اختبار حساب الربح والخسارة

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد العدد الأصلي أولاً ثم حساب النسبة المطلوبة.

النسبة المعطاة هي ستون بالمائة وقيمتها أربعمائة وثمانون.

العدد الأصلي يساوي القيمة مقسومة على النسبة المعطاة، أي نضرب في المقلوب.

العدد الأصلي = $٨٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٦٠}} \times {٤٨٠}$

الآن نحسب النسبة المطلوبة وهي ثمانون بالمائة من العدد الأصلي.

النسبة المطلوبة = $٦٤٠ = {\dfrac{٨٠}{١٠٠}} \times {٨٠٠}$

والإجابة هي $٦٤٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم للوصول للنسبة المطلوبة مباشرة.

نعلم أن ستين بالمائة تعادل أربعمائة وثمانين.

$٪٦٠ \leftarrow ٤٨٠$

نقسم الطرفين على ستة للحصول على نسبة عشرة بالمائة.

$٪١٠ \leftarrow ٨٠$

نضرب الطرفين في ثمانية للوصول إلى نسبة ثمانين بالمائة مباشرة.

$٪٨٠ \leftarrow ٦٤٠$

والإجابة هي $٦٤٠$

تكنيك ١: حساب الربح المستقل ثم الجمع

المفهوم الرياضي: ثمن البيع الإجمالي يساوي ثمن الشراء الأصلي مضافاً إليه مقدار الربح المالي المحقق.

الخطوة الأولى هي حساب مقدار الربح الصافي، وهو يمثل $\%٢٠$ من التكلفة البالغة $١٦٠٠$ ريال.

مقدار الربح المالي هو: $٣٢٠ = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times {١٦٠٠}$ ريال.

الخطوة الثانية تتمثل في جمع قيمة الربح المستخرجة مع السعر الأصلي للبضاعة لإيجاد ثمن البيع.

إجمالي ثمن البيع هو: $١٩٢٠ = {٣٢٠} + {١٦٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $١٩٢٠$.

تكنيك ٢: الضرب في معامل النسبة التراكمية

المفهوم الرياضي: ثمن البيع في حالة الربح يمثل النسبة الأصلية ($\%١٠٠$) مضافاً إليها نسبة الربح، ليصبح كتلة واحدة مدمجة.

نسبة البيع الإجمالية تعادل: $\%١٢٠ = {\%٢٠} + {\%١٠٠}$.

هذا يعني أن ثمن البيع يساوي $\%١٢٠$ من السعر الأصلي للبضاعة.

لحساب الثمن مباشرة، نضرب التكلفة الأصلية في النسبة التراكمية.

ثمن البيع النهائي هو: $١٩٢٠ = {\dfrac{١٢٠}{١٠٠}} \times {١٦٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $١٩٢٠$.

تكنيك ١: بناء معادلة للكسر المتغير

المفهوم الرياضي: الزيادة بنسبة معينة تعني إضافة تلك النسبة لقيمة الأساس ($\%١٠٠$).

نفرض أن الكسر الأصلي يتكون من متغيرين، بسط ومقام، ولنرمز له بالرمز ${\dfrac{س}{ص}}$.

زيادة البسط بنسبة $\%٢٠٠$ تعني أن قيمته الجديدة أصبحت $\%٣٠٠$ من القيمة الأصلية.

قيمة البسط الجديد = ${س٣} = {س} \times {\dfrac{٣٠٠}{١٠٠}}$

زيادة المقام بنسبة $\%٣٥٠$ تعني أن قيمته الجديدة أصبحت $\%٤٥٠$ من القيمة الأصلية، أي ما يعادل كسرياً ${\dfrac{٩}{٢}}$ من قيمته.

قيمة المقام الجديد = $ص{\dfrac{٩}{٢}}$

نعوض في الكسر، فيصبح البسط ${س٣}$ والمقام $ص{\dfrac{٩}{٢}}$.

المعادلة: ${\dfrac{٥}{١٢}} = \dfrac{س٣}{ص{\dfrac{٩}{٢}}}$

للتخلص من الكسر في المقام، نستخدم قاعدة (مقام المقام بسط)، فنضرب العدد $٢$ في البسط.

الكسر بعد التبسيط = $\dfrac{س٦}{ص٩}$

المعادلة المبسطة: ${\dfrac{٥}{١٢}} = \dfrac{س٦}{ص٩}$

نعزل الكسر الأصلي ${\dfrac{س}{ص}}$ بضرب الطرفين في مقلوب المعامل، وهو الكسر ${\dfrac{٩}{٦}}$.

الكسر الأصلي = ${\dfrac{٥}{١٢}} \times {\dfrac{٩}{٦}}$

نبسط الكسر الثاني بقسمة بسطه ومقامه على $٣$ ليصبح ${\dfrac{٣}{٢}}$.

الكسر الأصلي = ${\dfrac{٥}{١٢}} \times {\dfrac{٣}{٢}}$

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

الكسر الأصلي = ${\dfrac{١٥}{٢٤}}$

نبسط الناتج النهائي بقسمة البسط والمقام على $٣$.

الكسر الأصلي المبسط = ${\dfrac{٥}{٨}}$

والإجابة هي $\dfrac{٥}{٨}$

تكنيك ٢: التجربة العكسية للخيارات

المفهوم الرياضي: يمكن الوصول للحل بتجربة الخيارات المتاحة، وتطبيق التغييرات المعطاة عليها للتحقق من تطابق الناتج مع الكسر الجديد.

نجرب الخيار الأول، وهو الكسر $\dfrac{٥}{٨}$.

البسط هو $٥$. نزيده بنسبة $\%٢٠٠$، أي نجمع له ضعفي قيمته.

الزيادة في البسط = ${١٠} = {٢} \times {٥}$

البسط الجديد = ${١٥} = {١٠} + {٥}$

المقام هو $٨$. نزيده بنسبة $\%٣٥٠$، أي نجمع له ثلاثة أضعاف ونصف من قيمته.

الزيادة في المقام = ${٢٨} = {\dfrac{٧}{٢}} \times {٨}$

المقام الجديد = ${٣٦} = {٢٨} + {٨}$

نكتب الكسر الجديد الناتج عن هذه التجربة.

الكسر الناتج = ${\dfrac{١٥}{٣٦}}$

نقوم بتبسيط الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على العدد $٣$.

الكسر بعد التبسيط = ${\dfrac{٥}{١٢}}$

نلاحظ أن الناتج يتطابق تماماً مع الكسر المعطى في السؤال، مما يؤكد صحة الخيار.

والإجابة هي $\dfrac{٥}{٨}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية للربح والخصم المتتالي للحصول على صافي الربح.

نحسب أولاً سعر البيع الأساسي للسلعة قبل الخصم، وذلك بإضافة مقدار الربح إلى التكلفة الأساسية.

مقدار الربح الأساسي يعادل $٪٥٠$ من التكلفة البالغة $٩٠$ ريالاً.

$٤٥ = \dfrac{٥٠}{١٠٠} \times {٩٠}$

سعر البيع الأساسي يساوي التكلفة الأساسية مضافاً إليها مقدار الربح.

$١٣٥ = {٤٥} + {٩٠}$

نحسب الآن قيمة الخصم للمشتري النقدي، وهي تعادل $٪٣٠$ من سعر البيع الأساسي.

$٤٠،٥ = \dfrac{٣٠}{١٠٠} \times {١٣٥}$

سعر البيع النقدي بعد الخصم يساوي سعر البيع الأساسي مطروحاً منه قيمة الخصم.

$٩٤،٥ = {٤٠،٥} – {١٣٥}$

الآن نحسب صافي الربح الذي حققه التاجر بطرح سعر الشراء الأساسي من سعر البيع النقدي النهائي.

$٤،٥ = {٩٠} – {٩٤،٥}$

نحسب نسبة الربح الصافي بقسمة مقدار الربح على التكلفة الأساسية وضرب الناتج في مائة.

$٪٥ = {١٠٠} \times \dfrac{٤،٥}{٩٠}$

والإجابة هي $٪٥$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام المضاعفات العشرية المتتالية لحساب السعر النهائي بخطوات مختصرة.

سعر البيع بعد إضافة ربح $٪٥٠$ يعني أننا نضرب السعر الأصلي في الكسر العشري المعبر عن $٪١٥٠$.

سعر البيع الأساسي = السعر الأصلي مضروباً في الكسر العشري واحد ونصف.

$١٣٥ = {١،٥} \times {٩٠}$

عند تطبيق خصم $٪٣٠$، فإن المشتري يدفع مكملة النسبة وهي $٪٧٠$ من السعر.

سعر البيع النقدي = سعر البيع الأساسي مضروباً في الكسر العشري المعبر عن مكملة النسبة.

$٩٤،٥ = {٠،٧} \times {١٣٥}$

مقدار الربح الصافي هو الفرق بين سعر البيع النقدي النهائي وتكلفة الشراء.

$٤،٥ = {٩٠} – {٩٤،٥}$

نسبة الربح من التكلفة تحسب بقسمة الربح على التكلفة والضرب في مائة.

$٪٥ = {١٠٠} \times \dfrac{٤،٥}{٩٠}$

والإجابة هي $٪٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب مقدار الزيادة بشكل مستقل ثم إضافتها إلى السعر الأصلي لإيجاد سعر البيع.

نوجد أولاً قيمة الزيادة بضرب نسبة الربح المطلوبة في سعر التكلفة.

$٦٠ = \dfrac{٣٠}{١٠٠} \times {٢٠٠}$

نجمع قيمة الزيادة المستنتجة مع سعر التكلفة للحصول على سعر البيع النهائي.

$٢٦٠ = {٦٠} + {٢٠٠}$

والإجابة هي $٢٦٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب سعر البيع كنسبة إجمالية تراكمية من التكلفة بخطوة رياضية واحدة.

بما أن الربح يمثل $٪٣٠$، فإن سعر البيع يمثل $٪١٣٠$ من التكلفة الأساسية.

نضرب التكلفة الأساسية مباشرة في النسبة الإجمالية لإيجاد السعر النهائي.

$٢٦٠ = \dfrac{١٣٠}{١٠٠} \times {٢٠٠}$

والإجابة هي $٢٦٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب ثمن البيع من خلال إيجاد قيمة الربح أولاً ثم إضافتها إلى سعر الشراء الأصلي.

نكتب قانون مقدار الربح كمعادلة رمزية:

$م = ش \times \dfrac{ر}{١٠٠}$

حيث (م) مقدار الربح، و(ش) سعر الشراء، و(ر) نسبة الربح.

نحسب مقدار الربح من سعر الشراء:

$٢٠٠ = {٢٠٠٠} \times \dfrac{١٠}{١٠٠}$

نكتب قانون ثمن البيع كمعادلة رمزية:

$ث = ش + م$

حيث (ث) ثمن البيع.

نعوض بالقيم لحساب ثمن البيع النهائي:

$٢٢٠٠ = {٢٠٠} + {٢٠٠٠}$

والإجابة هي $٢٢٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام النسبة المئوية الإجمالية لحساب ثمن البيع بخطوة واحدة.

نجمع نسبة الشراء الأصلية مع نسبة الربح لنحصل على نسبة البيع الإجمالية:

$٪١١٠ = {٪١٠} + {٪١٠٠}$

نكتب قانون ثمن البيع المباشر كمعادلة رمزية:

$ث = ش \times \dfrac{ن}{١٠٠}$

حيث (ث) ثمن البيع، و(ش) سعر الشراء، و(ن) النسبة الإجمالية.

نعوض بالسعر الأصلي ونسبة البيع الإجمالية:

$٢٢٠٠ = {٢٠٠٠} \times \dfrac{١١٠}{١٠٠}$

والإجابة هي $٢٢٠٠$

تكنيك ١: الضرب المباشر للنسبة المئوية

المفهوم الرياضي: الربح المالي يمثل نسبة مئوية مقتطعة من سعر الشراء الأصلي (رأس المال).

قانون حساب الربح: مقدار الربح = سعر الشراء $\times$ نسبة الربح المئوية.

سعر الشراء المعطى هو $١٢٥٠$ ريالاً، ونسبة الربح المطلوبة هي $\%٢٠$.

نقوم بالتعويض في القانون لإيجاد قيمة الربح: $٢٥٠ = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times {١٢٥٠}$ ريال.

والإجابة هي $٢٥٠$ ريال.

تكنيك ٢: التدرج المنتظم عبر حساب العشر

المفهوم الرياضي: تجزئة النسبة المئوية إلى أجزاء عشرية بسيطة (عُشر) وتكرارها للوصول للنسبة المطلوبة بسهولة.

المبلغ الأصلي لتكلفة الجهاز هو $١٢٥٠$، وهو يمثل النسبة الكاملة $\%١٠٠$.

لحساب $\%١٠$ من القيمة، نحذف صفراً واحداً من آحاد المبلغ الأصلي (وهو يكافئ القسمة على $١٠$).

نجد بناءً على ذلك أن $\%١٠$ تعادل $١٢٥$ ريالاً.

هامش الربح المطلوب استخراجه هو $\%٢٠$، أي أنه يمثل ضعف قيمة الـ $\%١٠$.

نقوم بمضاعفة المبلغ المستخرج: $٢٥٠ = {٢} \times {١٢٥}$ ريال.

والإجابة هي $٢٥٠$ ريال.

تكنيك ١: تطبيق قانون النسبة المئوية المباشر

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية تساوي الجزء مقسوماً على الكل، ومضروباً في العدد مئة.

الكل في هذه المسألة هو إجمالي عدد الشركات المشاركة، وقيمته $٥٠$.

الجزء هو عدد الشركات الأمريكية، وقيمته $٢٠$.

نطبق القانون ونعوض بالقيم المعطاة.

النسبة المئوية = ${١٠٠} \times {\dfrac{٢٠}{٥٠}}$

نختصر الكسر بحذف الأصفار من البسط والمقام ليصبح ${\dfrac{٢}{٥}}$.

نضرب الكسر المبسط في مئة.

النسبة المئوية = $\%٤٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{٢}{٥}}$

والإجابة هي $\%٤٠$

تكنيك ٢: تحويل المقام إلى مئة

المفهوم الرياضي: النسبة المئوية هي كسر مقامه مئة، لذا يمكن تحويل كسر المسألة لكسر مكافئ مقامه مئة.

