠} > {٩٩٩٩}$

بتربيع الطرفين (بما أنهما قيمتان موجبتان)، يظل اتجاه المتباينة صحيحاً وثابتاً:

${}^{٢}(١٠٠٠٠) > {}^{٢}(٩٩٩٩)$

نقوم بقسمة طرفي المتباينة على العدد ١٠٠٠٠ لعزل القيمة الثانية في الطرف الأيمن:

$\frac{{}^{٢}(١٠٠٠٠)}{١٠٠٠٠} > \frac{{}^{٢}(٩٩٩٩)}{١٠٠٠٠}$

نقوم بتبسيط واختصار الطرف الأيسر من المتباينة:

${١٠٠٠٠} = \frac{{}^{٢}(١٠٠٠٠)}{١٠٠٠٠}$

بالتعويض بالنتيجة المبسطة، نجد المتباينة أصبحت على النحو التالي:

${١٠٠٠٠} > \frac{{}^{٢}(٩٩٩٩)}{١٠٠٠٠}$

الطرف الأيمن يمثل تماماً القيمة الأولى، والطرف الأيسر يمثل القيمة الثانية.

يتضح قاطعاً أن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

المفهوم الرياضي: تحليل التناسب في نطاق الأعداد السالبة ومعرفة خصائص المقارنة فيها.

الطريقة الأولى: التعويض المباشر

بما أن $\frac{٢}{٥} = \frac{س}{ص}$ وس وص أعداد صحيحة سالبة.

نستطيع فرض أن س = $٢-$ و ص = $٥-$

وذلك لأن $\frac{٢}{٥} = \frac{٢-}{٥-}$

الآن نقارن بين س وص، أي نقارن بين $٢-$ و $٥-$

في الأعداد السالبة، العدد الأقرب إلى صفر هو الأكبر.

بالتالي $٢-$ أكبر من $٥-$

إذن القيمة الأولى أكبر.

الطريقة الثانية: الاستنتاج من التناسب

إذا كانت القيم موجبة، فإن س تمثل جزءين وص تمثل خمسة أجزاء، فتكون ص أكبر.

ولكن بما أن الإشارة سالبة، فإن ترتيب المقارنة ينعكس.

القيمة التي كانت تبدو أصغر في الموجب (الجزأين) تصبح هي الأكبر في السالب.

وبالتالي س أكبر من ص.

المفهوم الرياضي: تحليل التناسب والعلاقة بين القيم الموجبة.

الطريقة الأولى: التعويض المباشر بفرض الثوابت

بما أن $\frac{٢}{٥} = \frac{س}{ص}$

إذن س = $م٢$ و ص = $م٥$، حيث م عدد صحيح موجب.

نفرض أن م تساوي $١$

تكون س تساوي $٢$ و ص تساوي $٥$

بمقارنة القيمتين نجد أن $٥ > ٢$

إذن ص أكبر من س.

الطريقة الثانية: الاستنتاج المنطقي للنسبة والتناسب

بما أن س و ص أعداد صحيحة موجبة، فإن الكسر $\frac{٢}{٥} = \frac{س}{ص}$ يعبر عن نسبة قيمتين موجبتين.

النسبة تساوي $\frac{٢}{٥}$، حيث البسط أصغر من المقام ($٢ < ٥$).

بالتالي القيمة التي تمثل البسط (س) ستكون دائماً أصغر من القيمة التي تمثل المقام (ص).

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد الكل من خلال الجزء المعلوم.

يمثل الخزان الممتلئ القيمة $١$.

بما أن الخزان ممتلئ بمقدار $\frac{١}{٨}$ ، فإن الجزء المتبقي (أو المكملة) لملء الخزان هو $\frac{١}{٨} – ١$.

الجزء المتبقي = $\frac{٧}{٨}$.

وهذا الجزء المتبقي يعادل $٦٣$ لتراً.

لإيجاد السعة الكلية ، نضرب حجم الجزء في مقلوب الكسر الممثل له.

السعة الكلية = $\frac{٨}{٧} \times {٦٣}$.

السعة الكلية = $٧٢$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم.

نعلم أن $\frac{٧}{٨}$ من السعة تساوي $٦٣$ لتراً.

نقسم الطرفين على $٧$ لمعرفة قيمة $\frac{١}{٨}$.

$\frac{١}{٨}$ من السعة تساوي $٩$ لترات.

بما أن السعة الكاملة تمثل $\frac{٨}{٨}$ ، نضرب القيمة في $٨$.

السعة الكلية = ${٩} \times {٨}$.

السعة الكلية = $٧٢$.

تكنيك ١: الحل الجبري بتبسيط المعادلة المعطاة

المفهوم الرياضي: الضرب التبادلي (المقص) لإيجاد علاقة صريحة بين المتغيرات.

المعادلة المعطاة هي:

${\frac{١}{٢}} = \frac{٣ + {س}}{٣ + {ص}}$

نضرب الطرفين في الوسطين:

$({ص} + ٣)١ = ({س} + ٣)٢$

نوزع الضرب:

${ص} + ٣ = ٦ + {س}٢$

نعزل المتغير ${ص}$ بنقل $٣$ للطرف الآخر:

${ص} = ٣ + {س}٢$

نعوض بقيمة ${ص}$ في القيمة الأولى ونضع الناتج في اليسار:

القيمة الأولى = ${ص} + {س}$

القيمة الأولى = ${س}٣ + ٣ = {س} + (٣ + {س}٢)$

القيمة الثانية = $٣ + {س}$

نطرح القيمة الثانية من الأولى لمعرفة الفارق:

${س}٢ = (٣ + {س}) – ({س}٣ + ٣)$

بما أنه لا توجد معطيات عن إشارة أو قيمة المتغير ${س}$ (سواء كان موجباً، سالباً، أو صفراً)، لا يمكن تحديد القيمة الأكبر. المعطيات غير كافية.

تكنيك ٢: الحل بفرض قيم تجريبية (التعويض المباشر)

المفهوم الرياضي: افتراض قيم مختلفة للمتغيرات لاختبار ثبات العلاقة بين القيمتين.

لنجرب فرض أن ${س} = ١$. بالتعويض في المعادلة لاستخراج ${ص}$:

$٥ = ٣ + ٢(١) = {ص}$

نحسب القيمتين بناءً على هذا الفرض:

القيمة الأولى (${ص} + {س}$) = $٦ = ١ + ٥$

القيمة الثانية ($٣ + {س}$) = $٤ = ٣ + ١$

في هذه الحالة، القيمة الأولى أكبر من الثانية.

الآن لنجرب فرض أن ${س} = ١-$. بالتعويض في المعادلة لاستخراج ${ص}$:

$١ = ٣ + ٢(١-) = {ص}$

نحسب القيمتين بناءً على هذا الفرض الجديد:

القيمة الأولى (${ص} + {س}$) = $٠ = (١-) + ١$

القيمة الثانية ($٣ + {س}$) = $٢ = ٣ + ١-$

في هذه الحالة، القيمة الثانية أكبر من الأولى.

بما أن النتيجة تختلف وتتغير بناءً على القيمة المفترضة للمتغير ${س}$، فهذا يؤكد أن المعطيات غير كافية للوصول لنتيجة ثابتة.

تكنيك ١: التعويض المباشر

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة تعبير جبري بالتعويض عن قيمة المتغير المعطاة.

نعوض عن قيمة المتغير: $\frac{١}{٢} = س$.

نحسب المربع: $\frac{١}{٤} = {}^{٢}س$.

نحسب المقلوب: $٤ = \frac{١}{{}^{٢}س}$.

المعادلة هي: ${}^{٢}س – \frac{١}{{}^{٢}س}$.

نطرح القيمتين: $\frac{١}{٤} – ٤$.

نوحد المقامات: $\frac{١}{٤} – \frac{١٦}{٤}$.

