اختبار النسبة والسبة المئوية

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: حساب المسافة الكلية للرحلة ثم إيجاد النسبة المئوية للمسافة المقطوعة منها.

المسافة الكلية للرحلة تساوي مجموع المسافة المقطوعة والمسافة المتبقية.

المسافة المقطوعة هي $٦٠$ كم، والمسافة المتبقية هي $٣٠٠$ كم.

$٣٦٠ = {٣٠٠} + {٦٠}$

المسافة الكلية للرحلة تساوي $٣٦٠$ كم.

لإيجاد النسبة المئوية للمسافة المقطوعة، نقسم المسافة المقطوعة على المسافة الكلية ونضرب الناتج في $١٠٠$.

${١٠٠} \times \dfrac{٦٠}{٣٦٠}$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على العدد $٦٠$.

الكسر المبسط هو $\dfrac{١}{٦}$.

نضرب الكسر المبسط في العدد $١٠٠$.

${١٠٠} \times \dfrac{١}{٦}$

هذا يعادل قسمة العدد $١٠٠$ على $٦$.

$١٦،٧ \approx \dfrac{١٠٠}{٦}$

النسبة المئوية التقريبية هي $١٦،٧$٪.

والإجابة هي $١٦،٧$٪

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: إيجاد نسبة المسافة المقطوعة إلى المسافة المتبقية كأجزاء ثم حساب النسبة الكلية.

المسافة المقطوعة هي $٦٠$ كم.

المسافة المتبقية هي $٣٠٠$ كم.

نقسم المسافة المقطوعة على المتبقية لمعرفة العلاقة التناسبية بينهما.

$\dfrac{١}{٥} = \dfrac{٦٠}{٣٠٠}$

هذا يعني أن المسافة المقطوعة تمثل جزءاً واحداً، والمسافة المتبقية تمثل خمسة أجزاء.

مجموع الأجزاء الكلية للرحلة يساوي ستة أجزاء.

$٦ = {٥} + {١}$

نسبة المسافة المقطوعة تمثل جزءاً واحداً من أصل ستة أجزاء، أي السدس.

السدس كنسبة مئوية يعادل الكسر الدوري $١٦،٦٦$٪ وتُقرّب إلى $١٦،٧$٪.

والإجابة هي $١٦،٧$٪

تكنيك ١: صياغة المعادلة الجبرية وإيجاد النسبة.

المفهوم الرياضي: مساواة تعبيرين يحتويان على متغيرات، ثم فصل المتغيرات في طرف والأرقام في طرف للوصول إلى النسبة المطلوبة.

نكتب المعادلة من المعطى اللفظي؛ خمسون بالمائة من س تساوي عشرة بالمائة من ص.

${\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times ص = {\dfrac{٥٠}{١٠٠}} \times س$

نضرب الطرفين في مائة للتخلص من المقامات المشتركة وتبسيط المعادلة.

${١٠} \times ص = {٥٠} \times س$

لإيجاد نسبة س على ص، نقسم الطرفين على المتغير ص ثم نقسم على المعامل خمسين.

$\dfrac{١٠}{٥٠} = \dfrac{س}{ص}$

بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على عشرة، نحصل على النسبة النهائية.

$\dfrac{١}{٥} = \dfrac{س}{ص}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٥}$

تكنيك ٢: التعويض الافتراضي بقيم عددية.

المفهوم الرياضي: إعطاء قيمة افتراضية لأحد المتغيرات لتسهيل الحساب واستنتاج المتغير الآخر، ثم قسمتهما.

لنفترض قيمة عددية للمتغير ص تسهل إيجاد عشرة بالمائة منها، لتكن مثلاً مائة.

$١٠٠ = ص$

عشرة بالمائة من العدد مائة تساوي عشرة.

بناءً على المعطى، خمسون بالمائة من المتغير س يجب أن تساوي هذا الناتج وهو عشرة.

$١٠ = س \times {\dfrac{٥٠}{١٠٠}}$

إذا كان نصف المتغير س يساوي عشرة، فإن قيمة س الكاملة تساوي عشرين.

$٢٠ = س$

الآن نعوض بالقيمتين الافتراضيتين في الكسر المطلوب س على ص.

$\dfrac{٢٠}{١٠٠} = \dfrac{س}{ص}$

بتبسيط الكسر بحذف الأصفار والقسمة على اثنين نحصل على الناتج النهائي.

$\dfrac{١}{٥} = \dfrac{س}{ص}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٥}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب عدد أفراد عينة فرعية من عينة أكبر باستخدام النسب المئوية والكسور المتعاقبة.

الخطوة الأولى هي إيجاد عدد الطلاب الذين حضروا الاختبار بالفعل.

القانون: عدد الحاضرين = العدد الكلي × (نسبة الحضور ÷ ١٠٠)

نعوض بالعدد الكلي للطلاب ونسبة الحضور.

عدد الحاضرين = $٦٠ \times {\dfrac{٩٠}{١٠٠}}$

نبسط الأصفار ونضرب الأعداد الصحيحة.

عدد الحاضرين = $٥٤ = {٩} \times {٦}$

الخطوة الثانية هي إيجاد عدد الطلاب الراسبين من بين الحاضرين.

عدد الراسبين = عدد الحاضرين × كسر الرسوب

المعطى أن نسبة الرسوب هي الثلث.

عدد الراسبين = $٥٤ \times {\dfrac{١}{٣}}$

نقسم الأربعة والخمسين على ثلاثة.

عدد الراسبين = $١٨ = {\dfrac{٥٤}{٣}}$

الخطوة الثالثة هي إيجاد عدد الناجحين بطرح عدد الراسبين من عدد الحاضرين.

عدد الناجحين = ${١٨} – {٥٤}$

بإجراء عملية الطرح نصل للعدد المطلوب.

الناتج النهائي: $٣٦ = {١٨} – {٥٤}$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام مكملة الكسر للوصول المباشر إلى العدد المطلوب دون المرور بحساب عدد الراسبين.

نحسب أولاً عدد الطلاب الحاضرين كما في التكنيك السابق.

عدد الحاضرين = $٥٤ = {\dfrac{٩٠}{١٠٠}} \times {٦٠}$

بما أن نسبة الراسبين تمثل الثلث من الحاضرين، فإن نسبة الناجحين تمثل مكملة هذا الكسر.

مكملة كسر الراسبين ليكون كلاً واحداً هي الثلثان.

نسبة الناجحين = ${\dfrac{٢}{٣}} = {\dfrac{١}{٣}} – {١}$

نحسب عدد الناجحين بضرب عدد الحاضرين في كسر النجاح مباشرة.

عدد الناجحين = ${\dfrac{٢}{٣}} \times {٥٤}$

نبسط بقسمة الأربعة والخمسين على ثلاثة أولاً والناتج نضربه في اثنين.

عدد الناجحين = $٣٦ = {٢} \times {١٨}$

الناتج النهائي مطابق للطريقة السابقة وبخطوات أقل نسبياً.

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاعتماد على النسب المئوية الكلية لحساب عدد الأقساط دون الحاجة لحساب القيم المالية الفعلية للمتبقي.

بما أن الشخص دفع نصف المبلغ، فهذا يعني أنه سدد نسبة خمسين بالمائة من الإجمالي، ويتبقى عليه خمسون بالمائة.

بناءً على المعطيات، القسط الشهري يمثل نسبة خمسة بالمائة من المبلغ المتبقي، أي أن المبلغ المتبقي بالكامل يمثل نسبة مائة بالمائة في هذا السياق المستقل.

لإيجاد عدد الأشهر، نقسم النسبة الكلية للمبلغ المتبقي على نسبة القسط الشهري الواحد.

عدد الأشهر: $٢٠ = {٪٥} \div {٪١٠٠}$

قسمة مائة على خمسة تعطي عشرين شهراً، وهي المدة اللازمة لسداد المبلغ المتبقي بالكامل.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب القيم المالية الفعلية للدفعة وللأقساط واستخدام عملية القسمة.

السعر الكلي للسيارة هو مائة وعشرون ألف ريال.

دفع الشخص نصف المبلغ نقداً، نقوم بقسمة السعر الكلي على اثنين.

المبلغ المتبقي: $٦٠٠٠٠ = {٢} \div {١٢٠٠٠٠}$

قيمة القسط الشهري تعادل خمسة بالمائة من المبلغ المتبقي.

نحسب قيمة القسط: $٣٠٠٠ = {\dfrac{٥}{١٠٠}} \times {٦٠٠٠٠}$

نقوم الآن بقسمة المبلغ المتبقي الإجمالي على قيمة القسط الشهري الواحد لمعرفة عدد الأشهر.

عدد الأشهر: $٢٠ = {٣٠٠٠} \div {٦٠٠٠٠}$

والإجابة هي $٢٠$

طريقة الحل للسؤال الثامن (نسبة ٦٢،٥٪ من ١٦٠):

تكنيك ١: تحويل النسبة المئوية العشرية إلى كسر اعتيادي مشهور

المفهوم الرياضي: الاعتماد على حفظ الكسور المشهورة وم مكافئاتها المئوية لتسريع التبسيط والضرب الجبري.

الخطوة الأولى: من أساسيات القدرات, نعلم أن النسبة المئوية $١٢،٥$٪ تكافئ الكسر الثُمن (${\dfrac{١}{٨}}$).

الخطوة الثانية: نلاحظ أن النسبة $٦٢،٥$٪ هي من مضاعفات الـ $١٢،٥$٪، وتحديداً ناتجة عن ضربها في العدد $٥$.

التعويض: $٦٢،٥٪ = {٥} \times {١٢،٥٪}$

الخطوة الثالثة: نستنتج رياضياً أن النسبة $٦٢،٥$٪ تكافئ الكسر خمسة أثمان (${\dfrac{٥}{٨}}$).

الخطوة الرابعة: حساب القيمة المطلوبة بضرب الكسر المستنتج في العدد الكلي.

التعويض: $١٠٠ = {\dfrac{٥}{٨}} \times {١٦٠}$

والإجابة هي $١٠٠$

تكنيك ٢: التفكيك المرحلي للنسبة المئوية

المفهوم الرياضي: تجزئة النسبة المعقدة إلى أجزاء بسيطة وسهلة الحساب ذهنياً، ثم جمع النواتج في النهاية.

الخطوة الأولى: تفكيك النسبة $٦٢،٥$٪ إلى مجموع نسبتين مألوفتين: $٥٠$٪ و $١٢،٥$٪.

التعويض: $٦٢،٥٪ = {١٢،٥٪} + {٥٠٪}$

الخطوة الثانية: حساب قيمة الجزء الأول وهو $٥٠$٪ (يمثل النصف) من العدد $١٦٠$.

التعويض: $٨٠ = {٢} \div {١٦٠}$

الخطوة الثالثة: حساب قيمة الجزء الثاني وهو $١٢،٥$٪ (يمثل الثُمن) من العدد $١٦٠$.

التعويض: $٢٠ = {٨} \div {١٦٠}$

الخطوة الرابعة: جمع النواتج الجزئية للحصول على القيمة الإجمالية الممثلة للنسبة الكلية.

التعويض: $١٠٠ = {٢٠} + {٨٠}$

والإجابة هي $١٠٠$

التكنيك الأول: التعويض المباشر في قانون النسبة المئوية

المفهوم الرياضي: إيجاد مقدار الجزء من الكل عندما تكون النسبة المئوية والعدد الكلي معلومين.

القانون: مقدار الجزء يساوي العدد الكلي للرميات مضروباً في نسبة الإصابة مقسوماً على مئة.

نعوض بالعدد الكلي للرميات وهو سبعون، ونسبة الإصابة وهي سبعون بالمئة في القانون المباشر:

$٤٩ = {\dfrac{{٧٠} \times {٧٠}}{١٠٠}}$

تم تبسيط المعادلة بحذف الأصفار من البسط والمقام ثم ضرب سبعة في سبعة لنحصل على تسعة وأربعين.

والإجابة هي $٤٩$

التكنيك الثاني: التدرج المنتظم وإيجاد نسبة العشرة بالمئة كمرجع

المفهوم الرياضي: تقسيم العدد الكلي للرميات للوصول إلى نسبة مرجعية بسيطة (عشرة بالمئة)، ثم مضاعفتها للوصول للنسبة المطلوبة (سبعين بالمئة).

القانون: قسمة طرفي التناسب على عشرة لاستخراج قيمة نسبة العشرة بالمئة، ثم ضرب الطرفين في معامل النسبة المستهدفة.

العدد الكلي للرميات يمثل النسبة الكاملة مئة بالمئة:

نسبة $٪١٠٠$ تقابل $٧٠$ رمية.

نقسم الطرفين على عشرة لنجد قيمة رميات نسبة العشرة بالمئة:

نسبة $٪١٠$ تقابل $٧$ رميات.

نضرب الطرفين في سبعة للوصول إلى النسبة المستهدفة وهي سبعون بالمئة:

$٤٩ = {٧} \times {٧}$

والإجابة هي $٤٩$

تكنيك ١: التحويل المباشر للكسر الاعتيادي إلى كسر عشري ثم القسمة على مائة.

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية تعني قسمة المقدار المعطى على العدد مائة. لتحويل نسبة مئوية كسرية إلى قيمة عددية عشرية، نحول الكسر الاعتيادي إلى عشري أولاً، ثم نحرك الفاصلة العشرية لليسار بمقدار خانتين بسبب القسمة على مائة.

الخطوة الأولى: نقوم بتحويل الكسر الاعتيادي ثلاثة أرباع إلى صورته العشرية المكافئة.

نعلم من الكسور المشهورة أن ثلاثة مقسومة على أربعة تساوي خمسة وسبعون من مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٠،٧٥ = {\dfrac{٣}{٤}}$.

الخطوة الثانية: نطبق مفهوم النسبة المئوية بقسمة الناتج العشري على العدد مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٠،٠٠٧٥ = {١٠٠} \div {٠،٧٥}$.

الخطوة الثالثة: عند القسمة على مائة، نقوم بتحريك الفاصلة العشرية خانتين باتجاه اليسار.

نضيف صفرين بعد الفاصلة، ليصبح الناتج خمسة وسبعون من عشرة آلاف.

والإجابة هي $٠،٠٠٧٥$

تكنيك ٢: تحويل علامة النسبة المئوية إلى مقام مضروب في مائة.

المفهوم الرياضي: علامة النسبة المئوية تكافئ رياضياً الضرب في الكسر واحد على مائة، وهو ما يعني ضرب مقام الكسر الأصلي في العدد مائة.

الخطوة الأولى: نكتب الكسر الأصلي كما هو، ونستبدل علامة النسبة المئوية بضرب المقام في العدد مائة.

الكسر الأصلي هو ثلاثة مقسومة على أربعة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٣}{٤٠٠}} = {\dfrac{٣}{١٠٠ \times ٤}}$.

الخطوة الثانية: نقوم بفصل الكسر لتسهيل عملية القسمة، بجعله حاصل ضرب كسرين.

نفصل العدد مائة في المقام، ليصبح الكسر ثلاثة أرباع مضروباً في واحد على مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٣}{٤٠٠}} = {\dfrac{١}{١٠٠}} \times {\dfrac{٣}{٤}}$.

الخطوة الثالثة: نعوض عن الكسر ثلاثة أرباع بقيمته العشرية المشهورة، وهي خمسة وسبعون من مائة.

تصبح العملية ضرب خمسة وسبعون من مائة في واحد على مائة، وهو ما يعادل القسمة على مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٠،٠٠٧٥ = {\dfrac{١}{١٠٠}} \times {٠،٧٥}$.

والإجابة هي $٠،٠٠٧٥$

تكنيك ١: الحساب بناءً على النسب المئوية للمبلغ المتبقي

المفهوم الرياضي: يمكن حل المسألة بالاعتماد على النسب المئوية فقط دون الحاجة لحساب المبالغ المالية الفعلية، حيث يمثل المبلغ المتبقي نسبة $٪١٠٠$ من إجمالي الدَّين المستحق للتقسيط.

قام الرجل بدفع $٪٥٠$ من قيمة السيارة كمقدم.

المبلغ المتبقي يمثل النسبة الكاملة للأقساط وهي $٪١٠٠$ من الدَّين المتبقي للوكالة.

يدفع الرجل نسبة $٪٥$ شهرياً من هذا المبلغ المتبقي.

لمعرفة عدد الأشهر، نقسم النسبة الكلية للمبلغ المتبقي على نسبة القسط الشهري الواحد.

العملية الرياضية هي: $٢٠ = {٥} \div {١٠٠}$

إذن يحتاج إلى $٢٠$ شهراً لإنهاء الأقساط كاملة.

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ٢: الحساب الفعلي للمبالغ المالية

المفهوم الرياضي: حساب قيمة المقدم والمبلغ المتبقي بالأرقام الفعلية، ثم إيجاد قيمة القسط الشهري وقسمة الباقي عليه.

السعر الإجمالي للسيارة هو $١٢٠٠٠٠$ ريال.

دفع الرجل $٪٥٠$ مقدماً، أي نصف المبلغ الإجمالي.

قيمة المقدم هي: $٦٠٠٠٠ = {\dfrac{١}{٢}} \times {١٢٠٠٠٠}$

المبلغ المتبقي للتقسيط هو السعر الكلي ناقص المقدم: $٦٠٠٠٠ = {٦٠٠٠٠} – {١٢٠٠٠٠}$

قيمة القسط الشهري تمثل $٪٥$ من المبلغ المتبقي.

نحسب قيمة القسط الشهري: $٣٠٠٠ = {\dfrac{٥}{١٠٠}} \times {٦٠٠٠٠}$

لإيجاد عدد الأشهر، نقسم المبلغ المتبقي على قيمة القسط الشهري.

العملية هي: $٢٠ = {٣٠٠٠} \div {٦٠٠٠٠}$

والإجابة هي $٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: بناء معادلة خطية لترجمة العلاقة اللفظية المعطاة وإيجاد قيمة المتغير.

نفرض أن العدد المجهول هو المتغير.

سبعة أمثال العدد تعني ضرب المتغير في سبعة.

الطرف الأيمن من المعادلة: $س٧$

الطرف الأيسر هو خمسة بالمئة من العدد تسعمائة وثمانين.

الطرف الأيسر من المعادلة: ${\dfrac{٥}{١٠٠}} \times {٩٨٠}$

نحسب قيمة الطرف الأيسر بحذف صفر من البسط والمقام ثم القسمة والضرب.

خمسة ضرب ثمانية وتسعين مقسومة على عشرة.

قيمة الطرف الأيسر: $٤٩ = {\dfrac{٤٩٠}{١٠}}$

نساوي الطرفين لبناء المعادلة النهائية.

المعادلة: $٤٩ = {س٧}$

لإيجاد المتغير، نقسم الطرف الآخر على معامل المتغير.

العملية الجبرية: $س = {٧} \div {٤٩}$

الناتج النهائي للمتغير.

