اختبار: المستطيل

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة خطية من الدرجة الأولى باستخدام قانون المحيط.

محيط أي مضلع هندسي يساوي مجموع أطوال أضلاعه الخارجية.

نجمع الأضلاع المجهولة والمعلومة كما وردت في الشكل الهندسي لنساويها بالمحيط الكلي.

$٢٩ = {١٤} + س٣$

نقوم بطرح مجموع الأضلاع المعلومة من المحيط الكلي لنقلها للطرف الآخر.

$١٥ = {١٤} – {٢٩} = س٣$

نقسم الطرفين على معامل المتغير $س$ لإيجاد قيمته المستقلة.

$٥ = {٣} \div {١٥} = س$

والإجابة هي $٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحل العكسي المنطقي باستخدام التوزيع المتساوي.

المحيط الإجمالي للشكل يمثل وحدة كاملة مقدارها $٢٩$.

نطرح قيمة الأجزاء المعلومة الثابتة من إجمالي المحيط.

$١٥ = {١٤} – {٢٩}$

المتبقي من المحيط يتوزع بالتساوي على ثلاثة أضلاع متطابقة طول كل منها يمثل المتغير $س$.

نقسم القيمة المتبقية على عدد الأضلاع المتطابقة لنجد طول الضلع الواحد.

$٥ = {٣} \div {١٥}$

وبهذا نحصل على القيمة المطابقة للمتغير.

والإجابة هي $٥$

تكنيك ١: الاستنتاج الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: المحيط يمثل طول السلك الكامل، ونصف المحيط يمثل مجموع الطول والعرض.

القانون: مجموع البعدين = المحيط مقسوماً على اثنين.

نقوم بقسمة طول السلك الكلي على اثنين.

مجموع الطول والعرض = $١٧ = {٢} \div {٣٤}$

القانون الثاني: المساحة = الطول ضرب العرض.

نبحث رياضياً عن عددين حاصل جمعهما سبعة عشر وحاصل ضربهما اثنان وخمسون.

من خلال تحليل العوامل للعدد اثنين وخمسين، نجد أن العددين هما ثلاثة عشر وأربعة.

نتحقق من الجمع: $١٧ = {٤} + {١٣}$

نتحقق من الضرب: $٥٢ = {٤} \times {١٣}$

بما أن الطول رياضياً هو الضلع الأكبر في المستطيل، فإن قيمته هي ثلاثة عشر.

والإجابة هي $١٣$

تكنيك ٢: استبعاد الخيارات واختبارها

المفهوم الرياضي: نستخدم الخيارات المعطاة لتمثيل الطول، ثم نستنتج العرض والمساحة لنتحقق من المطابقة.

نختبر الخيار الأول، بافتراض أن الطول يساوي ثلاثة عشر.

القانون: العرض = نصف المحيط مطروحاً منه الطول.

نحسب نصف المحيط أولاً.

نصف المحيط = $١٧ = {٢} \div {٣٤}$

نعوض لحساب العرض المفترض.

العرض = $٤ = {١٣} – {١٧}$

نقوم الآن بضرب الطول المفترض في العرض المستنتج للتحقق من المساحة.

المساحة المحسوبة = $٥٢ = {٤} \times {١٣}$

بما أن المساحة المحسوبة تطابق المساحة في معطيات السؤال، فالخيار صحيح.

والإجابة هي $١٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط الشكل الهندسي المركب هو مجموع أطوال أضلاعه الخارجية التي تشكل الإطار الخارجي.

نحدد أطوال الأضلاع الخارجية للشكل من المعطيات الموضحة على الرسم.

يوجد ضلعيان متقابلان يمثلان طول المستطيل وكل منهما يساوي $٥$.

قاعدة المستطيل السفلية تساوي $س$.

المثلث العلوي متطابق الضلعين، ويحمل نفس علامة التطابق الموجودة على قاعدة المستطيل، إذن طول كل ضلع من ضلعي المثلث يساوي $س$.

نجمع أطوال الأضلاع الخارجية الخمسة لتكوين معادلة المحيط.

المحيط = $س + س + س + س + ٥ + ٥$

المحيط = ${١٠} + {س٤}$

نعوض بقيمة طول السلك الكلي المعطاة في السؤال والتي تمثل المحيط.

$٣٤ = {١٠} + {س٤}$

نطرح $١٠$ من الطرفين لعزل المتغيرات في طرف مستقل.

$٢٤ = {س٤}$

نقسم الطرفين على $٤$ للحصول على قيمة المتغير.

$٦ = س$

والإجابة هي $٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن استخدام التجريب المنهجي في الخيارات للوصول إلى القيمة التي تحقق شرط المحيط الكلي.

محيط الشكل الكلي معطى في السؤال ويساوي $٣٤$.

نستنتج من الرسم أن المحيط يتكون من ضلعي المستطيل الجانبيين، وقاعدة المستطيل، وضلعي المثلث.

طول كل من ضلعي المستطيل الجانبيين يساوي $٥$، ومجموعهما معاً يساوي $١٠$.

نطرح هذا المجموع من المحيط الكلي لمعرفة المتبقي للأضلاع الثلاثة الأخرى المتطابقة.

الباقي من المحيط = ${١٠} – {٣٤}$

الباقي من المحيط = $٢٤$

هذا الباقي يمثل مجموع أربعة أضلاع متطابقة وهي طولي المستطيل وضلعي المثلث.

نجرب الخيار الأول $٦$ كقيمة للمتغير $س$.

إذا كان $س = ٦$، فإن مجموع الأضلاع الأربعة يساوي $٢٤ = ٦ \times ٤$.

الناتج يطابق الباقي الذي حسبناه بالدقة، إذن هذا هو الخيار الصحيح.

والإجابة هي $٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل تساوي الطول مضروباً في العرض، ومحيط المستطيل يساوي ضعف مجموع الطول والعرض.

نفرض أن عرض المستطيل هو المتغير $س$.

بما أن معطيات السؤال تفيد بأن الطول يساوي ثلاثة أمثال العرض، فإن الطول يساوي $س٣$.

نصيغ معادلة المساحة بناءً على الأبعاد المفترضة.

المساحة = $س \times {س٣}$

نعوض بقيمة المساحة الكلية المعطاة في السؤال.

$٧٥ = {}^{٢}س٣$

نقسم الطرفين على المعامل $٣$ لإيجاد قيمة مربع العرض.

$٢٥ = {}^{٢}س$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة المتغير $س$.

$٥ = س$

بما أن العرض يساوي $٥$، نحسب الطول بضربه في $٣$.

$١٥ = ٥ \times ٣$

نعوض بقيمتي الطول والعرض المستنتجتين في قانون محيط المستطيل.

المحيط = $٢ \times (١٥ + ٥)$

نجمع القيم العددية بداخل الأقواس أولاً.

المحيط = $٢ \times ٢٠$

نوجد الناتج النهائي للمحيط.

$٤٠ = ٢ \times ٢٠$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: البحث الاستنتاجي عن عددين حاصل ضربهما يساوي المساحة المعطاة، ويحققان شرط النسبة المذكورة.

نبحث عن عددين يحققان شرط المساحة وهو أن يكون حاصل ضربهما $٧٥$.

من قواسم العدد $٧٥$ نجد الزوج $٥$ و $١٥$.

نتحقق من الشرط الثاني في السؤال: هل العدد $١٥$ يساوي ثلاثة أمثال العدد $٥$؟ نعم، الشرط متحقق.

إذن، نستنتج بشكل قاطع أن أبعاد المستطيل هي $٥$ للعرض و $١٥$ للطول.

نكتب قانون محيط المستطيل لحساب المطلوب النهائي.

محيط المستطيل = $٢ \times (ل + ع)$

نعوض بالأبعاد الدقيقة التي أوجدناها.

المحيط = $٢ \times (١٥ + ٥)$

نجمع القيم داخل الأقواس.

المحيط = $٢ \times ٢٠$

نحسب الناتج النهائي للعملية.

المحيط = $٤٠$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التقسيم الهندسي المباشر للمستطيل بواسطة قطريه المتقاطعين وحصر الأشكال الناتجة.

عند رسم القطرين، يتقاطعان في المركز، مما يقسم المستطيل إلى ٤ مثلثات صغيرة غير متداخلة.

عدد المثلثات الصغيرة المستقلة المحصورة بين المركز والأضلاع = $٤$.

كل قطر بمفرده يقسم المستطيل إلى مثلثين كبيرين متطابقين يشكلان نصف المستطيل.

بما أن لدينا قطرين، فإن عدد المثلثات الكبيرة المتداخلة = $٢ \times ٢ = ٤$.

المجموع الكلي لجميع المثلثات = عدد المثلثات الصغيرة + عدد المثلثات الكبيرة.

نجمع القيم الهندسية المستنتجة: المجموع $٤ + ٤ =$

الناتج النهائي للعد: المجموع $٨ =$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام منهجية العد التركيبي للمضلعات المقسمة من نقطة مركزية مشتركة.

عدد القطع الأساسية (المثلثات الصغيرة) الناتجة من تقاطع القطرين هو ٤ قطع قطاعية.

نقوم بجمع المثلثات المكونة من قطعة واحدة، ثم المثلثات المكونة من دمج قطعتين متجاورتين.

المثلثات المكونة من قطعة قطاعية واحدة = $٤$.

المثلثات المكونة من دمج قطعتين متجاورتين (والتي تشترك في ضلع واحد) = $٤$.

لا توجد هندسياً أي مثلثات مكونة من دمج ٣ قطع، وتلك المكونة من ٤ قطع تمثل المستطيل نفسه وليس مثلثاً.

الالعدد الإجمالي للحالات: المجموع $٤ + ٤ =$

الناتج النهائي: المجموع $٨ =$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

صيغة القانون: المساحة = الطول × العرض.

نعوض بالأبعاد المعطاة لحساب القيمة الأولى بدقة.

المعادلة: المساحة $٢,٢ \times ٣,٥ =$

الناتج الفعلي للمساحة: المساحة $٧,٧ =$

نقارن بين القيمة الأولى ($٧,٧$) والقيمة الثانية ($٧$).

بما أن $٧ < ٧,٧$، فإن مساحة المستطيل أكبر رياضياً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التقريب المنطقي لتسهيل المقارنة السريعة دون إجراء عملية ضرب عشرية معقدة.

نقرب البعد الثاني $٢,٢$ إلى أقرب عدد صحيح أصغر وهو $٢$ لتكوين حد أدنى للمساحة.

نحسب المساحة الافتراضية الدنيا: المساحة $٢ \times ٣,٥ =$

الناتج الافتراضي الأدنى: المساحة $٧ =$

بما أن البعد الفعلي ($٢,٢$) أكبر من البعد الافتراضي المقرب ($٢$)، فإن المساحة الفعلية حتماً أكبر من $٧$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: طول السياج يمثل المحيط الكلي للمستطيل، ومحيط المستطيل يتكون من طوليّن وعرضيّن.

الخطوة الأولى هي حساب مجموع العرضين بضرب قيمة العرض المعطى في العدد $٢$.

مجموع العرضين يُحسب كالتالي: $٢١ = {٢} \times {١٠ \dfrac{١}{٢}}$.

الخطوة الثانية هي إيجاد مجموع الطولين بطرح مجموع العرضين المحسوب من المحيط الكلي للسياج.

مجموع الطولين ينتج من عملية الطرح: $٢٤ \dfrac{٣}{٤} = {٢١} – {٤٥ \dfrac{٣}{٤}}$.

الخطوة الثالثة هي إيجاد طول الوجه الواحد الفعلي بقسمة مجموع الطولين على العدد $٢$.

للقسمة بسلاسة، نحول العدد الكسري إلى كسر غير فعلي، ويصبح مساويا للكسر $\dfrac{٩٩}{٤}$.

نقوم بقسمة الكسر على العدد $٢$، وهو ما يعادل رياضيا الضرب في النصف: $\dfrac{٩٩}{٨} = {\dfrac{١}{٢}} \times {\dfrac{٩٩}{٤}}$.

نحول الكسر غير الفعلي الناتج إلى عدد كسري في أبسط صورة ليتطابق مع الخيارات.

الناتج النهائي المبسط للعملية هو $١٢ \dfrac{٣}{٨}$.

والإجابة هي $١٢ \dfrac{٣}{٨}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الصياغة الجبرية المباشرة لقانون المحيط وحل المعادلة الخطية بمتغير واحد لاستنتاج الطول.

نصيغ قانون المحيط كمعادلة جبرية بفرض أن الطول يمثله المتغير $س$.

شكل المعادلة الأساسي: $٤٥ \dfrac{٣}{٤} = {س٢} + ({١٠ \dfrac{١}{٢}} \times {٢})$.

نحسب ضعف العرض بضربه في اثنين، ويكون الناتج الصحيح هو $٢١$.

تصبح المعادلة الجبرية بعد التعويض: $٤٥ \dfrac{٣}{٤} = {س٢} + {٢١}$.

ننقل الثابت للطرف الآخر بإشارة سالبة لنعزل متغير الطول في جهة مستقلة.

ضعف الطول يساوي ناتج الطرح: $٢٤ \dfrac{٣}{٤} = {٢١} – {٤٥ \dfrac{٣}{٤}}$.

نقسم الطرفين على المعامل $٢$ لإيجاد طول الوجه المستطيل الواحد.

الطول الفردي $س$ يساوي نصف القيمة السابقة وهو ما يعادل الكسر النهائي $١٢ \dfrac{٣}{٨}$.

والإجابة هي $١٢ \dfrac{٣}{٨}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج الطول من خلال التخمين المنطقي لعوامل المساحة ونصف المحيط.

نرمز لطول المستطيل بالمتغير $س$ ولعرضه بالمتغير $ص$.

قانون محيط المستطيل: المحيط = $({ص} + {س}) \times {٢}$

نقوم بقسمة المحيط الكلي على اثنين لنحصل على مجموع الطول والعرض.

$٢٥ = {٢} \div {٥٠} = ص + س$

قانون مساحة المستطيل: المساحة = $ص \times س$

نعوض بقيمة المساحة المعطاة.

$١٥٠ = ص \times س$

نبحث عن عددين متمايزين إذا جمعناهما كان الناتج $٢٥$ وإذا ضربناهما كان الناتج $١٥٠$.

باختبار العوامل، نجد أن العددين هما $١٥$ و $١٠$.

رياضياً وهندسياً، يمثل الرقم الأكبر طول المستطيل، بينما يمثل الرقم الأصغر عرضه.

بناءً على ذلك، نستنتج أن طول المستطيل يساوي $١٥$.

والإجابة هي $١٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة تربيعية لحل المتغيرات المجهولة هندسياً.

نرمز للطول بـ $س$ وللعرض بـ $ص$.