الكسر الذي يمثل الشركات الأمريكية هو الجزء على الكل.

الكسر = ${\dfrac{٢٠}{٥٠}}$

لتحويل المقام ($٥٠$) إلى ($١٠٠$)، يجب أن نضربه في العدد ($٢$).

للحفاظ على قيمة الكسر، نضرب كلاً من البسط والمقام في العدد ($٢$).

البسط الجديد = ${٤٠} = {٢} \times {٢٠}$

المقام الجديد = ${١٠٠} = {٢} \times {٥٠}$

الكسر المكافئ هو ${\dfrac{٤٠}{١٠٠}}$، وهو ما يقرأ كنسبة مئوية بصورة مباشرة.

النسبة المئوية هي $\%٤٠$.

والإجابة هي $\%٤٠$

تكنيك ١: المعادلة الخطية للنسبة المئوية

المفهوم الرياضي: بناء معادلة خطية تربط بين النسبة وقيمتها واستخراج القيمة الكلية بضرب المقلوب.

نفرض أن راتب الموظف الكامل هو المتغير $س$.

مقدار ما يوفره الموظف يمثل $٪١٥$ من راتبه الكلي.

بناءً على المعطيات، هذه النسبة تعادل مبلغاً وقدره $٢٤٠٠$ ريال.

نصيغ المعادلة الجبرية: $٢٤٠٠ = {س} \times {\dfrac{١٥}{١٠٠}}$.

لإيجاد راتب الموظف الكلي، ننقل الكسر للطرف الآخر مع قلبه.

تصبح المعادلة: $١٦٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{١٥}} \times {٢٤٠٠} = {س}$.

والإجابة هي $١٦٠٠٠$

تكنيك ٢: التدرج المنتظم لتجزئة النسب

المفهوم الرياضي: تقسيم النسبة المئوية وقيمتها للوصول إلى نسبة بسيطة ثم مضاعفتها للكل.

لدينا نسبة $٪١٥$ والتي تعادل مبلغ $٢٤٠٠$ ريال.

لتبسيط النسبة، نقسم الطرفين على العدد ثلاثة.

نستنتج أن نسبة $٪٥$ تعادل مبلغاً وقدره $٨٠٠$ ريال.

للوصول للنسبة الكلية $٪١٠٠$ انطلاقاً من نسبة $٪٥$، يجب أن نضرب الطرفين في العدد عشرين.

نضرب المبلغ المستنتج في عشرين: $١٦٠٠٠ = {٢٠} \times {٨٠٠}$.

هذا المبلغ يمثل الراتب الإجمالي للموظف.

والإجابة هي $١٦٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: افتراض القيم وحساب نسبة التخفيض القصوى.

نفرض أن التكلفة الأصلية للسلعة تساوي مائة ريال.

مقدار الربح يمثل نصف التكلفة الأصلية.

مقدار الربح = $٥٠ = {\dfrac{١}{٢}} \times {١٠٠}$

سعر البيع قبل التخفيض يساوي مجموع التكلفة والربح.

سعر البيع = $١٥٠ = {٥٠} + {١٠٠}$

لضمان عدم الخسارة، أقصى مبلغ يمكن تخفيضه هو مقدار الربح كاملاً وهو خمسون ريالاً.

نسبة التخفيض القصوى تساوي أقصى مبلغ تخفيض مقسوماً على سعر البيع مضروباً في مائة.

نسبة التخفيض = $٪٣٣ = {١٠٠} \times {\dfrac{٥٠}{١٥٠}}$

والإجابة هي $٪٣٣$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الكسور الجبرية لتمثيل التكلفة والبيع.

نفرض أن تكلفة السلعة تساوي المتغير سين.

الربح يساوي نصف سين، أي واحد على اثنين سين.

سعر البيع الإجمالي يساوي سين زائد نصف سين.

سعر البيع = $س\dfrac{٣}{٢} = {س\dfrac{١}{٢}} + {س}$

قيمة التخفيض المسموح بها هي قيمة الربح وهي نصف سين.

نسبة التخفيض تساوي قيمة التخفيض مقسومة على سعر البيع.

نسبة التخفيض = ${س\dfrac{٣}{٢}} \div {س\dfrac{١}{٢}}$

نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب وتختصر المتغيرات.

النسبة = $\dfrac{١}{٣} = {\dfrac{٢}{٣}} \times {\dfrac{١}{٢}}$

تحويل الكسر ثلث إلى نسبة مئوية يعطي ثلاثة وثلاثين بالمائة تقريباً.

والإجابة هي $٪٣٣$

تكنيك ١: الحل الجبري الحرفي للمعطيات

المفهوم الرياضي: الالتزام الصارم والقطعي بتحويل النصوص إلى معادلات لحل المتغير ثم استخراج المطلوب.

المعطى الأول ينص على أن نسبة $٪٢٥٠$ من المتغير $س$ تساوي $١٠٠٠$.

نسبة $٪٢٥٠$ تعادل الكسر الاعتيادي ${\dfrac{٥}{٢}}$، لذا يمكن كتابة المعادلة كالتالي: $١٠٠٠ = {س} \times {\dfrac{٥}{٢}}$.

لإيجاد قيمة المتغير $س$ بالكامل، نضرب طرفي المعادلة في مقلوب الكسر وهو ${\dfrac{٢}{٥}}$.

قيمة المتغير هي: $٤٠٠ = {\dfrac{٢}{٥}} \times {١٠٠٠} = {س}$.

المطلوب في السؤال هو إيجاد قيمة النصف من المتغير $س$، أي حسابه مضروباً في الكسر ${\dfrac{١}{٢}}$.

نضرب القيمة المستخرجة في النصف: $٢٠٠ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٤٠٠}$.

مع تطبيق قاعدة الالتزام الرياضي المطلق للمستخرجات، نقر بأن هذه هي القيمة الدقيقة رياضياً.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ٢: التحويل النسبي المباشر

المفهوم الرياضي: ربط النسب المعطاة بالنسبة المطلوبة مباشرة دون استخراج القيمة الكلية للمتغير.

نعلم أن نسبة $٪٢٥٠$ من قيمة المتغير تعادل العدد $١٠٠٠$.

المطلوب إيجاده هو النصف، والذي يعادل نسبة $٪٥٠$ من قيمة المتغير.

نلاحظ رياضياً أن النسبة $٪٢٥٠$ هي خمسة أضعاف النسبة $٪٥٠$، مما يعني أننا نحتاج لقسمة الطرفين على العدد خمسة.

بقسمة القيمة المعطاة على خمسة نحصل على قيمة النصف المطلوبة.

العملية المباشرة: $٢٠٠ = {\dfrac{١٠٠٠}{٥}}$.

تظل النتيجة الجبرية الصارمة ثابتة بناءً على المعطيات المستخرجة.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة خطية لحساب العدد الكلي للأسماك بناءً على إجمالي الأجزاء المتبقية.

نفترض أن العدد الإجمالي للأسماك التي اصطادها يُمثل بالمتغير الجبري $س$.

بما أن الصياد باع نصف الكمية أي $٪٥٠$، فإن القسم المتبقي يمثل النصف الآخر، وهو يعادل مكملة النسبة.

الأسماك المتبقية فعلياً تتكون من الأسماك التي في السلة مضافاً إليها الأسماك التي أرجعها للبحر.

مجموع الأسماك المتبقية التي تمثل النصف يساوي.

$٣٦ = {٩} + {٢٧}$

نصيغ المعادلة الرياضية: نصف العدد الكلي يساوي إجمالي الأسماك المتبقية.

$٣٦ = {س} \times \dfrac{١}{٢}$

نضرب طرفي المعادلة في العدد اثنان للحصول على العدد الكلي الصافي.

$٧٢ = {٢} \times {٣٦}$

والإجابة هي $٧٢$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التفكير العكسي لاستنتاج قيمة الكل انطلاقاً من الجزء المعلوم.

العدد الكلي للأسماك مُقسم نظرياً إلى قسمين متساويين: قسم مُباع وقسم غير مُباع يمثل مكملة النسبة.

القسم غير المُباع يشتمل على إجمالي ما تم إرجاعه وما تبقى فعلياً في السلة.

نحسب إجمالي الأسماك في القسم غير المُباع بالجمع المباشر.

$٣٦ = {٩} + {٢٧}$

بما أن هذا القسم المحسوب يمثل $٪٥٠$ من الإجمالي الكلي، فإن الإجمالي يساوي ضعف هذا القسم المحسوب.

$٧٢ = {٣٦} + {٣٦}$

والإجابة هي $٧٢$

تكنيك ١: المعادلة الجبرية والتناسب العكسي

المفهوم الرياضي: سعر البيع بعد تسجيل الخسارة يمثل النسبة المتبقية من القيمة الأصلية الممثلة بـ $\%١٠٠$.

بما أن الخسارة كانت $\%١٠$، فإن نسبة سعر البيع من التكلفة الأصلية هي: $\%٩٠ = {\%١٠} – {\%١٠٠}$.

هذا التحليل يعني رياضياً أن مبلغ البيع $٤٥٠٠٠$ يعادل $\%٩٠$ من السعر الأصلي.

لإيجاد السعر الأصلي الكامل، نقوم بقسمة سعر البيع على نسبته المئوية: السعر الأصلي = سعر البيع $\div$ النسبة المئوية.

نطبق القاعدة بضرب السعر في المقلوب: $٥٠٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٩٠}} \times {٤٥٠٠٠}$ ريال.

بتبسيط الرقم نحصل على القيمة بالألوف، وهي $٥٠$ ألف ريال.

والإجابة هي $٥٠$ ألف.

تكنيك ٢: التدرج المنتظم لاسترجاع التكلفة

المفهوم الرياضي: ربط المبالغ المالية بنسبها المئوية المقابلة وصولاً للنسبة المكتملة.

استنتجنا سابقاً أن القيمة $٤٥٠٠٠$ ريال تمثل نسبة $\%٩٠$ من رأس المال.

لتبسيط العلاقة، نقسم كلا الطرفين على $٩$ لإيجاد قيمة الـ $\%١٠$.

نجد بعد القسمة أن $\%١٠$ تعادل مبلغ $٥٠٠٠$ ريال.

نحن نبحث عن التكلفة الأصلية التي تمثل النسبة الكاملة $\%١٠٠$.

نقوم بضرب الطرفين في $١٠$ للوصول للنسبة الكاملة: $٥٠٠٠٠ = {١٠} \times {٥٠٠٠}$ ريال.

تُقرأ النتيجة النهائية كـ $٥٠$ ألف ريال.

والإجابة هي $٥٠$ ألف.

تكنيك ١: حساب الأجزاء والنسب

المفهوم الرياضي: تقسيم العدد الإجمالي بناءً على مجموع أجزاء النسبة، ثم إيجاد قيمة الجزء الواحد.

النسبة المعطاة هي $٤ : ١$ للإناث والذكور على الترتيب، وتقرأ من اليمين (جزء للإناث و ٤ أجزاء للذكور).

نحسب مجموع الأجزاء الكلي.

مجموع الأجزاء = ${٥} = {٤} + {١}$

نقسم إجمالي عدد الطلاب على مجموع الأجزاء لإيجاد قيمة الجزء الواحد.

قيمة الجزء = ${٦٠} = {٥} \div {٣٠٠}$

نحسب عدد الإناث بضرب قيمة الجزء في نسبتهن.

عدد الإناث = ${٦٠} = {١} \times {٦٠}$

نحسب عدد الذكور بضرب قيمة الجزء في نسبتهم.

عدد الذكور = ${٢٤٠} = {٤} \times {٦٠}$

تمت إضافة $٢٠$ طالبة للإناث، فنحسب العدد الجديد للإناث.

عدد الإناث الجديد = ${٨٠} = {٢٠} + {٦٠}$

للحفاظ على نفس النسبة ($١ : ٤$)، يجب أن يكون عدد الذكور أربعة أضعاف عدد الإناث.

العدد المستهدف للذكور = ${٣٢٠} = {٤} \times {٨٠}$

نطرح العدد الحالي للذكور من العدد المستهدف لمعرفة الزيادة المطلوبة.

العدد المطلوب إضافته = ${٨٠} = {٢٤٠} – {٣٢٠}$

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ٢: التناسب الطردي والتدرج المنتظم

المفهوم الرياضي: بناء علاقة تناسب مباشر بين الإناث والذكور واستنتاج التغيرات المطلوبة للحفاظ على النسبة.

النسبة الأساسية تخبرنا أن مقابل كل طالبة واحدة (إناث) يوجد $٤$ طلاب (ذكور).

بمعنى أن كل زيادة بمقدار ($١$) في عدد الإناث، تتطلب زيادة بمقدار ($٤$) في عدد الذكور للحفاظ على النسبة ثابتة.

من المعطيات، قررت الإدارة إضافة $٢٠$ طالبة لعدد الإناث.

نستخدم التناسب لحساب ما يقابل هذه الزيادة للذكور.

إذا كانت $١$ طالبة تقابل $٤$ طلاب ذكور.

فإن زيادة $٢٠$ طالبة تقابل زيادة ($٢٠$ مضروبة في $٤$) للذكور.

عدد الذكور الواجب إضافته = ${٨٠} = {٤} \times {٢٠}$

والإجابة هي $٨٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجميع المصروفات النقدية ومطابقتها مع النسبة المكملة.

نجمع المبالغ النقدية التي تم صرفها والمبلغ المتبقي.

المصروفات النقدية والمتبقي = $٥٢٠٠ = {٢٠٠} + {٥٠٠} + {٣٥٠٠} + {١٠٠٠}$

الشخص تبرع بنسبة عشرين بالمائة من راتبه، لذا نحسب النسبة المكملة التي تمثل باقي الراتب.

النسبة المكملة = $٪٨٠ = {٪٢٠} – {٪١٠٠}$

المبلغ النقدي المحسوب يعادل هذه النسبة المكملة.

الراتب الكلي يساوي المبلغ النقدي مضروباً في مقلوب النسبة.

الراتب الكلي = $٦٥٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٨٠}} \times {٥٢٠٠}$

والإجابة هي $٦٥٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم باستخدام المعادلة الخطية.

مجموع المبالغ المصروفة والمتبقية تعادل النسبة المكملة وهي ثمانون بالمائة.

$٪٨٠ \leftarrow ٥٢٠٠$

بقسمة الطرفين على ثمانية للحصول على قيمة عشرة بالمائة.