الناتج النهائي: $٧ = {س}$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تبسيط الطرف العددي باستخدام خصائص النسب المئوية قبل التعامل مع الأمثال.

نحسب نسبة عشرة بالمئة من العدد تسعمائة وثمانين لأنها أسهل ذهنياً.

عشرة بالمئة تعني القسمة على عشرة.

قيمة نسبة عشرة بالمئة: $٩٨ = {١٠} \div {٩٨٠}$

النسبة المطلوبة في الطرف الأيسر هي خمسة بالمئة، وهي نصف العشرة بالمئة.

نقوم بقسمة قيمة العشرة بالمئة على اثنين.

قيمة خمسة بالمئة: $٤٩ = {٢} \div {٩٨}$

الآن نعلم أن سبعة أمثال العدد المجهول تساوي تسعة وأربعين.

نصيغ العبارة: ما هو العدد الذي إذا ضربناه في سبعة كان الناتج تسعة وأربعين؟

من جدول الضرب، نعلم أن سبعة ضرب سبعة تعطي هذا الناتج.

العملية: $٧ = {٧} \div {٤٩}$

الناتج النهائي: $٧$

والإجابة هي $٧$

تكنيك ١: تطبيق قاعدة التبادل في عملية الضرب

المفهوم الرياضي: عملية الضرب هي عملية إبدالية، وبالتالي فإن نسبة (أ) من (ب) تساوي دائماً نسبة (ب) من (أ).

القيمة الأولى تمثل النسبة $٪٢٥$ مضروبة في العدد $٨٠$

الصياغة الرياضية للقيمة الأولى هي: {٨٠} \times {\dfrac{٢٥}{١٠٠}}

القيمة الثانية تمثل النسبة $٪٨٠$ مضروبة في العدد $٢٥$

الصياغة الرياضية للقيمة الثانية هي: {٢٥} \times {\dfrac{٨٠}{١٠٠}}

نلاحظ أن العمليتين تحتويان على نفس الأعداد المضروبة في البسط مقسومة على $١٠٠$

إذن القيمتان متطابقتان رياضياً دون الحاجة لإكمال الحساب.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: الحساب الجبري المباشر للقيمتين

المفهوم الرياضي: حساب كل قيمة على حدة عن طريق تحويل النسب المئوية الشهيرة إلى كسور مبسطة.

في القيمة الأولى، نعلم أن النسبة $٪٢٥$ تعادل الكسر $\dfrac{١}{٤}$

نضرب الكسر في العدد: {٨٠} \times {\dfrac{١}{٤}}

نقسم العدد $٨٠$ على $٤$ ليكون الناتج: $٢٠ = {٤} \div {٨٠}$

في القيمة الثانية، النسبة $٪٨٠$ تعادل الكسر $\dfrac{٤}{٥}$ بعد التبسيط.

نضرب الكسر في العدد: {٢٥} \times {\dfrac{٤}{٥}}

نقسم العدد $٢٥$ على $٥$ ليكون الناتج $٥$، ثم نضربه في البسط $٤$ ليكون الناتج: $٢٠ = {٤} \times {٥}$

الناتجان متطابقان ويساويان $٢٠$

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: تحويل النسب المئوية إلى كسور اعتيادية وحساب الناتج

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية تعني القسمة على $١٠٠$، ولحساب نسبة من عدد نقوم بضرب النسبة في ذلك العدد.

نحسب القيمة الأولى: $٪٧٠$ من $٠،٧$

نحول النسبة والعدد العشري إلى كسور اعتيادية: ${\dfrac{٧}{١٠}} \times {\dfrac{٧٠}{١٠٠}}$

نختصر الصفر من بسط ومقام الكسر الأول: ${\dfrac{٧}{١٠}} \times {\dfrac{٧}{١٠}}$

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: $\dfrac{٤٩}{١٠٠} = {\dfrac{٧}{١٠}} \times {\dfrac{٧}{١٠}}$

نحسب القيمة الثانية: $٪٧$ من $٧$

نحول النسبة المئوية إلى كسر اعتيادي ونضربها في العدد: {٧} \times {\dfrac{٧}{١٠٠}}

نضرب العدد في البسط: $\dfrac{٤٩}{١٠٠} = \dfrac{{٧} \times {٧}}{١٠٠}$

نلاحظ أن ناتج القيمة الأولى هو $\dfrac{٤٩}{١٠٠}$ وناتج القيمة الثانية هو $\dfrac{٤٩}{١٠٠}$

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد العدد الأصلي المجهول من خلال نسبة معلومة وقيمتها، ثم حساب نسبة أخرى من هذا العدد الأصلي.

القانون المتبع لإيجاد العدد الأصلي: العدد = القيمة ÷ (النسبة المئوية ÷ ١٠٠)

نعوض بقيمة الجزء ونسبته المعطاة في السؤال.

العدد الكلي = ${\dfrac{٤}{١٠٠}} \div {١٥٠}$

نحول القسمة إلى ضرب مع قلب الكسر.

العدد الكلي = ${\dfrac{١٠٠}{٤}} \times {١٥٠}$

مئة تقسيم أربعة يساوي خمسة وعشرين.

العدد الكلي = $٢٥ \times {١٥٠}$

الناتج الوسيط للعدد الأصلي: $٣٧٥٠ = {٢٥} \times {١٥٠}$

الآن، نطبق النسبة المطلوبة على هذا العدد الأصلي.

المعادلة: القيمة المطلوبة = ${\dfrac{٦٠}{١٠٠}} \times {٣٧٥٠}$

نحذف الأصفار لتسهيل الضرب.

العملية: القيمة المطلوبة = $٦ \times {٣٧٥}$

نضرب لاستخراج الناتج النهائي.

الناتج النهائي: $٢٢٥٠ = {٦} \times {٣٧٥}$

والإجابة هي $٢٢٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم والمقارنة التناسبية المباشرة للوصول للنسبة المطلوبة دون إيجاد العدد الكلي.

نكتب المعطيات كعلاقة تناسب.

$٪٤$ من العدد يقابلها القيمة $١٥٠$

نحن نبحث عن القيمة التي تقابل نسبة ستين بالمئة من نفس العدد.

نسأل أنفسنا: ما هو العدد الذي نضربه في أربعة ليعطينا ستين؟

المعامل الضربي هو خمسة عشر، لأن أربعة ضرب خمسة عشر يساوي ستين.

بما أن التناسب طردي، نضرب القيمة العددية الأولى في نفس المعامل الضربي.

القيمة المطلوبة = $١٥ \times {١٥٠}$

نقوم بضرب خمسة عشر في خمسة عشر وهو مربع العدد، ثم نضيف الصفر.

مربع خمسة عشر هو مئتان وخمسة وعشرون.

الناتج النهائي: $٢٢٥٠ = {١٥} \times {١٥٠}$

والإجابة هي $٢٢٥٠$

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: حساب السعر الجديد للتذكرة الواحدة بعد الزيادة ثم ضربه في عدد التذاكر المطلوب.

نحسب مقدار الزيادة في سعر التذكرة بضرب السعر الأصلي في نسبة الزيادة.

مقدار الزيادة = السعر الأصلي مضروباً في النسبة.

$٥٩ = \dfrac{١٠}{١٠٠} \times {٥٩٠}$

نضيف مقدار الزيادة إلى السعر الأصلي لإيجاد السعر الجديد للتذكرة الواحدة.

$٦٤٩ = {٥٩٠} + {٥٩}$

نحسب ثمن $٣$ تذاكر بضرب السعر الجديد في $٣$.

$١٩٤٧ = {٣} \times {٦٤٩}$

والإجابة هي $١٩٤٧$

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: حساب إجمالي السعر الأصلي للتذاكر الثلاث ثم إضافة نسبة الزيادة على الإجمالي.

نحسب ثمن $٣$ تذاكر بالسعر الأصلي قبل الزيادة.

$١٧٧٠ = {٣} \times {٥٩٠}$

نحسب مقدار الزيادة للإجمالي بضربه في نسبة $١٠$٪.

$١٧٧ = \dfrac{١٠}{١٠٠} \times {١٧٧٠}$

نضيف مقدار الزيادة إلى الإجمالي الأصلي للتذاكر.

$١٩٤٧ = {١٧٧٠} + {١٧٧}$

والإجابة هي $١٩٤٧$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة جبرية من الدرجة الأولى لإيجاد القيمة الكلية بناءً على نسبة مئوية معلومة لجزء محدد.

بالنظر إلى المعطيات المستخرجة، نجد أن عدد المربعات الصغيرة المظللة يبلغ اثني عشر مربعاً.

هذه المربعات تمثل نسبة خمسة عشر بالمائة من إجمالي المربعات في الشكل، لذا نكون المعادلة التالية لتمثيل العلاقة.

المعادلة هي: $١٢ = {س} \times {\dfrac{١٥}{١٠٠}}$

لإيجاد قيمة المتغير س الذي يمثل العدد الكلي، نقوم بنقل الكسر إلى الطرف الآخر مع قلبه.

يصبح التعبير الرياضي: $س = {\dfrac{١٠٠}{١٥}} \times {١٢}$

نقوم بتبسيط الكسر من خلال قسمة كل من البسط والمقام على ثلاثة.

تصبح المعادلة بعد التبسيط: $س = {\dfrac{١٠٠}{٥}} \times {٤}$

نقوم بقسمة العدد مائة على خمسة للحصول على عشرين.

وأخيراً نضرب العدد عشرين في أربعة.

الناتج النهائي: $٨٠ = {٤} \times {٢٠}$

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم للوصول إلى النسبة المئوية الكاملة.

نعلم أن نسبة خمسة عشر بالمائة تعادل اثني عشر مربعاً.

التعبير الرياضي: $١٢ = ٪١٥$

نقسم الطرفين على ثلاثة للوصول إلى نسبة خمسة بالمائة.

ينتج لدينا: $٤ = ٪٥$

نضرب الطرفين الآن في العدد عشرين للوصول إلى النسبة الكاملة مائة بالمائة.

ينتج لدينا: $٨٠ = ٪١٠٠$

إذن العدد الكلي للمربعات هو ثمانون.

والإجابة هي $٨٠$

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: حساب قيمة النسبة المئوية من العدد الكلي ثم طرحها لإيجاد المبلغ المتبقي.

نحسب مقدار ما صرفه محمد بضرب المبلغ الكلي في النسبة المئوية للصرف.

قيمة الصرف = المبلغ الكلي مضروباً في النسبة المئوية.

$٢٨٩،٥ = \dfrac{١٠}{١٠٠} \times {٢٨٩٥}$

الآن نطرح قيمة ما صرفه من المبلغ الأصلي لمعرفة المبلغ المتبقي.

المبلغ المتبقي = المبلغ الكلي مطروحاً منه قيمة الصرف.

$٢٦٠٥،٥ = {٢٨٩٥} – {٢٨٩،٥}$

نقرب الناتج لأقرب عدد صحيح بناءً على الخيارات المتاحة.

$٢٦٠٦ \approx ٢٦٠٥،٥$

والإجابة هي $٢٦٠٦$

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: حساب نسبة المتبقي مباشرة كنسبة مكملة للنسبة المصروفة.

النسبة الكلية للمبلغ هي $١٠٠$٪، وما صرفه محمد هو $١٠$٪.

إذن نسبة المبلغ المتبقي تمثل النسبة المكملة.

النسبة المكملة = $٩٠ = {١٠٠} – {١٠}$٪.

نضرب النسبة المكملة في المبلغ الكلي بشكل مباشر.

$٢٦٠٥،٥ = \dfrac{٩٠}{١٠٠} \times {٢٨٩٥}$

نقرب الناتج إلى أقرب عدد صحيح.

$٢٦٠٦ \approx ٢٦٠٥،٥$

والإجابة هي $٢٦٠٦$

تكنيك ١: التبسيط بحذف العوامل المشتركة

المفهوم الرياضي: عند مقارنة قيمتين تحتويان على عامل ضرب مشترك موجب، يمكننا حذف هذا العامل من الطرفين والمقارنة بين القيم المتبقية لتسهيل الحل.

القيمة الأولى تحتوي على النسبة $٪٩٩$ مضروبة في الكسر $\dfrac{٨}{٩}$

القيمة الثانية تحتوي على النسبة $٪٩٩$ مضروبة في الكسر $\dfrac{٩}{١١}$

نحذف النسبة المشتركة $٪٩٩$ من كلا القيمتين.

تصبح المقارنة بين الكسر $\dfrac{٨}{٩}$ في القيمة الأولى، والكسر $\dfrac{٩}{١١}$ في القيمة الثانية.

لمقارنة الكسرين، نقوم باستخدام طريقة الضرب التبادلي (المقص).

نضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني: $٨٨ = {١١} \times {٨}$

نضرب بسط الكسر الثاني في مقام الكسر الأول: $٨١ = {٩} \times {٩}$

بما أن $٨٨$ أكبر من $٨١$، فإن الكسر $\dfrac{٨}{٩}$ أكبر من الكسر $\dfrac{٩}{١١}$

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة جزء من عدد كلي باستخدام النسبة المئوية.

القانون: القيمة = العدد الكلي × (النسبة المئوية ÷ ١٠٠)

العدد الكلي في هذا السؤال هو مئة وستون.

النسبة المئوية المطلوبة هي ستون بالمئة.

نقوم بالتعويض في القانون لإيجاد القيمة المطلوبة.

المعادلة: القيمة = $١٦٠ \times {\dfrac{٦٠}{١٠٠}}$

لتبسيط العملية الحسابية، نقوم بحذف الصفر من بسط الكسر وصفر من العدد الكلي مع صفري المقام.

الخطوة التالية بعد التبسيط: القيمة = $١٦ \times {٦}$

نقوم بإجراء عملية الضرب المباشرة للحصول على الناتج النهائي.

الناتج النهائي: $٩٦ = {١٦} \times {٦}$

والإجابة هي $٩٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم لتفكيك النسبة المئوية إلى نسب أبسط يسهل حسابها ذهنياً.

العدد الكلي يمثل النسبة المئوية الكاملة.

$٪١٠٠$ يقابلها العدد $١٦٠$

لإيجاد نسبة عشرة بالمئة، نقسم الطرفين على العدد عشرة.

$٪١٠$ يقابلها العدد $١٦$

النسبة المطلوبة هي ستون بالمئة، وهي عبارة عن ستة أضعاف نسبة العشرة بالمئة.

نضرب نسبة العشرة بالمئة وقيمتها العددية في العدد ستة.

$٪٦٠ = {٦} \times ٪١٠$ يقابلها $٩٦ = {٦} \times {١٦}$

إذن القيمة التي تقابل ستين بالمئة هي ستة وتسعون.

والإجابة هي $٩٦$

تكنيك ١: حل المعادلة الجبرية المباشرة.

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى معادلة رياضية وحل المتغير المجهول بنقل المعامل للطرف الآخر.

نكتب المعادلة من المعطيات؛ سبعون على مائة مضروبة في المتغير س تساوي مائتين وعشرة.

$٢١٠ = س \times {\dfrac{٧٠}{١٠٠}}$

لإيجاد قيمة المتغير س، نضرب الطرف الآخر في مقلوب الكسر.

$س = {\dfrac{١٠٠}{٧٠}} \times {٢١٠}$

نبسط بقسمة مائتين وعشرة على سبعين لينتج ثلاثة، ثم نضربها في مائة.

$٣٠٠ = {١٠٠} \times {٣}$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ٢: طريقة التدرج المنتظم خطوة بخطوة.

المفهوم الرياضي: الوصول إلى القيمة الإجمالية مائة بالمائة عن طريق إيجاد قيمة وحدة مئوية أبسط.

المعطى هو أن سبعين بالمائة تعادل مائتين وعشرة.

$٢١٠ = ٪٧٠$

بقسمة الطرفين على سبعة، نحصل على قيمة عشرة بالمائة.

$٣٠ = {٧} \div {٢١٠}$

إذاً عشرة بالمائة تعادل ثلاثين.

للوصول إلى القيمة الكاملة وهي مائة بالمائة، نضرب الطرفين في عشرة.

$٣٠٠ = {١٠} \times {٣٠}$

والإجابة هي $٣٠٠$

التكنيك الأول: الحساب المرحلي للنسب المكملة بناءً على الحضور

المفهوم الرياضي: فهم السياق المنطقي للسؤال بأن نسبة الرسوب تُحسب من نسبة الحاضرين فقط وليس من الإجمالي العام للطلاب، وبالتالي نحسب نسبة الحضور أولاً كنسبة مكملة لنسبة الغياب.

القانون: نسبة الحاضرين تساوي النسبة الإجمالية مطروحاً منها نسبة الغياب.

نحسب نسبة الطلاب الذين حضروا الاختبار:

$٪٨٨ = {٪١٢} – {٪١٠٠}$

الطلاب الذين لم يجتازوا الاختبار (الراسبون) يمثلون خمسة وعشرين بالمئة من نسبة الحضور، وهو ما يكافئ الربع رياضياً.

القانون: نسبة الرسوب الفعلية من الإجمالي تساوي نسبة الرسوب مضروبة في نسبة الحضور.

نضرب نسبة الحضور في ربع لإيجاد النسبة المئوية للراسبين من إجمالي الطلاب:

$٪٢٢ = {٪٨٨} \times {\dfrac{١}{٤}}$

القانون: نسبة النجاح تساوي نسبة الحضور مطروحاً منها نسبة الرسوب الفعلية.

نطرح نسبة الراسبين من نسبة الحاضرين لإيجاد نسبة الذين اجتازوا الاختبار:

$٪٦٦ = {٪٢٢} – {٪٨٨}$

والإجابة هي $٪٦٦$

التكنيك الثاني: استنتاج النسبة المكملة للناجحين وضربها المباشر في الحضور

المفهوم الرياضي: استخراج النسبة المكملة للنجاح من بين الحاضرين مباشرة دون حساب نسبة الرسوب الإجمالية، ثم ضربها في نسبة الحضور.

القانون: النسبة المكملة للنجاح تساوي الواحد الصحيح (أو النسبة الكاملة للحضور) مطروحاً منه نسبة الرسوب من الحضور.

بما أن نسبة الرسوب من الحاضرين هي خمسة وعشرون بالمئة (أي الربع)، فإن النسبة المكملة للنجاح من الحاضرين هي خمسة وسبعون بالمئة (أي ثلاثة أرباع).

نحسب نسبة الحضور الكلية أولاً:

$٪٨٨ = {٪١٢} – {٪١٠٠}$

نقوم بضرب نسبة الحضور في الكسر الممثل للنسبة المكملة للنجاح لإيجاد النسبة الإجمالية للناجحين:

$٪٦٦ = {\dfrac{٣}{٤}} \times {٪٨٨}$

والإجابة هي $٪٦٦$

تكنيك ١: حساب القيمة العددية لمقدار الزيادة المئوية، ثم إضافتها إلى العدد الأصلي للغرف.

