اختبار حسابات السرعة، المسافة والزمن

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام مبدأ التناسب العكسي بين السرعة والزمن ومساواة المسافة في الحالتين لتكوين معادلة جبرية بمتغير واحد.

القانون المطبق: المسافة = السرعة مضروبة في الزمن.

نفرض أن السرعة الأصلية في الرحلة الأولى مجهولة ونرمز لها جبرياً بالمتغير $ع$.

المسافة المقطوعة في الرحلة الأولى نعبر عنها بـ: $ع٤ = {٤} \times {ع}$.

في الرحلة الثانية، زادت السرعة بمقدار $٢٠$ لتصبح ${٢٠} + {ع}$، والزمن قل ليصبح $٣$ ساعات.

المسافة المقطوعة في الرحلة الثانية نعبر عنها بـ: $({٢٠} + {ع})٣$.

بما أن المسافة بين المدينتين لم تتغير، نقوم بمساواة المعادلتين ببعضهما: ${ع٤} = {(٢٠ + ع)}٣$.

نقوم بتوزيع عملية الضرب على القوس لفك التعبير: ${ع٤} = {٦٠} + {ع٣}$.

نطرح الحد الأصغر للسرعة من الطرفين لعزل المتغير: ${ع} = {٦٠} = {ع٣} – {ع٤}$.

إذن نستنتج أن السرعة الأصلية للرجل كانت $٦٠$ كم/ساعة.

نعوض بهذه السرعة في قانون المسافة لإيجاد المسافة الكلية: $٢٤٠ = {٦٠} \times {٤}$ كيلومتر.

والإجابة هي $٢٤٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة المباشر، حيث السرعة تساوي المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن المستغرق.

نحسب سرعة محمد أولاً بقسمة المسافة التي قطعها على الزمن المخصص لرحلته.

$٨٧،٥ = \dfrac{٣٥٠}{٤}$

سرعة محمد تساوي $٨٧،٥$ كم / س.

نحسب سرعة خالد بقسمة المسافة التي قطعها على الزمن المخصص لرحلته.

$٧٠ = \dfrac{٤٢٠}{٦}$

سرعة خالد تساوي $٧٠$ كم / س.

نقارن بين السرعتين رياضياً، فنجد أن سرعة محمد هي الأعلى.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد الزمن للمقارنة بين المسافات المقطوعة كبديل أسهل عن حساب السرعة المباشرة.

نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للزمنين المعطيين في السؤال وهما $٤$ ساعات و $٦$ ساعات.

المضاعف المشترك الأصغر للزمنين هو $١٢$ ساعة.

نحسب المسافة التي سيقطعها محمد خلال $١٢$ ساعة بضرب مسافته الأصلية في $٣$.

$١٠٥٠ = {٣} \times {٣٥٠}$

نحسب المسافة التي سيقطعها خالد خلال $١٢$ ساعة بضرب مسافته الأصلية في $٢$.

$٨٤٠ = {٢} \times {٤٢٠}$

بما أن المسافة التي يقطعها محمد خلال نفس الزمن أكبر، فإن قيمته أعلى.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: ربط السرعة الخطية بالمحيط لإيجاد عدد الدورات المتكررة خلال فترة زمنية محددة.

عدد الدورات = المسافة الكلية المقطوعة مقسومة على محيط العجلة الواحدة.

سرعة السيارة هي $٤٤$ كيلومتراً في الساعة، والزمن هو ساعة واحدة، إذن المسافة الكلية المقطوعة هي $٤٤$ كيلومتراً.

نحول المسافة من كيلومتر إلى متر بضربها في العدد $١٠٠٠$ لتوحيد الوحدات القياسية.

المسافة المقطوعة بالمتر = $٤٤٠٠٠ = {١٠٠٠} \times {٤٤}$ متراً.

نحسب محيط العجلة باستخدام نصف القطر المعطى ككسر اعتيادي $\dfrac{٧}{١٠}$ بدلاً من الكسر العشري لتسهيل الحساب.

نرمز لنصف القطر بالرمز ن.

محيط العجلة = $ط \times ن \times ٢$.

نعوض بقيمة $ط$ الكسرية $\dfrac{٢٢}{٧}$.

محيط العجلة = $\dfrac{٤٤}{١٠} = {\dfrac{٢٢}{٧}} \times {\dfrac{٧}{١٠}} \times {٢}$ متراً.

نقسم المسافة الكلية على محيط العجلة لإيجاد عدد الدورات الإجمالية.

عدد الدورات = $١٠٠٠٠ = {\dfrac{٤٤}{١٠}} \div {٤٤٠٠٠}$ دورة.

والإجابة هي $١٠٠٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المسافة التي تقطعها الدورة الواحدة بالكيلومتر ثم القسمة المباشرة على المسافة الكلية المقطوعة.

محيط العجلة يمثل المسافة المقطوعة في دورة واحدة كاملة.

نحسب المحيط بوحدة المتر: $٤،٤ = {\dfrac{٢٢}{٧}} \times {٠،٧} \times {٢}$ متراً.

نحول المحيط من وحدة المتر إلى وحدة الكيلومتر بالقسمة على $١٠٠٠$.

محيط العجلة بالكيلومتر = $٠،٠٠٤٤ = {١٠٠٠} \div {٤،٤}$ كيلومتراً للدورة الواحدة.

السيارة تقطع مسافة $٤٤$ كيلومتراً خلال الساعة الواحدة.

عدد الدورات = المسافة الكلية بالكيلومتر مقسومة على المسافة للدورة الواحدة بالكيلومتر.

عدد الدورات = $١٠٠٠٠ = {٠،٠٠٤٤} \div {٤٤}$ دورة.

والإجابة هي $١٠٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد السرعة إلى أمتار في الثانية لتتوافق مع وحدة الزمن المعطاة في السؤال، ثم تطبيق قانون المسافة.

القانون المطبق: للتحويل من كم/س إلى م/ث نضرب السرعة في الكسر الثابت $\dfrac{٥}{١٨}$.

نحسب سرعة القطار بوحدة م/ث: $١٠ = {\dfrac{٥}{١٨}} \times {٣٦}$ م/ث.

القانون المطبق: طول الجدار (والذي يمثل المسافة المقطوعة) = السرعة مضروبة في الزمن.

نعوض في القانون لحساب الطول: $٨٠ = {٨} \times {١٠}$ متر.

والإجابة هي $٨٠$ متر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب زمن الوصول المستقل لكل متحرك باستخدام قانون الزمن ثم مقارنة الفارق.

قانون الزمن = المسافة الكلية $\div$ السرعة.

نحسب زمن وصول السيارة الأولى التي تسير بسرعة $١٢٠$ كم/ساعة لمسافة $٦٠٠$ كم.

زمن السيارة الأولى = $٥ = {١٢٠} \div {٦٠٠}$ ساعات.

نحسب زمن وصول السيارة الثانية التي تسير بسرعة $١٠٠$ كم/ساعة لنفس المسافة.

زمن السيارة الثانية = $٦ = {١٠٠} \div {٦٠٠}$ ساعات.

نحسب الفارق الزمني بين السيارتين بطرح الزمن الأقل من الزمن الأكبر.

الفارق الزمني = $١ = {٥} – {٦}$ ساعة واحدة.

لتحويل الفارق الزمني من الساعات إلى الدقائق لتطابق الخيارات، نضرب في القيمة $٦٠$.

الفارق بالدقائق = $٦٠ = {٦٠} \times {١}$ دقيقة.

والإجابة هي $٦٠$ د

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب والتدرج المنتظم للوصول للهدف.

السيارة الأولى تقطع المسافة كاملة في $٥$ ساعات بالتناسب المباشر بين السرعة والمسافة.

السيارة الثانية تقطع نفس المسافة المحددة في $٦$ ساعات بالتناسب المباشر.

الفارق بين وقت وصولهما هو ساعة كاملة.

الساعة الواحدة تعادل $٦٠$ دقيقة رياضياً وحسب تحويلات الزمن القياسية.

والإجابة هي $٦٠$ د

المفهوم الرياضي: قانون زمن الإلحاق لجسمين يتحركان في نفس الاتجاه بسرعات متفاوتة.

ينص القانون على أن زمن الإلحاق يساوي الفارق في المسافة مقسوماً على الفارق في السرعتين.

نحسب أولاً الفارق في السرعتين بطرح سرعة السيارة الأولى من سرعة السيارة الثانية.

${٣٠} = {٩٠} – {١٢٠}$

نحسب المسافة التي قطعتها السيارة الأولى خلال فارق الزمن وهو ساعة واحدة.

المسافة المقطوعة للسيارة الأولى قبل انطلاق الثانية تساوي $٩٠$ مضروبة في $١$.

${٩٠} = {١} \times {٩٠}$

نطبق قانون زمن الإلحاق بقسمة فارق المسافة المقطوعة على فارق السرعة النسبية.

${٣} = \dfrac{٩٠}{٣٠}$

هذا الزمن يمثل الساعات المستغرقة منذ انطلاق السيارة الثانية للحاق بالأولى.

والإجابة هي $٣$

المفهوم الرياضي: بناء جدول زمني لتتبع المسافة التراكمية لكل سيارة بشكل مستقل لملاحظة نقطة التساوي.

بعد مرور ساعة واحدة من البداية، تكون مسافة السيارة الأولى $٩٠$ كم، والسيارة الثانية لم تنطلق بعد ومسافتها صفر.

بعد مرور ساعتين من البداية، مسافة الأولى تصبح $١٨٠$ كم، ومسافة الثانية تصبح $١٢٠$ كم.

بعد مرور ثلاث ساعات من البداية، مسافة الأولى تصل إلى $٢٧٠$ كم، ومسافة الثانية تصل إلى $٢٤٠$ كم.

بعد مرور أربع ساعات من البداية، مسافة الأولى تبلغ $٣٦٠$ كم، ومسافة الثانية تبلغ $٣٦٠$ كم.

تتساوى المسافة عند $٣٦٠$ كم بعد أربع ساعات من البداية الكلية، وهو ما يعادل ثلاث ساعات من انطلاق السيارة الثانية.

بما أن السؤال يسأل عن زمن تساوي المسافة بعد الانطلاق بشكل مكملة لحركة السيارة الأولى، فالمقصود زمن السيارة الثانية.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة النسبية للأجسام المتحركة في نفس الاتجاه.

عندما تتحرك سيارتان في نفس الاتجاه، السرعة النسبية المعبرة عن الفارق بينهما هي ناتج طرح سرعتيهما.

السرعة النسبية = سرعة السيارة الأولى – سرعة السيارة الثانية.

السرعة النسبية = $١٥ = {٧٥} – {٩٠}$ كم/ساعة.

المسافة الفاصلة المتراكمة بينهما = السرعة النسبية $\times$ الزمن المعطى.

المسافة الفاصلة = $١٠٥ = {٧} \times {١٥}$ كم.

والإجابة هي $١٠٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المسافة المستقلة التراكمية المقطوعة لكل سيارة ثم إيجاد الفرق.

المسافة الكلية التي قطعتها السيارة الأولى بعد مرور $٧$ ساعات = $٦٣٠ = {٧} \times {٩٠}$ كم.

المسافة الكلية التي قطعتها السيارة الثانية بعد مرور $٧$ ساعات = $٥٢٥ = {٧} \times {٧٥}$ كم.

الفرق بين المسافتين المقطوعتين يمثل بدقة المسافة الفاصلة بينهما في تلك اللحظة.

المسافة الفاصلة = $١٠٥ = {٥٢٥} – {٦٣٠}$ كم.

والإجابة هي $١٠٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام العلاقة العكسية بين السرعة والزمن عند ثبات المسافة الكلية لإيجاد المسافة المقطوعة أولاً.

نعبر عن الزمن الذي تستغرقه المركبة بالسرعة الأكبر بمتغير مجهول، ليكون الزمن بالسرعة الأقل أطول بمقدار الفارق الزمني بين الوصولين.

الفارق الزمني بين الوصول في الساعة الحادية عشرة والساعة التاسعة هو ساعتان كاملتان.

القانون الرياضي لتساوي المسافات: ${}_{٢}ع \times {}_{٢}ز = {}_{١}ع \times {}_{١}ز$

نعوض بالمعطيات لتكوين معادلة جبرية تهدف لإيجاد الزمن للسرعة الأكبر.

المعادلة: ${ز} \times {٥٠} = {(٢ + ز)} \times {٤٥}$

نفك الأقواس رياضياً بضرب السرعة في الزمن والفارق الزمني.

الخطوة التالية للمعادلة: ${ز٥٠} = {٩٠} + {ز٤٥}$

ننقل المتغيرات الجبرية في طرف واحد والأعداد في الطرف الآخر لتسهيل عملية الطرح.

نطرح المعاملات للحصول على قيمة الزمن: $١٨ = ز \implies {٥} \div {٩٠} = ز \implies {ز٥} = {٩٠} \implies {ز٤٥} – {ز٥٠} = {٩٠}$

الزمن الفعلي المستغرق عند السير بالسرعة الأكبر يبلغ ثمانية عشر ساعة.

نحسب المسافة الكلية للرحلة بضرب هذه السرعة في الزمن الخاص بها.

المسافة = $٩٠٠ = {١٨} \times {٥٠}$

للوصول في الساعة العاشرة، فإن الزمن المطلوب يقع تماماً في المنتصف بين الزمانين، وهو تسعة عشر ساعة.

نقسم المسافة الكلية المحسوبة على الزمن المطلوب الجديد لإيجاد السرعة اللازمة.

السرعة المطلوبة = $٤٧،٣ = \dfrac{٩٠٠}{١٩}$

والإجابة هي $٤٧،٣$ كلم / س

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاعتماد على القانون السريع لفرق السرعات والزمن المباشر لحساب المسافة دون الحاجة لتكوين معادلات طويلة.

القانون الرياضي: $ف = \dfrac{{}_{٢}ع \times {}_{١}ع}{{}_{٢}ع – {}_{١}ع} \times ز\Delta$

نعوض بقيم السرعتين المعطاتين في البسط والمقام وفرق الزمن بينهما وهو ساعتان كاملتان.

المسافة الكلية = $٩٠٠ = {٢} \times \dfrac{({٥٠} \times {٤٥})}{({٤٥} – {٥٠})}$

نحسب الزمن الذي تستغرقه المركبة عندما تسير بسرعة خمسين كيلومتراً في الساعة.

الزمن = $١٨ = \dfrac{٩٠٠}{٥٠}$

بما أن الوصول في الساعة التاسعة تطلب ثمانية عشر ساعة، فإن الوصول في الساعة العاشرة يحتاج لزيادة الزمن بمقدار ساعة واحدة إضافية.

الزمن الجديد والمطلوب لإتمام الرحلة هو تسعة عشر ساعة.

نحسب السرعة الجديدة والنهائية بقسمة المسافة الثابتة على الزمن الجديد.

السرعة = $٤٧،٣ = \dfrac{٩٠٠}{١٩}$

والإجابة هي $٤٧،٣$ كلم / س

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر للسرعة المتوسطة لكل قيمة ومقارنة النواتج.

نكتب القانون الأساسي: السرعة = المسافة قسمة الزمن.

نحسب السرعة للقيمة الأولى:

${٨٠} = {٣} \div {٢٤٠}$

السرعة للقيمة الأولى هي $٨٠$ كم/س.

نحسب السرعة للقيمة الثانية:

${٧٦} = {٥} \div {٣٨٠}$

السرعة للقيمة الثانية هي $٧٦$ كم/س.

نقارن بين السرعتين، نجد أن $٨٠$ أكبر من $٧٦$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد الزمن للقيمتين عبر إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لتسهيل المقارنة المباشرة.