نستخرج معادلة العرض بدلالة الطول من قانون نصف المحيط.

$ص = س – {٢٥}$

نعوض بهذه القيمة في قانون المساحة.

$١٥٠ = (س – {٢٥}) \times س$

نوزع المتغير $س$ على القوس لإنشاء المعادلة التربيعية.

$١٥٠ = {}^{٢}س – س٢٥$

نرتب المعادلة لتصبح صفرية.

$٠ = {١٥٠} + س٢٥ – {}^{٢}س$

نقوم بتحليل المعادلة التربيعية إلى قوسين.

$٠ = ({١٥} – س) \times ({١٠} – س)$

أما أن يكون $١٠ = س$ أو أن يكون $١٥ = س$.

بما أن الطول هو البعد الأكبر، فإننا نعتمد القيمة الأكبر.

إذن طول المستطيل يساوي $١٥$.

والإجابة هي $١٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المستطيل تنص على أن كل ضلعين متقابلين متطابقان ومتساويان في الطول، ومحيط المستطيل يساوي ضعف مجموع الطول والعرض.

من المعطيات الجبرية في الشكل، نساوي طولي الضلعين المتقابلين الرأسيين لنحصل على المعادلة الأولى.

المعادلة الأولى هي: $ص = {}^{٢}س$

ثم نساوي طولي الضلعين المتقابلين الأفقيين لنحصل على المعادلة الثانية.

المعادلة الثانية هي: ${١٦} – {س٢٠} = {٨} + {ص٤}$

نقوم بتعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية لتوحيد المتغيرات.

${١٦} – {س٢٠} = {٨} + {({}^{٢}س)٤}$

نرتب المعادلة بنقل جميع الحدود إلى طرف واحد لتصبح معادلة تربيعية مساوية للصفر.

صفر = ${٢٤} + {س٢٠}- {}^{٢}س٤$

بقسمة جميع حدود المعادلة على العدد أربعة لتبسيط الحسابات.

صفر = ${٦} + {س٥}- {}^{٢}س$

نحلل المعادلة التربيعية الناتجة إلى قوسين مضروبين في بعضهما.

صفر = $({٣} – س) ({٢} – س)$

من التحليل، نستنتج أن هناك قيمتين محتملتين للمتغير س.

إما أن يكون المتغير س يساوي اثنين، أو أن يكون المتغير س يساوي ثلاثة.

نقوم الآن باختبار القيمة الأولى حيث المتغير س يساوي اثنين.

نعوض في المعادلة الأولى لنجد قيمة ص.

${٤} = {}^{٢}({٢})$

إذن طول الضلع الرأسي هو أربعة، وهو عدد زوجي.

نعوض في معادلة الضلع الأفقي لإيجاد طوله.

${٢٤} = {٨} + {({٤})٤}$

الضلع الأفقي هو أربعة وعشرون، وهو أيضاً عدد زوجي.

هذا يتناقض مع شرط السؤال الذي ينص على أن أحد البعدين يجب أن يكون فردياً، لذا نرفض هذه القيمة قطعيّاً.

نختبر الآن القيمة الثانية حيث المتغير س يساوي ثلاثة.

نعوض في المعادلة الأولى لنجد قيمة ص المستحدثة.

${٩} = {}^{٢}({٣})$

إذن طول الضلع الرأسي هو تسعة، وهو عدد فردي، مما يحقق الشرط الأساسي للسؤال.

نعوض في معادلة الضلع الأفقي لإيجاد طوله.

${٤٤} = {٨} + {({٩})٤}$

الضلع الأفقي يساوي أربعة وأربعين.

نكتب الآن قانون محيط المستطيل لإيجاد الناتج النهائي.

المحيط = ${(ع + ل)} \times {٢}$

نعوض بالطول والعرض اللذين تم استنتاجهما وتحققا من الشروط.

المحيط = ${({٤٤} + {٩})} \times {٢}$

نجمع ما بداخل الأقواس أولاً لترتيب العمليات الحسابية.

المحيط = ${٥٣} \times {٢}$

نقوم بعملية الضرب لإيجاد الناتج النهائي للمحيط.

${١٠٦} = {٥٣} \times {٢}$

والإجابة هي $١٠٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: يمكن استخدام التجريب المباشر للخيارات مع التحليل المنطقي لخصائص المستطيل للوصول إلى الحل دون الحاجة لحل المعادلات التربيعية المعقدة.

نعلم أن محيط المستطيل يمثل مجموع أضلاعه الأربعة.

ونعلم أيضاً أن كل ضلعين متقابلين متساويان، بالتالي محيط المستطيل هو عدد زوجي دائماً إذا كانت أطوال أضلاعه أعداداً صحيحة.

نأخذ الخيار المرجح من الخيارات المعطاة ونساويه بقانون المحيط، فلنجرب القيمة مائة وستة.

${١٠٦} = {(ع + ل)} \times {٢}$

نقسم الطرفين على العدد اثنين للحصول على مجموع الطول والعرض معاً.

${٥٣} = العرض + الطول

من هندسة الشكل المعطى، نلاحظ أن أحد الأبعاد هو المتغير ص.

الضلع المقابل له هو س تربيع، مما يعني أن المتغير ص يجب أن يكون مربعاً كاملاً لعدد صحيح.

المربعات الكاملة المحتملة هي: أربعة، تسعة، ستة عشر، خمسة وعشرون، وهكذا.

إذا افترضنا أن قيمة ص هي أربعة، فإن الطول الآخر سيكون تسعة وأربعين ليكون المجموع الكلي ثلاثة وخمسين.

نختبر هذه القيمة في الضلع الأفقي العلوي الممثل بالمعادلة المعطاة.

${٢٤} = {٨} + {({٤})٤}$

الناتج أربعة وعشرون لا يساوي تسعة وأربعين، إذن الافتراض الأول خاطئ.

نفترض الآن أن المربع الكامل لقيمة ص هو تسعة.

بما أن المجموع الكلي ثلاثة وخمسين، فإن الطول الآخر يجب أن يكون أربعة وأربعين.

نختبر هذه القيمة في الضلع الأفقي العلوي لنتأكد.

${٤٤} = {٨} + {({٩})٤}$

الناتج هو أربعة وأربعون، وهو مطابق للطول المطلوب في الفرضية.

نتحقق الآن من الشرط الاستثنائي للسؤال وهو أن يكون أحد البعدين فردياً.

البعد الأول هو تسعة وهو عدد فردي، والبعد الثاني هو أربعة وأربعون وهو عدد زوجي.

الشرط متحقق تماماً، وبالتالي الخيار مائة وستة هو الخيار الصحيح والمطابق للمنطق الرياضي.

والإجابة هي $١٠٦$

تكنيك ١: مساواة الأضلاع الأفقية في المضلعات المتدرجة

المفهوم الرياضي: في الأشكال الهندسية المتدرجة، مجموع أطوال القطع الأفقية العلوية يساوي طول القطعة الأفقية السفلية الكلية المقابلة لها.

طول الضلع الأفقي السفلي الكلي يساوي تسعة عشر.

مجموع القطع الأفقية العلوية المتفرقة يساوي مجموع العبارات الرياضية المعطاة.

نصيغ المعادلة بجمع المتغيرات والأعداد ومساواتها بالطول الكلي:

$١٩ = {١١} + {س٤}$

نطرح أحد عشر من الطرفين لنعزل الحد الذي يحتوي على المتغير:

$٨ = {١١} – {١٩} = س٤$

نقسم الطرفين على معامل المتغير لإيجاد قيمته النهائية:

$٢ = {٤} \div {٨} = س$

والإجابة هي $٢$

تكنيك ٢: التعويض العكسي بالخيارات المتاحة

المفهوم الرياضي: يمكن التحقق من صحة المعادلة عن طريق تجربة الخيارات المعطاة واختيار القيمة التي تجعل مجموع العبارات يساوي تسعة عشر.

نعلم أن معادلة مجموع القطع الأفقية هي أربعة سين زائد أحد عشر.

نقوم بتجربة الخيار الأول وهو العدد اثنان بالتعويض في المعادلة.

نعوض عن المتغير في المعادلة:

$١٩ = {١١} + ({٢} \times {٤})$

ننفذ عملية الضرب أولا حسب ترتيب العمليات الحسابية:

$١٩ = {١١} + {٨}$

بما أن المجموع يطابق طول الضلع الكلي تسعة عشر، فالقيمة صحيحة.

والإجابة هي $٢$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب المحيط للشكل المتدرج يعادل حساب محيط المستطيل المكملة له.

قانون المحيط = $({ع} + {ل})٢$

نستخرج مجموع الطول والعرض الكليين من الأبعاد المكتوبة على الرسم.

مجموع الأبعاد = ${١٠} + {س} + {٨} + {١٤} + {س}$

نبسط المعادلة بجمع الأعداد مع الأعداد والمتغيرات مع المتغيرات.

مجموع الأبعاد = $٣٢ + س٢$

نعوض بقيمة المحيط المعطاة في السؤال وهي $١٠٨$.

$١٠٨ = ({٣٢} + {س٢})٢$

نقسم كلا الطرفين على اثنين لتبسيط المعادلة.

$٥٤ = ٣٢ + س٢$

نطرح العدد اثنين وثلاثين من الطرفين لعزل المتغير.

$٢٢ = س٢$

نقسم الطرفين على معامل المتغير.

$١١ = س$

والإجابة هي $١١$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استراتيجية التجريب العكسي للخيارات للوصول إلى القيمة الصحيحة.

نجرب الخيار الثاني ونفترض أن قيمة المتغير $س$ تساوي $١١$.

نحسب مجموع الطول والعرض الكليين بالتعويض بقيمة المتغير.

المجموع = ${١٠} + {١١} + {٨} + {١٤} + {١١}$

نجمع الأعداد معاً.

المجموع = $٥٤$

لإيجاد المحيط الكلي، نضرب المجموع في اثنين بناءً على قاعدة المستطيل المكملة.

المحيط = ${٥٤} \times {٢}$

المحيط = $١٠٨$

هذه القيمة تتطابق تماماً مع المحيط المذكور في معطيات السؤال، مما يؤكد صحة الفرضية.

والإجابة هي $١١$

تكنيك ١: تحليل مساحة شبه المنحرف والمستطيل

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل تساوي الطول مضروبا في العرض، ومساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين مضروبا في الارتفاع.

الجزء المظلل عبارة عن شبه منحرف ارتفاعه يمثل عرض المستطيل وقاعدتيه هما أربعة واثنان.

نكتب قانون مساحة شبه المنحرف لنجد العرض الذي نرمز له بالمتغير ص:

$١٥ = {ص} \times ({٢} + {٤}) \times {\dfrac{١}{٢}}$

نجمع القاعدتين داخل الأقواس:

$١٥ = {ص} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب النصف في ستة للتبسيط:

$١٥ = {ص} \times {٣}$

نقسم الطرفين على ثلاثة لإيجاد عرض المستطيل:

$٥ = {٣} \div {١٥} = ص$

الآن، نحسب طول المستطيل الكلي بجمع جزأي القاعدة السفلية:

$٨ = {٤} + {٤}$

نحسب المساحة الكلية للمستطيل بضرب الطول في العرض:

$٤٠ = {٥} \times {٨}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢: التناسب بين مساحة الجزء المظلل والمساحة الكلية

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد المساحة الكلية من خلال معرفة نسبة مساحة الجزء المظلل إلى مساحة الشكل الكلي بناء على أطوال القواعد.

مجموع أطوال قاعدتي شبه المنحرف المظلل يساوي ستة.

$٦ = {٢} + {٤}$

مجموع أطوال قاعدتي المستطيل العلوية والسفلية يساوي ستة عشر.

$١٦ = {٨} + {٨}$

نسبة مساحة الجزء المظلل إلى مساحة المستطيل تساوي نسبة مجموع قاعدتيهما:

${\dfrac{٣}{٨}} = {\dfrac{٦}{١٦}}$

نصيغ التناسب لإيجاد المساحة الكلية التي نرمز لها بالمتغير م:

${\dfrac{٣}{٨}} = {\dfrac{١٥}{م}}$

نستخدم الضرب التبادلي لحل المعادلة:

${م٣} = {٨} \times {١٥}$

نبسط الطرف الأيمن بالضرب:

${م٣} = {١٢٠}$

نقسم على ثلاثة للحصول على المساحة الكلية:

$٤٠ = {٣} \div {١٢٠} = م$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج أبعاد المستطيل باستخدام معطيات المحيط والمساحة المباشرة.

نفرض أن طول المستطيل هو $س$ وعرضه هو $ص$.

طول السلك المطوي يمثل فعلياً المحيط الكلي للمستطيل.

نقوم بإيجاد نصف المحيط والذي يمثل مجموع الطول والعرض.

$١٥ = {٢} \div {٣٠} = ص + س$

نستخدم قانون المساحة لإيجاد حاصل ضرب المتغيرين.

$٤٤ = ص \times س$

نبحث عن عددين حاصل جمعهما $١٥$ وحاصل ضربهما $٤٤$.

باستقراء المعطيات، نجد أن العددين هما $١١$ و $٤$.

بالتالي، طول المستطيل هو $١١$ وعرضه هو $٤$.

يطلب السؤال إيجاد الفرق بين الطول والعرض، لذا نقوم بعملية الطرح.

$٧ = {٤} – {١١}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توظيف المتطابقات الجبرية للوصول للفرق المباشر بين المتغيرات.

نحدد المتغيرات الجبرية بحيث يكون $س$ هو الطول و $ص$ هو العرض.

استنتجنا سابقاً أن مجموع البعدين هو نصف المحيط.

$١٥ = ص + س$

وأن حاصل ضربهما يمثل المساحة.

$٤٤ = ص \times س$

نطبق متطابقة مربع الفرق الجبرية.

القانون: ${}^{٢}(ص – س) = {}^{٢}(ص + س) – {٤} \times ({ص} \times {س})$

نعوض بقيم المجموع والمساحة داخل القانون.

${}^{٢}(ص – س) = {}^{٢}(١٥) – {٤} \times {٤٤}$

نقوم بفك التربيع وإجراء عملية الضرب.

${}^{٢}(ص – س) = {٢٢٥} – {١٧٦}$

نجري عملية الطرح لإيجاد قيمة مربع الفرق.

$٤٩ = {١٧٦} – {٢٢٥}$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للوصول إلى القيمة النهائية.

$٧ = {\sqrt{٤٩}}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ١: الحل الجبري الخطي القائم على صياغة المتغيرات

المفهوم الرياضي: يرتكز هذا التكنيك القوي على صياغة علاقة تناسبية خطية واضحة بين الطول والعرض، وتحويلها إلى معادلة جبرية من الدرجة الأولى استناداً إلى المعطيات الثابتة وقانون المحيط الخارجي. من خلال التعويض الجبري الدقيق، يمكننا تقليص المتغيرات المجهولة إلى متغير واحد وتسهيل استخراج الأبعاد النهائية.

