اختبار : الأعداد العشرية

المفهوم الرياضي: القسمة، التقريب بالنقصان لضمان امتلاء الأكواب.

الشرط هنا هو إيجاد عدد الأكواب الكاملة التي يمكن ملؤها من الغلاية التي سعتها $٢٢،٤$ لتر.

نجرب الخيارات المتاحة بضرب سعة الكوب في عدد الأكواب:

بتجربة الخيار الأول: ${٢١} = {٧} \times {٣}$ لتر (يتبقى ماء في الغلاية أقل من سعة كوب واحد، إذن يمكن ملء $٧$ أكواب بالكامل).

بتجربة الخيار الثاني: ${٢٤} = {٨} \times {٣}$ لتر (هذه القيمة أكبر من سعة الغلاية، لذا لا نستطيع ملء الكوب الثامن).

إذن الخيار الصحيح هو $٧$.

تكنيك ١: الجمع الرأسي (المفهوم الرياضي: ترتيب الخانات لضمان دقة الجمع).

نضع الفواصل تحت بعضها ونجمع بشكل مباشر لتكون النتيجة: $٩٤ = ١,٢٥ + ٩٢,٧٥$

تكنيك ٢: الجمع بالتفكيك (المفهوم الرياضي: التعامل مع الكسور المشهورة والمعروفة).

نعلم مسبقاً أن مجموع الأرباع: $١ = ٠,٧٥ + ٠,٢٥$

نجمع الأعداد الصحيحة: $٩٣ = ١ + ٩٢$

نضيف ناتج الكسور إلى الأعداد الصحيحة: $٩٤ = ١ + ٩٣$

تكنيك ١: التبسيط المباشر

المفهوم الرياضي: يمكن تغيير ترتيب عمليات الضرب لتسهيل الحساب وتطبيق خاصية النظير الضربي.

نعيد ترتيب المسألة بضرب العدد مئة في الكسر العشري أولاً: $١ = ٠،٠١ \times ١٠٠$

نضرب الناتج في الكسر الاعتيادي: $\frac{١}{١٠٠} = \frac{١}{١٠٠} \times ١$

نحول الكسر الاعتيادي $\frac{١}{١٠٠}$ إلى صورته العشرية.

الناتج يكتب كـ $٠،٠١$.

تكنيك ٢: تحويل الكسور العشرية إلى كسور اعتيادية

المفهوم الرياضي: توحيد صيغة الأرقام في المسألة يسهل عمليات الاختصار.

نحول الكسر العشري $٠،٠١$ إلى كسر اعتيادي ليصبح $\frac{١}{١٠٠}$.

تصبح المعادلة: $\frac{١}{١٠٠} \times \frac{١}{١٠٠} \times ١٠٠$

نختصر العدد مئة في البسط مع العدد مئة في مقام الكسر الأول.

يتبقى لدينا الكسر $\frac{١}{١٠٠}$ فقط.

نكتبه بالصيغة العشرية: $٠،٠١$.

المفهوم الرياضي: التقريب لتقدير ناتج العمليات الحسابية المعقدة.

نقوم بتقريب الأعداد العشرية لتسهيل الضرب والقسمة:

العدد $٩،٩٨$ يقرب إلى $١٠$.

العدد $١٠٩،٨٢$ يقرب إلى $١١٠$.

العدد $٤،٠٩٢$ يقرب إلى $٤$.

نعوض بالقيم المقربة في العملية:

المقدار = $\frac{{١٠} \times {١١٠}}{٤}$

نقوم بتبسيط الكسر لاستخراج الناتج:

${٢٧٥} = {٥٥} \times {٥}$

نبحث في الخيارات عن أقرب عدد للناتج $٢٧٥$، فنجد أن أقرب ناتج متاح هو $٢٦٠$.

إذن الخيار الصحيح هو $٢٦٠$.

تكنيك ١: التبسيط وإيجاد نواتج القسمة

المفهوم الرياضي: عند القسمة على قوى العدد عشرة نحرك الفاصلة جهة اليسار.

الكسر الأول: ${٩٠} = \frac{٩٠٠}{١٠}$

الكسر الثاني: ${٠،٩} = \frac{٩٠}{١٠٠}$

الكسر الثالث: ${٠،٠٠٩} = \frac{٩}{١٠٠٠}$

نجمع النواتج: ${٩٠،٩٠٩} = {٠،٠٠٩} + {٠،٩} + {٩٠}$

المفهوم الرياضي: قسمة الأعداد العشرية والتخلص من الفواصل.