الناتج النهائي: $\frac{١٥}{٤}$ وهو يكافئ $٣ \frac{٣}{٤}$.

تكنيك ٢: توحيد المقامات قبل التعويض

المفهوم الرياضي: تبسيط التعبير الجبري لتسهيل التعويض.

المعادلة هي: ${}^{٢}س – \frac{١}{{}^{٢}س}$.

نوحد المقامات لتصبح: $\frac{١ – {}^{٤}س}{{}^{٢}س}$.

نعوض بقيمة المتغير: $\frac{١ – \frac{١}{١٦}}{\frac{١}{٤}}$.

نبسط البسط: $\frac{١٥}{١٦}$.

نقسم على المقام: $\frac{١}{٤} \div \frac{١٥}{١٦}$.

نحول القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر: $\frac{٤}{١} \times \frac{١٥}{١٦}$.

الناتج النهائي: $\frac{١٥}{٤}$ ويساوي $٣ \frac{٣}{٤}$.

تكنيك ١: التعويض المباشر

المفهوم الرياضي: التعويض بقيمة المتغير وإجراء العمليات الحسابية.

المعادلة المطلوبة هي $\frac{١ – س}{{}^{٢}س}$.

نعوض بقيمة المتغير: $\frac{١}{٢} = س$.

نحسب البسط: $\frac{١-}{٢} = ١ – \frac{١}{٢}$.

نحسب المقام: $\frac{١}{٤} = {}^{٢}(\frac{١}{٢})$.

نقسم البسط على المقام: $\frac{١}{٤} \div \frac{١-}{٢}$.

نحول القسمة إلى ضرب ونقلب: $\frac{٤}{١} \times \frac{١-}{٢}$.

الناتج النهائي: $٢-$.

تكنيك ٢: فصل الكسور

المفهوم الرياضي: توزيع البسط على المقام لتسهيل التعويض.

نفصل الكسر: $\frac{١}{{}^{٢}س} – \frac{س}{{}^{٢}س}$.

نبسط الكسر الأيسر: $\frac{١}{{}^{٢}س} – \frac{١}{س}$.

نعوض بقيمة المتغير: $\frac{١}{\frac{١}{٤}} – \frac{١}{\frac{١}{٢}}$.

نقلب الكسور: $٤ – ٢$.

الناتج النهائي: $٢-$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب قدرة الوحدة الواحدة ثم الضرب في العدد المتبقي.

نحسب أولاً قدرة المولد الواحد بقسمة الإنتاج الكلي على عدد المولدات.

قدرة المولد الواحد = $\frac{٥٠٠٠}{٤}$

قدرة المولد الواحد = $١٢٥٠$

إذا تعطل مولد، يتبقى $٣$ مولدات، لذا نضرب قدرة المولد الواحد في $٣$.

الإنتاج الجديد = $٣ \times ١٢٥٠$

الإنتاج الجديد = $٣٧٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الطرح من الإنتاج الكلي.

نحسب قدرة المولد الواحد كما في الطريقة السابقة، وهي $١٢٥٠$ واط.

نطرح قدرة المولد المتعطل من الإنتاج الكلي للمحطة.

الإنتاج الجديد = ${١٢٥٠} – {٥٠٠٠}$

الإنتاج الجديد = $٣٧٥٠$

تكنيك ١: استراتيجية التجريب والتعويض

المفهوم الرياضي: أسرع طريقة لحل هذا النوع من المعادلات هي تجريب الخيارات المعطاة للتحقق من صحة المساواة.

الخطوة الأولى: نجرب الخيار الأول وهو العدد ٣ ونعوض به في الطرف الأيسر.

${٣} + \frac{١}{٣}$

الخطوة الثانية: لجمع العدد الصحيح مع الكسر، نوحد المقامات بتحويل العدد ٣ إلى كسر مقامه ٣.

$\frac{٩}{٣} = ٣$

الخطوة الثالثة: نجمع الكسرين.

$\frac{١٠}{٣} = \frac{٩}{٣} + \frac{١}{٣}$

الخطوة الرابعة: الناتج يطابق الطرف الأيمن من المعادلة، إذن الخيار صحيح.

تكنيك ٢: التبسيط الجبري

المفهوم الرياضي: يمكن حل المعادلة بخطوات جبرية عبر توحيد المقامات.

الخطوة الأولى: نوحد مقامات الطرف الأيسر.

$\frac{١٠}{٣} = \frac{١ + س^٢}{س}$

الخطوة الثانية: نضرب الطرفين في الوسطين.

${٣} + {س^٢}٣ = س١٠$

الخطوة الثالثة: نرتب المعادلة كمعادلة تربيعية صفرية.

$٠ = {٣} + س١٠- + {س^٢}٣$

الخطوة الرابعة: نحلل المعادلة إلى قوسين.

$٠ = ({١} – س٣) ({٣} – س)$

الخطوة الخامسة: الحلول الممكنة هي ٣ أو الثلث. العدد ٣ موجود في الخيارات.

تكنيك ١: توحيد مقامات الكسور

المفهوم الرياضي: دمج كسرين عن طريق توحيد المقامات لربط المجموع بحاصل الضرب.

القانون: $\frac{ص+س}{ص س} = \frac{١}{ص} + \frac{١}{س}$

بالتعويض في المعادلة المعطاة نجد أن:

$\frac{١}{٤} = \frac{ص+س}{ص س}$

نعوض عن قيمة البسط $ص + س$ بالعدد $٦$:

$\frac{١}{٤} = \frac{٦}{ص س}$

باستخدام الضرب التبادلي لمعرفة الناتج:

${٢٤} = {٤} \times {٦}$

إذن قيمة حاصل الضرب تساوي $٢٤$.

تكنيك ٢: التخلص من المقامات بالضرب المباشر

المفهوم الرياضي: تبسيط المعادلات الكسرية بضرب جميع الحدود في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات وهو $ص س٤$.

المعادلة الأصلية: $\frac{١}{٤} = \frac{١}{ص} + \frac{١}{س}$

عند ضرب جميع الحدود في $ص س٤$ نحصل على التالي:

${ص س} = {٤} \times {س} + {٤} \times {ص}$

بأخذ العامل المشترك $٤$ من الطرف الأيسر:

${ص س} = {(ص + س)} \times {٤}$

بالتعويض عن قيمة $ص + س$ بالعدد $٦$ المعطى:

${٢٤} = {٦} \times {٤}$

تكنيك ١: التعويض الافتراضي الذكي

بناءً على المتباينة المعطاة في السؤال، نلاحظ أن قيمة س محصورة بين الصفر والواحد، أي أنها تمثل كسراً موجباً.

بينما المتباينة الأخرى تخبرنا أن ص أكبر من ١، أي أنها عدد صحيح أو عشري أكبر من الواحد.

للوصول للحل بأسرع طريقة، نفرض قيماً عددية تحقق هذه الشروط:

لنفرض أن س = ${\frac{١}{٢}}$

ولنفرض أن ص = $٢$

نقوم بتجربة هذه القيم بالتعويض المباشر في الخيارات المعطاة لمعرفة أيها يعطي الناتج الأكبر:

نعوض في الخيار ج:

${\frac{١}{٤}} = {٢} \div {\frac{١}{٢}}$

نعوض في الخيار أ:

${\frac{١}{١٦}} = {({\frac{١}{٤}})}^{٢}$

نعوض في الخيار د:

${٤} = {\frac{١}{٢}} \div {٢}$ (بتطبيق قاعدة مقام المقام بسط)

نعوض في الخيار ب:

${١٦} = {(٤)}^{٢}$

بعد حساب جميع النواتج، نقارن بين القيم الناتجة: ${\frac{١}{٤}}$ ، ${\frac{١}{١٦}}$ ، $٤$ ، $١٦$

نجد أن العدد $١٦$ هو القيمة العظمى بين النواتج، وهو يطابق الخيار ب.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: طرح الكسور.

