اختبار : عملية القسمة وتطبيقاتها

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لكي يقبل أي عدد القسمة على $١٠$ ، يجب أن يكون رقم آحاده (صفر). ومن منظور التحليل للعوامل الأولية، يجب أن يحتوي العدد على العاملين $٢$ و $٥$ معاً لأن حاصل ضربهما يساوي $١٠$

نحلل الأرقام المعطاة في المسألة للبحث عن العوامل $٢$ و $٥$

العدد $٥٢$ عدد زوجي، وهو يقبل القسمة على $٢$ ($٢٦ = ٢ \div ٥٢$). إذن العامل $٢$ موجود.

الأعداد $٧$ و $٩$ لا تحتوي على العامل $٥$ نهائياً.

لتحقيق شرط القسمة على $١٠$، يجب أن توفر قيمة المتغير ك العامل $٥$ المفقود.

بالنظر للخيارات المتاحة، العدد الوحيد الذي يمثل مضاعفاً للعدد $٥$ أو يساويه هو الخيار الرابع $٥$

للتحقق: عند ضرب العوامل، سيكون الناتج عدداً آحاده (صفر) حتماً.

إذن قيمة ك هي $٥$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: للتحويل من وحدة كيلومتر إلى ميل، نضرب القيمة المعطاة بالكيلومتر في المعامل الثابت $٠,٦٢$

القانون: $ل \times ك = م$

حيث (ك) القيمة بالكيلومتر، (ل) معامل التحويل ويساوي $٠,٦٢$، (م) القيمة بالميل.

التعويض: $٧٤,٤ = ٠,٦٢ \times ١٢٠$

بالتقريب لأقرب عدد صحيح، تصبح القيمة $٧٥$ ميلاً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: يمكن استخدام التناسب المعياري حيث أن كل $٨$ كيلومترات تعادل تقريباً $٥$ أميال.

القانون: $م = \frac{٥}{٨} \times ك$

التعويض: $م = \frac{٥}{٨} \times ١٢٠$

التبسيط بالقسمة على ثمانية: $م = ٥ \times ١٥$

الناتج النهائي: $٧٥ = ٥ \times ١٥$

إذن المسافة تساوي $٧٥$ ميلاً.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحليل العدد إلى عوامله الأولية وعدّها.

نحلل العدد $٥١$ إلى عوامله الأولية.

نجد أن $٥١ = ٣ \times ١٧$.

إذن، العوامل الأولية هي $١٧$ و$٣$.

عدد هذه العوامل هو $٢$.

نقارن بين القيمة الأولى وهي $٢$ والقيمة الثانية وهي $٢$.

نجد أن $٢ = ٢$.

إذن، القيمتان متساويتان.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: القسمة المطولة وإيجاد الباقي.

نستخدم قانون القسمة: $ب + (ع \times ن) = م$.

حيث (م) المقسوم، و(ن) الناتج، و(ع) المقسوم عليه، و(ب) الباقي.

نقوم بقسمة العدد $١٢٠$ على العدد $٩$.

نبحث عن أقرب عدد يُضرب في $٩$، ويكون الناتج أقل من أو يساوي $١٢٠$.

نجد أن $١١٧ = ٩ \times ١٣$.

نطرح لإيجاد الباقي: $٣ = ١١٧ – ١٢٠$.

إذن، الباقي هو $٣$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: العمليات العكسية.

نبدأ من نهاية السؤال ونعكس العمليات الحسابية.

الناتج الأخير هو $١٠$. العملية التي تسبقه هي (قُسم على ٤)، نعكسها إلى ضرب: $٤٠ = ٤ \times ١٠$.

العملية الأولى هي (طُرح منه ٩)، نعكسها إلى جمع: $٤٩ = ٩ + ٤٠$.

إذن العدد هو $٤٩$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة جبرية وحلها.

نفرض أن العدد المطلوب هو س.

المعادلة حسب النص: $١٠ = \frac{٩ – س}{٤}$.

نضرب الطرفين في $٤$ للتخلص من المقام: $٤٠ = ٩ – س$.

ننقل $٩$ للطرف الآخر بإشارة موجبة: $٤٩ = ٩ + ٤٠ = س$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لإيجاد عدد يقبل القسمة على مجموعة من الأعداد الأولية معاً، نقوم بحساب المضاعف المشترك الأصغر لها، وهو في حالة الأعداد الأولية يساوي حاصل ضربها جميعاً.

نضرب الأعداد الثلاثة في بعضها:

العملية: $١٠٥ = ٧ \times ٥ \times ٣$

نلاحظ أن الناتج $١٠٥$ موجود ضمن الخيارات المعطاة في السؤال.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استراتيجية تجربة الخيارات وتطبيق قواعد قابلية القسمة.

للقسمة على $٥$: يجب أن يكون الآحاد (صفر) أو $٥$. جميع الخيارات تحقق هذا الشرط.

للقسمة على $٣$: يجب أن يكون مجموع الخانات من مضاعفات $٣$.

نجرب الخيار الأول $١٠٥$: المجموع $٦ = ٥ + ٠ + ١$. يقبل القسمة على $٣$.

نجرب قسمة العدد $١٠٥$ على $٧$ لمعرفة مدى تحققه للشرط الأخير.

