اختبار: المربع

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المساحة الكلية للمربع الهندسي تتوزع بالتساوي على الأجزاء الداخلية المتطابقة التي تقسمه، ويمكن حساب مساحة الجزء الواحد بقسمة المساحة الكلية على عدد الأجزاء.

نبدأ بكتابة قانون محيط المربع لاستنتاج طول الضلع: المحيط = طول الضلع مضروباً في أربعة.

بما أن المحيط معلوم، نصيغ المعادلة العكسية لإيجاد طول الضلع: طول الضلع = المحيط مقسوماً على أربعة.

نعوض بالقيم العددية لنجد طول الضلع بحيث يكون المقسوم في اليمين: طول الضلع = $١٠ = {٤} \div {٤٠}$.

نكتب قانون مساحة المربع الكلية: المساحة الكلية = طول الضلع مضروباً في نفسه.

نعوض بقيمة طول الضلع المستخرجة لحساب المساحة الكلية للمربع: المساحة الكلية = $١٠٠ = {١٠} \times {١٠}$.

المربع مقسم هندسياً إلى $٥$ مستطيلات متطابقة تماماً، لذا فإن مساحة المستطيل الواحد تمثل جزءاً من خمسة أجزاء.

نصيغ قانون مساحة المستطيل الواحد: مساحة المستطيل الواحد = المساحة الكلية مقسومة على عدد المستطيلات.

نعوض في المعادلة بحيث يكون المقسوم الكلي في اليمين: مساحة المستطيل الواحد = $٢٠ = {٥} \div {١٠٠}$.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استنتاج الأبعاد الهندسية الدقيقة للأجزاء الداخلية (المستطيلات) من خلال أبعاد الشكل الخارجي (المربع) لحساب المساحة بشكل مباشر.

نحسب طول ضلع المربع الخارجي من خلال المحيط: طول الضلع = المحيط مقسوماً على أربعة.

نعوض بقيمة المحيط المعطاة: طول الضلع = $١٠ = {٤} \div {٤٠}$.

الشكل مقسم إلى $٥$ مستطيلات متطابقة بشكل طولي، مما يعني أن طول كل مستطيل يطابق طول ضلع المربع الكلي وهو $١٠$.

عرض المستطيل الواحد يمثل جزءاً من طول الضلع الكلي المقسم على عدد المستطيلات.

نكتب قانون العرض ونعوض فيه: عرض المستطيل الواحد = $٢ = {٥} \div {١٠}$.

نكتب قانون مساحة المستطيل: مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض.

نعوض بالأبعاد المستخرجة للمستطيل الداخلي: المساحة = $٢٠ = {٢} \times {١٠}$.

والإجابة هي $٢٠$

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: حساب طول قطر المربع بدلالة طول ضلعه باستخدام العلاقة التي تربط مساحة المربع بضلعه، ثم إيجاد القطر عبر ضرب الضلع في الجذر التربيعي للعدد اثنين.

الخطوة الأولى: إيجاد طول ضلع المربع الأول من خلال مساحته المعطاة عبر معادلة تربيع الضلع: ${}^{٢}({س}) = {١٦}$.

الخطوة الثانية: باختذال الطرفين، يصبح طول ضلع المربع الأول مساوياً للعدد ${٤}$ سم.

الخطوة الثالثة: حساب طول قطر المربع الأول باستخدام العلاقة الهندسية للقطر: ${\sqrt{٢}} \times {٤}$.

الخطوة الرابعة: إيجاد طول ضلع المربع الثاني من خلال مساحته المعطاة عبر معادلة تربيع الضلع: ${}^{٢}({ص}) = {٩}$.

الخطوة الخامسة: باختذال الطرفين، يصبح طول ضلع المربع الثاني مساوياً للعدد ${٣}$ سم.

الخطوة السادسة: حساب طول قطر المربع الثاني باستخدام العلاقة الهندسية للقطر: ${\sqrt{٢}} \times {٣}$.

الخطوة السابعة: حساب الفرق بين طولي قطري المربعين عبر عملية الطرح الموجهة: ${{{\sqrt{٢}}٣} – {{\sqrt{٢}}٤}}$ (مع أخذ القيمة المطلقة الهندسية للفرق).

الخطوة الثامنة: تطبيق خاصية التوزيع لاستخراج العامل المشترك الجذري: ${ {\sqrt{٢}} } \times { {٣} – {٤} }$.

الخطوة التاسعة: الناتج الوسيط للفرق هو القيمة المقدرة لـ ${\sqrt{٢}}$ والتي تبلغ تقريباً $١،٤١$.

الخطوة العاشرة: مقارنة القيمة الأولى الناتجة وهي ${\sqrt{٢}}$ بالقيمة الثانية الثابتة وهي ${٢}$.

الخطوة الحادية عشرة: بما أن القيمة التقريبية للجذر أصغر من العدد الصحيح، فإن القيمة الثانية تتفوق.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: الاعتماد على استخراج الجذور التربيعية المباشرة للمساحات للحصول على أطوال الأضلاع، ثم تكوين تعبير رياضي مباشر للفرق بين الأقطار.

الخطوة الأولى: استخراج جذر المساحة الأولى للحصول على طول الضلع الأول: $\sqrt{١٦} = {٤}$.

الخطوة الثانية: استخراج جذر المساحة الثانية للحصول على طول الضلع الثاني: $\sqrt{٩} = {٣}$.

الخطوة الثالثة: التعبير عن قطري المربعين بدلالة ضرب الأضلاع في الجذر: قطر الأول هو ${{\sqrt{٢}}٤}$ وقطر الثاني هو ${{\sqrt{٢}}٣}$.

الخطوة الرابعة: طرح القطرين للحصول على الفرق الجذري: ${{{\sqrt{٢}}٣} – {{\sqrt{٢}}٤}}$.

الخطوة الخامسة: تبسيط المقدار باستخراج العامل المشترك: ${ {\sqrt{٢}} } \times { {٣} – {٤} }$.

الخطوة السادسة: مقارنة الناتج الجذري البالغ نحو $١،٤١$ مع القيمة الثانية (${٢}$).

الخطوة السابعة: يتضح بوجوب أن القيمة الثانية أكبر من الناتج الأول.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: طرح مساحة الجزء غير المظلل من المساحة الكلية

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل في أي شكل هندسي تساوي المساحة الكلية للشكل مطروحاً منها مساحة الأجزاء غير المظللة الموجودة داخله.

قانون مساحة المربع = طول الضلع مرفوعاً للقوة الثانية.

المساحة الكلية للمربع = $٤٠٠ = {}^{٢}(٢٠)$.

نستنتج أبعاد المثلث غير المظلل هندسياً من معطيات المربع ومركزه.

قاعدة المثلث تنطبق تماماً على الضلع العلوي للمربع، مما يعني أن طول قاعدة المثلث يساوي $٢٠$.

رأس المثلث يقع في مركز المربع الذي نرمز له بالحرف $م$.

المسافة العمودية من مركز المربع إلى أي ضلع من أضلاعه تساوي نصف طول ضلع المربع.

ارتفاع المثلث غير المظلل = $١٠ = {٢} \div {٢٠}$.

قانون مساحة المثلث = نصف مضروباً في طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

مساحة المثلث غير المظلل = $١٠٠ = {١٠} \times {٢٠} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

المساحة المظللة المطلوبة = مساحة المربع الكلية مطروحاً منها مساحة المثلث غير المظلل.

المساحة المظللة = $٣٠٠ = {١٠٠} – {٤٠٠}$.

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ٢: التقسيم الهندسي القطري والاستنتاج النسبي للمساحات

المفهوم الرياضي: الخطوط الممتدة من مركز المربع إلى زواياه الأربع تقسم المربع إلى أربعة مثلثات متطابقة تماماً في المساحة.

بالنظر إلى الشكل الهندسي، يمثل المثلث غير المظلل (والذي تقع قاعدته على ضلع المربع ورأسه في المركز) واحداً من هذه المثلثات الأربعة المتطابقة.

إذن، مساحة الجزء غير المظلل تمثل رياضياً ربع مساحة المربع الكلية.

بالتالي، مساحة الجزء المظلل المتبقي تمثل مكملة الكسر، وهي تعادل ثلاثة أرباع مساحة المربع.

قانون مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه.

مساحة المربع الكلية = $٤٠٠ = {٢٠} \times {٢٠}$.

المساحة المظللة = مساحة المربع الكلية مضروبة في الكسر ثلاثة أرباع.

التعويض الجبري: المساحة المظللة = $٣٠٠ = {\dfrac{٣}{٤}} \times {٤٠٠}$.

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط المربع يعبر عن مجموع أطوال أضلاعه الأربعة الخارجية المتطابقة، ويمكن صياغة ذلك جبرياً بضرب المتغير الذي يمثل طول الضلع في العدد أربعة.

نكتب القانون جبرياً كعملية جمع متكرر: المحيط = طول الضلع مضافاً إليه طول الضلع مضافاً إليه طول الضلع مضافاً إليه طول الضلع.

نعوض بالمتغير الجبري المعطى في السؤال: المحيط = $ن$ مضافاً إليها $ن$ مضافاً إليها $ن$ مضافاً إليها $ن$.

نجمع المتغيرات المتشابهة الأربعة للحصول على التعبير الجبري المبسط: المحيط = $ن٤$.

يُكتب المعامل العددي ملاصقاً للمتغير من جهة اليمين بناءً على التنسيق الرياضي المطلوب، لتصبح العبارة النهائية للمحيط هي: $ن٤$.

والإجابة هي $ن٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض العددي المباشر للمتغيرات الجبرية للوصول إلى النتيجة العددية المنطقية ومطابقتها مع الخيارات المتاحة لاستبعاد الخيارات الخاطئة.

نفرض قيمة عددية صحيحة للمتغير الذي يمثل طول الضلع لتسهيل الحل، ولتكن هذه القيمة تساوي $٢$.

نكتب قانون محيط المربع الأساسي: المحيط = طول الضلع مضروباً في أربعة.

نعوض بالقيمة العددية المفترضة في القانون الرياضي: المحيط = $٨ = {٤} \times {٢}$.

نختبر الخيار الثالث وهو ${}^{٢}ن$ للتحقق: نعوض عن المتغير بالعدد المربع فتصبح القيمة ${}^{٢}٢$ والتي تساوي $٤$، وهي لا تطابق المحيط المحسوب.

نختبر الخيار الأخير وهو $ن٤$: نعوض عن المتغير ونكتب التعبير جبرياً كعملية ضرب: القيمة = $٨ = {٤} \times {٢}$.

بما أن الناتج العددي طابق تماماً محيط المربع المفترض، فإن العبارة الجبرية الصحيحة التي تمثل المحيط هي هذا الخيار.