الزمن في القيمة الأولى هو $٣$ ساعات، وفي الثانية $٥$ ساعات.

المضاعف المشترك الأصغر للعددين $٣$ و $٥$ هو $١٥$.

نضرب القيمة الأولى (بسطاً ومقاماً) في العدد $٥$ لتوحيد الزمن:

المسافة = ${١٢٠٠} = {٥} \times {٢٤٠}$

أصبحت القيمة الأولى $١٢٠٠$ كم في $١٥$ ساعة.

نضرب القيمة الثانية (بسطاً ومقاماً) في العدد $٣$ لتوحيد الزمن:

المسافة = ${١١٤٠} = {٣} \times {٣٨٠}$

أصبحت القيمة الثانية $١١٤٠$ كم في $١٥$ ساعة.

بمقارنة المسافتين في نفس الزمن، نجد أن $١٢٠٠$ أكبر من $١١٤٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق نظرية فيثاغورس على الإزاحة نظرًا لأن الحركة في اتجاهين متعامدين (غرب وشمال).

نحسب المسافة التي قطعها القطار الأول (نحو الغرب) خلال ساعة واحدة:

المسافة الأولى = ${٨٠} = {١} \times {٨٠}$

نحسب المسافة التي قطعها القطار الثاني (نحو الشمال) خلال ساعة واحدة:

المسافة الثانية = ${٦٠} = {١} \times {٦٠}$

بما أن الاتجاهين متعامدان، فإن المسار يمثل ضلعي زاوية قائمة، والمسافة المباشرة هي الوتر (ف).

نطبق قانون فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين.

${}^{٢}ف = {}^{٢}({٦٠}) + {}^{٢}({٨٠})$

${}^{٢}ف = {٣٦٠٠} + {٦٤٠٠}$

${}^{٢}ف = {١٠٠٠٠}$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على المسافة المباشرة:

$ف = {\sqrt{١٠٠٠٠}}$

$ف = {١٠٠}$

المسافة هي $١٠٠$ كم.

والإجابة هي $١٠٠$ كم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام مثلثات فيثاغورس المشهورة لتسريع الحل الجبري وتجنب الأرقام الكبيرة.

المسافات المقطوعة هي $٨٠$ كم للغرب و $٦٠$ كم للشمال في اتجاهين متعامدين.

نلاحظ أن الأطوال $٦٠$ و $٨٠$ هي من مضاعفات أضلاع المثلث القائم المشهور $٣$ و $٤$ و $٥$.

نقسم الضلعين على القاسم المشترك الأكبر وهو $٢٠$ لاستنتاج النسبة الأساسية:

${٤} = {٢٠} \div {٨٠}$

${٣} = {٢٠} \div {٦٠}$

بما أن الضلعين يمثلان النسبة $٣$ و $٤$، فإن الوتر يجب أن يمثل النسبة $٥$.

نضرب النسبة $٥$ في المعامل الذي قسمنا عليه مسبقاً وهو $٢٠$ لاستعادة القيمة الحقيقية للوتر:

${١٠٠} = {٢٠} \times {٥}$

والإجابة هي $١٠٠$ كم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المسافة التي يقطعها كل جسم على حدة بناءً على سرعته وزمن حركته، ثم جمع المسافتين للحصول على المسافة الإجمالية.

الخطوة الأولى: نحسب المسافة التي قطعتها المركبة الأولى خلال الزمن المحدد.

القانون: مسافة المركبة الأولى = سرعة المركبة الأولى $\times$ الزمن.

نعوض في القانون: مسافة المركبة الأولى = $٤٥٠ = {٥} \times {٩٠}$ كم.

الخطوة الثانية: نحسب المسافة التي قطعتها المركبة الثانية خلال نفس الزمن.

القانون: مسافة المركبة الثانية = سرعة المركبة الثانية $\times$ الزمن.

نعوض في القانون: مسافة المركبة الثانية = $٢٥٠ = {٥} \times {٥٠}$ كم.

الخطوة الثالثة: نجمع مسافتي المركبتين لإيجاد المجموع الكلي للمسافات المقطوعة.

القانون: المسافة الإجمالية = مسافة المركبة الأولى $+$ مسافة المركبة الثانية.

نعوض في القانون: المسافة الإجمالية = $٧٠٠ = {٢٥٠} + {٤٥٠}$ كم.

والإجابة هي $٧٠٠$ كلم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام مجموع السرعتين (السرعة الإجمالية) مضروباً في الزمن المشترك لحساب المسافة الكلية مباشرة بخطوة مختصرة.

الخطوة الأولى: نجمع سرعتي المركبتين للحصول على مقدار ما يقطعانه معاً في الساعة الواحدة.

القانون: مجموع السرعتين = سرعة المركبة الأولى $+$ سرعة المركبة الثانية.

نعوض في القانون: مجموع السرعتين = $١٤٠ = {٥٠} + {٩٠}$ كم/س.

الخطوة الثانية: نضرب مجموع السرعتين في الزمن الكلي المستغرق للحصول على إجمالي المسافة.

القانون: المسافة الإجمالية = مجموع السرعتين $\times$ الزمن.

نعوض في القانون: المسافة الإجمالية = $٧٠٠ = {٥} \times {١٤٠}$ كم.

والإجابة هي $٧٠٠$ كلم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الزمن الأساسي للسرعة المنتظمة، ثم تحويل الناتج من الثواني إلى صيغة الدقائق والثواني.

القانون المطبق: الزمن = المسافة الكلية مقسومة على السرعة.

نعوض بالقيم لحساب الزمن بالثواني: $١٠٨ = {٥} \div {٥٤٠}$ ثانية.

القانون المطبق: الدقيقة الواحدة تعادل $٦٠$ ثانية تماماً.

نفكك الزمن المستخرج لاستخراج عدد الدقائق: $١٠٨$ ثانية عبارة عن $٦٠$ ثانية أساسية مضافاً إليها $٤٨$ ثانية.

إذن، الزمن المستغرق يبلغ دقيقة واحدة و $٤٨$ ثانية.

والإجابة هي $١$ دقيقة و $٤٨$ ثانية

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون السرعة المتوسطة الأساسي الشامل باستخدام إجمالي المسافات وإجمالي الأزمنة.

السرعة المتوسطة = مجموع المسافات الكلية مقسوماً على مجموع الأزمنة الكلية.

تقطع السيارة مسافة $٢٠٠$ كيلومتر في مسار الذهاب، وتعود لتقطع المسافة ذاتها $٢٠٠$ كيلومتر في مسار الإياب.

نحسب مجموع المسافات الكلية بجمع مسافتي المسارين.

مجموع المسافات = $٤٠٠ = {٢٠٠} + {٢٠٠}$ كيلومتراً.

الزمن المستغرق في مسار الذهاب هو $٣$ ساعات، وفي مسار الإياب هو ساعتان أي $٢$ ساعة.

نحسب مجموع الأزمنة الكلية بجمع الزمنيّن المنفصلين.

مجموع الأزمنة = $٥ = {٢} + {٣}$ ساعات.

نعوض في القانون المباشر بقسمة المسافة الكلية المحسوبة على الزمن الكلي المحسوب.

السرعة المتوسطة = $٨٠ = {٥} \div {٤٠٠}$ كيلومتراً في الساعة.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استنتاج سرعات الذهاب والإياب بشكل منفصل ثم تطبيق قانون الوسط التوافقي للسرعات ذات المسافة الثابتة.

أولاً، نحسب سرعة مسار الذهاب بقسمة مسافة الذهاب المعطاة على زمن الذهاب.

سرعة الذهاب = $\dfrac{٢٠٠}{٣} = {٣} \div {٢٠٠}$ كيلومتراً في الساعة.

ثانياً، نحسب سرعة مسار الإياب بقسمة مسافة الإياب على زمن الإياب.

سرعة الإياب = $١٠٠ = {٢} \div {٢٠٠}$ كيلومتراً في الساعة.

بما أن المسافة ثابتة في المسارين، نطبق قانون: السرعة المتوسطة = ضعف ضرب السرعتين مقسوماً على مجموعهما.

نرمز لسرعة الذهاب بالرمز ذ، ولسرعة الإياب بالرمز ي.

البسط = $ي \times ذ \times ٢$.

البسط = $\dfrac{٤٠٠٠٠}{٣} = {١٠٠} \times {\dfrac{٢٠٠}{٣}} \times {٢}$.

المقام = $ي + ذ$.

المقام = $\dfrac{٥٠٠}{٣} = {١٠٠} + {\dfrac{٢٠٠}{٣}}$.

السرعة المتوسطة = قيمة البسط الجبرية مقسومة على قيمة المقام.

السرعة المتوسطة = $٨٠ = {\dfrac{٥٠٠}{٣}} \div {\dfrac{٤٠٠٠٠}{٣}}$ كيلومتراً في الساعة.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة النسبية للأجسام المتحركة في اتجاهين متعاكسين.

عندما تتحرك سيارتان في اتجاهين متعاكسين، فإن السرعة النسبية هي مجموع سرعتيهما.

السرعة النسبية = سرعة السيارة الأولى + سرعة السيارة الثانية.

السرعة النسبية = $٢١٠ = {١١٠} + {١٠٠}$ كلم/ساعة.

الزمن المطلوب = المسافة الفاصلة $\div$ السرعة النسبية.

الزمن = $٢ = {٢١٠} \div {٤٢٠}$ ساعة.

والإجابة هي $٢$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم وحساب المسافات التراكمية.

في الساعة الأولى، تقطع السيارة الأولى مسافة $١٠٠$ كلم وتقطع الثانية $١١٠$ كلم في الاتجاه المعاكس.

مجموع المسافة المقطوعة والمبتعدة عن نقطة الانطلاق بعد ساعة واحدة = $٢١٠ = {١١٠} + {١٠٠}$ كلم.

بما أن المسافة المستهدفة في السؤال هي $٤٢٠$ كلم، وهي تمثل ضعف المسافة المقطوعة في ساعة واحدة تماماً.

إذاً الزمن اللازم لقطع المسافة كاملة = $٢ = {٢١٠} \div {٤٢٠}$ ساعة.

والإجابة هي $٢$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون زمن الإلحاق لجسمين يتحركان في الاتجاه ذاته.

زمن الإلحاق = المسافة بين الجسمين مقسومة على فرق السرعتين بينهما.

نبدأ بحساب فرق السرعتين بين كلب الصيد والأرنب لنجد السرعة النسبية.

سرعة الكلب المعطاة هي $٩$ أمتار في الثانية، وسرعة الأرنب هي $٧$ أمتار في الثانية.

نقوم بطرح سرعة الأرنب من سرعة الكلب.

فرق السرعتين = $٢ = {٧} – {٩}$ أمتار في الثانية.

المسافة الابتدائية الفاصلة بينهما تبلغ $١٥٠$ متراً.

نقوم الآن بقسمة المسافة الكلية على فرق السرعتين المحسوب لإيجاد الزمن المطلوب للإلحاق.

زمن الإلحاق = $٧٥ = {٢} \div {١٥٠}$ ثانية.

والإجابة هي $٧٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: صياغة مسألة الإلحاق كمعادلة جبرية خطية متكافئة الأطراف.

نفترض أن الزمن اللازم للإلحاق هو المتغير $ز$.

المسافة التي يقطعها الكلب حتى يلحق بالأرنب تساوي المسافة التي يقطعها الأرنب مضافاً إليها المسافة الابتدائية الفاصلة.

المسافة التي يقطعها الكلب = $ز٩$.

المسافة التي يقطعها الأرنب = $ز٧$.

المعادلة الجبرية هي: $ز٩ = {١٥٠} + {ز٧}$.

نقوم بنقل الحد $ز٧$ إلى الطرف الأيمن مع تغيير إشارته إلى السالب لتجميع المتغيرات.

المعادلة بعد النقل: $١٥٠ = {ز٧} – {ز٩}$.

نقوم بطرح المعاملات الجبرية: $ز٢ = ١٥٠$.

نقسم كلا الطرفين على العدد $٢$ للحصول على قيمة $ز$ المجردة.

الزمن $ز$ = $٧٥ = {٢} \div {١٥٠}$ ثانية.

والإجابة هي $٧٥$

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون زمن الإلحاق المباشر لحساب الساعات اللازمة للوصول لنقطة التلاقي.

زمن الإلحاق يحسب بقسمة المسافة المقطوعة للجسم الأول على فارق السرعتين بين الجسمين.

سرعة الجسم الأول محددة بـ $٩٠$ كم في الساعة.

الفارق الزمني لانطلاق الجسم الثاني هو ساعة واحدة كاملة.

المسافة التي تفصل بينهما عند نقطة انطلاق الثاني هي $٩٠$ مضروبة في $١$.

${٩٠} = {١} \times {٩٠}$

فارق السرعتين هو سرعة الثاني مطروحاً منها سرعة الأول.

${٣٠} = {٩٠} – {١٢٠}$

نقسم مسافة الفارق على سرعة الإلحاق النسبية للحصول على الزمن.

${٣} = \dfrac{٩٠}{٣٠}$

زمن الإلحاق هو ثلاث ساعات من لحظة انطلاق السيارة الثانية.

والإجابة هي $٣$

المفهوم الرياضي: استخدام طريقة التدرج المنتظم كطريقة مكملة لفهم العلاقة بين المسافة والزمن.

نراقب حركة السيارتين بدءاً من لحظة انطلاق السيارة الثانية لحساب المسافات.

بعد مرور ساعة واحدة، تكون الأولى قد قطعت $١٨٠$ كم والثانية قد قطعت $١٢٠$ كم.

بعد مرور ساعتين، تكون الأولى قد قطعت $٢٧٠$ كم والثانية قد قطعت $٢٤٠$ كم.

بعد مرور ثلاث ساعات، تكون الأولى قد قطعت $٣٦٠$ كم والثانية قد قطعت $٣٦٠$ كم.

تطابقت المسافتان تماماً عند هذه النقطة الزمنية بشكل قطعي.

إذن لحقت السيارة الثانية بالأولى بعد مرور ثلاث ساعات من حركتها الفعلية.

والإجابة هي $٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استبعاد المسافة المعطاة كمعلومة زائدة وتطبيق قانون الوسط التوافقي للسرعات الثابتة.

حين تكون المسافة المقطوعة ذهاباً وإياباً هي نفسها بالضبط، فإن قيمة المسافة الرياضية لا تؤثر في حساب السرعة المتوسطة النهائية.

القانون المباشر: السرعة المتوسطة = ضعف حاصل ضرب سرعتي الذهاب والإياب مقسوماً على مجموعهما.

سرعة الذهاب المعطاة هي $١٠٠$ كيلومتر في الساعة، وسرعة مسار الإياب هي $٩٠$ كيلومتراً في الساعة.

نحسب قيمة البسط الجبرية: $١٨٠٠٠ = {٩٠} \times {١٠٠} \times {٢}$.

نحسب قيمة المقام الجبرية: $١٩٠ = {٩٠} + {١٠٠}$.

نقسم البسط المحسوب على المقام لنجد الناتج.

السرعة المتوسطة = $٩٤،٧ = {١٩٠} \div {١٨٠٠٠}$ كيلومتراً في الساعة تقريباً.

بالنظر إلى الخيارات العددية المتوفرة، القيمة الصحيحة الأقرب للناتج هي $٩٤$.

والإجابة هي $٩٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام المسافة المعطاة في السؤال لحساب الأزمنة بشكل دقيق وتطبيق القانون العام الشامل.

المسافة الفاصلة بين المدينتين هي $٤٥٠$ كيلومتراً، لذا المسافة الكلية للرحلة تبلغ ضعف هذا المقدار.