نفرض برمجياً ورياضياً أن طول الأرض المستطيلة يمثل المتغير الجبري الأول، وأن عرضها يمثل المتغير الجبري الثاني.

بما أن نص السؤال يقرر أن العرض يساوي ثلث الطول، يمكننا استنتاج علاقة عكسية بأن الطول يمثل ثلاثة أضعاف العرض.

$ع = {٣} \div {ل}$

${ع٣} = ل$

قانون محيط المستطيل ينص صراحة على أن المحيط الكلي يساوي ضعف مجموع الطول والعرض الهندسيين.

$٨٠ = ({ع} + {ل})٢$

نقسم طرفي المعادلة على العدد اثنين للتخلص من المعامل الخارجي والحصول على قيمة نصف المحيط.

$٤٠ = {ع} + {ل}$

نعوض بقيمة الطول بدلالة العرض في المعادلة الرياضية لتوحيد الأساسيات وتكوين معادلة بمتغير واحد فقط.

$٤٠ = {ع} + {ع٣}$

نجمع المتغيرات المتشابهة في الطرف الأيسر من المعادلة الخطية.

$٤٠ = {ع٤}$

نقسم الطرفين على المعامل أربعة لعزل المتغير وإيجاد القيمة العددية الصافية للعرض.

العرض = $١٠ = {٤} \div {٤٠} = ع$

نأخذ هذه القيمة ونضربها في ثلاثة لاستخراج القيمة العددية لطول الأرض.

الطول = $٣٠ = {٣} \times {١٠} = ل$

أخيراً، نحسب المساحة الكلية لقطعة الأرض بضرب الطول النهائي في العرض النهائي المستخرج.

المساحة = $٣٠٠ = {١٠} \times {٣٠}$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ٢: التقسيم التناسبي ونظرية حصص الأجزاء

المفهوم الرياضي: يعتمد هذا التكنيك التربوي السريع على توزيع قيمة نصف المحيط على حصص وأجزاء افتراضية تمثل النسبة المعطاة بين أبعاد المستطيل، مما يتيح حساب الأبعاد بشكل ذهني ومباشر بعيداً عن التعقيد الجبري.

بناءً على جملة أن العرض يساوي ثلث الطول، نستنتج أن النسبة الرياضية بين العرض إلى الطول هي نسبة واحد إلى ثلاثة.

مجموع الأجزاء التناسبية المكونة لنصف المحيط يساوي جمع قيمة حصة العرض مع قيمة حصص الطول.

مجموع الأجزاء = $٤ = {٣} + {١}$

نستخرج نصف محيط الأرض المستطيلة من خلال قسمة المحيط الإجمالي للسياج على اثنين.

نصف المحيط = $٤٠ = {٢} \div {٨٠}$

نقسم نصف المحيط الفعلي على مجموع الأجزاء التناسبية لمعرفة القيمة العددية التي يمثلها الجزء الواحد، والتي تمثل بطبيعتها العرض.

قيمة الجزء = $١٠ = {٤} \div {٤٠}$

إذن، عرض قطعة الأرض يساوي عشرة أمتار مربعة كحصة واحدة، ولإيجاد الطول نضرب هذه القيمة في ثلاثة أجزاء.

الطول = $٣٠ = {٣} \times {١٠}$

نطبق قانون مساحة المستطيل بضرب البعدين في بعضهما.

المساحة = $٣٠٠ = {١٠} \times {٣٠}$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: الأشكال المتدرجة المكونة من زوايا قائمة تتساوى في محيطها مع محيط المستطيل المكملة لها.

قانون محيط المستطيل = $({ع} + {ل})٢$

نحدد الأبعاد الكلية من المعطيات، حيث الطول يساوي $٩$ والعرض يساوي $٧$.

نعوض بهذه القيم في القانون.

المحيط = $({٧} + {٩})٢$

نحسب أولاً ناتج عملية الجمع داخل الأقواس.

المحيط = $({١٦})٢$

نضرب الناتج في المعامل اثنين.

المحيط = $٣٢$

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: إيجاد المحيط من خلال جمع كافة الأبعاد المحيطة بالشكل.

الخطوط الأفقية العلوية عند سحبها للأعلى تشكل خطاً مستقيماً طوله يطابق القاعدة السفلية وقيمته $٩$.

الخطوط الرأسية عند سحبها للجانب تشكل خطاً مستقيماً يطابق الارتفاع الأيسر وقيمته $٧$.

نجمع القاعدة السفلية مع الارتفاع الأيسر والأطوال المستنتجة.

المحيط = ${٧} + {٧} + {٩} + {٩}$

نقوم بجمع الأعداد للحصول على الناتج النهائي.

المحيط = $٣٢$

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص المستطيل تنص على أن كل ضلعين متقابلين متطابقان، ومساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

نستنتج من المعطيات أن عرض المستطيل هو الضلع المجاور للزاوية القائمة وقيمته تساوي $٤$.

بما أن الضلع المقابل في المستطيل يطابقه، فإن طوله يساويه، أي أن قيمته تساوي $٤$.

من المعطى الأول في السؤال نجد أن القطعتين المستقيمتين متطابقتان، وبالتالي فإن قيمة القطعة المطلوبة تساوي $٤$.

من المعطى الثاني في السؤال نجد أن طول المستطيل يساوي أربعة أضعاف القطعة المعطاة.

نقوم بالتعويض لحساب الطول الكلي: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

نطبق قانون مساحة المستطيل: المساحة تساوي الطول مضروبا في العرض.

نعوض بالقيم المستنتجة: المساحة تساوي $٦٤ = {١٦} \times {٤}$.

والإجابة هي $٦٤$ سم ${}^{٢}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب وتقسيم الأشكال الهندسية لاستنتاج الأبعاد الكلية ثم حساب المساحة.

نعلم أن المستطيل زواياه قائمة، والارتفاع الجانبي المعطى قيمته $٤$.

من خصائص التوازي والتطابق في المستطيل، الارتفاع الجانبي المقابل له يساوي $٤$ أيضاً.

بناء على معطيات التطابق، القطعة المستقيمة العلوية تساوي الارتفاع المقابل، إذاً قيمتها هي $٤$.

يمثل طول المستطيل الإجمالي القاعدة السفلية، وهي تتكون معطياتها من أربع قطع مساوية للقطعة العلوية المكتشفة.

نضرب القيمة في أربعة لإيجاد القاعدة الكلية: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

لإيجاد المساحة الكلية نضرب القاعدة في الارتفاع، أي الطول الكامل في العرض.

ينتج من عملية الضرب: المساحة تساوي $٦٤ = {١٦} \times {٤}$.

والإجابة هي $٦٤$ سم ${}^{٢}$

تكنيك ١: الحل الجبري المباشر لحساب المحيط

المفهوم الرياضي: محيط المربع يساوي طول الضلع مضروباً في أربعة.

القانون: محيط المربع = طول الضلع ضرب أربعة.

نقوم بالتعويض في القانون لحساب طول السلك المستهلك في الإحاطة.

طول السلك المستهلك = $١٠٤ = {٤} \times {٢٦}$

المفهوم الرياضي المكمل: المتبقي من السلك يساوي الطول الكلي مطروحاً منه الجزء المستهلك.

نقوم الآن بطرح السلك المستهلك من الطول الكلي.

السلك المتبقي = $٢١ = {١٠٤} – {١٢٥}$

والإجابة هي $٢١$ م

تكنيك ٢: طريقة التجزئة والطرح المتكرر

المفهوم الرياضي: إحاطة المربع تعني استهلاك سلك بطول الضلع أربع مرات متتالية.

نبدأ بالطول الكلي للسلك ونطرح منه طول الضلع الأول.

بعد الضلع الأول = $٩٩ = {٢٦} – {١٢٥}$

نطرح طول الضلع الثاني من المتبقي.

بعد الضلع الثاني = $٧٣ = {٢٦} – {٩٩}$

نطرح طول الضلع الثالث من المتبقي.

بعد الضلع الثالث = $٤٧ = {٢٦} – {٧٣}$

نطرح طول الضلع الرابع والأخير من المتبقي.

المتبقي النهائي = $٢١ = {٢٦} – {٤٧}$

والإجابة هي $٢١$ م

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي $١٨٠$ درجة، وزاوية المستطيل قائمة وتساوي $٩٠$ درجة.

من الشكل، نلاحظ وجود مثلث يحتوي على زاوية قائمة قياسها $٩٠$ درجة وزاوية أخرى قياسها $٦٠$ درجة.

نحسب الزاوية الثالثة المجهولة في هذا المثلث والتي تمثل قيمة المتغير ${س}$ عن طريق طرح مجموع الزاويتين من $١٨٠$.

نكتب معادلة الطرح: ${٣٠} = ({٦٠} + {٩٠}) – {١٨٠}$. إذن نستنتج أن ${٣٠} = {س}$.

ننتقل لحساب الزاوية ${ص}$. نعلم أن زاوية ركن المستطيل هي زاوية قائمة قياسها $٩٠$ درجة.

الزاوية ${ص}$ تمثل الزاوية المكملة للزاوية التي قياسها $٣٠$ درجة لتكوين الزاوية القائمة.

نحسب قيمة ${ص}$ بطرح $٣٠$ من $٩٠$. نكتب المعادلة: ${٦٠} = {٣٠} – {٩٠}$. إذن ${٦٠} = {ص}$.

المطلوب في السؤال هو إيجاد ناتج جمع المتغيرين ${س}$ و ${ص}$.

نعوض بالقيم التي استنتجناها في خطوة الجمع: $٩٠ = {٦٠} + {٣٠}$.

والإجابة هي $٩٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام خصائص الزوايا المكملة والمثلثات القائمة في الأشكال الرباعية المنتظمة.

بما أن الشكل مستطيل، فإن زواياه الأربع قوائم، كل منها تساوي $٩٠$ درجة.

المتغير ${س}$ يمثل زاوية في مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية $٦٠$ درجة.

الزاويتان الحادتان في المثلث القائم هما زاويتان مكملتان لبعضهما، أي مجموع قياسهما $٩٠$ درجة.

نحسب قيمة ${س}$ مباشرة عن طريق الطرح: ${٣٠} = {٦٠} – {٩٠}$.

بالمثل، المتغير ${ص}$ يشكل مع الزاوية ${س}$ زاوية قائمة مكملة في ركن المستطيل.

نستنتج أن ${ص}$ و ${س}$ زاويتان مكملتان لبعضهما ومجموعهما يجب أن يساوي $٩٠$ درجة بشكل مباشر دون الحاجة لحساب قيمة ${ص}$ منفردة.

للتحقق الدقيق، نحسب ${ص}$: ${٦٠} = {٣٠} – {٩٠}$.

نجمع القيمتين كما هو مطلوب في السؤال: $٩٠ = {٦٠} + {٣٠}$.

والإجابة هي $٩٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: محيط الشكل المتدرج بزوايا قائمة يكافئ محيط المستطيل المكملة له متجاهلاً التعرجات الداخلية.

قانون محيط المستطيل = $({ع} + {ل})٢$

نلاحظ من الرسم أن الطول الكلي للقاعدة يساوي $١٩$ والارتفاع الكلي يساوي $٨$.

نعوض بهذه القيم المباشرة في قانون المحيط.

المحيط = $({٨} + {١٩})٢$

نقوم بجمع العددين داخل الأقواس أولاً.

المحيط = $({٢٧})٢$

نضرب الناتج في العدد اثنين.

المحيط = $٥٤$

والإجابة هي $٥٤$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب المحيط الخارجي بتجميع كافة الأبعاد المحيطة والموازية.

مجموع القطع الأفقية المتدرجة المتفرقة يساوي تماماً طول القاعدة السفلية الممتدة وقيمتها $١٩$.

مجموع القطع الرأسية المتدرجة يساوي تماماً الارتفاع الكلي في الجانب الأيسر وقيمته $٨$.

لحساب المحيط الإجمالي، نجمع القاعدة السفلية والارتفاع الكلي مع الأطوال المستنتجة.

المحيط = ${٨} + {٨} + {١٩} + {١٩}$

نقوم بجمع القيم العددية معاً.

المحيط = $٥٤$

والإجابة هي $٥٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج قيمة الكسر الذي يمثل مساحة الجزء المظلل من إجمالي المساحة الكلية.

بناءً على المعطيات، المستطيل مقسم إلى ٣ مستطيلات متطابقة تماماً في المساحة.

الجزء المظلل يمثل مستطيلاً صغيراً واحداً فقط من أصل ٣ مستطيلات.

الكسر الرياضي الذي يمثل مساحة الجزء المظلل بالنسبة للشكل الكلي يُكتب هكذا: $\dfrac{١}{٣}$.

نقارن الآن بشكل مباشر بين القيمة الأولى المعطاة والقيمة الثانية المستنتجة.

القيمة الأولى مُعطاة بوضوح وهي $\dfrac{١}{٣}$، والقيمة الثانية تساوي رياضياً نفس الكسر $\dfrac{١}{٣}$.

القيمتان متطابقتان تماماً في المقدار الكسري ولا توجد أفضلية لإحداهما.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض مساحات رقمية عددية للأجزاء لتسهيل المقارنة والاستغناء عن الكسور.

نفرض جدلاً أن مساحة المستطيل الصغير الواحد تساوي وحدة مربعة واحدة مقدارها $١$.

مساحة المستطيل الكلي تساوي مجموع مساحات الأجزاء الثلاثة المتطابقة: $١ + ١ + ١ = ٣$.

مساحة الجزء المظلل بناءً على هذا الافتراض الرقمي تساوي $١$.

نسبة مساحة المظلل إلى المساحة الكلية تُكتب كقسمة الجزء على الكل: $٣ \div ١$ أو في صيغة الكسر $\dfrac{١}{٣}$.

القيمة الأولى في السؤال معطاة ككسر $\dfrac{١}{٣}$، والقيمة الثانية نتجت حسابياً $\dfrac{١}{٣}$.

بالتالي، المقداران متساويان رياضياً ومنطقياً في كافة الحالات الافتراضية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: استخدام ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة

المفهوم الرياضي: قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين قائمي الزاوية، حيث يمثل القطر الوتر.

القانون: مربع الوتر = مربع الطول زائد مربع العرض.

نعوض بقيمة القطر المعطاة في القانون لنجد مربع الوتر.

مربع الوتر = $١٠٠ = {}^{٢}١٠$

نبحث في ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة عن ضلعين يحققان هذه القيمة، والفرق بينهما اثنان.