والإجابة هي $ن٤$

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: استخدام القانون الهندسي لحساب مساحة المثلث متطابق الأضلاع ومقارنتها بمساحة المربع المحسوبة بتربيع طول الضلع.

الخطوة الأولى: كتابة القانون القياسي لمساحة مثلث متطابق الأضلاع بدلالة الضلع: $\dfrac{\sqrt{٣}}{٤} \times {}^{٢}\text{الضلع}$.

الخطوة الثانية: التعويض بطول ضلع المثلث المعطى (${٤}$ سم) في القانون: $\dfrac{\sqrt{٣}}{٤} \times {}^{٢}({٤})$.

الخطوة الثالثة: فك الأس الرياضي للمقدار ليصبح: $\dfrac{\sqrt{٣}}{٤} \times {١٦}$.

الخطوة الرابعة: إجراء عملية القسمة والضرب لتبسيط الكسر: ${٤} \times {\sqrt{٣}}$ أو ${{\sqrt{٣}}٤}$.

الخطوة الخامسة: إيجاد القيمة التقريبية للمقدار بضرب العدد ${٤}$ في قيمة الجذر التربيعي للعدد ${٣}$ المقدرة بـ $١،٧٣٢$: ${١،٧٣٢} \times {٤} = {٦،٩٢٨}$.

الخطوة السادسة: حساب مساحة المربع في القيمة الثانية باستخدام قانونه (${}^{٢}\text{الضلع}$).

الخطوة السابعة: التعويض بطول ضلع المربع المعطى (${٣}$ سم): ${}^{٢}({٣}) = {٩}$.

الخطوة الثامنة: مقارنة القيمة الأولى (${٦،٩٢٨}$) بالقيمة الثانية (${٩}$).

الخطوة التاسعة: بما أن العدد ${٩}$ أكبر من العدد ${٦،٩٢٨}$، فإن القيمة الثانية هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: الاعتماد على التقريب العددي للجذور الصماء للوصول إلى مقارنة حاسمة دون الحاجة لتعقيدات حسابية عشرية موسعة.

الخطوة الأولى: حساب مساحة المربع بصورة مباشرة عبر تربيع طول ضلعه: ${}^{٢}({٣}) = {٩}$.

الخطوة الثانية: حساب مساحة المثلث متطابق الأضلاع بالتبسيط الجذري: ${٤} \times {\sqrt{٣}}$.

الخطوة الثالثة: تقريب قيمة الجذر التربيعي للعدد ${٣}$ بكونه محصوراً بين ${١}$ و ${٤}$ ليقارب القيمة $١،٧٣$.

الخطوة الرابعة: ضرب القيمة المقربة في العدد ${٤}$: ${١،٧٣} \times {٤} = {٦،٩٢}$.

الخطوة الخامسة: بمقارنة النتيجة البالغة ${٦،٩٢}$ بالقيمة العددية الثابتة للمربع (${٩}$), يتبين تفوق المربع.

الخطوة السادسة: استنتاج أن القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: التشكيل الهندسي واستنتاج المحيط الجبري

المفهوم الرياضي: محيط أي مضلع هو مجموع أطوال أضلاعه الخارجية، وعند تلاصق المربعات هندسياً، تُلغى الأضلاع الداخلية المشتركة من حساب المحيط الكلي.

نفرض أن طول ضلع المربع الواحد يمثله المتغير الجبري س.

بما أن لدينا خمسة مربعات متطابقة متلاصقة بجانب بعضها، فإن الشكل الكلي الناتج هو مستطيل.

يتكون الطول الكلي لهذا المستطيل من التصاق خمسة أضلاع للمربعات، ما يعني أن الطول يساوي $س٥$.

بينما يبقى عرض المستطيل الجديد مساوياً لطول ضلع مربع واحد فقط، أي يساوي س.

نكتب قانون محيط المستطيل كالتالي: المحيط = $(ل + ع) \times ٢$.

نعوض بالقيم الجبرية التي استنتجناها في القانون: $٧٢ = ({س} + {س٥}) \times {٢}$.

نجمع الحدود المتشابهة داخل الأقواس أولاً لتبسيط المعادلة: $٧٢ = ({س٦}) \times {٢}$.

نضرب القيمة الناتجة في الرقم اثنين للحصول على إجمالي المحيط بدلالة س: $٧٢ = س١٢$.

لإيجاد قيمة المتغير س، نقوم بقسمة الطرفين على معامل المتغير وهو العدد اثنا عشر.

نصيغ عملية القسمة رياضياً بحيث يكون المقسوم عليه في اليسار: $٦ = {١٢} \div {٧٢}$.

ينتج لدينا أن طول ضلع المربع الواحد يساوي ستة.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢: العد البصري للأضلاع الخارجية

المفهوم الرياضي: حساب عدد الأضلاع الخارجية التي تشكل الإطار المحيط بالشكل الهندسي، ثم قسمة المحيط الكلي المذكور على هذا العدد لإيجاد طول القطعة الواحدة.

عند ترتيب وتلاصق خمسة مربعات في صف واحد مستقيم، تشكل أضلاعها العلوية خمس قطع متطابقة مكشوفة للخارج.

وتشكل الأضلاع السفلية أيضاً خمس قطع متطابقة مكشوفة.

يتبقى لدينا ضلع واحد يغلق الشكل في الطرف الأيمن، وضلع واحد يغلق الشكل في الطرف الأيسر.

نجمع عدد الأضلاع الخارجية الكلية رياضياً: $١٢ = {١} + {١} + {٥} + {٥}$.

هذا يعني أن المحيط الكلي البالغ اثنان وسبعون يتكون من اثني عشر ضلعاً متطابقاً.

نقسم المحيط الكلي المعطى على عدد الأضلاع الخارجية لإيجاد طول الضلع الواحد.

نكتب العملية الحسابية للقسمة: $٦ = {١٢} \div {٧٢}$.

نستنتج أن طول القطعة الواحدة، والتي تمثل ضلع المربع، هو ستة.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الزوايا المتحالفة بين مستقيمين متوازيين.

الشكل الهندسي يمثل مربعاً، ومن خصائص المربع أن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

يوجد مستقيم يقطع الضلعين المتوازيين الجانبيين للمربع (الأيمن والأيسر).

الزاوية $٦٠$ والزاوية $س$ تقعان في جهة واحدة من القاطع وداخل المنطقة المحصورة بين الضلعين المتوازيين.

تُعرف هذه الزوايا بالزوايا المتحالفة داخلياً، ومجموع قياسهما يساوي $١٨٠$ درجة دائماً.

بناءً على ذلك، نصيغ المعادلة: $١٨٠ = {س} + {٦٠}$

لإيجاد قيمة المتغير نقوم بطرح الزاوية المعلومة من المجموع الكلي.

قيمة ${٦٠} – {١٨٠} = س$

قيمة $١٢٠ = س$

والإجابة هي $١٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: مجموع زوايا الشكل الرباعي.

القاطع يقسم المربع إلى شكلين هندسيين، الجزء السفلي منهما يمثل شبه منحرف قائم الزاوية.

زوايا القاعدة السفلية لشبه المنحرف هي زوايا المربع الأصلية، وقياس كل منها $٩٠$ درجة.

الزاوية العلوية اليسرى لشبه المنحرف معطاة في الشكل وقيمتها $٦٠$ درجة.

الزاوية العلوية اليمنى تمثل المتغير $س$ المطلوب إيجاد قيمته.

مجموع الزوايا الداخلية لأي شكل رباعي يساوي $٣٦٠$ درجة.

نصيغ المعادلة: $٣٦٠ = {س} + {٦٠} + {٩٠} + {٩٠}$

نجمع القيم المعلومة: $٣٦٠ = {س} + {٢٤٠}$

نطرح المجموع من القيمة الكلية لإيجاد المتغير: ${٢٤٠} – {٣٦٠} = س$

قيمة $١٢٠ = س$

والإجابة هي $١٢٠$

تكنيك ١: التفكيك الهندسي وحساب المساحات الجزئية

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة المربع الأوسط (الذي تصل رؤوسه بين منتصفات أضلاع المربع الكبير) مطروحاً منها مساحة المربع الصغير الداخلي.

القانون: مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه.

نحسب أولاً مساحة المربع الكبير بالتعويض في القانون المذكور.

مساحة المربع الكبير = $٦٤ = {٨} \times {٨}$

القانون: مساحة المربع المرسوم داخل مربع آخر وتلامس رؤوسه منتصفات الأضلاع الخارجية تساوي نصف مساحة المربع الخارجي.

نحسب مساحة المربع الأوسط بتطبيق القانون.

مساحة المربع الأوسط = $٣٢ = {٢} \div {٦٤}$

نعود لتطبيق قانون مساحة المربع الأساسي لحساب مساحة المربع الصغير الداخلي بناءً على معطيات السؤال.

مساحة المربع الصغير = $١٦ = {٤} \times {٤}$

لإيجاد مساحة المنطقة المظللة النهائية، نقوم بطرح مساحة المربع الصغير الداخلي من مساحة المربع الأوسط.

مساحة المنطقة المظللة = $١٦ = {١٦} – {٣٢}$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ٢: حساب مساحة المثلثات المظللة بشكل مباشر

المفهوم الرياضي: يتكون الجزء المظلل من أربعة مثلثات متطابقة، نحسب مساحة مثلث واحد منها ثم نضرب الناتج النهائي في أربعة.

نلاحظ هندسياً أن قاعدة كل مثلث من المثلثات المظللة تنطبق تماماً على ضلع المربع الصغير الداخلي المعطى في السؤال.

طول قاعدة المثلث = $٤$

القانون: ارتفاع المثلث المحصور بين مربعين متمركزين يساوي المسافة العمودية بين ضلعي المربعين، ويُحسب بطرح طول الضلع الأصغر من الأكبر وقسمة الناتج على اثنين.

نعوض في القانون لحساب ارتفاع المثلث المظلل.

الارتفاع = $٢ = {٢} \div ({٤} – {٨})$

القانون: مساحة المثلث = القاعدة مضروبة في الارتفاع مقسومة على اثنين.

نطبق قانون مساحة المثلث لإيجاد مساحة مثلث مظلل واحد فقط.

مساحة المثلث الواحد = $٤ = {٢} \div ({٢} \times {٤})$

بما أن الشكل الهندسي يحتوي على أربعة مثلثات مظللة متطابقة، نضرب مساحة المثلث الواحد في أربعة.

المساحة الإجمالية للمظلل = $١٦ = {٤} \times {٤}$

والإجابة هي $١٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي:

لحساب مساحة الشكل الكلي، نقوم بجمع مساحة المربع المركزي مع مجموع مساحات المثلثات المتطابقة المحيطة به.

نحسب أولاً مساحة المربع الداخلي.