العملية: $١٥ = ٧ \div ١٠٥$

بما أنه يقبل القسمة على الأعداد الثلاثة بدون باقٍ، فهو الخيار الصحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد العشرات في أي قيمة عددية، نقوم بقسمتها على $١٠$ ثم نستخرج العدد الصحيح من الناتج.

القانون: $ص = ١٠ \div س$

التعويض: $٧٦,٢ = ١٠ \div ٧٦٢$

بإهمال الكسر العشري وأخذ الجزء الصحيح، نجد أن عدد العشرات هو $٧٦$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تحليل العدد إلى عوامله الأولية.

نحلل العدد $٣٢$ إلى حاصل ضرب عوامله الأولية.

نجد أن $٣٢ = ٢ \times ٢ \times ٢ \times ٢ \times ٢$.

يمكن كتابته بصيغة الأسس: $٣٢ = {}^{٥}٢$.

نلاحظ أن العامل الأولي الوحيد هو العدد $٢$.

بالنظر إلى الخيارات، نجد أن العدد $٢$ هو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لإيجاد العدد الأصلي (المقسوم) عندما يُعطى المقسوم عليه والناتج والباقي، نضرب الناتج في المقسوم عليه ثم نجمع الباقي مع حاصل الضرب.

القانون: $ب + (م \times ن) = س$

حيث (س) العدد المطلوب، (ن) الناتج، (م) المقسوم عليه، (ب) الباقي.

التعويض: $١ + (٧ \times ٣١١) = س$

عملية الضرب أولاً: $٢١٧٧ = ٧ \times ٣١١$

إضافة الباقي: $٢١٧٨ = ٢١٧٧ + ١$

إذن العدد المطلوب هو $٢١٧٨$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد الأرباع في أي عدد صحيح، نقوم بضرب هذا العدد في $٤$.

القانون: $ص = ٤ \times س$

التعويض: $٤ = ١ \times ٤$

إذن عدد الأرباع هو $٤$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: نقسم العدد الكلي على الكسر المطلوب معرفة تكراره.

العملية: $ص = \frac{١}{٤} \div ١$

نحول القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر: $٤ = \frac{٤}{١} \times ١$

الناتج هو $٤$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المضاعف المشترك الأصغر.

العدد الذي يقبل القسمة على عددين، يجب أن يقبل القسمة على مضاعفهما المشترك الأصغر.

نجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين $٦$ و $٨$.

مضاعفات العدد $٦$ هي: $\dots , ٢٤ , ١٨ , ١٢ , ٦$.

مضاعفات العدد $٨$ هي: $\dots , ٢٤ , ١٦ , ٨$.

أصغر مضاعف مشترك بينهما هو $٢٤$.

إذن العدد يقبل القسمة على $٢٤$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحليل للعوامل الأولية.

تحليل العدد $٦$ هو $٣ \times ٢$.

تحليل العدد $٨$ هو $٢ \times ٢ \times ٢$.

المضاعف المشترك الأصغر نأخذه بضرب العوامل المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس.

المضاعف المشترك الأصغر هو $٢٤ = ٢ \times ٢ \times ٢ \times ٣$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قابلية القسمة على العدد ٩.

القانون: يقبل العدد القسمة على ٩ إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على ٩.

مجموع أرقام العدد هو $١ + ف + ف + ٣$.

نبسط المجموع ليصبح $ف٢ + ٤$.

نجرب الخيارات لنجد القيمة التي تجعل المجموع يقبل القسمة على $٩$.

الخيار الأول ($٧$): $١٨ = (٧) \times ٢ + ٤$. العدد $١٨$ يقبل القسمة على $٩$.

الخيار الثاني ($٨$): $٢٠ = (٨) \times ٢ + ٤$. العدد $٢٠$ لا يقبل القسمة على $٩$.

الخيار الثالث ($٥$): $١٤ = (٥) \times ٢ + ٤$. العدد $١٤$ لا يقبل القسمة على $٩$.

الخيار الرابع ($٩$): $٢٢ = (٩) \times ٢ + ٤$. العدد $٢٢$ لا يقبل القسمة على $٩$.

إذن القيمة الصحيحة هي $٧$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة وبحث المضاعفات.

المجموع $ف٢ + ٤$ يجب أن يساوي قيمة من مضاعفات العدد $٩$ (مثل $٩$ ، $١٨$ ، $٢٧$).

إذا ساوينا بـ $٩$: نجد أن $٥ = ف٢$ وهذا لا يعطي عددا صحيحا.

إذا ساوينا بـ $١٨$: $١٨ = ف٢ + ٤$ ومنها $١٤ = ف٢$ إذن $٧ = ف$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لإيجاد عدد يقبل القسمة على مجموعة أعداد مع وجود باقٍ ثابت، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد ثم نضيف إليه الباقي.

بما أن الأعداد $٣$ و $٤$ و $٥$ أعداد أولية فيما بينها، فإن مضاعفها المشترك الأصغر هو حاصل ضربها.

حساب المضاعف المشترك الأصغر: $٦٠ = ٥ \times ٤ \times ٣$

نضيف الباقي المعطى في السؤال إلى المضاعف المشترك.

العملية: $٦٢ = ٢ + ٦٠$

إذن العدد المطلوب هو $٦٢$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استراتيجية تجربة الخيارات المعطاة للبحث عن العدد الذي يحقق الشروط.

