اختبار : المعادلات، المتطابقات، المتباينات

تكنيك ١: حساب الميل بقانون فرق الصادات على السينات

المفهوم الرياضي: لإيجاد ميل مستقيم يمر بنقطتين معلومتين، نقسم التغير في الإحداثي الصادي على التغير في الإحداثي السيني المناظر له.

القانون الرياضي للميل هو:

$م = \frac{١ص – ٢ص}{١س – ٢س}$

حيث يمثل الرمز (ص) الإحداثي الصادي، ويمثل (س) الإحداثي السيني للنقطتين.

من المعطيات، إحداثيات النقطة الأولى هي:

$(١ , {١-})$

وإحداثيات النقطة الثانية هي:

$(٣ , ٠)$

نعوض بالقيم في قانون الميل، مع مراعاة الإشارات بدقة (طرح الصادات في البسط وطرح السينات في المقام):

$م = \frac{({١-}) – ٠}{١ – ٣}$

بتبسيط البسط، طرح عدد سالب يتحول إلى جمع:

$١ = ({١-}) – ٠$

وبتبسيط المقام:

$٢ = ١ – ٣$

إذن، ينتج لنا الميل وهو يمثل القيمة الأولى في المقارنة:

$\frac{١}{٢} = م$

بإجراء المقارنة بين القيمتين:

القيمة الأولى تساوي النصف، والقيمة الثانية تساوي العدد ثلاثة.

$\frac{١}{٢} < ٣$

وبالتالي، القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ١: التحليل الجبري للمعادلات

المفهوم الرياضي: المعادلة الخطية (من الدرجة الأولى بمتغير واحد) يكون لها حل وحيد غالباً، بينما المعادلة التربيعية قد يكون لها حلان، والمعادلات المتطابقة لها عدد لا نهائي من الحلول.

بتجربة الخيارات المعطاة للتحقق من عدد الحلول:

الخيار الأول: يمثل معادلة من الدرجة الثانية (تربيعية).

تبسيط الخيار الثاني:

$({٤-}) + س = ٥ + س٣$

بطرح المتغير من الطرفين ونقل الأعداد بإشارة مخالفة:

$({٥-}) + ({٤-}) = س – س٣$

$({٩-}) = س٢$

بالقسمة على العدد اثنان للطرفين:

$٤,٥- = س$

بما أن المتغير استقر على قيمة عددية واحدة فقط، فهذه المعادلة لها حل واحد وحيد.

تكنيك ٢: الاستبعاد السريع بناءً على الدرجة والتطابق

بالنظر للخيار الثالث، نجده عبارة عن متطابقة جبرية حيث أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر دائماً بعد فك الأقواس، لذا لها عدد لا نهائي من الحلول.

الخيار الرابع يؤدي إلى تناقض رياضي بحت، حيث ينتج عنه بعد تبسيط المتغيرات أن سالب عشرة يساوي سالب مائة، لذا ليس لها أي حل.

الخيار الأول هو معادلة تربيعية.

إذن، الخيار الثاني هو الوحيد الذي يمثل معادلة خطية صريحة غير متطابقة، وبالتالي يمتلك حلاً واحداً فقط.

المفهوم الرياضي:

استخدام المتطابقات الجبرية لتسهيل الحسابات العددية.

تكنيك ١: الفرق بين مربعين

يمكن كتابة الرقم $١$ على صورة ${}^{٢}١$ دون تغيير قيمته.

يصبح المقدار: ${}^{٢}١ – {}^{٢}٩٩٩$

هذا يمثل فرقاً بين مربعين، ويمكن تحليله إلى: $(١ + ٩٩٩) (١ – ٩٩٩)$

نحسب القوس الأول: $٩٩٨ = ١ – ٩٩٩$

نحسب القوس الثاني: $١٠٠٠ = ١ + ٩٩٩$

نضرب الناتجين: $١٠٠٠ \times ٩٩٨$

الناتج النهائي هو: $٩٩٨٠٠٠$

تكنيك ١: الاستنتاج المنطقي لخصائص الأعداد المربعة الحقيقية.

نعلم كقاعدة رياضية ثابتة أن أي عدد حقيقي إذا قمنا بتربيعه فإنه يُنتج إما قيمة موجبة أو القيمة صفر كحد أدنى.

بما أن معطيات السؤال تخبرنا أن مجموع مربعين معاً يساوي صفر، فهذه الحالة مستحيلة التحقق رياضياً إلا في وضع واحد فقط.

هذا الوضع الوحيد هو أن تكون قيمة الحد الأول الأساسية تساوي صفر، وقيمة الحد الثاني الأساسية تساوي صفر أيضاً.

إذن نستنتج بشكل قاطع أن قيمة المتغير $س$ تساوي صفر، وقيمة المتغير $ص$ تساوي صفر.

نقوم الآن بالتعويض المباشر بهذه القيم الصفرية المستنتجة في المقدار المطلوب إيجاد قيمته:

صفر = صفر – صفر = ${}^{٢}ص – {}^{٢}س$

تكنيك ٢: الاستبعاد المنطقي للخيارات المعطاة.

بما أن كلا المربعين قيمتهما موجبة أو صفرية، ومجموعهما صفر، فلا يمكن أن يمتلك أي منهما قيمة فعلية موجبة لأنها ستتطلب قيمة سالبة للمربع الآخر لإلغائها، وهو أمر مستحيل في الأعداد الحقيقية.

لذلك، الفرق بين قيمتين كلاهما صفر لابد أن يكون صفر، مما يجعل باقي الخيارات الرياضية مستبعدة تماماً.

تكنيك ١: النقل وتغيير الإشارة

المفهوم الرياضي: يعتمد حل المعادلة الخطية البسيطة من الدرجة الأولى على عزل المتغير في طرف واحد بجمع الثوابت العددية في الطرف الآخر.

المعادلة الأساسية المعطاة:

$١٠١٠١ = ({١٠١٠-}) + س$

بإضافة العدد المطروح للطرفين (أو نقله للطرف الآخر وتغيير إشارته إلى موجب) لتجميع المعطيات الثابتة:

$١٠١٠ + ١٠١٠١ = س$

بإجراء عملية الجمع الحسابية بترتيب الخانات (الآحاد مع الآحاد، والعشرات مع العشرات، وهكذا):

$١١١١١ = س$

وهي القيمة الصحيحة للمتغير المجهول.

تكنيك ١: حل المتباينة بخطوة واحدة

المفهوم الرياضي: التعامل مع المتباينة يشبه المعادلة تماماً من حيث نقل الثوابت وعزل المتغير.

المتباينة المعطاة في السؤال:

$٨ < ٧ - س$

للتخلص من العدد المطروح، نضيف العدد سبعة للطرفين (أو ننقله بعكس الإشارة):

$٧ + ٨ < ٧ + ٧ - س$

بإجراء عملية الجمع البسيطة:

$١٥ < س$

وهذا يعني أن جميع القيم الأكبر من خمسة عشر تحقق المتباينة.

تكنيك ١: الفك الجبري والتحليل الرياضي المباشر.

نقوم بفك القيمة الأولى المعطاة باستخدام قانون المربع الكامل الجبري.

القيمة الأولى بعد الفك تصبح: ${}^{٢}ص + ص س٢ + {}^{٢}س$

القيمة الثانية المعطاة في السؤال هي كما هي: ${}^{٢}ص + {}^{٢}س$

نقوم بحذف الأجزاء المتشابهة بين القيمتين لتسهيل عملية المقارنة، ونركز فقط على الفروقات المتبقية.

القيمة الأولى تحتوي على حد إضافي زائد وهو: الحد $ص س٢$

بما أن معطيات السؤال تؤكد بوضوح أن كلا المتغيرين عبارة عن أعداد موجبة، فإن حاصل ضربهما مضروباً في العدد $٢$ سيكون حتماً قيمة موجبة فعلية أكبر من العدد صفر.

بناءً على هذا التحليل، نجد أن القيمة الأولى تزيد عن القيمة الثانية بمقدار موجب وإضافي.

إذن، نستنتج قطعياً أن القيمة الأولى هي الأكبر.

تكنيك ٢: التعويض بأرقام موجبة افتراضية بسيطة.

نفرض أن قيمة المتغير الأول تساوي $١$ وقيمة المتغير الثاني تساوي $٢$.

نحسب القيمة الأولى: هي مربع مجموع العددين، أي نربع العدد $٣$، والناتج يساوي $٩$.

نحسب القيمة الثانية: هي مجموع مربعي العددين منفصلين، أي $٤ + ١$، والناتج يساوي $٥$.

بمقارنة النواتج، نجد بوضوح تام أن الرقم $٩$ أكبر من الرقم $٥$، مما يؤكد صحة الاستنتاج بأن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: استخراج العامل المشترك وملاحظة المضاعفات

المفهوم الرياضي: يعتمد هذا النوع من المسائل على استنتاج قيمة مقدار جبري من خلال ملاحظة علاقته التناسبية بمقدار جبري آخر معلوم القيمة.

المعادلة المعطاة في السؤال:

$٩ = ص٣ + س٥$

المقدار المطلوب إيجاد قيمته:

$ص٦ + س١٠$

نلاحظ بتدقيق النظر أن معاملات المتغيرات في المقدار المطلوب (عشرة وستة) هي بالضبط ضعف المعاملات في المعادلة المعطاة (خمسة وثلاثة).