الثلاثية الشهيرة هي ستة، وثمانية، وعشرة.

نتحقق من شرط الفرق: $٢ = {٦} – {٨}$

نتحقق من الوتر: $١٠٠ = {}^{٢}٦ + {}^{٢}٨$

إذاً، الطول يساوي ثمانية والعرض يساوي ستة.

نحسب مساحة المستطيل بضرب الطول في العرض.

القيمة الأولى = $٤٨ = {٦} \times {٨}$

نقارن بين القيمة الأولى وهي ثمانية وأربعون، والقيمة الثانية وهي أربعة وعشرون.

العدد ثمانية وأربعون أكبر رياضياً من أربعة وعشرين.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: الصياغة الجبرية وحل المعادلة التربيعية

المفهوم الرياضي: نستخدم نظرية فيثاغورس لتحويل معطيات السؤال إلى معادلة تربيعية لمتغير واحد.

نفرض أن العرض يساوي المتغير سين ($س$).

بناءً على السؤال، الطول يزيد بمقدار اثنين، إذن الطول يساوي سين زائد اثنين (${٢} + {س}$).

نطبق قانون فيثاغورس ونعوض بالقيم.

المعادلة: $١٠٠ = {}^{٢}س + {}^{٢}({٢} + {س})$

نقوم بفك القوس المربع للمتغير المركب.

الخطوة التالية: $١٠٠ = {}^{٢}س + {٤} + {س٤} + {}^{٢}س$

نجمع الحدود المتشابهة لتبسيط المعادلة.

المعادلة المبسطة: $١٠٠ = {٤} + {س٤} + {}^{٢}س٢$

ننقل المائة للطرف الأيمن ونطرحها لتصفير المعادلة.

المعادلة الصفرية: $٠ = {٩٦-} + {س٤} + {}^{٢}س٢$

نقسم جميع حدود المعادلة على اثنين للتبسيط.

بعد القسمة: $٠ = {٤٨-} + {س٢} + {}^{٢}س$

نحلل المعادلة التربيعية إلى قوسين.

التحليل: $٠ = {({٦} – {س})} \times {({٨} + {س})}$

بما أن الأطوال لا يمكن أن تكون سالبة، نأخذ القيمة الموجبة وهي ستة.

إذن العرض يساوي ستة، والطول يساوي ثمانية.

نحسب المساحة للقيمة الأولى بضرب الضلعين.

مساحة المستطيل = $٤٨ = {٦} \times {٨}$

نقارن الناتج مع القيمة الثانية المعطاة.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: محيط الأشكال المتدرجة ذات الزوايا القائمة يساوي دائماً محيط المستطيل المكملة لها.

قانون محيط المستطيل = ضعف مجموع الطول والعرض.

من الرسم، نلاحظ أن البعد الأفقي الكلي هو المتغير $س$ والبعد الرأسي الكلي هو المتغير $ص$.

نعوض في القانون الرياضي للمحيط.

المحيط = $({ص} + {س})٢$

نقوم بتوزيع عملية الضرب على الأقواس لفكها.

المحيط = $ص٢ + س٢$

والإجابة هي $ص٢ + س٢$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: محيط أي مضلع هو مجموع أطوال أضلاعه الخارجية بالكامل.

مجموع أطوال الأجزاء الأفقية العلوية يطابق تماماً طول القاعدة السفلية وهو $س$.

مجموع أطوال الأجزاء الرأسية المتدرجة يطابق تماماً الارتفاع الجانبي وهو $ص$.

نجمع جميع الأضلاع للحصول على المحيط الكلي.

المحيط = $({ص}) + ({ص}) + ({س}) + ({س})$

نجمع المتغيرات المتشابهة معاً.

المحيط = $ص٢ + س٢$

والإجابة هي $ص٢ + س٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع الطول والعرض، ومساحته تساوي الطول مضروبا في العرض.

نفرض أن الطول هو المتغير $ل$ والعرض هو المتغير $ض$.

نكتب قانون محيط المستطيل كمعادلة: المحيط الإجمالي هو $٢ \times ({ض} + {ل})$.

نعوض بالمعطيات حيث المحيط يساوي $١٠٠$ وأحد الأبعاد يساوي $٢$.

تصبح المعادلة الرياضية: $١٠٠ = {٢} \times ({٢} + {ل})$.

نقسم الطرفين على المعامل $٢$ لتبسيط المعادلة: $٥٠ = {٢} + {ل}$.

نطرح الثابت $٢$ من الطرفين لإيجاد البعد المجهول: $٤٨ = {٢} – {٥٠}$.

نطبق قانون مساحة المستطيل وهو حاصل ضرب الطول في العرض.

نعوض لحساب المساحة النهائية: المساحة تساوي $٩٦ = {٤٨} \times {٢}$.

والإجابة هي $٩٦$ م ${}^{٢}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المعطاة والتحقق من صحتها رياضيا بتطبيقها عكسيا على قانون المحيط.

نقوم بتجربة الخيار الأول وهو افتراض أن المساحة الكلية تساوي $٩٦$.

نعلم رياضيا أن الطول يساوي المساحة مقسومة على العرض المعطى.

نحسب الطول بناء على الخيار الأول: الطول يساوي $٤٨ = {٢} \div {٩٦}$.

نختبر صحة هذا الطول بتطبيق قانون المحيط بمجموع الطول والعرض مضروبا في اثنين.

نعوض في القانون بالقيم المتاحة: المحيط الكلي هو $٢ \times ({٤٨} + {٢})$.

نجمع ما بداخل الأقواس أولا بحسب أولويات العمليات: المحيط هو $٢ \times ({٥٠})$.

المحيط الناتج من العملية: $١٠٠ = {٥٠} \times {٢}$.

بما أن الناتج يطابق المحيط المعطى في السؤال الأصلي، فإن الخيار صحيح قطعا.

والإجابة هي $٩٦$ م ${}^{٢}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المساحة الكلية لشكل منتظم مطروحاً منها مساحة الفراغ الداخلي (النافذة) تعطي مساحة الجزء المتبقي المطلوب دهانه، ومساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

نبدأ أولاً بحساب المساحة الكلية للباب المستطيل قبل اقتطاع مساحة النافذة منه.

نكتب قانون مساحة المستطيل بشكل نظري.

مساحة الباب = العرض $\times$ الطول

نعوض بأبعاد الباب الجبرية المعطاة في السؤال، وهما المتغيران س و ص.

مساحة الباب = $ص \times س$

بالتالي، مساحة الباب جبرياً بصيغة مبسطة تساوي ص س.

ننتقل الآن لحساب مساحة النافذة المستطيلة الموجودة داخل الباب.

نعوض بأبعاد النافذة المعطاة في السؤال وهي كسور اعتيادية.

مساحة النافذة = ${\dfrac{٣}{٤}} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نضرب البسط في البسط، والمقام في المقام للوصول للناتج.

مساحة النافذة = $\dfrac{٣ \times ١}{٤ \times ٢}$

نقوم بإجراء عملية الضرب البسيطة في البسط والمقام.

مساحة النافذة = $\dfrac{٣}{٨}$

الخطوة الأخيرة هي حساب مساحة الجزء المطلوب دهانه عن طريق طرح مساحة النافذة من مساحة الباب الكلية.

مساحة الجزء المطلوب دهانه = مساحة الباب – مساحة النافذة

نعوض بالقيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة مع الحفاظ على الترتيب السليم لعملية الطرح.

مساحة الجزء المطلوب دهانه = ${\dfrac{٣}{٨}} – {ص س}$

والإجابة هي $\dfrac{٣}{٨} – ص س$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض المباشر بقيم افتراضية للمتغيرات الجبرية لتسهيل الحسابات وتجنب التعامل مع الرموز، ثم مطابقة الناتج مع الخيارات المعطاة.

نفترض قيماً عددية سهلة ومناسبة لمتغيرات أبعاد الباب لتسهيل الحساب ذهنياً.

لنفترض أن عرض الباب س يساوي العدد أربعة.

ولنفترض أن طول الباب ص يساوي العدد اثنين.

نحسب مساحة الباب الكلية المادية بضرب الطول الافتراضي في العرض الافتراضي.

${٨} = {٢} \times {٤}$

مساحة النافذة ثابتة ومعطاة في السؤال، نقوم بحسابها بضرب أبعادها الكسرية.

مساحة النافذة = ${\dfrac{٣}{٤}} \times {\dfrac{١}{٢}}$

مساحة النافذة الكلية تساوي ثلاثة أثمان.

مساحة النافذة = $\dfrac{٣}{٨}$

نحسب مساحة الجزء المطلوب دهانه فعلياً بطرح مساحة النافذة الثابتة من المساحة الكلية الافتراضية للباب.

مساحة الجزء المطلوب دهانه = ${\dfrac{٣}{٨}} – {٨}$

نوحد المقامات لإتمام عملية الطرح بين العدد الصحيح والكسر.

مساحة الجزء المطلوب دهانه = ${\dfrac{٣}{٨}} – {\dfrac{٦٤}{٨}}$

نطرح البسوط مع تثبيت المقام الموحد.

${٦١} = {٣} – {٦٤}$

مساحة الجزء المطلوب دهانه الافتراضية = $\dfrac{٦١}{٨}$

نذهب الآن إلى الخيارات الجبرية ونعوض عن المتغير س بأربعة وعن المتغير ص باثنين لنرى أي خيار يعطي نفس الناتج العددي.

نجرب الخيار المستهدف الذي ينص جبرياً على ص س ناقص ثلاثة أثمان.

الخيار = ${\dfrac{٣}{٨}} – {({٢})({٤})}$

نضرب الأعداد داخل الأقواس لتصفية المعادلة.

الخيار = ${\dfrac{٣}{٨}} – {٨}$

نوحد المقامات مرة أخرى تماماً كما فعلنا في الخطوات السابقة.

الخيار = ${\dfrac{٣}{٨}} – {\dfrac{٦٤}{٨}}$

الناتج هو واحد وستون مقسوماً على ثمانية، وهو مطابق تماماً للمساحة التي حسبناها بالافتراض.

والإجابة هي $\dfrac{٣}{٨} – ص س$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المسافة المقطوعة لدورة واحدة حول المستطيل تعادل محيطه تماماً.

قانون المحيط المباشر: المحيط = (الطول + العرض) × ٢.

نعوض بالأبعاد المعطاة: المحيط $({١٠} + {٢٠}) \times ٢ =$

نجمع ما بداخل القوسين كأولوية حسابية: المحيط $٣٠ \times ٢ =$

الناتج الرياضي للمحيط الواحد: المحيط $٦٠ =$

بما أن الشخص مشى على المحيط مرتين، نضرب الناتج في العدد ٢.

المسافة الإجمالية: المسافة $٢ \times ٦٠ =$

الناتج النهائي للمسافة: المسافة $١٢٠ =$

والإجابة هي $١٢٠$ م

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: جمع أطوال الأضلاع لكل دورة بشكل متسلسل ومستقل.

الدورة الأولى تتكون من المرور على الأضلاع الأربعة، فنجمعها: الدورة $١٠ + ٢٠ + ١٠ + ٢٠ =$

الناتج الحسابي للدورة الأولى هو $٦٠$.

الدورة الثانية مطابقة تماماً للدورة الأولى وتساوي $٦٠$.

نجمع مسافة الدورتين معاً: المسافة $٦٠ + ٦٠ =$

الناتج النهائي المتراكم: المسافة $١٢٠ =$

والإجابة هي $١٢٠$ م

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المساحة الكلية للمستطيل عبر تطبيق القوانين الهندسية المباشرة للأبعاد.

في البداية، نعتمد على استخراج الأبعاد المباشرة من الشكل الهندسي المعطى لحساب المساحة المطلوبة.

من خلال الفحص البصري الدقيق، نستنتج أن طول المستطيل يتمثل في العدد $٥$ بناءً على المعطيات.

كما نلاحظ أن عرض المستطيل يتمثل في العدد $٢$ وفقاً لنفس المعطيات الهندسية.

القانون الرياضي الثابت لحساب مساحة المستطيل ينص على ضرب الطول الكلي في العرض الكلي.

نكتب القانون ذهنياً ونستعد للتعويض بالقيم الرقمية التي استخرجناها للتو.

نقوم بإدراج طول المستطيل وعرضه في عملية ضرب مباشرة لاستنتاج المساحة.

$١٠ = {٢} \times {٥}$

بهذا الحساب الرياضي البسيط والمباشر، نكون قد أوجدنا المساحة الإجمالية للمستطيل.

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجزئة المساحة واستخدام الخصائص التبادلية للضرب للتحقق من صحة الناتج.

نبدأ بتعريف المساحة على أنها مقدار الحيز الذي يشغله الشكل ثنائي الأبعاد، ويمكن حسابها بطرق متعددة.

بناءً على الأبعاد المستخرجة، نعتبر أن لدينا قاعدة طولها $٥$ وارتفاعاً مقداره $٢$.

يمكننا تخيل المستطيل مقسماً إلى صفوف وأعمدة تمثل الوحدات المربعة الصغيرة.

لدينا صفان، وكل صف يحتوي على خمس وحدات مربعة، مما يعني أننا سنجمع العدد $٥$ مرتين متتاليتين.

$١٠ = {٥} + {٥}$

بديلاً عن ذلك، يمكننا تطبيق مبدأ الضرب كجمع متكرر، وضرب القاعدة في الارتفاع.

وفقاً للخاصية الإبدالية في عملية الضرب، فإن عكس أماكن الأرقام سيعطينا نفس الناتج النهائي.

$١٠ = {٥} \times {٢}$

تؤكد هذه العملية الحسابية أن الحيز الكلي للمستطيل يقدر بعشر وحدات مربعة.

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحليل المقدار الجبري ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية إلى عوامله الأولية لإيجاد الطول.

نعلم أن مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

نكتب المعادلة الأساسية: الطول يساوي المساحة مقسومة على العرض.

المساحة المعطاة هي مقدار جبري ثلاثي الحدود: ${١٥} + {س١١} + {{}^{٢}س٢}$.

لتحليل هذا المقدار، نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل ${{}^{٢}س}$ في الحد الثابت، أي $٣٠ = {١٥} \times {٢}$.

ويجب أن يكون مجموع هذين العددين مساوياً لمعامل الحد الأوسط، أي $١١$.

العددان اللذان يحققان هذين الشرطين هما $٦$ و $٥$.

نعيد كتابة الحد الأوسط ${س١١}$ على صورة مجموع حدين: ${س٥} + {س٦}$.

تصبح المساحة: ${١٥} + {س٥} + {س٦} + {{}^{٢}س٢}$.