نجرب الخيار الثالث وهو العدد $٦٢$

نقسم على ثلاثة: $٢٠ = ٣ \div ٦٢$ والباقي $٢$

نقسم على أربعة: $١٥ = ٤ \div ٦٢$ والباقي $٢$

نقسم على خمسة: $١٢ = ٥ \div ٦٢$ والباقي $٢$

بما أن الباقي هو $٢$ في جميع الحالات، فإن الخيار صحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة باقي قسمة عدد على $٣$، نقوم بجمع خانات هذا العدد، ثم نقسم المجموع على $٣$ لمعرفة الباقي.

مجموع الخانات: $٢ = ١ + ٠ + ١$

بما أن العدد $٢$ أقل من $٣$، فإنه لا يقبل القسمة ويكون الباقي هو $٢$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: استخدام القسمة المطولة المباشرة للعدد المعطى لمعرفة الباقي.

نبحث عن أقرب عدد للعدد $١٠١$ يقبل القسمة على $٣$ بدون باقٍ، وهو العدد $٩٩$

العملية لمعرفة الباقي: $٢ = ٩٩ – ١٠١$

إذن الباقي هو $٢$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: خصائص الأسس والعوامل الأولية.

القيمة المعطاة هي ${}^{٥}٣$.

نفكك الأس إلى حاصل ضرب الأساس في نفسه: ${}^{٥}٣ = ٣ \times ٣ \times ٣ \times ٣ \times ٣$.

أي عامل من عوامل هذا العدد يجب أن يكون من مضاعفات العدد $٣$ فقط، ولا يحتوي على عوامل أولية أخرى.

بتجربة الخيارات:

العدد $٣$ هو عامل أولي مباشر.

العدد $٦$ تحليله هو $٦ = ٢ \times ٣$، ويحتوي على العامل $٢$، وهو غير موجود في العدد الأصلي.

العدد $١٢$ تحليله هو $١٢ = ٢ \times ٢ \times ٣$، ويحتوي على العامل $٢$.

العدد $١٥$ تحليله هو $١٥ = ٣ \times ٥$، ويحتوي على العامل $٥$.

إذن، الإجابة الصحيحة هي العدد $٣$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: حفظ الأعداد الأولية الشهيرة والتحليل.

الأعداد $٩٧$ ، $٨٩$ ، $٨٣$ هي أعداد أولية معروفة.

نختبر العدد $٩١$.

نجرب قسمته على الأعداد الأولية $٢$ ، $٣$ ، $٥$ ، $٧$.

لا يقبل القسمة على $٢$ (فردي)، ولا على $٣$ لأن المجموع $١٠ = ١ + ٩$، ولا على $٥$ (آحاده ليس صفر أو ٥).

نجرب القسمة على $٧$: $١٣ = \frac{٩١}{٧}$.

بما أن العدد $٩١$ يقبل القسمة على $٧$ وعلى $١٣$، فهو عدد غير أولي.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: البحث عن قواسم.

العدد الغير أولي هو الذي له أكثر من قاسمين.

العدد $٩١$ قواسمه هي: $١$ ، $٧$ ، $١٣$ ، $٩١$.

باقي الخيارات لها قاسمان فقط (الواحد ونفسها).

إذن الإجابة هي $٩١$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إيجاد العوامل الأولية للعدد، وتحديد أكبرها للمقارنة.

لإيجاد العوامل الأولية للعدد، نقوم بتحليله إلى حواصل ضرب أعداد أولية.

العدد هو $١٣٠$.

نحلل العدد: $١٣٠ = ٢ \times ٥ \times ١٣$.

أكبر عامل أولي من هذه العوامل هو العدد $١٣$.

الآن، نقارن بين القيمة الأولى وهي $١٣$ والقيمة الثانية وهي $١٢$.

نجد أن $١٢ < ١٣$.

إذن، القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد مرات تكرار كسر معين داخل قيمة معينة، نقوم بقسمة القيمة الكلية على هذا الكسر.

القانون: $ص = ك \div م$

حيث (م) القيمة الكلية، (ك) الكسر المطلوب، (ص) الناتج.

التعويض: $ص = \frac{١}{٩} \div \frac{١٠}{٣}$

نحول عملية القسمة إلى ضرب مع قلب الكسر الثاني كالتالي:

العملية: $ص = \frac{٩}{١} \times \frac{١٠}{٣}$

التبسيط والضرب: $٣٠ = \frac{٩٠}{٣}$

إذن عدد الأتساع هو $٣٠$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لإيجاد باقي القسمة، نبحث عن أقرب عدد صحيح أصغر من المقسوم ويكون من مضاعفات المقسوم عليه، ثم نطرحه من المقسوم الأساسي.

نبحث في جدول ضرب العدد $٩$ عن أقرب ناتج للعدد $٤٩$

نجد أن: $٤٥ = ٥ \times ٩$

العدد $٤٥$ هو أقرب مضاعف للعدد $٩$ وأقل من $٤٩$

لمعرفة الباقي، نطرح هذا المضاعف من العدد الأساسي.

العملية: $٤ = ٤٥ – ٤٩$

إذن باقي القسمة هو $٤$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: للمقارنة بين سرعات بوحدات مختلفة، نوحد الوحدات بتحويل وحدة الكيلومتر لكل ساعة إلى متر لكل دقيقة.

القانون: $م = (\frac{ل}{ن}) \times س$

حيث (س) السرعة بوحدة كم/س، (ل) معامل تحويل المسافة ويساوي $١٠٠٠$، (ن) معامل تحويل الزمن ويساوي $٦٠$، (م) السرعة بوحدة م/د.