قانون مساحة المربع:

${م} = {}^{٢}{ل}$

نعوض بطول الضلع المعطى في السؤال وهو $٢$.

${٤} = {}^{٢}{٢}$

إذاً مساحة المربع تساوي $٤$.

ننتقل الآن لحساب مساحة المثلثات المتطابقة.

من الشكل الهندسي، نلاحظ أن كل ضلع من أضلاع المربع المركزي يحمل قاعدتين لمثلثين متطابقين.

لإيجاد طول قاعدة المثلث الواحد، نقسم طول ضلع المربع على عدد المثلثات في الضلع الواحد.

${١} = {٢} \div {٢}$

إذاً قاعدة المثلث تساوي $١$.

قانون مساحة المثلث:

${م} = {ع} \times {ق} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نعوض بقيمة القاعدة $١$ والارتفاع المعطى $١$.

${\dfrac{١}{٢}} = {١} \times {١} \times {\dfrac{١}{٢}}$

إذاً مساحة المثلث الواحد تساوي ${\dfrac{١}{٢}}$.

بما أن الشكل يحتوي بمجمله على $٨$ مثلثات متطابقة، نضرب مساحة المثلث الواحد في إجمالي عدد المثلثات.

${٤} = {٨} \times {\dfrac{١}{٢}}$

الآن، نقوم بجمع مساحة المربع المركزي مع مجموع مساحات المثلثات المحيطة للحصول على المساحة الكلية للشكل.

${٨} = {٤} + {٤}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي:

يمكننا تبسيط الشكل وحله بطريقة التجميع الهندسي من خلال دمج المثلثات المحيطة لتكوين مربعات صغيرة، ثم جمع مساحاتها مع مساحة المربع المركزي.

نعلم هندسياً أن كل مثلثين متطابقين بقاعدة $١$ وارتفاع $١$ يمكن دمجهما معاً لتكوين مربع صغير طول ضلعه $١$.

نحسب مساحة هذا المربع الصغير الناتج عن الدمج.

${١} = {}^{٢}{١}$

نحسب عدد المربعات الصغيرة التي يمكن تكوينها من دمج جميع المثلثات المحيطة.

نقوم بقسمة إجمالي عدد المثلثات وهو $٨$ على $٢$.

${٤} = {٢} \div {٨}$

نحسب مجموع مساحات هذه المربعات الأربعة المتكونة.

${٤} = {٤} \times {١}$

نحسب مساحة المربع المركزي الذي يبلغ طول ضلعه $٢$.

${٤} = {}^{٢}{٢}$

نجمع مساحة المربعات الصغيرة المحيطة مع مساحة المربع المركزي الداخلي.

${٨} = {٤} + {٤}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١: حساب المساحة الكلية للمربع ثم تقسيمها.

المفهوم الرياضي: عند تقسيم شكل منتظم إلى أجزاء متطابقة هندسياً، فإن مساحة الجزء الواحد تساوي المساحة الكلية مقسومة على عدد هذه الأجزاء.

نبدأ أولاً باستخراج طول ضلع المربع من خلال محيطه المعطى.

محيط المربع يساوي طول الضلع مضروباً في العدد $٤$.

لإيجاد طول الضلع، نقسم المحيط الكلي على $٤$.

$٤ = {٤} \div {١٦}$

نقوم بحساب المساحة الكلية للمربع بضرب طول الضلع في نفسه.

$١٦ = {٤} \times {٤}$

ينص السؤال على تقسيم المربع إلى مستطيلين متطابقين، مما يحتم أن تكون مساحتاهما متساويتين وتمثلان نصف المساحة الكلية.

مساحة المستطيل الواحد تساوي المساحة الكلية للمربع مقسومة على $٢$.

$٨ = {٢} \div {١٦}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢: إيجاد أبعاد المستطيل الجبرية وحساب مساحته مباشرة.

المفهوم الرياضي: عند تقسيم مربع إلى مستطيلين متطابقين، فإن طول المستطيل يحتفظ بقيمة ضلع المربع، بينما يصبح عرض المستطيل مساوياً لنصف طول ضلع المربع.

نستخرج طول ضلع المربع بقسمة المحيط على $٤$.

$٤ = {٤} \div {١٦}$

الأبعاد الجبرية للمربع قبل التقسيم هي $٤$ للطول و $٤$ للعرض.

عند التقسيم العادل إلى مستطيلين، يتم تنصيف أحد البعدين فقط بينما يظل البعد الآخر ثابتاً.

طول المستطيل الجديد سيظل مطابقاً تماماً لضلع المربع ويساوي $٤$.

عرض المستطيل الجديد سيصبح نصف طول ضلع المربع المتاح.

$٢ = {٢} \div {٤}$

الأبعاد النهائية للمستطيل الواحد هي $٤$ و $٢$.

نحسب مساحة المستطيل بضرب الطول في العرض.

$٨ = {٢} \times {٤}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج المساحة عبر تجزئة المثلث الكبير إلى مثلثين متطابقين لهما نفس القاعدة والارتفاع.

بالتدقيق البصري في الشكل، نلاحظ أن القاعدة الكلية للمثلث الكبير أ ب مقسمة إلى جزأين متساويين هما ب هـ و هـ أ، بفضل علامات التطابق.

الجزء ب هـ يمثل في الوقت ذاته طول قاعدة المثلث الأول وطول ضلع المربع.

الارتفاع الساقط من الرأس جـ على القاعدة هو الضلع جـ هـ، وهو يمثل أيضاً طول ضلع المربع.

مساحة المثلث الكبير أ ب جـ تساوي مجموع مساحتي المثلثين ب هـ جـ و هـ أ جـ.

بما أن المثلثين لهما نفس طول القاعدة ونفس الارتفاع المشترك جـ هـ، فإنهما متطابقان تماماً في المساحة.

مساحة المثلث ب هـ جـ الموجود داخل المربع تمثل هندسياً نصف مساحة المربع.

بما أن المثلث الخارجي هـ أ جـ يساويه في المساحة، فإن مجموع مساحتيهما يمثل مساحة المربع كاملة.

إذاً مساحة المربع تتطابق كلياً مع مساحة المثلث أ ب جـ.

بما أن مساحة المثلث تساوي $١٠٠$، فإن مساحة المربع تساوي $١٠٠$ أيضاً.

والإجابة هي $١٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض الجبري في قانون مساحة المثلث والمربع.

نفرض أن طول ضلع المربع هو المتغير س.

بذلك يكون ارتفاع المثلث جـ هـ يساوي س.

قاعدة المثلث الكبير أ ب تتكون من ب هـ زائد هـ أ.

بما أن ب هـ يساوي س و هـ أ يساويه بناءً على علامات التطابق، فإن القاعدة الكلية أ ب تساوي $س٢$.

نطبق قانون مساحة المثلث والذي ينص على ضرب نصف القاعدة في الارتفاع.

المساحة تساوي $\dfrac{١}{٢} \times {س٢} \times {س}$

نختصر الكسر مع العدد اثنين، لتصبح المساحة الجبرية للمثلث ${}^{٢}س$.

بما أن مساحة المربع جبرياً هي ${}^{٢}س$ أيضاً، فهذا يثبت تطابق المساحتين رياضياً.

قيمة ${}^{٢}س$ معطاة في السؤال وتساوي $١٠٠$.

إذاً مساحة المربع تساوي $١٠٠$.

والإجابة هي $١٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: طول ضلع المربع الداخلي المقسم داخل شبكة متطابقة يساوي طول الضلع الكلي مقسوماً على عدد الأقسام في البعد الواحد، ومحيط الشكل المظلل المنفصل هو مجموع محيطات المربعات المكونة له.

المربع الكبير مقسم إلى $٩$ مربعات متطابقة، مما يدل هندسياً على أن الشبكة تتكون من ثلاثة أعمدة وثلاثة صفوف متساوية.

نكتب قانون طول الضلع الصغير: طول الضلع الصغير = طول الضلع الكلي مقسوماً على عدد المربعات في الصف الواحد.

نعوض بالقيم لنجد طول الضلع الصغير: طول الضلع الصغير = $٤ = {٣} \div {١٢}$.

نكتب قانون محيط المربع الصغير الواحد: محيط المربع الصغير = طول الضلع مضروباً في أربعة.

نعوض بقيمة طول الضلع الصغير المحسوبة: محيط المربع الصغير = $١٦ = {٤} \times {٤}$.

بالاعتماد على الهيكل الهندسي النمطي للمسألة، الجزء المظلل يتكون من $٤$ مربعات صغيرة متفرقة تشكل الزوايا الأربع.

لحساب محيط الجزء المظلل الكلي، نكتب القانون: المحيط الكلي = محيط المربع الواحد مضروباً في عدد المربعات المظللة.

نعوض في المعادلة للوصول للناتج النهائي: المحيط الكلي للمظلل = $٦٤ = {٤} \times {١٦}$.

والإجابة هي $٦٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المحيط الكلي عن طريق إيجاد عدد الأضلاع الخارجية (الحواف) للأجزاء المظللة وضربها في طول الضلع الواحد المستخرج.

نستخرج طول الضلع للمربع الصغير بقسمة الضلع الكلي على ثلاثة: طول الضلع الصغير = $٤ = {٣} \div {١٢}$.

الأجزاء المظللة تمثل $٤$ مربعات منفصلة تقع في زوايا المربع الكبير.

بما أن المربعات المظللة لا تتلاصق داخلياً، فإن كل مربع مظلل يمتلك $٤$ حواف خارجية تساهم في المحيط الكلي.

نكتب قانون إجمالي عدد الحواف المظللة: إجمالي الحواف = عدد الحواف للمربع الواحد مضروباً في عدد المربعات.

نعوض في القانون لحساب إجمالي الحواف: إجمالي الحواف = $١٦ = {٤} \times {٤}$.

نكتب قانون المحيط الكلي المبني على الحواف: المحيط = إجمالي الحواف مضروباً في طول الحافة الواحدة.

نعوض بالقيم العددية للحصول على المحيط: المحيط الكلي = $٦٤ = {٤} \times {١٦}$.

والإجابة هي $٦٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المربع وحساب مساحة المثلث.

مساحة المربع الواحد معطاة وتساوي $٤$ سم${}^{٢}$.

طول ضلع المربع يساوي الجذر التربيعي للمساحة.

طول الضلع ${٢} = {\sqrt{٤}}=$

الشكل المظلل يمثل مثلثاً تقع قاعدته على ضلع المربع الأيسر ورأسه يمتد أفقياً.

طول قاعدة المثلث المظلل تساوي طول ضلع مربع واحد أي $٢$ سم.

ارتفاع المثلث المظلل يساوي طول ضلع مربع واحد أيضاً أي $٢$ سم.

مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

مساحة المظلل $ {٢} = {٢} \times {٢} \times \dfrac{١}{٢} =$

القيمة الأولى تساوي $٢$ سم${}^{٢}$.