نأخذ العامل المشترك من كل حدين متجاورين. من الحدين الأول والثاني نأخذ ${س٢}$ عاملاً مشتركاً: $({٣} + {س}){س٢}$.

ومن الحدين الثالث والرابع نأخذ $٥$ عاملاً مشتركاً: $({٣} + {س})٥$.

نستخرج القوس $({٣} + {س})$ كعامل مشترك أكبر للمقدار بالكامل: $({٥} + {س٢}) \times ({٣} + {س})$.

بما أن العرض المعطى هو القوس $({٣} + {س})$، فإن الطول يمثله القوس الآخر.

إذن الطول يساوي ${٥} + {س٢}$.

والإجابة هي ${٥} + {س٢}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام القسمة المطولة للمقادير الجبرية لقسمة مساحة المستطيل على عرضه لاستنتاج الطول.

نرتب حدود المقسوم (المساحة) تنازلياً حسب أسس المتغير ${س}$ لتصبح: ${{}^{٢}س٢} + {س١١} + {١٥}$.

المقسوم عليه (العرض) مرتب تنازلياً بشكل صحيح: ${س} + {٣}$.

نقسم الحد الأول من المقسوم ${{}^{٢}س٢}$ على الحد الأول من المقسوم عليه ${س}$، ليكون الناتج هو ${س٢}$.

نضرب الناتج ${س٢}$ في المقسوم عليه بالكامل: $({٣} + {س}) \times {س٢}$ لنحصل على المقدار ${{}^{٢}س٢} + {س٦}$.

نطرح هذا الناتج من المقسوم الأصلي: $({١٥} + {س١١} + {{}^{٢}س٢}) – ({{}^{٢}س٢} + {س٦})$.

ناتج عملية الطرح يمثل الباقي الأول وهو: ${س٥} + {١٥}$.

نكرر الخطوة: نقسم الحد الأول من الباقي ${س٥}$ على الحد الأول من المقسوم عليه ${س}$، ليكون الناتج هو $٥$.

نضرب الناتج $٥$ في المقسوم عليه بالكامل: $({٣} + {س}) \times {٥}$ لنحصل على المقدار ${س٥} + {١٥}$.

نطرح المقدارين مجدداً، ونلاحظ أن الباقي هو صفر، مما يعني أن عملية القسمة انتهت بنجاح.

خارج القسمة يمثل طول المستطيل وهو ${س٢} + {٥}$. وبترتيب الحدود ليتطابق مع الخيارات المستلمة نكتبه ${٥} + {س٢}$.

والإجابة هي ${٥} + {س٢}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام القوانين الأساسية لمساحة ومحيط المستطيل وتكوين معادلة جبرية لحلها.

نصيغ قانون مساحة المستطيل كالتالي: المساحة تساوي الطول مضروباً في العرض.

نصيغ قانون محيط المستطيل كالتالي: المحيط يساوي ضعف مجموع الطول والعرض.

بما أن المساحة تساوي المحيط عددياً، نفرض أن الطول ${س}$ والعرض ${ص}$ ونكتب المعادلة: ${ص} \times {س} = ({ص} + {س})٢$.

نفك الأقواس في الطرف الأيسر لتصبح المعادلة: ${ص} \times {س} = {ص٢} + {س٢}$.

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد لتكوين معادلة صفرية: $٠ = {ص٢} – {س٢} – {ص} \times {س}$.

بإضافة $٤$ للطرفين لتسهيل التحليل واستخراج العوامل المشتركة: $٤ = ({٢} – {ص}) \times ({٢} – {س})$.

بما أن الأضلاع أعداد صحيحة، نبحث عن عددين صحيحين حاصل ضربهما يساوي $٤$.

الاحتمال الأول: العددين هما $٢$ و $٢$. ينتج عنه ${٤} = {س}$ و ${٤} = {ص}$.

نحسب المساحة للاحتمال الأول: $١٦ = {٤} \times {٤}$، ولكن الرقم $١٦$ غير موجود في الخيارات المستلمة.

الاحتمال الثاني: العددين هما $٤$ و $١$. ينتج عنه ${٦} = {س}$ و ${٣} = {ص}$.

نحسب المساحة للاحتمال الثاني: $١٨ = {٣} \times {٦}$. الرقم $١٨$ متوفر في الخيارات وهو يمثل المساحة الصحيحة.

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية التجريب المنطقي وتخمين أطوال الأضلاع للوصول إلى تطابق بين المساحة والمحيط.

نبدأ باختبار قيم صحيحة لأطوال أضلاع المستطيل وحساب المساحة والمحيط لكل حالة.

نجرب افتراض أن الطول يساوي $٦$ والعرض يساوي $٣$.

نحسب مساحة المستطيل بضرب الطول في العرض: $١٨ = {٣} \times {٦}$.

نحسب محيط المستطيل بجمع الطول والعرض ثم الضرب في اثنين: $١٨ = ({٣} + {٦}) \times {٢}$.

نلاحظ أن المساحة تساوي المحيط عددياً، وكلاهما يعطي الناتج $١٨$.

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تعتمد هذه المسألة على مبدأ الإزاحة الهندسية وتجميع المساحات المتساوية لتكوين شكل هندسي منتظم يسهل حساب مساحته، حيث أن مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

بالنظر إلى الشكل المرفق، نلاحظ أن الجزء المظلل يتكون من عدة مستطيلات صغيرة متفرقة على الشبكة.

بما أن الأعمدة في الشبكة متساوية في العرض، وكل عمود عرضه يساوي اثنين، يمكننا إجراء إزاحة تخيلية للمستطيلات المظللة.

نقوم بتحريك جميع المستطيلات المظللة أفقياً لتتجمع في عمود واحد متصل على الجهة اليسرى من الشكل الأساسي.

بعد الإزاحة والتجميع، سيتشكل لدينا مستطيل واحد كبير ومظلل بالكامل.

عرض هذا المستطيل الجديد سيساوي عرض عمود واحد فقط، وهو العدد اثنان.

طول هذا المستطيل الجديد سيساوي مجموع أطوال الصفوف الأربعة الموضحة في المخطط.

نقوم بجمع أطوال الصفوف المعطاة في الجانب الأيسر من الرسم البياني.

${٩} = {٢} + {٣} + {٢} + {٢}$

إذن، أبعاد المستطيل المظلل الجديد والمجمع هي اثنان وتسعة.

نكتب قانون مساحة المستطيل للتعويض بالأرقام الجديدة.

مساحة المستطيل = العرض $\times$ الطول

نعوض بالأبعاد التي استنتجناها في القانون مباشرة.

المساحة = ${٩} \times {٢}$

نقوم بعملية الضرب القياسية لإيجاد الناتج النهائي للمساحة.

${١٨} = {٩} \times {٢}$

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المساحة الكلية للشكل أولاً ثم حساب مساحة الأجزاء البيضاء المكملة غير المظللة، وطرحها من المساحة الكلية للحصول على مساحة الجزء المظلل المستهدف.

أولاً، نحسب العرض الكلي للشكل بجمع عروض الأعمدة الثلاثة المعطاة في الأعلى.

${٦} = {٢} + {٢} + {٢}$

ثانياً، نحسب الطول الكلي للشكل بجمع أطوال الصفوف الأربعة المعطاة في الجانب.

${٩} = {٢} + {٣} + {٢} + {٢}$

نحسب المساحة الكلية للمستطيل الكبير بضرب الطول الكلي في العرض الكلي المستنتج.

${٥٤} = {٩} \times {٦}$

الآن، سنقوم بحساب مساحة الفراغات البيضاء غير المظللة بشكل مستقل.

نلاحظ أن كل صف يحتوي على مستطيل مظلل واحد ومستطيلين أبيضين متجاورين يمثلان المساحة المكملة.

عرض المستطيلين الأبيضين معاً في كل صف هو حاصل جمع اثنين زائد اثنين.

${٤} = {٢} + {٢}$

وبما أن المستطيلات البيضاء تمتد على كامل طول الشكل، فإنها تشكل مستطيلاً كبيراً أبيضاً متصلاً.

طول هذا المستطيل الأبيض الكبير يساوي الطول الكلي للشكل وهو تسعة.

وعرض هذا المستطيل الأبيض الكبير هو أربعة بناءً على الجمع السابق.

نحسب مساحة هذا المستطيل الأبيض المكمل بضرب طوله في عرضه.

${٣٦} = {٩} \times {٤}$

أخيراً، نجد مساحة الجزء المظلل بطرح مساحة الجزء الأبيض من المساحة الكلية التي حسبناها أولاً.

مساحة الجزء المظلل = المساحة الكلية – مساحة الجزء الأبيض

${١٨} = {٣٦} – {٥٤}$

والإجابة هي $١٨$

تكنيك ١: الحل الجبري باستخدام الخصائص الهندسية للمستطيل

المفهوم الرياضي: يعتمد هذا التكنيك على الخصائص الهندسية الأساسية للمستطيل، حيث ينص قانون المستطيل على أن كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول ومتوازيان تماماً. من خلال هذه الخاصية، يمكننا تكوين نظام من المعادلات الجبرية الخطية لإيجاد قيم المتغيرات المجهولة، ومن ثم التعويض بها لحساب الأبعاد الفعلية للمستطيل وصولاً إلى استخراج المحيط الكلي.

نبدأ أولاً بمساواة الضلع الأيمن مع الضلع الأيسر للمستطيل لاستنتاج قيمة المتغير الأول بدلالة المتغير الثاني.

$ص = {س٣}$

نقوم بعد ذلك بمساواة الضلع العلوي مع الضلع السفلي لبناء المعادلة الجبرية الثانية واستكمال النظام.

${ص٢} = {٢} + {س٥}$

نطبق طريقة التعويض الجبري، حيث نعوض بقيمة المتغير المستنتج من المعادلة الأولى داخل المعادلة الثانية لتوحيد المتغيرات.

$({س٣})٢ = {٢} + {س٥}$

نقوم بفك الأقواس وضرب المعاملات لتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة.

${س٦} = {٢} + {س٥}$

نجمع المتغيرات في طرف واحد عن طريق نقل المتغير الأصغر للطرف الآخر بإشارة سالبة لحل المعادلة الخطية.

${س٥} – {س٦} = ٢$

نجري عملية الطرح لاستخراج القيمة العددية النهائية للمتغير الأول.

$٢ = س$

نأخذ هذه القيمة ونعوض بها في المعادلة الأولى لإيجاد طول الضلع الأيسر الذي يمثل العرض الفعلي للمستطيل.

العرض = $٦ = ({٢})٣ = ص$

نحسب طول الضلع العلوي الذي يمثل الطول الفعلي للمستطيل بضرب العرض في اثنين بناءً على المعطيات.

الطول = $١٢ = ({٦})٢$

نطبق قانون محيط المستطيل النهائي والذي ينص على أن المحيط يساوي ضعف حاصل جمع الطول والعرض.

$٣٦ = ({١٨})٢ = ({٦} + {١٢})٢$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ٢: التجربة والتحقق العكسي من الخيارات المتاحة

المفهوم الرياضي: يعتمد هذا التكنيك على افتراض صحة كل خيار من الخيارات المعطاة باعتباره المحيط الكلي، ثم استنتاج الأبعاد منه ومطابقتها مع المعادلات والشروط الهندسية المفروضة على الرسم للتحقق من التوافق المنطقي الخالي من التناقضات.

نفترض أن الخيار الأول هو المحيط الصحيح للمستطيل.

المحيط الكلي = $٣٦$

نستخرج نصف المحيط من خلال قسمة القيمة الكلية على اثنين، حيث أن نصف المحيط يمثل مجموع الطول والعرض معاً.

نصف المحيط = $١٨ = {٢} \div {٣٦}$

من هندسة الرسم نلاحظ أن الطول يساوي ضعف العرض، حيث الطول هو والضلع الأيسر هو المتغير المفرد.

${ص٢} = الطول$

$ص = العرض$

نجمع الطول والعرض بدلالة المتغير المفرد ونساويه بنصف المحيط.

$١٨ = {ص} + {ص٢}$

$١٨ = {ص٣}$

نقسم نصف المحيط على ثلاثة لإيجاد قيمة العرض المباشرة.

العرض = $٦ = {٣} \div {١٨} = ص$

بما أن الطول يساوي ضعف العرض، فإن الطول يساوي اثني عشر.

الطول = $١٢ = ({٦})٢$

للتحقق، نستخرج المتغير الثاني من الضلع الأيمن.

الضلع الأيمن = $٦ = {س٣}$

$٢ = {٣} \div {٦} = س$

نعوض بهذه القيمة في الضلع السفلي للتحقق من مطابقته للطول الذي استنتجناه.

الضلع السفلي = $١٢ = {٢} + {١٠} = {٢} + ({٢})٥$

بما أن الأطوال متطابقة تماماً ولا يوجد أي تعارض رياضي، فإن الفرضية صحيحة يقيناً.

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ١: تطبيق نظرية فيثاغورس

المفهوم الرياضي: في المثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين قائمي الزاوية، حيث يمثل القطر وتر المثلث.

نكتب قانون نظرية فيثاغورس باستخدام الرموز حيث ج يمثل الوتر:

${}^{٢}ج = {}^{٢}ب + {}^{٢}أ$

نعوض بقيم أبعاد المستطيل المعطاة في السؤال:

${}^{٢}ج = {}^{٢}(٨) + {}^{٢}(٦)$

نحسب مربعات الأعداد:

${}^{٢}ج = {٦٤} + {٣٦}$

نجمع القيمتين للحصول على مربع الوتر:

$١٠٠ = {٦٤} + {٣٦}$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد طول القطر:

$١٠ = {\sqrt{١٠٠}}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ٢: استخدام مضاعفات ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة

المفهوم الرياضي: توجد نسب ثابتة لأضلاع المثلث قائم الزاوية تسمى ثلاثيات فيثاغورس، وأشهرها النسبة ثلاثة إلى أربعة إلى خمسة.

نلاحظ أن أبعاد المستطيل هي مضاعفات للعددين ثلاثة وأربعة.

الضلع الأول هو ناتج ضرب ثلاثة في اثنين:

$٦ = {٢} \times {٣}$

الضلع الثاني هو ناتج ضرب أربعة في اثنين:

$٨ = {٢} \times {٤}$

بناء على ذلك، يجب أن يكون الوتر من مضاعفات العدد خمسة بالضرب في اثنين:

$١٠ = {٢} \times {٥}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجزئة المساحات واستخدام قوانين مساحة المثلث لاستنتاج الأبعاد المجهولة للمستطيل.

نبدأ أولاً بحساب مساحة المثلث الكبير الموجود في الشكل باستخدام قانون مساحة المثلث.

ينص قانون مساحة المثلث على ضرب الكسر نصف في طول القاعدة في الارتفاع.