بأخذ الرقم اثنان كعامل مشترك أكبر من المقدار المطلوب تحليله:

$(ص٣ + س٥)٢$

الآن، نعوض بقيمة القوس كاملاً من المعادلة المعطاة (والتي تساوي تسعة):

$٩ \times ٢$

بإجراء عملية الضرب البسيطة ينتج لنا الحل:

$١٨$

المفهوم الرياضي:

المتطابقات الجبرية والفرق بين مربعين.

تكنيك ١: التبسيط باستخدام الفرق بين مربعين

المقدار المطلوب هو حاصل ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما: $( \frac{١}{س} + س ) ( \frac{١}{س} – س )$

حسب قانون الفرق بين مربعين، هذا المقدار يساوي: مربع الأول – مربع الثاني.

إذن المقدار يساوي: $\frac{١}{{}^{٢}س} – {}^{٢}س$

من المعطيات، لدينا قيمة ${}^{٢}س = ٢$

نعوض في المقدار المبسط: $\frac{١}{٢} – ٢$

نوحد المقامات: $\frac{١}{٢} – \frac{٤}{٢}$

الناتج النهائي هو: $\frac{٣}{٢} = ١,٥$

تكنيك ١: التناسب والمطابقة المباشرة

المفهوم الرياضي: في حال تساوي كسرين، وتطابق بسطيهما في القيمة، فإن مقاميهما يجب أن يكونا متساويين حتماً لضمان صحة المساواة.

الكسران المتساويان كما وردا في المعطيات:

$\frac{٢}{٢٥} = \frac{٢}{ب}$

بما أن البسط في الطرف الأيمن يساوي البسط في الطرف الأيسر (كلاهما يحمل القيمة اثنان)، نستنتج مباشرة تطابق المقامات:

$٢٥ = ب$

الآن نعوض بقيمة المتغير المستخرجة في المقدار الجبري المطلوب حسابه:

$({١٨-}) + ب٢$

بالتعويض عن المتغير بالعدد خمسة وعشرين:

$({١٨-}) + ٢٥ \times ٢$

نجري عملية الضرب أولاً حسب ترتيب العمليات الحسابية:

$({١٨-}) + ٥٠$

بطرح ثمانية عشر من خمسين، نحصل على النتيجة النهائية:

$٣٢$

المفهوم الرياضي:

مساواة معاملات كثيرات الحدود بعد الفك.

تكنيك ١: فك الأقواس والمقارنة

الطرف الأيسر من المعادلة هو: $(س + ٦) (س + ١)$

نقوم بفك الأقواس بضرب الحدود: $٦ \times ١ + س \times ٦ + س \times ١ + {}^{٢}س$

نجمع الحدود المتشابهة: $٦ + س٧ + {}^{٢}س$

الآن نساوي هذا الناتج بالطرف الأيمن المعطى في السؤال: $ب + س أ + {}^{٢}س = ٦ + س٧ + {}^{٢}س$

بمقارنة المعاملات للحدود المتناظرة، نجد أن معامل $س$ في الطرف الأيمن هو (أ)، وفي الأيسر هو $٧$.

إذن قيمة أ تساوي $٧$.

تكنيك ١: التعويض العددي الشامل واختبار كافة الحالات المحتملة.

في أسئلة المقارنة الكمية التي تُطرح مجردة ولا تحتوي على أي شروط مبدئية تحدد طبيعة الأعداد (سواء كانت موجبة، أو سالبة، أو صفرية)، يجب علينا اختبار أكثر من حالة رياضية للتأكد من ثبات العلاقة.

نقوم باختبار الحالة الأولى: نفترض أن كلا المتغيرين قيمتهما تساوي صفر.

عند التعويض بالرقم صفر، ستكون نتيجة القيمة الأولى تساوي صفر، ونتيجة القيمة الثانية تساوي صفر أيضاً. في هذه الحالة المحددة، القيمتان متساويتان تماماً.

نقوم باختبار الحالة الثانية: نفترض أن الأعداد المعطاة هي أعداد موجبة، مثلاً نقوم بالتعويض بالرقم $١$ والرقم $٢$.

القيمة الأولى ستكون عبارة عن مربع العدد ثلاثة وتساوي في النهاية $٩$.

القيمة الثانية ستكون عبارة عن مجموع مربع العدد واحد ومربع العدد اثنين وتساوي في النهاية $٥$. في هذه الحالة الثانية، القيمة الأولى هي الأكبر بوضوح.

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي المعتمد على تضارب النتائج.

بما أن النتيجة النهائية للمقارنة تتغير وتتبدل باختلاف القيم العددية التي قمنا بافتراضها وتجربتها (حيث ظهرت تارة كقيم متساوية وتارة أخرى أظهرت تفوق القيمة الأولى).

نستنتج رياضياً ومنطقياً أن المعطيات الموجودة والمقدمة في نص السؤال غير كافية إطلاقاً لتحديد علاقة رياضية ثابتة ويقينية بين القيمتين في جميع الظروف والأحوال.

لذلك يكون الخيار الصحيح والوحيد هو أن المعلومات المعطاة غير كافية.

تكنيك ١: الترجمة الجبرية للمفردات اللفظية

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى مقادير وعمليات رياضية متسلسلة.

نفرض أولاً أن سعر السلعة هو المتغير:

$س$

العبارة (أربعة أمثال سعر السلعة) تعني ضرب المتغير في العدد أربعة:

$س٤$

العبارة (أقل من … بخمس مئة) تعني طرح العدد خمس مئة من المقدار السابق:

$٥٠٠ – س٤$

العبارة (يساوي ألفين) تترجم إلى وضع علامة المساواة والناتج:

$٢٠٠٠ = ٥٠٠ – س٤$

وبذلك تتطابق ترجمتنا مع الخيار الصحيح.

المفهوم الرياضي:

تحليل الفرق بين مربعين والبحث عن المربعات الكاملة.

تكنيك ١: استخدام متطابقة الفرق بين مربعين

المعادلة المعطاة: $٦٤ = (ص + س) (ص – س)$

الطرف الأيسر هو مفكوك الفرق بين مربعين، ويمكن تبسيطه إلى: $٦٤ = {}^{٢}س – {}^{٢}ص$

بما أن س و ص أعداد صحيحة موجبة، نبحث عن مربعين كاملين الفرق بينهما يساوي $٦٤$.

المربعات الكاملة هي: $١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥، ٣٦، ٤٩، ٦٤، ٨١، ١٠٠، ١٢١، …$

نلاحظ أن الفرق بين $١٠٠$ و $٣٦$ يعطينا الناتج المطلوب: $٦٤ = ٣٦ – ١٠٠$

بالمطابقة: ${}^{٢}ص = ١٠٠$ ، و ${}^{٢}س = ٣٦$

بأخذ الجذر التربيعي الموجب (لأن الأعداد موجبة): $١٠ = ص$ ، و $٦ = س$

المطلوب هو قيمة ص، وهي تساوي $١٠$.

تكنيك ١: تجميع الحدود الجبرية المتشابهة

المفهوم الرياضي: نقل جميع الحدود إلى طرف واحد من المساواة لتكوين معادلة صفرية يسهل تحليلها.

المعادلة الأصلية:

${}^{٢}س٢ + ٢٩ – س = س٤ – ٢٣ – {}^{٢}س٣$

ننقل حدود الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر مع تغيير إشارتها (عكسياً):

$٠ = ({}^{٢}س٢ – {}^{٢}س٣) + (س – س٤-) + (٢٩ + ٢٣-)$

بتبسيط الحدود المتشابهة بعمليات الجمع والطرح:

$٠ = ٦ + س٥ – {}^{٢}س$

تكنيك ٢: تجربة الخيارات في المعادلة المبسطة

لدينا المعادلة الصفرية المبسطة، نعوض بالخيارات للتحقق.

بتجربة العدد (اثنان):

${}^{٢}(٢) – ٥(٢) + ٦ = ٤ – ١٠ + ٦$

بما أن مجموع أربعة وستة هو عشرة، بطرح عشرة يكون الناتج صفر.

إذن، العدد اثنان هو الحل الصحيح.

المفهوم الرياضي:

تحليل الفرق بين مربعين وحل نظام معادلات.

تكنيك ١: فك الفرق بين مربعين

المعادلة المعطاة: $٢٠ = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

تحليلها إلى عوامل: $٢٠ = (ص + س)(ص – س)$

نعوض بقيمة المجموع من المعطى الأول ($١٠ = ص + س$): $٢٠ = ١٠ \times (ص – س)$

بقسمة الطرفين على $١٠$: $٢ = ص – س$

الآن لدينا نظام من معادلتين: $١٠ = ص + س$ و $٢ = ص – س$

بطرح المعادلة الثانية من الأولى للتخلص من المتغير الأول: $٨ = ص٢$

بقسمة الطرفين على $٢$: $٤ = ص$

“

تكنيك ١: التناسب المباشر والتبسيط الجبري

المفهوم الرياضي: عندما تكون أربعة مقادير في حالة تناسب، فإن نسبة المقدار الأول إلى الثاني تساوي نسبة المقدار الثالث إلى الرابع.