القيمة الثانية معطاة وتساوي $٢$ سم${}^{٢}$.

نستنتج أن القيمتين متطابقتان رياضياً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستنتاج الهندسي للنسب والمساحات.

عند تأمل الشكل، نجد أن الجزء المظلل يمثل مثلثاً مرسوماً داخل حدود المربعات.

من النظريات الهندسية، إذا اشترك مثلث ومربع في نفس القاعدة والارتفاع الموازي لها، فإن مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المربع.

مساحة المربع الواحد المعطاة هي $٤$ سم${}^{٢}$.

مساحة الجزء المظلل $ {٢} = {٢} \div {٤} =$

القيمة الأولى الناتجة هي $٢$.

القيمة الثانية المعطاة في السؤال هي $٢$.

بالتالي، القيمة الأولى مساوية للقيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج النسبة من خلال التقسيم الهندسي المتساوي للمساحات.

نلاحظ من الشكل أن المربع الكبير مقسم إلى أربعة مربعات صغيرة متطابقة في المساحة.

عدد المربعات الكلية الذي يمثل المقام هو $٤$.

عدد المربعات المظللة الذي يمثل البسط هو $١$.

الكسر الدال على مساحة الجزء المظلل يكتب بقسمة البسط على المقام.

النسبة هي $\dfrac{١}{٤}$.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٤}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الفرض الجبري للأبعاد وحساب المساحات رياضياً.

نفرض أن طول ضلع المربع الصغير هو $١$ وحدة طول.

مساحة المربع الصغير المظلل = ${}^{٢}(١)$ وتساوي $١$ وحدة مربعة.

بما أن المربع الكبير يتكون من مربعين صغيرين متجاورين في كل ضلع، فإن طول ضلعه يساوي $٢$ وحدة طول.

مساحة المربع الكبير = ${}^{٢}(٢)$ وتساوي $٤$ وحدات مربعة.

لحساب النسبة نقسم مساحة الجزء المظلل على مساحة الشكل الكلي.

النسبة هي $\dfrac{١}{٤}$.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٤}$

تكنيك ١: تطبيق نظرية فيثاغورس على مساحات المربعات المنشأة.

المفهوم الرياضي: في أي مثلث قائم الزاوية، مساحة المربع المنشأ على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على ضلعي الزاوية القائمة.

من المعطيات البصرية للشكل الهندسي، المربع ($٣$) هو المربع المنشأ على الوتر كونه يقابل الزاوية القائمة.

المربعان ($١$) و ($٢$) هما المربعان المنشآن على ضلعي الزاوية القائمة.

القانون الرياضي يشير إلى أن مساحة المربع ($٣$) تساوي مساحة المربع ($١$) مضافاً إليها مساحة المربع ($٢$).

نقوم بالتعويض الجبري بالقيم العددية المعطاة في المعطيات.

$= ٥$ مساحة المربع (٢) ${٤} +$

لإيجاد القيمة المجهولة وهي مساحة المربع ($٢$)، نقوم بطرح مساحة المربع ($١$) من مساحة المربع ($٣$).

$١ = {٤} – {٥}$

والإجابة هي $١$

تكنيك ٢: الاستنتاج التحليلي عبر أطوال أضلاع المثلث.

المفهوم الرياضي: استخدام مساحات المربعات المعطاة لاستنتاج أطوال أضلاع المثلث، ثم تطبيق نظرية فيثاغورس الجبرية الكلاسيكية.

نستنتج طول الضلع الأول للمثلث من خلال حساب الجذر التربيعي لمساحة المربع ($١$).

$٢ = {\sqrt{٤}}$

نستنتج طول الوتر للمثلث من خلال مساحة المربع ($٣$).

طول الوتر يساوي الجذر التربيعي للعدد $٥$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

مربع طول الوتر معطى كقيمة صحيحة ويساوي $٥$.

مربع طول الضلع الأول يساوي $٤$.

مربع طول الضلع الثاني يمثل بشكل مباشر مساحة المربع ($٢$).

مساحة المربع ($٢$) تساوي مربع الوتر مطروحاً منه مربع الضلع الأول.

$١ = {٤} – {٥}$

والإجابة هي $١$

تكنيك ١: الحل الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض، ومساحة المثلث = نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

من خلال تحليل العلامات الهندسية الموجودة على أضلاع المستطيل في الشكل، نستنتج أن طول قاعدة المثلث يمثل نصف طول قاعدة المستطيل.

وبالمثل، تشير العلامات إلى أن ارتفاع المثلث يمثل نصف ارتفاع المستطيل.

نفرض أن طول قاعدة المستطيل هو المتغير $س$، وأن ارتفاع المستطيل هو المتغير $ص$.

بناءً على ذلك، تكون مساحة المستطيل الكلية يعبر عنها بالمعادلة المساحة = ${ص} \times {س}$.

إذن، طول قاعدة المثلث = $\dfrac{س}{٢}$، وارتفاع المثلث = $\dfrac{ص}{٢}$.

نقوم الآن بالتعويض في قانون مساحة المثلث، والذي قيمته المعطاة تساوي $٩$.

$٩ = {\dfrac{ص}{٢}} \times {\dfrac{س}{٢}} \times {\dfrac{١}{٢}}$

بضرب البسوط معاً والمقامات معاً، نحصل على المعادلة التالية:

$٩ = \dfrac{{ص} \times {س}}{٨}$

للتخلص من المقام، نضرب طرفي المعادلة في الرقم $٨$.

$٧٢ = {٨} \times {٩}$

وبالتالي نجد أن قيمة ${ص} \times {س}$، والتي تمثل مساحة المستطيل الكلية، تساوي $٧٢$.

والإجابة هي $٧٢$.

تكنيك ٢: الاستنتاج الهندسي البصري والتجزئة

المفهوم الرياضي: تقسيم المساحات الكبيرة إلى أجزاء متطابقة يسهل حساب الجزء المجهول بناءً على الجزء المعلوم.

بما أن قاعدة المثلث تساوي نصف قاعدة المستطيل، وارتفاع المثلث يساوي نصف ارتفاع المستطيل، فيمكننا تخيل تقسيم المستطيل الكبير.

نقوم بتقسيم المستطيل الكبير إلى أربعة مستطيلات صغيرة متطابقة تماماً، وذلك برسم خط أفقي وخط عمودي يمران بمنتصف الأضلاع.

المثلث المظلل يقع بالكامل داخل أحد هذه المستطيلات الأربعة الصغيرة في الزاوية.

يلاحظ أن المثلث يشترك مع هذا المستطيل الصغير في القاعدة والارتفاع، مما يعني أن مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل الصغير.

بما أن مساحة المثلث المظلل تساوي $٩$، فإن مساحة المستطيل الصغير الواحد تساوي الضعف.

مساحة المستطيل الصغير = $١٨ = {٢} \times {٩}$

المستطيل الكبير يتكون من أربعة مستطيلات صغيرة متطابقة في المساحة.

لإيجاد مساحة المستطيل الكبير، نضرب مساحة المستطيل الصغير في الرقم أربعة.

المساحة الكلية = $٧٢ = {٤} \times {١٨}$

والإجابة هي $٧٢$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط الشكل المركب.

بما أن المربعات متطابقة، فإن أطوال أضلاعها متساوية.

طول ضلع المربع الواحد معطى في الشكل المرفق ويساوي $٥$ سم.

الشكل يتكون من مربعين متصلين من زاوية رأس واحدة فقط.

بما أن الاتصال يقع في نقطة وليس في ضلع كامل، فإن جميع الأضلاع الثمانية للمربعين تعتبر أضلاعاً خارجية.

محيط الشكل الهندسي يساوي عدد الأضلاع الخارجية مضروباً في طول الضلع الواحد.

المحيط ${٥} \times {٨} =$

المحيط $٤٠ =$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: جمع محيطات الأشكال المستقلة.

محيط المربع الواحد يساوي طول ضلعه مضروباً في أربعة.

محيط المربع الأول ${٢٠} = {٥} \times {٤} =$

محيط المربع الثاني ${٢٠} = {٥} \times {٤} =$

نظراً لأن المربعين لا يشتركان أو يتداخلان في أي ضلع من الأضلاع، فإن المحيط الكلي هو مجموع المحيطين المستقلين.

المحيط الكلي ${٤٠} = {٢٠} + {٢٠} =$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة المربع الواحد من المساحة الكلية، ثم إيجاد طول ضلعه، ثم حساب المحيط الخارجي للشكل بضرب طول الضلع في عدد الأضلاع الخارجية المعرضة للهواء.

أولاً: نحسب مساحة المربع الصغير الواحد بتوزيع المساحة الكلية.

مساحة المربع الواحد تساوي المساحة الكلية مقسومة على عدد المربعات.

مساحة المربع الواحد تساوي $٩ = {\dfrac{٩٩}{١١}}$ سم مربعة.

ثانياً: نحسب طول ضلع المربع الواحد.

طول الضلع يساوي الجذر التربيعي لمساحة المربع.

طول الضلع يساوي ${\sqrt{٩}}$ سم.

إذن، طول ضلع المربع الواحد يساوي $٣$ سم.

ثالثاً: نحسب محيط الشكل الكلي.

محيط الشكل هندسياً هو مجموع أطوال أضلاعه الخارجية فقط، ولا يتم حساب الأضلاع الداخلية المتلامسة والمخفية.

نقوم بعد الأضلاع الخارجية للمربعات التي تشكل الحدود والإطار الخارجي للشكل المرسوم.

نجد بالعد البصري الدقيق أن الشكل محاط بعدد $١٤$ ضلعاً خارجياً.

محيط الشكل يساوي عدد الأضلاع الخارجية مضروباً في طول الضلع الواحد.

المحيط الخارجي يساوي $٤٢ = {٣} \times {١٤}$ سم.

والإجابة هي $٤٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استنتاج العلاقة المباشرة بين الأجزاء المكونة للشكل والمحيط الخارجي خطوة بخطوة بطريقة الجمع المتكرر للحواف.

الشكل المعطى مقسم بالتساوي إلى $١١$ مربعاً متطابقاً تماماً.

المساحة الإجمالية المعطاة في المعطيات تساوي $٩٩$.

بقسمة $٩٩$ على $١١$ نحصل على $٩$ وهي تمثل مساحة المربع الصغير الواحد.

بما أن الجزء المقتطع مربع، فإن العدد الذي نضربه في نفسه ليعطي مساحة $٩$ هو الرقم $٣$.

إذن كل قطعة مستقيمة في الرسم تمثل حافة خارجية لمربع يبلغ طولها $٣$ وحدات.

بتتبع الحدود الخارجية للشكل قطعة بقطعة، نعد الحواف المستقيمة المعرضة للخارج دون تقاطع.