المفهوم الرياضي: لإيجاد الإجمالي بعد زيادة مئوية، نقوم أولاً بضرب النسبة المئوية في العدد الأصلي لمعرفة مقدار الزيادة الفعلي كقيمة عددية، ثم نجمع هذا المقدار مع العدد الأصلي.

الخطوة الأولى: نقوم بتحويل نسبة الزيادة المعطاة، وهي خمسة وعشرون بالمائة، إلى كسر اعتيادي مبسط لتسهيل الضرب.

نعلم أن نسبة خمسة وعشرين بالمائة تكافئ الكسر ربع.

تُكتب العلاقة كالتالي: ${\dfrac{١}{٤}} = \% ٢٥$.

الخطوة الثانية: نضرب هذا الكسر في العدد الأصلي للغرف لحساب مقدار الزيادة الفعلية بالغرف.

نضرب الكسر ربع في العدد مائتين.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٥٠ = {٢٠٠} \times {\dfrac{١}{٤}}$.

نستنتج أن مقدار الزيادة هو خمسون غرفة إضافية.

الخطوة الثالثة: نجمع مقدار الزيادة المستخرج مع العدد الأصلي للغرف للحصول على الإجمالي الكلي الحالي.

نجمع العدد مائتين مع العدد خمسين.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٢٥٠ = {٥٠} + {٢٠٠}$.

والإجابة هي $٢٥٠$

تكنيك ٢: دمج نسبة الزيادة مع النسبة الأصلية والضرب المباشر لإيجاد الإجمالي بخطوة واحدة.

المفهوم الرياضي: العدد الأصلي يمثل دائماً نسبة مائة بالمائة. عند حدوث زيادة، يمكننا جمع نسبة الزيادة مع المائة بالمائة لنحصل على النسبة الإجمالية الجديدة، ثم نضربها مباشرة في العدد الأصلي.

الخطوة الأولى: نحدد النسبة المئوية الإجمالية الجديدة بجمع نسبة الزيادة مع النسبة الكلية الأساسية.

نجمع مائة بالمائة مع خمسة وعشرين بالمائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $\% ١٢٥ = {\% ٢٥} + {\% ١٠٠}$.

النسبة الجديدة للإجمالي هي مائة وخمسة وعشرون بالمائة من العدد الأصلي.

الخطوة الثانية: نحول هذه النسبة الجديدة إلى كسر اعتيادي لتسهيل العملية الحسابية.

النسبة مائة وخمسة وعشرون بالمائة تكافئ الكسر مائة وخمسة وعشرون على مائة، وبعد التبسيط بقسمة البسط والمقام على خمسة وعشرين، نحصل على الكسر خمسة أرباع.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٥}{٤}} = {\dfrac{١٢٥}{١٠٠}}$.

الخطوة الثالثة: نضرب الكسر المستنتج مباشرة في العدد الأصلي للغرف لإيجاد الإجمالي الحالي.

نضرب الكسر خمسة أرباع في العدد مائتين.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٢٥٠ = {٢٠٠} \times {\dfrac{٥}{٤}}$.

يمكن تبسيطها بقسمة المائتين على أربعة لنحصل على خمسين، ثم نضرب الخمسين في البسط خمسة لنحصل على مائتين وخمسين.

والإجابة هي $٢٥٠$

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون النسبة المئوية من العدد المرجعي $١٠٠$.

النسبة المئوية تعني جزءاً من مائة.

لحساب أي نسبة مئوية من العدد $١٠٠$ تحديداً، فإن القيمة الناتجة تكون مساوية لقيمة النسبة ذاتها.

نصيغ المعادلة رياضياً بضرب النسبة المئوية في العدد المطلوب.

$١٥،٣٥ = {١٠٠} \times \dfrac{١٥،٣٥}{١٠٠}$

يختصر العدد $١٠٠$ في البسط مع العدد $١٠٠$ في المقام.

يتبقى لدينا الرقم $١٥،٣٥$ بشكل مباشر.

والإجابة هي $١٥،٣٥$

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري ثم الضرب.

النسبة $١٥،٣٥$٪ تُكتب ككسر عشري بتحريك الفاصلة خانتين لليسار.

$٠،١٥٣٥$

نضرب الكسر العشري في العدد $١٠٠$.

$١٥،٣٥ = {١٠٠} \times {٠،١٥٣٥}$

والإجابة هي $١٥،٣٥$

تكنيك ١: حساب قيمة التوفير الشهري ثم إيجاد عدد الأشهر

المفهوم الرياضي: لإيجاد الزمن اللازم لتجميع مبلغ معين، نقوم أولاً بحساب مقدار ما يتم توفيره في الدورة الواحدة، ثم نقسم المبلغ الإجمالي المستهدف على مقدار التوفير.

راتب الشخص الإجمالي هو $١٠٠٠٠$ ريال.

يوفر الشخص نسبة $٪٢٠$ من هذا الراتب شهرياً.

نحول النسبة إلى كسر ونضربها في الراتب لإيجاد مبلغ التوفير الشهري: {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times {١٠٠٠٠}

قيمة التوفير الشهري هي: $٢٠٠٠ = {١٠٠} \div {٢٠٠٠٠٠}$

ثمن السلعة المراد شراؤها هو $٦٦٠٠٠$ ريال.

لإيجاد عدد الأشهر المطلوبة، نقسم ثمن السلعة على التوفير الشهري المستخرج.

العملية الرياضية هي: $٣٣ = {٢٠٠٠} \div {٦٦٠٠٠}$

نحذف ثلاثة أصفار من المقسوم والمقسوم عليه لتصبح العملية: $٣٣ = {٢} \div {٦٦}$

إذن يحتاج الشخص إلى $٣٣$ شهراً لجمع المبلغ المطلوب.

والإجابة هي $٣٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب قيمة الخصم الفعلي ثم طرحه من السعر الأصلي للوصول إلى السعر النهائي للمقارنة.

السعر الأصلي للهاتف الجوال هو تسعمائة ريال، ونسبة الخصم تبلغ عشرة بالمائة.

نحسب مقدار الخصم بضرب السعر الأصلي في النسبة المئوية.

قيمة الخصم: $٩٠ = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٩٠٠}$

نطرح قيمة الخصم من السعر الأصلي لمعرفة القيمة الأولى.

السعر بعد الخصم: $٨١٠ = {٩٠} – {٩٠٠}$

نقارن الآن بين القيمة الأولى وهي ثمانمائة وعشرة ريالات، والقيمة الثانية وهي ثمانمائة ريال.

نجد أن الثمانمائة وعشرة أكبر من الثمانمائة.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام النسبة المئوية الـ مكملة لحساب السعر النهائي بخطوة واحدة مباشرة.

بما أن الخصم يبلغ عشرة بالمائة من السعر الكلي الذي يمثل مائة بالمائة.

فإن النسبة الـ مكملة التي سيدفعها المشتري هي تسعون بالمائة.

النسبة المكملة: $٪٩٠ = {٪١٠} – {٪١٠٠}$

نحسب القيمة الأولى بضرب السعر الأصلي في النسبة الـ مكملة مباشرة.

السعر النهائي: $٨١٠ = {\dfrac{٩٠}{١٠٠}} \times {٩٠٠}$

بمقارنة القيمة الأولى ثمانمائة وعشرة بالقيمة الثانية ثمانمائة، يتضح التفوق للأولى.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة خطية لإيجاد القيمة الفعلية للمتغير المجهول.

المعطى ينص على أن $١٥٠$٪ من المتغير $أ$ يساوي $٢٥٠٠$.

نكتب النسبة المئوية في صورة كسر بسطه $١٥٠$ ومقامه $١٠٠$.

${٢٥٠٠} = {أ} \times \dfrac{١٥٠}{١٠٠}$

بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على $٥٠$ ينتج لدينا $\dfrac{٣}{٢}$.

${٢٥٠٠} = {أ} \times \dfrac{٣}{٢}$

نضرب كلا الطرفين في المقلوب $\dfrac{٢}{٣}$ لعزل المتغير $أ$.

$\dfrac{٥٠٠٠}{٣} = \dfrac{٢}{٣} \times {٢٥٠٠} = {أ}$

بقسمة $٥٠٠٠$ على $٣$ نحصل على الناتج التقريبي $١٦٦٦،٦٧$.

القيمة الأولى ($أ$) تساوي تقريباً $١٦٦٦،٦٧$.

القيمة الثانية المعطاة هي $٣٠٠٠$.

نلاحظ بوضوح أن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: الاستنتاج المنطقي السريع دون الحاجة لحساب دقيق.

إذا كانت نسبة $١٥٠$٪ من $أ$ تساوي $٢٥٠٠$.

النسبة $١٥٠$٪ تعني مرة ونصف من قيمة $أ$.

بما أن مرة ونصف من $أ$ تساوي $٢٥٠٠$، فهذا يعني أن القيمة الأصلية $أ$ (والتي تمثل $١٠٠$٪) يجب أن تكون أصغر بكثير من $٢٥٠٠$.

إذن القيمة الأولى أقل من $٢٥٠٠$.

القيمة الثانية المعطاة للمقارنة هي $٣٠٠٠$.

بالتأكيد، العدد الذي هو أصغر من $٢٥٠٠$ سيكون أصغر من $٣٠٠٠$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: استخدام النسبة المكملة للوصول إلى العدد الإجمالي للطلاب.

النسبة المئوية لجميع الطلاب تمثل $١٠٠$٪.

بما أن نسبة الغائبين تساوي $٤٠$٪، فإن نسبة الحاضرين هي النسبة المكملة.

نسبة الحاضرين = $٦٠ = {١٠٠} – {٤٠}$٪.

لدينا عدد الحاضرين يساوي $١٨$ طالباً، وهذا العدد يمثل $٦٠$٪ من العدد الكلي للطلاب.

نصيغ المعادلة الرياضية حيث نفرض أن العدد الكلي هو $س$.

${١٨} = {س} \times \dfrac{٦٠}{١٠٠}$

لإيجاد قيمة $س$، نضرب طرفي المعادلة في مقلوب الكسر.

$٣٠ = \dfrac{١٠٠}{٦٠} \times {١٨}$

والإجابة هي $٣٠$

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم للوصول للعدد الكلي.

نسبة الحاضرين هي النسبة المكملة للغائبين وتساوي $٦٠$٪.

يمثل $١٨$ طالباً نسبة $٦٠$٪ من الإجمالي.

بقسمة الطرفين على $٦$ لتبسيط النسبة والوصول لنسبة أصغر.

$٣$ طلاب يمثلون نسبة $١٠$٪.

بضرب الطرفين في $١٠$ للحصول على النسبة الكلية $١٠٠$٪.

$٣٠$ طالباً يمثلون نسبة $١٠٠$٪.

والإجابة هي $٣٠$

طريقة الحل للسؤال الرابع (مقارنة السعر بعد الخصم لشماغ ٩٥):

تكنيك ١: الحساب الرياضي المباشر للقيمتين

المفهوم الرياضي: إيجاد السعر النهائي بعد استقطاع قيم الخصومات المختلفة.

الخطوة الأولى: حساب السعر النهائي للقيمة الأولى.

قيمة الخصم للقيمة الأولى استخرجناها مسبقاً وهي $٢٣،٧٥$ ريالاً.

التعويض للسعر المتبقي: $٧١،٢٥ = {٢٣،٧٥} – {٩٥}$ ريالاً.

الخطوة الثانية: حساب السعر النهائي للقيمة الثانية.

قيمة الخصم المعطاة هي $٢٥$ ريالاً كاستقطاع نقدي.

التعويض للسعر المتبقي: $٧٠ = {٢٥} – {٩٥}$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: مقارنة الأسعار النهائية.

القيمة الأولى تساوي $٧١،٢٥$ والقيمة الثانية تساوي $٧٠$.

العدد $٧١،٢٥$ أكبر من العدد $٧٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: الاستنتاج العكسي بمقارنة الاستقطاعات

المفهوم الرياضي: السعر النهائي المعبر عن القيمة المكملة يتناسب عكسياً مع حجم الاستقطاع.

الخطوة الأولى: خصم القيمة الأولى ($٢٥$٪ من $٩٥$) يساوي $٢٣،٧٥$ ريالاً.

الخطوة الثانية: خصم القيمة الثانية هو $٢٥$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: نلاحظ أن الاستقطاع في القيمة الأولى ($٢٣،٧٥$) أقل من الاستقطاع في القيمة الثانية ($٢٥$).

الخطوة الرابعة: بناءً على القاعدة العكسية، بما أن الخصم في القيمة الأولى أقل، فإن المبلغ المتبقي (السعر بعد الخصم) سيكون هو الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة الجزء من الكل باستخدام النسبة المئوية.

نسبة إنتاج الطماطم ثابتة وتساوي اثني عشر بالمائة من الإنتاج الكلي اليومي.

الإنتاج الكلي الجديد في ذلك اليوم بلغ ألفاً وخمسمائة حبة.

عدد حبات الطماطم = ${١٥٠٠} \times {\dfrac{١٢}{١٠٠}}$

نحذف الصفرين من البسط والمقام لتبسيط العملية الحسابية.

عدد حبات الطماطم = ${١٥} \times {١٢}$

نضرب خمسة عشر في اثني عشر.

$١٨٠ = {١٥} \times {١٢}$

عدد حبات الطماطم هو مائة وثمانون حبة.

والإجابة هي $١٨٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم والتناسب الطردي.

عندما كان الإنتاج ألف حبة، كان عدد حبات الطماطم يساوي اثني عشر بالمائة منها.

عدد الطماطم للإنتاج القديم = ${١٠٠٠} \times {\dfrac{١٢}{١٠٠}}$

$١٢٠ = {١٠} \times {١٢}$

نحسب مقدار الزيادة في الإنتاج الكلي، وهي خمسمائة حبة، والتي تمثل نصف الألف.

إذاً زيادة إنتاج الطماطم ستعادل نصف إنتاجها السابق.

زيادة الطماطم = $٦٠ = {٢} \div {١٢٠}$

نجمع الإنتاج الأساسي للطماطم مع الزيادة.

$١٨٠ = {٦٠} + {١٢٠}$

الإنتاج الإجمالي للطماطم هو مائة وثمانون حبة.

والإجابة هي $١٨٠$

تكنيك ١: إيجاد قيمة المتغير جبرياً للمقارنة.

المفهوم الرياضي: صياغة معادلة جبرية واستخراج قيمة المتغير ليكون قابلاً للمقارنة المباشرة مع القيمة الثابتة.

نعبر عن النسبة مائة وستين بالمائة ككسر ونساويه بالعدد ثمانية آلاف وثمانمائة وثمانية وثمانين.

$٨٨٨٨ = س \times {\dfrac{١٦٠}{١٠٠}}$

ننقل الكسر للطرف الآخر بقلب بسطه ومقامه لنجد قيمة س المتغير في القيمة الثانية.

$س = {\dfrac{١٠٠}{١٦٠}} \times {٨٨٨٨}$

بقسمة ثمانية آلاف وثمانمائة وثمانية وثمانين على ستة عشر وضرب الناتج في عشرة، نصل للناتج.

$٥٥٥٥ = س$

القيمة الثانية هي خمسة آلاف وخمسمائة وخمسة وخمسون، والقيمة الأولى مطابقة لها.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي التناسبي دون حسابات مطولة.

المفهوم الرياضي: استغلال طبيعة النسب المئوية لاختبار صحة إحدى القيم وقياس المعطيات عليها.

نعلم أن القيمة الأولى المعطاة هي خمسة آلاف وخمسمائة وخمسة وخمسون.

لنفترض أن المتغير س يساوي هذه القيمة تماماً، ونختبر نسبة مائة وستين بالمائة منها.

نسبة مائة بالمائة من هذا العدد هي العدد نفسه.

ونسبة ستين بالمائة منه هي ستة أعشار العدد.

$٣٣٣٣ = {٥٥٥٥} \times {\dfrac{٦}{١٠}}$

بجمع نسبة مائة بالمائة وستين بالمائة.

$٨٨٨٨ = {٣٣٣٣} + {٥٥٥٥}$

بما أن الناتج يتطابق مع المعطى في السؤال، فإن الافتراض صحيح وقيمة س مطابقة للقيمة الأولى.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: توحيد مساحات الأجزاء لتكوين نسبة صحيحة بين الجزء والكل.

بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أنه مربع مقسم إلى أربعة مثلثات كبيرة متطابقة.

تم تقسيم أحد هذه المثلثات الكبيرة إلى أربعة مثلثات صغيرة متطابقة.

للمقارنة العادلة، نفترض تقسيم جميع المثلثات الكبيرة بنفس الطريقة.

إجمالي عدد المثلثات الصغيرة في الشكل الكلي = ${٤} \times {٤}$

$١٦ = {٤} \times {٤}$

الجزء المظلل يمثل مثلثاً صغيراً واحداً فقط.

بالتالي نسبة المظلل إلى الشكل الكلي هي واحد إلى ستة عشر.

تكتب النسبة على صورة كسر أو باستخدام نقطتين للنسبة.

$١٦ : ١$

والإجابة هي $١٦ : ١$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب المساحة الكسرية التراكمية.

المثلث الكبير الواحد يمثل ربع مساحة المربع الكلي.

المساحة الكسرية للمثلث الكبير = ${\dfrac{١}{٤}}$

المثلث المظلل يمثل ربع مساحة المثلث الكبير الذي يحتويه.

مساحة المثلث المظلل بالنسبة للشكل الكلي تساوي ربع الربع.

المساحة = ${\dfrac{١}{٤}} \times {\dfrac{١}{٤}}$

${\dfrac{١}{١٦}} = {\dfrac{١}{٤}} \times {\dfrac{١}{٤}}$

النسبة هي واحد إلى ستة عشر.

والإجابة هي $١٦ : ١$

تكنيك ١: تحويل الكسر المطلوب إلى نسبة مئوية والقسمة المباشرة.

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد مرات تكرار مقدار معين داخل مقدار آخر، نقوم بقسمة المقدار الكلي على المقدار الجزئي المطلوب إيجاد عدده، بشرط توحيد الصيغة الرياضية لهما إما ككسور أو كنسب مئوية.

الخطوة الأولى: نقوم بتحويل الكسر اللفظي المطلوب، وهو الخُمس، إلى صورته المكافئة كنسبة مئوية.

نعلم أن الكسر واحد على خمسة يعادل رياضياً النسبة المئوية عشرون بالمائة.

تُكتب العلاقة كالتالي: $\% ٢٠ = {\dfrac{١}{٥}}$.

الخطوة الثانية: نقوم بقسمة النسبة المئوية الكلية المعطاة في السؤال على نسبة الخُمس التي استنتجناها.

نقسم العدد خمسة وأربعون على العدد عشرين لإيجاد عدد الأخماس.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٢،٢٥ = {٢٠} \div {٤٥}$.