التعويض لتحويل القيمة الأولى: $م = (\frac{١٠٠٠}{٦٠}) \times ١$

بعد التبسيط بحذف الأصفار والقسمة على $٢$ نصل للآتي:

الناتج: القيمة الأولى تساوي $\frac{٥٠}{٣}$ متر لكل دقيقة.

بما أن الكسر $\frac{٥٠}{٣}$ يساوي تقريباً $١٦,٦$، فهو بكل تأكيد أكبر من $١$

المقارنة: القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: يمكن توحيد الوحدات عبر تحويل القيمة الثانية من متر لكل دقيقة إلى كيلومتر لكل ساعة.

القانون: $س = (\frac{ن}{ل}) \times م$

التعويض: $س = (\frac{٦٠}{١٠٠٠}) \times ١$

الناتج: القيمة الثانية تساوي $\frac{٦}{١٠٠}$ كيلومتر لكل ساعة.

بما أن العدد $١$ أكبر من الكسر العشري $\frac{٦}{١٠٠}$، إذن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: القسمة المطولة وإيجاد الباقي.

نستخدم قانون القسمة: $ب + (ع \times ن) = م$.

حيث (م) المقسوم، و(ن) الناتج، و(ع) المقسوم عليه، و(ب) الباقي.

نقوم بقسمة العدد $٣٢$ على العدد $١٢$.

نبحث عن عدد نضربه في $١٢$؛ ليعطينا ناتجاً قريباً من $٣٢$ ولا يتجاوزه.

نجد أن $٢٤ = ١٢ \times ٢$.

نطرح الناتج من المقسوم الأساسي: $٨ = ٢٤ – ٣٢$.

إذن، عدد القطع المتبقية هو $٨$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: للمقارنة بين وحدات طول مختلفة، يجب توحيد الوحدات أولاً. للتحويل من متر إلى سنتيمتر، نضرب القيمة في $١٠٠$.

القانون: $م = ١٠٠ \times ل$

حيث (ل) القيمة بالمتر، و(م) القيمة بالسنتيمتر.

تحويل القيمة الثانية: $١٠٠ = ١ \times ١٠٠$

أصبحت القيمة الثانية $١٠٠$ سم.

القيمة الأولى المعطاة هي $١٠٠$ سم.

بالمقارنة بين القيمتين، نجد أنهما متساويتان تماماً.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قابلية القسمة على العدد ٥.

القانون: باقي قسمة أي عدد على ٥ يساوي باقي قسمة آحاده على ٥.

القيمة الأولى: آحاد العدد $٣٤٣٤٥٧$ هو $٧$.

باقي قسمة $٧$ على $٥$ هو $٢$. (لأن $٢ = ٥ – ٧$)

إذن القيمة الأولى تساوي $٢$.

القيمة الثانية: آحاد العدد $٢٤٣٨$ هو $٨$.

باقي قسمة $٨$ على $٥$ هو $٣$. (لأن $٣ = ٥ – ٨$)

إذن القيمة الثانية تساوي $٣$.

نقارن بين القيمة الأولى ($٢$) والقيمة الثانية ($٣$).

القيمة الثانية أكبر، أي $٢ < ٣$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: استبعاد المضاعفات.

نحذف مضاعفات العدد ٥ من الآحاد مباشرة.

في القيمة الأولى الآحاد $٧$، نحذف $٥$ يتبقى $٢$.

في القيمة الثانية الآحاد $٨$، نحذف $٥$ يتبقى $٣$.

بالمقارنة القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لتوحيد وحدات الزمن المقاسة، نحول القيمة الأولى من الساعات إلى الدقائق.

نعلم أن الساعة الواحدة تحتوي على $٦٠$ دقيقة.

نحول الساعات الصحيحة: $١٨٠ = ٣ \times ٦٠$

ونحول ربع الساعة: $١٥ = ٦٠ \times \frac{١}{٤}$

نجمع القيمتين للحصول على إجمالي الدقائق للقيمة الأولى: $١٩٥ = ١٥ + ١٨٠$

القيمة الأولى تساوي $١٩٥$ دقيقة.

القيمة الثانية المعطاة هي $١٨٤$ دقيقة.

المقارنة رياضياً: $١٨٤ < ١٩٥$

نستنتج أن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استراتيجية تجربة الخيارات واستبعاد الإجابات الخاطئة بناءً على الشروط المعطاة في المسألة.

الشرط الأول: العدد يقبل القسمة على $٢$ والباقي $١$، مما يعني أنه حتماً عدد فردي. بناءً على ذلك، نستبعد الخيارات الزوجية $١٠$ و $١٢$

الشرط الثاني: العدد يقبل القسمة على $٣$ والباقي $٢$. نجرب العدد $١١$: نجد أن $٣ = ٣ \div ١١$ والباقي $٢$. الشرط متحقق.

الشرط الثالث: العدد يقبل القسمة على $٤$ والباقي $٣$. نجرب العدد $١١$: نجد أن $٢ = ٤ \div ١١$ والباقي $٣$. الشرط متحقق.