المسافة الكلية المقطوعة للرحلة = $٩٠٠ = {٤٥٠} \times {٢}$ كيلومتراً.

نحسب زمن رحلة مسار الذهاب بقسمة مسافة الذهاب المعطاة على سرعتها.

زمن الذهاب = $٤،٥ = {١٠٠} \div {٤٥٠}$ ساعات.

نحسب زمن رحلة مسار الإياب بقسمة مسافة الإياب على سرعتها المستقلة.

زمن الإياب = $٥ = {٩٠} \div {٤٥٠}$ ساعات.

نجمع الزمنيّن المحسوبين للحصول على إجمالي الزمن المستغرق في الرحلة كاملة.

الزمن الكلي = $٩،٥ = {٥} + {٤،٥}$ ساعات.

نعوض في القانون العام الشامل بقسمة المسافة الكلية المحسوبة على الزمن الكلي.

السرعة المتوسطة = $٩٤،٧ = {٩،٥} \div {٩٠٠}$ كيلومتراً في الساعة تقريباً.

بالتقريب الجبري لأقرب عدد صحيح موجود في الخيارات المعطاة، نجد أنه العدد $٩٤$.

والإجابة هي $٩٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون “زمن اللحاق” للأجسام التي تتحرك في نفس الاتجاه بسرعات مختلفة، حيث يعتمد على المسافة المقطوعة مسبقاً والفرق بين سرعتي الجسمين.

الخطوة الأولى: نحسب المسافة التي قطعها القطار الأول (أ) قبل انطلاق القطار الثاني (ب).

القانون: المسافة المقطوعة مسبقاً = سرعة القطار الأول $\times$ فارق الزمن بين الانطلاقين.

نعوض في القانون: المسافة المقطوعة مسبقاً = $١٢٠ = {٢} \times {٦٠}$ كم.

الخطوة الثانية: نحسب فرق السرعة بين القطار الثاني والقطار الأول (السرعة النسبية).

القانون: فرق السرعتين = سرعة القطار الثاني $-$ سرعة القطار الأول.

نعوض في القانون: فرق السرعتين = $٢٠ = {٦٠} – {٨٠}$ كم/س.

الخطوة الثالثة: نقسم المسافة المقطوعة مسبقاً على فرق السرعتين لإيجاد زمن اللحاق.

القانون: زمن اللحاق = المسافة المقطوعة مسبقاً $\div$ فرق السرعتين.

نعوض في القانون: زمن اللحاق = $٦ = {٢٠} \div {١٢٠}$ ساعات.

والإجابة هي $٦$ ساعات

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إنشاء معادلة مساواة بين المسافتين المقطوعتين للقطارين عند لحظة الالتقاء واستخراج الزمن المجهول جبرياً.

الخطوة الأولى: نرمز للزمن الذي استغرقه القطار (ب) حتى لحظة اللحاق بالرمز ($س$).

الخطوة الثانية: نحدد الزمن الذي استغرقه القطار (أ) ليكون ($س$ $+$ $٢$) لأنه انطلق قبله بساعتين.

الخطوة الثالثة: نصيغ مسافة القطار (أ) بدلالة الزمن.

القانون: مسافة القطار أ = سرعة القطار أ $\times$ زمنه.

مسافة القطار أ = $({٢} + {س}) \times {٦٠}$

الخطوة الرابعة: نصيغ مسافة القطار (ب) بدلالة الزمن.

مسافة القطار ب = $س \times {٨٠}$

الخطوة الخامسة: نساوي المسافتين لأن نقطة الالتقاء تعني تساوي المسافة المقطوعة منذ لحظة انطلاق القطار أ.

المعادلة: $({٢} + {س}) \times {٦٠} = {س} \times {٨٠}$

نوزع الضرب: $١٢٠ + {س٦٠} = {س٨٠}$

الخطوة السادسة: ننقل المتغيرات لجهة والأرقام لجهة لحل المعادلة، ونراعي قاعدة التثبيت المرجعي للحدود.

$١٢٠ = {س٦٠} – {س٨٠}$

$١٢٠ = {س٢٠}$

الخطوة السابعة: نقسم الطرفين على معامل ($س$).

$٦ = {٢٠} \div {١٢٠}$ ساعات.

والإجابة هي $٦$ ساعات

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التحويل الزمني من الدقائق إلى الساعات متبوعاً بتطبيق قانون السرعة.

نحول الزمن المعطى بالدقائق إلى ساعات بقسمة القيمة على $٦٠$.

$٤ = \dfrac{٢٤٠}{٦٠}$

الزمن الكلي المستغرق للرحلة هو $٤$ ساعات.

نطبق قانون السرعة بقسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي بالساعات.

$١٠٠ = \dfrac{٤٠٠}{٤}$

السرعة المتوسطة لقطع المسافة المحددة تساوي $١٠٠$ كم / س.

والإجابة هي $١٠٠$ كم / س

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب والتدرج المنتظم للوصول إلى المسافة المقطوعة في ساعة واحدة.

تتمكن السيارة من قطع مسافة $٤٠٠$ كم خلال زمن قدره $٢٤٠$ دقيقة.

نقسم المسافة والزمن كلاهما على $٤$ لمعرفة المسافة المقطوعة خلال $٦٠$ دقيقة والتي تعادل ساعة واحدة.

$١٠٠ = \dfrac{٤٠٠}{٤}$

$٦٠ = \dfrac{٢٤٠}{٤}$

بما أن المسافة المقطوعة في $٦٠$ دقيقة هي $١٠٠$ كم، فإن السرعة هي $١٠٠$ كم / س.

والإجابة هي $١٠٠$ كم / س

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد السرعة المتوسطة لرحلة ذهاب وإياب بمسافات متساوية باستخدام الوسط الحسابي كقيمة تقريبية، حيث أن السرعة المتوسطة الفعلية تكون أقل منه بقليل في حال اختلاف السرعتين.

الخطوة الأولى: نحسب الوسط الحسابي للسرعتين المعطاتين في السؤال.

القانون: الوسط الحسابي = مجموع السرعتين $\div$ عدد السرعات.

نعوض في القانون: الوسط الحسابي = $٩٠ = {٢} \div ({٨٠} + {١٠٠})$ كم/س.

الخطوة الثانية: نطبق القاعدة الرياضية التي تنص على أن السرعة المتوسطة الفعلية لرحلة الذهاب والإياب أقل بقليل من الوسط الحسابي للسرعتين.

نبحث في الخيارات المتاحة عن قيمة تكون مساوية للوسط الحسابي تقريباً أو أقل منه بقليل.

بما أن الخيارات المتاحة لا تحتوي على رقم أقل من $٩٠$ مباشرة وتكون قريبة منه، فإننا نعتمد الوسط الحسابي كإجابة تقريبية صحيحة معتمدة في هذا السياق.

والإجابة هي $٩٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب السرعة المتوسطة الدقيقة باستخدام قانون السرعة المتوسطة لرحلة ذهاب وإياب بمسافات ثابتة (الوسط التوافقي).

الخطوة الأولى: نكتب قانون السرعة المتوسطة لرحلتي الذهاب والإياب.

القانون: السرعة المتوسطة = $({٢ع} + {١ع}) \div ({٢ع} \times {١ع} \times {٢})$

الخطوة الثانية: نعوض بالقيم المعطاة في القانون لحساب السرعة بدقة.

نعوض في القانون: السرعة المتوسطة = $({٨٠} + {١٠٠}) \div ({٨٠} \times {١٠٠} \times {٢})$

نحسب البسط: $١٦٠٠٠ = {٨٠} \times {١٠٠} \times {٢}$

نحسب المقام: $١٨٠ = {٨٠} + {١٠٠}$

الخطوة الثالثة: نقسم البسط على المقام للحصول على الناتج النهائي.

السرعة المتوسطة = $٨٨،٨٨ = {١٨٠} \div {١٦٠٠٠}$ كم/س.

بتقريب الناتج لأقرب عدد متوفر في الخيارات المعطاة نجد أنه $٩٠$.

والإجابة هي $٩٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد المسافة الثابتة باستخدام معطيات وسيلة النقل الأولى، ثم استخدام هذه المسافة لحساب الزمن المستغرق بواسطة وسيلة النقل الثانية.

الخطوة الأولى: نحسب المسافة الإجمالية بين المنزل ومقر العمل بناءً على سرعة وزمن السيارة.

القانون: المسافة = سرعة السيارة $\times$ الزمن المستغرق بالسيارة.

نعوض في القانون: المسافة = $٤٠ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٨٠}$ كم.

الخطوة الثانية: نستخدم المسافة التي حسبناها لإيجاد الزمن الذي ستستغرقه الدراجة لقطع نفس المسافة.

القانون: الزمن بالدراجة = المسافة $\div$ سرعة الدراجة.

نعوض في القانون: الزمن بالدراجة = $٢ = {٢٠} \div {٤٠}$ ساعة.

والإجابة هي $٢$ ساعة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب العكسي بين السرعة والزمن عند ثبات المسافة المقطوعة.

الخطوة الأولى: نحدد العلاقة بين السرعتين، حيث نلاحظ أن سرعة الدراجة ($٢٠$ كم/س) تمثل ربع سرعة السيارة ($٨٠$ كم/س).

القانون: نسبة السرعة = سرعة الدراجة $\div$ سرعة السيارة.

نعوض في القانون: نسبة السرعة = ${\dfrac{١}{٤}} = {٨٠} \div {٢٠}$

الخطوة الثانية: بما أن المسافة ثابتة، فإن الزمن يتناسب عكسياً مع السرعة، مما يعني أن زمن الدراجة سيكون أربعة أضعاف زمن السيارة.

القانون: زمن الدراجة = مقلوب نسبة السرعة $\times$ زمن السيارة.

نعوض في القانون: زمن الدراجة = $٢ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٤}$ ساعة.

والإجابة هي $٢$ ساعة

السؤال الثالث

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المسافة الإجمالية لكل قيمة منفردة عن طريق التطبيق المباشر لقانون المسافة، ثم إجراء مقارنة صريحة بين النواتج.

القانون المطبق: المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن.

نحسب مسافة القيمة الأولى للعداء الذي يجري بسرعة $٣٠$ كم في الساعة لمدة $٤$ ساعات.

مسافة القيمة الأولى تساوي $١٢٠ = {٤} \times {٣٠}$ كم.

نحسب مسافة القيمة الثانية للعداء الذي يجري على مرحلتين زمنيتين مكملة لبعضهما.

مسافة المرحلة الأولى تساوي $٥٠ = {١} \times {٥٠}$ كم.

مسافة المرحلة الثانية المكملة تساوي $٦٠ = {١} \times {٦٠}$ كم.

نجمع مسافتي المرحلتين لإيجاد إجمالي القيمة الثانية.

إجمالي مسافة القيمة الثانية يساوي $١١٠ = {٦٠} + {٥٠}$ كم.

نقارن رياضياً بين النتيجتين: المسافة الأولى هي $١٢٠$ كم والمسافة الثانية هي $١١٠$ كم.

بما أن القيمة $١٢٠$ أكبر عددياً من القيمة $١١٠$، فإن القيمة الأولى هي الأكبر.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التفكيك الزمني والمقارنة الجزئية التراكمية.

في القيمة الأولى، العداء يقطع مسافة $٣٠$ كم في كل ساعة منفردة من الساعات الأربع.

مجموع المسافات للساعات الأربع في القيمة الأولى هو عملية تكرار للعدد $٣٠$ أربع مرات، مما ينتج $١٢٠$ كم.

في القيمة الثانية، العداء يركض لمدة ساعتين فقط، الأولى يقطع فيها $٥٠$ كم والثانية المكملة يقطع فيها مسافة $٦٠$ كم.

بجمع المسافتين المقطوعتين في المرحلتين للقيمة الثانية نحصل على المسافة الإجمالية وهي $١١٠$ كم.

يتضح من خلال المقارنة المباشرة للنواتج أن المسافة المقطوعة في القيمة الأولى تتجاوز المسافة المقطوعة في القيمة الثانية.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التطبيق المباشر لجمع أجزاء المسافة بعد حساب الجزء المقطوع منها باستخدام المعطيات.

نحسب الجزء المقطوع من الرحلة بضرب السرعة المعطاة في الزمن المحدد.

$١٦٠ = {٢} \times {٨٠}$

قطع الشخص مسافة إجمالية قدرها $١٦٠$ كم خلال مدة الساعتين.

نضيف المسافة المتبقية له إلى المسافة المقطوعة لإيجاد المسافة الكلية للرحلة.

$٢٠٠ = {٤٠} + {١٦٠}$

إجمالي المسافة للرحلة كاملة من البداية للنهاية هو $٢٠٠$ كم.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحليل التدرجي لمراحل الرحلة زمنياً وتجميع المسافات لكل ساعة على حدة.

خلال الساعة الأولى من الانطلاق، تحرك الشخص وقطع مسافة قدرها $٨٠$ كم.

خلال الساعة الثانية، استمر الشخص بالتحرك وقطع مسافة قدرها $٨٠$ كم إضافية.

نجمع المسافتين الجزئيتين معاً لمعرفة الإجمالي المقطوع حتى اللحظة.

$١٦٠ = {٨٠} + {٨٠}$

نضيف المسافة المتبقية لتكتمل مسيرة الرحلة وهي $٤٠$ كم.

$٢٠٠ = {٤٠} + {١٦٠}$

ينتج من ذلك أن إجمالي المسافة هو $٢٠٠$ كم.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: الاعتماد على التناسب الطردي المباشر بين المسافة والسرعة عند ثبات الفترة الزمنية.

بما أن القطار والسيارة يتحركان في نفس الوقت، فإن الزمن المقطوع ثابت وموحد لكليهما.

القانون الرياضي للتناسب الطردي: $\dfrac{{}_{٢}ف}{{}_{٢}ع} = \dfrac{{}_{١}ف}{{}_{١}ع}$

نعوض بقيم السيارة في الطرف الأول من المعادلة وقيم القطار في الطرف الثاني.

المعادلة: $\dfrac{{}_{٢}ف}{٥٠} = \dfrac{٦٠}{٤٠}$

نستخدم خاصية الضرب التبادلي للطرفين في الوسطين لإيجاد قيمة مسافة القطار المجهولة.

مسافة القطار = $٧٥ = \dfrac{{٥٠} \times {٦٠}}{٤٠}$

والإجابة هي $٧٥$ كم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الفعلي المستغرق للسيارة رياضياً ثم التعويض به لمعرفة المسافة التي يقطعها القطار في ذلك الزمن.

القانون الرياضي للزمن: $ز = \dfrac{ف}{ع}$

نحسب الزمن الذي استغرقته السيارة لقطع مسافتها المحددة.

زمن السيارة = $١،٥ = \dfrac{٦٠}{٤٠}$

بما أن الزمن متساوٍ بين المركبتين، نستخدم هذا الزمن المحسوب كمعطى لحساب مسافة القطار.

القانون الرياضي للمسافة: $ف = {ع} \times {ز}$

نعوض بسرعة القطار الثابتة والزمن الذي تم استخراجه.

مسافة القطار = $٧٥ = {٥٠} \times {١،٥}$

والإجابة هي $٧٥$ كم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المسافة بناءً على السرعة النسبية لجسمين يتحركان في نفس الاتجاه.

عندما يتحرك جسمان في الاتجاه نفسه، فإن السرعة النسبية تساوي حاصل طرح السرعتين.

القانون الرياضي: $ع = {}_{٢}ع – {}_{١}ع$

نعوض لحساب السرعة النسبية حيث نطرح السرعة الأقل من السرعة الأكبر.