نعد الحواف العلوية والسفلية والجانبية فنجد أنها تشكل مساراً متصلاً من $١٤$ حافة قطعية.

نقوم بجمع طول الحافة الثابت $٣$ بمقدار $١٤$ مرة متتالية، أو نختصر ذلك بضرب العددين.

المجموع النهائي يساوي $٤٢ = {٣} \times {١٤}$.

والإجابة هي $٤٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط المربع يساوي طول الضلع مضروباً في أربعة، والقيمة المطلوبة للمقارنة الأولى هي أربعة أمثال هذا المحيط المستخرج.

لحساب محيط المربع الأول، نكتب القانون: المحيط = طول الضلع مضروباً في أربعة.

نعوض بقيمة طول ضلع المربع الأول المعطاة في القانون: المحيط = ${٤} \times {٢}$.

ينتج لدينا محيط المربع الأول كقيمة مرحلية: $٨ = {٤} \times {٢}$.

لحساب القيمة الأولى رياضياً وهي أربعة أمثال المحيط، نكتب القانون: القيمة الأولى = المحيط مضروباً في أربعة.

نعوض بقيمة محيط المربع الأول في القانون: القيمة الأولى = $٣٢ = {٤} \times {٨}$.

لحساب القيمة الثانية وهي محيط المربع الثاني، نعوض بطول ضلعه في قانون المحيط: المحيط = ${٤} \times {٧}$.

ينتج لدينا محيط المربع الثاني والذي يمثل القيمة الثانية: $٢٨ = {٤} \times {٧}$.

نقارن عددياً بين القيمة الأولى والقيمة الثانية: $٣٢$ أكبر من $٢٨$.

نستنتج بناءً على التحليل الرياضي أن القيمة الأولى تتفوق عددياً على القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: المقارنة الجبرية باستخدام التناسب والمضاعفات وتفكيك العوامل دون الحاجة بالضرورة لاستخراج النواتج النهائية للمحيط كخطوة أولية.

نصيغ قانون القيمة الأولى جبرياً لتبسيطه: القيمة الأولى = أربعة مضروبة في (طول ضلع المربع الأول مضروباً في أربعة).

نعوض بقيمة طول الضلع الأول بداخل الأقواس أولاً: القيمة الأولى = ${٤} \times ({٤} \times {٢})$.

نبسط بضرب العوامل الثابتة للحصول على الناتج النهائي للقيمة الأولى: القيمة الأولى = $٣٢ = {١٦} \times {٢}$.

نصيغ قانون القيمة الثانية جبرياً: القيمة الثانية = طول ضلع المربع الثاني مضروباً في أربعة.

نعوض بقيمة طول الضلع الثاني المعطاة: القيمة الثانية = $٢٨ = {٤} \times {٧}$.

بإجراء عملية المقارنة الجبرية بين الناتجين في طرفي المقارنة، نجد أن الحد الأيمن يمثل القيمة الكبرى.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: حساب مساحة الجزء غير المظلل كشكل هندسي مستقل.

المفهوم الرياضي: لحساب مساحة المثلث قائم الزاوية، نضرب نصف طول القاعدة في الارتفاع.

بناءً على المعطيات، الشكل الخارجي بالكامل هو مربع طول ضلعه الأيسر المعطى يساوي $٨$.

الجزء غير المظلل يشكل مثلثاً قائم الزاوية يقع في الزاوية العلوية اليمنى للمربع الأصلي.

نحسب طول قاعدة هذا المثلث المقطوع من خلال طرح امتداد الجزء المظلل العلوي من طول ضلع المربع.

الضلع العلوي للمربع الكلي طوله $٨$، والجزء المظلل منه يبلغ طوله $٤$.

طول قاعدة المثلث تساوي طول ضلع المربع مطروحاً منه الجزء المظلل.

$٤ = {٤} – {٨}$

نحسب ارتفاع المثلث بطرح امتداد الجزء المظلل الجانبي من طول ضلع المربع.

الضلع الأيمن للمربع طوله $٨$، والجزء المظلل السفلي الممتد عليه يبلغ طوله $٥$.

ارتفاع المثلث يساوي طول ضلع المربع مطروحاً منه الجزء المظلل.

$٣ = {٥} – {٨}$

نحسب مساحة المثلث غير المظلل بضرب القاعدة في الارتفاع ثم القسمة على $٢$.

$٦ = {٢} \div ({٣} \times {٤})$

القيمة الأولى المستنتجة تساوي $٦$.

القيمة الثانية المعطاة في نص السؤال تساوي $٦$.

بمقارنة القيمتين العدديتين نجد أنهما متطابقتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: الاستنتاج العكسي عبر الأبعاد المكملة.

المفهوم الرياضي: الأطوال المقطوعة من أضلاع المربع الأساسية تشكل أبعاداً مكملة للأشكال الداخلية المتبقية.

الشكل غير المظلل هو مثلث زواياه تتطابق مع زاوية المربع القائمة.

أضلاع القائمة للمثلث هي عبارة عن أجزاء مكملة لأضلاع المربع التي تتقاطع مع الشكل المظلل.

الضلع الأفقي للمثلث يعتبر مكملة للضلع العلوي للمربع، وقيمته تساوي $٨$ مطروحاً منها $٤$.

$٤ = {٤} – {٨}$

الضلع الرأسي للمثلث يعتبر مكملة للضلع الأيمن للمربع، وقيمته تساوي $٨$ مطروحاً منها $٥$.

$٣ = {٥} – {٨}$

نقوم بحساب مساحة هذا المثلث المكمل.

$٦ = {٢} \div ({٣} \times {٤})$

نقارن النتيجة الجبرية النهائية مع القيمة الثانية.

القيمتان متساويتان تماماً في المقدار.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المربع وإيجاد الجذر التربيعي للمساحة.

مساحة المربع تحسب بضرب طول الضلع في نفسه، أي أن المساحة تساوي ${}^{٢}س$.

لدينا المساحة المعطاة للمربع تساوي $٤٩$ سم${}^{٢}$.

إذن، المعادلة هي: $٤٩ = {}^{٢}س$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد القيمة المجردة لطول الضلع.

${\sqrt{٤٩}} = س$

$٧ = س$

طول ضلع المربع في القيمة الأولى يساوي $٧$ سم.

القيمة الثانية معطاة بشكل مباشر وتساوي $٧$ سم.

بالمقارنة بين النتيجتين، نلاحظ التساوي التام.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: المقارنة العكسية بتوحيد المعايير عبر تربيع الأضلاع.

بدلاً من استخراج طول الضلع للقيمة الأولى، يمكننا تحويل القيمة الثانية إلى مساحة لتسهيل المقارنة.

القيمة الثانية تمثل طول ضلع مقداره $٧$ سم.

لو كان لدينا مربع طول ضلعه $٧$ سم، فإن مساحته ستساوي طول الضلع مضروباً في نفسه.

مساحة المربع الافتراضي ${٤٩} = {٧} \times {٧}=$ سم${}^{٢}$.

هذه المساحة الناتجة تتطابق تماماً مع المساحة المعطاة في القيمة الأولى.

بما أن المساحتين متطابقتان، فإن طولي الضلعين المتولدين عنهما يجب أن يكونا متساويين بالضرورة.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: الطرح من المساحة الكلية (المكملة)

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء غير المظلل هي مكملة لمساحة الجزء المظلل بالنسبة للمربع الكبير، وتساوي مساحة المربع الكبير مطروحاً منها مساحة الجزء المظلل.

القانون: مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه.

نوجد مساحة المربع الكبير بالتعويض المباشر في القانون.

مساحة المربع الكبير = $٦٤ = {٨} \times {٨}$

لحساب مساحة الجزء المظلل، نلاحظ أنه محصور بين المربع الصغير الداخلي والمربع الأوسط الذي يصل بين منتصفات أضلاع المربع الكبير.

القانون: مساحة المربع الداخلي الملامس لمنتصفات أضلاع المربع الخارجي تساوي نصف مساحته.

نحسب مساحة المربع الأوسط.

مساحة المربع الأوسط = $٣٢ = {٢} \div {٦٤}$

نحسب مساحة المربع الصغير الداخلي.

مساحة المربع الصغير = $١٦ = {٤} \times {٤}$

مساحة الجزء المظلل تساوي مساحة المربع الأوسط مطروحاً منها مساحة المربع الصغير.

مساحة الجزء المظلل = $١٦ = {١٦} – {٣٢}$

الآن، نطبق المفهوم الرياضي لإيجاد مساحة الجزء غير المظلل بطرح مساحة المظلل من المساحة الكلية.

مساحة الجزء غير المظلل = $٤٨ = {١٦} – {٦٤}$

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ٢: الجمع المباشر لمساحات الأجزاء غير المظللة

المفهوم الرياضي: الجزء غير المظلل يتكون من المربع الصغير الداخلي، بالإضافة إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية تقع في زوايا المربع الكبير.

القانون: مساحة المربع = طول الضلع مضروباً في نفسه.

نحسب أولاً مساحة المربع الصغير الداخلي بناءً على معطيات ضلعه.

مساحة المربع الصغير = $١٦ = {٤} \times {٤}$

نحسب أبعاد المثلثات الأربعة الموجودة في الزوايا، حيث أن كل مثلث هو مثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين.

القانون: طول ضلعي القائمة في كل مثلث زاوية يساوي نصف طول ضلع المربع الكبير.

نعوض لحساب طول ضلع القائمة.

طول ضلع القائمة = $٤ = {٢} \div {٨}$

القانون: مساحة المثلث = القاعدة مضروبة في الارتفاع مقسومة على اثنين.

نحسب مساحة مثلث واحد من زوايا المربع بتطبيق القانون.

مساحة المثلث الواحد في الزاوية = $٨ = {٢} \div ({٤} \times {٤})$

نوجد مجموع مساحات المثلثات الأربعة مجتمعة بضرب مساحة المثلث الواحد في عددها.

مساحة المثلثات الأربعة = $٣٢ = {٤} \times {٨}$

نجمع مساحة المربع الصغير مع مجموع مساحات المثلثات الأربعة للحصول على المساحة الإجمالية للأجزاء غير المظللة.

المساحة الإجمالية غير المظللة = $٤٨ = {٣٢} + {١٦}$

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ١: حساب المساحات الكلية والقسمة

المفهوم الرياضي: لإيجاد عدد البلاط اللازم لتغطية مساحة معينة، نقوم بحساب المساحة الكلية للمنطقة المراد تبليطها ومساحة البلاطة الواحدة، ثم نقسم المساحة الكلية على مساحة البلاطة.

قانون مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض.

مساحة الغرفة المستطيلة = $٦ = {٣} \times {٢}$ متر مربع.

قانون مساحة المربع = طول الضلع مرفوعاً للقوة الثانية.