إذن العدد هو $١١$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: نلاحظ وجود نمط ثابت وهو أن الفرق بين المقسوم عليه والباقي في جميع الحالات يساوي $١$

الفرق الأول: $١ = ١ – ٢$

الفرق الثاني: $١ = ٢ – ٣$

الفرق الثالث: $١ = ٣ – ٤$

نوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد $٢$ و $٣$ و $٤$ وهو العدد $١٢$

نطرح الفرق الثابت من المضاعف المشترك: $١١ = ١ – ١٢$

الناتج هو $١١$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حصر وعدّ الأعداد الأولية في فترات محددة.

الأعداد الأولية هي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد الصحيح.

نحصر الأعداد الأولية في الفترة من $١٠$ إلى $٢٠$.

الأعداد هي: $\dots , ١٩ , ١٧ , ١٣ , ١١$.

عدد هذه الأعداد هو $٤$.

نحصر الأعداد الأولية في الفترة من $٢٠$ إلى $٣٠$.

الأعداد هي: $\dots , ٢٩ , ٢٣$.

عدد هذه الأعداد هو $٢$.

نقارن بين القيمة الأولى وهي $٤$ والقيمة الثانية وهي $٢$.

نجد أن $٢ < ٤$.

إذن، القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: التعويض بقيم افتراضية تحقق الشرط.

بما أن س يقبل القسمة على $٧$، يمكننا افتراض أن $٧ = س$.

نعوض بقيمة س في الخيارات.

الخيار الأول: $٢٢ = ١ + (٧) \times ٣$ (لا يقبل القسمة على ٧).

الخيار الثاني: $٧ = ٧ – (٧) \times ٢$ (يقبل القسمة على ٧).

الخيار الثالث: $١٦ = ٩ + ٧$ (لا يقبل القسمة على ٧).

الخيار الرابع: $١٨ = ١١ + ٧$ (لا يقبل القسمة على ٧).

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: التحليل الجبري للحدود.

في الخيار الثاني $٧ – س٢$، لدينا حدان هما $س٢$ و $٧$.

الحد الأول $س٢$ يقبل القسمة على $٧$ لأن س من مضاعفات الـ $٧$.

الحد الثاني $٧$ يقبل القسمة على $٧$.

طرح عددين يقبلان القسمة على $٧$ ينتج عددا يقبل القسمة على $٧$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: للمقارنة بين قيمتين بوحدات قياس مختلفة، يجب توحيد الوحدات بضرب القيمة الكبيرة في معامل التحويل المناسب.

القانون: $ل \times س = م$

حيث (س) القيمة بالمتر، (ل) معامل التحويل ويساوي $١٠٠$، (م) القيمة بالسنتيمتر.

تحويل القيمة الأولى: $١٧٠ = ١٠٠ \times ١,٧$

أصبحت القيمة الأولى $١٧٠$ سم.

القيمة الثانية المعطاة هي $١٧٠$ سم.

بمقارنة القيمتين نجد أنهما متساويتان تماماً.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استراتيجية التعويض بأرقام افتراضية. نفرض قيمة للمتغير (أ) بحيث تكون عدداً فردياً، ثم نطبق العملية الحسابية لمعرفة الباقي.

نفرض أن المتغير الفردي هو $٣$

نقوم بتربيع العدد: $٩ = {}^{٢}٣$

نقسم الناتج على أربعة: $٢ = ٤ \div ٩$ والباقي $١$

إذن الباقي هو $١$

تكنيك ٢:

نفرض أن المتغير الفردي هو $١$

نقوم بتربيع العدد: $١ = {}^{٢}١$

نقسم الناتج على أربعة: $٠ = ٤ \div ١$ والباقي $١$

نستنتج أن مربع أي عدد فردي عند قسمته على أربعة يعطي دائماً الباقي $١$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد المئات في أي عدد، نقسم هذا العدد على $١٠٠$ ونأخذ الجزء الصحيح فقط من الناتج.

القانون: $ص = ١٠٠ \div س$

حيث (س) تمثل العدد المعطى، و(ص) الناتج الإجمالي.

التعويض لإيجاد الناتج: $٩٩٨,٦٠ = ١٠٠ \div ٩٩٨٦٠$

بأخذ الجزء الصحيح فقط، نجد أن عدد المئات هو $٩٩٨$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استراتيجية الحل العكسي. نبدأ من الناتج النهائي ونعكس العمليات الحسابية المذكورة في السؤال خطوة بخطوة من النهاية للبداية للوصول للعدد الأصلي.

الخطوة الأولى: نعكس عملية الجمع ونحولها إلى طرح.

العملية: $٩ = ٥ – ١٤$

الخطوة الثانية: نعكس عملية القسمة ونحولها إلى ضرب.

العملية: $٢٧ = ٣ \times ٩$

إذن العدد هو $٢٧$

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تحويل المسألة اللفظية إلى معادلة جبرية ثم حلها لإيجاد قيمة المجهول.

المعادلة: $١٤ = ٥ + \frac{س}{٣}$

ننقل العدد خمسة للطرف الآخر بإشارة سالبة: $\frac{س}{٣} = ٥ – ١٤$

التبسيط بالطرح: $٩ = \frac{س}{٣}$

نضرب الطرفين في ثلاثة للتخلص من المقام: $س = ٣ \times ٩$

النتيجة النهائية: $س = ٢٧$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لتوحيد وحدات السرعة المقاسة، نحول القيمة الأولى من وحدة كيلومتر لكل ساعة إلى وحدة متر لكل ثانية.