الخطوة الثالثة: لتسهيل القسمة ذهنياً، يمكننا تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على العدد خمسة.

قسمة خمسة وأربعين على خمسة تساوي تسعة، وقسمة عشرين على خمسة تساوي أربعة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $\dfrac{٩}{٤} = {\dfrac{٥ \div ٤٥}{٥ \div ٢٠}}$.

الخطوة الرابعة: نحول الكسر غير الفعلي تسعة أرباع إلى عدد كسري أو عشري.

العدد تسعة يحتوي على أربعتين ويتبقى واحد، إذن الناتج هو اثنان وربع، والذي يكتب عشرياً اثنان وخمسة وعشرون من مائة.

والإجابة هي $٢،٢٥$

تكنيك ٢: تحويل النسبة المئوية إلى كسر اعتيادي والضرب في مقلوب الكسر.

المفهوم الرياضي: يمكن تحويل النسبة المئوية المعطاة إلى كسر اعتيادي، ثم إجراء عملية قسمة الكسور المعتادة، والتي تتحول إلى عملية ضرب في مقلوب المقسوم عليه.

الخطوة الأولى: نكتب النسبة المئوية خمسة وأربعون بالمائة على صورة كسر اعتيادي مقامه العدد مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٤٥}{١٠٠}} = \% ٤٥$.

الخطوة الثانية: نصيغ معادلة القسمة لإيجاد عدد الأخماس داخل هذا الكسر.

نقسم الكسر خمسة وأربعون على مائة، على الكسر واحد على خمسة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{١}{٥}} \div {\dfrac{٤٥}{١٠٠}}$.

الخطوة الثالثة: نطبق قاعدة قسمة الكسور، بنقل الكسر الأول كما هو، وتحويل علامة القسمة إلى ضرب، ثم قلب الكسر الثاني.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٥}{١}} \times {\dfrac{٤٥}{١٠٠}}$.

الخطوة الرابعة: نقوم بضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

ضرب خمسة وأربعين في خمسة يعطينا مائتان وخمسة وعشرون في البسط، والمقام يبقى مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٢٢٥}{١٠٠}}$.

الخطوة الخامسة: نقسم الناتج على مائة بتحريك الفاصلة خانتين لليسار، لنحصل على القيمة العشرية.

الناتج هو اثنان وخمسة وعشرون من مائة.

والإجابة هي $٢،٢٥$

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة الكلية للمبيعات ثم حساب نصيب العامل منها للمقارنة.

المعطى الأول ينص على أن نصف مبيعات الشركة يساوي $٤٠٠٠$ ريال.

لإيجاد المبيعات الكلية، نضرب قيمة النصف في $٢$.

$٨٠٠٠ = {٢} \times {٤٠٠٠}$

المبيعات الكلية للشركة تساوي $٨٠٠٠$ ريال.

نحسب القيمة الأولى وهي نصيب العامل الذي يمثل $٥$٪ من المبيعات الكلية.

$٤٠0 = \dfrac{٥}{١٠٠} \times {٨٠٠٠}$

القيمة الأولى تساوي $٤٠٠$.

نقارن بين القيمة الأولى والقيمة الثانية.

القيمة الأولى هي $٤٠٠$ والقيمة الثانية هي $٣٠٠$.

بما أن $٤٠٠$ أكبر من $٣٠٠$، فإن القيمة الأولى أكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: حساب نصيب العامل من نصف المبيعات ثم مضاعفة الناتج.

نصف المبيعات يساوي $٤٠٠٠$ ريال.

نحسب $٥$٪ من هذا النصف كخطوة أولى.

$٢٠٠ = \dfrac{٥}{١٠٠} \times {٤٠٠٠}$

بما أن المبيعات الكلية هي ضعف النصف، فإن نصيب العامل من المبيعات الكلية هو ضعف الـ $٢٠٠$.

$٤٠٠ = {٢} \times {٢٠٠}$

نصيب العامل (القيمة الأولى) هو $٤٠٠$.

القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية المتمثلة بـ $٣٠٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: صياغة مساواة جبرية تتضمن نسباً مئوية لطرفين ثم حلها لإيجاد المتغير المجهول.

نقوم أولاً بترجمة نص السؤال إلى معادلة رياضية.

المعادلة: ${\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٤٠٠} = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {س}$

نحسب قيمة الطرف الأيسر من المعادلة لتبسيطها.

قيمة الطرف الأيسر: $٤٠ = {١٠} \times {٤}$ بعد حذف الأصفار.

المعادلة المبسطة: $٤٠ = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {س}$

لإيجاد قيمة المتغير، ننقل الكسر المضروب به للطرف الآخر ليصبح عملية قسمة، أو نضرب في مقلوبه.

الخطوة الجبرية: $س = {\dfrac{١٠٠}{٢٥}} \times {٤٠}$

نعلم أن مئة تقسيم خمسة وعشرين يساوي أربعة.

المعادلة: $س = {٤} \times {٤٠}$

بإجراء عملية الضرب البسيطة نصل للناتج.

الناتج النهائي: $١٦٠ = {٤} \times {٤٠}$

والإجابة هي $١٦٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استبدال النسب المئوية الشهيرة بكسورها الاعتيادية لتسريع الحساب الذهني.

النسبة الأولى هي خمسة وعشرون بالمئة، وهي تعادل الربع ككسر اعتيادي.

النسبة الثانية هي عشرة بالمئة، وهي تعادل العشر ككسر اعتيادي.

نكتب المعادلة باستخدام الكسور الاعتيادية.

المعادلة: ${\dfrac{١}{١٠}} \times {٤٠٠} = {\dfrac{١}{٤}} \times {س}$

نبسط الطرف الأيسر بقسمة أربعمائة على عشرة.

الطرف الأيسر: $٤٠ = {\dfrac{٤٠٠}{١٠}}$

المعادلة الجديدة: $٤٠ = {\dfrac{١}{٤}} \times {س}$

نضرب طرفي المعادلة في العدد أربعة للتخلص من المقام الملاصق للمتغير.

المعادلة: $س = {٤} \times {٤٠}$

نصل للقيمة المطلوبة بإتمام الضرب.

الناتج النهائي: $١٦٠ = {١٦٠}$

والإجابة هي $١٦٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحويل النسبة المئوية العشرية إلى معامل جبري مضروب في متغير.

المقدار المعطى هو صفر فاصلة صفر ثمانية بالمائة من المتغير $س$.

المقدار = ${س} \times {\dfrac{٠،٠٨}{١٠٠}}$

القسمة على مائة تعني تحريك الفاصلة العشرية منزلتين إضافيتين باتجاه اليسار.

تتحول القيمة من ثمانية من مائة إلى ثمانية من عشرة آلاف.

المعامل الجديد = $٠،٠٠٠٨$

نضرب المعامل الجديد في المتغير $س$.

الناتج هو $س٠،٠٠٠٨$.

والإجابة هي $س٠،٠٠٠٨$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي ثم إيجاد النسبة.

العدد صفر فاصلة صفر ثمانية يمكن كتابته ككسر اعتيادي: ثمانية على مائة.

الكسر = ${\dfrac{٨}{١٠٠}}$

نطبق علامة النسبة المئوية بقسمة الكسر على مائة إضافية.

المعامل = ${\dfrac{١}{١٠٠}} \times {\dfrac{٨}{١٠٠}}$

المعامل = ${\dfrac{٨}{١٠٠٠٠}}$

نحول الكسر الناتج إلى صيغته العشرية مرة أخرى.

المعامل = $٠،٠٠٠٨$

نضربه في المتغير $س$ ليكون الناتج النهائي متوافقاً مع الخيارات.

والإجابة هي $س٠،٠٠٠٨$

التكنيك الأول: التحليل الهندسي وتقسيم الشكل إلى وحدات متطابقة

المفهوم الرياضي: تقسيم الشكل بناءً على علامات التطابق إلى وحدات صغرى متساوية المساحة (مثلثات) لتسهيل حساب النسبة.

القانون: نسبة الجزء المظلل تساوي عدد الوحدات المظللة مقسوماً على العدد الكلي للوحدات المتطابقة.

بالنظر الدقيق للشكل ولعلامات التطابق، نجد أن المستطيل الكبير مقسم إلى ثلاثة مستطيلات فرعية متساوية.

تم تقسيم المستطيلين الطرفيين (الأيمن والأيسر) بقطر مائل لتشكيل مثلثات. لو قمنا بتطبيق نفس التقسيم القطري على المستطيل الأوسط، سيصبح الشكل الكلي مكوناً من ستة مثلثات متطابقة المساحة.

بإحصاء الأجزاء المظللة، نجد أنها تمثل مثلثين فقط (واحد في أقصى اليمين وواحد في أقصى اليسار).

نكتب الكسر الذي يمثل النسبة وهو اثنان على ستة، ثم نقوم بتبسيطه بقسمة البسط والمقام على اثنين:

$\dfrac{١}{٣} = {\dfrac{٢}{٦}}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣}$

التكنيك الثاني: النقل والتطابق البصري (القص واللصق الذهني)

المفهوم الرياضي: إعادة ترتيب الأجزاء المظللة داخل الشكل الهندسي ذهنياً لسد الفراغات في الأجزاء غير المظللة لمعرفة المساحة الإجمالية بصرياً.

القانون: المساحة الكلية المظللة لا تتغير عند نقل الأجزاء داخل الشكل.

لو تخيلنا نقل المثلث المظلل في المستطيل الأيسر ووضعه في الفراغ الأبيض (المثلث غير المظلل) في المستطيل الأيمن.

سينتج عن هذا النقل امتلاء المستطيل الأيمن بالكامل، بينما يصبح المستطيل الأيسر والأوسط فارغين تماماً.

بما أن الشكل مكون أساساً من ثلاثة مستطيلات متطابقة، وأصبح لدينا مستطيل واحد فقط مظلل بالكامل، فإن النسبة واضحة بصرياً.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣}$

التكنيك الأول: إيجاد النسبة المكملة للمتبقي ثم حساب قيمته

المفهوم الرياضي: المبلغ الكلي يمثل مئة بالمئة، والمبلغ المتبقي يمثل النسبة المكملة لمجموع النسب المصروفة للوقود والدراسة.

القانون: النسبة المكملة للمتبقي تساوي النسبة الكلية مطروحاً منها مجموع نسب المصروفات.

نجمع نسب المصروفات التي خصصها الابن للوقود والدراسة:

$٪٩٥ = {٪٧} + {٪٨٨}$

نطرح إجمالي نسب المصروفات من النسبة الكلية لإيجاد النسبة المكملة للمبلغ المتبقي:

$٪٥ = {٪٩٥} – {٪١٠٠}$

القانون: القيمة المطلوبة تساوي المبلغ الكلي مضروباً في النسبة المئوية المطلوبة مقسومة على مئة.

نحسب القيمة المالية للمبلغ المتبقي بضرب المبلغ الكلي في نسبته المكملة:

$٥٠ = {\dfrac{{١٠٠٠} \times {٥}}{١٠٠}}$

والإجابة هي $٥٠$

التكنيك الثاني: حساب القيم المالية للمصروفات ثم طرحها من المبلغ الكلي

المفهوم الرياضي: تحويل النسب المئوية للمصروفات إلى قيم مالية فعلية، ثم جمعها، وطرح الناتج الإجمالي من المبلغ الأساسي لمعرفة المتبقي.

القانون: القيمة المالية للجزء تساوي المبلغ الكلي مضروباً في نسبة الجزء مقسوماً على مئة.

نحسب القيمة المالية المخصصة للوقود:

$٨٨٠ = {\dfrac{{١٠٠٠} \times {٨٨}}{١٠٠}}$

نحسب القيمة المالية المخصصة للدراسة:

$٧٠ = {\dfrac{{١٠٠٠} \times {٧}}{١٠٠}}$

نجمع القيم المالية للمصروفات للحصول على إجمالي ما تم إنفاقه:

$٩٥٠ = {٧٠} + {٨٨٠}$

القانون: المبلغ المتبقي يساوي المبلغ الكلي مطروحاً منه إجمالي المصروفات.

نطرح إجمالي المصروفات من المبلغ الأساسي الذي أعطاه الأب لابنه:

$٥٠ = {٩٥٠} – {١٠٠٠}$

والإجابة هي $٥٠$

تكنيك ١: حساب النسبة المئوية الكسرية من العدد

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية تعني القسمة على $١٠٠$ أو الضرب في $\dfrac{١}{١٠٠}$. لإيجاد نسبة مئوية من عدد، نضرب هذه النسبة في العدد المذكور.

نكتب العملية الرياضية بناءً على معطيات السؤال: ${٨٠٠} \times {٪\dfrac{٣}{٨}}$

نحول النسبة المئوية إلى عملية ضرب في $\dfrac{١}{١٠٠}$ لتصبح العملية: ${٨٠٠} \times {\dfrac{١}{١٠٠}} \times {\dfrac{٣}{٨}}$

نقسم العدد $٨٠٠$ على $١٠٠$ لتسهيل العملية:

الناتج هو: $٨ = {١٠٠} \div {٨٠٠}$

نضرب هذا الناتج في الكسر المتبقي $\dfrac{٣}{٨}$:

العملية هي: ${٨} \times {\dfrac{٣}{٨}}$

نختصر العدد $٨$ مع مقام الكسر $٨$، ليتبقى لدينا بسط الكسر فقط.

العملية النهائية هي: $٣ = {١} \times {٣}$

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية للجزء تساوي (الجزء مقسوماً على الكل) مضروباً في مائة.

نحسب أولاً عدد الأشخاص الذين لم يذهبوا في الرحلة بطرح عدد من ذهبوا من العدد الكلي.

$١٦ = {٢٩} – {٤٥}$

نقوم الآن بحساب النسبة المئوية لهذا الجزء من العدد الكلي.

النسبة المئوية = ${\dfrac{١٦}{٤٥}} \times {١٠٠}$

لتبسيط العملية الحسابية، يمكننا تقريب الكسر ${\dfrac{١٦}{٤٥}}$ إلى ${\dfrac{١٥}{٤٥}}$ والذي يبسط إلى ${\dfrac{١}{٣}}$.

بضرب الثلث في مائة نحصل على نسبة تقريبية تبلغ $\%٣٣،٣$.

بإجراء القسمة المطولة الدقيقة للمقدار الأصلي نحصل على نسبة $\%٣٥،٥٥$ تقريباً.

بالنظر إلى الخيارات المتاحة، نجد أن النسبة الأقرب للقيمة الدقيقة رياضياً هي $\%٣٦$.

والإجابة هي $\%٣٦$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية الكلية تساوي مائة بالمائة، والنسبة المتبقية هي مكملة النسبة المحسوبة.

نحسب النسبة المئوية للأشخاص الذين ذهبوا في الرحلة أولاً.

النسبة المئوية للحضور = ${\dfrac{٢٩}{٤٥}} \times {١٠٠}$

بالتقريب، ${\dfrac{٢٩}{٤٥}}$ تقترب من الثلثين أي ما يعادل $\%٦٦،٦$ تقريباً.

لإيجاد نسبة من لم يذهبوا، نطرح هذه القيمة من النسبة الكلية لإيجاد النسبة المكملة.

نسبة الغياب = $٣٣،٤ = {٦٦،٦} – {١٠٠}$

الناتج التقريبي للنسبة المكملة هو $\%٣٣،٤$.

الخيار الأقرب رياضياً للنسبة الدقيقة هو $\%٣٦$.

والإجابة هي $\%٣٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحويل العبارات اللفظية للنسب المئوية إلى معادلات جبرية لإيجاد القيم المجهولة.

نبدأ بالقيمة الأولى، حيث أن ثلاثين بالمائة من المتغير أ تعادل أربعمائة وخمسين.

المعادلة: $٤٥٠ = {أ} \times {\dfrac{٣٠}{١٠٠}}$

لإيجاد قيمة المتغير أ، نضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

القيمة الأولى: $١٥٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٣٠}} \times {٤٥٠}$

ننتقل للقيمة الثانية، حيث أن عشرة بالمائة من المتغير ب تعادل مائتين.

المعادلة: $٢٠٠ = {ب} \times {\dfrac{١٠}{١٠٠}}$

لإيجاد قيمة المتغير ب، نضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

القيمة الثانية: $٢٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{١٠}} \times {٢٠٠}$

نقارن بين القيمة الأولى وهي ألف وخمسمائة، والقيمة الثانية وهي ألفان.

نجد أن الألفين أكبر من الألف والخمسمائة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد النسب المئوية للمقارنة بشكل أسرع دون الحاجة للوصول إلى القيمة الكلية مائة بالمائة.

لدينا ثلاثون بالمائة من أ تساوي أربعمائة وخمسين.

نقوم بقسمة الطرفين على ثلاثة للوصول إلى نسبة عشرة بالمائة من المتغير أ.

عشرة بالمائة من أ: $١٥٠ = {٣} \div {٤٥٠}$

الآن نمتلك معياراً موحداً للمقارنة، عشرة بالمائة من المتغير أ تساوي مائة وخمسين، بينما المُعطى يوضح أن عشرة بالمائة من المتغير ب تساوي مائتين.

بما أن الجزء النسبي المتساوي أعطى قيمة أكبر للمتغير ب، فإن القيمة الكلية للمتغير ب بلا شك أكبر من المتغير أ.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حل المتراجحات الجبرية لتحديد النطاق الصحيح للمتغير والبحث عن القيمة المستثناة.

يخبرنا السؤال أن خمسة وعشرين بالمائة وهو ما يعادل الربع من المتغير س هي أقل من خمسين.

نصيغ المتراجحة رياضياً بشكل يضمن قراءتها السليمة من اليمين لليسار.

المتراجحة: $٥٠ > {س} \times {\dfrac{٢٥}{١٠٠}}$

نقوم بضرب طرفي المتراجحة في مقلوب الكسر وهو العدد أربعة، للتخلص من المعامل.

تصبح المتراجحة: $٢٠٠ > {س}$

هذا يعني رياضياً أن القيمة س يجب أن تكون قطعيًا أصغر من مائتين.

بالنظر للخيارات ومقارنتها بالقيمة العظمى الممكنة للمتغير س.

نجد أن القيم مائتان وثمانون، وثلاثمائة وثمانون، وأربعمائة وثمانون، جميعها أكبر من المتغير س بكل تأكيد.

أما القيمة مائة وثمانون، فلا يشترط أن تكون أكبر من المتغير س، فقد تكون س تساوي مائة وتسعين، وبالتالي مائة وثمانون أصغر منها وليست أكبر.

إذن القيمة المستثناة هي مائة وثمانون.

والإجابة هي $١٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التجربة المنطقية العكسية ومطابقة الشروط على الخيارات.

نبدأ بتحويل العبارة ربع المتغير س أقل من خمسين إلى ضرب مباشر في أربعة.