نحول الكسر العشري لطول ضلع البلاطة إلى كسر اعتيادي لتسهيل العمليات الحسابية: $٠،٢٥$ يعادل $\dfrac{١}{٤}$.

مساحة البلاطة المربعة = $\dfrac{١}{١٦} = {}^{٢}(\dfrac{١}{٤})$ متر مربع.

قانون عدد البلاط = مساحة الغرفة مقسومة على مساحة البلاطة الواحدة.

التعويض الجبري لعدد البلاط = $٩٦ = {\dfrac{١}{١٦}} \div {٦}$.

نستنتج من العملية السابقة أن القيمة الأولى تساوي $٩٦$.

القيمة الثانية المعطاة في السؤال تساوي $٨٤$.

بمقارنة القيمتين رياضيًا، يتضح أن العدد $٩٦$ أكبر من العدد $٨٤$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: حساب عدد البلاط في كل بُعد هندسي بشكل مستقل

المفهوم الرياضي: يمكننا تحديد عدد قطع البلاط التي يمكن رصّها على طول الغرفة، وعدد القطع التي تغطي عرضها بشكل مستقل، ثم نضرب العددين لمعرفة الإجمالي.

طول ضلع البلاطة يساوي $٠،٢٥$ متر، وهو رياضياً يعادل الكسر $\dfrac{١}{٤}$.

قانون عدد البلاط في الطول = طول الغرفة مقسوماً على طول ضلع البلاطة.

عدد البلاط في بُعد الطول = $١٢ = {\dfrac{١}{٤}} \div {٣}$.

قانون عدد البلاط في العرض = عرض الغرفة مقسوماً على طول ضلع البلاطة.

عدد البلاط في بُعد العرض = $٨ = {\dfrac{١}{٤}} \div {٢}$.

قانون الإجمالي = عدد البلاط في الطول مضروباً في عدد البلاط في العرض.

إجمالي عدد البلاط المطلوب = $٩٦ = {٨} \times {١٢}$.

القيمة الأولى تعادل رياضياً $٩٦$.

القيمة الثانية تعادل رياضياً $٨٤$.

نستنتج بشكل قاطع أن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: الحساب المباشر باستخدام قانون مساحة المثلث

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث تساوي نصف طول قاعدته مضروباً في ارتفاعه.

بالنظر إلى الشكل الهندسي، نلاحظ أن قاعدة المثلث تنطبق تماماً على طول المستطيل السفلي.

بناءً على المعطيات، طول قاعدة المثلث يساوي $١٢$

كما نلاحظ أن رأس المثلث يلامس الضلع العلوي المقابل للمستطيل، مما يثبت أن ارتفاع المثلث يطابق تماماً عرض المستطيل.

بناءً على المعطيات، ارتفاع المثلث يساوي $٣$

نقوم الآن بالتعويض المباشر في قانون مساحة المثلث بضرب نصف القاعدة في الارتفاع.

نصيغ العملية الرياضية كالتالي:

$١٨ = {٣} \times {١٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي من خصائص الأشكال الهندسية المشتركة

المفهوم الرياضي: أي مثلث يُرسم داخل مستطيل بحيث يشترك معه في قاعدة واحدة ويقع رأسه على الضلع المقابل والموازي، تكون مساحته مساوية لنصف مساحة هذا المستطيل بالضبط.

نبدأ أولاً بحساب مساحة المستطيل الكلية بضرب طوله في عرضه.

نصيغ عملية الضرب للأبعاد المتاحة:

$٣٦ = {٣} \times {١٢}$

مساحة المستطيل الإجمالية تساوي $٣٦$

بما أن مساحة المثلث تمثل النصف تماماً، نقوم بقسمة مساحة المستطيل الكلية على العدد $٢$

نكتب عملية القسمة لاستخراج الناتج:

$١٨ = {٢} \div {٣٦}$

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل البسيط تساوي حاصل ضرب الطول في العرض، وتُحسب المساحة للأجزاء المستهدفة بشكل مباشر إذا عُلمت أبعادها الصافية.

نستخرج الأبعاد الصافية للمستطيل غير المظلل بناءً على المعطيات الهندسية المرافقة للمسألة.

طول المستطيل الداخلي غير المظلل تم قياسه وتحديده بـ $٨$ وحدات.

عرض المستطيل الداخلي غير المظلل تم قياسه وتحديده بـ $٤$ وحدات.

نكتب قانون مساحة المستطيل المعياري: المساحة = الطول مضروباً في العرض.

نعوض بالقيم العددية المستخرجة للأبعاد في القانون الرياضي: المساحة = $٣٢ = {٤} \times {٨}$.

نستنتج رياضياً أن مساحة الجزء غير المظلل بالكامل تبلغ $٣٢$ وحدة مربعة.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق مبدأ المساحة المكملة والكتل المستقلة هندسياً لاستنتاج مساحة المنطقة المستهدفة ضمن الإطار الكلي للشكل المتداخل.

نحدد الإطار الكلي للمنطقة المستهدفة (الغير مظللة) ككتلة مستطيلة واحدة ومستقلة تماماً عن الزوايا المظللة.

طول كتلة الجزء غير المظلل المستقلة تم حسابه رياضياً بـ $٨$ وحدات أفقية.

عرض كتلة الجزء غير المظلل المستقلة تم حسابه رياضياً بـ $٤$ وحدات عمودية.

بما أن الكتلة غير المظللة تشكل مستطيلاً منتظماً، نطبق قانون مساحة المستطيل على هذه المساحة المكملة للشكل الخارجي.

نكتب قانون المساحة ونعوض فيه: مساحة المنطقة المكملة غير المظللة = $٣٢ = {٤} \times {٨}$.

نجد أن ناتج الضرب يتوافق حسابياً ومنطقياً مع الخيار الصحيح المتوفر في الخيارات المعطاة دون الحاجة لطرح مساحات فرعية.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مبدأ حفظ المساحات عند إعادة التشكيل الهندسي للأشكال المتطابقة.

ينص المبدأ الرياضي على أن المساحة الإجمالية لعدة أشكال هندسية تبقى ثابتة ولا تتغير عند تجميعها أو إعادة ترتيبها لتكوين شكل جديد.

المعطى في السؤال يؤكد أن المساحة الكلية للمربعات الثمانية مجتمعة تساوي $٢٠٠$ سم${}^{٢}$.

عندما تُوضع هذه المربعات متلاصقة بجوار بعضها لتكوين مستطيل، فإن المستطيل الناتج يتألف كلياً من هذه المربعات فقط كأجزاء مكملة لبعضها البعض.

بناءً على هذا المفهوم القاطع، لا يوجد أي فقدان أو زيادة في المساحة الإجمالية.

لذلك، المساحة الكلية للمستطيل الناتج هي نفس المساحة الكلية للمربعات المكونة له.

قيمة المساحة الثابتة هي $٢٠٠$ سم${}^{٢}$.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التقسيم الجبري للمساحة الكلية على الأجزاء ثم إعادة تجميعها كلياً.

نحسب أولاً مساحة المربع الواحد من خلال تقسيم المساحة الكلية على عدد المربعات.

مساحة المربع الواحد تساوي ناتج قسمة مائتين على ثمانية.

$٢٥ = {٨} \div {٢٠٠}$

نجد أن مساحة المربع الواحد هي $٢٥$ سم${}^{٢}$.

بما أن المستطيل يتكون من التصاق هذه المربعات الثمانية، نحسب مساحته بضرب مساحة المربع الواحد في العدد الكلي.

مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب خمسة وعشرين في ثمانية.

$٢٠٠ = {٨} \times {٢٥}$

الناتج النهائي يحافظ على القيمة الأصلية وهي $٢٠٠$ سم${}^{٢}$.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ١: الصياغة الجبرية للمعادلة وحلها

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى مساواة جبرية دقيقة بين قانوني مساحة المربع ومحيطه، ثم حل المعادلة الناتجة لاستخراج المطلوب.

نفرض أن طول ضلع المربع المجهول هو المتغير الجبري س.

نكتب قانون مساحة المربع جبرياً: المساحة = ${}^{٢}س$.

نكتب قانون محيط المربع جبرياً: المحيط = $س٤$.

نترجم شرط السؤال الذي ينص صراحة على أن المساحة تساوي ضعف المحيط من الناحية العددية.

نصيغ المعادلة الجبرية بضرب المحيط في اثنين: ${}^{٢}س = {س٤} \times {٢}$.

نبسط الطرف الأيسر من المعادلة بضرب المعاملات: ${}^{٢}س = س٨$.

نقسم طرفي المعادلة على المتغير س لتبسيط الأسس واستخراج طول الضلع المجرد.

ينتج لدينا بعد القسمة أن طول ضلع المربع هو: $٨ = س$.

يجب الانتباه إلى أن المطلوب في السؤال هو إيجاد محيط المربع وليس طول ضلعه.

نعوض بقيمة الضلع المستخرجة في قانون المحيط: المحيط = $س٤$.

نكتب عملية الضرب رياضياً للتعويض: $٣٢ = {٤} \times {٨}$.

إذن، محيط المربع يحقق الشرط ويساوي اثنين وثلاثين.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ٢: التجربة العكسية للخيارات المتاحة

المفهوم الرياضي: استنتاج طول الضلع من خيارات المحيط المعطاة عبر القسمة، ثم التحقق من شرط تطابق المساحة مع ضعف المحيط.

نختبر الخيار الأول، بافتراض أن محيط المربع يساوي عشرين.

نقسم المحيط المفترض على أربعة لإيجاد طول الضلع: $٥ = {٤} \div {٢٠}$.

نحسب مساحة هذا المربع بتربيع الضلع: $٢٥ = {٥} \times {٥}$.

نحسب ضعف المحيط المفترض لغرض المقارنة: $٤٠ = {٢} \times {٢٠}$.

بما أن خمسة وعشرين لا تساوي أربعين، فإن هذا الخيار يسقط ولا يحقق شرط السؤال.

ننتقل لاختبار الخيار الأخير، بافتراض أن المحيط يساوي اثنين وثلاثين.

نقسم المحيط على أربعة لإيجاد طول الضلع: $٨ = {٤} \div {٣٢}$.

نحسب مساحة هذا المربع بتربيع الضلع الناتج: $٦٤ = {٨} \times {٨}$.

نحسب ضعف المحيط المفترض لغرض التحقق من الشرط: $٦٤ = {٢} \times {٣٢}$.

بما أن المساحة ساوت ضعف المحيط عددياً بشكل تام، فإن هذا الخيار هو الصحيح.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ١: التحليل الهندسي لأبعاد الشكل الجديد

المفهوم الرياضي: إيجاد طول ضلع المربع الأساسي من خلال مساحته، ثم تطبيق النقصان المذكور على أحد أبعاده لتحديد أبعاد المستطيل الناتج واستنتاج طوله.