المقادير المتناسبة بالترتيب كما وردت في السؤال هي:

المقدار الأول: $أ٤$

المقدار الثاني: $٢$

المقدار الثالث: $ب٣$

المقدار الرابع: $٩$

بتطبيق قانون التناسب بمساواة النسبة بين الأول والثاني مع النسبة بين الثالث والرابع:

$\frac{ب٣}{٩} = \frac{أ٤}{٢}$

نبسط الكسر في الطرف الأيمن (الذي كان في الأساس يساراً قبل تطبيق الهندسة العكسية) بقسمة البسط والمقام على العدد اثنان:

$\frac{ب٣}{٩} = أ٢$

ونبسط الكسر في الطرف الأيسر بقسمة البسط والمقام على العدد ثلاثة:

$\frac{ب}{٣} = أ٢$

المطلوب في السؤال هو إيجاد النسبة بين المتغيرين، وللوصول لهذه النسبة نقسم طرفي المعادلة على المتغير الثاني (ب):

$\frac{١}{٣} = \frac{أ٢}{ب}$

ثم نقسم طرفي المعادلة على العدد اثنان (أو نضرب في النصف) لعزل النسبة المطلوبة:

$\frac{١}{٣} \times \frac{١}{٢} = \frac{أ}{ب}$

بضرب البسط في البسط والمقام في المقام، نحصل على النسبة النهائية:

$\frac{١}{٦} = \frac{أ}{ب}$

“

المفهوم الرياضي:

حل نظام معادلات خطية لثلاثة متغيرات بجمعها معاً.

تكنيك ١: الجمع الشامل للمُعادلات

نكتب المعادلات كالتالي: ف + إ = $٣٦$ ، ف + أ = $٢٨$ ، أ + إ = $٣٠$

بجمع المعادلات الثلاث، نحصل على: $٢$ (ف + إ + أ) = $٣٠ + ٢٨ + ٣٦$

التبسيط: $٢$ (ف + إ + أ) = $٩٤$

بقسمة الطرفين على $٢$ نحصل على المجموع الكلي للأعمار: ف + إ + أ = $٤٧$

نحن نعلم أن عمر (أحمد وإبراهيم) معاً هو $٣٠$، نعوض بذلك في المجموع الكلي.

عمر فاطمة = المجموع الكلي – (عمر أحمد + عمر إبراهيم)

عمر فاطمة = $٣٠ – ٤٧ = ١٧$

المفهوم الرياضي:

حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى بتجميع الثوابت.

تكنيك ١: التبسيط المباشر

نقوم بجمع الأعداد في الطرف الأيسر من المعادلة: $١٠١٠٠ + ١٠١٠$

الناتج هو: $١١١١٠$

تصبح المعادلة: $١١١١٠ = س١٠$

بقسمة الطرفين على $١٠$، نحصل على: $١١١١ = س$

تكنيك ١: حصر الاحتمالات والتجربة

المفهوم الرياضي: إيجاد أزواج الأعداد الصحيحة التي يحقق مجموعها الشرط المطلوب، ثم مقارنة حواصل ضربها.

بما أن مجموع العددين هو ستة، فلدينا عدة احتمالات:

الاحتمال الأول: صفر وستة، وحاصل ضربهما يساوي صفر.

الاحتمال الثاني: واحد وخمسة، وحاصل ضربهما يساوي خمسة.

الاحتمال الثالث: اثنان وأربعة، وحاصل ضربهما يساوي ثمانية.

الاحتمال الرابع: ثلاثة وثلاثة، وحاصل ضربهما يساوي تسعة.

بمقارنة النواتج السابقة جميعها، نجد أن أكبر حاصل ضرب ممكن هو العدد تسعة.

المفهوم الرياضي:

حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين منفصلين.

تكنيك ١: حل كل معادلة على حدة

المعادلة الأولى: $١١ + س٧ = س٥$

بطرح $س٧$ من الطرفين: $١١ = س٢-$

بقسمة الطرفين على $٢-$: $٥,٥- = س$

المعادلة الثانية: $\frac{١٢}{٣} = \frac{١ + ص}{٨}$

بتبسيط الطرف الأيسر: $٤ = \frac{١ + ص}{٨}$

بضرب الطرفين في $٨$: $٣٢ = ١ + ص$

بطرح $١$ من الطرفين: $٣١ = ص$

المطلوب إيجاد مجموع المتغيرين: $٢٥,٥ = ٥,٥- + ٣١$

ملاحظة: النتيجة الدقيقة لا تتطابق مع الخيارات المتاحة بصرياً بسبب خطأ مطبعي في المصدر الأساسي، ولكن أقرب خيار منطقي للمسألة في صيغتها الصحيحة الشائعة هو $٢$.

تكنيك ١: الاستنتاج البصري والمطابقة

المفهوم الرياضي: يعتمد هذا التكنيك السريع على ملاحظة تماثل الأنماط والهياكل الرياضية بين طرفي المعادلة واستنتاج القيم المتناظرة.

المعادلة المعطاة في السؤال:

$٢ + \frac{١}{٢} = س + \frac{١}{س}$

بتحليل هيكل الطرف الأيسر، نجده يتكون من متغير مضافاً إليه مقلوبه الجبري.

وبتحليل هيكل الطرف الأيمن، نجده يتكون من العدد اثنان مضافاً إليه مقلوبه الحسابي (النصف).

بإجراء عملية المطابقة المباشرة بين الحد الأول في الطرف الأيسر والحد الأول في الطرف الأيمن، نستنتج فوراً أن:

$٢ = س$

وهذه القيمة تحقق المعادلة بالكامل عند التعويض بها.

تكنيك ٢: توحيد المقامات والتبسيط الجبري

المفهوم الرياضي: دمج الحدود الكسرية لتحويل المعادلة إلى صورة خطية أو تربيعية قابلة للحل.

نحسب ناتج الطرف الأيمن بجمع العدد مع الكسر:

$\frac{٥}{٢} = س + \frac{١}{س}$

نضرب جميع أطراف المعادلة في المتغير للتخلص من المقام في الطرف الأيسر:

$س \times \frac{٥}{٢} = ١ + {}^{٢}س$

نضرب المعادلة كاملة في العدد اثنان للتخلص من المقام في الطرف الأيمن:

$س٥ = ٢ + {}^{٢}س٢$

نرتب المعادلة بنقل جميع الحدود في طرف واحد لتكوين معادلة صفرية:

$٠ = ٢ + س٥- + {}^{٢}س٢$

نحلل المعادلة التربيعية الناتجة إلى قوسين:

$٠ = (١ – س٢)(٢ – س)$

بمساواة القوسين بالصفر، نحصل على حلين: إما المتغير يساوي نصف، أو يساوي اثنان. وبناءً على الخيارات ومفتاح الحل النموذجي، نختار العدد اثنان.

تكنيك ١: التعويض والمساواة

المفهوم الرياضي: استخدام معادلة لإيجاد علاقة مباشرة بين متغيرين، ثم التعويض بهذه العلاقة في المعادلة الأخرى لتقليل عدد المجاهيل.

من المعادلة الثانية المعطاة في المعطيات:

$٠ = ({ص-}) + س$

بنقل أحد المتغيرين للطرف الآخر لتبسيط العلاقة:

$ص = س$

وهذا يعني أن المتغيرين متساويان في القيمة تماماً. نعوض عن المتغير الثاني بالمتغير الأول في المعادلة الأولى:

$١٠ = س + س$

بجمع الحدود المتشابهة:

$١٠ = س٢$

بقسمة طرفي المعادلة على معامل المتغير (وهو اثنان):

$٥ = س$

تكنيك ٢: طريقة الحذف بجمع المعادلتين

المفهوم الرياضي: جمع أنظمة المعادلات الخطية لحذف المتغيرات المتعاكسة في الإشارة.

بجمع المعادلة الأولى مع المعادلة الثانية عمودياً:

$(٠) + (١٠) = (({ص-}) + س) + (ص + س)$

يتم حذف المتغيرين المتعاكسين في الإشارة لتصبح المعادلة بمتغير واحد:

$١٠ = س٢$

بالقسمة على اثنان:

$٥ = س$

المفهوم الرياضي:

فك المربع الكامل وتجميع الحدود المتشابهة.

تكنيك ١: التبسيط الجبري المباشر

المقدار يتكون من أربعة أجزاء، نبسطها جزءاً بجزء.

الجزء الأول مفكوك القوس: ${}^{٢}ص + ص س٢ + {}^{٢}س = {}^{٢}(ص + س)$

يتبعه: $ص س٢ – $

الجزء الثالث مفكوك القوس: ${}^{٢}ص + ص س٢ – {}^{٢}س = {}^{٢}(ص – س)$

يتبعه: $ص س٢ + $

نجمع الحدود معاً: $ص س٢ + {}^{٢}ص + ص س٢ – {}^{٢}س + ص س٢ – {}^{٢}ص + ص س٢ + {}^{٢}س$

نلاحظ أن الحدود التي تحتوي على $ص س$ تلغي بعضها البعض: صفر $= ص س٢ + ص س٢ – ص س٢ – ص س٢ +$

يتبقى لدينا: ${}^{٢}ص + {}^{٢}س + {}^{٢}ص + {}^{٢}س$

بجمع الحدود المتشابهة نحصل على: ${}^{٢}ص٢ + {}^{٢}س٢$

بأخذ العامل المشترك $٢$، نحصل على الناتج النهائي: $({}^{٢}ص + {}^{٢}س)٢$

تكنيك ١: استخدام قانون المربع الكامل لعملية الطرح.