نحسب الفرق بين الثلثين والنصف لمعرفة نسبة الـ $١٤$ لتراً.

النسبة = $\frac{١}{٢} – \frac{٢}{٣}$.

نوحد المقامات على $٦$.

النسبة = $\frac{٣}{٦} – \frac{٤}{٦}$.

النسبة = $\frac{١}{٦}$.

إذن سدس الخزان يساوي $١٤$ لتراً.

السعة الكلية = ${٦} \times {١٤}$.

السعة الكلية = $٨٤$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حل المعادلات الخطية.

نفرض سعة الخزان س.

المعادلة: $س \frac{٢}{٣} = {١٤} + س \frac{١}{٢}$.

بنقل المتغير س: ${١٤} = س \frac{١}{٢} – س \frac{٢}{٣}$.

${١٤} = س \frac{٣}{٦} – س \frac{٤}{٦}$.

${١٤} = س \frac{١}{٦}$.

بضرب الطرفين في $٦$.

$٨٤ = س$.

السعة الكلية $٨٤$ لتراً.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: توحيد المقامات لجمع الكسور ثم إيجاد المقلوب.

نوحد مقامات الطرف الأيسر من المعادلة.

الطرف الأيسر = $\frac{٥}{٦} = \frac{٣}{٦} + \frac{٢}{٦}$.

إذن المعادلة تصبح $\frac{٥}{٦} = \frac{١}{س}$.

لإيجاد قيمة المتغير نقلب الكسرين في الطرفين.

القيمة الأولى = $\frac{٦}{٥} = س$.

نقارن بين القيمة الأولى $\frac{٦}{٥}$ والقيمة الثانية $\frac{٥}{٦}$.

بما أن بسط القيمة الأولى أكبر من مقامها فهي أكبر من الواحد الصحيح.

وبما أن بسط القيمة الثانية أصغر من مقامها فهي أصغر من الواحد الصحيح.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الضرب التبادلي بعد التبسيط الجبري.

بعد جمع الكسور نصل إلى $\frac{٥}{٦} = \frac{١}{س}$.

نقوم بعملية الضرب التبادلي.

ينتج لنا $٦ = س٥$.

بقسمة الطرفين على معامل المتغير نجد أن $\frac{٦}{٥} = س$.

القيمة الأولى تساوي $١،٢$ والقيمة الثانية تساوي $٠،٨٣$ تقريباً.

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: التبسيط الجبري.

المفهوم الرياضي: تبسيط العمليات الجبرية للضرب والجمع، ثم حل المعادلة.

البسط هو حاصل ضرب المتغير في نفسه أربع مرات: ${}^{٤}س = {س} \times {س} \times {س} \times {س}$

المقام هو حاصل جمع المتغير أربع مرات: ${س٤} = {س} + {س} + {س} + {س}$

نعوض في المعادلة الأصلية: ${س٤} = {\frac{{}^{٤}س}{س٤}}$

نضرب الطرفين في المقام للتبسيط: ${}^{٢}س١٦ = {}^{٤}س$

نقسم الطرفين على ${}^{٢}س$: ${١٦} = {}^{٢}س$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $٤\pm = س$

تكنيك ٢: التعويض.

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات للتحقق من صحة المعادلة.

نجرب القيمة $٤$:

الطرف الأيسر: ${١٦} = {٤} \times {٤}$

الطرف الأيمن: ${\frac{٢٥٦}{١٦}} = {\frac{٤ \times ٤ \times ٤ \times ٤}{٤ + ٤ + ٤ + ٤}}$ ويساوي $١٦$.

الطرفان متساويان.

نجرب القيمة $٤-$:

الطرف الأيسر: ${١٦-} = {٤} \times {٤-}$

الطرف الأيمن: ${\frac{٢٥٦}{١٦-}} = {\frac{٤- \times ٤- \times ٤- \times ٤-}{٤- + ٤- + ٤- + ٤-}}$ ويساوي $١٦-$.

الطرفان متساويان، إذا الإجابة هي $٤\pm$.

تكنيك ١: حل كل قوس بشكل مستقل

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات يقتضي إنهاء العمليات داخل الأقواس المستقلة أولاً، وتحويل عملية قسمة الكسور إلى ضرب بمقلوب الكسر الثاني.

الخطوة الأولى: نبسط القوس الأول (الأيمن بصرياً).

العملية: ${٤} = {\frac{١٦}{١}} \times {\frac{١}{٤}} = {\frac{١}{١٦}} \div {\frac{١}{٤}}$

الخطوة الثانية: نبسط القوس الثاني (الأيسر بصرياً) بنفس القاعدة.

العملية: ${٤} = {\frac{٢٨}{١}} \times {\frac{١}{٧}} = {\frac{١}{٢٨}} \div {\frac{١}{٧}}$

الخطوة الثالثة: نقسم ناتج القوس الأيمن على ناتج القوس الأيسر لإيجاد المحصلة.

العملية النهائية: ${١} = {٤} \div {٤}$

الناتج النهائي هو: ${١}$

تكنيك ٢: التبسيط الكسري المباشر

المفهوم الرياضي: يمكن كتابة عملية القسمة الرئيسية كخط كسر كبير يجمع بين القوسين لتسهيل الرؤية.

الخطوة الأولى: نضع القوس الأيمن كبسط والقوس الأيسر كمقام.

الخطوة الثانية: نطبق قاعدة (مقام المقام يصبح بسطاً) لكل جزء.

البسط يصبح: ${\frac{١٦}{٤}}$ وقيمته ٤.

المقام يصبح: ${\frac{٢٨}{٧}}$ وقيمته ٤.

الخطوة الثالثة: نقسم البسط المبسط على المقام المبسط.

العملية: ${١} = {\frac{٤}{٤}}$

الناتج النهائي هو: ${١}$

تكنيك ١: الضرب التبادلي (المقص)

المفهوم الرياضي: عند مقارنة كسرين، يمكننا ضرب بسط كل كسر في مقام الكسر الآخر ومقارنة النواتج المعطاة.

نضرب بسط القيمة الأولى في مقام القيمة الثانية: ${٩٩٠٠٠} = {٩٩} \times {١٠٠٠}$

نضرب بسط القيمة الثانية في مقام القيمة الأولى: ${٩٩٩٠٠} = {٩٩٩} \times {١٠٠}$

بما أن $٩٩٩٠٠$ أكبر من $٩٩٠٠٠$، فإن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

تكنيك ٢: مقارنة المتبقي من الواحد الصحيح

المفهوم الرياضي: الكسر الذي يحتاج إلى قيمة أقل للوصول للواحد الصحيح هو الأكبر، وتحديداً عندما تكون البسوط أكبر من المقامات.

القيمة الأولى $\frac{١٠٠٠}{٩٩٩}$ يمكن كتابتها على صورة العدد الكسري $١ \frac{١}{٩٩٩}$

القيمة الثانية $\frac{١٠٠}{٩٩}$ يمكن كتابتها على صورة العدد الكسري $١ \frac{١}{٩٩}$

بمقارنة الجزء الكسري للقيمتين: الكسر $\frac{١}{٩٩}$ أكبر من الكسر $\frac{١}{٩٩٩}$ لأن المقام الأصغر ينتج عنه قيمة أكبر للمقدار بأكمله.

إذاً القيمة الثانية أكبر.

التكنيك الأول: التحليل الجبري للكسور والعلاقات النسبية

المفهوم الرياضي: عند الرغبة في مضاعفة ناتج كسر (أي الضرب في القيمة $٢$)، يمكننا رياضياً إما ضرب البسط في $٢$، أو قسمة المقام على $٢$.