لتحويل المسافة نضرب القيمة في $١٠٠٠$، ولتحويل الزمن من ساعة إلى ثانية نضرب في $٣٦٠٠$ نظراً لأن الساعة تحوي $٦٠$ دقيقة والدقيقة تحوي $٦٠$ ثانية.

القانون: $م = (\frac{ل}{ن}) \times س$

حيث (س) السرعة بوحدة كم/س، (ل) المعامل $١٠٠٠$، (ن) المعامل $٣٦٠٠$، (م) السرعة بوحدة م/ث.

التعويض في القانون: $م = (\frac{١٠٠٠}{٣٦٠٠}) \times ١$

بعد تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام: القيمة الأولى تساوي $\frac{٥}{١٨}$ متر لكل ثانية.

القيمة الثانية المعطاة هي $١$ متر لكل ثانية.

بما أن بسط الكسر أصغر من مقامه، فإن الكسر $\frac{٥}{١٨}$ قيمته أقل من $١$ الصحيح.

المقارنة رياضياً: $\frac{٥}{١٨} < ١$

نستنتج أن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: المضاعف المشترك الأصغر وتحقيق الشروط.

نبحث عن عدد يقبل القسمة على $٤$ و $٧$ في نفس الوقت.

المضاعف المشترك الأصغر للعددين هو $٢٨ = ٧ \times ٤$.

نتحقق من الشرط $٠ < س < ٢٩$، ونجد أن $٢٨$ يقع ضمن هذا النطاق.

إذن قيمة س هي $٢٨$.

نقارن بين القيمة الأولى $٢٨$ والقيمة الثانية $١٨$.

القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية، أي $١٨ < ٢٨$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: سرد المضاعفات.

مضاعفات العدد $٧$ الأقل من $٢٩$ هي: $٧$ ، $١٤$ ، $٢١$ ، $٢٨$.

نبحث في هذه المضاعفات عن العدد الذي يقبل القسمة على $٤$.

العدد الوحيد الذي يقبل القسمة على $٤$ هو $٢٨$.

بالمقارنة، نجد أن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قابلية القسمة على العدد ٤.

القانون: يقبل العدد القسمة على ٤ إذا كان العدد المكون من آحاده وعشراته يقبل القسمة على ٤.

في هذا العدد، الآحاد هو $٤$ والعشرات هو المتغير س.

نجرب الخيارات مكان س لنجد العدد الذي يقبل القسمة.

إذا وضعنا $٢ = س$، يصبح العدد المكون من الآحاد والعشرات هو $٢٤$.

العدد $٢٤$ يقبل القسمة على $٤$ لأن $٦ = \frac{٢٤}{٤}$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستبعاد المنطقي للخيارات.

نجرب الخيارات الأخرى للتحقق.

الخيار الثاني $٣$ يعطي $٣٤$ وهو لا يقبل القسمة على $٤$.

الخيار الثالث $٥$ يعطي $٥٤$ وهو لا يقبل القسمة على $٤$.

الخيار الرابع $١$ يعطي $١٤$ وهو لا يقبل القسمة على $٤$.

الخيار الصحيح الوحيد هو $٢$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد مرات تكرار كسر معين داخل كسر آخر، نقسم القيمة الكلية على الكسر الجزئي.

العملية الحسابية: $ص = \frac{١}{٦} \div \frac{١}{٢}$

نحول عملية القسمة إلى ضرب مع قلب الكسر الثاني:

التعويض: $ص = \frac{٦}{١} \times \frac{١}{٢}$

التبسيط بضرب البسطين والمقامين: $٣ = \frac{٦}{٢}$

إذن عدد الأسداس في النصف هو $٣$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: للمقارنة بين الحجوم المعطاة بوحدات مختلفة، نحول المتر المكعب إلى سنتيمتر مكعب.

بما أن المتر الطولي الواحد يساوي $١٠٠$ سنتيمتر، فإن المتر المكعب يساوي $١٠٠ \times ١٠٠ \times ١٠٠$ سنتيمتر مكعب.

أي أن معامل التحويل الفعلي هو $١٠٠٠٠٠٠$ سنتيمتر مكعب لكل متر مكعب.

القانون: $ح = ١٠٠٠٠٠٠ \times م$

حيث (م) الحجم بالمتر المكعب، (ح) الحجم المعادل بالسنتيمتر المكعب.

التعويض في القانون: $ح = ١٠٠٠٠٠٠ \times ٣$

الناتج: القيمة الأولى تساوي $٣٠٠٠٠٠٠$ سنتيمتر مكعب.

القيمة الثانية المعطاة هي $٣٠٠٠$ سنتيمتر مكعب فقط.

المقارنة رياضياً: $٣٠٠٠ < ٣٠٠٠٠٠٠$

إذن القيمة الأولى أكبر بكثير من القيمة الثانية.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص قابلية القسمة للأسس.

بما أن العدد $١٢$ يقبل القسمة على $٤$ بدون باقي.

فإن أي قوة صحيحة للعدد $١٢$ ستقبل القسمة على $٤$ بدون باقي.

وبالتالي الباقي هو صفر.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر.

نقوم بتربيع العدد $١٢$ لنحصل على $١٤٤ = {}^{٢}١٢$.

نقسم الناتج على $٤$ ليكون $٣٦ = \frac{١٤٤}{٤}$.

الناتج عدد صحيح، إذن الباقي هو صفر.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قابلية القسمة على ١١.