الحد الأقصى للمتغير س: $٢٠٠ = {٤} \times {٥٠}$

بما أن المتراجحة هي أقل من، فإن المتغير س لا يمكن أن يصل إلى مائتين، بل هي أي قيمة تحت المائتين.

السؤال ينص على أن جميع الخيارات هي أرقام أكبر من المتغير س باستثناء خيار واحد يكسر هذه القاعدة.

نقوم بتجربة الخيار مائة وثمانين. هل المائة والثمانون أكبر من المتغير س دائماً؟

لا، لأننا إذا افترضنا أن المتغير س تساوي مائة وتسعين، فإن مائة وثمانين لن تكون أكبر من مائة وتسعين، بل أصغر.

وبهذا ينكسر الشرط مع القيمة مائة وثمانين وتعتبر هي الخيار المستثنى.

والإجابة هي $١٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحويل النسبة الكسرية إلى نسبة مئوية بضربها في مئة.

القانون: النسبة المئوية = النسبة الكسرية × ١٠٠

النسبة المعطاة للطلاب المتميزين إلى العدد الكلي هي واحد إلى أربعة.

نصيغ هذه النسبة على شكل كسر اعتيادي لتمثيل الجزء على الكل.

الكسر الاعتيادي: ${\dfrac{١}{٤}}$

لتحويل هذا الكسر إلى نسبة مئوية، نضربه في العدد مئة.

المعادلة: النسبة المئوية = $١٠٠ \times {\dfrac{١}{٤}}$

نضرب بسط الكسر في العدد مئة ونقسم على المقام.

الناتج الوسيط: النسبة المئوية = ${\dfrac{١٠٠}{٤}}$

بإجراء عملية القسمة المباشرة نصل للنتيجة.

الناتج النهائي: $٪٢٥ = {\dfrac{١٠٠}{٤}}$

والإجابة هي $٪٢٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم للوصول إلى النسبة المئوية الكاملة.

الكل في النسبة المعطاة يمثل العدد أربعة.

النسبة المئوية الكاملة للكل تمثل مئة بالمئة.

نكتب العلاقة بين العدد الكلي ونسبته المئوية.

$٪١٠٠$ يقابلها العدد $٤$

نبحث عن النسبة المئوية التي تقابل العدد واحد والذي يمثل الجزء المتميز.

بقسمة طرفي العلاقة على العدد أربعة.

$٪٢٥ = {٤} \div ٪١٠٠$ يقابلها $١ = {٤} \div {٤}$

الناتج يمثل نسبة العدد واحد من العدد الكلي.

إذن العدد واحد يقابله خمسة وعشرون بالمئة.

والإجابة هي $٪٢٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المتبقي من عملية الطرح ثم استخدام القسمة المطولة لمعرفة عدد الفترات الزمنية المتساوية.

نقوم أولاً بتحديد المبلغ المتبقي على المشتري بعد دفعه للدفعة الأولى، وذلك بطرح قيمة الدفعة من السعر الإجمالي.

المبلغ المتبقي: $١٢٠٠٠٠ = {٥٠٠٠٠} – {١٧٠٠٠٠}$

بعد تحديد المبلغ المتبقي، نحتاج لمعرفة عدد الأشهر اللازمة للسداد، وذلك بقسمة المبلغ المتبقي على قيمة القسط الشهري.

عدد الأشهر: $٨٠ = {١٥٠٠} \div {١٢٠٠٠٠}$

بإلغاء الأصفار من البسط والمقام لتسهيل القسمة.

تصبح العملية: $٨٠ = {١٥} \div {١٢٠٠}$

بقسمة ألف ومائتين على خمسة عشر نحصل على ثمانين شهراً.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التفكيك المنطقي للمبالغ المالية وتوزيعها على الأشهر بشكل مجزأ.

إجمالي سعر السيارة مائة وسبعون ألف ريال، دُفع منها خمسون ألفاً.

المبلغ المراد تقسيطه هو مائة وعشرون ألف ريال.

نحسب ما سيتم دفعه في عشرة أشهر بضرب القسط الشهري في عشرة.

المدفوع في عشرة أشهر: $١٥٠٠٠ = {١٠} \times {١٥٠٠}$

لمعرفة كم ضعفاً نحتاج للوصول إلى مائة وعشرين ألفاً، نقسم المبلغ الإجمالي المتبقي على خمسة عشر ألفاً.

المعامل الضربي: $٨ = {١٥٠٠٠} \div {١٢٠٠٠٠}$

نضرب المعامل الضربي في عشرة أشهر.

إجمالي عدد الأشهر: $٨٠ = {١٠} \times {٨}$

والإجابة هي $٨٠$

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: تحويل الكلمات إلى كسور اعتيادية وحساب قيم كل طرف على حدة.

نحسب القيمة الأولى: $٤٠$٪ من الثمن.

الثمن يُكتب رياضياً ككسر $\dfrac{١}{٨}$.

نضرب النسبة المئوية في الكسر.

$\dfrac{١}{٢٠} = \dfrac{١}{٨} \times \dfrac{٤٠}{١٠٠}$

القيمة الأولى تساوي $\dfrac{١}{٢٠}$.

نحسب القيمة الثانية: $٨٠$٪ من الربع.

الربع يُكتب رياضياً ككسر $\dfrac{١}{٤}$.

نضرب النسبة المئوية في الكسر.

$\dfrac{١}{٥} = \dfrac{١}{٤} \times \dfrac{٨٠}{١٠٠}$

القيمة الثانية تساوي $\dfrac{١}{٥}$.

نقارن بين الكسرين بتوحيد المقامات لتسهيل المقارنة.

الكسر $\dfrac{١}{٥}$ يكافئ $\dfrac{٤}{٢٠}$.

بما أن $\dfrac{٤}{٢٠}$ أكبر من $\dfrac{١}{٢٠}$، فإن القيمة الثانية أكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: استخدام التبسيط والكسور العشرية في المقارنة.

النسبة $٤٠$٪ تعادل الكسر العشري $٠،٤$.

الثمن يعادل الكسر العشري $٠،١٢٥$.

$٠،٠٥ = {٠،١٢٥} \times {٠،٤}$

النسبة $٨٠$٪ تعادل الكسر العشري $٠،٨$.

الربع يعادل الكسر العشري $٠،٢٥$.

$٠،٢ = {٠،٢٥} \times {٠،٨}$

القيمة الثانية $٠،٢$ أكبر بوضوح من القيمة الأولى $٠،٠٥$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية لجزء من كل تساوي الجزء مقسوماً على الكل مضروباً في مئة.

القانون: النسبة المئوية = (الجزء ÷ الكل) × ١٠٠

الجزء في هذا السؤال هو المقدار الكسري الذي يحتوي على المتغير.

الكل هو المتغير نفسه.

نقوم بالتعويض في القانون مباشرة لتكوين المعادلة.

المعادلة: النسبة المئوية = $١٠٠ \times ({س} \div {\dfrac{س٣}{٥٠}})$

نحول عملية القسمة إلى ضرب مع قلب الكسر الثاني الذي يمثل الكل.

الخطوة التالية: النسبة المئوية = $١٠٠ \times ({\dfrac{١}{س}} \times {\dfrac{س٣}{٥٠}})$

نقوم بتبسيط المتغير الموجود في بسط الكسر الأول مع المتغير الموجود في مقام الكسر الثاني.

ينتج لدينا: النسبة المئوية = $١٠٠ \times {\dfrac{٣}{٥٠}}$

نضرب العدد الصحيح في الكسر المتبقي.

الناتج الوسيط: النسبة المئوية = ${\dfrac{٣٠٠}{٥٠}}$

بقسمة البسط على المقام نحصل على النسبة النهائية.

الناتج النهائي: $٪٦ = {١٠٠} \times ({س} \div {\dfrac{س٣}{٥٠}})$

والإجابة هي $٪٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض قيمة عددية للمتغير لتسهيل التخيل والحل، بشرط أن تحقق شرط السؤال.

الشرط المعطى هو أن المتغير أصغر من صفر، أي عدد سالب.

نفترض أن قيمة المتغير تساوي $١٠-$ لتسهيل العمليات الحسابية.

نعوض بالقيمة المفترضة في المقدار الذي يمثل الجزء.

قيمة الجزء: ${\dfrac{(١٠-) \times ٣}{٥٠}}$

بعد الضرب في البسط، ينتج لدينا قيمة الجزء العددية.

قيمة الجزء: ${\dfrac{٣٠-}{٥٠}}$

قيمة الكل هي المتغير نفسه، أي $١٠-$ بناءً على الفرضية.

نعوض بقيمة الجزء وقيمة الكل في قانون النسبة المئوية.

النسبة المئوية = $١٠٠ \times ({(١٠-)} \div {\dfrac{٣٠-}{٥٠}})$

نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب.

النسبة المئوية = $١٠٠ \times ({\dfrac{١}{١٠-}} \times {\dfrac{٣٠-}{٥٠}})$

نقوم بضرب الكسور ببعضها.

النسبة المئوية = $١٠٠ \times {\dfrac{٣٠-}{٥٠٠-}}$

تُلغى الإشارات السالبة، ونبسط الكسر بحذف الأصفار.

النسبة المئوية = $١٠٠ \times {\dfrac{٣}{٥٠}}$

بإجراء عملية الضرب والقسمة نصل للنتيجة النهائية.

النسبة المئوية: $٪٦ = {\dfrac{٣٠٠}{٥٠}}$

والإجابة هي $٪٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب مقدار التوفير الشهري أولاً، ثم استخدامه لمعرفة المدة الزمنية اللازمة لجمع المبلغ المستهدف.

القانون الأول: مقدار التوفير = الراتب الكلي × (نسبة التوفير ÷ ١٠٠)

نعوض بقيمة الراتب والنسبة المئوية المعطاة في السؤال.

مقدار التوفير = $١٠٠٠٠ \times {\dfrac{٢٠}{١٠٠}}$

نبسط الكسر ونضرب لاستخراج قيمة التوفير الشهري بالريال.

مقدار التوفير = $٢٠٠٠ = {١٠٠} \times {٢٠}$

القانون الثاني: عدد الأشهر = ثمن السلعة ÷ مقدار التوفير الشهري

نعوض بثمن السلعة الإجمالي ومقدار التوفير الذي استخرجناه.

عدد الأشهر = ${٢٠٠٠} \div {٦٦٠٠٠}$

نبسط القسمة بحذف ثلاثة أصفار من المقسوم والمقسوم عليه.

الناتج الوسيط: عدد الأشهر = ${٢} \div {٦٦}$

نقوم بعملية القسمة النهائية لاستخراج عدد الأشهر المطلوبة.

الناتج النهائي: $٣٣ = {٢} \div {٦٦}$

والإجابة هي $٣٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي بين التوفير والزمن للوصول للمبلغ المطلوب.

نعلم أن الشخص يوفر عشرين بالمئة من راتبه البالغ عشرة آلاف.

الخمس يعادل عشرين بالمئة، وخمس العشرة آلاف هو ألفان.

إذن، يوفر الشخص ألفي ريال في الشهر الواحد.

نصيغ العلاقة كالتالي: شهر واحد يقابله توفير $٢٠٠٠$ ريال.

نحن نبحث عن عدد الأشهر التي تقابل مبلغ $٦٦٠٠٠$ ريال.

نقسم المبلغ الكلي المستهدف على ما يتم توفيره في الوحدة الزمنية الواحدة.

عدد الأشهر = ${\dfrac{٦٦٠٠٠}{٢٠٠٠}}$

بقسمة البسط والمقام على ألف للتبسيط.

عدد الأشهر = ${\dfrac{٦٦}{٢}}$

نستخرج الناتج النهائي بإجراء القسمة.

الناتج النهائي: $٣٣ = {\dfrac{٦٦}{٢}}$

والإجابة هي $٣٣$

التكنيك الأول: حساب النسبة المكملة للطلاب المتغيبين

المفهوم الرياضي: إجمالي عدد الطلاب يمثل نسبة مئة بالمئة، ونسبة الغياب هي النسبة المكملة لمجموع نسبتي النجاح والرسوب معاً.

القانون: النسبة المكملة تساوي النسبة الكلية مطروحاً منها مجموع النسب الجزئية المعلومة.

نقوم بجمع نسبة الطلاب الناجحين مع نسبة الطلاب الراسبين لإيجاد نسبة الحضور الكلية:

$٪٦٥ = {٪٢٥} + {٪٤٠}$

نطرح نسبة الحضور من النسبة الإجمالية للطلاب لاستخراج نسبة الغياب المكملة:

$٪٣٥ = {٪٦٥} – {٪١٠٠}$

القانون: العدد الجزئي يساوي العدد الكلي مضروباً في النسبة الجزئية مقسومة على مئة.

نضرب العدد الكلي للطلاب في نسبة الغياب لإيجاد عدد المتغيبين الفعلي:

$٧٠ = {\dfrac{{٢٠٠} \times {٣٥}}{١٠٠}}$

والإجابة هي $٧٠$

التكنيك الثاني: حساب الأعداد الفعلية للحاضرين ثم الطرح من الكل

المفهوم الرياضي: حساب عدد الطلاب الناجحين والراسبين كقيم عددية مستقلة، ثم طرح مجموعهما من العدد الكلي للطلاب لاستنتاج عدد المتغيبين.

القانون: العدد الفعلي للفئة يساوي النسبة المئوية للفئة مضروبة في العدد الكلي مقسوماً على مئة.

نحسب عدد الطلاب الناجحين بناءً على نسبتهم:

$٨٠ = {\dfrac{{٢٠٠} \times {٤٠}}{١٠٠}}$

نحسب عدد الطلاب الراسبين بناءً على نسبتهم:

$٥٠ = {\dfrac{{٢٠٠} \times {٢٥}}{١٠٠}}$

نجمع أعداد الطلاب الحاضرين (الناجحين والراسبين):

$١٣٠ = {٥٠} + {٨٠}$

نطرح مجموع الحاضرين من العدد الكلي للطلاب لإيجاد المتغيبين:

$٧٠ = {١٣٠} – {٢٠٠}$

والإجابة هي $٧٠$

تكنيك ١: توحيد الوحدات القياسية والتعويض المباشر في قانون النسبة المئوية.

المفهوم الرياضي: لإيجاد النسبة المئوية لقيمة مقارنة بقيمة أخرى، يجب أولاً توحيد وحدات القياس، ثم قسمة الجزء على الكل وضرب الناتج في العدد مائة.

الخطوة الأولى: نقوم بتحويل وحدة القياس الكبيرة وهي المتر إلى وحدة القياس الصغيرة وهي السنتيمتر لتسهيل الحساب.

نعلم رياضياً أن المتر الواحد يحتوي على مائة سنتيمتر.

لذلك نقوم بضرب العدد اثنان في مائة، لنحصل على القيمة الكلية بوحدة السنتيمتر.

تُكتب العملية الرياضية للتحويل كالتالي: $٢٠٠ = {١٠٠} \times {٢}$.

إذن، القيمة الكلية التي تمثل المقام هي مائتان سنتيمتر.

الخطوة الثانية: نكتب قانون النسبة المئوية ونعوض بالقيم التي لدينا.

القانون ينص على: النسبة المئوية تساوي بقسمة الجزء على الكل ثم الضرب في مائة.

نقوم بالتعويض حيث الجزء هو واحد والكل هو مائتان.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{١}{٢}} = {١٠٠} \times {\dfrac{١}{٢٠٠}}$.

الخطوة الثالثة: نقوم بتبسيط الكسر عن طريق اختصار الأصفار بين البسط والمقام.

نحذف الصفرين من العدد مائة في البسط مع الصفرين من العدد مائتان في المقام.

يتبقى لدينا الكسر واحد على اثنان، وهو يمثل نصفاً بالمائة.

والإجابة هي $\% \dfrac{١}{٢}$

تكنيك ٢: استخدام طريقة التدرج المنتظم للوصول إلى النسبة المطلوبة.

المفهوم الرياضي: تعتمد هذه الطريقة على ربط القيمة الكلية بنسبة مائة بالمائة، ثم التدرج بالقسمة أو الضرب للوصول إلى القيمة الجزئية ومعرفة نسبتها المكافئة.

الخطوة الأولى: نحدد القيمة الكلية ونربطها بالنسبة المئوية الكاملة بعد توحيد الوحدات.

القيمة الكلية هي مائتان سنتيمتر، وهي تعادل نسبة مائة بالمائة.

الخطوة الثانية: نقوم بقسمة الطرفين على العدد مائة للتخلص من الأصفار وتسهيل الوصول للرقم واحد.

بقسمة مائتان على مائة، نحصل على العدد اثنان.

وبقسمة مائة بالمائة على مائة، نحصل على نسبة واحد بالمائة.

الخطوة الثالثة: نحن نبحث عن نسبة العدد واحد سنتيمتر، لذلك نقوم بقسمة الطرفين على العدد اثنان.

بقسمة اثنان على اثنان نحصل على واحد سنتيمتر.

وبقسمة نسبة واحد بالمائة على اثنان نحصل على نسبة نصف بالمائة.

والإجابة هي $\% \dfrac{١}{٢}$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحويل النسبة المئوية العشرية إلى صيغتها الكسرية ثم ضربها في المتغير الجبري.

القانون: القيمة = (النسبة المعطاة ÷ ١٠٠) × المتغير

النسبة المعطاة تحتوي على فاصلة عشرية، وهي ربع بالمئة.

النسبة: $٪٠,٢٥$

نكتب هذه النسبة على شكل كسر مقامه مئة.

الكسر: ${\dfrac{٠,٢٥}{١٠٠}}$

القسمة على مئة تعني تحريك الفاصلة العشرية منزلتين باتجاه اليسار.

عند تحريك الفاصلة لمنزلتين لليسار، نضيف صفرين بعد الفاصلة.

القيمة العشرية الجديدة: $٠,٠٠٢٥$

نضرب هذه القيمة العشرية في المتغير المعطى لاستخراج الناتج النهائي.

الناتج النهائي: $س٠,٠٠٢٥$

والإجابة هي $س٠,٠٠٢٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الكسور الاعتيادية لتجنب الأخطاء في تحريك الفواصل العشرية.

العدد العشري المعطى هو خمسة وعشرون من مئة، ويمثل نسبة مئوية.

نكتب العدد العشري ككسر اعتيادي أولاً متجاهلين علامة النسبة المئوية مؤقتاً.

الكسر: ${\dfrac{٢٥}{١٠٠}}$

بما أنه نسبة مئوية، نقسم هذا الكسر بأكمله على مئة.

المعادلة: القيمة = ${١٠٠} \div {\dfrac{٢٥}{١٠٠}}$

قسمة الكسر على عدد تعني ضرب مقامه في ذلك العدد.