من خلال المعطيات البصرية، نلاحظ أن قاعدة المثلث الكبير تساوي $٤$ وارتفاعه يساوي $٦$.

نقوم الآن بالتعويض في القانون لحساب مساحة هذا المثلث الكبير.

$١٢ = {٦} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$

ثانياً، ننتقل لإيجاد مساحة المثلث الصغير المتبقي ضمن المنطقة المظللة.

نعلم من معطيات السؤال أن المساحة الكلية للمنطقة المظللة تساوي $١٦$.

لإيجاد مساحة المثلث الصغير، نقوم بطرح مساحة المثلث الكبير من المساحة الكلية للمظلل.

$٤ = {١٢} – {١٦}$

ثالثاً، نستخدم مساحة المثلث الصغير التي استنتجناها للتو لإيجاد طول قاعدته المجهولة.

نفرض أن طول قاعدة المثلث الصغير يمثل المتغير الجبري $ق$.

بالنظر للشكل، ارتفاع المثلث الصغير يساوي $٢$ ومساحته كما حسبناها تساوي $٤$.

نعوض بهذه القيم في قانون مساحة المثلث مرة أخرى.

$٤ = {ق} \times {٢} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نقوم بتبسيط المعادلة بضرب الكسر نصف في العدد $٢$ ليتبقى لنا المتغير $ق$ بمفرده.

$٤ = ق$

رابعاً وأخيراً، نستخدم هذه الأبعاد لحساب مساحة المستطيل الكلية.

ينص قانون مساحة المستطيل على ضرب الطول الكلي في العرض.

عرض المستطيل ثابت ويساوي $٦$ كما هو موضح في الشكل.

أما طول المستطيل فيتكون من مجموع قاعدتي المثلثين، أي نجمع العدد $٤$ مع العدد $٤$.

نعوض في قانون مساحة المستطيل ونحسب الناتج النهائي المتمثل في المساحة الكلية.

$٤٨ = {٦} \times {({٤} + {٤})}$

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء معادلة جبرية شاملة للمساحات المظللة لتحديد المتغير المجهول وحساب المساحة الكلية.

نعتمد في هذه الطريقة على صياغة معادلة واحدة تجمع بين مساحتي المثلثين لتساوي المساحة المظللة الكلية.

نفرض أن طول قاعدة المثلث الصغير هو المتغير $س$.

مساحة المثلث الكبير نعبر عنها بضرب قاعدته في ارتفاعه مقسومة على اثنان.

ومساحة المثلث الصغير نعبر عنها بضرب المتغير $س$ في ارتفاعه مقسوماً على اثنان.

مجموع هاتين المساحتين يجب أن يساوي مساحة المظلل الكلية المعطاة وهي $١٦$.

نصيغ المعادلة الجبرية بإضافة التعبيرين الرياضيين ومساواتهما بالعدد $١٦$.

$١٦ = {({٢} \times {س} \times {\dfrac{١}{٢}})} + {({٦} \times {٤} \times {\dfrac{١}{٢}})}$

نقوم الآن بتبسيط ما بداخل الأقواس لكل طرف على حدة.

$١٦ = {س} + {١٢}$

لإيجاد قيمة المتغير $س$، نقوم بنقل العدد $١٢$ للطرف الآخر بإشارة سالبة، وهو ما يعادل الطرح.

$٤ = {١٢} – {١٦} = س$

استنتجنا أن طول قاعدة المثلث الصغير يساوي $٤$.

بما أن طول المستطيل يتكون من قاعدتي المثلثين المتجاورتين، فإننا نجمعهما معاً.

طول المستطيل الإجمالي يساوي مجموع العدد $٤$ والعدد $٤$.

لمعرفة مساحة المستطيل، نضرب الطول الإجمالي في العرض الثابت وهو $٦$.

$٤٨ = {٦} \times {٨}$

تؤكد هذه النتيجة الحل الجبري السابق بأن مساحة المستطيل الإجمالية تبلغ $٤٨$ وحدة مربعة.

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ١: التحليل المنطقي للهيكل الهندسي وحساب مساحات الأجزاء

المفهوم الرياضي: استنتاج أبعاد المستطيلات الصغيرة المتطابقة من العلاقة الهندسية الموضحة في الرسم التحليلي، ثم حساب المساحة الكلية كحاصل جمع مساحات الأجزاء الفردية المتطابقة لبناء المساحة الإجمالية للمستطيل الكبير.

ينص السؤال بشكل صريح على أن جميع المستطيلات الصغيرة المكونة للشكل هي مستطيلات متطابقة تماماً في الأبعاد والمساحة.

نلاحظ من الرسم بدقة أن القاعدة السفلية للمستطيل الكبير تتكون من طولي مستطيلين صغيرين متجاورين بوضع أفقي.

بما أن العرض الكلي لقاعدة المستطيل الكبير يساوي عشرة وحدات، فإن طول المستطيل الصغير الواحد يساوي نصف هذه القيمة الهندسية.

طول المستطيل الصغير = $٥ = {٢} \div {١٠}$

بالانتقال للجزء العلوي من المستطيل الكبير، نجد أنه يتكون من خمسة مستطيلات متراصة عمودياً، مجموع عروضها الإجمالي يتطابق تماماً مع العرض الكلي للقاعدة.

إذن، يمكن استنتاج عرض المستطيل الصغير عبر قسمة العرض الكلي للمستطيل الكبير على عدد المستطيلات العلوية.

عرض المستطيل الصغير = $٢ = {٥} \div {١٠}$

نقوم الآن بحساب مساحة المستطيل الصغير الواحد بضرب طوله المستنتج في عرضه المستنتج.

مساحة المستطيل الصغير = $١٠ = {٢} \times {٥}$

من خلال الفحص البصري للمستطيل الكبير، يتبين أن الشكل الكلي يتكون من سبعة مستطيلات صغيرة متطابقة في تكوينه الداخلي.

نستخرج المساحة الكلية بضرب مساحة المستطيل الصغير الواحد في العدد الإجمالي للمستطيلات.

المساحة الكلية = $٧٠ = {٧} \times {١٠}$

والإجابة هي $٧٠$

تكنيك ٢: الاستنتاج المباشر والتكامل مع قانون المحيط الكلي

المفهوم الرياضي: استغلال قيمة المحيط الكلية المعطاة في نص السؤال كمعطى ثابت لاستخراج الارتفاع الكلي المجهول للمستطيل الكبير مباشرة من خلال قانون المحيط، مما يوفر مساراً رياضياً أكثر سرعة وتجريداً.

المعطيات تنص على أن محيط المستطيل الكبير يساوي أربعة وثلاثين وحدة طول، وقاعدته السفلية الكلية تساوي عشرة وحدات.

قانون محيط المستطيل يشير إلى أن نصف المحيط يمثل بشكل قاطع مجموع القاعدة والارتفاع الكليين.

نستخرج نصف المحيط من خلال قسمة المحيط الإجمالي على اثنين.

نصف المحيط = $١٧ = {٢} \div {٣٤}$

نقوم بطرح قيمة القاعدة السفلية المعلومة من قيمة نصف المحيط للوصول إلى الارتفاع الكلي للمستطيل الكبير.

الارتفاع الكلي = $٧ = {١٠} – {١٧}$

الآن أصبحت لدينا القاعدة الكلية والارتفاع الكلي للمستطيل الكبير بشكل مباشر دون الحاجة لتحليل المكونات الداخلية.

نطبق قانون المساحة بضرب القاعدة الكلية في الارتفاع الكلي.

المساحة الكلية = $٧٠ = {٧} \times {١٠}$

والإجابة هي $٧٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد أبعاد المستطيل من خلال تحليل العوامل للمحيط والمساحة.

نفرض أن الطول هو $س$ والعرض هو $ص$.

قانون محيط المستطيل: المحيط = $({ص} + {س}) \times {٢}$

قانون مساحة المستطيل: المساحة = $ص \times س$

نحسب نصف المحيط للحصول على مجموع الطول والعرض.

$١٦ = {٢} \div {٣٢} = ص + س$

نعوض بقيمة المساحة لإيجاد معادلة الضرب.

$٦٠ = ص \times س$

نستنتج عددين حاصل جمعهما يساوي $١٦$ وحاصل ضربهما يساوي $٦٠$.

من خلال التحليل، نجد أن العددين هما $١٠$ و $٦$.

بما أن الطول دائماً أكبر من أو يساوي العرض، فإن $١٠ = س$ و $٦ = ص$.

المطلوب هو إيجاد الفرق بين الطول والعرض، لذا نقوم بعملية الطرح.

$٤ = {٦} – {١٠}$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام المتطابقات الجبرية لإيجاد الفرق بين متغيرين مجهولين.

نفرض أن الطول هو $س$ والعرض هو $ص$.

مجموع الطول والعرض يساوي نصف المحيط.

$١٦ = ص + س$

حاصل ضرب الطول في العرض يساوي المساحة.

$٦٠ = ص \times س$

نستخدم المتطابقة الجبرية لمربع الفرق بين حدين.

القانون: ${}^{٢}(ص – س) = {}^{٢}(ص + س) – {٤} \times ({ص} \times {س})$

نعوض بالقيم التي استنتجناها مسبقاً داخل المتطابقة.

${}^{٢}(ص – س) = {}^{٢}(١٦) – {٤} \times {٦٠}$

نقوم بتربيع المجموع وضرب المساحة في أربعة.

${}^{٢}(ص – س) = {٢٥٦} – {٢٤٠}$

نطرح القيمتين للحصول على مربع الفرق.

$١٦ = {٢٤٠} – {٢٥٦}$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على الفرق المجرد.

$٤ = {\sqrt{١٦}}$

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استغلال خواص زوايا الشكل الرباعي والمستقيمات المتوازية المتشكلة داخله.

بما أن الشكل الخارجي مستطيل هندسياً، فإن كل زاوية من زواياه الداخلية تساوي ٩٠ درجة.

الزوايا $س$، $ص$، $ع$، $ل$ تقع ضمن هيكل يشكل زوايا داخلية لشبه منحرف أو رباعي ناتج عن التقاطع.

بناءً على نظرية المستقيمات المتوازية، مجموع كل زاويتين متحالفتين (مكملة كل منهما للأخرى) يساوي ١٨٠ درجة.

المعادلة الرياضية للزوج المتحالف الأول: $١٨٠ = {س} + {ع}$

المعادلة الرياضية للزوج المتحالف الثاني: $١٨٠ = {ص} + {ل}$

لإيجاد المجموع الكلي للمقدار الجبري $ل + ع + ص + س$، نقوم بجمع نواتج الزوجين معاً.

العملية الحسابية: المجموع $١٨٠ + ١٨٠ =$

الناتج النهائي المتراكم للزوايا الأربعة: المجموع $٣٦٠ =$

والإجابة هي $٣٦٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاعتماد المباشر على نظرية مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع رباعي مغلق.

الزوايا الأربعة $س$، $ص$، $ع$، $ل$ تمثل حصرياً الزوايا الداخلية للشكل الرباعي المحصور داخل المستطيل.

قانون مجموع الزوايا الداخلية لأي شكل هندسي رباعي (سواء كان منتظماً أو غير منتظم) ينص على أن المجموع قيمة ثابتة.

مجموع الزوايا الداخلية للرباعي = ٣٦٠ درجة دائماً.

بما أن المتغيرات الأربعة المعطاة في السؤال تمثل هذه الزوايا بالتحديد، فإن مجموعها الجبري يساوي هذه القيمة الثابتة بلا ريب.

لا نحتاج في هذا التكنيك لمعرفة القيمة الفردية لكل زاوية مستقلة لأن المطلوب هندسياً هو المجموع الكلي فقط.

الناتج النهائي المستنتج من النظرية هو ٣٦٠ درجة.

والإجابة هي $٣٦٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج القيم التراكمية بناءً على النسب المئوية العكسية والتضاعف المتسلسل.

نبدأ بتحليل المعطى الأساسي في السؤال، والذي يشير إلى أن طول كل مستطيل يقل بنسبة مئوية قدرها $٪٥٠$ عن الذي يليه.

هذا النقصان بنسبة النصف يعني رياضياً أن كل مستطيل يعادل نصف طول المستطيل الذي يكبره مباشرة.

بصيغة رياضية عكسية، المستطيل الأكبر يكون دائماً ضعف المستطيل الذي يسبقه في الترتيب.

لدينا طول المستطيل الأصغر معطى بشكل صريح ويساوي $٨$ وحدات طولية.

لإيجاد طول المستطيل الأوسط، يجب علينا مضاعفة طول المستطيل الأصغر بضربه في العدد $٢$.

$١٦ = {٢} \times {٨}$

الآن وقد حصلنا على طول المستطيل الأوسط وهو $١٦$، نكرر نفس العملية المنطقية للوصول للمستطيل الثالث.

طول المستطيل الأكبر سيكون مضاعفاً لطول المستطيل الأوسط، لذا نضربه في العدد $٢$ أيضاً.

$٣٢ = {٢} \times {١٦}$

بذلك نكون قد تدرجنا في الحساب حتى وصلنا إلى طول المستطيل الأكبر المطلوب.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء نماذج جبرية للمتسلسلات الهندسية لحساب المت المتغير المجهول.

نتعامل مع الأطوال الثلاثة كحدود في متتالية هندسية أساسها الكسر نصف، ونريد إيجاد الحد الأول منها بفرض أنه الأكبر.

نفرض أن طول المستطيل الأكبر، والذي يمثل القيمة الكلية المجهولة، هو المتغير الجبري $س$.

بناءً على النسبة المعطاة $٪٥٠$، فإن المستطيل الأوسط يمثل نصف قيمة المتغير $س$.

للتعبير عن طول المستطيل الأوسط جبرياً، نضرب المتغير $س$ في الكسر المكون من واحد على اثنان.

${س} \times {\dfrac{١}{٢}}$

أما المستطيل الأصغر، فهو يمثل نصف طول المستطيل الأوسط، أي نصف النصف من القيمة الكلية.

للتعبير عن طوله، نضرب التعبير السابق مرة أخرى في الكسر نصف، فينتج لنا ربع المتغير $س$.

${س} \times {\dfrac{١}{٤}} = {\dfrac{١}{٢}} \times {س} \times {\dfrac{١}{٢}}$

هذا التعبير الرياضي الأخير يمثل طول المستطيل الأصغر، والذي نعلم مسبقاً أنه يساوي $٨$.

نقوم بإنشاء معادلة بمساواة التعبير الجبري بالقيمة العددية المعطاة لنتمكن من حلها.

$٨ = {س} \times {\dfrac{١}{٤}}$

لحل المعادلة وعزل المتغير $س$، نحتاج إلى التخلص من الكسر بضرب كلا الطرفين في مقلوبه، وهو العدد $٤$.