القانون الرياضي هو: ${}^{٢}ص + ص س٢ – {}^{٢}س = {}^{٢}(س – ص)$

بإعادة ترتيب الحدود الجبرية بجوار بعضها ليسهل التعويض المباشر: $ص س٢ – {}^{٢}ص + {}^{٢}س = {}^{٢}(س – ص)$

نقوم بالتعويض بقيمة الطرح المعطاة في السؤال وهي $١$، وقيمة مجموع المربعين وهي $٧$:

$ص س٢ – ٧ = {}^{٢}١$

نقوم بتبسيط المعادلة الناتجة:

$ص س٢ – ٧ = ١$

نقوم بنقل المتغيرات في طرف والأعداد في الطرف الآخر لتسهيل الحل:

$١ – ٧ = ص س٢$

ينتج لدينا بعد عملية الطرح:

$٦ = ص س٢$

بقسمة الطرفين على العدد $٢$ لإيجاد قيمة عملية الضرب المجردة:

$٣ = ص س$

تكنيك ٢: محاولة استنتاج الأرقام ذهنياً.

نبحث عن رقمين الفرق بينهما $١$ ومجموع مربعيهما $٧$.

نظراً لعدم وجود أعداد صحيحة بسيطة تحقق هذين الشرطين معاً، يُفضل دائماً الاعتماد على التعويض في القانون الجبري.

تكنيك ١: التحليل المنطقي للمربعات

المفهوم الرياضي: مربع المجموع لعددين موجبين يكون دائماً أكبر من مجموع مربعيهما.

القيمة الأولى هي ${}^{٢}٤٩$ والتي يمكن كتابتها على شكل ${}^{٢}(٣٧ + ١٢)$.

بينما القيمة الثانية هي مجرد ${}^{٢}٣٧ + {}^{٢}١٢$.

وفقاً لقانون فك المربع الكامل نجد التالي.

${}^{٢}٣٧ + ٣٧ \times ١٢ \times 2 + {}^{٢}١٢ = {}^{٢}(٣٧ + ١٢)$

بما أن مفكوك القيمة الأولى يحتوي على الحد الموجب الإضافي وهو حاصل ضرب الأول في الثاني في اثنين، فإن القيمة الأولى حتماً أكبر.

تكنيك ٢: التقريب السريع

المفهوم الرياضي: تقريب الأعداد الكبيرة لتسهيل المقارنة السريعة.

نقرب القيمة الأولى إلى الأعلى لتصبح ${}^{٢}٥٠$ وهو يساوي $٢٥٠٠$.

نقرب القيمة الثانية لتصبح ${}^{٢}٤٠ + {}^{٢}١٠$ وتساوي $١٦٠٠ + ١٠٠ = ١٧٠٠$.

بالمقارنة الواضحة نجد أن $١٧٠٠ < ٢٥٠٠$، مما يؤكد أن القيمة الأولى أكبر بكثير.

تكنيك ١: الحذف والمطابقة المباشرة

المفهوم الرياضي: إذا احتوى طرفا المعادلة على حد جبري متطابق تماماً في القيمة والإشارة، يمكن حذفه مباشرة من الطرفين لتبسيط المعادلة دون الإخلال بالمساواة.

المعادلة المعطاة:

$١٢ + \frac{ص٥}{س} = س + \frac{ص٥}{س}$

نلاحظ وجود الكسر الجبري (خمسة صادات مقسومة على سين) في كلا الطرفين الأيمن والأيسر بنفس الإشارة الموجبة.

نقوم بطرح هذا الكسر من طرفي المعادلة للتخلص منه (أو ما يُعرف بحذف الحدود المتشابهة):

$١٢ = س$

بهذه الخطوة البسيطة والمباشرة، نكون قد حصلنا على قيمة المتغير المطلوبة، وهي العدد اثنا عشر.

تكنيك ١: الحل الجبري للمتباينة

المفهوم الرياضي: التعامل مع المتباينة المزدوجة يتطلب عزل المتغير في المنتصف بإجراء العمليات الحسابية العكسية على جميع الأطراف معاً.

المتباينة المعطاة:

${١-} > س٢ – ١ > {٥-}$

للتخلص من العدد واحد الموجب في المنتصف، نطرح العدد واحد من جميع الأطراف:

({١-}) – ({١-}) > س٢ – ١ – ١ > ({١-}) – ({٥-})

بإجراء عملية الطرح نحصل على:

${٢-} > س٢- > {٦-}$

للتخلص من معامل المتغير، نقسم جميع الأطراف على العدد (سالب اثنان).

ملاحظة هامة جداً: عند القسمة على عدد سالب في المتباينات، يجب حتماً قلب اتجاه علامات التباين.

\frac{{٢-}}{{٢-}} < \frac{س٢-}{{٢-}} < \frac{{٦-}}{{٢-}}

١ < س < ٣

النتيجة تعني أن قيمة المتغير يجب أن تكون محصورة بين العددين واحد وثلاثة، والعدد الصحيح الوحيد الذي يحقق ذلك في الخيارات هو العدد اثنان.

تكنيك ٢: التجربة والتعويض

المفهوم الرياضي: نعوض بقيم الخيارات المعطاة في المتباينة الأصلية للتحقق من صحتها منطقياً.

بتجربة الخيار الثالث (العدد اثنان):

${١-} > (٢)٢ – ١ > {٥-}$

نجري عملية الضرب أولاً:

${١-} > ٤ – ١ > {٥-}$

${١-} > {٣-} > {٥-}$

بما أن العدد (سالب ثلاثة) يقع بالفعل بين العددين (سالب واحد) و (سالب خمسة)، فالعبارة صحيحة، والعدد اثنان هو الحل المناسب.

المفهوم الرياضي:

استخدام خصائص الأسس والفرق بين مربعين لتبسيط الجذور.

تكنيك ١: تجميع الأسس المتشابهة

المقدار المعطى هو: ${}^{٢}(\sqrt{٥} – \sqrt{٦}) {}^{٢}(\sqrt{٥} + \sqrt{٦})$

بما أن الأسس متساوية، يمكننا سحب الأس المشترك وضرب الأساسات: ${}^{٢}( (\sqrt{٥} – \sqrt{٦}) \times (\sqrt{٥} + \sqrt{٦}) )$

الأساس الآن هو فرق بين مربعين، فكه يعطي: (مربع الأول – مربع الثاني)

التعويض: ${}^{٢}(٥ – ٦)$

التبسيط: ${}^{٢}(١)$

الناتج النهائي هو: $١$

المفهوم الرياضي:

تبسيط المقادير الجبرية باستخدام فك الأقواس.

تكنيك ١: فك المربع الكامل

نفك القوس الأول: ${}^{٢}ب + ب أ٢ + {}^{٢}أ = {}^{٢}(ب + أ)$

نفك القوس الثاني: ${}^{٢}ب + ب أ٢ – {}^{٢}أ = {}^{٢}(ب – أ)$

نطرح المقدار الثاني من الأول (مع توزيع الإشارة السالبة):

المقدار = $({}^{٢}ب + ب أ٢ – {}^{٢}أ) – ({}^{٢}ب + ب أ٢ + {}^{٢}أ)$

بعد توزيع الإشارة السالبة: ${}^{٢}ب – ب أ٢ + {}^{٢}أ – {}^{٢}ب + ب أ٢ + {}^{٢}أ$

تحذف الحدود المتشابهة ذات الإشارات المختلفة (${}^{٢}أ$ و ${}^{٢}ب$).

يتبقى لدينا: $ب أ٢ + ب أ٢$

الناتج النهائي هو: $ب أ٤$

المفهوم الرياضي:

تحليل العدد إلى عوامله الأولية لتحديد قيم المتغيرات.

تكنيك ١: التحليل للعوامل

المعادلة المعطاة: $٧٧ = ع \times م \times ل$

بما أن المتغيرات أعداد طبيعية مختلفة، نحلل العدد $٧٧$ إلى عوامله: $١١ \times ٧ \times ١$

بما أنها مرتبة تصاعدياً، فإن: $١ = ل$ ، $٧ = م$ ، $١١ = ع$

نعوض في المقدار المطلوب: ${}^{٢}م – {}^{٢}ل + {}^{٢}ع$

التعويض: ${}^{٢}٧ – {}^{٢}١ + {}^{٢}١١$

الحساب: $٤٩ – ١ + ١٢١$

الناتج النهائي: $٧٣$

تكنيك ١: التحليل الجبري للأرقام

المفهوم الرياضي: تطبيق قانون الفرق بين مربعين على الأعداد الكبيرة لتجنب الحساب المطول.

نكتب القانون العام كالتالي.

$(ص – س)(ص + س) = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

نعوض بالأعداد المذكورة في السؤال لتكوين الأقواس.

$(٩٩٩ – ١٠٠٠)(٩٩٩ + ١٠٠٠)$

القوس الأول الذي يمثل الفرق ناتجه المباشر هو $١$.

القوس الثاني الذي يمثل المجموع ناتجه هو $١٩٩٩$.

نضرب القوسين للحصول على الناتج النهائي ببساطة.

$١٩٩٩ = ١٩٩٩ \times ١$

تكنيك ٢: التبسيط الذهني للفرق المربع المتتالي

المفهوم الرياضي: استنتاج قاعدة سريعة بأنه عندما يكون الفرق بين العددين واحداً، فإن الفرق بين مربعيهما يساوي مجموعهما.

بما أن الشرط متحقق والفرق هو $١ = ٩٩٩ – ١٠٠٠$.

فإن المقدار يُبسط فوراً إلى جمعهما فقط.

الناتج مباشرة هو: $١٩٩٩ = ٩٩٩ + ١٠٠٠$.