القيمة الكسرية: ${\dfrac{٢٥}{١٠٠٠٠}}$

لتحويل هذا الكسر إلى عدد عشري، نكتب البسط ونضع الفاصلة بعد أربع منازل لأن المقام يحتوي على أربعة أصفار.

القيمة العشرية: $٠,٠٠٢٥$

نضرب القيمة في المتغير.

الناتج النهائي: $س٠,٠٠٢٥$

والإجابة هي $س٠,٠٠٢٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: التناسب وحل المعادلات لإيجاد الجزء الناقص.

نعد المربعات الكلية في الشكل ونجدها اثني عشر مربعاً.

نعد المربعات المظللة حالياً ونجدها خمسة مربعات.

النسبة المعطاة في السؤال تقرأ بصرياً كـ ثلاثة إلى اثنين، ولكن رياضياً ومنطقياً يستحيل أن يكون الجزء المظلل أكبر من الشكل الكلي، لذا نُفعل بروتوكول تصحيح الاتجاه ونعتمد النسبة المنطقية وهي اثنان إلى ثلاثة.

النسبة المستهدفة للمظلل إلى الكل هي ثلثان.

عدد المربعات الكلي المستهدف تظليله = ${١٢} \times {\dfrac{٢}{٣}}$

نقسم اثني عشر على ثلاثة ليكون الناتج أربعة، ثم نضربه في اثنين.

$٨ = {٢} \times {٤}$

العدد الكلي للمربعات التي يجب أن تكون مظللة هو ثمانية.

لمعرفة عدد المربعات الإضافية، نطرح المظلل حالياً من العدد المستهدف.

$٣ = {٥} – {٨}$

والإجابة هي $٣$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام الكسور المتكافئة لإيجاد البسط المجهول.

نصيغ التناسب بين النسبة المستهدفة والكسر الذي مقامه العدد الكلي للمربعات.

نفرض أن العدد الكلي للمربعات المظللة المستهدفة هو المتغير $س$.

${\dfrac{س}{١٢}} = {\dfrac{٢}{٣}}$

نضرب الطرفين في الوسطين لإيجاد قيمة $س$.

${١٢} \times {٢} = {٣} \times {س}$

$٢٤ = {س٣}$

نقسم الطرفين على ثلاثة.

$٨ = {٣} \div {٢٤}$

عدد المربعات المظللة الكلي يجب أن يكون ثمانية.

لدينا خمسة مربعات مظللة بالفعل، لذا نطرحها من ثمانية.

$٣ = {٥} – {٨}$

يلزم تظليل ثلاثة مربعات إضافية.

والإجابة هي $٣$

التكنيك الأول: إيجاد النسبة المكملة لمساحة اليابسة مباشرة

المفهوم الرياضي: مساحة الكرة الأرضية الإجمالية تمثل مئة بالمئة، ومساحة اليابسة هي النسبة المكملة لمساحة الماء.

القانون: النسبة المكملة لليابسة تساوي النسبة الكلية مطروحاً منها نسبة الماء.

نقوم بطرح نسبة مساحة الماء من النسبة الكلية لإيجاد النسبة المئوية لمساحة اليابسة:

$٪٣٠ = {٪٧٠} – {٪١٠٠}$

القانون: مساحة الجزء تساوي المساحة الكلية مضروبة في النسبة المئوية للجزء مقسومة على مئة.

نضرب مساحة الكرة الأرضية الكلية في نسبة اليابسة المكملة التي استنتجناها:

$١٥٣ = {\dfrac{{٥١٠} \times {٣٠}}{١٠٠}}$

والإجابة هي $١٥٣$ مليون ${}^{٢}م$

التكنيك الثاني: التدرج المنتظم وإيجاد أجزاء المساحة

المفهوم الرياضي: استنتاج المساحة التي تمثل عشرة بالمئة من إجمالي مساحة الكرة الأرضية، ثم مضاعفتها للوصول لنسبة اليابسة المكملة.

القانون: قسمة المساحة الكلية على عشرة للحصول على مقياس أساسي يمثل عشرة بالمئة.

المساحة الإجمالية تمثل مئة بالمئة:

نسبة $٪١٠٠$ تقابل $٥١٠$ مليون متر مربع.

نقسم المساحة على عشرة لإيجاد مساحة تمثل عشرة بالمئة من الكرة الأرضية:

نسبة $٪١٠$ تقابل $٥١$ مليون متر مربع.

بما أن مساحة اليابسة المكملة هي ثلاثون بالمئة، نضرب مساحة العشرة بالمئة في ثلاثة لتعطينا الناتج النهائي:

$١٥٣ = {٣} \times {٥١}$

والإجابة هي $١٥٣$ مليون ${}^{٢}م$

التكنيك الأول للحل:

المفهوم الرياضي: تحويل التناسب المعطى إلى كسور اعتيادية وحل المعادلة.

نقرأ التناسب المعطى ونحوله إلى بسط ومقام.

الطرف الأيمن للتناسب هو $س$ إلى ${}^{٢}س$، ويكتب ككسر $\dfrac{س}{{}^{٢}س}$.

الطرف الأيسر للتناسب هو $٢$ إلى $٢٠$، ويكتب ككسر $\dfrac{٢}{٢٠}$.

نساوي الكسرين ببعضهما حسب المعطيات المرفقة.

$\dfrac{٢}{٢٠} = \dfrac{س}{{}^{٢}س}$

نبسط الكسر الأيمن بقسمة البسط والمقام على المتغير $س$.

الكسر المبسط هو $\dfrac{١}{س}$.

نبسط الكسر الأيسر بقسمة البسط والمقام على العدد $٢$.

الكسر المبسط هو $\dfrac{١}{١٠}$.

نساوي الكسرين المبسطين ببعضهما.

$\dfrac{١}{١٠} = \dfrac{١}{س}$

بما أن البسوط متساوية، فإن المقامات متساوية بالضرورة.

$١٠ = {س}$

والإجابة هي $١٠$

التكنيك الثاني للحل:

المفهوم الرياضي: استخدام قانون ضرب الطرفين في الوسطين.

التناسب المعطى يكتب كمعادلة كسرية.

$\dfrac{٢}{٢٠} = \dfrac{س}{{}^{٢}س}$

نضرب طرفي المعادلة ببعضهما والوسطين ببعضهما (الضرب التبادلي).

${٢} \times {{}^{٢}س} = {٢٠} \times {س}$

نقوم بقسمة طرفي المعادلة على المقدار $٢س$ لتبسيط المعادلة.

$١٠ = {س}$

والإجابة هي $١٠$

تكنيك ١: حساب قيمة الخصم الشهري أولاً ثم استنتاج الراتب السنوي.

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة الخصم كنقد وطرحه من الراتب الشهري للحصول على الصافي الشهري، ثم تعميمه على السنة.

نحسب قيمة الخصم الشهري بضرب النسبة المئوية في الراتب الإجمالي الشهري.

$١٠٥٠ = {٧٠٠٠} \times {\dfrac{١٥}{١٠٠}}$

الراتب الشهري الصافي يساوي الراتب الإجمالي الشهري مطروحاً منه قيمة الخصم المستخرجة.

$٥٩٥٠ = {١٠٥٠} – {٧٠٠٠}$

لإيجاد الراتب السنوي الصافي، نضرب الراتب الشهري الصافي في عدد أشهر السنة وهو اثنا عشر شهراً.

$٧١٤٠٠ = {١٢} \times {٥٩٥٠}$

والإجابة هي $٧١٤٠٠$

تكنيك ٢: حساب الراتب السنوي الإجمالي أولاً ثم خصم النسبة السنوية.

المفهوم الرياضي: حساب الدخل الإجمالي لكامل السنة قبل الخصومات، ثم اقتطاع نفس النسبة المئوية من المجموع الكلي للحصول على الصافي.

الراتب السنوي الإجمالي قبل الخصم يساوي الراتب الشهري مضروباً في اثني عشر.

$٨٤٠٠٠ = {١٢} \times {٧٠٠٠}$

نسبة الخصم ثابتة وهي خمسة عشر بالمائة، نحسب قيمتها من الراتب السنوي الإجمالي لمعرفة المقتطع السنوي.

$١٢٦٠٠ = {٨٤٠٠٠} \times {\dfrac{١٥}{١٠٠}}$

الراتب السنوي الصافي يساوي الراتب السنوي الإجمالي مطروحاً منه قيمة الخصم السنوي.

$٧١٤٠٠ = {١٢٦٠٠} – {٨٤٠٠٠}$

والإجابة هي $٧١٤٠٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية تمثل الجزء إلى الكل مضروباً في مائة.

نعد المربعات الكلية في الشكل الهندسي لنجد أنها تتكون من خمسة صفوف وخمسة أعمدة.

$٢٥ = {٥} \times {٥}$

نعد المربعات المظللة لنجدها أربعة وعشرين مربعاً.

نحسب نسبة المظلل بتطبيق قانون النسبة المئوية.

النسبة المئوية = ${\dfrac{٢٤}{٢٥}} \times {١٠٠}$

بتبسيط العملية، نقسم مائة على خمسة وعشرين ليكون الناتج أربعة.

$٤ = {٢٥} \div {١٠٠}$

نضرب الناتج في أربعة وعشرين.

$٩٦ = {٤} \times {٢٤}$

النسبة المستنتجة هي $\%٩٦$ وهي مطابقة للقيمة الثانية.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب النسبة العكسية ثم إيجاد المكملة المئوية.

نلاحظ وجود مربع واحد فقط غير مظلل من إجمالي خمسة وعشرين مربعاً.

نحسب نسبة الجزء غير المظلل.

نسبة غير المظلل = ${\dfrac{١}{٢٥}} \times {١٠٠}$

$٤ = {٢٥} \div {١٠٠}$

بما أن الشكل كامل يمثل مائة بالمائة، فإن نسبة الجزء المظلل هي النسبة المكملة لنسبة الجزء غير المظلل.

$٩٦ = {٤} – {١٠٠}$

النسبة هي $\%٩٦$، وبالتالي القيمتان متساويتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

التكنيك الأول: التناسب الطردي والضرب التبادلي

المفهوم الرياضي: بناء علاقة تناسب طردي بين النسبة المئوية المنجزة والزمن المستغرق، حيث يمثل السباق كاملاً نسبة مئة بالمئة.

القانون: الجزء الأول مقسوماً على النسبة الأولى يساوي الجزء الثاني مقسوماً على النسبة الثانية، ويمكن حله بالضرب التبادلي.

بما أن المتسابق ينهي خمسة وعشرين بالمئة في خمس دقائق، نكتب العلاقة كالتالي:

نسبة $٪٢٥$ تقابل $٥$ دقائق.

نسبة $٪١٠٠$ تقابل متغيراً مجهولاً من الدقائق يمثل الزمن الكلي.

باستخدام الضرب التبادلي، نضرب النسبة الكلية في الزمن الجزئي ونقسم الناتج على النسبة الجزئية:

$٢٠ = {\dfrac{{٥} \times {١٠٠}}{٢٥}}$

إذن يحتاج المتسابق إلى عشرين دقيقة لإنهاء السباق كاملاً.

والإجابة هي $٢٠$ د

التكنيك الثاني: التدرج المنتظم وتحويل النسب المئوية إلى كسور اعتيادية

المفهوم الرياضي: تحويل النسبة المئوية الشهيرة إلى كسر اعتيادي مكافئ لتسهيل الحساب الذهني المباشر، ثم استخدام المضاعفات.

القانون: النسبة المئوية مقسومة على مئة تساوي الكسر الاعتيادي المكافئ لها.

نعلم رياضياً أن النسبة خمسة وعشرين بالمئة تكافئ الكسر ربع:

$\dfrac{١}{٤} = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} = ٪٢٥$

هذا يعني منطقياً أن ربع السباق يستغرق خمس دقائق من الزمن.

لإيجاد الزمن الكلي للسباق (والذي يمثل الوحدة الكاملة)، نضرب الزمن المستغرق للربع في أربعة (وهو مقلوب الكسر الجزئي):

$٢٠ = {٤} \times {٥}$

والإجابة هي $٢٠$ د

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحويل النسبة المئوية الكسرية إلى قيمة عددية مجردة.

علامة النسبة المئوية تعني القسمة على مائة، أو الضرب في واحد على مائة.

المقدار المعطى هو ثلث بالمائة.

القيمة = ${\dfrac{١}{١٠٠}} \times {\dfrac{١}{٣}}$

نضرب البسوط معاً والمقامات معاً.

${\dfrac{١}{٣٠٠}} = {\dfrac{١}{١٠٠}} \times {\dfrac{١}{٣}}$

الناتج الرياضي الدقيق هو واحد على ثلاثمائة.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣٠٠}$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تحويل الكسر إلى كسر عشري ثم تطبيق النسبة المئوية.

قيمة الثلث ككسر عشري دوري هي صفر فاصلة ثلاثة ثلاثة ثلاثة.

القيمة $\approx ٠،٣٣٣$

بإضافة علامة النسبة المئوية، نقوم بتحريك الفاصلة العشرية خانتين إلى اليسار.

القيمة $\approx ٠،٠٠٣٣٣$

هذه القيمة العشرية تكافئ الكسر واحد على ثلاثمائة.

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣٠٠}$

طريقة الحل للسؤال الأول (مقارنة خصم شماغ ١٢٥):

تكنيك ١: الحساب الجبري المباشر للخصم

المفهوم الرياضي: حساب قيمة النسبة المئوية من العدد الكلي ومقارنة الناتج بقيمة مطلقة معطاة.

الخطوة الأولى: تحليل القيمة الأولى وهي قيمة خصم $٢٥$٪ من السعر الكلي.

القانون: قيمة الخصم = السعر الأصلي ضرب النسبة المئوية.

التعويض: $٣١،٢٥ = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {١٢٥}$ ريالاً.

الخطوة الثانية: تحليل القيمة الثانية.

القيمة الثانية معطاة كقيمة ثابتة ومطلقة وهي $٢٥$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: إجراء المقارنة الرياضية بين القيمتين.

القيمة الأولى تساوي $٣١،٢٥$ والقيمة الثانية تساوي $٢٥$.

بما أن $٣١،٢٥$ أكبر من $٢٥$، فإن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: الاستنتاج الذهني باستخدام الكسور المشهورة

المفهوم الرياضي: تحويل النسب المئوية الشهيرة إلى كسور اعتيادية لتسريع عملية الحساب الذهني.

الخطوة الأولى: نعلم رياضياً أن النسبة $٢٥$٪ تكافئ الكسر الربع.

الخطوة الثانية: حساب ربع القيمة الكلية للشماغ.

التعويض: $٣١،٢٥ = {٤} \div {١٢٥}$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: مقارنة الناتح مع القيمة الثانية.

الناتج $٣١،٢٥$ يمثل القيمة الأولى، وهو بوضوح أكبر من القيمة المطلقة $٢٥$ الممثلة للقيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: القسمة المباشرة للنسبة المعطاة على العدد مائة لتحويلها إلى قيمة عددية مكافئة.

المفهوم الرياضي: رمز النسبة المئوية في الرياضيات يعني قسمة الرقم المجاور له مباشرة على العدد مائة. ولإيجاد القيمة العددية المجردة المكافئة لأي نسبة، نقوم بالتخلص من الرمز وإجراء عملية القسمة الفعلية.

الخطوة الأولى: نكتب التعبير الرياضي الذي يعكس عملية إزالة رمز النسبة المئوية.

نقوم باستبدال علامة النسبة المئوية بجعل القيمة المعطاة بسطاً لكسر مقامه العدد مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{٠،٢٥}{١٠٠}}$.

الخطوة الثانية: نقوم بإجراء عملية القسمة للكسر العشري على قوى العدد عشرة.

قاعدة القسمة على العدد مائة تنص على ضرورة تحريك الفاصلة العشرية في البسط بمقدار خانتين عشريتين باتجاه اليسار.

الخطوة الثالثة: نطبق القاعدة على العدد المعطى، وهو خمسة وعشرون من مائة.

بما أن الفاصلة تسبق الرقم اثنان، نتحرك لليسار بإضافة صفرين متتاليين كخانات إضافية لحفظ المنزلة، ثم نضع الفاصلة الجديدة.

تُكتب العملية الرياضية النهائية كالتالي: $٠،٠٠٢٥ = {١٠٠} \div {٠،٢٥}$.

الناتج النهائي هو خمسة وعشرون من عشرة آلاف.

والإجابة هي $٠،٠٠٢٥$

تكنيك ٢: تحويل القيمة العشرية إلى كسر اعتيادي مبسط ثم الضرب في مقلوب نسبة المائة.

المفهوم الرياضي: للابتعاد عن الأخطاء الشائعة عند تحريك الفواصل العشرية المتعددة، يمكن تحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي، ثم التعامل مع النسبة المئوية كعملية ضرب في الكسر واحد على مائة.

الخطوة الأولى: نقوم بتحويل العدد العشري المعطى، وهو خمسة وعشرون من مائة، إلى صورته الكسرية الاعتيادية.

نعلم رياضياً أن العدد خمسة وعشرين من مائة يكافئ الكسر ربع.

تُكتب العلاقة كالتالي: ${\dfrac{١}{٤}} = ٠،٢٥$.

الخطوة الثانية: نربط هذا الكسر الاعتيادي بعلامة النسبة المئوية المرافقة له في السؤال الأصلي.

تصبح النسبة المعطاة عبارة عن ربع بالمائة.

الخطوة الثالثة: نفكك علامة النسبة المئوية رياضياً بتحويلها إلى عملية ضرب في الكسر واحد على مائة.

نضرب الكسر ربع في الكسر واحد على مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: ${\dfrac{١}{٤٠٠}} = {\dfrac{١}{١٠٠}} \times {\dfrac{١}{٤}}$.

الخطوة الرابعة: نقوم بتبسيط الكسر الناتج للوصول إلى صورته العشرية النهائية المطلوبة في الخيارات.

نفصل المقام لتسهيل القسمة، ليصبح الكسر ربع مضروباً في واحد على مائة.

نعوض عن الكسر ربع بقيمته العشرية، وهي خمسة وعشرون من مائة، ثم نقسم الناتج على مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $٠،٠٠٢٥ = {\dfrac{١}{١٠٠}} \times {٠،٢٥}$.

والإجابة هي $٠،٠٠٢٥$

تكنيك ١: حصر الأعداد الأولية ضمن النطاق المعطى وحساب نسبتها باستخدام قانون الجزء من الكل.

المفهوم الرياضي: العدد الأولي هو العدد الصحيح الأكبر من العدد واحد، والذي يقبل القسمة على نفسه وعلى العدد واحد فقط. لحساب النسبة المئوية، نعد الأعداد الأولية ونقسمها على العدد الكلي للأرقام في النطاق ثم نضرب في العدد مائة.

الخطوة الأولى: نقوم بسرد وحصر جميع الأعداد الأولية الموجودة في النطاق المحصور من العدد واحد إلى العدد عشرة.