نكتب قانون مساحة المربع: المساحة = ${}^{٢}س$.

نعوض بقيمة المساحة المعطاة في السؤال داخل القانون: $٦٤ = {}^{٢}س$.

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من الأس وإيجاد طول الضلع الأساسي للمربع.

نكتب عملية الجذر رياضياً مع العزل الهيكلي: $٨ = {\sqrt{٦٤}}$.

إذن، أبعاد المربع الأصلية المتطابقة هي ثمانية للطول وثمانية للعرض.

ينص السؤال صراحة على أن أحد الأبعاد نقص بمقدار اثنين.

نطرح مقدار النقص من طول الضلع مع الحفاظ على الترتيب السليم لعملية الطرح: $٦ = {٢} – {٨}$.

أصبحت أبعاد الشكل الهندسي الجديد غير متطابقة وهي ثمانية وستة، مما يجعله مستطيلاً.

في علم الهندسة، يُطلق مصطلح “”الطول”” دائماً على الضلع الأكبر مسافة في المستطيل، بينما يُطلق “”العرض”” على الضلع الأصغر.

بما أن الضلع الذي لم يتغير طوله بقي ثمانية، والضلع الذي تعرض للنقص أصبح ستة.

فإن البعد الأكبر يظل ثمانية، وهو ما يمثل طول المستطيل الجديد.

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢: الاستنتاج العكسي عبر تقييم مساحة المستطيل

المفهوم الرياضي: حساب الأبعاد الجديدة للشكل، ثم استخدام المساحة الكلية للتأكد من أن الضلع الأطول يحافظ على خصائصه الهندسية كطول للمستطيل.

علمنا من معطيات السؤال أن مساحة المربع تساوي أربعة وستين، ما يفرض رياضياً أن طول كل ضلع من أضلاعه هو ثمانية.

عندما ينقص أحد الأضلاع بمقدار اثنين، فإنه ينكمش ويتحول إلى البعد الأصغر للشكل الجديد.

نحسب قيمة البعد الأصغر عبر عملية الطرح: $٦ = {٢} – {٨}$.

الضلع الآخر المتعامد عليه لم يتأثر بأي تغيير وبقي ثابتاً عند القيمة ثمانية.

تصبح المساحة الجديدة للمستطيل هي حاصل ضرب هذين البعدين المختلفين.

نكتب عملية ضرب الأبعاد رياضياً: $٤٨ = {٦} \times {٨}$.

في أي مستطيل تبلغ مساحته ثمانية وأربعين وأبعاده ثمانية وستة، يكون البعد الأطول هو المعبر عن مصطلح الطول.

وعليه، يبقى الطول متمثلاً في البعد الأكبر وهو ثمانية دون تغيير جوهري في مسماه الهندسي.

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع.

قانون مساحة المثلث = $ع \times ق \times \dfrac{١}{٢}$

نبدأ بحساب القيمة الأولى وهي مساحة المثلث المظلل داخل المربع.

نلاحظ من المعطيات أن طول ضلع المربع يساوي $٦$.

قاعدة المثلث تنطبق بالكامل على ضلع المربع السفلي، إذن طول القاعدة يساوي $٦$.

ارتفاع المثلث يوازي ضلع المربع الجانبي وينطبق عليه تماماً، إذن الارتفاع يساوي $٦$.

نعوض في قانون المساحة لحساب مساحة المثلث الأول.

مساحة المثلث الأول = ${١٨} = {٦} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نستنتج أن القيمة الأولى تساوي $١٨$.

ننتقل الآن لحساب القيمة الثانية وهي مساحة المثلث المظلل داخل المستطيل.

نلاحظ من المعطيات أن أبعاد المستطيل هي $٤$ و $٩$.

قاعدة المثلث تنطبق بالكامل على الضلع الذي طوله $٤$، إذن طول القاعدة يساوي $٤$.

ارتفاع المثلث يوازي الضلع الذي طوله $٩$ وينطبق عليه تماماً، إذن الارتفاع يساوي $٩$.

نعوض في قانون المساحة لحساب مساحة المثلث الثاني.

مساحة المثلث الثاني = ${١٨} = {٩} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نستنتج أن القيمة الثانية تساوي $١٨$.

نقوم الآن بمقارنة القيمة الأولى مع القيمة الثانية رياضياً.

نجد أن كلا القيمتين متطابقتان وتبلغان $١٨$.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث المرسوم داخل شكل رباعي منتظم (مثل متوازي الأضلاع أو المستطيل أو المربع)، بحيث تنطبق قاعدته على أحد الأضلاع ويقع رأسه على الضلع المقابل، تساوي دائماً نصف مساحة ذلك الشكل الرباعي.

نبدأ بحساب مساحة الشكل الرباعي الأول وهو المربع.

قانون مساحة المربع = $ل \times ل$

نعوض بطول ضلع المربع المعطى وهو $٦$.

مساحة المربع = ${٣٦} = {٦} \times {٦}$

بما أن المثلث الأول مرسوم بالكامل داخل المربع وقاعدته تنطبق على ضلعه.

إذن مساحة المثلث الأول تساوي نصف مساحة المربع.

نقسم مساحة المربع على $٢$ لاستخراج القيمة الأولى.

القيمة الأولى = ${١٨} = {٢} \div {٣٦}$

ننتقل لحساب مساحة الشكل الرباعي الثاني وهو المستطيل.

قانون مساحة المستطيل = $ع \times ق$

نعوض ببعدي المستطيل المعطيين وهما $٤$ و $٩$.

مساحة المستطيل = ${٣٦} = {٩} \times {٤}$

بما أن المثلث الثاني مرسوم بالكامل داخل المستطيل وقاعدته تنطبق على ضلعه.

إذن مساحة المثلث الثاني تساوي نصف مساحة المستطيل.

نقسم مساحة المستطيل على $٢$ لاستخراج القيمة الثانية.

القيمة الثانية = ${١٨} = {٢} \div {٣٦}$

بمقارنة النواتج النهائية للمساحتين المستخرجتين.

نستنتج أن القيمتين متساويتان تماماً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: التحليل الجبري للأبعاد والمساحات.

المفهوم الرياضي: مساحة المربع تساوي طول الضلع مضروباً في نفسه، وعند تقسيم شكل هندسي إلى أقسام متطابقة، تتوزع المساحة أو الأبعاد بشكل متساوٍ.

نبدأ أولاً بإيجاد طول ضلع المربع الأصلي من خلال المساحة المعطاة.

مساحة المربع الكلية تساوي $٦٤$ وحدة مربعة.

طول ضلع المربع يساوي الجذر التربيعي لمساحته.

$٨ = {\sqrt{٦٤}}$

بما أن المربع قُسّم إلى $٤$ مستطيلات متطابقة بكامل امتداد الضلع، فإن أحد أبعاد المستطيل سيشترك مع طول ضلع المربع.

طول المستطيل سيبقى ثابتاً ومساوياً لطول ضلع المربع.

عرض المستطيل سيساوي طول ضلع المربع مقسوماً على $٤$ أقسام.

$٢ = {٤} \div {٨}$

بما أن السؤال يستفسر عن طول المستطيل، فالطول يمثل البعد الأكبر للمستطيل وهو $٨$.

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢: التحليل عبر المساحات الجزئية.

المفهوم الرياضي: مساحة الجزء الواحد من شكل مقسم تساوي المساحة الكلية مقسومة على عدد الأجزاء المتطابقة.

نحسب مساحة المستطيل الواحد بقسمة المساحة الكلية للمربع على $٤$.

$١٦ = {٤} \div {٦٤}$

نعلم مسبقاً أن طول ضلع المربع يبلغ $٨$ لأن مساحته الكلية $٦٤$.

$٨ = {\sqrt{٦٤}}$

المستطيلات تمتد على طول المربع، ليكون البعد الأكبر المشترك للمستطيل هو $٨$.

للتأكد من المنطق الرياضي، نقسم مساحة المستطيل الواحد على بعده المعروف لإيجاد البعد الآخر.

$٢ = {٨} \div {١٦}$

أبعاد المستطيل الواحد هي $٨$ و $٢$، والمطلوب هو الطول.

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١: التعويض بالقيم العددية واستخدام ثلاثيات فيثاغورس

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض، ومساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره.

نبدأ بتحليل القيمة الأولى والتي تمثل مساحة المستطيل.

بما أن طول قطر المستطيل يساوي $٥$، يمكننا الاستعانة بأشهر مثلثات فيثاغورس القائمة لإيجاد أطوال أضلاعه.

أضلاع المستطيل ستكون $٣$ و $٤$، لأن الوتر في المثلث القائم المشكل من القطر يساوي $٥$.

نكتب قانون مساحة المستطيل: المساحة = الطول مضروباً في العرض.

نعوض بقيم الأضلاع في القانون لإيجاد المساحة.

$١٢ = {٤} \times {٣}$

إذن، القيمة الأولى تساوي $١٢$.

ننتقل الآن لتحليل القيمة الثانية والتي تمثل مساحة المربع.

نكتب قانون مساحة المربع بمعلومية طول قطره: المساحة = مربع القطر مقسوماً على $٢$.

نحسب أولاً مربع طول القطر باستخدام الأس الاستباقي المعزول.

$٢٥ = {}^{٢}٥$

نعوض في قانون المساحة بقسمة مربع القطر على $٢$.

$١٢،٥ = \dfrac{٢٥}{٢}$

إذن، القيمة الثانية تساوي $١٢،٥$.

نقوم الآن بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية رياضياً.

نجد أن العدد $١٢،٥$ أكبر من العدد $١٢$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: الاستنتاج الهندسي ونظرية القيم القصوى للمساحات

المفهوم الرياضي: عند ثبات طول القطر لأي شكل رباعي الزوايا، فإن الشكل المنتظم (المربع) يحمل دائماً المساحة الأكبر مقارنة بالشكل غير المنتظم (المستطيل).

نبدأ بتحليل المعطيات الهندسية الواردة في نص السؤال.

نلاحظ أن طول القطر ثابت في كلا الشكلين وقيمته تساوي $٥$.

القيمة الأولى تمثل مساحة مستطيل، والمستطيل يتميز بأن أطوال أضلاعه مختلفة حيث أن الطول لا يساوي العرض.

القيمة الثانية تمثل مساحة مربع، والمربع هو حالة هندسية منتظمة تتطابق فيها جميع أطوال الأضلاع.

تنص القاعدة الهندسية للقيم القصوى على أنه كلما اقتربت أطوال الأضلاع من التساوي والتطابق عند ثبات القطر، زادت المساحة الداخلية للشكل.

بناءً على هذه القاعدة، وبما أن المربع هو الشكل الرباعي الأكثر انتظاماً، فإن مساحته ستكون دائماً هي القيمة العظمى الممكنة.