لدينا المعادلة الأصلية:

$\frac{٧}{ص} = س$

لمضاعفة قيمة المتغير س، نضرب كلا الطرفين في $٢$:

$\frac{٧}{ص} \times {٢} = س٢$

يمكن إعادة كتابة عملية الضرب في البسط كعملية قسمة في المقام استناداً لخصائص الكسور:

$\frac{٧}{\frac{ص}{٢}} = س٢$

هذا يعني رياضياً أننا قسمنا المقام ص على القيمة $٢$ للوصول إلى ضعف الناتج.

التكنيك الثاني: فرض قيم عددية (التعويض العكسي)

المفهوم الرياضي: فرض قيمة عددية للمتغيرات لتسهيل استيعاب العلاقة النسبية بينها والتحقق من التغيرات.

لنفترض أن ص تساوي القيمة $٧$. بالتعويض في المعادلة الأولى:

$\frac{٧}{٧} = س$

وعليه فإن القيمة الأصلية للمتغير س هي:

$١ = س$

نحن نريد مضاعفة س لتصبح القيمة $٢$. بتجربة الخيار الثاني وهو (نقسم ص على $٢$):

ص الجديدة تصبح $٣،٥$

نعوض بالقيمة الجديدة في المعادلة:

$\frac{٧}{٣،٥} = س$

$٢ = س$

النتيجة هي ضعف القيمة الأصلية، إذن الخيار الثاني يحقق المطلوب تماماً.

المفهوم الرياضي: حل المتباينات الكسرية للمتغيرات الموجبة.

الخطوة الأولى: المتباينة من السؤال تُقرأ بصرياً من اليمين لليسار: (مقلوب س أكبر من س).

بما أن س عدد موجب، يمكننا ضرب طرفي المتباينة في المتغير س دون الحاجة لتغيير اتجاه إشارة التباين.

الخطوة الثانية: نضرب في س لنحصل على: $١ > {}^{٢}س$ (أي أن العدد $١$ أكبر من مربع س).

الخطوة الثالثة: بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، وبما أن س موجبة، نجد أن س يجب أن تكون أصغر من $١$.

الخطوة الرابعة: ندمج هذا الاستنتاج مع المعطى الأساسي في السؤال (س عدد موجب، أي أكبر من صفر).

النتيجة: قيمة س تنحصر بين صفر وواحد، وتُصاغ رياضياً هكذا: $< س < ١$ صفر.

وهذا يتطابق تماماً مع الخيار الأول.

المفهوم الرياضي: مقارنة العدد الحقيقي بمربعه لتحديد النطاق الذي يقع فيه.

الخطوة الأولى: المتباينة المعطاة في السؤال تُقرأ من اليمين لليسار: (العدد س أكبر من مربعه).

الخطوة الثانية: من القواعد الرياضية الثابتة، الأعداد الوحيدة التي تكون قيمتها أكبر من مربعها هي الكسور الموجبة المحصورة بين صفر وواحد فقط.

الخطوة الثالثة: للتحقق المباشر، نقوم بتجربة الخيارات المتاحة:

الخيار الأول $٢$: مربعه $٤$. هل $٢$ أكبر من $٤$؟ (إجابة خاطئة).

الخيار الثاني $١$: مربعه $١$. هل $١$ أكبر من $١$؟ (إجابة خاطئة).

الخيار الثالث $\frac{١}{٢}$: مربعه $\frac{١}{٤}$. هل النصف أكبر من الربع؟ (إجابة صحيحة).

الخيار الرابع $\frac{٣}{٢}$: مربعه $\frac{٩}{٤}$ (أي $٢$ وربع). هل $١،٥$ أكبر من $٢،٢٥$؟ (إجابة خاطئة).

إذن القيمة الممكنة الوحيدة للمتغير س من بين الخيارات هي $\frac{١}{٢}$.

تكنيك ١: حل المعادلة الجبرية وحساب القيم المستقلة

المفهوم الرياضي: تبسيط المعادلة الكسرية لإيجاد قيمة المجهول، ثم تطبيق قسمة الكسور الصحيحة للمقارنة.

نبدأ بتبسيط المعادلة في المعطيات بجمع الكسور ذات المقامات الموحدة.

نجمع البسوط مع بقاء المقام كما هو: ${٢٠} = {\frac{١٠}{س}} = {\frac{٣}{س}} + {\frac{٥}{س}} + {\frac{٢}{س}}$

نضرب الطرفين في المتغير سين للتخلص من المقام: ${١٠} = {س٢٠}$

نقسم الطرفين على عشرين لإيجاد القيمة الأولى (قيمة سين): ${\frac{١}{٢}} = {\frac{١٠}{٢٠}} = {س}$

الآن نحسب القيمة الثانية بتطبيق قاعدة قسمة الكسور (القراءة من اليمين لليسار تعني قسمة واحد على اثني عشر على واحد على أربعة).

نحول القسمة إلى ضرب بقلب الكسر الثاني (بحيث يُضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني): ${\frac{١}{٣}} = {\frac{٤}{١٢}} = {\frac{٤}{١}} \times {\frac{١}{١٢}} = {\frac{١}{٤}} \div {\frac{١}{١٢}}$

نقارن الآن بين القيمتين النهائيتين: القيمة الأولى هي النصف، والقيمة الثانية هي الثلث.

بما أن النصف أكبر رياضياً من الثلث، إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: توحيد المقامات للمقارنة

المفهوم الرياضي: بعد إيجاد القيم، نوحد مقاماتها لتسهيل المقارنة البصرية والرياضية الدقيقة.

القيمة الأولى تساوي نصفاً، والقيمة الثانية تساوي ثلثاً، والمضاعف المشترك الأصغر لمقاماتهما هو ستة.

نوحد مقام القيمة الأولى لتصبح: ${\frac{٣}{٦}} = {\frac{١}{٢}}$

نوحد مقام القيمة الثانية لتصبح: ${\frac{٢}{٦}} = {\frac{١}{٣}}$

بمقارنة البسوط، ثلاثة أكبر من اثنين، وبالتالي القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ١: العمليات الجبرية المباشرة

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة المتغير المفرد ثم ضربه في المعامل المطلوب.

المعطى: $\frac{٢٧}{١٠} = س٣$

بقسمة الطرفين على $٣$ لإيجاد قيمة $س$:

${\frac{٩}{١٠}} = س$

المطلوب هو إيجاد قيمة $س١٠$، فنقوم بضرب القيمة في $١٠$:

${٩} = {\frac{٩}{١٠}} \times {١٠}$

تكنيك ٢: التدرج المنتظم

المفهوم الرياضي: الانتقال من المعامل الحالي إلى المعامل المطلوب مباشرة بالضرب في كسر مناسب.

للانتقال من $س٣$ إلى $س١٠$، نضرب طرفي المعادلة في الكسر $\frac{١٠}{٣}$:

${س١٠} = \frac{١٠}{٣} \times \frac{٢٧}{١٠}$

باختصار العدد $١٠$ من البسط والمقام، وقسمة $٢٧$ على $٣$:

${٩} = \frac{٢٧}{٣}$

تكنيك ١: تبسيط المقام ثم القسمة

المفهوم الرياضي: عند وجود كسر مركب، نقوم بتبسيط المقام أولاً للوصول إلى كسر بسيط.

الخطوة الأولى: نطرح الكسر في المقام: ${\frac{١}{٢}} – {١}$

الناتج هو: $\frac{١}{٢}$

الخطوة الثانية: نعوض في الكسر الأصلي، ليصبح: $\frac{١}{\frac{١}{٢}}$

القانون: مقام المقام يصبح بسطاً.

الخطوة الثالثة: نضرب البسط في مقلوب المقام: $٢ = \frac{٢}{١} \times ١$

الناتج النهائي: $٢$

تكنيك ٢: الضرب في المعامل المشترك

المفهوم الرياضي: يمكن التخلص من الكسور في المقام بضرب بسط ومقام الكسر الرئيسي في المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور الفرعية.