$٣٢ = {٤} \times {٨} = س$

استخرجنا أخيراً القيمة العددية للمتغير $س$، والتي تعبر بدقة عن طول المستطيل الأكبر.

والإجابة هي $٣٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المستطيلات باستخدام الأبعاد النسبية لتحديد نسبة المساحة المظللة إلى المساحة الكلية.

نفرض أن طول المستطيل الكبير هو المتغير ${س}$، وعرضه هو المتغير ${ص}$.

بالتالي، تكون المساحة الكلية للمستطيل الكبير هي حاصل ضرب الطول في العرض، أي ${ص} \times {س}$.

من المعطيات، طول المستطيل المظلل يساوي نصف طول المستطيل الكبير، أي المقدار ${\dfrac{١}{٢}}$ مضروباً في ${س}$.

وعرض المستطيل المظلل يساوي ربع عرض المستطيل الكبير، أي المقدار ${\dfrac{١}{٤}}$ مضروباً في ${ص}$.

نحسب مساحة المستطيل المظلل بضرب طوله في عرضه: ${س}{\dfrac{١}{٢}} \times {ص}{\dfrac{١}{٤}}$.

نضرب الكسور المعاملة معاً: $\dfrac{١}{٨} = {\dfrac{١}{٤}} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

تصبح المساحة الجبرية للجزء المظلل: ${\dfrac{١}{٨}} \times {ص} \times {س}$.

لإيجاد النسبة المطلوبة، نقسم مساحة الجزء المظلل على المساحة الكلية للمستطيل.

نكتب عملية القسمة: $({\dfrac{١}{٨}} \times {ص} \times {س}) \div ({ص} \times {س})$.

يتم اختصار المتغيرات المشتركة من البسط والمقام، ويتبقى لدينا الكسر $\dfrac{١}{٨}$ مجرداً.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٨}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية افتراض أرقام صحيحة تناسب المقامات في الكسور المعطاة لتسهيل الحساب وتجنب الكسور المعقدة.

نختار قيمة عددية لطول المستطيل الكبير تقبل القسمة على $٢$ بدون باقٍ. لنفرض أن الطول يساوي $٤$.

نختار قيمة عددية لعرض المستطيل الكبير تقبل القسمة على $٤$ بدون باقٍ. لنفرض أن العرض يساوي $٤$.

نحسب مساحة المستطيل الكبير الكلية بضرب الأبعاد: $١٦ = {٤} \times {٤}$.

نحسب طول المستطيل المظلل بناءً على المعطيات التي تنص على أنه نصف الطول الكبير: $٢ = {٤} \times {\dfrac{١}{٢}}$.

نحسب عرض المستطيل المظلل بناءً على المعطيات التي تنص على أنه ربع العرض الكبير: $١ = {٤} \times {\dfrac{١}{٤}}$.

نحسب مساحة الجزء المظلل الصغير بضرب طوله في عرضه: $٢ = {١} \times {٢}$.

المطلوب هو إيجاد النسبة الرياضية بين المساحة المظللة والمساحة الكلية.

نصيغ الكسر بوضع مساحة المظلل في البسط والمساحة الكلية في المقام لنحصل على: $\dfrac{٢}{١٦}$.

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما وهو العدد $٢$.

ينتج الكسر المبسط النهائي بعد عملية القسمة: $\dfrac{١}{٨}$.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٨}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المساحة الكلية لورقة مطوية هندسياً تساوي مجموع مساحات الأجزاء المتطابقة الناتجة عن عملية الطي.

الورقة طويت لتكون مستطيلين متطابقين تماماً، أي أن لهما نفس الأبعاد والمساحة.

أبعاد المستطيل الواحد الناتج عن الطي هي $٤$ و $٦$.

نكتب قانون مساحة المستطيل.

مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض

نحسب مساحة المستطيل الواحد أولاً.

مساحة المستطيل الواحد = $٦ \times ٤$

المساحة = $٢٤$

بما أن الورقة الأصلية تتكون من هذين المستطيلين المتطابقين، نضرب المساحة الجزئية في $٢$.

المساحة الكلية = $٢ \times ٢٤$

نوجد الناتج النهائي للمساحة الكلية للورقة.

المساحة الكلية = $٤٨$

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تضاعف أحد أبعاد المستطيل عند فرده بناءً على محور الطي مع بقاء البعد الآخر ثابتاً.

نفرض بناءً على الرسم أن الطي تم على طول الضلع الذي قياسه $٤$.

عند فرد الورقة وعودتها لحالتها الأصلية، يتضاعف هذا الضلع ليصبح $٨ = ٤ + ٤$.

في المقابل، يبقى الضلع الآخر ثابتاً دون تغيير بطول $٦$.

بذلك تصبح أبعاد الورقة الأصلية المفرودة هي $٨$ و $٦$.

نكتب قانون مساحة المستطيل.

مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض

نعوض بالأبعاد الأصلية الجديدة.

مساحة الورقة = $٨ \times ٦$

نوجد ناتج عملية الضرب للحصول على المساحة.

مساحة الورقة = $٤٨$

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: محيط المستطيل يحسب بجمع أطوال جميع أضلاعه الأربعة.

المستطيل يحتوي على طولي وعرضين متطابقين في القياس.

نقوم بجمع الأطوال: $س + س$، ونجمع العروض: $ص + ص$.

الناتج بعد الجمع الجبري للحدود المتشابهة: المحيط ${ص٢} + {س٢} =$

والإجابة هي $ص٢ + س٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام قانون محيط المستطيل المباشر كصيغة جبرية مختصرة.

قانون المحيط: المحيط = (الطول + العرض) × ٢

نعوض بالمتغيرات المعطاة في السؤال داخل المعادلة: المحيط $({ص} + {س}) \times ٢ =$

نقوم بتوزيع عملية الضرب على الجمع داخل القوس بضرب العدد ٢ في كل متغير.

النتيجة النهائية للمحيط بعد فك الأقواس: المحيط ${ص٢} + {س٢} =$

والإجابة هي $ص٢ + س٢$

تكنيك ١: تطبيق خواص المثلث قائم الزاوية والتطابق المساحي الخطي

المفهوم الرياضي: استنتاج التصنيف الهندسي للمثلث من خلال فحص أطوال أضلاعه المعطاة، وبناءً عليه يتم حساب مساحته الدقيقة، ومن ثم مساواتها بمساحة المستطيل كمعطى ثابت لاستخراج البعد المجهول والوصول إلى المحيط.

من خلال قراءة المعطيات، نلاحظ أن أطوال أضلاع المثلث الثلاثة تمثل ثلاثية فيثاغورس الشهيرة ومضاعفاتها، مما يعني يقيناً أن المثلث هو مثلث قائم الزاوية.

للتأكد الرياضي من هذه الملاحظة، نقوم بتربيع طولي الضلعين الأصغر ونجمعهما، ويجب أن يساوي الناتج مربع الضلع الأكبر للتحقق من نظرية فيثاغورس.

${}^{٢}(١٠) = {}^{٢}(٨) + {}^{٢}(٦)$

$١٠٠ = {٦٤} + {٣٦}$

بما أن المثلث قائم الزاوية بشكل قاطع، فإن مساحته الكلية تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع العمودي، وهما الضلعان القصيران.

مساحة المثلث = $٢٤ = {٨} \times {٦} \times {\dfrac{١}{٢}}$

ينص السؤال بوضوح على أن مساحة المستطيل تتساوى مساحياً مع مساحة هذا المثلث، مما يعني أن مساحة المستطيل تساوي أربعة وعشرين وحدة مربعة.

مساحة المستطيل هندسياً تساوي حاصل ضرب الطول في العرض، وأحد أطوال أضلاعه معطى مسبقاً بقيمة ثمانية وحدات.

نعوض بقيمة الضلع المجهول كمتغير جبري لتمثيل المعادلة.

$٢٤ = {ع} \times {٨}$

نقسم المساحة الكلية على الضلع المعلوم لعزل المتغير وإيجاد طول الضلع الآخر للمستطيل.

الضلع المجهول = $٣ = {٨} \div {٢٤}$

الآن نملك كلا البعدين للمستطيل، وهما ثمانية وثلاثة، ونريد حساب المحيط الخارجي.

نحسب محيط المستطيل من خلال تطبيق القانون القائل بضرب مجموع الطول والعرض في اثنين.

المحيط = $٢٢ = ({٣} + {٨})٢$

والإجابة هي $٢٢$

تكنيك ٢: المنهج التحليلي باستخدام صيغة هيرون للمساحات المستقلة

المفهوم الرياضي: استخدام صيغة هيرون الشاملة لحساب مساحة أي مثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاثة فقط دون الحاجة لإثبات أنه قائم الزاوية أو تحديد نوعه، مما يقدم برهاناً رياضياً مستقلاً وقاطعاً.

نحسب أولاً نصف محيط المثلث الإجمالي، والذي يعبر عنه برمجياً بالمتغير حاء، وذلك بجمع الأضلاع وقسمتها على اثنين.

نصف المحيط = $١٢ = {٢} \div ({١٠} + {٨} + {٦})$

نطبق صيغة هيرون الرياضية والتي تنص على أن المساحة تساوي الجذر التربيعي لحاصل ضرب نصف المحيط في فروقه الجبرية مع الأضلاع الثلاثة تباعاً.

المساحة = ${\sqrt{({١٠} – {١٢}) \times ({٨} – {١٢}) \times ({٦} – {١٢}) \times {١٢}}}$

نقوم بحساب نواتج الطرح الصافية داخل أقواس الجذر التربيعي بشكل تدريجي ومستقل.

المساحة = ${\sqrt{({٢}) \times ({٤}) \times ({٦}) \times {١٢}}}$

نضرب القيم العددية الناتجة داخل الجذر التربيعي للحصول على المجذور الكلي.

المساحة = ${\sqrt{٥٧٦}}$

نستخرج الجذر التربيعي للحصول على المساحة الدقيقة للمثلث المعني.

مساحة المثلث = $٢٤$

بمساواة هذه المساحة الثابتة مع مساحة المستطيل ذي الضلع ثمانية بناءً على نص السؤال.

الضلع الآخر = $٣ = {٨} \div {٢٤}$

نعوض بالبعدين الجديدين في قانون المحيط الأساسي للمستطيل.

المحيط = $٢٢ = ({٣} + {٨})٢$

والإجابة هي $٢٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: نصف محيط المستطيل يساوي مجموع الطول والعرض، وقابلية القسمة تحدد الأبعاد الصحيحة للتقسيم الداخلي.

نكتب قانون نصف المحيط لاختزال الأبعاد.

نصف المحيط = $\dfrac{٢٨}{٢}$

نحسب قيمة نصف المحيط.

نصف المحيط = $١٤$

بما أن المستطيل الكبير مقسم داخلياً إلى $٥$ مستطيلات متطابقة مرصوصة بالطول، فيجب أن يكون طول المستطيل الكبير قابلاً للقسمة على $٥$.

نبحث عن عدد يقبل القسمة على $٥$ ويكون بالضرورة أقل من $١٤$.

الاحتمال المنطقي الوحيد للطول هو $١٠$.

نحسب العرض بناءً على قيمة الطول المفترضة.

العرض = ${١٠} – {١٤}$

نحسب قيمة العرض.

العرض = $٤$

نستنتج أن أبعاد المستطيل الكبير هي $١٠$ للطول و $٤$ للعرض.

نشرع الآن في حساب أبعاد المستطيل الصغير الواحد.

طول المستطيل الصغير هو نفس عرض المستطيل الكبير ويساوي $٤$.

عرض المستطيل الصغير يساوي طول المستطيل الكبير مقسوماً على $٥$.

عرض المستطيل الصغير = $\dfrac{١٠}{٥}$

عرض المستطيل الصغير = $٢$

نكتب قانون مساحة المستطيل.

مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض

نعوض بأبعاد المستطيل الصغير في القانون.

المساحة = $٤ \times ٢$

نحسب الناتج النهائي.

المساحة = $٨$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الصياغة الجبرية لمحيط الشكل الكلي بدلالة أبعاد الأشكال الجزئية المتطابقة.

نفرض أن طول المستطيل الصغير الواحد هو $س$ وعرضه هو $ص$.

من الرسم، طول المستطيل الكبير يتكون من خمسة عروض للمستطيلات الصغيرة، إذن طوله يساوي $ص٥$.

عرض المستطيل الكبير هو نفس طول المستطيل الصغير ويساوي $س$.

نكتب قانون محيط المستطيل الكبير.

المحيط = $٢ \times (ل+ ع)$

نعوض بالمتغيرات الجبرية وقيمة المحيط الكلي.

$٢٨ = ٢ \times (س + {ص٥})$

نقسم الطرفين على $٢$ لتبسيط المعادلة.

$١٤ = س + {ص٥}$

بما أن الأبعاد يجب أن تكون أعداداً صحيحة، نستعمل التجريب للقيم.

إذا افترضنا أن $ص = ٢$، فإن الحد الثاني يصبح $١٠ = ٥ \times ٢$.

نعوض بهذه القيمة في المعادلة لاستخراج قيمة $س$.

$١٤ = س + ١٠$

نطرح $١٠$ من الطرفين.

$٤ = س$

القيم مستقرة ومنطقية، إذن أبعاد المستطيل الصغير هي $٤$ و $٢$.

نحسب مساحة المستطيل الصغير بضرب أبعاده.

المساحة = $٤ \times ٢$

الناتج النهائي هو $٨$.

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المساحة الإجمالية أولاً ثم ضربها في تكلفة الوحدة للحصول على السعر الكلي.

قانون مساحة الحائط المستطيل: المساحة = الطول × العرض.

نعوض بالأبعاد الهندسية المعطاة: المساحة $٢,٢ \times ١,٥ =$

الناتج النهائي للمساحة: المساحة $٣,٣ =$

قانون التكلفة الإجمالية: التكلفة = المساحة × تكلفة المتر المربع.

نعوض بالقيم المستخرجة: التكلفة $١٠ \times ٣,٣ =$

الناتج النهائي: التكلفة $٣٣ =$

والإجابة هي $٣٣$ ريال

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل الأعداد العشرية إلى كسور اعتيادية لتسهيل عمليات الضرب والاختصار.

نحول العدد $١,٥$ إلى الكسر $\dfrac{٣}{٢}$ ونحول العدد $٢,٢$ إلى الكسر $\dfrac{٢٢}{١٠}$.

نضرب الكسرين لحساب المساحة الإجمالية: المساحة ${\dfrac{٢٢}{١٠}} \times {\dfrac{٣}{٢}} =$

الناتج الكسري بعد ضرب البسطين والمقامين: المساحة $\dfrac{٦٦}{٢٠} =$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على العدد ٢ لنحصل على $\dfrac{٣٣}{١٠}$.