السرعة النسبية = $٧٥ = {٢٠} – {٩٥}$

القانون الرياضي لحساب المسافة: $ف = {ع} \times {ز}$

نعوض في القانون لحساب المسافة الفاصلة بعد مرور ساعتين.

المسافة = $١٥٠ = {٧٥} \times {٢}$

والإجابة هي $١٥٠$ كلم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المسافة المقطوعة لكل جسم على حدة ثم إيجاد الفرق الرياضي بينهما.

نحسب المسافة التي قطعتها الدراجة الهوائية خلال ساعتين بضرب سرعتها في الزمن.

مسافة الدراجة الهوائية = $٤٠ = {٢٠} \times {٢}$

نحسب المسافة التي قطعتها الدراجة النارية خلال ساعتين بنفس الطريقة.

مسافة الدراجة النارية = $١٩٠ = {٩٥} \times {٢}$

المسافة الفاصلة بينهما هي ناتج طرح المسافة الأقل من المسافة الأكبر.

المسافة الفاصلة = $١٥٠ = {٤٠} – {١٩٠}$

والإجابة هي $١٥٠$ كلم

السؤال الخامس

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجزئة المسافة الكلية إلى أقسام كما وردت نصاً في المعطيات، وحساب الزمن المستغرق لكل قسم على حدة، ثم جمع الأزمنة.

المسافة الإجمالية المعطاة للرحلة بالكامل هي $١٨٠$ كم.

نحسب الجزء الأول من المسافة، وهو ما يعادل رياضياً ثلثي المسافة الكلية.

ثلثا المسافة يساوي $١٢٠ = {١٨٠} \times \dfrac{٢}{٣}$ كم.

السرعة المحددة في هذا الجزء الأول هي $١٢٠$ كم في الساعة.

الزمن المستغرق لقطع الجزء الأول يساوي مقدار المسافة مقسوماً على مقدار السرعة.

الزمن الأول المستغرق يساوي $١ = {١٢٠} \div {١٢٠}$ ساعة.

نحسب طول الجزء الثاني من المسافة، وهو يمثل المسافة المكملة للرحلة.

المسافة المكملة تساوي $٦٠ = {١٢٠} – {١٨٠}$ كم.

السرعة المحددة في هذه المسافة المكملة هي $٦٠$ كم في الساعة.

الزمن المستغرق لقطع المسافة المكملة يساوي $١ = {٦٠} \div {٦٠}$ ساعة.

الزمن الإجمالي للرحلة يساوي حاصل جمع الزمنين المستغرقين.

الزمن الكلي للرحلة يساوي $٢ = {١} + {١}$ ساعة.

والإجابة هي $٢$ ساعة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحليل المنطقي والنسبي للسرعات والمسافات لاستنتاج الزمن النهائي بدون الحاجة لصياغة معادلات مطولة.

الرحلة مجزأة إلى قسمين رئيسيين: ثلثان أساسيان وثلث مكمل.

المسافة الكلية تبلغ $١٨٠$ كم، مما يعني أن الثلث الواحد منها يعادل مسافة $٦٠$ كم.

القسم الأول عبارة عن ثلثين، أي ما يعادل إجمالاً مسافة قدرها $١٢٠$ كم.

بما أن السائق يسير في هذا القسم الأول بسرعة $١٢٠$ كم لكل ساعة، فإنه سيقطع هذه المسافة في زمن قدره ساعة واحدة بالضبط.

القسم المتبقي يمثل الثلث المكمل للرحلة، ومسافته المتبقية هي $٦٠$ كم.

يسير السائق في هذا القسم المكمل بسرعة تبلغ $٦٠$ كم لكل ساعة، مما يعني بوضوح أنه سيقطعه أيضاً في زمن قدره ساعة واحدة.

نقوم بجمع زمن المرحلتين التراكمي لنحصل على الزمن الإجمالي للرحلة.

الزمن الكلي هو حصيلة جمع ساعة واحدة وساعة واحدة، ليصبح المجموع النهائي ساعتين.

والإجابة هي $٢$ ساعة

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة النسبية للأجسام المتحركة بوضوح في اتجاهين متعاكسين.

عندما تسير سيارتان في عكس الاتجاه، السرعة النسبية لتوسيع المسافة بينهما هي مجموع سرعتيهما.

السرعة النسبية = سرعة السيارة الأولى + سرعة السيارة الثانية.

السرعة النسبية = $١٦٥ = {٧٥} + {٩٠}$ كم/ساعة.

المسافة الفاصلة الإجمالية بينهما = السرعة النسبية $\times$ الزمن.

المسافة الفاصلة = $١١٥٥ = {٧} \times {١٦٥}$ كم.

والإجابة هي $١١٥٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب مسافة كل سيارة على حدة ثم جمعهما رياضياً لأن الحركة متعاكسة والمحور يتمدد.

المسافة التي قطعتها السيارة الأولى مبتعدة في اتجاهها بعد $٧$ ساعات = $٦٣٠ = {٧} \times {٩٠}$ كم.

المسافة التي قطعتها السيارة الثانية مبتعدة في اتجاهها المعاكس بعد $٧$ ساعات = $٥٢٥ = {٧} \times {٧٥}$ كم.

المسافة الفاصلة الكلية هي ناتج مجموع المسافتين المقطوعتين في اتجاهين متعاكسين تماماً.

المسافة الكلية = $١١٥٥ = {٥٢٥} + {٦٣٠}$ كم.

والإجابة هي $١١٥٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحويل وحدات الزمن في المقام لتوحيد السرعة واستخراج قيمة المتغير المجهول.

السرعة المعطاة في المعطيات هي $٩٠$ كم لكل ساعة، والساعة تعادل رياضياً $٦٠$ دقيقة.

نقسم المسافة المقطوعة على الزمن بالدقائق لإيجاد السرعة بوحدة كم / دقيقة.

$١،٥ = \dfrac{٩٠}{٦٠}$

قيمة المتغير المجهول والتي تمثل السرعة بالدقائق تساوي $١،٥$.

والإجابة هي $١،٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي البسيط لفك العلاقة بين المسافة والزمن.

كل $٦٠$ دقيقة يقابلها قطع مسافة إجمالية قدرها $٩٠$ كم.

نقسم المسافة الكلية على عدد الدقائق لمعرفة مقدار المسافة المقطوعة في الدقيقة الواحدة.

$١،٥ = \dfrac{٩٠}{٦٠}$

ينتج من هذا التقسيم أن المسافة المقطوعة في الدقيقة الواحدة تساوي $١،٥$ كم.

والإجابة هي $١،٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الكلي للرحلة بجمع زمن القيادة الفعلي مع إجمالي زمن فترات الاستراحة، ثم طرحه من وقت الوصول لتحديد وقت الانطلاق.

الخطوة الأولى: نحسب إجمالي زمن الاستراحات من خلال ضرب عدد مرات الاستراحة في مدة الاستراحة الواحدة.

القانون: إجمالي زمن الاستراحة = عدد الاستراحات $\times$ مدة الاستراحة الواحدة.

نعوض في القانون: إجمالي زمن الاستراحة = $١ = {\dfrac{١}{٤}} \times {٤}$ ساعة.

الخطوة الثانية: نجمع زمن الاستراحات مع الزمن الفعلي للرحلة لمعرفة الزمن الإجمالي المستغرق.

القانون: الزمن الإجمالي = زمن الرحلة الفعلي $+$ إجمالي زمن الاستراحة.

نعوض في القانون: الزمن الإجمالي = $٨ = {١} + {٧}$ ساعات.

الخطوة الثالثة: نطرح الزمن الإجمالي للرحلة من وقت الوصول لمعرفة وقت الانطلاق.

بما أن وقت الوصول هو الساعة $٧:٠٠$ مساءً، نعود بالزمن إلى الوراء بمقدار $٨$ ساعات.

نجد أن وقت الانطلاق كان في تمام الساعة $١١:٠٠$ صباحاً.

والإجابة هي $١١:٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الراجع من وقت الوصول خطوة بخطوة للوصول إلى نقطة البداية (الانطلاق).

الخطوة الأولى: نحدد وقت الوصول وهو الساعة $٧:٠٠$ مساءً، ونطرح منه زمن الرحلة الفعلي.

وقت الوصول قبل الاستراحات = الساعة $٧:٠٠$ مساءً ناقص $٧$ ساعات يساوي الساعة $١٢:٠٠$ ظهراً.

الخطوة الثانية: نحسب إجمالي فترات الاستراحة بالدقائق.

لدينا $٤$ استراحات، كل منها ربع ساعة، أي $١٥$ دقيقة.

إجمالي الاستراحات = $٦٠ = {١٥} \times {٤}$ دقيقة، وهو ما يعادل ساعة واحدة.

الخطوة الثالثة: نطرح زمن الاستراحات الإضافي من الوقت المحسوب في الخطوة الأولى لمعرفة وقت الانطلاق الفعلي.

الساعة $١٢:٠٠$ ظهراً ناقص ساعة واحدة يساوي الساعة $١١:٠٠$ صباحاً.

والإجابة هي $١١:٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد وحدات القياس الزمنية للقيمتين من أجل إجراء مقارنة جبرية صحيحة ودقيقة بينهما.

نبدأ بحساب الزمن اللازم لقطع المسافة المذكورة ست مرات متتالية بوحدة الثواني.

الزمن الكلي بالثواني = $٣٦٠ = {٦} \times {٦٠}$

نحول الزمن المستنتج في الخطوة السابقة من الثواني إلى الدقائق وذلك بالقسمة على العدد ستين.

القيمة الأولى بالدقائق = $٦ = \dfrac{٣٦٠}{٦٠}$

نقارن رياضياً بين القيمة الأولى التي تعادل ست دقائق، والقيمة الثانية المعطاة في السؤال وهي عشر دقائق.

بالمقارنة العددية المباشرة نجد بوضوح أن العدد عشرة أكبر من العدد ستة.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاعتماد على التحويل العكسي للقيمة الثانية من وحدة الدقائق إلى وحدة الثواني للوصول لأساس مقارنة موحد.

نحسب قيمة الزمن الأول بوحدة الثواني عن طريق ضرب زمن المسافة الواحدة في عدد المرات المطلوبة.

القيمة الأولى بالثواني = $٣٦٠ = {٦} \times {٦٠}$

نأخذ القيمة الثانية ونحولها رياضياً من دقائق إلى ثواني عن طريق الضرب في العدد ستين.

القيمة الثانية بالثواني = $٦٠٠ = {١٠} \times {٦٠}$

نجري المقارنة الجبرية بين القيمتين بوحدة الثواني حيث يتبين لنا أن العدد ستمائة أكبر من العدد ثلاثمائة وستين.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

المفهوم الرياضي: توحيد وحدات القياس الزمنية للمقارنة الدقيقة بين القيمتين المعطاتين.

القيمة الأولى تمثل الزمن اللازم لقطع المسافة عشر مرات متتالية.

الزمن المعطى للمرة الواحدة هو $٦٤$ ثانية.

نضرب هذا الزمن في عدد المرات لنحصل على إجمالي الثواني للقيمة الأولى.

${٦٤٠} = {١٠} \times {٦٤}$

القيمة الثانية معطاة بوحدة الدقائق وهي $١١$ دقيقة.

لتحويل الدقائق إلى ثوانٍ، نضرب الرقم في $٦٠$.

${٦٦٠} = {٦٠} \times {١١}$

نقارن الآن بين القيمتين الموحدتين بناءً على الثواني.

القيمة الأولى هي $٦٤٠$ ثانية، والقيمة الثانية هي $٦٦٠$ ثانية.

الرقم $٦٦٠$ أكبر من الرقم $٦٤٠$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

المفهوم الرياضي: تحويل الثواني المجمعة إلى دقائق للمقارنة المنطقية كطريقة مكملة للتأكد من الحل.

نحسب الزمن الإجمالي للقيمة الأولى بضرب $٦٤$ في $١٠$.

${٦٤٠} = {١٠} \times {٦٤}$

نحول هذا الزمن الإجمالي من ثوانٍ إلى دقائق بالقسمة على $٦٠$.

${١٠} \dfrac{٤٠}{٦٠} = \dfrac{٦٤٠}{٦٠}$

الزمن للقيمة الأولى هو عشر دقائق وكسر يمثل أربعين على ستين من الدقيقة.

القيمة الثانية هي $١١$ دقيقة كاملة بدون كسور.

بمقارنة العددين الصحيحين، نجد أن العدد إحدى عشرة أكبر من العدد عشرة.

إذاً القيمة الثانية تفوق القيمة الأولى رياضياً بشكل جازم.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجزئة المسار إلى قسمين متساويين، وحساب الزمن المستغرق لكل قسم بالساعات، ثم التحويل إلى دقائق.

طول الطريق الكلي هو $١٠٠$ كم، وبالتالي نصف الطريق يبلغ $٥٠$ كم.

نحسب الزمن للنصف الأول الذي يُقطع بسرعة $١٠٠$ كم/س:

الزمن الأول = $\dfrac{١}{٢} = {١٠٠} \div {٥٠}$

زمن النصف الأول هو نصف ساعة.

نحسب الزمن للنصف الثاني الذي يُقطع بسرعة $٦٠$ كم/س:

الزمن الثاني = $\dfrac{٥}{٦} = {٦٠} \div {٥٠}$

نجمع الزمنين الكليين بالساعات للحصول على الزمن الإجمالي:

الزمن الكلي = $\dfrac{٥}{٦} + \dfrac{١}{٢}$

نوحد المقامات بضرب الكسر الأول في العدد $٣$ بسطاً ومقاماً:

الزمن الكلي = $\dfrac{٨}{٦} = \dfrac{٥}{٦} + \dfrac{٣}{٦}$

نحول الزمن من ساعات إلى دقائق بضرب الناتج الإجمالي في $٦٠$:

الزمن بالدقائق = ${٦٠} \times \dfrac{٨}{٦}$

نبسط العملية بقسمة $٦٠$ على $٦$ ليعطي $١٠$، ثم نضرب في البسط:

${٨٠} = {١٠} \times {٨}$

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستنتاج المنطقي لحساب الزمن لكل جزء بالدقائق مباشرة لتفادي جمع الكسور.

المركبة تقطع النصف الأول ($٥٠$ كم) بسرعة $١٠٠$ كم في الساعة.

هذا يعني أنها تقطع مسافة $١٠٠$ كم كل $٦٠$ دقيقة، وبما أن المسافة نصف السرعة، فإنها تستغرق نصف ساعة.

نصف ساعة تعادل $٣٠$ دقيقة تماماً.

في النصف الثاني ($٥٠$ كم)، تسير بسرعة $٦٠$ كم في الساعة.

هذا يعني أنها تقطع $٦٠$ كيلومتراً كل $٦٠$ دقيقة، أي بمعدل كيلومتر واحد لكل دقيقة.

إذن لقطع مسافة $٥٠$ كم، ستستغرق $٥٠$ دقيقة بالضبط.

نجمع الزمن المستغرق في كلا النصفين معاً للحصول على الزمن الكلي:

${٨٠} = {٥٠} + {٣٠}$

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: توحيد وحدات القياس للسرعتين لتتم المقارنة بينهما بصورة صحيحة ودقيقة.

القانون المطبق: السرعة بوحدة (كم/ساعة) = السرعة بوحدة (كم/دقيقة) مضروبة في عدد الدقائق في الساعة الواحدة.

سرعة الراكب الأول معطاة بشكل جاهز وهي $٤٥$ كم/ساعة.

سرعة الراكب الثاني معطاة بقيمة $\dfrac{١}{٢}$ كم/دقيقة.

نحول سرعة الراكب الثاني لتطابق وحدة الأول: $٣٠ = {٦٠} \times {\dfrac{١}{٢}}$ كم/ساعة.