الخطوة الأولى: نحدد المقام الفرعي وهو ٢، لذا نضرب البسط والمقام للكسر الرئيسي في ٢.

البسط الجديد: $٢ = ٢ \times ١$

المقام الجديد: نوزع الضرب على القوس $= {(\frac{١}{٢} – ١)} \times {٢}$

الناتج: $١ = ١ – ٢$

الخطوة الثانية: نقسم البسط الجديد على المقام الجديد: $\frac{٢}{١}$

الناتج النهائي: $٢$

تكنيك ١: حساب القيم الفعلية

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة العددية لكل نصيب للمقارنة المباشرة.

نصيب الأب يمثل القيمة الأولى ويساوي السدس = $٨٠٠٠٠ = \frac{١}{٦} \times ٤٨٠٠٠٠$ ريال.

نصيب الزوج = الربع = $١٢٠٠٠٠ = \frac{١}{٤} \times ٤٨٠٠٠٠$ ريال.

المجموع الموزع = $٢٠٠٠٠٠ = ١٢٠٠٠٠ + ٨٠٠٠٠$ ريال.

المتبقي للأبناء = $٢٨٠٠٠٠ = ٢٠٠٠٠٠ – ٤٨٠٠٠٠$ ريال.

نصيب الابن الواحد يمثل القيمة الثانية = $١٤٠٠٠٠ = ٢ \div ٢٨٠٠٠٠$ ريال.

المقارنة بين القيمتين توضح أن $١٤٠٠٠٠$ أكبر من $٨٠٠٠٠$ مما يعني أن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: المقارنة بالكسور والنسب

المفهوم الرياضي: استخدام النسب المئوية أو الكسور لمعرفة النصيب الأكبر دون حساب المبالغ الكلية.

نصيب الأب = $\frac{١}{٦}$ من التركة.

نصيب الزوج = $\frac{١}{٤}$ من التركة.

مجموع ما تم توزيعه = $\frac{٥}{١٢} = \frac{٣}{١٢} + \frac{٢}{١٢} = \frac{١}{٤} + \frac{١}{٦}$.

النسبة المكملة المتبقية للولدين = $\frac{٧}{١٢} = \frac{٥}{١٢} – ١$.

نصيب الابن الواحد = $\frac{٧}{٢٤} = \frac{١}{٢} \times \frac{٧}{١٢}$.

لمقارنة نصيب الأب $\frac{١}{٦}$ مع نصيب الابن $\frac{٧}{٢٤}$ نوحد المقامات فتصبح $\frac{١}{٦}$ مساوية للكسر $\frac{٤}{٢٤}$.

بما أن $\frac{٧}{٢٤}$ أكبر من $\frac{٤}{٢٤}$ فإن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: المعالجة الجبرية والتبسيط المباشر

المفهوم الرياضي: حساب ما بداخل الأقواس أولاً وفق الترتيب الصحيح للقسمة ثم إجراء عملية الضرب للكسور.

نبدأ أولاً بتبسيط الكسر العشري الموجود داخل القوس لتسهيل عملية القسمة.

نضرب بسط ومقام الكسر العشري في عشرة للتخلص من الفاصلة: ${\frac{٤}{٢٥٠}} = {\frac{٠،٤}{٢٥}}$

نبسط الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على اثنين: ${\frac{٢}{١٢٥}} = {\frac{٤}{٢٥٠}}$

نعود الآن للقوس ونستبدل الكسر العشري بقيمته المبسطة مع الحفاظ على الترتيب المنطقي للعملية (الخُمس تقسيم الكسر المبسط).

نحول عملية القسمة إلى ضرب بقلب الكسر الثاني (بحيث يُضرب الخُمس في مقلوب الكسر المبسط): ${\frac{٢٥}{٢}} = {\frac{١٢٥}{١٠}} = {\frac{١٢٥}{٢}} \times {\frac{١}{٥}} = {\frac{٢}{١٢٥}} \div {\frac{١}{٥}}$

الآن، نأخذ ناتج القوس ونضربه في باقي الكسور المتسلسلة المتبقية في السؤال.

عملية الضرب متسلسلة للكسور: ${\frac{٢٥}{٢}} \times {\frac{٢}{٥}} \times {\frac{١}{٥}} \times {\frac{٢}{٥}}$

نضرب البسوط معاً والمقامات معاً للوصول للناتج النهائي: ${\frac{٢}{٥}} = {\frac{١٠٠}{٢٥٠}} = {\frac{٢٥}{٢}} \times {\frac{٤}{١٢٥}}$

تكنيك ٢: تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

المفهوم الرياضي: تحويل كافة الحدود إلى صيغة عشرية ثم إجراء العمليات الحسابية.

الكسر الخُمس يساوي عشرياً القيمة: $٠،٢ = {\frac{١}{٥}}$

والكسر خُمسين يساوي عشرياً القيمة: $٠،٤ = {\frac{٢}{٥}}$

نحسب قيمة القوس بالقسمة العشرياً: $١٢،٥ = ٠،٠١٦ \div ٠،٢ = {\frac{٠،٤}{٢٥}} \div ٠،٢$

نضرب الناتج العشري في باقي الحدود: $٠،٤ = ١٢،٥ \times ٠،٤ \times ٠،٢ \times ٠،٤$

القيمة العشرية الناتجة تعادل الكسر خُمسين، إذن الناتج النهائي هو خُمسين.

تكنيك ١: إيجاد المبلغ الكلي أولاً

المفهوم الرياضي: حساب الكل من الجزء ثم حساب الجزء المطلوب.

إذا كان الربع يساوي $٦٠٠٠$ فإن المبلغ الكلي = $٢٤٠٠٠ = ٤ \times ٦٠٠٠$ ريال.

نحسب ثلث المبلغ = $٨٠٠٠ = \frac{١}{٣} \times ٢٤٠٠٠$ ريال.

نحسب نصف الثلث = $٤٠٠٠ = \frac{١}{٢} \times ٨٠٠٠$ ريال.

تكنيك ٢: ضرب الكسور المباشر

المفهوم الرياضي: التعبير عن المطلوب ككسر من المبلغ الكلي والمقارنة المباشرة.

المبلغ الكلي يمثل أربعة أضعاف الربع أي أن المبلغ = $٢٤٠٠٠ = ٤ \times ٦٠٠٠$.

المطلوب هو نصف الثلث أي $\frac{١}{٦} = \frac{١}{٣} \times \frac{١}{٢}$ من المبلغ الكلي.

القيمة المطلوبة = $٤٠٠٠ = \frac{١}{٦} \times ٢٤٠٠٠$ ريال.

تكنيك ١: سحب الإشارة السالبة كعامل مشترك

المفهوم الرياضي: عند وجود مقدارين متعاكسين في الإشارة مثل المقامين في المعادلة، يمكننا سحب إشارة سالبة لتوحيد المقامات وتسهيل المقارنة.

المقام في الطرف الأيسر هو: $ص – ع$

المقام في الطرف الأيمن هو: $ع – ص$

يمكن كتابة المقام الأيمن بسحب الإشارة السالبة ليتطابق مع الأيسر بهذا الشكل: ${(ص – ع)}-$

نعوض في المعادلة الأصلية في الطرف الأيمن:

$\frac{س}{ص – ع} = \frac{٦-}{(ص – ع)-}$

نختصر الإشارة السالبة في البسط والمقام للطرف الأيمن:

$\frac{س}{ص – ع} = \frac{٦}{ص – ع}$

بما أن المقامات متساوية في كلا الطرفين، إذن البسوط يجب أن تكون متساوية أيضاً.