القانون: يقبل العدد القسمة على ١١ إذا كان الفرق بين مجموع الخانات الزوجية ومجموع الخانات الفردية يساوي (صفر) أو من مضاعفات العدد ١١.

الخانات الفردية (الأولى والثالثة): $٧$ و $٧$. مجموعها $١٤ = ٧ + ٧$.

الخانات الزوجية (الثانية والرابعة): $٣$ و $٣$. مجموعها $٦ = ٣ + ٣$.

الفرق بين المجموعين: $٨ = ٦ – ١٤$.

لجعل الناتج (صفر) أو من مضاعفات العدد ١١، يجب طرح العدد $٨$ من الرقم الأساسي ليختفي الفرق الزائد.

إذن العدد المطروح هو $٨$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: القسمة المطولة وإيجاد الباقي.

نقسم العدد $٣٧٣٧$ على $١١$.

نجد أن الناتج هو $٣٣٩$ والباقي $٨$.

العدد الذي يجب طرحه للحصول على قسمة بدون باقي هو الباقي نفسه.

إذن نطرح $٨$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: في عمليات القسمة، يكون المقسوم يساوي حاصل ضرب المقسوم عليه في ناتج القسمة مضافاً إليه الباقي. ويجب دائماً أن يكون المقسوم عليه أكبر من الباقي.

القانون: المقسوم = (المقسوم عليه $\times$ ناتج القسمة) + الباقي

بما أن الباقي هو $٢$، فيجب أن تكون قيمة (س) أكبر من $٢$ حتماً.

استراتيجية تجربة الخيارات المعطاة:

نجرب الخيار الأول $٩$: نجد أن $١ = ٩ \div ٩$ والباقي (صفر). خيار خاطئ.

نجرب الخيار الثاني $٥$: نجد أن $١ = ٥ \div ٩$ والباقي $٤$. خيار خاطئ.

نجرب الخيار الثالث $٦$: نجد أن $١ = ٦ \div ٩$ والباقي $٣$. خيار خاطئ.

نجرب الخيار الرابع $٧$: نجد أن $١ = ٧ \div ٩$ والباقي $٢$. خيار صحيح.

إذن قيمة المتغير هي $٧$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: قابلية القسمة على العدد ٣.

القانون: يقبل العدد القسمة على ٣ إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على ٣.

نقوم بجمع أرقام كل خيار للتحقق من قابليته للقسمة.

الخيار الأول: $١٤ = ٧ + ٦ + ١$ (لا يقبل القسمة على ٣).

الخيار الثاني: $١٦ = ٩ + ٦ + ١$ (لا يقبل القسمة على ٣).

الخيار الثالث: $١٥ = ٨ + ٦ + ١$ (يقبل القسمة على ٣).

الخيار الرابع: $١٠ = ٢ + ٧ + ١$ (لا يقبل القسمة على ٣).

إذن العدد $١٦٨$ هو الإجابة الصحيحة.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: القسمة المطولة وتجربة الخيارات.

نقوم بقسمة الخيارات على العدد ٣.

عند قسمة $١٦٨$ على $٣$ يكون الناتج $٥٦$ والباقي صفر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استراتيجية تجربة الخيارات ومطابقتها مع الشروط اللفظية المذكورة في المسألة.

الشرط الأول: رقم العشرات أكبر من رقم الآحاد بمقدار $٣$

نجرب الخيار الأول $٣٦$: العشرات $٣$ والآحاد $٦$. العملية $٣- = ٦ – ٣$. الشرط لم يتحقق.

نجرب الخيار الثاني $٦٣$: العشرات $٦$ والآحاد $٣$. العملية $٣ = ٣ – ٦$. الشرط الأول متحقق.

الشرط الثاني: خمسة أمثال مجموع الرقمين مقسوماً على $٩$ يجب أن يساوي $٥$

نطبق على العدد $٦٣$:

مجموع الرقمين: $٩ = ٦ + ٣$

خمسة أمثال المجموع: $٤٥ = ٥ \times ٩$

القسمة على تسعة: $٥ = ٩ \div ٤٥$

بما أن الناتج هو $٥$، فإن الشرط الثاني متحقق تماماً.

إذن العدد المطلوب هو $٦٣$

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: العمليات العكسية.

نبدأ من آخر التمرين ونعكس العمليات الحسابية من قسمة إلى ضرب.

الناتج $٣٦$ نضربه في $٣$ ليصبح $١٠٨ = ٣ \times ٣٦$.

ثم نضربه في $٦$ ليصبح $٦٤٨ = ٦ \times ١٠٨$.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: تكوين معادلة جبرية وحلها.

نفرض أن العدد هو س.

المعادلة: $٣٦ = ٣ \div (٦ \div س)$.

نضرب الطرفين في $٣$ لنتخلص من القسمة الثانية: $١٠٨ = ٦ \div س$.

نضرب الطرفين في $٦$ لنجد قيمة س: $٦٤٨ = ٦ \times ١٠٨ = س$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: لمعرفة عدد العشرات في أي عدد، نقسم هذا العدد على $١٠$ ونأخذ الجزء الصحيح فقط من الناتج.

القانون: $ص = ١٠ \div س$

حيث (س) تمثل العدد المعطى، و(ص) الناتج الإجمالي.