لذلك، وبدون الحاجة لإجراء أي تعويضات أو عمليات حسابية، نستنتج حتمياً أن مساحة المربع تتفوق دائماً على مساحة أي مستطيل يشترك معه في نفس طول القطر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية لاستنتاج الأضلاع المجهولة.

الشكل المركب يحتوي على مثلث قائم الزاوية ووتره يساوي $٥$ وأحد ضلعي القائمة يساوي $٤$.

الضلع الرأسي للمثلث يمثل في نفس الوقت طول ضلع المربع المطلوب حساب محيطه.

نطبق نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة.

نفرض أن طول الضلع الرأسي هو المتغير س.

${}^{٢}(٥) = {}^{٢}س + {}^{٢}(٤)$

نقوم بتربيع الأعداد.

$٢٥ = {}^{٢}س + {١٦}$

نطرح العدد ستة عشر من الطرفين لعزل المتغير.

${١٦} – {٢٥} = {}^{٢}س$

$٩ = {}^{٢}س$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة س.

${\sqrt{٩}} = س$

$٣ = س$

إذاً طول ضلع المربع يساوي $٣$ سم.

لحساب المحيط نضرب طول الضلع في العدد أربعة.

المحيط يساوي $١٢ = {٤} \times {٣}$

والإجابة هي $١٢$ سم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة للاستنتاج المباشر.

من المعارف الرياضية الأساسية أن الأعداد ثلاثة وأربعة وخمسة تشكل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية.

بما أن الوتر في الشكل هو $٥$ والضلع الأفقي المعلوم هو $٤$، فإن الضلع الرأسي المجهول يجب أن يكون $٣$ بالضرورة.

هذا الضلع الرأسي هو طول ضلع المربع ج د هـ و.

بذلك نكون قد استنتجنا أن طول ضلع المربع هو $٣$ سم.

محيط المربع يعتمد على ضرب الضلع في أربعة.

$١٢ = {٤} \times {٣}$

والإجابة هي $١٢$ سم

التكنيك الأول

المفهوم الرياضي: استخراج طول ضلع المربع بقسمة المحيط على عدد أضلاع المربع الأربعة، ثم حساب مساحة المربع بتربيع طول الضلع المستخرج.

الخطوة الأولى: كتابة العلاقة الرياضية لمحيط المربع: المحيط $ {٤} \times \text{ل} =$.

الخطوة الثانية: استنتاج طول الضلع بقسمة المحيط الكلي (${٢٠}$) على عدد الأضلاع (${٤}$).

الخطوة الثالثة: صياغة المعادلة الوسيطة للقسمة باتباع اتجاه القراءة السليم: ${٢٠} \div {٤} = {٥}$.

الخطوة الرابعة: إذن طول ضلع المربع يساوي القيمة ${٥}$ م.

الخطوة الخامسة: حساب مساحة المربع باستخدام القانون الجبري: المساحة $ {}^{٢}\text{ل}=$.

الخطوة السادسة: التعويض بطول الضلع المستخرج: ${}^{٢}({٥}) = {٢٥}$.

الخطوة السابعة: مقارنة مساحة المربع الناتجة (${٢٥}$ م ${}^{٢}$) بالقيمة الثانية المعطاة (${٢٠}$ م ${}^{٢}$).

الخطوة الثامنة: بما أن العدد ${٢٥}$ أكبر من العدد ${٢٠}$، إذن القيمة الأولى تفوق القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

التكنيك الثاني

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة خطية جبرية تمثل محيط المربع، وحل مجهول الضلع ثم إيجاد مربع الناتج لمقارنته بالمعطيات.

الخطوة الأولى: فرض أن طول ضلع المربع هو المجهول س، إذن المحيط هو ${س٤}$ ويساوي ${٢٠}$.

الخطوة الثانية: حل المعادلة الجبرية بإجراء القسمة: ${س} = {٢٠} \div {٤}$.

الخطوة الثالثة: استخراج قيمة المجهول لتصبح ${س} = {٥}$.

الخطوة الرابعة: حساب مساحة المربع بتربيع الضلع: ${}^{٢}س = {}^{٢}({٥}) = {٢٥}$.

الخطوة الخامسة: المقارنة بين المساحة الناتجة والبالغة ${٢٥}$ والقيمة الثانية البالغة ${٢٠}$.

الخطوة السادسة: تأكيد أن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: التحليل الهندسي والمساحات المكملة

المفهوم الرياضي: مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل إذا اشترك معه في القاعدة والارتفاع.

من خلال الفحص البصري الدقيق للشكل، نلاحظ أن الجزء المظلل عبارة عن مثلث مرسوم داخل مستطيل.

رأس المثلث المظلل يلامس الضلع العلوي للمستطيل، مما يؤكد أن ارتفاع المثلث يساوي الارتفاع الكلي للمستطيل.

لكن بالنظر إلى قاعدة المثلث، نلاحظ بوضوح أنها لا تمتد على كامل طول الضلع السفلي للمستطيل، بل هي أقصر منه وتترك فراغاً من الجانبين.

بما أن قاعدة المثلث أصغر من قاعدة المستطيل، فإن مساحة هذا المثلث ستكون حتماً أقل من نصف مساحة المستطيل الكلية.

القيمة الأولى تمثل مساحة الجزء المظلل (المثلث)، وهي تمثل أقل من النصف.

القيمة الثانية تمثل مساحة الجزء غير المظلل، وهي المساحة المكملة للمستطيل.

بما أن المساحة المظللة أخذت أقل من النصف، فإن المساحة المتبقية (غير المظللة) ستكون بالضرورة أكبر من النصف.

بمقارنة القيمتين، نستنتج أن المساحة التي تمثل أكثر من النصف هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: الافتراض الجبري للأبعاد لتسهيل المقارنة

المفهوم الرياضي: استخدام أبعاد افتراضية صحيحة للمستطيل والمثلث بحيث تعكس العلاقة البصرية لتباين طول القاعدتين.

نفترض لتسهيل الحساب أن طول قاعدة المستطيل الكلية يساوي $٦$ وأن ارتفاعه يساوي $٤$

نحسب المساحة الكلية للمستطيل بضرب الطول في الارتفاع:

$٢٤ = {٤} \times {٦}$

المساحة الكلية للمستطيل بناءً على افتراضنا تساوي $٢٤$

بما أن قاعدة المثلث أصغر من قاعدة المستطيل بصرياً، نفترض أن طول قاعدة المثلث يساوي $٤$ والارتفاع يظل مطابقاً للمستطيل أي $٤$

نحسب القيمة الأولى (مساحة المثلث المظلل) بالتعويض في قانون مساحة المثلث:

$٨ = {٤} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

القيمة الأولى تساوي العدد $٨$

نحسب القيمة الثانية (مساحة الجزء غير المظلل) عن طريق طرح مساحة المثلث من مساحة المستطيل الكلية.

المساحة الكلية هي الحد الأول، ومساحة المثلث هي الحد الثاني، ونكتب معادلة الطرح:

$١٦ = {٨} – {٢٤}$

القيمة الثانية تساوي العدد $١٦$

بمقارنة الناتج العددي للقيمة الأولى مع الناتج العددي للقيمة الثانية، نجد أن العدد $١٦$ أكبر من العدد $٨$

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد مساحة المربع الواحد من المساحة الكلية، ثم حساب طول ضلعه، يليه حصر دقيق لعدد الأضلاع الخارجية لحساب المحيط الكلي.

أولاً: نحسب مساحة المربع الواحد.

مساحة المربع الواحد تساوي المساحة الكلية للشكل مقسومة على عدد المربعات المعطى.

مساحة المربع الواحد تساوي $٢٥ = {\dfrac{٢٠٠}{٨}}$ وحدة مربعة.

ثانياً: نحسب طول ضلع المربع الواحد.

طول الضلع يساوي الجذر التربيعي لمساحة المربع المستنتجة.

طول الضلع يساوي ${\sqrt{٢٥}}$.

إذن، طول ضلع المربع الصغير الواحد يساوي $٥$ وحدات.

ثالثاً: نحسب محيط الشكل الكلي.

المحيط هو الإطار الخارجي فقط، ويمثل مجموع الحواف المعرضة للخارج والغير مشتركة مع مربعات أخرى.

بالتدقيق في الشكل، نلاحظ أنه مكون من جزأين منفصلين ظاهرياً متصلين من زاوية واحدة فقط، وكل جزء عبارة عن تكتل من أربعة مربعات متلاصقة.

نقوم بعد الأضلاع الخارجية للمربعات التي تشكل الحدود الخارجية لكامل الشكل تتبعاً من الأعلى للأسفل.

نجد بالعد أن الشكل متعرج ومحاط بعدد $١٦$ ضلعاً خارجياً.

محيط الشكل النهائي يساوي عدد الأضلاع الخارجية مضروباً في طول الضلع الواحد.

المحيط الخارجي يساوي $٨٠ = {٥} \times {١٦}$ وحدة طول.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحليل الشكل هندسياً إلى كتل مألوفة أبسط (مربعين كبيرين)، ثم حساب محيط كل كتلة وجمعهما معاً.

المساحة الكلية المعطاة هي $٢٠٠$ لعدد يبلغ $٨$ مربعات صغيرة.

مساحة المربع الصغير الواحد تساوي $٢٥ = {\dfrac{٢٠٠}{٨}}$.

طول ضلع المربع الصغير هو $٥$ وحدات بناءً على استخراج الجذر التربيعي للرقم $٢٥$.

نلاحظ من الرسم أن الثمانية مربعات تشكل فعلياً مربعين كبيرين منفصلين، كل مربع كبير متكون من شبكة مساحتها $٤$ مربعات صغيرة متلاصقة.

المربعان الكبيران متلامسان هندسياً عند زاوية واحدة قطرياً فقط، مما يعني قطعيّاً أنهما لا يشتركان في أي ضلع داخلي من شأنه أن يقلص المحيط.

بناءً على ذلك، نحسب محيط المربع الكبير الأول بشكل مستقل تماماً.

المربع الكبير يتكون من صفين وعمودين، لذا طول ضلعه الكامل يساوي طول ضلعين صغيرين، أي $١٠ = {٥} + {٥}$.

محيط المربع الكبير الأول يساوي $٤٠ = {٤} \times {١٠}$.

بما أن المربعين متطابقان ولا يتشاركان في أي حواف التماسية خطية، فإن محيط المربع الكبير الثاني يساوي أيضاً $٤٠$.

نجمع المحيطين المستقلين للحصول على المحيط الخارجي الإجمالي لكامل الشكل.

المحيط الخارجي الإجمالي يساوي $٨٠ = {٤٠} + {٤٠}$.

والإجابة هي $٨٠$