الناتج النهائي:

$٦ = س$

تكنيك ١: توحيد المقامات عبر المضاعف المشترك الأصغر

المفهوم الرياضي: لجمع كسرين بمقامات مختلفة، نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للمقامين. إذا كان أحدهما مضاعفاً للآخر، نضرب بسط ومقام الكسر الأصغر للوصول للمقام الأكبر.

الخطوة الأولى: نلاحظ أن المقام $٧٠$ هو مضاعف للمقام $٣٥$، حيث أن ${٣٥} \times {٢}$ = $٧٠$.

الخطوة الثانية: نوحد مقام الكسر الأول ${ \frac{١٢}{٣٥} }$ بضرب كل من بسطه ومقامه في العدد $٢$.

الخطوة الثالثة: الكسر المكافئ يصبح ${ \frac{٢٤}{٧٠} }$.

الخطوة الرابعة: نعيد كتابة عملية الجمع بالمقامات الموحدة: ${ \frac{٢٤}{٧٠} } + { \frac{٦}{٧٠} }$.

الخطوة الخامسة: نجمع البسوط ونحتفظ بالمقام: ${٢٤} + {٦}$ = $٣٠$.

الخطوة السادسة: الكسر الناتج هو ${ \frac{٣٠}{٧٠} }$.

الخطوة السابعة: نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على $١٠$ (أو بحذف الأصفار)، ليكون الناتج النهائي ${ \frac{٣}{٧} }$.

تكنيك ٢: التبسيط قبل الجمع

الخطوة الأولى: يمكن تبسيط الكسر الثاني ${ \frac{٦}{٧٠} }$ بقسمة البسط والمقام على $٢$.

الخطوة الثانية: الكسر المبسط يصبح ${ \frac{٣}{٣٥} }$.

الخطوة الثالثة: تصبح معادلة الجمع: ${ \frac{١٢}{٣٥} } + { \frac{٣}{٣٥} }$.

الخطوة الرابعة: المقامات موحدة جاهزة، فنجمع البسوط مباشرة: ${١٢} + {٣}$ = $١٥$.

الخطوة الخامسة: الناتج هو ${ \frac{١٥}{٣٥} }$.

الخطوة السادسة: نبسط الناتج بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو $٥$.

الخطوة السابعة: الناتج النهائي للتبسيط هو ${ \frac{٣}{٧} }$.

المفهوم الرياضي: للمقارنة بين كسرين نستخدم طريقة الضرب التبادلي (المقص) أو توحيد البسط.

الطريقة الأولى: توحيد البسط

الكسر المعطى هو $\frac{١}{٩}$ بضربه في $٢$ بسطاً ومقاماً يصبح $\frac{٢}{١٨}$

نلاحظ أن الخيار الرابع هو $\frac{٢}{١٩}$

القاعدة: إذا تساوى البسط، فإن الكسر صاحب المقام الأكبر هو الأقل قيمة.

بما أن $١٩ > ١٨$ فإن $\frac{٢}{١٨} > \frac{٢}{١٩}$

إذن $\frac{٢}{١٩}$ هو الأقل من $\frac{١}{٩}$

الطريقة الثانية: الضرب التبادلي مع الخيار الرابع

نقارن بين $\frac{١}{٩}$ و $\frac{٢}{١٩}$

نضرب بسط الأول في مقام الثاني: $١٩ = ١ \times ١٩$

نضرب مقام الأول في بسط الثاني: $١٨ = ٢ \times ٩$

بما أن $١٩ > ١٨$ فإن الكسر الأول أكبر من الكسر الثاني.

تكنيك ١: ترتيب العمليات الحسابية (PEMDAS)

المفهوم الرياضي: الأولوية لعملية القسمة قبل عملية الطرح.

المعادلة تقرأ من اليمين لليسار: نصف ناقص (نصف مقسوم على اثنين).

ننفذ عملية القسمة أولاً ونضع الناتج في اليسار:

${\frac{١}{٤}} = ٢ \div {\frac{١}{٢}}$

قسمة نصف على اثنين تعني ضرب النصف في مقلوب الاثنين (وهو نصف):

${\frac{١}{٤}} = {\frac{١}{٢}} \times {\frac{١}{٢}}$

نعود للمعادلة الأصلية ونعوض عن ناتج القسمة:

${\frac{١}{٤}} = {\frac{١}{٤}} – {\frac{١}{٢}}$

نوحد المقامات للطرح، النصف يكافئ ربعين:

${\frac{١}{٤}} = {\frac{١}{٤}} – {\frac{٢}{٤}}$

الناتج النهائي هو ربع.

تكنيك ٢: الحل بالرسم أو التخيل الذهني

المفهوم الرياضي: تمثيل الكسور كأجزاء من كل.

تخيل أن لديك نصف رغيف خبز.

الجزء الثاني من المسألة يطلب منك قسمة “نصف رغيف” آخر على شخصين، مما يعني أن كل شخص سيأخذ “ربع رغيف”.

المسألة تطلب منك طرح هذا المقدار الموزع (الربع) من الكمية الأساسية (النصف).

نصف رغيف إذا أخذنا منه ربعاً، يتبقى لدينا ربع.

إذن القيمة هي ${\frac{١}{٤}}$

تكنيك ١: توحيد المقامات للكسور المختلفة

المفهوم الرياضي: لجمع وطرح كسور بمقامات مختلفة، يجب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات لتوحيدها قبل إجراء العمليات الحسابية على البسوط.

الخطوة الأولى: نحدد المقامات وهي $٩$، $٣$، و $٢٧$. المضاعف المشترك الأصغر لها هو العدد $٢٧$.

الخطوة الثانية: نوحد مقام الكسر الأول بضرب كل من البسط والمقام في $٣$، ليصبح ${ \frac{١٢}{٢٧} }$.

الخطوة الثالثة: نوحد مقام الكسر الثاني بضرب كل من البسط والمقام في $٩$، ليصبح ${ \frac{١٨}{٢٧} }$.

الخطوة الرابعة: نكتب المعادلة الجديدة بمقامات موحدة: ${ \frac{٥٤}{٢٧} } – { \frac{١٨}{٢٧} } + { \frac{١٢}{٢٧} }$.

الخطوة الخامسة: نقوم بجمع وطرح البسوط من اليمين لليسار: ${٥٤-} – {١٨} + {١٢}$ = ${٥٤-} + {٣٠}$ = $٢٤-$.

الخطوة السادسة: الكسر الناتج بعد العملية هو ${ \frac{٢٤-}{٢٧} }$.

الخطوة السابعة: نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو $٣$، ليكون الناتج النهائي ${ \frac{٨-}{٩} }$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي وحساب المسافة الإجمالية.

نحسب أولاً المسافة الإجمالية التي قطعها الأب.

المسافة الإجمالية للأب = $٣ \times ٦٠٠$

المسافة الإجمالية للأب = $١٨٠٠$

بما أن الابن يقطع $\frac{٤}{٥}$ من مسافة الأب، نضرب مسافة الأب في الكسر.

مسافة الابن = $\frac{٤}{٥} \times ١٨٠٠$

مسافة الابن = $١٤٤٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب عدد دورات الابن ثم تحويلها لمسافة.

نحسب عدد الدورات التي يقطعها الابن عندما يقطع الأب $٣$ دورات.

عدد دورات الابن = $٣ \times \frac{٤}{٥}$

عدد دورات الابن = $\frac{١٢}{٥}$

نضرب عدد دورات الابن في طول الدورة الواحدة لحساب المسافة.

مسافة الابن = $\frac{١٢}{٥} \times ٦٠٠$

مسافة الابن = $١٤٤٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بقيمة المتغير في التعبير الجبري ثم تبسيط العمليات مع مراعاة قواعد العزل الهيكلي للأسس لضمان ظهورها يسار المتغير.

المقدار المطلوب حسابه بناء على الترتيب الرياضي المعكوس برمجيا هو مقلوب مربع المتغير مطروحاً منه مربع المتغير.