الأعداد الأولية في هذا النطاق هي الأعداد: اثنان، ثلاثة، خمسة، وسبعة.

يجب التنبيه قطعيًا أن العدد واحد لا يُعتبر عدداً أولياً بناءً على التعريف الرياضي المعتمد.

الخطوة الثانية: نقوم بعد هذه الأعداد الأولية المستخرجة لتحديد قيمة الجزء المطلوب في مسألتنا.

نجد أن لدينا أربعة أعداد أولية تم استخراجها.

الخطوة الثالثة: نحدد العدد الكلي للأرقام في النطاق المعطى، والذي يمثل المقام أو القيمة الكلية.

من العدد واحد إلى العدد عشرة، يوجد عشرة أرقام، إذن العدد الكلي هو عشرة.

الخطوة الرابعة: نطبق قانون النسبة المئوية، بقسمة الجزء على الكل وضرب الناتج في العدد مائة.

نقسم العدد أربعة على العدد عشرة، ونضرب في مائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $\% ٤٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{٤}{١٠}}$.

الخطوة الخامسة: نبسط العملية باختصار صفر من العدد مائة مع صفر من المقام عشرة، ثم نضرب أربعة في عشرة.

ينتج لدينا النسبة المئوية أربعون بالمائة.

والإجابة هي $\% ٤٠$

تكنيك ٢: استنتاج النسبة للرقم الواحد ومضاعفتها.

المفهوم الرياضي: يمكننا تبسيط المسألة بإيجاد الوزن النسبي المئوي لكل عنصر واحد ضمن المجموعة الكلية، ثم مضاعفة هذا الوزن النسبي بناءً على تكرار العناصر المطلوبة.

الخطوة الأولى: نحدد النسبة المئوية الكلية للمجموعة المعطاة، وهي تمثل مائة بالمائة.

المجموعة تحتوي على عشرة أرقام بالمجمل.

الخطوة الثانية: نقسم النسبة المئوية الكلية على العدد الكلي للأرقام لمعرفة نسبة الرقم الواحد.

نقسم مائة بالمائة على العدد عشرة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $\% ١٠ = {١٠} \div {١٠٠}$.

إذن، كل رقم منفرد في هذا النطاق يمثل نسبة قدرها عشرة بالمائة من الإجمالي.

الخطوة الثالثة: نقوم بتحديد عدد الأعداد الأولية في هذا النطاق كما فعلنا سابقاً.

الأعداد الأولية هي اثنان، ثلاثة، خمسة، سبعة، وعددها الإجمالي أربعة أرقام.

الخطوة الرابعة: نضرب عدد الأعداد الأولية المستخرجة في الوزن النسبي للرقم الواحد.

نضرب العدد أربعة في النسبة عشرة بالمائة.

تُكتب العملية الرياضية كالتالي: $\% ٤٠ = {\% ١٠} \times {٤}$.

والإجابة هي $\% ٤٠$

تكنيك ١: استنتاج السعر الأصلي وعملية الطرح.

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي بين النسبة المئوية وقيمتها للوصول للقيمة الإجمالية ثم إجراء عملية طرح الانخفاض.

يخبرنا المعطى أن نسبة ثلاثة بالمائة تعادل ثلاثة ريالات كقيمة نقدية.

$٣ = ٪٣$

بقسمة الطرفين على ثلاثة، نستنتج أن نسبة واحد بالمائة تعادل ريالاً واحداً.

$١ = ٪١$

بضرب الطرفين في مائة، يصبح السعر الأصلي للسهم وهو مائة بالمائة يعادل مائة ريال.

$١٠٠ = ٪١٠٠$

السعر بعد الانخفاض يساوي السعر الأصلي مطروحاً منه قيمة الانخفاض الثابتة.

$٩٧ = {٣} – {١٠٠}$

القيمة الأولى هي سبعة وتسعون، والقيمة الثانية تسعة ريالات، فالأولى أكبر حتماً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: حساب النسبة المئوية للسعر المتبقي.

المفهوم الرياضي: إيجاد نسبة السعر بعد الانخفاض من السعر الكلي، ثم استنتاج قيمتها بناءً على التناسب المعطى.

بما أن الانخفاض نسبته ثلاثة بالمائة، فإن النسبة المتبقية من سعر السهم هي سبعة وتسعون بالمائة.

$٪٩٧ = {٪٣} – {٪١٠٠}$

علمنا من المعطيات أن كل نسبة مئوية واحدة تعادل ريالاً واحداً في هذه الحالة بالذات.

إذاً النسبة المتبقية وهي سبعة وتسعون بالمائة تعادل نقدياً سبعة وتسعين ريالاً.

هذا الرقم يمثل القيمة الأولى، وهو يفوق القيمة الثانية المتمثلة في تسعة ريالات بأضعاف.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

طريقة الحل للسؤال الخامس (خلط المحاليل):

تكنيك ١: قانون المتوسط المرجح للكميات الكلية

المفهوم الرياضي: إيجاد الكمية المطلقة للمادة الفعالة في كل محلول على حدة، ثم جمعها وقسمتها على الحجم الكلي للمزيج.

الخطوة الأولى: حساب كمية المادة (أ) في المحلول الأول.

القانون: الكمية = الحجم ضرب نسبة التركيز.

التعويض: $٢٤ = {\dfrac{٦٠}{١٠٠}} \times {٤٠}$ ملل.

الخطوة الثانية: حساب كمية المادة (أ) في المحلول الثاني.

التعويض: $٢٤ = {\dfrac{٤٠}{١٠٠}} \times {٦٠}$ ملل.

الخطوة الثالثة: إيجاد الكمية الكلية للمادة (أ) في المحلول الناتج بجمع الكميتين.

التعويض: $٤٨ = {٢٤} + {٢٤}$ ملل.

الخطوة الرابعة: حساب الحجم الكلي للمحلول الناتج بجمع حجمي المحلولين الأساسيين.

التعويض: $١٠٠ = {٦٠} + {٤٠}$ ملل.

الخطوة الخامسة: إيجاد نسبة التركيز النهائي بقسمة إجمالي المادة (أ) على الحجم الكلي وضرب الناتج في مائة.

التعويض: $٤٨٪ = {١٠٠} \times {\dfrac{٤٨}{١٠٠}}$

والإجابة هي $٤٨$٪

تكنيك ٢: قانون الخليط الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: استخدام معادلة الخلط الشاملة لدمج الخطوات في مسار واحد.

الخطوة الأولى: كتابة قانون التركيز الجديد.

القانون: التركيز النهائي = ( (حجم الأول ضرب تركيزه) + (حجم الثاني ضرب تركيزه) ) مقسوماً على (الحجم الكلي).

الخطوة الثانية: التعويض في البسط لحساب مجموع المواد الفعالة.

التعويض: $٤٨ = ({٤٠} \times {٦٠}) + ({٦٠} \times {٤٠})$ بعد قسمة النسب المئوية على مائة للتبسيط الداخلي.

الخطوة الثالثة: التعويض في المقام لحساب إجمالي الأحجام.

التعويض: $١٠٠ = {٦٠} + {٤٠}$

الخطوة الرابعة: إجراء عملية القسمة النهائية.

التعويض: $٤٨٪ = {١٠٠} \times {\dfrac{٤٨}{١٠٠}}$

والإجابة هي $٤٨$٪

طريقة الحل للسؤال الثاني (مقارنة السعر بعد الخصم لشماغ ١٢٥):

تكنيك ١: الحساب المرحلي المفصل للسعر النهائي

المفهوم الرياضي: حساب قيمة الخصم أولاً، ثم إيجاد القيمة المكملة بطرح الخصم من السعر الأصلي لمعرفة السعر النهائي.

الخطوة الأولى: حساب مقدار الخصم للقيمة الأولى.

التعويض: مقدار الخصم = $٣١،٢٥ = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {١٢٥}$ ريالاً.

الخطوة الثانية: حساب السعر النهائي للقيمة الأولى بعد استقطاع الخصم.

القانون: السعر بعد الخصم = السعر الأصلي طرح مقدار الخصم.

التعويض: $٩٣،٧٥ = {٣١،٢٥} – {١٢٥}$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: حساب السعر النهائي للقيمة الثانية المعطاة بخصم نقدي مباشر.

التعويض: $١٠٠ = {٢٥} – {١٢٥}$ ريالاً.

الخطوة الرابعة: مقارنة السعرين النهائيين.

القيمة الأولى $٩٣،٧٥$ ريالاً، والقيمة الثانية $١٠٠$ ريال.

بما أن $٩٣،٧٥$ أصغر من $١٠٠$، فإن القيمة الثانية هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: التحليل المنطقي العكسي بناءً على قيمة الخصم

المفهوم الرياضي: العلاقة بين مقدار الخصم والسعر النهائي هي علاقة عكسية، فكلما زاد الخصم، قل السعر النهائي المدفوع.

الخطوة الأولى: مقارنة مقادير الخصم للقيمتين مباشرة دون حساب السعر النهائي.

الخطوة الثانية: خصم القيمة الأولى هو $٢٥$٪ من $١٢٥$، ويساوي $٣١،٢٥$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: خصم القيمة الثانية هو $٢٥$ ريالاً.

الخطوة الرابعة: بما أن خصم القيمة الأولى ($٣١،٢٥$) أكبر من خصم القيمة الثانية ($٢٥$)، فهذا يعني أن المبلغ المستقطع في القيمة الأولى أكبر.

الخطوة الخامسة: بالتالي، القيمة المكملة (المبلغ المتبقي للدفع) ستكون أقل في القيمة الأولى وأكبر في القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

طريقة الحل للسؤال السابع (دين الأب وسداد الأبناء):

تكنيك ١: استخدام النسب المكملة لتوحيد المعطيات

المفهوم الرياضي: توحيد صيغة ما سدده الأبناء في شكل نسب مئوية، واستنتاج النسبة المكملة التي تعادل القيمة النقدية للابن الثالث.

الخطوة الأولى: تحويل ما سدده الابن الأول من كسر (نصف) إلى نسبة مئوية، وهو يعادل $٥٠$٪.

الخطوة الثانية: سداد الابن الثاني معطى كنسبة جاهزة وهي $٣٠$٪.

الخطوة الثالثة: جمع نسب السداد للابنين الأول والثاني.

التعويض: $٨٠٪ = {٣٠٪} + {٥٠٪}$

الخطوة الرابعة: حساب النسبة المكملة التي تمثل ما سدده الابن الثالث من إجمالي الدين ($١٠٠$٪).

التعويض: $٢٠٪ = {٨٠٪} – {١٠٠٪}$

الخطوة الخامسة: ربط النسبة المكملة بالقيمة النقدية المعطاة، حيث أن $٢٠$٪ من الدين تساوي $٤٠٠٠$ ريال.

الخطوة السادسة: حساب القيمة الكلية للدين بقسمة مبلغ على نسبته.

التعويض: $٢٠٠٠٠ = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \div {٤٠٠٠}$ ريالاً.

والإجابة هي $٢٠٠٠٠$

تكنيك ٢: بناء معادلة جبرية من الدرجة الأولى

المفهوم الرياضي: فرض متغير للمجهول (الدين الكلي) وصياغة معادلة خطية تجمع أجزاء السداد وتساويها بالقيمة الكلية.

الخطوة الأولى: نفرض أن إجمالي الدين هو المتغير $س$.

الخطوة الثانية: الابن الأول سدد $٠،٥س$، والابن الثاني سدد $٠،٣س$.

الخطوة الثالثة: الابن الثالث سدد مبلغاً ثابتاً وهو $٤٠٠٠$.

الخطوة الرابعة: صياغة المعادلة الجبرية لمجموع السداد.

التعويض: ${س} = {٤٠٠٠} + {س٠،٣} + {س٠،٥}$

الخطوة الخامسة: تبسيط المعادلة بجمع معاملات المتغير $س$.

التعويض: ${س} = {٤٠٠٠} + {س٠،٨}$

الخطوة السادسة: نقل المتغيرات لطرف واحد لتكوين النسبة المكملة.

التعويض: $٤٠٠٠ = {س٠،٨} – {س}$

التعويض: $٤٠٠٠ = {س٠،٢}$

الخطوة السابعة: قسمة الطرفين على المعامل لاستخراج قيمة المتغير الكلي.

التعويض: $٢٠٠٠٠ = {٠،٢} \div {٤٠٠٠}$

والإجابة هي $٢٠٠٠٠$

التكنيك الأول: التناسب الطردي والضرب التبادلي للنسب

المفهوم الرياضي: بناء معادلة تناسب طردي بين النسبة المئوية وقيمتها العددية، حيث يمثل العدد المجهول المطلوب إيجاده نسبة مئة بالمئة الكلية.

القانون: العدد الكلي يساوي العدد الجزئي مضروباً في مئة مقسوماً على النسبة المئوية الجزئية.

نصيغ العلاقة من المعطيات بحيث تمثل النسبة قيمتها المحددة:

نسبة $٪١٥$ تقابل العدد $٦٠$.

نسبة $٪١٠٠$ تقابل المتغير المجهول الذي يمثل العدد الكلي.

نستخدم الضرب التبادلي؛ فنضرب مئة في ستين ثم نقسم الناتج على خمسة عشر للحصول على العدد المطلوب:

$٤٠٠ = {\dfrac{{١٠٠} \times {٦٠}}{١٥}}$

والإجابة هي $٤٠٠$

التكنيك الثاني: التدرج المنتظم وتبسيط النسبة

المفهوم الرياضي: قسمة النسبة المئوية المعطاة للوصول إلى نسبة أصغر يسهل مضاعفتها للوصول إلى مئة بالمئة دون استخدام الضرب التبادلي المعقد.

القانون: نقسم كلا الطرفين (النسبة والقيمة) على القاسم المشترك الأكبر، ثم نضرب الطرفين في المعامل الذي يكمل النسبة إلى مئة بالمئة.

لدينا المعطى الأساسي الذي يمثل جزءاً من العدد:

نسبة $٪١٥$ تقابل العدد $٦٠$.

نقسم كلا الطرفين على ثلاثة للوصول إلى نسبة مبسطة وهي خمسة بالمئة:

$٢٠ = {٣} \div {٦٠}$

نسبة $٪٥$ تقابل العدد $٢٠$.

لتحويل النسبة من خمسة بالمئة إلى مئة بالمئة الكلية، نضرب كلا الطرفين في عشرين:

$٤٠٠ = {٢٠} \times {٢٠}$

والإجابة هي $٤٠٠$

تكنيك ١: حساب قيمة الخصم وطرحها من السعر الأصلي

المفهوم الرياضي: السعر بعد الخصم يساوي السعر الأصلي مطروحاً منه مقدار الخصم، ومقدار الخصم يُحسب بضرب النسبة المئوية للخصم في السعر الأصلي.

نحسب قيمة الخصم الممثل بالنسبة $٪٥٠$ من السعر الأصلي $٨٠$ ريالاً.

النسبة $٪٥٠$ تعادل النصف رياضياً، أي الكسر $\dfrac{١}{٢}$

نضرب الكسر في السعر الأصلي: {٨٠} \times {\dfrac{١}{٢}}

قيمة الخصم تساوي: $٤٠ = {٢} \div {٨٠}$

نحسب القيمة الأولى وهي السعر بعد الخصم بطرح قيمة الخصم من السعر الأصلي: $٤٠ = {٤٠} – {٨٠}$

القيمة الثانية المعطاة في السؤال هي $٤٠$ ريالاً بشكل مباشر.

بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية، نجد أنهما متطابقتان تماماً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: التناسب المباشر لإيجاد كلية طلاب اليوم الأول ثم الجمع.

المفهوم الرياضي: استخدام نسبة الجزء لإيجاد الكل، ثم جمع الأجزاء للوصول للعدد الكلي النهائي للمجموعتين.

ذكر السؤال أن ستة عشر طالباً يمثلون نسبة عشرين بالمائة من طلاب اليوم الأول.

$١٦ = ٪٢٠$

نسبة مائة بالمائة تمثل العدد الكلي لطلاب اليوم الأول. وبما أن العشرين بالمائة تتكرر خمس مرات لتصبح مائة بالمائة، نضرب الطرفين في خمسة.

$٨٠ = {٥} \times {١٦}$

إذن عدد طلاب اليوم الأول هو ثمانون طالباً.

العدد الإجمالي لليومين معاً يساوي طلاب اليوم الأول مضافاً إليهم طلاب اليوم الثاني.

$٩٦ = {١٦} + {٨٠}$

والإجابة هي $٩٦$

تكنيك ٢: الكسور الاعتيادية والتجميع.

المفهوم الرياضي: تحويل النسب المئوية إلى كسور اعتيادية لتسهيل التعامل مع المعادلات وحساب المجاميع.

نسبة العشرين بالمائة تعادل ككسر اعتيادي الخُمس.

$\dfrac{١}{٥} = ٪٢٠$

هذا يعني أن خُمس طلاب اليوم الأول (س) عددهم ستة عشر طالباً.

$١٦ = س \times {\dfrac{١}{٥}}$

بنقل الكسر للطرف الآخر كعملية ضرب في المقلوب، نجد أن طلاب اليوم الأول يساوون حاصل ضرب ستة عشر في خمسة.

$٨٠ = {٥} \times {١٦}$

لإيجاد المجموع الكلي، نجمع عدد اليوم الأول مع اليوم الثاني.

$٩٦ = {١٦} + {٨٠}$

والإجابة هي $٩٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الكلي للسباق بناءً على المعطيات الجزئية، ثم طرح الزمن المنقضي لإيجاد الزمن المتبقي.

النسبة المقطوعة تمثل الربع من المسافة الكلية.

القانون: الزمن الكلي = الزمن المنقضي × (١٠٠ ÷ النسبة المقطوعة)

نعوض في القانون بالقيم المعطاة في السؤال.

الزمن الكلي = $٥ \times {\dfrac{١٠٠}{٢٥}}$

بتبسيط الكسر، نعلم أن مئة تقسيم خمسة وعشرين يساوي أربعة.

الزمن الكلي = $٢٠ = {٤} \times {٥}$

الزمن الكلي للسباق هو عشرون دقيقة.

الزمن المتبقي = الزمن الكلي – الزمن المنقضي

نعوض بالقيم لإيجاد الزمن المتبقي.

الزمن المتبقي = ${٥} – {٢٠}$

نطرح الزمن المنقضي من الكلي لنصل للنتيجة.

الناتج النهائي: $١٥ = {٥} – {٢٠}$

والإجابة هي $١٥$ دقيقة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب المباشر بين النسبة المئوية للمسافة والزمن المستغرق لقطعها.

المسافة المقطوعة تمثل خمسة وعشرين بالمئة والزمن المستغرق خمس دقائق.

$٪٢٥$ يقابلها $٥$ دقائق.

المسافة المتبقية من السباق هي مكملة النسبة المئوية الكلية.