نقارن بين القيمتين النهائيتين، لنجد أن القيمة الأولى $٤٥$ أكبر من القيمة الثانية $٣٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد السرعة النسبية لجسمين يتحركان في اتجاهين متعاكسين نحو بعضهما، ثم حساب الزمن اللازم للالتقاء.

القانون المطبق: السرعة النسبية (في اتجاهين متعاكسين) = سرعة الأول مضافاً إليها سرعة الثاني.

نجمع السرعتين لإيجاد السرعة النسبية: $٧٠ = {٤٠} + {٣٠}$ كم/ساعة.

القانون المطبق: الزمن = المسافة الكلية مقسومة على السرعة النسبية.

نعوض لحساب زمن الالتقاء: $٣ = {٧٠} \div {٢١٠}$ ساعات.

والإجابة هي $٣$ ساعة

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد الزمن المستغرق لقطع مسافة معينة بسرعة ثابتة لمقارنته بقيمة زمنية أخرى معطاة في السؤال.

الخطوة الأولى: نكتب قانون الزمن استناداً إلى قانون السرعة والمسافة.

القانون: الزمن المستغرق = المسافة الكلية $\div$ السرعة.

الخطوة الثانية: نعوض بقيم المسافة والسرعة المعطاة في نص السؤال لحساب القيمة الأولى.

نعوض في القانون: القيمة الأولى (الزمن المستغرق) = $٩٠ = {٩} \div {٨١٠}$ ثانية.

الخطوة الثالثة: نقارن الناتج الذي حصلنا عليه (القيمة الأولى) مع القيمة الثانية المعطاة في السؤال.

القيمة الأولى تساوي $٩٠$ ثانية، والقيمة الثانية تساوي $٩١$ ثانية.

بالمقارنة، نجد أن $٩١$ أكبر من $٩٠$.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المسافة المقطوعة خلال الزمن المعطى في القيمة الثانية لمقارنتها بطول المضمار الكلي (المسافة الثابتة).

الخطوة الأولى: نفترض أن الشخص استمر بالسير بنفس السرعة لمدة تساوي القيمة الثانية ($٩١$ ثانية).

الخطوة الثانية: نحسب المسافة التي سيقطعها خلال هذا الزمن الافتراضي.

القانون: المسافة الافتراضية = السرعة $\times$ القيمة الثانية.

نعوض في القانون: المسافة الافتراضية = $٨١٩ = {٩١} \times {٩}$ متراً.

الخطوة الثالثة: نقارن المسافة الافتراضية بطول المضمار الفعلي المعطى في السؤال ($٨١٠$ أمتار).

بما أن $٨١٩$ متراً (المسافة المقطوعة في $٩١$ ثانية) أكبر من $٨١٠$ متراً (طول المضمار الذي يتطلب القيمة الأولى)، فهذا يعني رياضياً أن القيمة الثانية تعبر عن زمن أطول.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الزمن المستغرق باستخدام قانون السرعة، ثم إضافته تراكمياً لوقت الانطلاق الأصلي.

نقسم المسافة الكلية المقطوعة على السرعة لمعرفة الزمن الكلي للرحلة بالساعات.

$٢،٢٥ = \dfrac{٢٢٥}{١٠٠}$

الزمن المستغرق للرحلة هو ساعتان وربع الساعة.

نحول ربع الساعة المتبقي إلى دقائق بضربه في $٦٠$.

$١٥ = {٦٠} \times {\dfrac{١}{٤}}$

نضيف الزمن المستغرق وهو ساعتان و $١٥$ دقيقة إلى وقت الانطلاق وهو الساعة $٦$ صباحاً.

بجمع الساعات والدقائق، نصل إلى وقت الوصول وهو تمام الساعة الثامنة والربع صباحاً.

والإجابة هي $٨:١٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تجزئة المسافة والزمن تتابعياً خطوة بخطوة للوصول إلى ساعة الوصول.

في الساعة الأولى تقطع السيارة مسافة $١٠٠$ كم، فيتقدم الوقت ليصبح الساعة $٧$ صباحاً.

في الساعة الثانية تقطع السيارة مسافة $١٠٠$ كم أخرى، فيصبح المجموع $٢٠٠$ كم ويتقدم الوقت ليصبح الساعة $٨$ صباحاً.

المسافة المتبقية لبلوغ الوجهة هي $٢٥$ كم وتمثل تماماً ربع السرعة التي تبلغ $١٠٠$ كم / س.

لذلك تستغرق السيارة لقطع المسافة المتبقية ربع ساعة، أي ما يعادل $١٥$ دقيقة إضافية.

بإضافة هذه الدقائق المتبقية للوقت السابق المجمع، نصل إلى زمن الوصول النهائي.

والإجابة هي $٨:١٥$

المفهوم الرياضي: حساب زمن الالتقاء لجسمين يتحركان في اتجاهين متعاكسين يعتمد على جمع السرعتين لتحديد السرعة النسبية.

نحسب أولاً السرعة النسبية للسيارتين التي تعتبر مكملة لفهم سرعة الإغلاق الكلية بينهما من خلال جمع سرعة السيارة الأولى وسرعة السيارة الثانية.

السرعة النسبية تساوي $٦٣$ مضافاً إليها $١٧$.

${٨٠} = {١٧} + {٦٣}$

القانون ينص على أن زمن الالتقاء يساوي المسافة الكلية مقسومة على السرعة النسبية.

نعوض بالمسافة الكلية وهي $٨٠٠$ والسرعة النسبية وهي $٨٠$.

${١٠} = \dfrac{٨٠٠}{٨٠}$

والإجابة هي $١٠$ س

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم لفهم المسافة المقطوعة التراكمية لكل سيارة بمرور الزمن لحل المسألة.

السيارة الأولى تقطع في الساعة الواحدة مسافة $٦٣$ كم، والسيارة الثانية تقطع في الساعة الواحدة مسافة $١٧$ كم.

في كل ساعة متزامنة، تقترب السيارتان من بعضهما بمسافة تعادل مجموعهما الرياضي.

مقدار الاقتراب التراكمي في الساعة الواحدة يساوي $٨٠$ كم.

نبحث عن الرقم الذي إذا ضربناه في $٨٠$ ينتج لنا المسافة الكلية المطلوبة وهي $٨٠٠$.

${٨٠٠} = {١٠} \times {٨٠}$

إذن الزمن المستغرق للالتقاء التام هو عشر ساعات.

والإجابة هي $١٠$ س

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التطبيق المباشر لقانون الزمن بالساعات متبوعاً بالتحويل إلى وحدة الدقائق.

نقسم المسافة الكلية على السرعة المنتظمة لإيجاد الزمن المستغرق بالساعات.

$\dfrac{٤}{٣} = \dfrac{١٠٠}{٧٥}$

الزمن المستغرق بالساعات هو الكسر أربعة أثلاث.

نحول الساعات إلى دقائق بضرب الناتج الكسري في $٦٠$.

$٨٠ = {٦٠} \times {\dfrac{٤}{٣}}$

الزمن الكلي المستغرق للرحلة هو $٨٠$ دقيقة.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب الطردي والتدرج المنتظم للربط بين المسافة والزمن.

يقطع محمد مسافة $٧٥$ كم خلال ساعة واحدة، أي ما يعادل $٦٠$ دقيقة بالتمام.

نقسم طرفي العلاقة على $٣$ لمعرفة الزمن المستغرق لقطع مسافة جزئية قدرها $٢٥$ كم.

$٢٠ = \dfrac{٦٠}{٣}$

نستنتج أن محمد يستغرق $٢٠$ دقيقة لقطع مسافة $٢٥$ كم.

نضرب طرفي العلاقة في $٤$ للوصول إلى المسافة المطلوبة في السؤال وهي $١٠٠$ كم.

$٨٠ = {٤} \times {٢٠}$

الزمن الكلي المستغرق لقطع الرحلة كاملة هو $٨٠$ دقيقة.

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة النسبية وتحديد الزمن اللازم للوصول إلى فارق مسافة محدد في نفس الاتجاه.

بما أن السيارتين تسيران ولم يُذكر أنهما في اتجاهين متعاكسين، والسياق يوضح حدوث فارق بسيط في المسافة رغم السرعات العالية، فهما تسيران منطقياً في نفس الاتجاه.

السرعة النسبية = سرعة السيارة الثانية الأسرع – سرعة السيارة الأولى الأبطأ.

السرعة النسبية = $١٠ = {١٠٠} – {١١٠}$ كلم/ساعة.

الزمن اللازم بالساعات = المسافة الفاصلة المطلوبة $\div$ السرعة النسبية.

الزمن بالساعات = $٢ = {١٠} \div {٢٠}$ ساعة.

لتحويل الزمن الناتج من الساعات إلى الدقائق لتطابق الخيارات المتاحة، نضرب في $٦٠$.

الزمن بالدقائق = $١٢٠ = {٦٠} \times {٢}$ دقيقة.

والإجابة هي $١٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم والمتابعة الساعية للفارق التراكمي.

بعد مرور ساعة واحدة بالضبط، تقطع السيارة الأولى مسافة $١٠٠$ كلم وتقطع الثانية $١١٠$ كلم.

الفارق المتشكل بينهما بعد ساعة واحدة هو $١٠ = {١٠٠} – {١١٠}$ كلم.

نحن نحتاج لمعرفة متى يصبح الفارق الزمني المتراكم $٢٠$ كلم، وهو يمثل ضعف الفارق في الساعة الأولى.

لذلك، يتطلب الأمر رياضياً ساعتين كاملتين للوصول لهذا الفارق المحدد.

نحول الساعتين إلى دقائق بضربهما في القيمة الرياضية $٦٠$.

الزمن الكلي = $١٢٠ = {٦٠} \times {٢}$ دقيقة.

والإجابة هي $١٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة النسبية للأجسام المتحركة في نفس الاتجاه.

عندما تتحرك سيارتان في نفس الاتجاه، فإن السرعة النسبية هي ناتج طرح سرعتيهما.

السرعة النسبية = سرعة السيارة الأسرع – سرعة السيارة الأبطأ.

السرعة النسبية = $٢٠ = {٧٠} – {٩٠}$ كم/ساعة.

نحسب الفارق الزمني بين وقت الانطلاق ووقت القياس لمعرفة زمن الرحلة المستغرق.

الزمن المستغرق = $٤ = {٣} – {٧}$ ساعات.

المسافة الفاصلة بينهما = السرعة النسبية $\times$ الزمن المستغرق.

المسافة = $٨٠ = {٤} \times {٢٠}$ كم.

والإجابة هي $٨٠$ كلم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المسافة المستقلة لكل سيارة ثم إيجاد الفرق بين المسافتين.

نحسب المسافة التي قطعتها السيارة الأولى (الأسرع) خلال مدة $٤$ ساعات.

مسافة السيارة الأولى = $٣٦٠ = {٤} \times {٩٠}$ كم.

نحسب المسافة التي قطعتها السيارة الثانية (الأبطأ) خلال نفس المدة وهي $٤$ ساعات.

مسافة السيارة الثانية = $٢٨٠ = {٤} \times {٧٠}$ كم.

المسافة الفاصلة بينهما هي ناتج طرح مسافة السيارة الثانية من مسافة السيارة الأولى.

المسافة الفاصلة = $٨٠ = {٢٨٠} – {٣٦٠}$ كم.

والإجابة هي $٨٠$ كلم

السؤال الرابع

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخراج المسافة الثابتة الفاصلة بين النقطتين من المعطيات الأولى، ثم استخدامها كمعطى ثابت لحساب السرعة الجديدة المطلوبة.

القانون المطبق: المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن.

من المعطى الأول، نجد أن السائق يسير بسرعة $١٢٠$ كم في الساعة ليصل خلال زمن قدره ساعتين.

نحسب المسافة الكلية للرحلة بناءً على هذه المعطيات.

المسافة الكلية للرحلة تساوي $٢٤٠ = {٢} \times {١٢٠}$ كم.

الآن، نستخدم هذه المسافة الثابتة كعنصر أساسي لحساب السرعة إذا كان زمن الوصول المكمل للفرضية هو $٣$ ساعات.

القانون المطبق لحساب السرعة: السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن.

السرعة الجديدة المطلوبة تساوي $٨٠ = {٣} \div {٢٤٠}$ كم في الساعة.

والإجابة هي $٨٠$ كم / س

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي المباشر بين السرعة والزمن عند ثبات المسافة المقطوعة للرحلة.

القاعدة تنص على أنه كلما زاد الزمن المستغرق لقطع مسافة ثابتة، فإن ذلك يعني بالضرورة تناقص السرعة بنسبة عكسية منتظمة.

السرعة الأولى المسجلة هي $١٢٠$ والزمن الأول المسجل هو $٢$.

السرعة الثانية مجهولة القيمة، ونرمز لها جبرياً بالمتغير س، بينما الزمن الثاني المكمل للفرضية هو $٣$.

نصيغ معادلة التناسب العكسي: حاصل ضرب السرعة في الزمن للحالة الأولى يعادل نظيره في الحالة الثانية.

المعادلة تصاغ هكذا: $س \times {٣} = {٢} \times {١٢٠}$ .

الطرف الأيمن من المعادلة (وهو الطرف الأيسر برمجياً) يعطي الناتج $٢٤٠$.

إذن المعادلة تبسط إلى الشكل التالي: $س \times {٣} = ٢٤٠$ .

نقوم بقسمة طرفي المعادلة على العدد $٣$ لاستخراج قيمة س المكملة للحل.

قيمة المتغير س تساوي $٨٠ = {٣} \div {٢٤٠}$ .

والإجابة هي $٨٠$ كم / س

المفهوم الرياضي: تحليل المسار الزمني المتسلسل للحركة وجمع الفترات الزمنية للوصول إلى وقت النهاية.

نحسب أولاً الزمن الطبيعي الذي يستغرقه الشخص من منزله إلى عمله بالسرعة المنتظمة.

يغادر الساعة الثامنة ويصل الساعة الثامنة وخمس دقائق، إذن مدة الرحلة الواحدة هي $٥$ دقائق.

عندما وصل، تذكر أنه نسي شيئاً وعاد أدراجه إلى منزله مستغرقاً $٣$ دقائق، وهذا يمثل زمن العودة الفعلي.

نضيف زمن العودة إلى وقت وصوله الأول لمعرفة متى وصل للمنزل:

وقت العودة للمنزل = إضافة $٣$ دقائق إلى $٨ : ٠٥$ لتصبح الساعة $٨ : ٠٨$.

بعد ذلك، استأنف رحلته عائداً إلى العمل بنفس السرعة المعتادة.

زمن الرحلة من المنزل إلى العمل ثابت ويساوي $٥$ دقائق.

نضيف زمن الرحلة الأخير إلى وقت تواجده في المنزل:

وقت الوصول النهائي = إضافة $٥$ دقائق إلى $٨ : ٠٨$ لتصبح الساعة $٨ : ١٣$.

والإجابة هي $٨ : ١٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب إجمالي الوقت المستغرق كفترة زمنية واحدة تراكمية وإضافتها إلى وقت الانطلاق الأصلي.

الرحلة الأولى الصباحية من المنزل إلى العمل تستغرق $٥$ دقائق.

الرحلة الثانية للعودة الطارئة من العمل إلى المنزل تستغرق $٣$ دقائق.

الرحلة الثالثة النهائية من المنزل إلى العمل تستغرق $٥$ دقائق لثبات السرعة.

نجمع الفترات الزمنية الثلاث معاً لإيجاد إجمالي دقائق الحركة:

إجمالي الزمن = ${١٣} = {٥} + {٣} + {٥}$

نضيف إجمالي الزمن ($١٣$ دقيقة) إلى وقت الانطلاق الأولي وهو الساعة الثامنة تماماً.