$٪١٠ \leftarrow ٦٥٠$

بضرب الطرفين في عشرة للوصول للراتب الكامل بنسبة مائة بالمائة.

$٪١٠٠ \leftarrow ٦٥٠٠$

والإجابة هي $٦٥٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: افتراض عدد محدد لتطبيق التغيرات المئوية المتتالية بشكل عملي.

نفترض أن العدد الأصلي هو $١٠٠$.

نضيف إليه نسبة $٥٠$٪ من قيمته.

العدد بعد الإضافة يصبح ${١٥٠} = {٥٠} + {١٠٠}$.

نقوم الآن بتخفيض العدد الجديد بنسبة $٢٥$٪.

نحسب مقدار النقصان: ${٣٧،٥} = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {١٥٠}$.

العدد النهائي يصبح ${١١٢،٥} = {٣٧،٥} – {١٥٠}$.

نحسب نسبة الزيادة الصافية باستخدام قانون النسب المئوية للزيادة.

نسبة الزيادة تساوي ${١٢،٥} = {١٠٠} \times {\dfrac{١٢،٥}{١٠٠}}$٪.

والإجابة هي $١٢،٥$٪.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: دمج التغيرات المئوية المتتالية كمعاملات ضربية لمتغير مجهول.

نفرض أن العدد الأصلي يمثله المتغير $س$.

إضافة $٥٠$٪ تعني أننا نضرب المتغير في المعامل $١،٥$.

العدد بعد الزيادة يصبح ${س}١،٥$.

نقصان $٢٥$٪ يعني أننا نحتفظ بنسبة $٧٥$٪ من القيمة، أي نضرب في المعامل $٠،٧٥$.

العدد النهائي يمثل حاصل الضرب ويساوي ${س}١،١٢٥ = {٠،٧٥} \times {س١،٥}$.

بمقارنة المعامل النهائي $١،١٢٥$ مع المعامل الأصلي $١$، نجد أن الزيادة الصافية هي $٠،١٢٥$.

لتحويلها إلى نسبة مئوية نضرب القيمة العشري في مئة لتصبح $١٢،٥$٪.

والإجابة هي $١٢،٥$٪.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية الصافية للمدفوعات لكل شخص.

بالنسبة لأحمد، اشترى جوالين وحصل على خصم $٣٠$٪ لكل منهما.

نسبة ما يدفعه أحمد لكل جوال هي مكملة الخصم، أي $٧٠$٪.

إجمالي ما يدفعه أحمد للجوّالين: $١٤٠ = {٧٠} + {٧٠}$٪ من سعر الجوال الأصلي.

بالنسبة لماجد، اشترى الأول بسعره الأصلي أي بنسبة $١٠٠$٪، والثاني بخصم $٦٠$٪.

نسبة ما يدفعه ماجد للجوال الثاني هي مكملة الخصم، أي $٤٠$٪.

إجمالي ما يدفعه ماجد للجوّالين: $١٤٠ = {٤٠} + {١٠٠}$٪ من سعر الجوال الأصلي.

بمقارنة القيمة الأولى ($١٤٠$٪) بالقيمة الثانية ($١٤٠$٪)، نجد أنهما متطابقتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: فرض قيمة عددية لتسهيل المقارنة والاستنتاج.

نفرض أن السعر الأصلي للجوال الواحد هو $١٠٠$ ريال لتسهيل العمليات الحسابية.

أحمد يشتري الجوالين بخصم $٣٠$٪، مما يعني أن سعر الجوال الواحد له أصبح $٧٠$ ريالاً.

القيمة الأولى (ما يدفعه أحمد) تساوي $١٤٠ = {٧٠} + {٧٠}$ ريالاً.

ماجد يشتري الجوال الأول بسعره الكامل وهو $١٠٠$ ريال، والجوال الثاني بخصم $٦٠$٪ ليصبح سعره $٤٠$ ريالاً.

القيمة الثانية (ما يدفعه ماجد) تساوي $١٤٠ = {٤٠} + {١٠٠}$ ريالاً.

بمقارنة المبلغين، نجد أن كليهما دفع $١٤٠$ ريالاً بالضبط.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تجميع النسب المئوية المدفوعة ومساواتها بالقيمة الإجمالية.

الشخص اشترى جوالين بتخفيض $٢٥$٪، أي أنه دفع مكملة النسبة وهي $٧٥$٪ لكل جوال.

إجمالي ما دفعه للجوالين الأولين: $١٥٠ = {٧٥} + {٧٥}$٪ من السعر الأصلي.

واشترى ثلاثة جوالات بتخفيض $٥٠$٪، أي أنه دفع مكملة النسبة وهي $٥٠$٪ لكل جوال.

إجمالي ما دفعه للجوالات الثلاثة: $١٥٠ = {٥٠} \times {٣}$٪ من السعر الأصلي.

النسبة الكلية لما تم دفعه لجميع الجوالات: $٣٠٠ = {١٥٠} + {١٥٠}$٪، وهو ما يعادل ثمن $٣$ جوالات أصلية كاملة.

بما أن إجمالي ما دفعه هو $٤٥٠٠$ ريال، فإن $٣$ جوالات أصلية تعادل $٤٥٠٠$ ريال.

لإيجاد السعر الأصلي للجوال الواحد، نقسم المجموع على $٣$: $١٥٠٠ = {٣} \div {٤٥٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $١٥٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام المعادلات الجبرية للتمثيل الكلي.

نفرض أن سعر الجوال الأصلي هو $س$ ريال.

تكلفة الجوالين الأولين بعد الخصم: $س ٥،١ = {س ٧٥،٠} \times {٢}$.

تكلفة الجوالات الثلاثة الأخرى بعد الخصم: $س ٥،١ = {س ٥٠،٠} \times {٣}$.

المعادلة الإجمالية للمبلغ المدفوع: $٤٥٠٠ = {س ٥،١} + {س ٥،١}$.

بجمع المعاملات نجد أن: $٤٥٠٠ = س ٣$.

بقسمة الطرفين على $٣$ لإيجاد قيمة $س$، نحصل على: $١٥٠٠ = {٣} \div {٤٥٠٠} = س$.

السعر الأصلي للجوال الواحد يبلغ $١٥٠٠$ ريال.

والإجابة هي $١٥٠٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي لحساب القيمة الأصلية للشركة قبل حدوث النقصان.

بما أن أرباح هذا العام نقصت بنسبة $٪١٠$ عن العام الماضي، فإنها تمثل فعلياً مكملة النسبة المئوية الأساسية.

مكملة النسبة تعادل مائة بالمائة مطروحاً منها نسبة النقصان المحددة.

$٪٩٠ = {٪١٠} – {٪١٠٠}$

الأرباح الحالية البالغة $٣٦٠٠$ ريال تعادل نسبة $٪٩٠$ من إجمالي أرباح العام الماضي.

نصيغ التناسب الرياضي: الأرباح الأصلية تساوي الأرباح الحالية مضروبة في مقلوب مكملة النسبة.

$٤٠٠٠ = \dfrac{١٠٠}{٩٠} \times {٣٦٠٠}$

والإجابة هي $٤٠٠٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام أسلوب التدرج المنتظم للوصول تدريجياً للنسبة الكاملة الممثلة للعام الماضي.

نكتب المعطيات كنسب مئوية متكافئة: القيمة المالية $٣٦٠٠$ ريال تمثل نسبة $٪٩٠$.

نقسم كلا الطرفين على العدد تسعة للوصول إلى القيمة المالية التي تقابل نسبة $٪١٠$ حصراً.

قيمة النسبة $٪١٠$ تساوي ناتج القسمة.

$٤٠٠ = {٩} \div {٣٦٠٠}$

للوصول إلى أرباح العام الماضي الكاملة التي تمثل نسبة $٪١٠٠$، نضرب الطرفين في العدد عشرة.

$٤٠٠٠ = {١٠} \times {٤٠٠}$

والإجابة هي $٤٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية للزيادة من خلال إيجاد مقدار الزيادة أولاً ثم قسمته على السعر الأصلي وضربه في مئة.

نحسب مقدار الزيادة بطرح السعر الأصلي من السعر الجديد:

$٢٥ = {٦٢٥} – {٦٥٠}$

نكتب قانون النسبة المئوية للزيادة كمعادلة رمزية:

$ن = ١٠٠ \times \dfrac{ز}{ص}$

حيث (ن) النسبة المئوية، و(ز) مقدار الزيادة، و(ص) السعر الأصلي.

نعوض بالقيم في القانون:

$٪٤ = ١٠٠ \times \dfrac{٢٥}{٦٢٥}$

والإجابة هي $٪٤$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي والضرب التبادلي بين القيم والنسب المئوية لإيجاد نسبة الزيادة.

نحسب مقدار الزيادة في السعر أولاً:

$٢٥ = {٦٢٥} – {٦٥٠}$

نضع التناسب بحيث يقابل السعر الأصلي النسبة المئوية الكاملة:

$٪١٠٠ \leftarrow {٦٢٥}$

ويقابل مقدار الزيادة النسبة المجهولة:

$س \leftarrow {٢٥}$

نستخدم الضرب التبادلي لإيجاد قيمة س:

$س = ١٠٠ \times \dfrac{٢٥}{٦٢٥}$

$٤ = س$

والإجابة هي $٪٤$

تكنيك ١: التعويض بمتغيرات جبرية

المفهوم الرياضي: حساب مساحة المربع قبل وبعد الزيادة واستخراج نسبة التغير.

نفرض أن طول ضلع المربع الأصلي هو $س$.

مساحة المربع الأصلي تُحسب بضرب الضلع في نفسه: ${}^{٢}س = {س} \times {س}$.

زاد طول الضلع إلى ثلاثة أمثاله، ليصبح طول الضلع الجديد $س٣$.

نحسب مساحة المربع الجديد بضرب الضلع الجديد في نفسه: ${}^{٢}س٩ = {}^{٢}({س٣})$.

نستخرج مقدار الزيادة في المساحة بطرح المساحة الأصلية من المساحة الجديدة: ${}^{٢}س٨ = {}^{٢}س – ${}^{٢}س٩$.

لحساب نسبة الزيادة، نقسم مقدار الزيادة على المساحة الأصلية ونضرب الناتج في مائة.

الالنسبة المئوية للزيادة تساوي: $٪٨٠٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{{}^{٢}س٨}{{}^{٢}س}}$.

والإجابة هي $٪٨٠٠$

تكنيك ٢: التعويض بقيم عددية افتراضية

المفهوم الرياضي: فرض رقم محدد لتسهيل تخيل واستنتاج نسبة الزيادة المئوية.

نفرض افتراضاً أن طول ضلع المربع الأصلي هو $٢$ متر.

مساحة المربع الأصلي ستكون: $٤ = {٢} \times {٢}$.

بما أن الضلع زاد إلى ثلاثة أمثاله، فإن طول الضلع الجديد هو: $٦ = {٣} \times {٢}$.

مساحة المربع الجديد ستكون: $٣٦ = {٦} \times {٦}$.

مقدار الزيادة الفعلية في المساحة هو: $٣٢ = {٤} – {٣٦}$.

نسبة الزيادة المئوية تُحسب بقسمة مقدار الزيادة على المساحة الأصلية والضرب في مائة.

العملية الحسابية: $٪٨٠٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{٣٢}{٤}}$.

والإجابة هي $٪٨٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تتبع الزيادة التراكمية سنة بعد سنة بافتراض قيمة ابتدائية.

نفترض أن سعر السلعة الأصلي هو $١٠٠$ ريال.

في السنة الأولى، تزداد السلعة بنسبة $١٠$٪، ليصبح السعر ${١١٠} = {١٠} + {١٠٠}$ ريال.

في السنة الثانية، تزداد بنسبة $١٠$٪ من السعر الجديد، ومقدار الزيادة هو ${١١} = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {١١٠}$ ريال.

السعر بعد السنة الثانية يصبح ${١٢١} = {١١} + {١١٠}$ ريال.

في السنة الثالثة، تزداد بنسبة $١٠$٪ مرة أخرى، ومقدار الزيادة هو ${١٢،١} = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {١٢١}$ ريال.

السعر النهائي بعد ثلاث سنوات يصبح ${١٣٣،١} = {١٢،١} + {١٢١}$ ريال.

نحسب نسبة الزيادة الإجمالية بطرح السعر الأصلي من السعر النهائي: $٣٣،١ = {١٠٠} – {١٣٣،١}$.

نظراً لأن السعر الأصلي كان $١٠٠$، فإن مقدار الزيادة يمثل النسبة المئوية مباشرة.

والإجابة هي $٣٣،١$٪.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الربح المركب لحساب القيمة المستقبلية لسلعة تتزايد بنسبة ثابتة.

ينص قانون الزيادة المركبة على أن القيمة النهائية تساوي القيمة الأصلية مضروبة في قوس واحد زائد النسبة، والكل مرفوع لأس عدد السنوات.

الصيغة الرمزية للقانون: القيمة النهائية تساوي ${س} \times {}^{٣}(٠،١٠ + ١)$ حيث $س$ هو السعر الأصلي و $ر$ هي النسبة و $ن$ عدد السنوات.

نقوم بالتعويض في القانون: القيمة النهائية تساوي ${س} \times {}^{٣}(٠،١٠ + ١)$.

نجمع ما بداخل الأقواس أولاً: القيمة النهائية تساوي ${س} \times {}^{٣}(١،١)$.

نحسب مكعب العدد $١،١$ والذي يساوي $١،٣٣١$.

إذن القيمة النهائية تصبح ${س}١،٣٣١$.

الزيادة عن السعر الأصلي الذي يمثله $١س$ هي الجزء العشري $٠،٣٣١$.

لتحويل القيمة إلى نسبة مئوية، نضرب في مئة لتصبح النسبة الإجمالية ${٣٣،١} = {١٠٠} \times {٠،٣٣١}$٪.

والإجابة هي $٣٣،١$٪.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب سعر التكلفة الأصلي للثلاجة أولاً ثم إضافة هامش الربح الجديد المراد تحقيقه.

سعر البيع الأول البالغ $٣٦٠٠$ ريال يتضمن ربحاً قدره $٪٢٠$، مما يعني رياضيًا أنه يمثل نسبة $٪١٢٠$ من السعر الأصلي.