نحسب أولاً مربع المتغير بتعويض قيمته المعطاة.

مربع المتغير = $\frac{١}{٤} = {}^{٢}(\frac{١-}{٢}) = {}^{٢}س$.

نحسب الحد الأول وهو مقلوب مربع المتغير.

مقلوب المربع = $٤ = \frac{١}{\frac{١}{٤}} = \frac{١}{{}^{٢}س}$.

نعوض بالقيمتين في المقدار المطلوب.

الناتج = $\frac{١٥}{٤} = \frac{١}{٤} – {٤}$.

بتوحيد المقامات تصبح المعادلة $\frac{١٥}{٤} = \frac{١}{٤} – \frac{١٦}{٤}$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: توحيد مقامات التعبير الجبري أولاً قبل التعويض لتسهيل الحساب.

نوحد المقامات للمقدار الجبري ليصبح الكسر واحداً.

المقدار بعد توحيد المقامات هو واحد ناقص القوة الرابعة للمتغير مقسوماً على مربع المتغير.

نحسب القوة الرابعة للمتغير وتساوي $\frac{١}{١٦}$.

نحسب البسط وهو $\frac{١٥}{١٦} = \frac{١}{١٦} – {١}$.

نحسب المقام وهو مربع المتغير ويساوي $\frac{١}{٤}$.

نقسم البسط على المقام لتحصل على الناتج النهائي.

الناتج = $\frac{١٥}{٤} = \frac{٤}{١} \times \frac{١٥}{١٦}$.

تكنيك ١: التعويض المباشر واختبار الخيارات

المفهوم الرياضي: التعويض بالقيم الكسرية المعطاة للمتغيرات في الخيارات للتحقق من صحة المعادلة.

لدينا القيم الأساسية التالية للمتغيرات: ${\frac{١}{٢}} = {ل}$ ، ${\frac{٣}{٤}} = {ك}$ ، ${\frac{١}{٤}} = {م}$

نبدأ بتجربة الخيار الثاني الذي ينص على أن المتغير كاف يساوي مجموع المتغيرين لام وميم.

نعوض بقيم المتغيرين لام وميم ونوحد المقامات لجمعها: ${\frac{٣}{٤}} = {\frac{١}{٤}} + {\frac{٢}{٤}} = {\frac{١}{٤}} + {\frac{١}{٢}} = {ل} + {م}$

نلاحظ أن ناتج الجمع يساوي ثلاثة أرباع، وهو يطابق تماماً قيمة المتغير كاف المعطاة في السؤال.

بما أن الطرفين متساويان، فإن الخيار الثاني يمثل العلاقة الصحيحة.

تكنيك ٢: توحيد المقامات التحليلي

المفهوم الرياضي: إيجاد علاقة جبرية بين المتغيرات من خلال توحيد مقاماتها ومقارنة البسوط.

مقام المتغيرين كاف وميم هو أربعة، لذا نوحد مقام المتغير لام ليصبح أربعة أيضاً.

تصبح قيمة المتغير لام بعد توحيد المقام: ${\frac{٢}{٤}} = {ل}$

بمقارنة البسوط، نجد أن بسط المتغير كاف وهو ثلاثة، يساوي مجموع بسط لام وهو اثنان وبسط ميم وهو واحد.

إذن العلاقة الرياضية السليمة هي: ${ك} = {ل} + {م}$

تكنيك ١: الحل الجبري بتبسيط المعادلة

المفهوم الرياضي: تجميع الحدود المتشابهة واستخراج العامل المشترك.

من المعادلة المعطاة:

${\frac{٤}{ص}} + {ص} = {\frac{٤}{س}} + {س}$

نقوم بنقل الحدود التي تحتوي على المتغيرات إلى طرف والكسور إلى طرف آخر ليكون الناتج في اليسار:

${ص} – {س} = {\frac{٤}{ص}} – {\frac{٤}{س}}$

نقوم بتوحيد المقامات للكسور في الطرف الأيمن بصرياً:

${ص} – {س} = \frac{{ص}٤ – {س}٤}{{ص}{س}}$

نستخرج العامل المشترك $٤$ من البسط:

${ص} – {س} = \frac{({ص} – {س})٤}{{ص}{س}}$

بما أن المعطيات تنص على أن ${ص} \neq {س}$ ، يمكننا قسمة الطرفين على $({ص} – {س})$:

$١ = \frac{٤}{{ص}{س}}$

بضرب الطرفين في ${ص}{س}$ نحصل على النتيجة في أقصى اليسار:

$٤ = {ص}{س}$

الإجابة الصحيحة هي ٤.

تكنيك ٢: الحل بضرب المعادلة في المضاعف المشترك

المفهوم الرياضي: التخلص من المقامات بضرب طرفي المعادلة في ${ص}{س}$.

نضرب جميع حدود المعادلة الأصلية في ${ص}{س}$:

$({ص}{س}) \times ({\frac{٤}{ص}} + {ص}) = ({ص}{س}) \times ({\frac{٤}{س}} + {س})$

بعد التوزيع ينتج لدينا:

${س}٤ + {س}{ص}^٢ = {ص}٤ + {ص}{س}^٢$

نقوم بتجميع الحدود المتشابهة ونستخرج العامل المشترك:

$({ص} – {س})٤ = ({ص} – {س}){ص}{س}$

بما أن ${ص} \neq {س}$ ، يمكننا قسمة الطرفين على القوس $({ص} – {س})$:

$٤ = {ص}{س}$

الإجابة هي ٤.

تكنيك ١: توحيد المقامات وقلب الكسر

المفهوم الرياضي: الكسر في المقام يقلب عند تحويل عملية القسمة إلى ضرب، أو ما يعرف بقاعدة مقام المقام بسط.

أولا نوحد المقامات في الجزء السفلي من الكسر: $\frac{٧}{٦} = \frac{١}{٦} + \frac{٦}{٦} = \frac{١}{٦} + {١}$

نعوض بالناتج في الكسر الرئيسي ليصبح: $\frac{١}{\frac{٧}{٦}}$

نقلب الكسر الموجود في المقام للحصول على القيمة النهائية: $\frac{٦}{٧} = \frac{١}{\frac{٧}{٦}}$

المفهوم الرياضي: خصائص الكسور والأعداد العشرية المحصورة بين الصفر والواحد عند رفعها لقوى مختلفة.

بما أن $س$ محصورة بين صفر و $١$، فهذا يعني أن $س$ كسر موجب (مثل النصف $\frac{١}{٢}$).

عند تربيع كسر محصور بين صفر و $١$، فإن قيمته تقل ولا تزيد.

على سبيل المثال: إذا فرضنا أن $س$ = $\frac{١}{٢}$

القيمة الأولى: $س$ = $\frac{١}{٢}$

القيمة الثانية: ${}^{٢}س$ = ${}^{٢}(\frac{١}{٢})$ = $\frac{١}{٤}$

بمقارنة القيمتين، نجد أن $\frac{١}{٢}$ أكبر من $\frac{١}{٤}$

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

المفهوم الرياضي: حل التناسب (المعادلات الكسرية) باستخدام الضرب التبادلي وتبسيط العمليات الحسابية.

الطريقة الأولى: التبسيط قبل الضرب التبادلي

المعادلة الأصلية تُقرأ بصرياً من اليمين لليسار: $\frac{٤ \times ٧}{١٠٠} = \frac{س}{٧}$

الخطوة الأولى: نقوم بتبسيط بسط الطرف الأيسر بضرب الأعداد: $٢٨ = ٧ \times ٤$

تصبح المعادلة بالشكل التالي: $\frac{٢٨}{١٠٠} = \frac{س}{٧}$

الخطوة الثانية: لإيجاد قيمة المتغير س المجهولة، نضرب كلا الطرفين في مقام س وهو العدد $٧$.