التعويض لإيجاد الناتج: $١٧٣٩٧,٥ = ١٠ \div ١٧٣٩٧٥$

بأخذ الجزء الصحيح فقط، نجد أن عدد العشرات هو $١٧٣٩٧$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تطبيق قواعد قابلية القسمة واستبعاد الخيارات. لكي يقبل عدد القسمة على $٩$ يجب أن يكون مجموع أرقام خاناته من مضاعفات العدد $٩$. ولكي لا يقبل القسمة على $٤$ يجب أن يكون عدداً فردياً، أو يكون رقم آحاده وعشراته معاً لا يقبلان القسمة على $٤$

نجرب الخيار الثالث $١٢٠$: مجموع خاناته $٣ = ٠ + ٢ + ١$ وهو لا يقبل القسمة على $٩$. خيار مستبعد.

نجرب الخيار الثاني $٣٦$: يقبل القسمة على $٩$. ولكنه يقبل القسمة أيضاً على $٤$ لأن $٩ = ٤ \div ٣٦$. خيار مستبعد.

نجرب الخيار الرابع $١٠٨$: يقبل القسمة على $٩$. ولكنه يقبل القسمة على $٤$ لأن الرقم المكون من الآحاد والعشرات هو $٠٨$ ويقبل القسمة على $٤$. خيار مستبعد.

نجرب الخيار الأول $١٣٥$: يقبل القسمة على $٩$ لأن المجموع $٩ = ٥ + ٣ + ١$. ولا يقبل القسمة على $٤$ لأنه عدد فردي تماماً. وهو الخيار الصحيح.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: العدد الأولي هو العدد الذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد $١$ الصحيح. العدد غير الأولي (المؤلف) له قواسم أخرى. نختبر الخيارات المتاحة.

الخيار الأول $٢٩$: عدد أولي لا يقبل القسمة إلا على $٢٩$ و $١$

الخيار الثاني $١٣$: عدد أولي لا يقبل القسمة إلا على $١٣$ و $١$

الخيار الثالث $٨٧$: نطبق قاعدة قابلية القسمة على $٣$. نجمع خانات العدد.

المجموع: $١٥ = ٨ + ٧$

بما أن العدد $١٥$ يقبل القسمة على $٣$، فإن العدد $٨٧$ يقبل القسمة على $٣$

التحقق: $٢٩ = ٣ \div ٨٧$

بما أن له قواسم أخرى غير نفسه والواحد، فهو عدد غير أولي.

إذن الإجابة الصحيحة هي $٨٧$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: القسمة، والباقي، وتجربة الخيارات.

نطبق قانون القسمة: $ب + (ع \times ن) = م$.

حيث (م) المقسوم، و(ن) الناتج، و(ع) المقسوم عليه، و(ب) الباقي.

نجرب الخيارات؛ لنرى أي عدد يحقق الشرط.

الخيار الأول $٥٦$: نقسمه على $١٣$.

نجد أن $٥٢ = ١٣ \times ٤$.

نحسب الباقي: $٤ = ٥٢ – ٥٦$.

الباقي هو $٤$، وهو يطابق الشرط في السؤال.

إذن، الإجابة الصحيحة هي $٥٦$.

تكنيك ١

المفهوم الرياضي: خصائص الأعداد الأولية وقابلية القسمة.

العدد الأولي هو العدد الذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد الصحيح.

نختبر الخيارات باستبعاد الأعداد غير الأولية.

الخيار الأول ($١١٠١$): مجموع أرقامه $٣ = ١ + ٠ + ١ + ١$، فهو يقبل القسمة على $٣$.

الخيار الثالث ($١٠١١$): مجموع أرقامه $٣ = ١ + ١ + ٠ + ١$، فهو يقبل القسمة على $٣$.

الخيار الرابع ($١١٠٠$): آحاده (صفر) فهو زوجي ويقبل القسمة على $٢$ و $٥$.

الخيار الثاني ($١٠١$): لا يقبل القسمة على $٢$ ولا $٣$ ولا $٥$ ولا $٧$.

إذن $١٠١$ هو العدد الأولي.

تكنيك ٢

المفهوم الرياضي: الاستبعاد المباشر.

أي عدد زوجي أكبر من $٢$ ليس أوليا (نستبعد $١١٠٠$).

مجموع أرقام $١١٠١$ و $١٠١١$ يساوي $٣$، إذا يقبلان القسمة على $٣$ فهما غير أوليين.

يتبقى العدد $١٠١$ كإجابة صحيحة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استراتيجية قابلية القسمة. لكي يقبل أي عدد القسمة على $٤$ ، يجب أن يكون العدد المكون من خانتي الآحاد والعشرات معاً من مضاعفات العدد $٤$ أو يقبل القسمة عليه بدون باقٍ.

بالنظر إلى العدد المعطى، نجد أن خانة الآحاد هي $٤$ وخانة العشرات هي المتغير س.

نقوم بتجربة الخيارات المعطاة لتعويض قيمة س ومعرفة ما إذا كان العدد الناتج يقبل القسمة على $٤$

نجرب الخيار الأول حيث $٤ = س$:

يصبح العدد المكون من الآحاد والعشرات هو $٤٤$

نقسم على أربعة: $١١ = ٤ \div ٤٤$

بما أن الناتج عدد صحيح بدون باقٍ، فإن الشرط يتحقق.

للتأكد، نجرب الخيار الثاني $٥ = س$: العدد $٥٤$ لا يقبل القسمة على $٤$

إذن القيمة الصحيحة للمتغير س هي $٤$