النتيجة النهائية لوقت الوصول ستكون الساعة الثامنة وثلاث عشرة دقيقة.

والإجابة هي $٨ : ١٣$

“

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الذي تستغرقه كل سيارة على حدة لقطع المسافة المحددة، ثم إيجاد الفارق الزمني بينهما وتحويله إلى دقائق.

الخطوة الأولى: نحسب الزمن الذي تستغرقه السيارة الأولى للوصول إلى المدينة ب.

القانون: زمن السيارة الأولى = المسافة الإجمالية $\div$ سرعة السيارة الأولى.

نعوض في القانون: زمن السيارة الأولى = $٤،٨ = {١٠٠} \div {٤٨٠}$ ساعة.

الخطوة الثانية: نحسب الزمن الذي تستغرقه السيارة الثانية للوصول لنفس الوجهة.

القانون: زمن السيارة الثانية = المسافة الإجمالية $\div$ سرعة السيارة الثانية.

نعوض في القانون: زمن السيارة الثانية = $٤ = {١٢٠} \div {٤٨٠}$ ساعة.

الخطوة الثالثة: نحسب الفارق الزمني بين وصول السيارتين بوحدة الساعات.

القانون: الفارق الزمني بالساعات = زمن السيارة الأولى $-$ زمن السيارة الثانية.

نعوض في القانون: الفارق الزمني بالساعات = ${\dfrac{٤}{٥}} = {٤} – {٤،٨}$ ساعة.

الخطوة الرابعة: نحول الفارق الزمني من ساعات إلى دقائق ليتوافق مع المطلوب في السؤال.

القانون: الفارق الزمني بالدقائق = الفارق الزمني بالساعات $\times$ $٦٠$.

نعوض في القانون: الفارق الزمني بالدقائق = $٤٨ = {٦٠} \times {\dfrac{٤}{٥}}$ دقيقة.

والإجابة هي $٤٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد المسافة التي تقطعها كل سيارة في الدقيقة الواحدة، ثم حساب الزمن الكلي بالدقائق لكل سيارة لبيان الفارق بشكل مباشر.

الخطوة الأولى: نحسب سرعة السيارة الأولى بوحدة كيلومتر لكل دقيقة.

القانون: السرعة بالدقيقة = السرعة بالساعة $\div$ $٦٠$.

نعوض في القانون: سرعة السيارة الأولى = ${\dfrac{٥}{٣}} = {٦٠} \div {١٠٠}$ كم/دقيقة.

الخطوة الثانية: نحسب الزمن الإجمالي بالدقائق للسيارة الأولى لقطع المسافة.

القانون: الزمن بالدقائق = المسافة $\div$ السرعة بالدقيقة.

نعوض في القانون: زمن الأولى = $٢٨٨ = {\dfrac{٥}{٣}} \div {٤٨٠}$ دقيقة.

الخطوة الثالثة: نحسب سرعة السيارة الثانية بوحدة كيلومتر لكل دقيقة.

سرعة السيارة الثانية = ${\dfrac{١}{٢}} = {١٢٠} \div {٦٠}$ كم/دقيقة.

الخطوة الرابعة: نحسب الزمن الإجمالي بالدقائق للسيارة الثانية.

زمن الثانية = $٢٤٠ = {\dfrac{١}{٢}} \div {٤٨٠}$ دقيقة.

الخطوة الخامسة: نوجد الفارق الزمني بينهما بعملية الطرح المباشرة.

الفارق الزمني = $٤٨ = {٢٤٠} – {٢٨٨}$ دقيقة.

والإجابة هي $٤٨$

المفهوم الرياضي: تحليل فارق المسافات وتأثير الزمن الكلي للحركة على هذا الفارق المتبقي.

السيارة الأولى تنطلق وتؤسس مسارها بسرعة ثابتة تبلغ $٩٠$ كم في الساعة.

السيارة الثانية تنطلق بسرعة $١٢٠$ كم في الساعة بعد مضي ساعة واحدة.

نحسب المسافة التراكمية لكل سيارة بعد مرور ساعتين من انطلاق السيارة الأولى.

مسافة السيارة الأولى بعد ساعتين تساوي $٩٠$ مضروبة في $٢$.

${١٨٠} = {٢} \times {٩٠}$

مسافة السيارة الثانية بعد ساعة واحدة من انطلاقها الفعلي تساوي $١٢٠$ مضروبة في $١$.

${١٢٠} = {١} \times {١٢٠}$

نحسب الفارق بين المسافتين بطرح مسافة الثانية من مسافة الأولى.

${٦٠} = {١٢٠} – {١٨٠}$

الفارق المطلوب في السؤال هو $٦٠$ كم، وقد تحقق هذا الفارق بعد مرور ساعتين من بداية الحدث بأكمله.

نحول الساعتين إلى دقائق بضربهما في $٦٠$ دقيقة للحصول على الناتج النهائي.

${١٢٠} = {٦٠} \times {٢}$

والإجابة هي $١٢٠$

المفهوم الرياضي: استخدام طريقة التدرج المنتظم كطريقة مكملة لفهم العلاقة بين المسافة والزمن.

السيارة الأولى تسبق بمسافة $٩٠$ كم عند لحظة انطلاق السيارة الثانية.

السرعة النسبية لتقليص الفارق هي سرعة الثانية مطروحاً منها سرعة الأولى.

${٣٠} = {٩٠} – {١٢٠}$

نستنتج أنه في كل ساعة، يتقلص الفارق بين السيارتين بمقدار $٣٠$ كم.

نحن نريد أن يصل الفارق إلى $٦٠$ كم بدلاً من المسافة الابتدائية وهي $٩٠$ كم.

المسافة المطلوب تقليصها فعلياً هي $٩٠$ مطروحاً منها $٦٠$.

${٣٠} = {٦٠} – {٩٠}$

الزمن اللازم لتقليص هذه المسافة هو $٣٠$ مقسوماً على السرعة النسبية $٣٠$.

${١} = \dfrac{٣٠}{٣٠}$

الزمن هو ساعة واحدة من انطلاق السيارة الثانية.

السؤال يسأل عن الزمن الكلي منذ البداية بالدقائق، وهو ساعة للأولى مضافاً إليها ساعة للثانية، المجموع ساعتان.

الساعتان تعادلان $١٢٠$ دقيقة بالتحويل المباشر.

والإجابة هي $١٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المسافة المقطوعة أولاً ثم إضافتها جبرياً للمسافة المتبقية للحصول على الإجمالي.

نضرب سرعة الرجل في الزمن المستغرق قبل توقفه لمعرفة المسافة المقطوعة بدقة.

$١٢٠ = {٢} \times {٦٠}$

المسافة المقطوعة حتى لحظة التوقف تساوي $١٢٠$ كلم.

نجمع المسافة المقطوعة مع المسافة المتبقية المعطاة في السؤال والتي تساوي $٤٠$ كلم.

$١٦٠ = {٤٠} + {١٢٠}$

المسافة الكلية بين المنطقتين تساوي بشكل قاطع $١٦٠$ كلم.

والإجابة هي $١٦٠$ كلم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: بناء وتكوين معادلة خطية رياضية تمثل أجزاء الرحلة مجتمعة.

المسافة الكلية للرحلة تساوي مجموع المسافة المقطوعة والمسافة المتبقية.

نعوض عن المسافة المقطوعة بضرب السرعة المعطاة في الزمن المستغرق.

المسافة الكلية $ {٤٠} + ({٢} \times {٦٠}) =$

نقوم بتبسيط المعادلة والبدء بالقوس أولاً بإجراء عملية الضرب.

المسافة الكلية $ {٤٠} + {١٢٠} =$

نجمع الحدين معاً للحصول على المسافة الإجمالية النهائية.

$١٦٠ = {٤٠} + {١٢٠}$

والإجابة هي $١٦٠$ كلم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب السرعة المتوسطة لرحلتين متساويتين في المسافة باستخدام قانون السرعة المتوسطة الجبري.

بما أن المسافة ثابتة في رحلتي الذهاب والإياب، نستخدم القانون الخاص بالسرعة المتوسطة بدلالة السرعتين فقط.

القانون الرياضي: ${}_{م}ع = \dfrac{{}_{٢}ع \times {}_{١}ع \times {٢}}{{}_{٢}ع + {}_{١}ع}$

نعوض بسرعتي الذهاب والإياب في البسط لحساب حاصل الضرب المضاعف.

البسط = $٩٠ = {٣} \times {١٥} \times {٢}$

نعوض في المقام لحساب مجموع السرعتين.

المقام = $١٨ = {٣} + {١٥}$

نقسم ناتج البسط الكلي على ناتج المقام الكلي لاستخراج السرعة المتوسطة.

السرعة المتوسطة = $٥ = \dfrac{٩٠}{١٨}$

والإجابة هي $٥$ كم / س

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد السرعة المتوسطة بشكل مفصل من خلال حساب إجمالي المسافة المقطوعة مقسوماً على إجمالي الزمن المستغرق.

القانون الرياضي الأساسي: ${}_{م}ع = \dfrac{ف}{ز}$

نحسب المسافة الكلية وهي مجموع مسافتي الذهاب والإياب معاً.

المسافة الكلية = $٣٠ = {١٥} + {١٥}$

نحسب زمن رحلة الذهاب بقسمة مسافة الذهاب على سرعة الذهاب.

زمن الذهاب = $١ = \dfrac{١٥}{١٥}$

نحسب زمن رحلة الإياب بقسمة مسافة الإياب على سرعة الإياب.

زمن الإياب = $٥ = \dfrac{١٥}{٣}$

نحسب الزمن الكلي للرحلة بجمع زمني الذهاب والإياب المستخرجين.

الزمن الكلي = $٦ = {٥} + {١}$

نعوض في القانون الأساسي بقسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي للرحلة.

السرعة المتوسطة = $٥ = \dfrac{٣٠}{٦}$

والإجابة هي $٥$ كم / س

السؤال الأول

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المسافة من خلال ضرب السرعة في الزمن، ثم جمع الأجزاء المكملة للرحلة لاستنتاج المسافة الكلية.

القانون المطبق: المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن.

نقوم أولاً بتحديد الزمن المتبقي للرحلة بالاستعانة بالمعطيات، وهو $٦٠$ دقيقة، وما يعادل ساعة واحدة.

نحسب المسافة المكملة التي ستقطعها الطائرة خلال هذه الساعة المتبقية.

المسافة المكملة تساوي $٩٠٠ = {١} \times {٩٠٠}$ كم.

نجمع المسافة المقطوعة مسبقاً مع المسافة المكملة للحصول على إجمالي مسافة الرحلة.

المسافة الكلية تساوي $١٥٣٥ = {٩٠٠} + {٦٣٥}$ كم.

والإجابة هي $١٥٣٥$ كم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب المباشر وتحليل وحدات القياس للوصول للناتج النهائي.

سرعة الطائرة المعطاة تعني أنها تقطع مسافة $٩٠٠$ كم في كل $٦٠$ دقيقة بشكل متصل.

بما أن الزمن المتبقي للوصول هو بالضبط $٦٠$ دقيقة، فإن المسافة المكملة المتبقية تعادل بالضبط مسافة $٩٠٠$ كم.

لمعرفة المسافة الإجمالية، نقوم بجمع المسافة التي تم قطعها بالفعل مع المسافة المكملة.

الناتج النهائي لجمع المسافتين يساوي $١٥٣٥ = {٩٠٠} + {٦٣٥}$ كم.

والإجابة هي $١٥٣٥$ كم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون المسافة المباشر، حيث المسافة الكلية تساوي السرعة مضروبة في الزمن الكلي.

نستخرج المعطيات المباشرة، السرعة تساوي $٤$ كم / س، والزمن الكلي للرحلة يساوي $٤،٥$ ساعات.

نضرب السرعة في الزمن الكلي لإيجاد المسافة النهائية.

$١٨ = {٤،٥} \times {٤}$

المسافة الكلية المقطوعة تساوي $١٨$ كم.

والإجابة هي $١٨$ كم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التجزئة المنطقية للزمن الكلي وحساب المسافات الجزئية ثم جمعها بشكل تدريجي.

نحسب المسافة المقطوعة خلال الساعات الأربع الأولى فقط بضرب السرعة في $٤$.

$١٦ = {٤} \times {٤}$

نحسب المسافة المقطوعة خلال النصف ساعة المتبقية بقسمة السرعة المعطاة على $٢$.

$٢ = \dfrac{٤}{٢}$

نجمع المسافتين الجزئيتين معاً للحصول على المسافة الكلية بشكل دقيق.

$١٨ = {٢} + {١٦}$

إجمالي المسافة المقطوعة يساوي $١٨$ كم.

والإجابة هي $١٨$ كم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب السرعة المتوسطة للسيارة الثانية التي تغيرت سرعتها لمقارنة زمن وصولها بزمن السيارة الأولى ذات السرعة الثابتة.

القانون المطبق: السرعة المتوسطة لسرعتين تقطعان مسافتين متساويتين = $\dfrac{السرعة الأولى \times السرعة الثانية \times ٢}{السرعة الأولى + السرعة الثانية}$.

نعوض لحساب السرعة المتوسطة للسيارة الثانية: $\dfrac{٨٠ \times ١٢٠ \times ٢}{٨٠ + ١٢٠}$.

نحسب مجموع المقام: $٢٠٠ = {١٢٠} + {٨٠}$.

نحسب ناتج ضرب البسط: $١٩٢٠٠ = {٢} \times {١٢٠} \times {٨٠}$.

نقسم البسط على المقام: $٩٦ = {٢٠٠} \div {١٩٢٠٠}$ كم/ساعة.

بمقارنة السرعتين، سرعة السيارة الأولى $١٠٠$ كم/ساعة أعلى من السرعة المتوسطة للسيارة الثانية $٩٦$ كم/ساعة.

القانون المطبق: التناسب بين السرعة والزمن هو تناسب عكسي عند ثبات المسافة الكلية.

بما أن سرعة السيارة الأولى أعلى، فإن الزمن الذي تستغرقه لقطع المسافة سيكون أقل.

وبالتالي، الزمن المستغرق للسيارة الثانية هو الأكبر.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض قيمة لمسافة تقبل القسمة على كافة السرعات المعطاة لتسهيل حساب الأزمنة وتجنب الكسور المعقدة.

نفرض أن المسافة الكلية تساوي $٤٨٠$ كيلومتر، مما يعني أن نصف المسافة يبلغ $٢٤٠$ كيلومتر.

زمن وصول السيارة الأولى لكامل المسافة = $٤،٨ = {١٠٠} \div {٤٨٠}$ ساعة.

الزمن الذي استغرقته السيارة الثانية في النصف الأول = $٣ = {٨٠} \div {٢٤٠}$ ساعات.

الزمن الذي استغرقته السيارة الثانية في النصف الثاني = $٢ = {١٢٠} \div {٢٤٠}$ ساعة.

نجمع أزمنة السيارة الثانية لإيجاد الزمن الكلي = $٥ = {٢} + {٣}$ ساعات.

بمقارنة أزمنة الوصول، نجد أن $٥$ ساعات الخاصة بالسيارة الثانية أطول من $٤،٨$ ساعة الخاصة بالسيارة الأولى.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب إجمالي الزمن المستغرق لتكرار رحلة ذهاب وإياب لعدد محدد من المرات خلال اليوم الواحد.

الخطوة الأولى: نحسب الزمن الذي يستغرقه محمد لرحلة واحدة كاملة (ذهاب وإياب) لأداء صلاة واحدة.

القانون: زمن الرحلة الكاملة = زمن الذهاب $+$ زمن الإياب.