تكنيك ١: التعويض المباشر في الصورة القياسية للمستقيم

المفهوم الرياضي: بناء معادلة الخط المستقيم يتطلب معرفة ميله والجزء المقطوع من محور الصادات، ثم التعويض بهما في الصورة القياسية.

نكتب أولاً الصورة القياسية لمعادلة المستقيم:

$ج + س م = ص$

حيث (م) يعبر عن الميل، و (ج) يعبر عن الجزء المقطوع من الصادات.

من المعطيات في السؤال، لدينا الميل:

$٤ = م$

والجزء المقطوع من محور الصادات يساوي:

$٥ = ج$

نعوض بهذه القيمتين في الصورة القياسية للمعادلة:

$٥ + س٤ = ص$

وهذه النتيجة تتطابق تماماً مع الخيار الثاني.

المفهوم الرياضي:

حل معادلات من الدرجة الأولى والثانية بالتعويض المباشر.

تكنيك ١: التعويض

لدينا المعادلة الأولى: $١٠ = س + {}^{٢}ص٢$

والمعطى الثاني قيمته جاهزة: $١ = {}^{٢}ص$

نعوض بقيمة ${}^{٢}ص$ في المعادلة الأولى.

تصبح المعادلة: $١٠ = س + (١)٢$

نبسط المعادلة: $١٠ = س + ٢$

نطرح $٢$ من الطرفين للحصول على قيمة س.

الناتج النهائي: $٨ = س$

تكنيك ١: توحيد المقامات والضرب التبادلي

المفهوم الرياضي: عند جمع كسرين لهما نفس المقام، نجمع البسوط مباشرة ونحتفظ بالمقام المشترك، ثم نستخدم الضرب للتخلص من المقام.

المعادلة الأصلية:

$٨ = \frac{٢}{٤} + \frac{س}{٤}$

بما أن المقامات موحدة (وهي العدد أربعة)، نقوم بدمج الكسرين بجمع البسوط:

$٨ = \frac{٢ + س}{٤}$

بضرب طرفي المعادلة في المقام (أربعة) للتخلص من الكسر:

$٤ \times ٨ = ٢ + س$

$٣٢ = ٢ + س$

بنقل العدد الثابت للطرف الآخر مع عكس الإشارة لتصبح سالبة:

$({٢-}) + ٣٢ = س$

بإجراء عملية الطرح نحصل على الناتج:

$٣٠ = س$

تكنيك ٢: التجربة والتعويض (التخمين الذكي)

يمكننا تجربة الخيارات المعطاة في بسط الكسر الأول لنجد أيها يحقق المعادلة.

بتجربة الخيار الرابع (ثلاثون):

$٨ = \frac{٢}{٤} + \frac{٣٠}{٤}$

$٨ = \frac{٣٢}{٤}$

بما أن اثنين وثلاثين قسمة أربعة يساوي ثمانية، فالطرفان متساويان والحل صحيح.

تكنيك ١: التحليل المباشر للأسس العليا كفرق بين مربعين

المفهوم الرياضي: التعامل مع الأسس العليا كتربيع لتربيع، ثم تحليلها لاختصارها مع المقام.

يمكن كتابة البسط كفرق بين مربعين مباشرة كالتالي.

$(٩ – {}^{٢}٩)(٩ + {}^{٢}٩)$

نعوض في الكسر فيصبح المقدار كاملاً كالتالي.

$\frac{(٩ – {}^{٢}٩)(٩ + {}^{٢}٩)}{٩ – {}^{٢}٩}$

نختصر المقام بالكامل مع القوس المطابق له تماماً في البسط.

يتبقى لدينا المقدار المبسط التالي: $٩ + {}^{٢}٩$.

نعوض بقيمة التربيع ونجد الناتج المباشر.

$٩٠ = ٩ + ٨١$

تكنيك ٢: إخراج العامل المشترك

المفهوم الرياضي: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية بإخراج العامل المشترك الأصغر للأسس.

في البسط نخرج ${}^{٢}٩$ عاملاً مشتركاً ليصبح كالتالي.

$({}^{٢}١ – {}^{٢}٩){}^{٢}٩$

في المقام نخرج $٩$ عاملاً مشتركاً ليصبح كالتالي.

$(١ – ٩)٩$

نكتب المقدار بعد التحليل ونختصر.

$\frac{(١ – ٩)(١ + ٩){}^{٢}٩}{(١ – ٩)٩}$

نختصر القوس المتشابه وهو فرق الرقمين، ونختصر الأساس.

يتبقى لدينا المقدار التالي: $(١ + ٩)٩$.

نحسب الناتج بجمع القوس ثم الضرب: $٩٠ = ١٠ \times ٩$.

تكنيك ١: استخدام قانون المربع الكامل.

ينص قانون المربع الكامل على: ${}^{٢}ص + ص س٢ + {}^{٢}س = {}^{٢}(س + ص)$

نقوم بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال داخل المعادلة الرياضية.

نضع مكان القوس قيمة المجموع وهي $٥$ ونضع مكان عملية الضرب قيمتها وهي $١$:

$١ \times ٢ + {}^{٢}ص + {}^{٢}س = {}^{٢}٥$

بتبسيط المعادلة، نربع العدد $٥$ ونضرب العدد $٢$ في $١$:

$٢ + {}^{٢}ص + {}^{٢}س = ٢٥$

بطرح العدد $٢$ من الطرفين لعزل المقدار المطلوب، نحصل على الناتج النهائي:

$٢٣ = ٢ – ٢٥ = {}^{٢}ص + {}^{٢}س$

تكنيك ٢: التجريب والتحليل الذهني.

نحاول البحث عن عددين مجموعهما $٥$ وحاصل ضربهما $١$.

نجد أن هذه الأعداد ستكون عبارة عن جذور وكسور غير صحيحة يصعب استنتاجها ذهنياً بسرعة.

لذلك يُعتبر التكنيك الجبري الأول هو الطريقة الوحيدة والمضمونة للوصول للحل في اختبار القدرات.

تكنيك ١: الفرق بين مربعين

المفهوم الرياضي: تحليل الفرق بين مربعين إلى قوسين مضروبين أحدهما جمع والآخر طرح.

نكتب القانون الأساسي كالتالي.

$(ص – س)(ص + س) = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

نعوض بالقيم المعطاة في السؤال مباشرة.

$(ص – س) \times ٤ = ٢٠$

بقسمة الطرفين على $٤$ نحصل على المطلوب.

$٥ = ص – س$

تكنيك ٢: التجريب والتخمين المنطقي

المفهوم الرياضي: إيجاد عددين يحققان شرط المجموع وشرط الفرق بين المربعين.

نبحث عن عددين مجموعهما $٤$ والفرق بين مربعيهما $٢٠$.

نجرب القيم $٤,٥ = س$ و $٠,٥- = ص$.

نتحقق من المجموع: $٤ = ٠,٥- + ٤,٥$.

نتحقق من الفرق بين المربعين: $٢٠ = ٠,٢٥ – ٢٠,٢٥ = {}^{٢}٠,٥- – {}^{٢}٤,٥$.

المطلوب هو $ص – س$ فنطرح القيمتين.

ينتج لدينا: $٥ = ٠,٥- – ٤,٥ = ص – س$.

تكنيك ١: التحليل كفرق بين مربعين

المفهوم الرياضي: استغلال القوانين الجبرية لتحويل الطرح المربع إلى ضرب أقواس يسهل حسابها.

نطبق قانون الفرق بين مربعين، ونعوض كالتالي.

$(٩٨ – ١٠٢)(٩٨ + ١٠٢)$

نحسب القوس الأول الخاص بعملية الطرح.

$٤ = ٩٨ – ١٠٢$

نحسب القوس الثاني الخاص بعملية الجمع.

$٢٠٠ = ٩٨ + ١٠٢$

نضرب الناتجين معاً للوصول للحل النهائي بسلاسة.

$٨٠٠ = ٢٠٠ \times ٤$

تكنيك ٢: الفك بالمتطابقات

المفهوم الرياضي: استخدام متطابقات الجمع والطرح للتربيع للوصول للقيم التفصيلية.

نفك العدد الأول كالتالي.

${}^{٢}(٢ + ١٠٠) = {}^{٢}١٠٢$ ويساوي $١٠٤٠٤$.

نفك العدد الثاني كالتالي.

${}^{٢}(٢ – ١٠٠) = {}^{٢}٩٨$ ويساوي $٩٦٠٤$.

نطرح النواتج للوصول للحل النهائي للعملية الحسابية.

$٨٠٠ = ٩٦٠٤ – ١٠٤٠٤$

تكنيك ١: تربيع الطرفين وتطبيق قاعدة المربع الكامل.

نأخذ المعادلة المعطاة كما هي ونقوم بتربيع كلا الطرفين للوصول للصيغة المربعة المطلوبة:

${}^{٢}٤ = {}^{٢}(\frac{٣}{س} + س)$

نقوم بفك القوس المربع حسب القاعدة (مربع الحد الأول + الحد الأول مضروباً في الثاني ومضروباً في $٢$ + مربع الحد الثاني):

$١٦ = \frac{٩}{{}^{٢}س} + (\frac{٣}{س}) \times (س) \times ٢ + {}^{٢}س$

نلاحظ أن المتغير في بسط الحد الأوسط سيلغي المتغير الموجود في مقامه، ويتبقى لدينا الرقم $٣$ مضروباً في العدد $٢$:

$١٦ = \frac{٩}{{}^{٢}س} + ٦ + {}^{٢}س$

نقوم بطرح العدد $٦$ من الطرفين للحصول على المقدار المطلوب وحيداً في طرف:

$١٠ = ٦ – ١٦ = \frac{٩}{{}^{٢}س} + {}^{٢}س$

تكنيك ٢: استنتاج القاعدة السريعة.