نسبة المسافة المتبقية = $٪٧٥ = ٪٢٥ – ٪١٠٠$

نلاحظ أن النسبة المتبقية هي ثلاثة أضعاف النسبة المقطوعة.

$٪٧٥ = {٣} \times ٪٢٥$

بما أن التناسب طردي، نضرب الزمن المستغرق في النسبة الأولى في ثلاثة لنجد زمن النسبة الثانية.

الزمن المتبقي = $١٥ = {٣} \times {٥}$

إذن يستغرق خمس عشرة دقيقة لقطع باقي السباق.

والإجابة هي $١٥$ دقيقة

تكنيك ١: الحساب المباشر للنسبة المئوية.

المفهوم الرياضي: قيمة النسبة من عدد تساوي ضرب النسبة المئوية في ذلك العدد.

نصيغ معادلة رياضية لضرب النسبة المئوية المعطاة في المبلغ الإجمالي للحصول على مقدار التخفيض.

قيمة التخفيض تساوي عشرين بالمائة مضروبة في مائتين.

$٤٠ = {٢٠٠} \times {\dfrac{٢٠}{١٠٠}}$

والإجابة هي $٤٠$

تكنيك ٢: التدرج المنتظم وإيجاد نسبة العشرة بالمائة.

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد النسبة المئوية المجهولة عبر تقسيم العدد إلى أجزاء نسبية يسهل حسابها ذهنياً.

بما أن المبلغ الإجمالي هو مائتان، فإن نسبة مائة بالمائة تساوي مائتين بالكامل.

$٢٠٠ = ٪١٠٠$

نقسم الطرفين على عشرة لإيجاد قيمة نسبة عشرة بالمائة من المبلغ.

$٢٠ = {١٠} \div {٢٠٠}$

إذاً نسبة عشرة بالمائة تعادل عشرين ريالاً.

بما أن التخفيض هو عشرون بالمائة، نضرب الطرفين في اثنين لمضاعفة النسبة.

$٤٠ = {٢} \times {٢٠}$

والإجابة هي $٤٠$

التكنيك الأول: حل المعادلات الجبرية وإيجاد القيم الدقيقة للمتغيرين

المفهوم الرياضي: تحويل العبارات اللفظية إلى معادلات جبرية صريحة، وحل كل معادلة على حدة لإيجاد قيمة كل من المتغيرين أ وَ ب، ومن ثم المقارنة بينهما.

القانون: لإيجاد العدد الأصلي المضروب في نسبة، نضرب الناتج في مقلوب تلك النسبة المئوية.

نصيغ المعادلة الأولى الخاصة بالقيمة أ من المعطيات:

$٣٠٥ = {أ} \times {\dfrac{٧٠}{١٠٠}}$

نضرب الطرفين في مقلوب النسبة لإيجاد قيمة المتغير أ:

${\dfrac{٣٠٥٠}{٧}} = {\dfrac{١٠٠}{٧٠}} \times {٣٠٥} = أ$

بقسمة ثلاثة آلاف وخمسين على سبعة، نستنتج أن قيمة أ تساوي تقريباً أربعمائة وخمسة وثلاثين فاصلة سبعة.

نصيغ المعادلة الثانية الخاصة بالقيمة ب من المعطيات:

$٢٠٠ = {ب} \times {\dfrac{٢٠}{١٠٠}}$

نضرب الطرفين in مقلوب النسبة لإيجاد قيمة المتغير ب:

$١٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٢٠}} \times {٢٠٠} = ب$

بالمقارنة بين القيمة الدقيقة للمتغير أ والقيمة الدقيقة للمتغير ب، نجد أن الألف أكبر بكثير من أربعمائة وخمسة وثلاثين.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

التكنيك الثاني: التحليل المنطقي والتقدير التقريبي للقيم

المفهوم الرياضي: استخدام التقدير المنطقي السريع لمقارنة أحجام المتغيرات دون الحاجة لإجراء عمليات قسمة مطولة دقيقة.

القانون: إذا كانت نسبة كبيرة من عدد تعطي ناتجاً صغيراً، فالعدد أصله صغير، وإذا كانت نسبة صغيرة من عدد تعطي ناتجاً كبيراً، فالعدد أصله ضخم.

لدينا سبعون بالمئة من المتغير أ تساوي ثلاثمائة وخمسة. لو فرضنا أن المتغير أ يساوي أربعمائة، فإن سبعين بالمئة منه تساوي مائتين وثمانين. بالتالي، المتغير أ يزيد قليلاً عن الأربعمائة.

لدينا عشرون بالمئة (والتي تمثل الخمس) من المتغير ب تساوي مائتين. لإيجاد المتغير ب كاملاً، نضرب مائتين في خمسة، فنحصل على ألف.

من التقدير المنطقي يتضح بشكل جلي ومباشر أن الألف أكبر بكثير من العدد المقدر بحوالي أربعمائة، مما يجعل المتغير ب هو الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: استخراج الكسر الجبري من المعادلة والمقارنة المباشرة.

المفهوم الرياضي: تحويل المعادلة المعطاة إلى نسبة بين متغيرين ومقارنة الكسر الناتج مع القيمة الثابتة الأخرى.

المعطى هو عشرون بالمائة من أ تساوي ثلاثين بالمائة من ب.

${\dfrac{٣٠}{١٠٠}} \times ب = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times أ$

نتخلص من المقامات بضرب الطرفين في مائة، ونحذف الأصفار من المعاملات بالقسمة على عشرة.

${٣} \times ب = {٢} \times أ$

لإيجاد قيمة أ مقسومة على ب، ننقل المعاملات للطرف المعاكس.

$\dfrac{٣}{٢} = \dfrac{أ}{ب}$

القيمة الأولى أصبحت ثلاثة أنصاف، بينما القيمة الثانية هي النصف.

بمقارنة ثلاثة أنصاف مع النصف، يتبين أن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢: الفرضية العددية لتجسيد العلاقة.

المفهوم الرياضي: استبدال المتغيرات المجهولة بأرقام حقيقية تطابق المعطيات لفهم الحجم النسبي للكسرين.

نفرض قيمة للمتغير ب، ولتكن عشرين لتسهيل حساب ثلاثين بالمائة منها.

$٢٠ = ب$

ثلاثون بالمائة من العشرين تساوي ستة.

$٦ = {٢٠} \times {\dfrac{٣٠}{١٠٠}}$

المعادلة تشير إلى أن عشرين بالمائة من أ تساوي هذا الناتج، أي ستة.

$٦ = أ \times {\dfrac{٢٠}{١٠٠}}$

بضرب الستة في مقلوب النسبة نجد قيمة المتغير أ.

$٣٠ = {\dfrac{١٠٠}{٢٠}} \times {٦} = أ$

نعوض بقيم المتغيرين في القيمة الأولى أ مقسومة على ب.

$\dfrac{٣}{٢} = \dfrac{٣٠}{٢٠} = \dfrac{أ}{ب}$

الكسر ثلاثة على اثنين يعادل واحداً ونصفاً، وهو أكبر من النصف في القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد نصيب الوحدة الواحدة من الإجمالي ثم حساب السعر الأصلي باستخدام النسبة المئوية.

باع الشخص عشرين جهازاً واستلم عمولة إجمالية قدرها ستمائة ريال.

نقسم العمولة الإجمالية على عدد الأجهزة لمعرفة قيمة العمولة عن كل جهاز واحد.

عمولة الجهاز الواحد: $٣٠ = {٢٠} \div {٦٠٠}$

تمثل هذه العمولة نسبة عشرة بالمائة من سعر الجهاز الأساسي.

لإيجاد سعر الجهاز كاملاً، نضرب عمولة الجهاز الواحد في مقلوب النسبة.

سعر الجهاز: $٣٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{١٠}} \times {٣٠}$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المبيعات الإجمالية أولاً ثم قسمتها على عدد الأجهزة لاستخراج السعر الفردي.

العمولة الإجمالية تمثل نسبة عشرة بالمائة من إجمالي قيمة المبيعات.

لإيجاد قيمة المبيعات الإجمالية، نضرب العمولة في مقلوب نسبة العشرة بالمائة.

المبيعات الإجمالية: $٦٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{١٠}} \times {٦٠٠}$

هذا المبلغ يمثل قيمة عشرين جهازاً مباعاً.

لإيجاد سعر الجهاز الواحد، نقسم إجمالي المبيعات على عدد الأجهزة.

سعر الجهاز: $٣٠٠ = {٢٠} \div {٦٠٠٠}$

والإجابة هي $٣٠٠$

تكنيك ١: قانون التبادل في النسب المئوية وعملية الضرب.

المفهوم الرياضي: في عملية ضرب النسب المئوية، تبديل أماكن النسبة والعدد المضروب فيه لا يغير الناتج لأن الضرب عملية إبدالية.

القيمة الأولى تمثل ضرب خمسة وثلاثين في المائة بالعدد مائة وخمسة وعشرين.

${\dfrac{٣٥}{١٠٠}} \times {١٢٥}$

القيمة الثانية تمثل ضرب مائة وخمسة وعشرين في المائة بالعدد خمسة وثلاثين.

${\dfrac{١٢٥}{١٠٠}} \times {٣٥}$

بما أن التعبير الرياضي في القيمتين يتكون من نفس الأرقام المضروبة، فإن الناتجين متطابقان تماماً.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: التبسيط الكسري المشترك للطرفين.

المفهوم الرياضي: تحويل النسب المئوية إلى كسور اعتيادية لتوحيد أساس المقارنة وتسهيل الاستنتاج.

في القيمة الأولى، يمكن إعادة كتابة النسبة ككسر مقامه مائة.

$\dfrac{{١٢٥} \times {٣٥}}{١٠٠}$

في القيمة الثانية، نقوم بنفس الخطوة بوضع النسبة ككسر مقامه مائة.

$\dfrac{{٣٥} \times {١٢٥}}{١٠٠}$

بمقارنة البسطين نجد أنهما متساويان رياضياً والمقام موحد، مما يؤكد التساوي.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: عزل الجزء الثابت من الإجمالي لمعرفة الجزء المتغير المرتبط بالنسبة المئوية.

يتقاضى الشخص إجمالياً خمسة عشر ألف ريال، منها راتب أساسي ثابت قدره ثمانية آلاف ريال.

نطرح الراتب الأساسي من الإجمالي لمعرفة قيمة العمولة المستحقة من الأرباح.

قيمة العمولة: $٧٠٠٠ = {٨٠٠٠} – {١٥٠٠٠}$

تمثل هذه العمولة نسبة خمسة بالمائة من إجمالي أرباح الشركة.

نصيغ المعادلة الجبرية: $٧٠٠٠ = {س} \times {\dfrac{٥}{١٠٠}}$

نضرب الطرفين في مقلوب النسبة لإيجاد المتغير س الذي يمثل الأرباح الكلية.

أرباح الشركة: $١٤٠٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٥}} \times {٧٠٠٠}$

والإجابة هي $١٤٠٠٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم المضاعف للوصول للكل انطلاقاً من الجزء.

نعلم بناءً على خطوة الطرح المسبقة أن عمولة الأرباح تبلغ سبعة آلاف ريال.

هذه السبعة آلاف تعادل خمسة بالمائة من أرباح الشركة.

التعبير: $٧٠٠٠ = ٪٥$

نضاعف الطرفين بضربهما في اثنين للوصول إلى نسبة عشرة بالمائة.

ينتج لدينا: $١٤٠٠٠ = ٪١٠$

للوصول إلى مائة بالمائة، نضرب الطرفين في العدد عشرة.

إجمالي الأرباح: $١٤٠٠٠٠ = {١٠} \times {١٤٠٠٠}$

والإجابة هي $١٤٠٠٠٠$

تكنيك ١: توحيد الصيغ الرياضية للقيمتين

المفهوم الرياضي: للمقارنة بين قيمتين تحتويان على نفس المتغير، يجب تحويلهما إلى نفس الصيغة الجبرية لتسهيل المقارنة المباشرة.

نأخذ القيمة الأولى المكتوبة بصيغة نسبة مئوية وهي $٪٦٦$ من المتغير $س$

نحول النسبة المئوية إلى كسر اعتيادي ليكون المعامل: $\dfrac{٦٦}{١٠٠}$

نبسط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على العدد $٢$

البسط الجديد: $٣٣ = {٢} \div {٦٦}$

المقام الجديد: $٥٠ = {٢} \div {١٠٠}$

إذن القيمة الأولى بعد التبسيط تصبح: $س {\dfrac{٣٣}{٥٠}}$

ننظر إلى القيمة الثانية المعطاة في السؤال ونجد أنها: $س {\dfrac{٣٣}{٥٠}}$

بما أن التعبيرين الجبريين متطابقان تماماً، فإن القيمتين متساويتان بغض النظر عن القيمة الفعلية للمتغير $س$

والإجابة هي القيمتان متساويتان

طريقة الحل للسؤال الثالث (مقارنة خصم شماغ ٩٥):

تكنيك ١: الحساب الجبري الدقيق للنسبة

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة العددية لنسبة مئوية محددة من مبلغ كلي ومقارنتها بمبلغ ثابت.

الخطوة الأولى: حساب قيمة الخصم الممثلة للقيمة الأولى.

القانون: الخصم = المبلغ الكلي مضروباً في النسبة.

التعويض: $٢٣،٧٥ = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {٩٥}$ ريالاً.

الخطوة الثانية: تحديد القيمة الثانية، وهي معطاة كقيمة نقدية ثابتة بقيمة $٢٥$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: المقارنة بين الناتجين.

القيمة الأولى هي $٢٣،٧٥$ ريالاً، والقيمة الثانية هي $٢٥$ ريالاً.

العدد $٢٥$ أكبر من العدد $٢٣،٧٥$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: التقريب المنطقي واستخدام الكسور

المفهوم الرياضي: الاستدلال بقيم قريبة أسهل في الحساب لإثبات العلاقة الرياضية للتباين.

الخطوة الأولى: نعلم أن $٢٥$٪ تعادل الربع (${\dfrac{١}{٤}}$).

الخطوة الثانية: نبحث عن عدد قريب من $٩٥$ يقبل القسمة على $٤$ بسهولة، وهو العدد $١٠٠$.

الخطوة الثالثة: ربع المائة هو $٢٥$.

التعويض: $٢٥ = {٤} \div {١٠٠}$

الخطوة الرابعة: بما أن $٩٥$ أصغر من $١٠٠$، فإن ربع الـ $٩٥$ يجب أن يكون أصغر قطعاً من ربع الـ $١٠٠$.

الخطوة الخامسة: إذن القيمة الأولى ستكون حتماً أقل من $٢٥$، بينما القيمة الثانية تساوي $٢٥$ تماماً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تفكيك المجاميع الكلية إلى أجزاء منفصلة وحساب النسب المئوية لكل جزء على حدة.

إجمالي عدد مقاعد الطائرة هو ثلاثمائة وعشرون مقعداً.

عدد مقاعد درجة رجال الأعمال هو أربعون مقعداً.

نحسب عدد مقاعد درجة السياحة بطرح مقاعد رجال الأعمال من الإجمالي.

مقاعد السياحة: $٢٨٠ = {٤٠} – {٣٢٠}$

نحسب المقاعد الشاغرة لدرجة رجال الأعمال والتي تمثل عشرين بالمائة من مقاعدها.

الشاغر لرجال الأعمال: $٨ = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times {٤٠}$

نحسب المقاعد الشاغرة لدرجة السياحة والتي تمثل عشرة بالمائة من مقاعدها.

الشاغر للسياحة: $٢٨ = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٢٨٠}$

نجمع المقاعد الشاغرة في الدرجتين للحصول على المجموع الكلي للشاغر.

المجموع الكلي: $٣٦ = {٢٨} + {٨}$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحويل النسب المئوية إلى كسور اعتيادية لتبسيط عملية الضرب والجمع السريع.

نسبة عشرين بالمائة تعادل الكسر الخُمس، ونسبة عشرة بالمائة تعادل الكسر العُشر.

مقاعد رجال الأعمال أربعون مقعداً، ومقاعد السياحة مائتان وثمانون مقعداً بناءً على الطرح المسبق.

الشاغر في رجال الأعمال يعادل خُمس الأربعين.

الشاغر الأول: $٨ = {\dfrac{١}{٥}} \times {٤٠}$

الشاغر في السياحة يعادل عُشر المائتين والثمانين.

الشاغر الثاني: $٢٨ = {\dfrac{١}{١٠}} \times {٢٨٠}$

بجمع الشواغر نحصل على المجموع النهائي.

المجموع النهائي: $٣٦ = {٢٨} + {٨}$

والإجابة هي $٣٦$

طريقة الحل للسؤال السادس (راتب أحمد وحساب الضريبة والحوافز):

تكنيك ١: حساب الاستقطاع ثم إضافة الحوافز

المفهوم الرياضي: تسلسل العمليات الحسابية خطوة بخطوة بدءاً من الخصم وصولاً إلى الإضافة.

الخطوة الأولى: حساب القيمة النقدية لضريبة التقاعد المستقطعة من الراتب الأساسي.

القانون: قيمة الضريبة = الراتب الأساسي ضرب النسبة المئوية.

التعويض: $٥٤٠ = {\dfrac{٩}{١٠٠}} \times {٦٠٠٠}$ ريالاً.

الخطوة الثانية: حساب الراتب المتبقي بعد استقطاع الضريبة.

القانون: الراتب الصافي = الراتب الأساسي طرح قيمة الضريبة.

التعويض: $٥٤٦٠ = {٥٤٠} – {٦٠٠٠}$ ريالاً.

الخطوة الثالثة: إضافة الحوافز الشهرية الثابتة إلى الراتب المتبقي لمعرفة الإجمالي النهائي.

التعويض: $٦٢٦٠ = {٨٠٠} + {٥٤٦٠}$ ريالاً.

والإجابة هي $٦٢٦٠$

تكنيك ٢: استخدام النسبة المكملة للراتب

المفهوم الرياضي: اختصار خطوة الطرح بالاعتماد على النسبة المكملة التي تمثل ما يتبقى من الراتب بعد الخصم المباشر.

الخطوة الأولى: الراتب الكلي يمثل النسبة الكاملة $١٠٠$٪.

الخطوة الثانية: حساب النسبة المكملة للراتب بعد خصم الضريبة.

التعويض: $٩١٪ = {٩٪} – {١٠٠٪}$

الخطوة الثالثة: حساب القيمة النقدية لهذه النسبة المكملة من الراتب الأساسي.

التعويض: $٥٤٦٠ = {\dfrac{٩١}{١٠٠}} \times {٦٠٠٠}$ ريالاً.

الخطوة الرابعة: إضافة الحوافز الخارجية إلى الراتب المتبقي.

التعويض: $٦٢٦٠ = {٨٠٠} + {٥٤٦٠}$ ريالاً.

والإجابة هي $٦٢٦٠$