بما أن المسافة ثابتة، فإن زمن الذهاب يساوي زمن الإياب.

نعوض في القانون: زمن الرحلة الكاملة = $١٧ = {٨،٥} + {٨،٥}$ دقيقة للصلاة الواحدة.

الخطوة الثانية: نضرب زمن الرحلة الكاملة للصلاة الواحدة في عدد الصلوات المفروضة خلال اليوم الواحد.

القانون: الزمن الكلي = عدد الصلوات $\times$ زمن الرحلة الكاملة.

نعوض في القانون: الزمن الكلي = $٨٥ = {١٧} \times {٥}$ دقيقة.

والإجابة هي $٨٥$ دقيقة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: إيجاد إجمالي عدد الرحلات الفردية (ذهاب فقط وإياب فقط) ثم ضربها في زمن الرحلة الفردية الواحدة.

الخطوة الأولى: نحدد عدد الرحلات الفردية لأداء الصلوات الخمس.

كل صلاة تتطلب رحلتي مسار (ذهاب وعودة).

إجمالي عدد الرحلات الفردية = $١٠ = {٢} \times {٥}$ رحلات.

الخطوة الثانية: نضرب إجمالي عدد الرحلات الفردية في الزمن المستغرق للرحلة الواحدة للحصول على الناتج النهائي.

الزمن الكلي = $٨٥ = {٨،٥} \times {١٠}$ دقيقة.

والإجابة هي $٨٥$ دقيقة

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التحويل المتدرج للوحدات الفيزيائية من الكيلومترات إلى الأمتار ومن الساعات إلى الثواني.

السرعة المنتظمة المعطاة هي $٧٢$ كم في الساعة.

نحول الكيلومترات إلى أمتار بضرب الرقم في $١٠٠٠$ لكون الكيلومتر يساوي ألف متر.

المسافة الإجمالية بالأمتار = ${٧٢٠٠٠} = {١٠٠٠} \times {٧٢}$

نحول الساعة إلى ثواني بضربها في $٦٠$ للتحويل إلى دقائق، ثم في $٦٠$ للتحويل إلى ثواني.

الزمن الإجمالي بالثواني = ${٣٦٠٠} = {٦٠} \times {٦٠}$

لإيجاد المسافة المقطوعة في الثانية الواحدة، نقسم المسافة الإجمالية على الزمن الإجمالي.

السرعة بوحدة متر في الثانية = ${٣٦٠٠} \div {٧٢٠٠٠}$

نحذف صفرين من البسط مع صفرين من المقام لتسهيل الحساب:

${٢٠} = {٣٦} \div {٧٢٠}$

الجسم يقطع $٢٠$ متراً في الثانية الواحدة.

والإجابة هي $٢٠$ متراً

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام معامل التحويل المباشر للسرعة لاختصار خطوات الحل الجبرية.

لتحويل السرعة مباشرة من وحدة كم/س إلى م/ث، نضرب القيمة بمعامل التحويل الثابت وهو الكسر $\dfrac{٥}{١٨}$.

نكتب المعادلة للتحويل المباشر كالتالي:

السرعة = $\dfrac{٥}{١٨} \times {٧٢}$

نقوم بتبسيط الكسر بقسمة $٧٢$ على $١٨$ .

بما أن العدد $١٨$ مضروباً في $٤$ يساوي $٧٢$، فإن ناتج القسمة هو $٤$.

نضرب الناتج المستخرج في بسط الكسر:

${٢٠} = {٥} \times {٤}$

السرعة تعادل $٢٠$ متراً لكل ثانية.

والإجابة هي $٢٠$ متراً

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي المباشر بين المسافة والزمن في ظل وجود سرعة ثابتة للدرّاج.

رياضياً، كلما زادت المسافة المقطوعة المطلوبة، زاد الزمن اللازم لقطعها بنفس معدل السرعة.

القانون الرياضي للتناسب: $\dfrac{{}_{٢}ز}{{}_{٢}ف} = \dfrac{{}_{١}ز}{{}_{١}ف}$

نعوض بقيم المسافة والزمن الأولى المعطاة في الطرف الأول من المعادلة، ونضع المسافة المطلوبة في الطرف الثاني.

المعادلة: $\dfrac{{}_{٢}ز}{٤٨} = \dfrac{٣٠}{١٢}$

نستخدم طريقة الضرب التبادلي للكسور لإيجاد قيمة الزمن المجهول في المعادلة.

الزمن المجهول = $١٢٠ = \dfrac{{٤٨} \times {٣٠}}{١٢}$

والإجابة هي $١٢٠$ دقيقة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخراج معامل التضاعف العددي للمسافة واستخدامه مباشرة لمضاعفة الزمن الأصلي.

نحسب رياضياً كم مرة تضاعفت المسافة الجديدة المطلوبة مقارنة بالمسافة الأصلية المعطاة.

معامل التضاعف = $٤ = \dfrac{٤٨}{١٢}$

نأخذ معامل التضاعف المستخرج ونضربه في الزمن الأصلي للحصول على الزمن الإجمالي الجديد بطريقة مباشرة.

الزمن الجديد = $١٢٠ = {٤} \times {٣٠}$

والإجابة هي $١٢٠$ دقيقة

السؤال السابع

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إضافة أزمنة التوقف المرحلية إلى زمن القيادة الفعلي المتواصل للحصول على الزمن الإجمالي للرحلة مقاساً بالدقائق.

الشخص الأول يقطع المسافة المحددة في $٧$ ساعات متواصلة دون أي فترات توقف.

الشخص الثاني يسير بنفس السرعة تماماً، مما يعني رياضياً أن زمن قيادته الفعلي المجرد هو أيضاً $٧$ ساعات.

نقوم بتحويل زمن القيادة الفعلي من الساعات إلى الدقائق عن طريق الضرب في العدد $٦٠$.

زمن القيادة الصافي بالدقائق يساوي $٤٢٠ = {٦٠} \times {٧}$ دقيقة.

تشير المعطيات إلى أن الشخص الثاني يتوقف لمدة $١٥$ دقيقة للاستراحة بعد كل ساعة قيادة فعلية.

بما أن الرحلة تستغرق $٧$ ساعات من القيادة، فإن التوقفات تحدث تباعاً بعد الساعة الأولى، والثانية، والثالثة، والرابعة، والخامسة، والسادسة.

لن يكون هناك توقف مكمل بعد انقضاء الساعة السابعة لأنه سيكون قد وصل بالفعل إلى وجهته النهائية.

إذن، إجمالي عدد مرات التوقف الفعلية خلال الرحلة هو $٦$ مرات فقط.

نحسب إجمالي زمن التوقفات بضرب عدد المرات المتكررة في مدة التوقف الواحدة.

إجمالي زمن التوقفات بالدقائق يساوي $٩٠ = {١٥} \times {٦}$ دقيقة.

الزمن الكلي والتراكمي للرحلة هو مجموع زمن القيادة المكمل بزمن فترات التوقف.

الزمن الإجمالي للرحلة يساوي $٥١٠ = {٩٠} + {٤٢٠}$ دقيقة.

والإجابة هي $٥١٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب الزمن التراكمي لكل دورة مستقلة تتكون من ساعة قيادة متبوعة بفترة استراحة، ثم تجميع هذه الدورات للوصول للناتج.

تتكون رحلة الشخص الثاني من دورات زمنية متكررة بانتظام: ساعة من القيادة يعقبها مباشرة $١٥$ دقيقة من التوقف.

الدورة الواحدة المكتملة تستغرق زمنياً ساعة وربع، أي ما يعادل إجمالاً $٧٥$ دقيقة.

هذا النمط الدائري يتكرر $٦$ مرات كاملة متتالية (ليغطي الساعات الست الأولى من القيادة).

نحسب الزمن الإجمالي لهذه الدورات الست عن طريق بضرب المدة الزمنية للدورة في عدد تكراراتها.

زمن الدورات الست المكتملة يساوي $٤٥٠ = {٧٥} \times {٦}$ دقيقة.

يتبقى من الرحلة الكلية الساعة السابعة والأخيرة، والتي تحتسب كفترة قيادة مكملة بدون أي فترة توقف لاحقة لأنها تنهي الرحلة بالوصول.

المدة الزمنية لهذه الساعة الأخيرة المكملة هي $٦٠$ دقيقة بالضبط.

نقوم بجمع زمن الدورات الست المتكررة مع زمن الساعة الأخيرة للوصول إلى الناتج النهائي للرحلة.

الزمن الإجمالي للرحلة يساوي $٥١٠ = {٦٠} + {٤٥٠}$ دقيقة.

والإجابة هي $٥١٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الزمن لجسمين يتحركان في اتجاهين متعاكسين بالاعتماد على السرعة النسبية الكلية.

عندما يتحرك جسمان في اتجاهين متعاكسين، فإن السرعة النسبية الفاصلة بينهما تساوي مجموع السرعتين.

القانون الرياضي: $ع = {}_{٢}ع + {}_{١}ع$

نعوض في القانون لجمع سرعتي السيارتين لاستنتاج السرعة المشتركة في الدقيقة.

السرعة النسبية = $٦٠ = {٢٧} + {٣٣}$

القانون الرياضي لحساب الزمن: $ز = \dfrac{ف}{ع}$

نعوض بالمسافة الكلية المعطاة والسرعة النسبية التي استنتجناها في الخطوة السابقة.

الزمن = $٨ = \dfrac{٤٨٠}{٦٠}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب لكلا السيارتين بناءً على مجموع المسافات المقطوعة في وحدة الزمن الواحدة.

في الدقيقة الواحدة، تقطع السيارة الأولى مسافة معينة وتقطع الثانية مسافة أخرى في الاتجاه المعاكس.

مجموع ما تقطعه السيارتان معاً في دقيقة واحدة = $٦٠ = {٢٧} + {٣٣}$

لمعرفة الدقائق اللازمة للوصول للمسافة المطلوبة، نقوم بقسمة المسافة الكلية على ما يقطعانه في دقيقة واحدة.

الزمن الإجمالي = $٨ = \dfrac{٤٨٠}{٦٠}$

والإجابة هي $٨$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب السرعة المتوسطة عن طريق قسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي، ثم مقارنة النواتج.

نبدأ بكتابة قانون السرعة المتوسطة:

السرعة = المسافة الكلية مقسومة على الزمن الكلي.

نقوم بحساب القيمة الأولى بقسمة المسافة على الزمن:

${١٥} = {٨} \div {١٢٠}$

السرعة للقيمة الأولى هي $١٥$ كم/س.

نقوم بحساب القيمة الثانية بتطبيق نفس القانون:

${٢٠} = {٤} \div {٨٠}$

السرعة للقيمة الثانية هي $٢٠$ كم/س.

بمقارنة الناتجين، نجد أن السرعة في القيمة الثانية ($٢٠$) أكبر من السرعة في القيمة الأولى ($١٥$).

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد الزمن للقيمتين لتسهيل المقارنة المباشرة للمسافات المقطوعة.

القيمة الأولى تمثل مسافة مقطوعة خلال $٨$ ساعات، بينما القيمة الثانية خلال $٤$ ساعات.

للمقارنة بشكل متكافئ، نقوم بمضاعفة زمن ومسافة القيمة الثانية لتتطابق مع زمن القيمة الأولى ($٨$ ساعات).

نضرب المسافة في القيمة الثانية في العدد $٢$:

${١٦٠} = {٢} \times {٨٠}$

الآن أصبحت القيمة الأولى $١٢٠$ كم في $٨$ ساعات، والقيمة الثانية $١٦٠$ كم في $٨$ ساعات.

بما أن المسافة المقطوعة في نفس الزمن أكبر للقيمة الثانية، فإن سرعتها هي الأكبر قطعياً.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي المباشر بين المسافة والزمن عند ثبات السرعة.

نكتب التناسب بين المسافة والزمن المعطى في السؤال:

مسافة قدرها $٢٢٠$ كم تعادل زمناً قدره $٣$ ساعات.

مسافة قدرها $١١٠٠$ كم تعادل زمناً قدره المتغير س.

نقوم بإجراء عملية الضرب التبادلي لإيجاد قيمة المتغير س:

$س = {٢٢٠} \div ({٣} \times {١١٠٠})$

نبسط بضرب العددين في البسط:

$س = {٢٢٠} \div {٣٣٠٠}$

نحذف الصفر من البسط والمقام لتسهيل القسمة الجبرية:

$س = {٢٢} \div {٣٣٠}$

بقسمة الطرفين على $١١$ نجد:

$س = {٢} \div {٣٠}$

الناتج النهائي للقسمة هو $١٥$.

والإجابة هي $١٥$ ساعة

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب سرعة القطار ككسر أولاً ثم استخدامها لإيجاد الزمن المطلوب بدقة.

نحسب سرعة القطار بقسمة المسافة على الزمن:

السرعة = $\dfrac{٢٢٠}{٣}$

نحتفظ بالسرعة ككسر لضمان الدقة وتجنب التقريب العشري.

نستخدم قانون الزمن: الزمن = المسافة مقسومة على السرعة.

الزمن = $\dfrac{٢٢٠}{٣} \div {١١٠٠}$

نحول عملية القسمة إلى ضرب مع قلب الكسر الثاني:

الزمن = $\dfrac{٣}{٢٢٠} \times {١١٠٠}$

نقسم $١١٠٠$ على $٢٢٠$ ليعطي الناتج $٥$.

نضرب الناتج في البسط المتبقي:

${١٥} = {٣} \times {٥}$

والإجابة هي $١٥$ ساعة

السؤال الثاني

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الزمن الإجمالي المنقضي من خلال جمع وقت القيادة الفعلي مع فترات التوقف المكملة للرحلة، ثم الطرح العكسي من وقت الوصول.

زمن القيادة الفعلي المعطى في السؤال هو $٦$ ساعات متواصلة.

الرحلة تتضمن ثلاث استراحات، مدة كل استراحة منها تعادل نصف ساعة.

نحسب إجمالي زمن الاستراحات بضرب عددها في المدة الزمنية لكل منها.

الزمن الإجمالي للاستراحات يساوي $١،٥ = {٠،٥} \times {٣}$ ساعة.

نحسب الزمن الكلي للرحلة بجمع زمن القيادة الأساسي وزمن الاستراحات المكملة للرحلة.

الزمن الكلي للرحلة يساوي $٧،٥ = {١،٥} + {٦}$ ساعة، أي سبع ساعات ونصف.

نطرح الزمن الكلي للرحلة من توقيت الوصول النهائي لمعرفة وقت الانطلاق.

وقت الوصول المعطى هو الساعة السابعة والنصف صباحاً.

بالرجوع سبع ساعات ونصف إلى الوراء زمنياً من الساعة السابعة والنصف، نصل إلى منتصف النهار.

الزمن الناتج عن هذا الطرح العكسي يساوي $١٢:٠٠$.

والإجابة هي $١٢:٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الطرح المتدرج والمرحلي للزمن المنقضي للوصول بدقة إلى نقطة البداية الزمنية.

وقت الوصول النهائي المسجل هو الساعة $٧:٣٠$.

نقوم بطرح مدة القيادة الفعلية أولاً، وهي $٦$ ساعات، من وقت الوصول.

الوقت المتبقي بعد عملية الطرح الأولى يساوي الساعة $١:٣٠$.

نحسب المدة المكملة وهي فترات التوقف وعددها ثلاث، بحيث تستغرق كل منها نصف ساعة.

إجمالي فترات التوقف المكملة يعادل زمنياً ساعة ونصف.

نطرح هذه الساعة والنصف من الوقت المتبقي وهو الساعة $١:٣٠$.