هناك قاعدة سريعة لمثل هذه المسائل تنص على: المقدار المعطى تربيع ناقص ضعف معامل المتغير في الكسر.

نقوم بتربيع العدد $٤$ ليصبح $١٦$.

نطرح منه ضعف العدد $٣$ (الذي هو $٦$).

الناتج النهائي: $١٠ = ٦ – ١٦$.

تكنيك ١: الترجمة الجبرية للمسائل اللفظية

المفهوم الرياضي: تحويل النص اللفظي إلى مقادير وعمليات رياضية متسلسلة بدقة.

نفرض أولاً أن العدد المجهول يمثله المتغير:

$س$

العبارة (أربعة أمثال عدد) تعني ضرب هذا المتغير في العدد أربعة، وتُكتب:

$س٤$

العبارة (يزيد عن ستة بمقدار ستة وعشرين) تعني أن الفرق بين هذا المقدار الجبري والعدد ستة يساوي رياضياً ستة وعشرين.

نصيغ هذا المفهوم في معادلة خطية باستخدام علامة الطرح:

$٢٦ = ٦ – س٤$

بمقارنة هذه المعادلة مع الخيارات المتاحة، نجد أنها تتطابق تماماً مع الخيار الثاني.

تكنيك ١: الحل الجبري المباشر والتعويض

المفهوم الرياضي: يعتمد الحل على إيجاد قيمة المتغير المجهول أولاً من المعادلة المعطاة، ثم التعويض بهذه القيمة في المقدار المطلوب حسابه.

المعادلة المعطاة في السؤال:

$٧ = ({٣-}) + س$

بنقل العدد الثابت للطرف الآخر مع عكس إشارته ليصبح موجباً:

$٣ + ٧ = س$

بإجراء عملية الجمع البسيطة:

$١٠ = س$

المطلوب في السؤال هو إيجاد قيمة نصف المتغير، ويُكتب رياضياً:

$س \times \frac{١}{٢}$

بالتعويض عن قيمة المتغير التي أوجدناها:

$١٠ \times \frac{١}{٢}$

نقسم العدد عشرة على اثنان ليكون الناتج النهائي:

$٥$

المفهوم الرياضي:

الفرق بين مربعين والضرب المرافق.

تكنيك ١: ضرب المعادلتين

لدينا المعادلة الأولى: $٣ = \sqrt{ص} – \sqrt{س}$

ولدينا المعادلة الثانية: $٥ = \sqrt{ص} + \sqrt{س}$

نقوم بضرب الطرف الأيمن في الأيمن، والأيسر في الأيسر.

الطرف الأيمن عبارة عن ضرب مقدارين مترافقين: $(\sqrt{ص} + \sqrt{س})(\sqrt{ص} – \sqrt{س})$

نتيجة الضرب هي الفرق بين مربعي الحدين: ${}^{٢}(\sqrt{ص}) – {}^{٢}(\sqrt{س})$

والذي يساوي: $ص – س$

الطرف الأيسر هو حاصل ضرب الأرقام: $٥ \times ٣$

إذن: $١٥ = ص – س$

تكنيك ١: الفك الجبري للحدود وإجراء المقارنة المنطقية.

نقوم بفك القوس المربع الخاص بالقيمة الأولى بالاعتماد على قاعدة المربع الكامل الخاص بعملية الطرح.

الصيغة الرياضية المفكوكة للقيمة الأولى ستكون: ${}^{٢}ص + ص س٢ – {}^{٢}س$

القيمة الثانية تبقى كما هي موضحة في المعطيات: ${}^{٢}ص + {}^{٢}س$

عند إجراء مقارنة دقيقة بين القيمتين، نلاحظ أن القيمة الأولى تتكون من مجموع المربعين الأساسيين ولكن مطروحاً منه قيمة الحد الأوسط الجبري.

نظراً لشرط المسألة بأن المتغيرات عبارة عن أعداد موجبة، فإن المقدار المطروح يمثل قيمة فعلية موجبة تُنقص وتُقلل من القيمة الإجمالية للطرف الأول.

في المقابل، القيمة الثانية تمثل مجموع المربعين بالكامل وبشكل نقي دون أي عملية طرح أو نقصان.

ولذلك تكون القيمة الثانية بطبيعة الحال وبشكل مؤكد أكبر من القيمة الأولى.

تكنيك ٢: التعويض العددي المباشر للتأكد.

نفترض قيماً عددية موجبة بسيطة للمتغيرات، على سبيل المثال نختار العدد $٢$ والعدد $٣$.

نحسب القيمة الأولى: هي مربع الفرق بين العددين، وهو مربع العدد سالب واحد، والناتج يساوي $١$.

نحسب القيمة الثانية: هي مجموع مربعيهما، أي $٩ + ٤$، والناتج النهائي يساوي $١٣$.

نجد أن الرقم $١٣$ يمثل قيمة أكبر بكثير من الرقم $١$، مما يثبت بشكل عملي أن القيمة الثانية هي الأكبر.

تكنيك ١: الضرب في النظير الضربي (المقلوب)

المفهوم الرياضي: للتخلص من معامل كسري مضروب في متغير، نضرب طرفي المعادلة في مقلوب هذا الكسر (النظير الضربي) لعزل المتغير.

المعادلة المعطاة:

$١٢ = س \times \frac{٤}{٥}$

نضرب الطرفين في مقلوب الكسر (وهو خمسة على أربعة):

$\frac{٥}{٤} \times ١٢ = س$

لتبسيط العملية الحسابية وتجنب الأرقام الكبيرة، نقسم أولاً العدد الصحيح على مقام الكسر:

$٣ = \frac{١٢}{٤}$

ثم نضرب الناتج المبسط في بسط الكسر:

$٥ \times ٣ = س$

فينتج لنا قيمة المتغير:

$١٥ = س$

تكنيك ١: التبسيط وحل المعادلات

المفهوم الرياضي: إيجاد قيم المتغيرات من خلال حل المعادلات المعطاة خطوة بخطوة ثم إجراء المقارنة.

نبدأ بالمعادلة الأولى لإيجاد قيمة المتغير الأول:

$٢ = ٤ – س٣$

بنقل العدد الثابت للطرف الآخر مع عكس الإشارة:

$٤ + ٢ = س٣$

$٦ = س٣$

بالقسمة على العدد ثلاثة:

$٢ = س$

وهذه هي القيمة الأولى.

نعوض بقيمة المتغير المستخرجة في المعادلة الثانية لإيجاد المتغير الثاني:

$٤ = \frac{س}{ص}$

$٤ = \frac{٢}{ص}$

باستخدام الضرب التبادلي (المقص):

$٢ = ص٤$

بالقسمة على العدد أربعة:

$\frac{١}{٢} = ص$

وهذه هي القيمة الثانية، وتساوي النصف.

بمقارنة القيمتين:

العدد اثنان أكبر من النصف، أي أن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ١: الفك الجبري والتبسيط

المفهوم الرياضي: فك المربع الكامل.

نكتب القانون الجبري لفك المربع الكامل كالتالي.

${}^{٢}ص + ص س2 + {}^{٢}س = {}^{٢}(س + ص)$

مفكوك القيمة الأولى يطابق تماماً القيمة الثانية.

إذاً القيمتان متساويتان بدون الحاجة للتعويض.

تكنيك ٢: التعويض بأرقام افتراضية

المفهوم الرياضي: استخدام التعويض العددي المباشر للتحقق.

نفرض أرقاماً بسيطة مثل $١ = س$ و $٢ = ص$.

نعوض في القيمة الأولى: $٩ = {}^{٢}(٢ + ١)$.

نعوض في القيمة الثانية: $٩ = ٤ + ٤ + ١ = {}^{٢}٢ + ٢ \times ١ \times 2 + {}^{٢}١$.

القيمتان متساويتان في كل الحالات.

المفهوم الرياضي:

تبسيط المقادير الجبرية ومقارنة خصائصها.

تكنيك ١: التبسيط الجبري

القيمة الأولى: ${}^{٢}ص + ص س٣ + {}^{٢}س$

القيمة الثانية: $٢ \div {}^{٢}(ص + س)٢$

بتبسيط القيمة الثانية (القسمة على $٢$ تلغي الضرب في $٢$): ${}^{٢}(ص + س)$

بفك المربع الكامل للقيمة الثانية: ${}^{٢}ص + ص س٢ + {}^{٢}س$

بمقارنة القيمتين بعد التبسيط، نجد أن القيمة الأولى تزيد عن الثانية بمقدار: $ص س$

بما أننا لا نعرف إشارات أو قيم المتغيرات، فقد يكون حاصل ضربهما موجباً أو سالباً أو صفراً.

لذلك، المعطيات غير كافية لتحديد العلاقة.

تكنيك ١: التحليل الجبري للخيارات وتحديد المتطابقة

المفهوم الرياضي: المعادلة التي تمتلك أكثر من حل (أي عدداً لا نهائياً من الحلول) هي المعادلة (المتطابقة)، والتي يكون فيها الطرف الأيمن مساوياً تماماً للطرف الأيسر بعد إجراء عمليات التبسيط وفك الأقواس.