نحسب سعر التكلفة الأصلي بقسمة سعر البيع الإجمالي على النسبة الإجمالية.

$٣٠٠٠ = \dfrac{١٠٠}{١٢٠} \times {٣٦٠٠}$

الآن، لحساب سعر البيع الجديد مع هامش ربح بنسبة $٪٥$، فإننا نبحث عن السعر الذي يمثل نسبة $٪١٠٥$ من تكلفة الأساس.

نحسب سعر البيع الجديد بضرب التكلفة الأصلية للثلاجة في النسبة الإجمالية الجديدة.

$٣١٥٠ = \dfrac{١٠٥}{١٠٠} \times {٣٠٠٠}$

والإجابة هي $٣١٥٠$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تطبيق الضرب التبادلي المباشر للتناسب بين الأسعار والنسب المئوية الإجمالية.

نضع التناسب الرياضي: السعر المالي الأول يقابله نسبته الإجمالية، والسعر الثاني المجهول الممثل بالمتغير $س$ يقابله نسبته الإجمالية.

السعر $٣٦٠٠$ يقابله رياضياً نسبة $٪١٢٠$.

السعر المجهول $س$ يقابله رياضياً النسبة المستهدفة $٪١٠٥$.

نضرب طرفين في وسطين لإيجاد قيمة المتغير المجهول $س$.

$س = \dfrac{{١٠٥} \times {٣٦٠٠}}{١٢٠}$

نبسط الكسر بقسمة $٣٦٠٠$ على المقام $١٢٠$، مما يعطي ناتجاً مبسطاً مقداره $٣٠$.

نضرب الناتج المبسط في بسط النسبة المستهدفة لاستخراج السعر.

$٣١٥٠ = {١٠٥} \times {٣٠}$

والإجابة هي $٣١٥٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية للانخفاض عبر إيجاد مقدار النقص ثم قسمته على القيمة الأصلية وضربه في مئة.

نحسب مقدار الانخفاض في السرعة بطرح السرعة الجديدة من الأصلية:

$١٥ = {٣٥} – {٥٠}$

نكتب قانون النسبة المئوية للانخفاض كمعادلة رمزية:

$ن = ١٠٠ \times \dfrac{خ}{ص}$

حيث (ن) النسبة المئوية، و(خ) مقدار الانخفاض، و(ص) القيمة الأصلية.

نعوض بالقيم المستخرجة في القانون:

$٪٣٠ = ١٠٠ \times \dfrac{١٥}{٥٠}$

والإجابة هي $٪٣٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التناسب الطردي لحساب النسبة المئوية للانخفاض.

نوجد الفرق بين السرعة الأصلية والسرعة الجديدة:

$١٥ = {٣٥} – {٥٠}$

نربط السرعة الأصلية بالنسبة الكاملة:

$٪١٠٠ \leftarrow {٥٠}$

ونربط مقدار الانخفاض بالنسبة المجهولة:

$س \leftarrow {١٥}$

نحسب المجهول باستخدام الضرب التبادلي:

$س = ١٠٠ \times \dfrac{١٥}{٥٠}$

$٣٠ = س$

والإجابة هي $٪٣٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية للخصم الإجمالي بمقارنة قيمة الخصم الفعلي مع إجمالي السعر الأصلي.

نحسب السعر الإجمالي للسجادتين قبل أي خصم:

$١٠٠٠ = {٤٠٠} + {٦٠٠}$

نحسب مقدار الخصم على السجادة الثانية بنسبة النصف:

$٢٠٠ = {٤٠٠} \times \dfrac{٥٠}{١٠٠}$

نكتب قانون النسبة المئوية للخصم الإجمالي كمعادلة رمزية:

$ن = ١٠٠ \times \dfrac{خ}{م}$

حيث (ن) النسبة المئوية، و(خ) مقدار الخصم، و(م) السعر الإجمالي.

نعوض بقيمة الخصم والسعر الإجمالي:

$٪٢٠ = ١٠٠ \times \dfrac{٢٠٠}{١٠٠٠}$

والإجابة هي $٪٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تحليل القيم المدفوعة ومقارنتها بالقيم الأصلية لإيجاد نسبة الخصم باستخدام التناسب.

نحسب إجمالي السعر الأصلي للسجادتين:

$١٠٠٠ = {٤٠٠} + {٦٠٠}$

نحسب ما تم دفعه فعلياً بعد خصم نصف سعر السجادة الثانية:

$٨٠٠ = {٢٠٠} + {٦٠٠}$

نحسب مقدار الخصم الإجمالي بطرح المدفوع من الأصلي:

$٢٠٠ = {٨٠٠} – {١٠٠٠}$

نستخدم التناسب بين مقدار الخصم والسعر الإجمالي:

$س = ١٠٠ \times \dfrac{٢٠٠}{١٠٠٠}$

$٢٠ = س$

والإجابة هي $٪٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب سعر الشراء الأصلي بمعلومية ثمن البيع ونسبة الربح باستخدام التناسب المئوي.

نعلم أن ثمن البيع يمثل السعر الأصلي مضافاً إليه نسبة الربح:

$٪١٢٥ = {٪٢٥} + {٪١٠٠}$

نكتب قانون السعر الأصلي بدلالة ثمن البيع ونسبة الزيادة كمعادلة رمزية:

$ص = ١٠٠ \times \dfrac{ث}{ن}$

حيث (ص) السعر الأصلي، و(ث) ثمن البيع، و(ن) النسبة المئوية الإجمالية.

نعوض بالقيم المتاحة في القانون:

$٢٨٨٠ = ١٠٠ \times \dfrac{٣٦٠٠}{١٢٥}$

والإجابة هي $٢٨٨٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام الضرب التبادلي بناءً على تناسب سعر البيع مع النسبة المئوية الإجمالية.

تمثل النسبة المئوية لثمن البيع السعر الأصلي مضافاً إليه الربح:

$٪١٢٥ \leftarrow {٣٦٠٠}$

وتمثل النسبة المئوية للسعر الأصلي نسبة مئة كاملة:

$٪١٠٠ \leftarrow {س}$

نطبق الضرب التبادلي لاستخراج قيمة س:

$س = ١٠٠ \times \dfrac{٣٦٠٠}{١٢٥}$

نبسط العملية الحسابية للوصول للناتج:

$٢٨٨٠ = س$

والإجابة هي $٢٨٨٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب التكلفة الإجمالية لكل حالة شرائية على حدة ثم إيجاد الفارق المالي بينهما.

الحالة الأولى تمثل شراء $١٥$ علبة بدون أي خصم، لأن العدد الإجمالي أقل من الحد الأدنى المطلوب للخصم.

التكلفة الإجمالية للحالة الأولى تساوي عدد العلب مضروباً في سعر العلبة الفردية.

$٦٠٠ = {٤٠} \times {١٥}$

الحالة الثانية تمثل شراء $٢٠$ علبة مع استحقاق خصم مقداره $٪١٥$ من الإجمالي.

نحسب التكلفة الإجمالية للحالة الثانية قبل تطبيق أي خصم.

$٨٠٠ = {٤٠} \times {٢٠}$

نحسب قيمة الخصم المالي المستحق للحالة الثانية بضرب التكلفة في نسبة الخصم.

$١٢٠ = \dfrac{١٥}{١٠٠} \times {٨٠٠}$

التكلفة الإجمالية للحالة الثانية تساوي التكلفة الأساسية مطروحاً منها قيمة الخصم.

$٦٨٠ = {١٢٠} – {٨٠٠}$

الفارق المالي يساوي التكلفة النهائية للحالة الثانية مطروحاً منها التكلفة النهائية للحالة الأولى.

$٨٠ = {٦٠٠} – {٦٨٠}$

والإجابة هي $٨٠$ ريالاً

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب سعر العلبة المخفض أولاً لتسهيل إجراء المقارنة الإجمالية.

تكلفة $١٥$ علبة بالسعر الأساسي تُحسب بضرب العدد في السعر الفردي.

$٦٠٠ = {٤٠} \times {١٥}$

في الحالة الثانية، بما أن نسبة الخصم $٪١٥$، فإن المشتري يدفع مكملة النسبة المئوية وهي $٪٨٥$ من السعر الأساسي للعلبة.

سعر العلبة الواحدة بعد الخصم يساوي السعر الأصلي مضروباً في الكسر الممثل لمكملة النسبة.

$٣٤ = \dfrac{٨٥}{١٠٠} \times {٤٠}$

تكلفة $٢٠$ علبة بالسعر المخفض تُحسب بضرب العدد الإجمالي في السعر الجديد للعلبة.

$٦٨٠ = {٣٤} \times {٢٠}$

نحسب الفارق المالي بطرح التكلفة الأولى من التكلفة الثانية.

$٨٠ = {٦٠٠} – {٦٨٠}$

والإجابة هي $٨٠$ ريالاً

تكنيك ١: الحساب الكلي للأجزاء المتطابقة

المفهوم الرياضي: النسبة هي علاقة رياضية تمثل الجزء إلى الكل. يجب أولاً معرفة العدد الإجمالي للوحدات المتساوية.

لدينا مستطيل أساسي يحتوي على $٣$ مربعات متطابقة، وكل مربع من هذه المربعات تم تقسيمه إلى $٢٥$ جزءاً صغيراً.

العدد الكلي للأجزاء الصغيرة داخل المستطيل هو: $٧٥ = {٢٥} \times {٣}$ جزءاً.

يشير المعطى في السؤال إلى أن عدد الأجزاء المظللة هو جزء واحد فقط من هذه الأجزاء.

للتعبير عن النسبة بين الجزء المظلل إلى جميع الأجزاء، نضع المظلل كحد أول والكل كحد ثانٍ، لتصبح $١$ إلى $٧٥$.

تُكتب هذه النسبة جبرياً وبصرياً بصيغة: $٧٥ : ١$.

والإجابة هي $٧٥ : ١$.

تكنيك ٢: ضرب الكسور الجزئية

المفهوم الرياضي: حساب النسبة الإجمالية من خلال ضرب نسبة المربع الواحد في نسبة الجزء المظلل داخله.

المستطيل يمثل وحدة قياسية كاملة قيمتها $١$. مساحة المربع الواحد تمثل ثلث المساحة الكلية للمستطيل، أي ${\dfrac{١}{٣}}$.

داخل هذا المربع، الجزء المظلل يمثل واحداً من أصل $٢٥$ جزءاً، أي أن نسبته هي ${\dfrac{١}{٢٥}}$ من المربع المستقل.

لإيجاد نسبة هذا الجزء الدقيق من المستطيل الكلي الأكبر، نقوم بضرب النسبتين معاً.

النسبة الكلية تُحسب كالتالي: ${\dfrac{١}{٧٥}} = {\dfrac{١}{٢٥}} \times {\dfrac{١}{٣}}$.

وتُكتب هذه النسبة الكسرية بصيغة التناسب المعتادة: $٧٥ : ١$.

والإجابة هي $٧٥ : ١$.

تكنيك ١: استخراج النسبة المتبقية وربطها بالقيمة

المفهوم الرياضي: تحديد نسبة الشريك الثالث لمساواتها بقيمتها المالية واستخراج الإجمالي.

نحسب أولاً مجموع ما حصل عليه الشريكان الأول والثاني بجمع نسبتيهما.

مجموع نسبة الأول والثاني هو: $٪٧٠ = {٪٤٢} + {٪٢٨}$.

بما أن الإجمالي يمثل مائة بالمائة، نستخرج نسبة الشريك الثالث وهي مكملة النسبة.

نسبة الشريك الثالث هي: $٪٣٠ = {٪٧٠} – {٪١٠٠}$.

هذه النسبة $٪٣٠$ تعادل فعلياً مبلغ $٣٦٠٠٠$ ريال من إجمالي الأرباح الذي سنرمز له بـ $س$.

نصيغ المعادلة الجبرية: $٣٦٠٠٠ = {س} \times {\dfrac{٣٠}{١٠٠}}$.

لإيجاد قيمة المتغير الكلية، نضرب الطرف الآخر في مقلوب الكسر.

المعادلة تصبح: $١٢٠٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٣٠}} \times {٣٦٠٠٠}$.

والإجابة هي $١٢٠٠٠٠$

تكنيك ٢: التدرج المنتظم والتناسب

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم للوصول من قيمة النسبة الجزئية إلى القيمة الكلية.

النسبة المتبقية للشريك الثالث كما تم حسابها هي $٪٣٠$، وقيمتها هي $٣٦٠٠٠$ ريال.

بقسمة الطرفين على العدد ثلاثة، نستنتج أن نسبة $٪١٠$ تعادل $١٢٠٠٠$ ريال.

للوصول إلى النسبة الكلية وهي $٪١٠٠$، نضرب الطرفين في العدد عشرة.

بضرب $١٢٠٠٠$ في عشرة، نحصل على الناتج النهائي.

المبلغ الإجمالي للأرباح هو: $١٢٠٠٠٠ = {١٠} \times {١٢٠٠٠}$.

والإجابة هي $١٢٠٠٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب القيمتين النهائيتين للسلعة ومقارنتهما بافتراض قيمة ابتدائية.

نفترض أن قيمة السلعة الأصلية تبلغ $١٠٠$ ريال.

نحسب القيمة الأولى والتي تمثل القيمة النهائية للسلعة بعد تخفيض $١٠$٪ ثم $١٠$٪.

بعد التخفيض الأول بنسبة $١٠$٪، تصبح قيمة السلعة ${٩٠} = {١٠} – {١٠٠}$ ريال.

نحسب التخفيض الثاني بنسبة $١٠$٪ من القيمة الجديدة، وهو يساوي ${٩} = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٩٠}$ ريال.

القيمة النهائية للسلعة في الحالة الأولى تصبح ${٨١} = {٩} – {٩٠}$ ريال.

نحسب القيمة الثانية والتي تمثل قيمة نفس السلعة بعد تخفيض دفعة واحدة بنسبة $٢٠$٪.

قيمة التخفيض تساوي ${٢٠} = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times {١٠٠}$ ريال.

القيمة النهائية للسلعة في الحالة الثانية تصبح ${٨٠} = {٢٠} – {١٠٠}$ ريال.

نقارن بين القيمة الأولى وهي $٨١$ والقيمة الثانية وهي $٨٠$.