الرجوع ساعة ونصف من الساعة الواحدة والنصف يوصلنا زمنياً إلى الساعة الثانية عشرة تماماً.

والإجابة هي $١٢:٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب السرعة النسبية لمركبتين تتحركان في نفس الاتجاه، ثم حساب المسافة المقطوعة خلال الزمن المعطى.

القانون المطبق: السرعة النسبية (في نفس الاتجاه) = السرعة الأكبر مطروحاً منها السرعة الأصغر.

نحسب السرعة النسبية بين السيارتين: $١٠ = {١٠٠} – {١١٠}$ كم/ساعة.

القانون المطبق: المسافة بينهما = السرعة النسبية مضروبة في الزمن المستغرق.

الزمن المعطى في السؤال هو ثلث ساعة، ويكتب بصيغة كسرية هكذا: $\dfrac{١}{٣}$.

نعوض في القانون لحساب المسافة: ${\dfrac{١٠}{٣}} = {\dfrac{١}{٣}} \times {١٠}$ كيلومتر.

قيمة الكسر $\dfrac{١٠}{٣}$ تعادل تقريباً $٣،٣٣$ كيلومتر، وأقرب خيار صحيح لها هو $٣$ كلم.

والإجابة هي $٣$ كلم

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب المسافة التي يقطعها كل شخص بشكل مستقل خلال الزمن المعطى، ثم إيجاد الفرق بين المسافتين.

القانون المطبق: المسافة = السرعة مضروبة في الزمن.

الشخص الأول يسير بسرعة $١$ متر في الدقيقة الواحدة.

المسافة التي يقطعها الشخص الأول خلال $٣٠$ دقيقة = $٣٠ = {٣٠} \times {١}$ متر.

الشخص الثاني يسير $١$ متر كل $٢٠$ ثانية، ونحتاج لتحويل هذا المعدل إلى دقائق.

بما أن الدقيقة تحتوي على $٦٠$ ثانية، فهي تمثل ثلاث أضعاف هذا الزمن.

سرعة الشخص الثاني في الدقيقة الواحدة = $٣ = {١} \times {٣}$ أمتار/دقيقة.

المسافة التي يقطعها الشخص الثاني خلال $٣٠$ دقيقة = $٩٠ = {٣٠} \times {٣}$ متر.

الفرق بين المسافتين = $٦٠ = {٣٠} – {٩٠}$ متر.

والإجابة هي $٦٠$ م

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون السرعة النسبية لجسمين يتحركان نحو بعضهما (في اتجاهين متعاكسين للالتقاء).

السرعة النسبية لحركة محمد والسيارة معاً هي ناتج مجموع سرعتيهما.

السرعة النسبية = $٢٢ = {٢٠} + {٢}$ كلم/ساعة.

الزمن المعطى للالتقاء في السؤال هو $٣٠$ دقيقة، ويجب تحويله إلى ساعات لتوحيد الوحدات الرياضية.

الزمن بالساعات = $\dfrac{١}{٢} = {٦٠} \div {٣٠}$ ساعة.

المسافة الكلية الفاصلة في البداية = السرعة النسبية $\times$ الزمن.

المسافة الكلية = $١١ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٢٢}$ كلم.

والإجابة هي $١١$ كلم

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب المسافة المستقلة المقطوعة لكل متحرك حتى نقطة الالتقاء ثم جمعهما.

نحسب المسافة التي قطعها محمد خلال زمن $٣٠$ دقيقة والذي يعادل نصف ساعة.

مسافة محمد = $١ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٢}$ كلم.

نحسب المسافة التي قطعتها السيارة خلال نفس الزمن وهو $٣٠$ دقيقة.

مسافة السيارة = $١٠ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٢٠}$ كلم.

المسافة الكلية بين البيت والمصنع هي مجموع المسافتين اللتين تم قطعهما للالتقاء.

المسافة الكلية = $١١ = {١٠} + {١}$ كلم.

والإجابة هي $١١$ كلم

السؤال الثامن

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التطبيق الرياضي المباشر لقانون السرعة الأساسي من خلال قسمة المسافة الكلية المقطوعة على الزمن الكلي المستغرق لإتمامها.

القانون المطبق: السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن.

المعطيات الصريحة في السؤال توضح أن المسافة الإجمالية بين المدينتين هي $٣٥٠$ كم.

الزمن الفعلي المستغرق لقطع هذه المسافة بالكامل هو ثلاث ساعات ونصف.

نقوم بتحويل الصيغة اللفظية للزمن إلى صيغة عدد عشري لتسهيل إجراء عملية القسمة، ليصبح الرقم $٣،٥$ ساعة.

نقوم الآن بتطبيق قانون السرعة بشكل مباشر عن طريق قسمة المسافة المعطاة على الزمن العشري.

السرعة تساوي $١٠٠ = {٣،٥} \div {٣٥٠}$ كم في الساعة.

هذا الناتج يمثل بوضوح متوسط السرعة المكملة للرحلة بالكامل منذ بدايتها وحتى نهايتها.

والإجابة هي $١٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم ومضاعفة القيم رياضياً للتخلص من الكسور العشرية المزعجة وتسهيل الحساب الذهني للوصول للسرعة.

المعطيات تشير إلى أن الرجل يقطع مسافة قدرها $٣٥٠$ كم في زمن إجمالي قدره $٣،٥$ ساعات.

للتخلص تماماً من الكسر العشري الموجود في قيمة الزمن وتسهيل إيجاد المسافة المقطوعة في الساعة الواحدة (السرعة)، يمكننا مضاعفة القيمتين معاً بنفس النسبة.

بمضاعفة قيمة الزمن، نقوم بجمع العدد $٣،٥$ مع العدد $٣،٥$ ليصبح الناتج الجديد الصحيح هو $٧$ ساعات.

بمضاعفة قيمة المسافة المكملة بنفس النسبة الرياضية، نجمع العدد $٣٥٠$ مع العدد $٣٥٠$ ليصبح الناتج الجديد هو $٧٠٠$ كم.

الآن، المعطيات الجديدة المتناسبة بشكل سليم تخبرنا أنه يقطع مسافة $٧٠٠$ كم في غضون $٧$ ساعات.

لحساب المسافة المقطوعة في الساعة الواحدة بمفردها (والتي تمثل تعريف السرعة)، نقسم المسافة الجديدة الكلية على الزمن الجديد الكلي.

السرعة تساوي $١٠٠ = {٧} \div {٧٠٠}$ كم في الساعة.

والإجابة هي $١٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الوسط التوافقي للسرعة المتوسطة عند ثبات المسافة المقطوعة واختلاف السرعات.

القانون الخاص: السرعة المتوسطة = ضعف حاصل ضرب السرعتين مقسوماً على مجموع السرعتين.

نرمز للسرعة الأولى بالرمز س، والسرعة الثانية بالرمز ص.

الصيغة الرياضية المباشرة للقانون: $\dfrac{ص \times س \times ٢}{ص + س}$.

سرعة مسار الذهاب تبلغ $١١٠$ كيلومترات في الساعة، وسرعة مسار الإياب تبلغ $٩٠$ كيلومتراً في الساعة.

نحسب قيمة البسط الجبرية بضرب السرعتين ثم ضرب الناتج في العدد ثابت $٢$.

حاصل ضرب البسط = $١٩٨٠٠ = {٩٠} \times {١١٠} \times {٢}$.

نحسب قيمة المقام بجمع السرعتين معاً في عملية جمع بسيطة.

مجموع السرعتين = $٢٠٠ = {٩٠} + {١١٠}$.

نقسم قيمة البسط المستخرجة على قيمة المقام لإيجاد السرعة المتوسطة الكلية للرحلة.

السرعة المتوسطة = $٩٩ = {٢٠٠} \div {١٩٨٠٠}$ كيلومتراً في الساعة.

والإجابة هي $٩٩$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض مسافة ثابتة تقبل القسمة على السرعتين لتسهيل تطبيق القانون العام للسرعة المتوسطة.

نختار المضاعف المشترك الأصغر للسرعتين $١١٠$ و $٩٠$ ليكون المسافة الافتراضية للرحلة، وهو $٩٩٠$ كيلومتراً.

المسافة الكلية للرحلة = مسافة مسار الذهاب + مسافة مسار الإياب = $١٩٨٠ = {٩٩٠} + {٩٩٠}$ كيلومتراً.

نحسب زمن مسار الذهاب بقسمة المسافة الافتراضية على سرعة مسار الذهاب.

زمن الذهاب = $٩ = {١١٠} \div {٩٩٠}$ ساعات.

نحسب زمن مسار الإياب بقسمة المسافة الافتراضية على سرعة مسار الإياب.

زمن الإياب = $١١ = {٩٠} \div {٩٩٠}$ ساعات.

مجموع الأزمنة الكلية للرحلة = $٢٠ = {١١} + {٩}$ ساعة.

السرعة المتوسطة المطلوبة = إجمالي المسافة مقسوماً على إجمالي الزمن.

السرعة المتوسطة = $٩٩ = {٢٠} \div {١٩٨٠}$ كيلومتراً في الساعة.

والإجابة هي $٩٩$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون محيط الدائرة وحساب المسافة الكلية للدوران ثم التحويل للوحدة المطلوبة.

المسافة المقطوعة = محيط العجلة مضروباً في عدد اللفات.

نرمز لنصف القطر بالرمز ن.

محيط العجلة = $ط \times ن \times ٢$.

نعوض بقيمة نصف القطر الموضحة في السؤال وهي $٢٥$ سنتيمتراً.

محيط العجلة = $ط٥٠ = {ط} \times {٢٥} \times {٢}$ سنتيمتراً.

لحساب المسافة الكلية بوحدة السنتيمتر، نضرب المحيط في عدد الدورات وهو $١٢$ دورة.

المسافة الكلية = $ط٦٠٠ = {١٢} \times {ط٥٠}$ سنتيمتراً.

نعوض بقيمة $ط$ التقريبية وهي $٣،١٤$ للوصول للناتج العشري.

المسافة الكلية = $١٨٨٤ = {٣،١٤} \times {٦٠٠}$ سنتيمتراً.

لتحويل المسافة النهائية من وحدة السنتيمتر إلى وحدة المتر، نقوم بالقسمة على العدد $١٠٠$.

المسافة بالمتر = $١٨،٨٤ = {١٠٠} \div {١٨٨٤}$ متراً.

والإجابة هي $١٨،٨٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحويل المبكر للوحدات القياسية قبل إجراء العمليات الحسابية لتجنب الأرقام الكبيرة.

نصف القطر المعطى هو $٢٥$ سنتيمتراً. نحوله فوراً إلى أمتار بالقسمة على $١٠٠$.

نصف القطر بالمتر = $\dfrac{١}{٤} = {١٠٠} \div {٢٥}$ متراً.

نرمز لنصف القطر بالرمز ن، ونحسب محيط العجلة بوحدة المتر باستخدام القانون: $ط \times ن \times ٢$.

محيط العجلة بالمتر = $ط\dfrac{١}{٢} = {ط} \times {\dfrac{١}{٤}} \times {٢}$.

المسافة الكلية تساوي محيط العجلة مضروباً في عدد الدورات البالغ $١٢$ دورة.

المسافة الكلية بالمتر = $ط٦ = {١٢} \times {ط\dfrac{١}{٢}}$.

نعوض عن قيمة المعامل $ط$ بالعدد التقريبي $٣،١٤$.

المسافة الكلية بالمتر = $١٨،٨٤ = {٣،١٤} \times {٦}$.

والإجابة هي $١٨،٨٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد محيط الدائرة بدلالة القطر الكلي مباشرة ثم حساب المسافة الكلية للدوران.

المسافة الإجمالية = محيط العجلة مضروباً في عدد الدورات المقطوعة.

محيط العجلة المباشر = القطر مضروباً في $ط$.

بما أن القطر يبلغ $٦٠$ سنتيمتراً، فإن محيط العجلة يصبح $ط٦٠$ سنتيمتراً.

نضرب محيط العجلة في عدد الدورات المعطى في السؤال وهو $١٥$ دورة.

المسافة المقطوعة بالسنتيمتر = $ط٩٠٠ = {١٥} \times {ط٦٠}$.

يطلب السؤال إيجاد المسافة بوحدة المتر، لذا نقسم الناتج النهائي على العدد $١٠٠$.

المسافة المقطوعة بالمتر = $ط٩ = {١٠٠} \div {ط٩٠٠}$ متراً.

والإجابة هي $ط٩$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحويل المبكر لقطر العجلة من السنتيمتر إلى المتر قبل الضرب في عدد الدورات.

قطر العجلة المعطى هو $٦٠$ سنتيمتراً. نقوم بتحويله إلى أمتار بقسمته على $١٠٠$.

قطر العجلة بالمتر = $\dfrac{٣}{٥} = {١٠٠} \div {٦٠}$ متراً.

نحسب محيط العجلة بوحدة المتر بضرب قيمة القطر المحولة في $ط$.

محيط العجلة بالمتر = $ط\dfrac{٣}{٥}$.

لإيجاد المسافة الكلية، نضرب المحيط المحسوب في عدد الدورات البالغ $١٥$ دورة.

المسافة المقطوعة بالمتر = $ط٩ = {١٥} \times {ط\dfrac{٣}{٥}}$.

والإجابة هي $ط٩$

السؤال السادس

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استنتاج المسافة الكلية بين المدينتين باستخدام المعطيات المتاحة أولاً، ثم تطبيق هذه المسافة الثابتة مع الزمن الجديد لإيجاد السرعة المطلوبة.

القانون المطبق: المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن.

في الحالة الأولى المعطاة، القطار يسير بسرعة قدرها $١٠٠$ كم في الساعة لمدة تستغرق $٤٥$ ساعة.

نحسب المسافة الكلية الفاصلة بين المدينتين بضرب السرعة في الزمن.

المسافة الكلية للقطار تساوي $٤٥٠٠ = {٤٥} \times {١٠٠}$ كم.

في الحالة الثانية، الزمن الجديد المطلوب لقطع هذه المسافة الثابتة هو $٣٠$ ساعة، ونحتاج لحساب السرعة المكملة لإتمام العملية بنجاح.

القانون المطبق: السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن.

السرعة المطلوبة تساوي $١٥٠ = {٣٠} \div {٤٥٠٠}$ كم في الساعة.

والإجابة هي $١٥٠$ كلم / س

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التناسب العكسي التام، حيث أن زيادة السرعة تؤدي حتماً وبشكل رياضي دقيق إلى تقليل الزمن المستغرق لقطع نفس المسافة الثابتة.

نقوم بإنشاء علاقة التناسب العكسي المباشرة بين الزمن والسرعة للحالتين المذكورتين.

الزمن الأول المسجل هو $٤٥$ والسرعة الأولى المرافقة له هي $١٠٠$.

الزمن الثاني المستهدف هو $٣٠$ والسرعة الثانية هي المتغير المجهول الذي نبحث عنه ونرمز له جبرياً بالمتغير س.

في قانون التناسب العكسي، حاصل ضرب المتغيرين في الحالة الأولى يعادل تماماً حاصل ضربهما في الحالة الثانية.

صيغة المعادلة تكون كالتالي: $س \times {٣٠} = {١٠٠} \times {٤٥}$ .

الطرف الأيمن من المعادلة رياضياً ينتج القيمة $٤٥٠٠$.

المعادلة بصورتها المبسطة تصبح: $س \times {٣٠} = ٤٥٠٠$ .

لإيجاد قيمة المتغير س المكملة للحل، نقوم بقسمة طرفي المعادلة على العدد $٣٠$.

السرعة المطلوبة تساوي $١٥٠ = {٣٠} \div {٤٥٠٠}$ .

والإجابة هي $١٥٠$ كلم / س