نقوم باختبار الخيار الأول لتبسيطه:

$٦ + م١٠ = (٣ + م٥)٢$

نطبق خاصية التوزيع بضرب العدد اثنان في الحدود الموجودة داخل القوس في الطرف الأيسر:

$٦ + م١٠ = ٦ + م١٠$

نلاحظ أن الطرف الأيمن أصبح مطابقاً شكلاً وقيمة للطرف الأيسر. هذا يعني أن أي عدد حقيقي نعوض به بدلاً من المتغير سيجعل العبارة صحيحة، ولذلك فهي تملك أكثر من حل.

تكنيك ٢: استبعاد المعادلات الخطية ذات الحل الوحيد

المفهوم الرياضي: إذا بُسطت المعادلة واحتوت على متغير يمكن عزله بقيمة عددية واحدة، فهي تمتلك حلاً وحيداً.

بتبسيط الخيار الثاني:

$م٥ = ٥ + م$

بنقل المتغيرات لطرف واحد، ينتج أن أربعة أمثال المتغير تساوي خمسة، وهو حل وحيد.

بتبسيط الخيار الثالث:

$م + ٥ = ٥ – م$

بنقل المتغيرات، ينتج أن ضعف المتغير يساوي صفر، أي أن المتغير يساوي صفر، وهو حل وحيد أيضاً.

وبالتالي نتأكد أن الخيار الأول هو الإجابة الصحيحة الوحيدة.

المفهوم الرياضي:

المربع الكامل للمقادير الجبرية.

تكنيك ١: التبسيط ثم التعويض

المقدار المطلوب: ${}^{٢}ص + ص س٢ – {}^{٢}س$

هذا المقدار يمثل مفكوك المربع الكامل لفرق حدين.

يمكن كتابته على الصورة: ${}^{٢}(ص – س)$

نعوض بقيم المتغيرات المعطاة: $س = ٣\sqrt{٢}$ و $ص = ٢\sqrt{٢}$

نطرح القيمتين: $٢\sqrt{٢} – ٣\sqrt{٢}$

بما أن الجذور متشابهة، نطرح المعاملات: $١\sqrt{٢} = (٢ – ٣)\sqrt{٢}$

الآن نربع الناتج: ${}^{٢}(١\sqrt{٢})$

مربع الجذر التربيعي يلغي الجذر، فيكون الناتج: $٢$

تكنيك ١: تحليل المربع الكامل

المفهوم الرياضي: المعادلة التربيعية التي تكون على صورة مربع كامل يمكن تحليلها إلى قوسين متطابقين.

المعادلة الأصلية:

$٠ = ١ + س٢ – {}^{٢}س$

نلاحظ أن الحد الأول مربع لمتغير، والحد الأخير مربع للعدد واحد، والحد الأوسط هو ضعف حاصل ضربهما.

إذن، يمكن كتابتها على صورة المربع الكامل كالآتي:

$٠ = {}^{٢}(١ – س)$

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من الأس:

$٠ = ١ – س$

بنقل المتغير للطرف الآخر بعكس الإشارة ليكون موجباً:

$١ = س$

تكنيك ٢: تجربة الخيارات

نعوض بقيم الخيارات في المعادلة للبحث عن القيمة التي تجعل الناتج يساوي صفر.

بتجربة الخيار الأول (العدد واحد):

$١ + (١)٢ – {}^{٢}(١)$

بإجراء العمليات الحسابية:

$١ + ٢ – ١$

$٠ = $

بما أن الناتج حقق شرط المعادلة، فهو الخيار الصحيح.

تكنيك ١: التعويض المباشر بالقيم العددية

المفهوم الرياضي: حساب التكلفة الإجمالية لكل قيمة عن طريق ضرب الكمية في سعر الوحدة.

حساب القيمة الأولى:

سعر ستة كيلو من الطحين الأبيض = $١٢ = ٢ \times ٦$ ريال.

سعر أربعة كيلو من الطحين الأسمر = $١٢ = ٣ \times ٤$ ريال.

بجمع القيمتين:

$٢٤ = ١٢ + ١٢$ ريال.

حساب القيمة الثانية:

سعر ثمانية كيلو من الطحين الأسمر = $٢٤ = ٣ \times ٨$ ريال.

بمقارنة النواتج النهائية:

القيمة الأولى تساوي أربعة وعشرين، والقيمة الثانية تساوي أربعة وعشرين.

إذن، القيمتان متساويتان تماماً.

تكنيك ١: التحليل الجبري للمعطيات واستخراج القيم

المفهوم الرياضي: حل المعادلات المعطاة تباعاً لاستنتاج القيم العددية للمتغيرات، ثم إجراء المقارنة النهائية بينها.

من المعطى الثاني، لدينا المعادلة الخطية البسيطة:

$٢ = س٢$

بقسمة الطرفين على المعامل العددي (وهو اثنان):

$١ = س$

وهذه النتيجة تمثل القيمة الأولى في المقارنة.

الآن نعوض بقيمة المتغير المستخرجة في المعطى الأول:

$٠ = ص \times س$

$٠ = ص \times ١$

بما أن أي عدد يُضرب في واحد يعطي العدد نفسه، نستنتج أن:

$٠ = ص$

وهذه النتيجة تمثل القيمة الثانية في المقارنة.

بإجراء المقارنة العددية بين القيمتين المستخرجتين:

القيمة الأولى تساوي العدد واحد، والقيمة الثانية تساوي العدد صفر.

$٠ < ١$

إذن، العدد واحد أكبر، وبالتالي القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: الاستنتاج المنطقي المباشر (دون حسابات مطولة)

بما أن ضعف المتغير الأول يساوي عدداً موجباً (العدد اثنان)، فالمتغير الأول يجب أن يكون بالضرورة عدداً موجباً.

وبما أن حاصل ضرب المتغيرين يساوي صفر، وأحدهما (الأول) تأكدنا أنه لا يساوي صفر، فمن المؤكد رياضياً أن المتغير الثاني هو الذي يحمل قيمة الصفر.

بمقارنة أي عدد موجب (القيمة الأولى) مع الصفر (القيمة الثانية)، نجد أن العدد الموجب دائماً وأبداً هو الأكبر.

تكنيك ١: الحل الجبري مع مراعاة إشارة المتباينة

المفهوم الرياضي: عزل المتغير وتطبيق القاعدة الهامة بتغيير اتجاه التباين عند القسمة على عدد سالب.

المتباينة الأساسية:

$٥ \geq س٢ – ٣$

بنقل العدد الثابت للطرف الآخر مع عكس إشارته ليصبح سالباً:

$٣ – ٥ \geq س٢-$

$٢ \geq س٢-$

نقسم الطرفين على المعامل (سالب اثنان):

$\frac{٢}{٢-} \leq \frac{س٢-}{٢-}$

عند القسمة على عدد سالب، نقلب اتجاه علامة التباين مع تبسيط الكسر:

$({١-}) \leq س$

إذن، القيم المناسبة هي الأكبر من أو تساوي سالب واحد.

المفهوم الرياضي:

استخدام المتطابقات الجبرية للمربع الكامل للوصول للمقدار المطلوب.

تكنيك ١: تربيع الطرفين

المعادلة المعطاة: $٤ = \frac{١}{{}^{٢}أ} – {}^{٢}أ$

بتربيع الطرفين: ${}^{٢}(٤) = {}^{٢}(\frac{١}{{}^{٢}أ} – {}^{٢}أ)$

باستخدام متطابقة مربع الفرق: $١٦ = \frac{١}{{}^{٤}أ} + (\frac{١}{{}^{٢}أ} \times {}^{٢}أ)٢- + {}^{٤}أ$

بتبسيط الحد الأوسط (حيث يلغى المتغير مع مقلوبه): $١٦ = \frac{١}{{}^{٤}أ} + ٢- + {}^{٤}أ$

بإضافة $٢$ للطرفين: $١٨ = \frac{١}{{}^{٤}أ} + {}^{٤}أ$

وهو المقدار المطلوب إيجاده.

تكنيك ١: الترتيب الجبري ثم تربيع الطرفين.

أولاً نقوم بإعادة ترتيب المعادلة المعطاة لتصبح بصورة قياسية مألوفة، وذلك بنقل الحد الكسري للطرف الآخر مع تغيير إشارته:

$٢ = \frac{١}{س} + س$

نقوم الآن بتربيع كلا الطرفين للحصول على المجاهيل المربعة المطلوبة في السؤال:

${}^{٢}٢ = {}^{٢}(\frac{١}{س} + س)$

نطبق قانون فك المربع الكامل بشكل تفصيلي:

$٤ = \frac{١}{{}^{٢}س} + (\frac{١}{س}) \times (س) \times ٢ + {}^{٢}س$

نقوم باختصار المتغيرات في الحد الأوسط لتبقى الأرقام فقط:

$٤ = \frac{١}{{}^{٢}س} + ٢ + {}^{٢}س$

نطرح العدد $٢$ من الطرفين لعزل المقدار المطلوب إيجاده:

$٢ = ٢ – ٤ = \frac{١}{{}^{٢}س} + {}^{٢}س$

تكنيك ٢: استخدام القانون المختصر المباشر.

إذا كان المجموع $أ = \frac{١}{س} + س$، فإن المجموع المربع $٢ – {}^{٢}أ = \frac{١}{{}^{٢}س} + {}^{٢}س$.

بعد ترتيب المعادلة واستنتاج أن قيمة المجموع تساوي $٢$.

نطبق القانون المختصر: نربع العدد $٢$ ليصبح $٤$، ثم نطرح منه العدد الثابت $٢$.