العدد $٨١$ أكبر من العدد $٨٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام قانون التخفيض المتتالي لمعرفة نسبة التخفيض الصافية والمقارنة المنطقية.

نسبة التخفيض في القيمة الأولى تُحسب بقانون التخفيض المتتالي: مجموع النسبتين ناقص حاصل ضربهما على $١٠٠$.

بناءً على القاعدة، نسبة التخفيض الصافية للقيمة الأولى هي $١٩$٪.

نسبة التخفيض للقيمة الثانية معطاة صراحة وهي $٢٠$٪ دفعة واحدة.

نستنتج أن السلعة في القيمة الأولى فقدت $١٩$٪ فقط من قيمتها، بينما في القيمة الثانية فقدت $٢٠$٪ من قيمتها.

بما أن السلعة في القيمة الأولى تعرضت لنسبة اقتطاع أقل، فإن قيمتها النهائية المتبقية ستكون حتماً أعلى.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد النسبة المئوية لقيمة مضافة بمعلومية القيمة الأصلية وقيمة الزيادة.

نكتب قانون النسبة المئوية للزيادة المباشر كمعادلة رمزية:

$ن = ١٠٠ \times \dfrac{ز}{ص}$

حيث (ن) النسبة المئوية، و(ز) قيمة الزيادة، و(ص) القيمة الأصلية.

نعوض بقيمة الزيادة والقيمة الأصلية في القانون:

$٪٥٠٠ = ١٠٠ \times \dfrac{٤٨٠}{٩٦}$

والإجابة هي $٪٥٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق التناسب المباشر لإيجاد النسبة المئوية للزيادة.

نمثل القيمة الأصلية بالنسبة المئوية الكاملة:

$٪١٠٠ \leftarrow {٩٦}$

ونمثل قيمة الزيادة بالنسبة المجهولة:

$س \leftarrow {٤٨٠}$

نطبق قاعدة الضرب التبادلي لحساب المجهول:

$س = ١٠٠ \times \dfrac{٤٨٠}{٩٦}$

بتبسيط الكسر نجد قيمة س:

$٥٠٠ = س$

والإجابة هي $٪٥٠٠$

تكنيك ١: حساب القيمة المتبقية من النسبة المئوية

المفهوم الرياضي: حساب السعر المدفوع بضرب العدد في النسبة المتبقية من السعر الأصلي بعد الخصم.

نفرض أن سعر الجوال الأصلي قبل الخصم يمثل المتغير $س$.

بالنسبة للجوالين الأولين، نسبة الخصم هي $٪٢٠$، لذا فإن النسبة المتبقية التي تم دفعها هي مكملة النسبة للعدد مائة، وهي $٪٨٠$.

نحسب القيمة المدفوعة للجوالين عبر ضرب العدد في النسبة المتبقية: $س١،٦ = {س٠،٨} \times {٢}$.

بالنسبة للجوالات الأربعة، نسبة الخصم هي $٪٤٠$، لذا فإن النسبة المتبقية التي تم دفعها هي مكملة النسبة للعدد مائة، وهي $٪٦٠$.

نحسب القيمة المدفوعة للجوالات الأربعة عبر ضرب العدد في النسبة المتبقية: $س٢،٤ = {س٠،٦} \times {٤}$.

نجمع القيمتين للحصول على إجمالي ما تم دفعه بدلالة المتغير: $س٤ = {س٢،٤} + {س١،٦}$.

نعلم من معطيات السؤال أن إجمالي ما دفعه الرجل هو $٦٠٠٠$ ريال.

نصيغ المعادلة بمساواة الإجمالي الجبري مع المبلغ الفعلي: $٦٠٠٠ = {س٤}$.

بقسمة الطرفين على المعامل لاستخراج قيمة المتغير: $١٥٠٠ = {\dfrac{٦٠٠٠}{٤}}$.

والإجابة هي $١٥٠٠$

تكنيك ٢: تحويل النسب إلى كسور اعتيادية

المفهوم الرياضي: استخدام الكسور الاعتيادية لتسهيل العمليات الحسابية بدلاً من الكسور العشرية.

نسبة ما دفعه في الجوالين هي $٪٨٠$ والتي تعادل الكسر الاعتيادي ${\dfrac{٤}{٥}}$.

إجمالي ما دفعه للجوالين هو ${\dfrac{س٨}{٥}} = {\dfrac{س٤}{٥}} \times {٢}$.

نسبة ما دفعه في الجوالات الأربعة هي $٪٦٠$ والتي تعادل الكسر الاعتيادي ${\dfrac{٣}{٥}}$.

إجمالي ما دفعه للجوالات الأربعة هو ${\dfrac{س١٢}{٥}} = {\dfrac{س٣}{٥}} \times {٤}$.

نجمع الكسرين للحصول على المجموع الكلي: ${\dfrac{س٢٠}{٥}} = {\dfrac{س١٢}{٥}} + {\dfrac{س٨}{٥}}$.

بتبسيط الكسر نجد أن المجموع هو $س٤$.

نساوي المجموع بالمبلغ المعطى: $٦٠٠٠ = {س٤}$.

بقسمة الطرفين على أربعة: $١٥٠٠ = {\dfrac{٦٠٠٠}{٤}}$.

والإجابة هي $١٥٠٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب التسلسل المالي لكل مسار خطوة بخطوة للوصول للخصم الإجمالي الدقيق.

نحسب مسار القيمة الأولى بتطبيق التخفيض النسبي أولاً على السعر الأصلي للسلعة.

مقدار التخفيض النسبي يعادل $٪٢٠$ من السعر الأصلي البالغ $٢٠٠٠$ ريال.

$٤٠٠ = \dfrac{٢٠}{١٠٠} \times {٢٠٠٠}$

إجمالي التخفيض للقيمة الأولى يعادل الخصم النسبي مضافاً إليه الخصم النقدي الإضافي الثابت.

$٦٠٠ = {٢٠٠} + {٤٠٠}$

نحسب مسار القيمة الثانية بتطبيق الخصم النقدي الثابت أولاً على السعر الأصلي.

السعر المتبقي بعد الخصم النقدي يساوي السعر الأصلي مطروحاً منه الخصم.

$١٨٠٠ = {٢٠٠} – {٢٠٠٠}$

نطبق التخفيض النسبي وقدره $٪٢٠$ على السعر المتبقي الجديد.

$٣٦٠ = \dfrac{٢٠}{١٠٠} \times {١٨٠٠}$

إجمالي التخفيض للقيمة الثانية يعادل الخصم النقدي الثابت مضافاً إليه التخفيض النسبي الجديد.

$٥٦٠ = {٣٦٠} + {٢٠٠}$

بمقارنة إجمالي التخفيضين، القيمة الأولى تمثل تخفيضاً بمقدار $٦٠٠$ ريال، والقيمة الثانية $٥٦٠$ ريالاً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استنتاج الفارق المنطقي بناءً على قاعدة حجم الأساس الرياضي للنسبة.

في مسار القيمة الأولى، التخفيض النسبي البالغ $٪٢٠$ يُحسب مباشرة من المبلغ الكلي وهو $٢٠٠٠$ ريال.

هذا المسار ينتج عنه تخفيض مبدئي كبير نظراً لكبر حجم الأساس المالي الذي تُحسب منه النسبة.

في مسار القيمة الثانية، يتم خصم $٢٠٠$ ريال أولاً، مما يقلص حجم الأساس المالي الذي ستُحسب منه النسبة لاحقاً.

بما أن النسبة $٪٢٠$ تُحسب في القيمة الثانية من أساس مالي أصغر وهو $١٨٠٠$ ريال، فإن نتيجتها ستكون أصغر رياضياً بالضرورة.

الخصم النقدي الثابت البالغ $٢٠٠$ ريال موجود كقيمة ثابتة في كلتا الحالتين ولا يغير ميزان المقارنة النهائي.

بما أن التخفيض النسبي في الحالة الأولى أُخذ من أساس أكبر، فإن إجمالي الخصم في القيمة الأولى يكون هو الأكبر حتماً.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١: افتراض قيم عددية

المفهوم الرياضي: استخدام أرقام افتراضية سهلة (مثل مضاعفات المئة) لتسهيل حساب النسب المئوية في المسائل المجردة.

نفترض أن إجمالي عدد موظفي الشركة (أ) هو $١٠٠$ موظف.

نسبة الموظفين غير السعوديين في الشركة (أ) هي $\%٣٠$.

عدد غير السعوديين في (أ) = ${٣٠} = {١٠٠} \times {\dfrac{٣٠}{١٠٠}}$

من المعطيات، عدد موظفي الشركة (ب) يبلغ نصف عدد موظفي الشركة (أ).

عدد موظفي الشركة (ب) = ${٥٠} = {٢} \div {١٠٠}$

نسبة الموظفين غير السعوديين في الشركة (ب) هي $\%٤٠$.

عدد غير السعوديين في (ب) = ${٢٠} = {٥٠} \times {\dfrac{٤٠}{١٠٠}}$

نحسب الآن المجموع الكلي للموظفين في الشركتين.

إجمالي الموظفين = ${١٥٠} = {٥٠} + {١٠٠}$

نحسب المجموع الكلي لغير السعوديين في الشركتين.

إجمالي غير السعوديين = ${٥٠} = {٢٠} + {٣٠}$

نقسم إجمالي غير السعوديين على إجمالي الموظفين ونضرب في $١٠٠$ لاستخراج النسبة المئوية.

النسبة المئوية = $\%٣٣ {\dfrac{١}{٣}} = {١٠٠} \times {\dfrac{٥٠}{١٥٠}}$

والإجابة هي $\%٣٣ {\dfrac{١}{٣}}$

تكنيك ٢: المتوسط الموزون للنسب

المفهوم الرياضي: يمكن إيجاد النسبة الإجمالية باستخدام المتوسط المرجح بناءً على حجم كل مجموعة.

الشركة (أ) تمثل ضعف الشركة (ب) في عدد الموظفين، أي بنسبة $١ : ٢$ على الترتيب.

نضرب نسبة غير السعوديين في الشركة (أ) في وزنها النسبي (وهو $٢$).

قيمة الشركة (أ) الموزونة = ${٦٠} = {٢} \times {٣٠}$

نضرب نسبة غير السعوديين في الشركة (ب) في وزنها النسبي (وهو $١$).

قيمة الشركة (ب) الموزونة = ${٤٠} = {١} \times {٤٠}$

نجمع القيمتين الموزونتين.

المجموع الموزون = ${١٠٠} = {٤٠} + {٦٠}$

نقسم المجموع الموزون على مجموع الأوزان ($٣ = ١ + ٢$).

النسبة الإجمالية = ${٣٣ \dfrac{١}{٣}} = {٣} \div {١٠٠}$

والإجابة هي $\%٣٣ {\dfrac{١}{٣}}$

تكنيك ١: دمج المشتريات والحل العكسي الموحد

المفهوم الرياضي: المبالغ المدفوعة تمثل النسبة المتبقية بعد تطبيق الخصم، ويمكن جمعها للتعامل معها كقيمة رياضية واحدة.

إجمالي ما دفعه أحمد فعلياً بعد الخصم هو مجموع سعر الجوال وسعر الساعة.

إجمالي المدفوعات هو: $١١٨٨ = {٥٤٠} + {٦٤٨}$ ريال.

بما أن الخصم المعطى كان بنسبة $\%١٠$، فإن المبلغ المدفوع أعلاه يعادل $\%٩٠$ من السعر الأصلي الإجمالي.

النسبة المتبقية رياضياً تُحسب كالتالي: $\%٩٠ = {\%١٠} – {\%١٠٠}$.

لإيجاد السعر الأصلي الكامل قبل الخصم، نضرب المبلغ المدفوع في مقلوب النسبة المئوية.

السعر قبل الخصم هو: $١٣٢٠ = {\dfrac{١٠٠}{٩٠}} \times {١١٨٨}$ ريال.

والإجابة هي $١٣٢٠$.

تكنيك ٢: التدرج المنتظم للنسبة الإجمالية

المفهوم الرياضي: مساواة المبلغ الإجمالي المدفوع بنسبته ثم الصعود تدريجياً للوصول للمبلغ الكامل.

علمنا من الخطوة السابقة أن إجمالي ما دفعه هو $١١٨٨$ ريالاً، وهو يمثل نسبة $\%٩٠$.

بقسمة الطرفين رياضياً على $٩$، نحصل على قيمة الـ $\%١٠$ كخطوة وسيطة.

قيمة الـ $\%١٠$ تعادل: $١٣٢ = {٩} \div {١١٨٨}$ ريال.

بما أن المبلغ قبل الخصم يمثل النسبة الكاملة $\%١٠٠$، نقوم بضرب الناتج في $١٠$.

المبلغ الإجمالي الأصلي هو: $١٣٢٠ = {١٠} \times {١٣٢}$ ريال.

والإجابة هي $١٣٢٠$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون الخصومات المتتالية.

قانون الخصمين المتتاليين يساوي مجموع الخصمين مطروحاً منه حاصل ضربهما مقسوماً على مائة.

نفرض أن الخصم الأول هو خمسون والخصم الثاني هو عشرة.

الخصم الإجمالي = ${\dfrac{{١٠} \times {٥٠}}{١٠٠}} – {١٠} + {٥٠}$

نبسط الكسر بضرب خمسين في عشرة مقسوماً على مائة.

الخصم الإجمالي = $٥ – {١٠} + {٥٠}$

نجمع ونطرح الحدود.

الخصم الإجمالي = $٪٥٥ = {٥} – {٦٠}$

والإجابة هي $٪٥٥$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض قيمة ابتدائية لتسهيل الحساب المئوي.

نفرض أن سعر المنتج الأصلي هو مائة ريال.

الخصم الأول هو نصف السعر، أي خمسون بالمائة من مائة.

السعر بعد الخصم الأول = $٥٠ = {\dfrac{٥٠}{١٠٠}} \times {١٠٠}$

الخصم الثاني بنسبة عشرة بالمائة يطبق على السعر الجديد.

قيمة الخصم الثاني = $٥ = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٥٠}$

السعر النهائي للمنتج يساوي السعر بعد الخصم الأول مطروحاً منه قيمة الخصم الثاني.

السعر النهائي = $٤٥ = {٥} – {٥٠}$

نسبة الخصم الإجمالية تساوي السعر الأصلي مطروحاً منه السعر النهائي.