إذن: $\frac{٧ \times ٢٨}{١٠٠} = س$

الخطوة الثالثة: نضرب $٢٨$ في $٧$، لنحصل على الناتج $١٩٦$.

إذن: $\frac{١٩٦}{١٠٠} = س$

الخطوة الرابعة: نقسم على مائة بتحريك الفاصلة العشرية خانتين جهة اليسار.

الناتج النهائي: س تساوي $١،٩٦$.

الطريقة الثانية: الضرب التبادلي المباشر (المقص)

نضرب بسط الطرف الأيمن في مقام الطرف الأيسر: $س \times ١٠٠$

نضرب مقام الطرف الأيمن في بسط الطرف الأيسر: $٧ \times (٤ \times ٧)$

نساوي الطرفين فتنتج المعادلة: $١٩٦ = س \times ١٠٠$

بقسمة كلا الطرفين على العدد $١٠٠$ نجد أن س تساوي $١،٩٦$.

المفهوم الرياضي: إيجاد الكسر الأكبر عن طريق توحيد البسط أو استخدام طريقة المقص.

الطريقة الأولى: توحيد البسط مع الخيار الصحيح

الكسر المعطى هو $\frac{١}{٤}$، وللتحقق من الخيار الثاني $\frac{٣}{٧}$

نضرب الكسر $\frac{١}{٤}$ في $٣$ بسطاً ومقاماً ليصبح $\frac{٣}{١٢}$

نقارن بين $\frac{٣}{٧}$ و $\frac{٣}{١٢}$

القاعدة تنص على أنه عند تساوي البسط، فإن الكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر.

بما أن $٧ < ١٢$ فإن $\frac{٣}{١٢} < \frac{٣}{٧}$

إذن $\frac{٣}{٧}$ أكبر من $\frac{١}{٤}$

الطريقة الثانية: الضرب التبادلي (المقص) مع الخيار الثاني

نضرب بسط الأول في مقام الثاني: $٧ = ١ \times ٧$

نضرب مقام الأول في بسط الثاني: $١٢ = ٣ \times ٤$

بما أن $١٢ > ٧$ فإن الكسر الثاني هو الأكبر.

التكنيك الأول: جمع الكسور ذات المقامات الموحدة وتحويل العدد الكسري

المفهوم الرياضي: عند جمع كسرين لهما نفس المقام، نجمع البسطين ونحتفظ بالمقام. كما يجب تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي لتسهيل المقارنة.

بجمع الطرف الأيمن بصرياً من المعادلة:

$١ \frac{١}{٥} = \frac{ص + س}{٥}$

نحول العدد الكسري بضرب العدد الصحيح في المقام وجمع البسط:

$\frac{٦}{٥} = \frac{ص + س}{٥}$

بما أن المقامات متساوية في كلا الطرفين، إذن البسوط متساوية بالضرورة:

$٦ = {ص} + {س}$

التكنيك الثاني: التخلص من المقامات بالضرب المباشر

المفهوم الرياضي: ضرب طرفي المعادلة في القيمة المشتركة للمقام للتخلص منه تماماً.

المعادلة بعد تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي:

$\frac{٦}{٥} = \frac{ص}{٥} + \frac{س}{٥}$

بضرب جميع أطراف المعادلة في القيمة $٥$:

$٦ = ص + س$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر، وتوحيد المقامات، وإجراء العمليات الحسابية مع مراعاة الترتيب الصحيح للحدود.

الخطوة الأولى: لدينا المتغير $س$ وقيمته $\frac{١}{٢} = س$، نعوض بها في المقدار الرياضي.

نحسب أولاً مربع المتغير: ${}^{٢}(\frac{١}{٢})$ وتساوي $\frac{١}{٤}$.

المقدار المطلوب حسابه هو $ ( {}^{٢}س – \frac{١ – {}^{٢}س}{{}^{٢}س} ) $.

بناءً على الترتيب الرياضي المقصود في المسألة، نطرح مربع المتغير من قيمة الكسر.

نحسب قيمة الكسر: البسط هو $١$ مطروحاً منه مربع المتغير، أي $\frac{١}{٤} – ١$ ويساوي $\frac{٣}{٤}$.

قيمة المقام هي مربع المتغير وتساوي $\frac{١}{٤}$.

نحسب قيمة الكسر كاملاً: $\frac{١}{٤} \div \frac{٣}{٤}$ وتساوي $٣$.

نعود للمقدار الأصلي، فيكون الكسر مطروحاً منه مربع المتغير: $٣ – \frac{١}{٤}$.

لإجراء عملية الطرح نوحد المقامات، فتصبح العملية: $\frac{١٢}{٤} – \frac{١}{٤}$.

الناتج هو $\frac{١١}{٤}$.

بتحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري، نحصل على الناتج النهائي: $٢ \frac{٣}{٤}$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تبسيط المقدار الجبري قبل التعويض لتسهيل الحسابات.

المقدار الكسري $\frac{١ – {}^{٢}س}{{}^{٢}س}$ يمكن تبسيطه بفصل حدوده إلى $\frac{١}{{}^{٢}س} – ١$.

بطرح مربع المتغير من هذا المقدار يصبح: $(\frac{١}{{}^{٢}س} – ١) – {}^{٢}س$.

نعوض بقيمة $\frac{١}{٢} = س$.

مربع المتغير ${}^{٢}س$ يساوي $\frac{١}{٤}$.

مقلوب مربع المتغير $\frac{١}{{}^{٢}س}$ يساوي $٤$.

المقدار يصبح: $\frac{١}{٤} – ١ – ٤$.

نحسب الأعداد الصحيحة أولاً: $١ – ٤$ يساوي $٣$.

يتبقى لدينا المعادلة: $٣ – \frac{١}{٤}$.

الناتج النهائي هو $\frac{١١}{٤}$ ويكافئ $٢ \frac{٣}{٤}$.

تكنيك ١: تبسيط البسط والمقام كلاً على حدة

المفهوم الرياضي: لتبسيط الكسور المركبة، نجمع أو نطرح الكسور في البسط والمقام أولاً لتكوين كسر واحد في الأعلى وكسر واحد في الأسفل.

الخطوة الأولى: نحسب قيمة البسط ${\frac{١}{٢}} + {١}$

نوحد المقامات أو نجمع مباشرة: $\frac{٣}{٢}$

الخطوة الثانية: نحسب قيمة المقام ${\frac{١}{٤}} – {١}$

الناتج: $\frac{٣}{٤}$

الخطوة الثالثة: نقسم بسط الكسر الرئيسي على مقامه: $= {\frac{٣}{٤}} \div {\frac{٣}{٢}}$

نحول القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر الثاني: $= {\frac{٤}{٣}} \times {\frac{٣}{٢}}$

الخطوة الرابعة: نضرب الكسور: $= {\frac{١٢}{٦}}$

الناتج النهائي: $٢$

تكنيك ٢: الضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات

المفهوم الرياضي: نضرب كل من بسط ومقام الكسر الرئيسي في المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات الفرعية للتخلص منها في خطوة واحدة.

الخطوة الأولى: المقامات الفرعية هي ٢ و ٤. المضاعف المشترك الأصغر هو ٤.

الخطوة الثانية: نضرب البسط كاملاً في ٤: $= {(\frac{١}{٢} + ١)} \times {٤}$

نوزع الضرب: $= {٢} + {٤}$، الناتج هو $٦$.

الخطوة الثالثة: نضرب المقام كاملاً في ٤: $= {(\frac{١}{٤} – ١)} \times {٤}$

نوزع الضرب: $= {١} – {٤}$، الناتج هو $٣$.

الخطوة الرابعة: نقسم البسط الجديد على المقام الجديد: $= {٣} \div {٦}$

الناتج النهائي: $٢$