نحسب التكلفة بضرب المساحة الكسرية في تكلفة المتر (١٠): التكلفة $١٠ \times {\dfrac{٣٣}{١٠}} =$

يتم اختصار العدد ١٠ المضروب مع العدد ١٠ الموجود في المقام.

الناتج النهائي المستنتج: التكلفة $٣٣ =$

والإجابة هي $٣٣$ ريال

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: نستخدم نظرية فيثاغورس الجبرية لإيجاد أبعاد المستطيل من خلال طول قطره، ثم نطبق قانون مساحة المستطيل لإنهاء الحل.

بناء على المعطيات الهندسية، العرض هو ربع الطول. نفرض العرض بالمتغير $س$ ونفرض الطول بالقيمة $س٤$.

نطبق نظرية فيثاغورس حيث القطر يمثل الوتر، ومربع هذا الوتر يساوي العدد $١٧$.

نعوض بالمتغيرات الجبرية في المعادلة: $١٧ = {}^{٢}({س٤}) + {}^{٢}({س})$.

نقوم بفك التربيع للطرفين مع مراعاة المعاملات: $١٧ = {{}^{٢}س١٦} + {{}^{٢}س}$.

بجمع المعاملات الجبرية المتطابقة نصل إلى المعادلة المبسطة: $١٧ = {{}^{٢}س١٧}$.

بقسمة الطرفين على المعامل الثابت $١٧$ نستنتج أن القيمة المعزولة تصبح: $١ = {{}^{٢}س}$.

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن قيمة العرض $س$ المجردة تساوي العدد $١$.

نحسب الطول وهو أربعة أضعاف قيمة العرض المحسوبة: الطول يصبح $٤ = {٤} \times {١}$.

نطبق قانون مساحة المستطيل الرياضي بضرب قيمة الطول في قيمة العرض.

ينتج عن عملية الضرب النهائية: المساحة تساوي $٤ = {٤} \times {١}$.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الربط التحليلي بين معطيات السؤال والخيارات المتاحة لتحديد الأبعاد بصورة عكسية ثم تأكيد المساحة بخطوة هندسية مباشرة.

بما أن الخيارات المعروضة تمثل مساحة المستطيل النهائية، والعرض يمثل ربع الطول، يمكننا البدء بتجربة الخيارات.

نجرب الخيار الأخير بافتراض أن المساحة الإجمالية للمستطيل تساوي $٤$.

نبحث ذهنيا عن عددين حاصل ضربهما يعطي $٤$ وأحدهما يمثل ربع القيمة للعدد الآخر. العددان المتوافقان مع هذا الشرط هما $١$ و $٤$.

نتحقق من صحة هذه الأبعاد هندسيا باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد مربع القطر المستهدف.

مربع القطر المطلوب حسابه يُعطى بالصيغة ${}^{٢}({٤}) + {}^{٢}({١})$.

نقوم بجمع المربعات المحسوبة للتحقق: مربع القطر هو $١٧ = {١} + {١٦}$.

بأخذ الجذر التربيعي للنتيجة، نجد أن القطر يساوي $\sqrt{١٧}$، وهو يطابق المعطى تماما بلا نقص.

إذاً الأبعاد المفترضة صحيحة هندسيا والمساحة المختبرة هي الخيار الدقيق والمطلوب.

والإجابة هي $٤$

تكنيك ١: مجموع زوايا الشكل الرباعي

المفهوم الرياضي: مجموع الزوايا الداخلية لأي شكل رباعي يساوي ثلاثمائة وستين درجة.

الشكل المكون من القاطع والمستطيل يمثل شكلا رباعيا، زواياه السفلية قائمة وتساوي تسعين درجة لكل منها، والزاوية العلوية مائة وخمسة عشر درجة، والزاوية المجهولة هي سين.

نصيغ المعادلة بجمع الزوايا الأربع ومساواتها بالمجموع الكلي للرباعي:

$٣٦٠ = {١١٥} + {س} + {٩٠} + {٩٠}$

نجمع القيم المعلومة في الطرف الأيسر بصريا:

$٣٦٠ = {س} + {٢٩٥}$

نطرح المجموع من ثلاثمائة وستين لإيجاد قيمة المتغير:

$٦٥ = {٢٩٥} – {٣٦٠} = س$

والإجابة هي $٦٥$

تكنيك ٢: التعويض العكسي بالخيارات المتاحة

المفهوم الرياضي: يمكن التحقق من صحة المعادلة عن طريق تجربة الخيارات المعطاة واختيار القيمة التي تجعل مجموع الزوايا يساوي ثلاثمائة وستين.

نقوم بتجربة الخيار الثالث وهو العدد خمسة وستون بالتعويض في معادلة الشكل الرباعي.

نجمع الزوايا مع التعويض:

$٣٦٠ = {١١٥} + {٦٥} + {٩٠} + {٩٠}$

بما أن مجموع الزوايا يطابق ثلاثمائة وستين درجة، فالقيمة صحيحة وتحقق الشرط الهندسي.

والإجابة هي $٦٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: يعتمد الحل على نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، وقطر المستطيل يمثل الوتر.

بما أن العرض يساوي ربع الطول، نفرض رياضيا أن العرض هو المتغير $س$، وبالتالي يكون الطول هو $س٤$.

نكتب معادلة نظرية فيثاغورس بشكل لفظي ورمزي: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين.

قيمة الوتر المعطاة هي $\sqrt{١٧}$، وعند تربيع الجذر يصبح الناتج المجرد $١٧$.

نعوض في المعادلة الجبرية: $١٧ = {}^{٢}({س٤}) + {}^{٢}({س})$.

نحسب المربعات بضرب المتغيرات في نفسها بحسب قوانين الأسس: $١٧ = {{}^{٢}س١٦} + {{}^{٢}س}$.

نجمع الحدود الجبرية المتشابهة في الطرف الأيسر للمعادلة: $١٧ = {{}^{٢}س١٧}$.

نقسم الطرفين على المعامل الجبري $١٧$ لتبسيط المعادلة وعزل المتغير: $١ = {{}^{٢}س}$.

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة المتغير $س$ الأساسي التي تمثل العرض.

نستنتج بناء على الخطوات السابقة أن قيمة العرض $س$ تساوي $١$.

والإجابة هي $١$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استراتيجية التجريب العكسي للخيارات المتاحة للتحقق من مطابقتها لطول القطر باستخدام نظرية فيثاغورس.

نختبر الخيار الأول بافتراض مبدئي أن العرض يساوي العدد $١$.

بناء على نص السؤال الثابت، العرض ربع الطول، مما يعني استنتاجا أن الطول أربعة أضعاف العرض.

نحسب الطول الافتراضي بضرب العرض المفترض في أربعة: الطول هو $٤ = {٤} \times {١}$.

نطبق نظرية فيثاغورس للتحقق من طول القطر بتربيع الأبعاد الهندسية وجمعها.

مجموع المربعين يصاغ كالتالي: مجموع المربعين يساوي ${}^{٢}({٤}) + {}^{٢}({١})$.

نحسب القيم المربعة ونجمعها: مجموع المربعين ينتج من $١٧ = {١} + {١٦}$.

نأخذ الجذر التربيعي للناتج الإجمالي لإيجاد طول القطر الحقيقي، فيكون الناتج هو $\sqrt{١٧}$.

بما أن الناتج يطابق المعطى الأصلي في نص السؤال تماما، فإن هذا الخيار هو الدقيق والصحيح قطعا.

والإجابة هي $١$

تكنيك ١: التحليل الجبري والمطابقة

المفهوم الرياضي: محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع الطول والعرض، ومساحته تساوي حاصل ضربهما.

القانون الأول: نصف المحيط = الطول زائد العرض.

نقوم بقسمة المحيط الكلي على اثنين لإيجاد مجموع البعدين.

مجموع البعدين = $٢٠ = {٢} \div {٤٠}$

القانون الثاني: المساحة = الطول ضرب العرض.

لدينا المساحة تساوي تسعة وتسعين.

نبحث عن عددين حاصل جمعهما يساوي عشرين، وحاصل ضربهما يساوي تسعة وتسعين.

بتحليل العدد تسعة وتسعين إلى عوامله، نجد أن العددين هما أحد عشر وتسعة.

نتحقق من الجمع: $٢٠ = {٩} + {١١}$

نتحقق من الضرب: $٩٩ = {٩} \times {١١}$

والإجابة هي $١١ ، ٩$

تكنيك ٢: التجربة العكسية للخيارات

المفهوم الرياضي: يمكن استخدام الخيارات المعطاة للتحقق من تطابقها مع شروط المحيط والمساحة.

نختبر الخيار الأول وهو أحد عشر وتسعة.

نحسب المساحة بضرب البعدين.

المساحة الناتجة = $٩٩ = {٩} \times {١١}$

المساحة تتطابق مع المعطيات، ننتقل للتحقق من المحيط.

نجمع البعدين ثم نضرب الناتج في اثنين.

مجموع البعدين = $٢٠ = {٩} + {١١}$

المحيط الناتج = $٤٠ = {٢} \times {٢٠}$

بما أن المحيط والمساحة متطابقان مع السؤال، فإن هذا الخيار هو الصحيح.

والإجابة هي $١١ ، ٩$

تكنيك ١: حساب المساحة الإجمالية ثم الضرب في السعة

المفهوم الرياضي: مساحة المستطيل تساوي الطول مضروباً في العرض.

القانون: مساحة المستطيل = الطول ضرب العرض.

نعوض بقيم الطول والعرض المعطاة في السؤال لإيجاد المساحة الكلية.

المساحة الكلية = $٣٢٠٠ = {٤٠} \times {٨٠}$

المفهوم الرياضي المكمل: السعة الكلية تساوي المساحة الإجمالية مضروبة في سعة المتر المربع الواحد.

نعوض بالمساحة التي استنتجناها ونضربها في عدد الأشخاص للمتر الواحد.

العدد الإجمالي للأشخاص = $١٢٨٠٠ = {٤} \times {٣٢٠٠}$

والإجابة هي $١٢٨٠٠$

تكنيك ٢: حساب السعة الاستيعابية للشريط الطولي

المفهوم الرياضي: يمكننا حساب عدد الأشخاص في شريط مستطيل عرضه متر واحد وطوله يماثل طول الأرض.

القانون: سعة الشريط الطولي = طول الأرض ضرب سعة المتر المربع.

نقوم بضرب طول الأرض في عدد الأشخاص للمتر المربع الواحد.

سعة الشريط الطولي = $٣٢٠ = {٤} \times {٨٠}$

بما أن عرض الأرض هو أربعون متراً، فإننا نكرر سعة الشريط الطولي أربعين مرة.

نضرب سعة الشريط الواحد في العرض الكلي.

العدد الإجمالي للأشخاص = $١٢٨٠٠ = {٤٠} \times {٣٢٠}$

والإجابة هي $١٢٨٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: مساحة الشكل المركب تساوي مساحة الشكل الكلي المحيط به ناقص مساحة الجزء المقتطع منه.

نعتبر الشكل بأكمله مستطيلاً كبيراً تم اقتطاع مثلث قائم الزاوية من إحدى زواياه العلوية.

من الرسم، طول المستطيل الكبير يساوي $١٢$ وعرضه الكلي يساوي $٨$.

نكتب قانون مساحة المستطيل لحساب المساحة الوهمية الكلية.

مساحة المستطيل = الطول مضروباً في العرض

نعوض بالأبعاد لحساب مساحة المستطيل الكبير.

مساحة المستطيل الكلية = $١٢ \times ٨$

الناتج هو $٩٦$.

نحدد الآن أبعاد المثلث المقتطع من الزاوية العلوية اليمنى.

قاعدة المثلث تساوي الفرق بين طول المستطيل الكلي وطول الجزء العلوي الأفقي المتبقي.

قاعدة المثلث = ${٤} – {١٢}$

قاعدة المثلث = $٨$

ارتفاع المثلث يساوي الفرق بين عرض المستطيل الكلي وطول الجزء الجانبي العمودي المتبقي.

ارتفاع المثلث = ${٤} – {٨}$

ارتفاع المثلث = $٤$

نكتب قانون مساحة المثلث.

مساحة المثلث = $\dfrac{١}{٢} \times$ طول القاعدة $\times$ الارتفاع

نعوض بأبعاد المثلث المقتطع التي أوجدناها.

مساحة المثلث = ${\dfrac{١}{٢}} \times {٤} \times {٨}$

نحسب مساحة المثلث.

مساحة المثلث = $١٦$

نطرح مساحة المثلث من مساحة المستطيل الكلية لإيجاد المساحة الفعلية للشكل.

مساحة الشكل = ${١٦} – {٩٦}$

الناتج النهائي للمساحة يساوي $٨٠$.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تقسيم الشكل المركب إلى أشكال هندسية أساسية يسهل حساب مساحتها بشكل مستقل، ثم جمعها.

نقوم بتقسيم الشكل إلى جزئين برسم خط عمودي للأسفل من نهاية الضلع العلوي الأفقي الذي طوله $٤$.

ينتج لدينا في الجانب الأيسر مستطيل أبعاده هي $٨$ للطول و $٤$ للعرض.

نكتب قانون مساحة المستطيل ونعوض بالأبعاد الخاصة بالجانب الأيسر.

مساحة المستطيل الأيسر = $٨ \times ٤$

الناتج الجزئي الأول هو $٣٢$.

الشكل الناتج في الجانب الأيمن هو شبه منحرف قائم الزاوية.

ارتفاع شبه المنحرف يمثل المسافة الأفقية المتبقية من القاعدة وتساوي $٨ = {٤} – {١٢}$.

قاعدتا شبه المنحرف المتوازيتان هما الضلعان العموديان، وطولاهما معطى ومستنتج كالتالي: $٨$ و $٤$.

نكتب قانون مساحة شبه المنحرف.

مساحة شبه المنحرف = $\dfrac{١}{٢} \times$ مجموع القاعدتين المتوازيتين $\times$ الارتفاع

نعوض بأبعاد شبه المنحرف في القانون الرياضي.

مساحة شبه المنحرف = ${\dfrac{١}{٢}} \times ({٤} + {٨}) \times {٨}$

نحسب ناتج الجمع بداخل الأقواس أولاً.

مساحة شبه المنحرف = ${\dfrac{١}{٢}} \times {١٢} \times {٨}$

الناتج الجزئي الثاني هو $٤٨$.

نجمع مساحتي الجزئين للحصول على المساحة الكلية للشكل الهندسي.

المساحة الكلية = $٤٨ + ٣٢$

الناتج النهائي للجمع يساوي $٨٠$.

والإجابة هي $٨٠$