نسبة الخصم = $٪٥٥ = {٤٥} – {١٠٠}$

والإجابة هي $٪٥٥$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب الأجزاء من الكل باستخدام النسب المئوية.

نجد أولاً عدد مقاعد الدرجة السياحية بطرح مقاعد رجال الأعمال من الإجمالي.

مقاعد السياحية = $٢٨٠ = {٤٠} – {٣٢٠}$

نحسب المقاعد الشاغرة لرجال الأعمال بضرب العدد الكلي في نسبة الشغور.

شاغر رجال الأعمال = $٨ = {\dfrac{٢٠}{١٠٠}} \times {٤٠}$

نحسب المقاعد الشاغرة للدرجة السياحية بضرب عددها في نسبة شغورها.

شاغر السياحية = $٢٨ = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٢٨٠}$

نجمع المقاعد الشاغرة من الفئتين للحصول على المجموع الكلي.

إجمالي الشاغر = $٣٦ = {٢٨} + {٨}$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التدرج المنتظم لإيجاد الأجزاء.

مقاعد رجال الأعمال تمثل مائة بالمائة بالنسبة لفئتها.

$٪١٠٠ \leftarrow ٤٠$

نقسم على عشرة لإيجاد نسبة عشرة بالمائة.

$٪١٠ \leftarrow ٤$

نضرب في اثنين لإيجاد عشرين بالمائة وهي المقاعد الشاغرة لرجال الأعمال.

$٪٢٠ \leftarrow ٨$

عدد مقاعد السياحية هو مائتان وثمانون ويمثل مائة بالمائة لفئته.

$٪١٠٠ \leftarrow ٢٨٠$

نقسم على عشرة لإيجاد عشرة بالمائة وهي المقاعد الشاغرة للسياحية.

$٪١٠ \leftarrow ٢٨$

نجمع القيمتين.

إجمالي الشاغر = $٣٦ = {٢٨} + {٨}$

والإجابة هي $٣٦$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية للزيادة ثم إيجاد المتبقي بعد البيع.

لحساب مقدار الزيادة، نضرب الكمية الأصلية في نسبة الزيادة.

مقدار الزيادة = $١٠٠ = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {٤٠٠}$

الإنتاج الإجمالي بعد الزيادة هو حاصل جمع الكمية الأصلية مع مقدار الزيادة.

الإنتاج الإجمالي = $٥٠٠ = {١٠٠} + {٤٠٠}$

بما أن المزارع باع نصف الإجمالي، نقسم الإنتاج الإجمالي على اثنين.

الكمية المباعة = $٢٥٠ = {٢} \div {٥٠٠}$

الكمية المتبقية تساوي الإنتاج الإجمالي مطروحاً منه الكمية المباعة.

الكمية المتبقية = $٢٥٠ = {٢٥٠} – {٥٠٠}$

والإجابة هي $٢٥٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: حساب النسبة المئوية الإجمالية ككتلة واحدة.

الكمية الأصلية تمثل النسبة الكاملة وهي مائة بالمائة.

النسبة بعد الزيادة = $٪١٢٥ = {٪٢٥} + {٪١٠٠}$

نحسب الإجمالي بضرب الكمية الأصلية في النسبة الجديدة.

الإنتاج الإجمالي = $٥٠٠ = {\dfrac{١٢٥}{١٠٠}} \times {٤٠٠}$

المتبقي هو نصف الإجمالي، لذا نضرب الإجمالي في نصف.

الكمية المتبقية = $٢٥٠ = {\dfrac{١}{٢}} \times {٥٠٠}$

والإجابة هي $٢٥٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة الأصلية قبل الزيادة باستخدام التناسب وعلاقة الجزء بالكل.

نمثل الحجم بعد التجميد كنسبة مئوية إجمالية من الحجم الأصلي:

$٪١٠٤ = {٪٤} + {٪١٠٠}$

نكتب قانون الحجم الأصلي بناءً على النسبة الإجمالية كمعادلة رمزية:

$ح = ١٠٠ \times \dfrac{ج}{ن}$

حيث (ح) الحجم الأصلي، و(ج) الحجم بعد التجميد، و(ن) النسبة المئوية الإجمالية.

نعوض بقيمة الحجم بعد التجميد والنسبة:

$٢٠٠ = ١٠٠ \times \dfrac{٢٠٨}{١٠٤}$

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق الضرب التبادلي بين الحجوم ونسبها المئوية لاستخراج الحجم الأصلي.

يمثل الحجم بعد التجميد النسبة الأصلية مضافاً إليها الزيادة:

$٪١٠٤ \leftarrow {٢٠٨}$

ويمثل الحجم الأصلي النسبة المئوية الكاملة:

$٪١٠٠ \leftarrow {س}$

نستخدم الضرب التبادلي لإيجاد المجهول س:

$س = ١٠٠ \times \dfrac{٢٠٨}{١٠٤}$

بإجراء القسمة والضرب نحصل على الناتج:

$٢٠٠ = س$

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تحليل نسب الدفع الصافية لكل شخص بشكل مستقل بناءً على القيمة الفردية.

بالنسبة لأحمد، اشترى كل جهاز بخصم $٣٠$٪، أي أنه دفع مكملة الخصم وهي $٧٠$٪ لكل جهاز.

إجمالي ما يدفعه أحمد لجهازين يعادل: $١٤٠ = {٧٠} + {٧٠}$٪ من سعر الجهاز الواحد.

بالنسبة لمحمد، حصل على خصم قدره $٦٠$٪ على الأجهزة، مما يعني أنه يدفع مكملة الخصم وهي $٤٠$٪ لكل جهاز.

إجمالي ما يدفعه محمد لجهازين يعادل: $٨٠ = {٤٠} + {٤٠}$٪ من سعر الجهاز الواحد.

بمقارنة القيمة الأولى ($١٤٠$٪) بالقيمة الثانية ($٨٠$٪)، نجد أن ما دفعه أحمد أكبر بشكل واضح.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: فرض قيمة عددية لتبسيط المقارنة المباشرة.

نفرض أن السعر الأصلي للجهاز الواحد هو $١٠٠$ ريال لتسهيل التطبيق العملي.

أحمد يشتري كل جهاز بخصم $٣٠$٪، مما يعني أن سعر الجهاز له يصبح $٧٠$ ريالاً.

القيمة الأولى التي يمثلها ما دفعه أحمد تساوي $١٤٠ = {٧٠} + {٧٠}$ ريالاً.

محمد يشتري الجهازين بخصم $٦٠$٪ لكل منهما، مما يجعل سعر الجهاز الواحد له يبلغ $٤٠$ ريالاً.

القيمة الثانية التي يمثلها ما دفعه محمد تساوي $٨٠ = {٤٠} + {٤٠}$ ريالاً.

نلاحظ أن القيمة الأولى ($١٤٠$ ريالاً) أكبر من القيمة الثانية ($٨٠$ ريالاً).

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون الزيادة المركبة لحساب النسبة الإجمالية لزيادتين متتاليتين.

ينص القانون على أن النسبة الإجمالية تساوي مجموع النسبتين مضافاً إليه حاصل ضربهما مقسوماً على $١٠٠$.

نصيغ القانون رمزياً هكذا: النسبة الإجمالية تساوي ${\dfrac{ص \times س}{١٠٠}} + {ص} + {س}$ حيث $س$ و $ص$ يمثلان نسب الزيادة.

نقوم بالتعويض بقيم النسب المعطاة وهي $٢٠$ و $٥$.

المعادلة تصبح: النسبة الإجمالية تساوي ${\dfrac{٥ \times ٢٠}{١٠٠}} + {٥} + {٢٠}$.

نحسب حاصل الضرب في البسط أولاً: $١٠٠ = {٥} \times {٢٠}$.

نقسم الناتج على المقام: $١ = {\dfrac{١٠٠}{١٠٠}}$.

نجمع القيم معاً: $٢٦ = {١} + {٥} + {٢٠}$.

والإجابة هي $٢٦$٪.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض قيمة ابتدائية لتتبع التغيرات المتعاقبة بشكل حسابي مباشر.

نفترض أن السعر الأصلي للسلعة هو $١٠٠$ ريال.

نحسب مقدار الزيادة في السنة الأولى بنسبة $٢٠$٪.

السعر بعد السنة الأولى يصبح ${١٢٠} = {٢٠} + {١٠٠}$ ريال.

نحسب مقدار الزيادة في السنة الثانية بنسبة $٥$٪ من السعر الجديد.

مقدار الزيادة الثانية يساوي ${٦} = {\dfrac{٥}{١٠٠}} \times {١٢٠}$ ريال.

السعر النهائي بعد السنتين يصبح ${١٢٦} = {٦} + {١٢٠}$ ريال.

لمعرفة نسبة الزيادة الإجمالية، نطرح السعر الأصلي من السعر النهائي: $٢٦ = {١٠٠} – {١٢٦}$.

والإجابة هي $٢٦$٪.

تكنيك ١: حساب الإجمالي وطرح رأس المال

المفهوم الرياضي: استخراج إجمالي المبلغ المدفوع من خلال عدد الأشهر وقيمة القسط لتحديد الربح.

المدة الزمنية للتقسيط هي سنتان، والسنة الواحدة تحتوي على $١٢$ شهراً.

نحسب إجمالي عدد الأشهر بضرب السنتين في اثني عشر: $٢٤ = {١٢} \times {٢}$.

بما أن القسط الشهري هو $٥٠٠٠$ ريال، نضرب القسط في عدد الأشهر الإجمالي.

إجمالي ما سيدفعه المشتري هو: $١٢٠٠٠٠ = {٥٠٠٠} \times {٢٤}$.

نحسب مقدار ربح الشركة بطرح سعر السيارة الأصلي من إجمالي المبلغ المدفوع.

مقدار الربح الصافي: $٢٠٠٠٠ = {١٠٠٠٠٠} – {١٢٠٠٠٠}$.

نحسب نسبة الربح بقسمة مقدار الربح على سعر السيارة الأصلي وضرب الناتج في مائة.

العملية الحسابية للنسبة: $٪٢٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{٢٠٠٠٠}{١٠٠٠٠٠}}$.

والإجابة هي $٪٢٠$

تكنيك ٢: حساب الربح السنوي ومضاعفته

المفهوم الرياضي: استخراج المبلغ المدفوع في السنة الواحدة ثم إيجاد الربح وتعميمه.

المشتري يدفع $٥٠٠٠$ ريال شهرياً، لذا فإنه يدفع في السنة الواحدة المكونة من $١٢$ شهراً مبلغا وقدره: $٦٠٠٠٠ = {٥٠٠٠} \times {١٢}$.

وبما أن التقسيط على سنتين، فإن إجمالي الدفع هو: $١٢٠٠٠٠ = {٦٠٠٠٠} \times {٢}$.

الربح الكلي للشركة هو الفرق بين المدفوع والسعر الأصلي: $٢٠٠٠٠ = {١٠٠٠٠٠} – {١٢٠٠٠٠}$.

قيمة الربح $٢٠٠٠٠$ تمثل الخمس من المبلغ الأصلي $١٠٠٠٠٠$.

الخمس كنسبة مئوية يعادل الكسر ${\dfrac{١}{٥}}$ مضروباً في مائة.

النسبة المئوية: $٪٢٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{١}{٥}}$.

والإجابة هي $٪٢٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تتبع القيمة المتناقصة تدريجياً بافتراض قيمة ابتدائية مثالية.

نفترض أن أرباح الشركة الأصلية تبلغ $١٠٠$ وحدة.

في السنة الأولى انخفضت الأرباح بنسبة $١٠$٪.

قيمة الأرباح بعد السنة الأولى تصبح ${٩٠} = {١٠} – {١٠٠}$.

في السنة الثانية انخفضت الأرباح بنسبة $١٠$٪ إضافية تُحسب من القيمة الجديدة.

مقدار الانخفاض الثاني هو ${٩} = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٩٠}$.

قيمة الأرباح النهائية بعد السنتين تصبح ${٨١} = {٩} – {٩٠}$.

لحساب الانخفاض الإجمالي، نطرح الأرباح النهائية من الأرباح الأصلية.

مقدار الانخفاض الإجمالي هو ${١٩} = {٨١} – {١٠٠}$.

بما أن القيمة الأصلية هي $١٠٠$، فإن مقدار الانخفاض يمثل النسبة المئوية بشكل مباشر.

والإجابة هي $١٩$٪.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الانخفاض المتتالي لحساب النسبة الصافية.

قانون الانخفاضين المتتاليين هو: مجموع النسبتين مطروحاً منه حاصل ضربهما مقسوماً على $١٠٠$.

المعادلة الرمزية للقانون: الانخفاض الإجمالي يساوي ${\dfrac{ص \times س}{١٠٠}} – {ص} + {س}$.

نقوم بالتعويض بقيم الانخفاض المعطاة وهي $١٠$ و $١٠$.

المعادلة تصبح: الانخفاض الإجمالي يساوي ${\dfrac{١٠ \times ١٠}{١٠٠}} – {١٠} + {١٠}$.

نجمع النسبتين أولاً: $٢٠ = {١٠} + {١٠}$.

نحسب جزء الكسر: $١ = {\dfrac{١٠٠}{١٠٠}}$.

نطرح ناتج الكسر من المجموع لنحصل على النسبة الصافية: $١٩ = {١} – {٢٠}$.

والإجابة هي $١٩$٪.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حساب القيم الفعلية خطوة بخطوة للمقارنة بين السعرين.

السعر الأصلي للسلعة معطى وهو $٤٥٠٠$ ريال، وهذا يمثل القيمة الأولى.

نحسب مقدار التخفيض بنسبة $١٠$٪ من السعر الأصلي.

مقدار التخفيض يساوي ${٤٥٠} = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٤٥٠٠}$ ريال.

السعر بعد التخفيض يصبح ${٤٠٥٠} = {٤٥٠} – {٤٥٠٠}$ ريال.

نقوم الآن بحساب مقدار الزيادة بنسبة $١٠$٪ على السعر المخفض الجديد.

مقدار الزيادة يساوي ${٤٠٥} = {\dfrac{١٠}{١٠٠}} \times {٤٠٥٠}$ ريال.

السعر النهائي بعد الزيادة، والذي يمثل القيمة الثانية، يصبح ${٤٤٥٥} = {٤٠٥} + {٤٠٥٠}$ ريال.