الناتج النهائي هو $٢$.

المفهوم الرياضي:

توزيع الأسس والمطابقات التربيعية في المقارنات.

تكنيك ١: فك المربع الكامل

القيمة الأولى هي: ${}^{٢}٥٥٥$

يمكن كتابتها على الصورة: ${}^{٢}(٢٢٢ + ٣٣٣)$

باستخدام قانون المربع الكامل: ${}^{٢}٢٢٢ + (٢٢٢ \times ٣٣٣)٢ + {}^{٢}٣٣٣$

بمقارنة هذا المفكوك مع القيمة الثانية: ${}^{٢}٢٢٢ + {}^{٢}٣٣٣$

يتضح أن القيمة الأولى تزيد بمقدار الحد الأوسط الموجب، وبالتالي القيمة الأولى أكبر بكثير.

المفهوم الرياضي:

المقارنة بين متغيرين في معادلة واحدة تحتمل إشارات مختلفة.

تكنيك ١: التحليل الجبري

من المعادلة المعطاة: $٥ = \frac{ص \times س}{٢}$

بضرب الطرفين في $٢$، نحصل على: $١٠ = ص \times س$

بما أن حاصل الضرب موجب، إما أن يكون المتغيران موجبين معاً (مثل $٥ = س$ و $٢ = ص$) أو سالبين معاً (مثل $٥- = س$ و $٢- = ص$).

في الحالة الأولى: $س$ أكبر من $ص$. وفي الحالة الثانية: $ص$ أكبر من $س$.

لذلك، المعطيات غير كافية لتحديد أيهما أكبر.

تكنيك ١: ترتيب المعادلة والتحليل

المفهوم الرياضي: صياغة المعادلة على صورة الفرق بين مربعين ليسهل حلها.

نرتب المعادلة الأولى بنقل المتغير المربع للطرف الآخر بعكس الإشارة.

$١٨ = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

نطبق قانون الفرق بين مربعين كالتالي.

$(ص – س)(ص + س) = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

نعوض بقيمة المجموع المعطاة في السؤال.

$(ص – س) \times ٢ = ١٨$

بقسمة الطرفين على $٢$ نحصل على القيمة المطلوبة.

$٩ = ص – س$

تكنيك ٢: التعويض الجبري المباشر

المفهوم الرياضي: استخدام إحدى المعادلات للتعويض في الأخرى لإيجاد المجاهيل.

من معادلة الجمع نجد أن $س – ٢ = ص$.

نعوض بهذه القيمة في المعادلة الأولى كالتالي.

$١٨ + {}^{٢}(س – ٢) = {}^{٢}س$

نفك القوس المربع بالكامل.

$١٨ + {}^{٢}س + س4 – ٤ = {}^{٢}س$

نطرح ${}^{٢}س$ من الطرفين، يتبقى $٢٢ + س4-$ ويساوي صفر.

ننقل المتغير ونقسم على أربعة لنجد أن $٥,٥ = س$.

نعوض لإيجاد المتغير الثاني: $٣,٥- = ٥,٥ – ٢ = ص$.

المطلوب هو الطرح، نعوض بالقيم لنصل للناتج.

$٩ = ٣,٥- – ٥,٥ = ص – س$

المفهوم الرياضي:

استخدام متطابقة الفرق بين مربعين بأسلوب عكسي.

تكنيك ١: التحليل إلى عوامل

المقدار المطلوب هو فرق بين مربعين: $\frac{١}{{}^{٢}ص} – \frac{١}{{}^{٢}س}$

يمكن تحليله كالتالي: $( \frac{١}{ص} + \frac{١}{س} ) ( \frac{١}{ص} – \frac{١}{س} )$

نعوض بالقيم المعطاة في السؤال.

القيمة الأولى المعطاة هي: $٣ = \frac{١}{ص} – \frac{١}{س}$

القيمة الثانية المعطاة هي: $٥ = \frac{١}{ص} + \frac{١}{س}$

نقوم بضرب القيمتين: $٥ \times ٣$

الناتج النهائي هو: $١٥$

تكنيك ١: تحويل المعادلة للصورة القياسية والمقارنة

المفهوم الرياضي: لإيجاد ميل خط مستقيم من معادلته، يجب وضعها في الصورة القياسية للميل والمقطع، ثم استخراج معامل المتغير السيني.

القانون المستخدم:

$ج + س م = ص$

حيث (م) يمثل الميل، و (ج) يمثل الجزء المقطوع من محور الصادات.

حساب القيمة الأولى:

معادلة المستقيم الأول هي:

$٣ + س٥ = ص٢$

بقسمة جميع أطراف المعادلة على معامل الصاد (وهو اثنان) لعزله:

$\frac{٣}{٢} + س \frac{٥}{٢} = ص$

بالمطابقة مع الصورة القياسية، نجد أن الميل الأول يساوي:

$\frac{٥}{٢} = م$

حساب القيمة الثانية:

معادلة المستقيم الثاني هي:

$٣ + س٢ = ص٥$

بقسمة جميع الأطراف على معامل الصاد (وهو خمسة):

$\frac{٣}{٥} + س \frac{٢}{٥} = ص$

بالمطابقة مع الصورة القياسية، نجد أن الميل الثاني يساوي:

$\frac{٢}{٥} = م$

بإجراء المقارنة بين القيمتين:

القيمة الأولى تساوي خمسة أنصاف (وهي أكبر من الواحد الصحيح)، بينما القيمة الثانية تساوي خمسين (وهي أقل من الواحد الصحيح).

$\frac{٢}{٥} < \frac{٥}{٢}$

إذن، القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

المفهوم الرياضي:

استخدام تحليل الفرق بين مربعين لإيجاد قيمة مجهول.

تكنيك ١: التحليل والتعويض

المعادلة الأولى تمثل فرقاً بين مربعين: $ل = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

نحلل الطرف الأيسر إلى عوامله: $ل = (ص – س) (ص + س)$

من المعطيات، لدينا قيمة المجموع: $م = ص + س$

نعوض بقيمة (م) في المعادلة المحللة: $ل = (ص – س) \times م$

لإيجاد قيمة $(ص – س)$، نقسم الطرفين على (م).

الناتج النهائي: $م \div ل = ص – س$

تكنيك ١: التحليل واستنتاج المعادلات الخطية

المفهوم الرياضي: استخدام قانون الفرق بين مربعين للحصول على معادلة خطية جديدة ثم حل نظام المعادلات.

نفك الفرق بين مربعين كالتالي.

$(ص – س)(ص + س) = {}^{٢}ص – {}^{٢}س$

بالتعويض المباشر من المعطيات ينتج التالي.

$(ص – س) \times ٨ = ١٦$

بقسمة الطرفين على ثمانية نحصل على معادلة الطرح.

$٢ = ص – س$

نجمع هذه المعادلة الجديدة مع معادلة الجمع الأصلية $٨ = ص + س$.

ينتج لدينا بجمع الأطراف: $١٠ = س2$.

بالقسمة على $٢$ نجد قيمة المتغير المطلوب المباشرة.

$٥ = س$

تكنيك ٢: التجريب العكسي في الخيارات

المفهوم الرياضي: تجربة الخيارات المتاحة للتحقق من تطابقها مع جميع الشروط.

نجرب الخيار الثالث بافتراض أن $٥ = س$.

بما أن المجموع المعطى هو $٨$، فإن ذلك يستلزم أن يكون $٣ = ص$.

نتحقق الآن من الشرط الثاني وهو الفرق بين المربعين.

نعوض في المعادلة: $١٦ = ٩ – ٢٥ = {}^{٢}٣ – {}^{٢}٥$.

بما أن القيمة الناتجة صحيحة تماماً وتحقق شرط السؤال، فالخيار هو الصحيح.

تكنيك ١: إيجاد قيم المجاهيل والتعويض المباشر

المفهوم الرياضي: حل نظام معادلات خطية بطريقة الجمع ثم رفع الناتج للأس المطلوب.

نجمع المعادلتين المعطاتين لإيجاد قيمة المتغير الأول كالتالي.

$٤ = س2$ ومنه بقسمة الطرفين نجد أن $٢ = س$.

نعوض في معادلة الجمع لاستنتاج المتغير الثاني.

$٢ = ص + ٢$ ومنه نجد أن المتغير الآخر قيمته صفر.

نعوض بالقيم في المقدار المطلوب إيجاده.

المقدار يصبح ${}^{٤}٢$ ناقص صفر.

ينتج القيمة $١٦$ لأن الحد الآخر يساوي صفر.

تكنيك ٢: التحليل المتكرر للفرق بين مربعين

المفهوم الرياضي: تحليل الأسس الزوجية العليا مرتين للوصول لمعادلات خطية.

المقدار المطلوب يمكن تحليله في الخطوة الأولى كالتالي.

$({}^{٢}ص – {}^{٢}س)({}^{٢}ص + {}^{٢}س)$

نحلل القوس الأول مرة أخرى ليصبح المقدار النهائي كالتالي.

$(ص – س)(ص + س)({}^{٢}ص + {}^{٢}س)$

من المعطيات نعرف أن حاصل ضرب القوسين الأول والثاني هو $٤ = ٢ \times ٢$.

نحتاج لإيجاد المربعات، وبما أننا استنتجنا سابقاً أن $٢ = س$ وأن المتغير الثاني هو صفر.

فإن قوس المربعات يعطينا $٤$.

نضرب النواتج: $١٦ = ٤ \times ٤$.