نقارن بين القيمة الأولى $٤٥٠٠$ والقيمة الثانية $٤٤٥٥$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: القاعدة الثابتة للتغيرات المئوية المتساوية والمتعاكسة.

تنص القاعدة على أنه إذا تعرضت قيمة ما لتخفيض بنسبة معينة، ثم لزيادة بنفس النسبة، فإن القيمة النهائية تكون دائماً أقل من القيمة الأصلية.

نسبة التخفيض المعطاة هي $١٠$٪ ونسبة الزيادة هي $١٠$٪، وهما متساويتان.

الزيادة اللاحقة تُحسب من قيمة مخفضة مسبقاً، وبالتالي فإن مقدار الزيادة سيكون حتماً أقل من مقدار التخفيض الأولي.

بناءً على هذا الاستنتاج المنطقي، السعر النهائي سيكون أقل من السعر الأصلي.

القيمة الأولى تمثل السعر الأصلي الأكبر، والقيمة الثانية تمثل السعر النهائي الأقل.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: الحساب المباشر للقيمتين

المفهوم الرياضي: إيجاد الجزء من الكل عن طريق ضرب النسبة أو الكسر في القيمة الأصلية.

نقوم بحساب القيمة الأولى وهي ثلث درجة محمد.

درجة محمد هي $\%٩٠$.

القيمة الأولى = ${٣٠} = {\dfrac{١}{٣}} \times {٩٠}$

نقوم بحساب القيمة الثانية وهي نصف درجة هاني.

درجة هاني هي $\%٨٠$.

القيمة الثانية = ${٤٠} = {\dfrac{١}{٢}} \times {٨٠}$

نقارن بين النتيجتين المستخرجتين.

القيمة الثانية ($٤٠$) أكبر من القيمة الأولى ($٣٠$).

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ٢: التقدير الذهني

المفهوم الرياضي: يمكن الوصول للحل بمقارنة الكسور والأعداد تقريبياً دون حساب دقيق إذا كانت الفروق واضحة.

نلاحظ أن القيمة الأولى تتطلب قسمة العدد $٩٠$ على $٣$.

بينما القيمة الثانية تتطلب قسمة العدد $٨٠$ على $٢$.

القسمة على $٢$ (النصف) تبقي جزءاً كبيراً من العدد الأصلي مقارنة بالقسمة على $٣$ (الثلث).

العدد $٨٠$ قريب من $٩٠$، ونصفه سيكون بالتأكيد أكبر بكثير من ثلث العدد $٩٠$.

لذلك، القيمة الثانية تتفوق بشكل واضح.

والإجابة هي القيمة الثانية أكبر

تكنيك ١: التناسب الطردي المباشر

المفهوم الرياضي: محيط الدائرة يتناسب طردياً مع طول قطرها. بزيادة القطر تتسع الدائرة لعدد أكبر من الأشخاص بنفس النسبة.

بما أن القطر زاد بنسبة $\%١٠٠$، فهذا يعني أن طول القطر قد تضاعف بالكامل.

وبالتالي، فإن محيط الدائرة يتضاعف أيضاً، مما يسمح بجلوس ضعف العدد الأصلي من الأشخاص حولها.

العدد الجديد للأشخاص هو: $١٢ = {٢} \times {٦}$ أشخاص.

المطلوب في السؤال هو معرفة “عدد الأشخاص الإضافيين” فقط، لذا نقوم بطرح العدد الأصلي من العدد الجديد.

الزيادة في عدد الأشخاص هي: $٦ = {٦} – {١٢}$ أشخاص.

والإجابة هي $٦$.

تكنيك ٢: حساب التغير في المحيط والسعة

المفهوم الرياضي: استخدام العلاقة الرياضية بين التغير في القطر والسعة الاستيعابية.

القطر الأصلي المعطى هو $٢$ م، والسعة المقابلة له هي $٦$ أشخاص.

الزيادة بنسبة $\%١٠٠$ تعني إضافة $٢$ م أخرى، ليصبح القطر الجديد: $٤ = {٢} + {٢}$ م.

بما أن القطر أصبح $٤$ م (أي ضعف ما كان عليه)، فإن السعة ستصبح الضعف تبعاً للتناسب الطردي.

السعة الإجمالية الجديدة تساوي: $١٢ = {٢} \times {٦}$ شخصاً.

لمعرفة الزيادة المطلوبة بدقة، نطرح السعة القديمة من السعة الكلية الجديدة.

عدد الأشخاص الإضافيين يساوي: $٦ = {٦} – {١٢}$.

والإجابة هي $٦$.

تكنيك ١: فك المعادلة المتسلسلة

المفهوم الرياضي: حساب الطرف المعلوم أولاً، ثم مساواته بالطرف المجهول لاستخراج المتغير.

الطرف الأيسر من المعادلة هو حساب نسبة $٪٢٥$ من العدد $٨٠٠$.

نعلم أن هذه النسبة تعادل رُبع القيمة، فنضرب العدد في الكسر ${\dfrac{١}{٤}}$.

الطرف الأيسر يساوي: $٢٠٠ = {\dfrac{١}{٤}} \times {٨٠٠}$.

نساوي هذه القيمة بالطرف الأيمن الذي يمثل نسبة $٪٤٠$ من المتغير $س$.

المعادلة تصبح: $٢٠٠ = {س} \times {\dfrac{٤٠}{١٠٠}}$.

بتبسيط الكسر، نحصل على ${\dfrac{٢}{٥}}$، فنعيد كتابة المعادلة: $٢٠٠ = {س} \times {\dfrac{٢}{٥}}$.

لإيجاد قيمة المتغير، نضرب الطرف الآخر في مقلوب الكسر.

العملية الختامية: $٥٠٠ = {\dfrac{٥}{٢}} \times {٢٠٠} = {س}$.

والإجابة هي $٥٠٠$

تكنيك ٢: مساواة النسب والتبسيط المباشر

المفهوم الرياضي: كتابة المعادلة كاملة بالكسور وتبسيطها من الطرفين بضرب المقامات المتشابهة.

نصيغ المعادلة بالكامل رياضياً كما يلي: ${\dfrac{٤٠}{١٠٠}} \times {س} = {\dfrac{٢٥}{١٠٠}} \times {٨٠٠}$.

للتخلص من المقامات، نضرب طرفي المعادلة في العدد مائة.

تصبح المعادلة خالية من الكسور: ${س} \times {٤٠} = {٨٠٠} \times {٢٥}$.

الطرف الأيمن يعادل عشرين ألفاً، فالمعادلة هي: $٢٠٠٠٠ = {س} \times {٤٠}$.

بقسمة الطرفين على معامل المتغير وهو أربعون.

الناتج النهائي: $٥٠٠ = {\dfrac{٢٠٠٠٠}{٤٠}} = {س}$.

والإجابة هي $٥٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: استخدام النسبة المكملة لإيجاد الكل.

نسبة الطلاب الغائبين هي ستون بالمائة من الإجمالي.

نحسب النسبة المكملة للطلاب الحاضرين بطرح نسبة الغياب من مائة بالمائة.

نسبة الحضور = $٪٤٠ = {٪٦٠} – {٪١٠٠}$

هذه النسبة المكملة تعادل عدد الطلاب الحاضرين وهو اثنا عشر.

لإيجاد العدد الكلي، نضرب عدد الحضور في مقلوب نسبة الحضور.

العدد الكلي = $٣٠ = {\dfrac{١٠٠}{٤٠}} \times {١٢}$

والإجابة هي $٣٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم للوصول للنسبة الكاملة.

النسبة المكملة للحاضرين كما استنتجنا تمثل أربعين بالمائة وتعادل اثني عشر طالباً.

$٪٤٠ \leftarrow ١٢$

نقسم الطرفين على أربعة لإيجاد قيمة عشرة بالمائة.

$٪١٠ \leftarrow ٣$

نضرب الطرفين في عشرة للوصول إلى مائة بالمائة وهي العدد الكلي للطلاب.

$٪١٠٠ \leftarrow ٣٠$

والإجابة هي $٣٠$

تكنيك ١: استخدام الاحتمال المعطى كنسبة من الكل

المفهوم الرياضي: احتمال ظهور حدث معين يساوي عدد عناصر الحدث مقسوماً على فضاء العينة (وهو العدد الكلي للخيارات).

احتمال اختيار كرة خضراء يُعطى رياضياً بالقانون: الاحتمال = عدد الكرات الخضراء $\div$ العدد الكلي.

لدينا احتمال سحب الكرة الخضراء معطى كـ ${\dfrac{١}{٣}}$، وعدد الكرات الخضراء الفعلي هو $٨$ كرات.

نقوم بالتعويض في القانون الجبري: ${\dfrac{١}{٣}} = {\dfrac{٨}{س}}$، حيث يمثل المتغير $س$ العدد الكلي للكرات.

بحل المعادلة البسيطة، نضرب الطرفين في وسطين لإيجاد القيمة المجهولة للعدد الكلي.

العدد الكلي للكرات في الوعاء هو: $٢٤ = {٣} \times {٨}$ كرة.

ملاحظة رياضية هامة: المعطى الخاص باحتمال سحب الكرة الحمراء هو معطى إضافي مضلل، ولا نحتاجه للوصول إلى الحل المباشر والصحيح.

والإجابة هي $٢٤$.

تكنيك ٢: التناسب الذهني المباشر مع الاحتمال

المفهوم الرياضي: الاحتمال الكسري يمثل نسبة تعبر عن جزء محدد من الكل. يمكن إيجاد الكل عن طريق ضرب الجزء في مقلوب هذه النسبة.

احتمال الكرات الخضراء هو الثلث، ويُكتب برمجياً ككسر اعتيادي ${\dfrac{١}{٣}}$.

هذا يعني تحليلياً أن كل $٣$ كرات في الكيس تحتوي بالضرورة على كرة واحدة خضراء اللون.

بما أن التعداد الفعلي يؤكد وجود $٨$ كرات خضراء، فإننا نضرب هذا العدد في المقام لمعرفة العدد الكلي للأجزاء.

العدد الكلي المباشر هو: $٢٤ = {٣} \times {٨}$.

والإجابة هي $٢٤$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة جبرية لتمثيل المجموع الكلي للأسعار.

نفرض أن سعر تذكرة البالغ هو $س$. بناءً عليه، سعر تذكرة الطفل بعد خصم $٥٠$٪ هو نصف $س$، أي $س ٥،٠$.

الأسرة تتكون من بالغين اثنين (رجل وزوجته) وثلاثة أطفال.

المعادلة التي تمثل ما دفعوه: $١٤٠٠ = {س ٥،٠ \times ٣} + {س ٢}$.

بتبسيط المعادلة: $١٤٠٠ = {س ٥،١} + {س ٢}$، ومنه $١٤٠٠ = س ٥،٣$.

بقسمة الطرفين على $٥،٣$ لإيجاد قيمة $س$ (سعر تذكرة البالغ).

سعر التذكرة يساوي $٤٠٠ = {\dfrac{١٤٠٠٠}{٣٥}} = {\dfrac{١٤٠٠}{٥،٣}} = س$.

والإجابة هي $٤٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: توحيد الأجزاء النسبية لتسهيل الحساب.

سعر تذكرة البالغ يمثل جزأين كاملين، بينما تذكرة الطفل تمثل جزءاً واحداً (لأنها نصف السعر).

عدد الأجزاء للبالغين: رجل وزوجته يعادلان $٤ = {٢} \times {٢}$ أجزاء.

عدد الأجزاء للأطفال: ثلاثة أطفال يعادلون $٣ = {١} \times {٣}$ أجزاء.

مجموع الأجزاء الكلية للأسرة هو $٧ = {٣} + {٤}$ أجزاء.

قيمة الجزء الواحد (تذكرة الطفل) تساوي إجمالي المبلغ مقسوماً على عدد الأجزاء: $٢٠٠ = {٧} \div {١٤٠٠}$ ريال.

بما أن سعر تذكرة البالغ يمثل جزأين، نضرب قيمة الجزء في $٢$.

سعر تذكرة البالغ يساوي $٤٠٠ = {٢} \times {٢٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $٤٠٠$

تكنيك ١: استخدام قانون المتوسط الحسابي

المفهوم الرياضي: مجموع القيم يساوي المتوسط الحسابي مضروباً في عددها.

بما أن لدينا ثلاثة قطاعات (الخدمات، السياحة، التعليم)، ومتوسط نسبها هو $\%١٩$.

نقوم بحساب المجموع الكلي للنسب بضرب المتوسط في عدد القطاعات.

المجموع الكلي = ${٥٧} = {٣} \times {١٩}$

نجمع نسبتي قطاعي الخدمات والسياحة من المعطيات.

مجموع الخدمات والسياحة = ${٤٦} = {١٥} + {٣١}$

نقوم بطرح مجموع القطاعين المعلومين من المجموع الكلي لإيجاد النسبة المكملة لقطاع التعليم.

نسبة قطاع التعليم = ${١١} = {٤٦} – {٥٧}$

والإجابة هي $\%١١$

تكنيك ٢: استخدام التدرج المنتظم وطريقة الفروقات

المفهوم الرياضي: يمكن حساب القيمة الناقصة بمقارنة انحرافات القيم المعطاة عن المتوسط الحسابي.

المتوسط المطلوب لكل قطاع هو $\%١٩$.

قطاع السياحة نسبته $\%٣١$، أي بزيادة مقدارها ${١٢} = {١٩} – {٣١}$ عن المتوسط.

قطاع الخدمات نسبته $\%١٥$، أي بنقصان مقداره ${٤-} = {١٩} – {١٥}$ عن المتوسط.

محصلة الانحرافات للقطاعين هي الزيادة بمقدار ${٨} = {٤-} + {١٢}$

لكي يكون المتوسط متوازناً، يجب أن يعوض قطاع التعليم هذه الزيادة بنقصان مساوٍ لها من متوسطه.

نسبة قطاع التعليم = ${١١} = {٨} – {١٩}$

والإجابة هي $\%١١$

تكنيك ١: الحل الجبري المباشر بفك الكسور

المفهوم الرياضي: حل المعادلة المعطاة لاستخراج قيمة المتغير ثم إيجاد النسبة المطلوبة منه.

المعادلة المعطاة هي: $٨٠٠ = {س} \times {\dfrac{١}{٨}}$.

لالتخلص من الكسر وإيجاد قيمة المتغير $س$، نضرب طرفي المعادلة في العدد ثمانية.

قيمة المتغير تصبح: $٦٤٠٠ = {٨} \times {٨٠٠} = {س}$.

المطلوب في السؤال هو إيجاد قيمة $٪٢٥$ من المتغير $س$.

نعلم رياضياً أن نسبة $٪٢٥$ تكافئ الكسر الاعتيادي ${\dfrac{١}{٤}}$.

نضرب قيمة المتغير في الكسر لإيجاد الناتج المطلوب.

العملية الحسابية: $١٦٠٠ = {\dfrac{١}{٤}} \times {٦٤٠٠}$.

والإجابة هي $١٦٠٠$

تكنيك ٢: التلاعب بالنسبة المطلوبة كجزء من المعطى

المفهوم الرياضي: الوصول للناتج المطلوب عبر تحويل معطيات المعادلة بخطوة واحدة.

نعلم من المعطيات أن ثُمن القيمة يعادل ثمانمائة: $٨٠٠ = {س} \times {\dfrac{١}{٨}}$.

المطلوب حسابه هو $٪٢٥$ من $س$، وهو ما يعادل رُبع القيمة، أي رياضياً: ${\dfrac{١}{٤}} \times {س}$.

نلاحظ أن الرُبع هو ضعف الثُمن، أي مضروباً في العدد اثنين.

للوصول من الثُمن إلى الرُبع، نضرب طرفي المعادلة المعطاة في العدد اثنين.

الناتج المباشر: $١٦٠٠ = {٢} \times {٨٠٠}$.

والإجابة هي $١٦٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: جمع النسب المئوية للمدفوعات وحساب القيمة الأصلية.

الفستان الأول تم شراؤه بالسعر الأصلي، أي بنسبة $١٠٠$٪.

الفستان الثاني بخصم $٢٥$٪، فنسبة ما دُفع فيه هي مكملة الخصم، أي $٧٥$٪.

الفستان الثالث بخصم $٥٠$٪، فنسبة ما دُفع فيه هي مكملة الخصم، أي $٥٠$٪.

مجموع النسب التي تم دفعها للفساتين الثلاثة: $٢٢٥ = {٥٠} + {٧٥} + {١٠٠}$٪ من سعر الفستان الواحد.

إجمالي ما دفعته يعادل $٤٥٠$ ريالاً، إذاً: السعر الأصلي $٤٥٠ = {\%٢٢٥} \times$ .

لإيجاد السعر الأصلي، نقسم المبلغ الإجمالي على النسبة المئوية: السعر الأصلي$٢٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٢٢٥}} \times {٤٥٠} =$ .

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التعويض العكسي وتجربة الخيارات.

لنفترض أن السعر الأصلي للفستان هو الخيار الثاني، وهو $٢٠٠$ ريال.

سعر الفستان الأول سيكون $٢٠٠$ ريالاً كاملاً.

سعر الفستان الثاني بعد خصم ربع القيمة ($٢٥$٪) سيكون $١٥٠ = {٥٠} – {٢٠٠}$ ريالاً.

سعر الفستان الثالث بعد خصم نصف القيمة ($٥٠$٪) سيكون $١٠٠$ ريال.

مجموع ما ستدفعه بناءً على هذا الافتراض: $٤٥٠ = {١٠٠} + {١٥٠} + {٢٠٠}$ ريالاً.

هذا الناتج يتطابق تماماً مع المعطيات المذكورة في السؤال.

والإجابة هي $٢٠٠$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قانون نسبة الخسارة المئوية.

قانون نسبة الخسارة يساوي مقدار الخسارة مقسوماً على السعر الأصلي مضروباً في مائة.

نحسب أولاً مقدار الخسارة بطرح سعر البيع من سعر الشراء.

مقدار الخسارة = $١٠٠٠ = {٤٠٠٠} – {٥٠٠٠}$

نعوض في قانون النسبة المئوية.

نسبة الخسارة = $٪٢٠ = {١٠٠} \times {\dfrac{١٠٠٠}{٥٠٠٠}}$

والإجابة هي $٪٢٠$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم لإيجاد النسبة.

السعر الأصلي يمثل مائة بالمائة.

$٪١٠٠ \leftarrow ٥٠٠٠$

بحذف صفر من الطرفين لإيجاد نسبة عشرة بالمائة.

$٪١٠ \leftarrow ٥٠٠$

نضرب الطرفين في اثنين للوصول إلى مقدار الخسارة وهو ألف.

$٪٢٠ \leftarrow ١٠٠٠$

والإجابة هي $٪٢٠$

تكنيك ١: بناء معادلة جبرية

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى معادلة رياضية لحساب القيمة المجهولة.

نفرض أن العدد المطلوب والمجهول هو المتغير $س$.

المعادلة حسب المعطيات: النسبة $\%٦$ مضروبة في $س$ تساوي العدد $٢٧$.

نكتب المعادلة: $٢٧ = {س} \times {\dfrac{٦}{١٠٠}}$

لإيجاد قيمة $س$، نضرب الطرف الآخر في مقلوب الكسر.

قيمة $س$ = ${٢٧} \times {\dfrac{١٠٠}{٦}}$

نقوم بتبسيط الكسر قبل الضرب، بقسمة البسط والمقام على $٣$.

قيمة $س$ = ${٩} \times {\dfrac{١٠٠}{٢}}$

نقسم المئة على اثنان للحصول على خمسين.

قيمة $س$ = ${٤٥٠} = {٥٠} \times {٩}$

والإجابة هي $٤٥٠$

تكنيك ٢: التدرج المنتظم

المفهوم الرياضي: الوصول للعدد الأصلي (الذي يمثل نسبة $\%١٠٠$) عبر مضاعفة النسب خطوة بخطوة.

من المعطيات، القيمة $٢٧$ تقابل النسبة $\%٦$.

بقسمة الطرفين على $٣$ للحصول على نسبة أصغر يسهل مضاعفتها.

العدد $٩$ يقابل النسبة $\%٢$.

نضرب الطرفين في العدد $٥٠$ للوصول إلى النسبة الكاملة $\%١٠٠$.

في الطرف الأول: $\%١٠٠ = {٥٠} \times {\%٢}$

في الطرف الثاني: $٤٥٠ = {٥٠} \times {٩}$

العدد الذي يمثل النسبة الكاملة هو $٤٥٠$.

والإجابة هي $٤٥٠$

تكنيك ١: الحساب المباشر

المفهوم الرياضي: حساب قيمة النسبة المئوية من عدد معلوم للمقارنة.

القيمة الأولى جاهزة ومعطاة وهي العدد $٤٠$.

القيمة الثانية تتطلب حساب $\%٥٠$ من العدد $٨٠$.

النسبة $\%٥٠$ تكافئ النصف تماماً في الرياضيات.

نقوم بضرب الكسر في العدد لحساب القيمة.

القيمة الثانية = ${٤٠} = {٨٠} \times {\dfrac{١}{٢}}$

نقارن بين النتيجتين: القيمة الأولى ($٤٠$) والقيمة الثانية ($٤٠$).

نجد أن القيمتين متطابقتان.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢: التحليل اللفظي السريع

المفهوم الرياضي: ترجمة النسب المئوية الشهيرة إلى مصطلحاتها اللفظية المكافئة لتسهيل الفهم والمقارنة.

القيمة الأولى هي أربعون.

القيمة الثانية نصت على “خمسين بالمئة من ثمانين”.

المعروف بداهة أن مصطلح “خمسين بالمئة” يعني “النصف”.

نصف العدد ثمانين هو أربعون.

بالمقارنة البصرية والذهنية المباشرة، الأربعون تساوي الأربعين.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: افتراض قيم عددية لتسهيل حساب النسب المئوية والمقارنة بينها.

نفترض أن راتب خالد يساوي $١٠٠$ ريال.

بما أن راتب محمد يزيد عن راتب خالد بنسبة $٤٠$٪، إذن راتب محمد يساوي $١٤٠$ ريال.

نحسب مقدار ما يدخره محمد، وهو يمثل $٣٠$٪ من راتبه.

مقدار ما يدخره محمد يساوي ${٤٢} = {\dfrac{٣٠}{١٠٠}} \times {١٤٠}$ ريال.

نحسب مقدار ما يدخره خالد، وهو يمثل $٤٠$٪ من راتبه.

مقدار ما يدخره خالد يساوي ${٤٠} = {\dfrac{٤٠}{١٠٠}} \times {١٠٠}$ ريال.

بمقارنة القيمتين، نجد أن $٤٢$ أكبر من $٤٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استخدام التعبيرات الجبرية لتمثيل القيم والمقارنة بينها.

نفرض أن راتب خالد هو المتغير $س$.

بناءً على المعطيات، راتب محمد سيكون ${س}١،٤$.

القيمة الأولى تمثل ما يدخره محمد، وتساوي ${س}٠،٤٢ = {س١،٤} \times {٠،٣٠}$.

القيمة الثانية تمثل ما يدخره خالد، وتساوي ${س}٠،٤٠ = {س} \times {٠،٤٠}$.

بما أن المتغير $س$ يمثل قيمة موجبة لأن الراتب لا يمكن أن يكون سالباً، فإن المقدار ${س}٠،٤٢$ يظل دائماً أكبر من ${س}٠،٤٠$.

والإجابة هي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة الإجمالية من النسبة المئوية ثم الطرح لمعرفة القيمة بعد الخصم.

بما أن الخصم يعادل $٢٠$٪ وقيمته $١٦٠٠$ ريال، يمكننا إيجاد المصاريف الأصلية بضرب القيمة في مقلوب النسبة.

المصاريف الأصلية تساوي $٨٠٠٠ = {\dfrac{١٠٠}{٢٠}} \times {١٦٠٠}$ ريال.

لإيجاد المصاريف بعد الخصم، نطرح قيمة الخصم من المصاريف الأصلية.

القيمة الأولى تساوي $٦٤٠٠ = {١٦٠٠} – {٨٠٠٠}$ ريال.

بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية، نجد أن كلتيهما تساوي $٦٤٠٠$ ريال.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التدرج المنتظم والممكملة للنسبة المئوية.

نعلم أن $٢٠$٪ من المصاريف تعادل $١٦٠٠$ ريال.

النسبة المئوية للمصاريف بعد الخصم هي مكملة النسبة $٢٠$٪، أي أنها تساوي $٨٠$٪.

للوصول من $٢٠$٪ إلى $٨٠$٪، نضرب الطرفين في $٤$.

إذاً، القيمة الأولى (المصاريف بعد الخصم) تساوي $٦٤٠٠ = {٤} \times {١٦٠٠}$ ريال.

نلاحظ أن القيمة الأولى $٦٤٠٠$ مساوية للقيمة الثانية $٦٤٠٠$.

والإجابة هي القيمتان متساويتان

تكنيك ١: حساب النسبة المئوية والجمع المباشر

المفهوم الرياضي: حساب قيمة العمولة من الإجمالي باستخدام قانون النسبة المئوية، ثم إضافتها للراتب الأساسي الثابت.

قانون النسبة المئوية المستخدم: الجزء = الكل $\times$ النسبة المئوية.

العمولة التي يحصل عليها الموظف تعادل $\%٤$ من إجمالي أرباح الشركة البالغة $١٦٠٠٠٠$ ريال.

نقوم بالتعويض في القانون لإيجاد مقدار العمولة: $٦٤٠٠ = {\dfrac{٤}{١٠٠}} \times {١٦٠٠٠٠}$ ريال.

الخطوة الأخيرة هي إضافة هذه العمولة المتغيرة إلى الراتب الأساسي الثابت لحساب الدخل الإجمالي.

إجمالي الدخل المستحق هو: $١٣٤٠٠ = {٦٤٠٠} + {٧٠٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $١٣٤٠٠$.

تكنيك ٢: التدرج المنتظم

المفهوم الرياضي: إيجاد النسبة المطلوبة خطوة بخطوة بالاعتماد على التدرج في قسمة النسب المئوية الكلية.

لدينا النسبة الكاملة $\%١٠٠$ تمثل المبلغ الكلي $١٦٠٠٠٠$ ريال.

بقسمة الطرفين رياضياً على $١٠$، نجد أن $\%١٠$ تمثل $١٦٠٠٠$ ريال.

للحصول على $\%١$، نقسم على $١٠$ مرة أخرى، فنجد أن $\%١$ تمثل $١٦٠٠$ ريال.

المطلوب في السؤال هو استخراج $\%٤$، لذا نقوم بضرب قيمة الواحد بالمائة في $٤$.

قيمة العمولة هي: $٦٤٠٠ = {٤} \times {١٦٠٠}$ ريال.

نجمع العمولة المستخرجة مع الراتب الأساسي المعطى: $١٣٤٠٠ = {٦٤٠٠} + {٧٠٠٠}$ ريال.

والإجابة هي $١٣٤٠٠$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: إيجاد النسب من خلال الكسور.

مقدار ما يركضه أحمد يساوي ربع المسافة.

أحمد = $\dfrac{١}{٤}$

ناصر يركض ثلاثة أضعاف ما يركضه أحمد، لذا نضرب مقدار أحمد في ثلاثة.

ناصر = $\dfrac{٣}{٤} = {٣} \times {\dfrac{١}{٤}}$

المطلوب هو نسبة ما يركضه أحمد إلى ناصر، أي قسمة مقدار أحمد على مقدار ناصر.

النسبة = ${\dfrac{٣}{٤}} \div {\dfrac{١}{٤}}$

نحول عملية القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر الثاني.

النسبة = $\dfrac{١}{٣} = {\dfrac{٤}{٣}} \times {\dfrac{١}{٤}}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣}$

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: افتراض قيمة للمسافة الكلية.

نفرض أن المسافة الكلية تساوي أربعة كيلومترات لتسهيل الحساب مع الكسر.

مسافة أحمد تساوي ربع المسافة الكلية.

مسافة أحمد = $١ = {٤} \times {\dfrac{١}{٤}}$

مسافة ناصر ثلاثة أضعاف مسافة أحمد.

مسافة ناصر = $٣ = {٣} \times {١}$

النسبة بين مسافة أحمد إلى مسافة ناصر تساوي قسمة الأولى على الثانية.

النسبة = $\dfrac{١}{٣} = {٣} \div {١}$

والإجابة هي $\dfrac{١}{٣}$