تكنيك ١: مساواة العلامات العشرية ثم الحذف لتسهيل القسمة.

لتبسيط الكسر الأول في القيمة الثانية (الذي يقع على اليمين): نضرب البسط والمقام في $١٠٠$.

$١٠ = \frac{٣٠}{٣} = \frac{٠،٣ \times ١٠٠}{٠،٠٣ \times ١٠٠}$

لتبسيط الكسر الثاني (الذي يقع على اليسار): نضرب البسط والمقام في $١٠$.

$٠،١ = \frac{٣}{٣٠} = \frac{٠،٠٣ \times ١٠}{٠،٣ \times ١٠}$

نجمع القيمتين معاً بالترتيب:

$١٠،١ = ٠،١ + ١٠$

بمقارنة الناتج مع القيمة الأولى، نجد أن القيمتين متساويتان.

تكنيك ١: الحساب التدريجي للطرح والقسمة (المفهوم الرياضي: حساب المبلغ المتبقي ثم قسمته على سعر الوحدة).

نحسب تكلفة الدفاتر: $١٢ = ٢ \times ٦$ ريال.

نحسب المبلغ المتبقي: $٤ = ١٢ – ١٦$ ريال.

عدد الأقلام هو ناتج قسمة المتبقي على سعر القلم الواحد.

تكنيك ٢: التدرج المنتظم (المفهوم الرياضي: مضاعفة القيم للوصول للحد الأقصى المسموح به ضمن الميزانية).

سعر قلمين: $١,٥ = ٢ \times ٠,٧٥$ ريال.

سعر ٤ أقلام: $٣ = ٢ \times ١,٥$ ريال.

يتبقى ريال واحد، وسعر القلم $٠,٧٥$ ريال، لذا يمكن شراء قلم إضافي واحد ضمن الميزانية المتبقية.

المجموع الكلي الممكن شراؤه: $٥$ أقلام.

المفهوم الرياضي: تقريب الأعداد العشرية لتسهيل العمليات الحسابية.

نقرب كل عدد عشري إلى أقرب عدد صحيح كالتالي:

العدد $٣،٨٧$ يقرب إلى $٤$.

العدد $١،٠٠٤$ يقرب إلى $١$.

العدد $٢،٠١١$ يقرب إلى $٢$.

نعوض بالقيم المقربة في المقدار:

المقدار = $\frac{{١} \times {٤}}{٢}$

المقدار = $\frac{٤}{٢}$

الناتج = $٢$

إذن الخيار الصحيح هو $٢$.

تكنيك ١: الجمع الرأسي (المفهوم الرياضي: محاذاة الفواصل العشرية لتجنب تداخل الخانات).

نساوي الخانات بإضافة صفر للعدد الثاني: $٩,٥٠$

نجمع الأعداد عمودياً: $٢٩,٧٥ = ٢٠,٢٥ + ٩,٥٠$

تكنيك ٢: التفكيك والجمع الذهني (المفهوم الرياضي: جمع الأجزاء الصحيحة والعشرية بشكل منفصل).

نجمع الأعداد الصحيحة معاً: $٢٩ = ٢٠ + ٩$

نجمع الأجزاء العشرية معاً: $٠,٧٥ = ٠,٢٥ + ٠,٥٠$

نجمع الناتجين للحصول على الإجابة النهائية: $٢٩,٧٥ = ٠,٧٥ + ٢٩$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: فك الأسس عن طريق الضرب المتكرر للكسر العشري.

الأس $٣$ يعني أن العدد يضرب في نفسه ثلاث مرات متتالية.

نكتب المقدار كالتالي: $= ٠،٢ \times ٠،٢ \times ٠،٢$

نقوم بضرب الأرقام الصحيحة متجاهلين الفاصلة: $= ٢ \times ٢ \times ٢$

ناتج الضرب الصحيح هو $٨$.

نعد الخانات العشرية؛ كل عدد يمتلك خانة واحدة، ليصبح المجموع ثلاث خانات.

نضع الفاصلة في الناتج بعد ثلاث خانات، مما يتطلب إضافة صفرين يسار الرقم ثمانية.

الناتج النهائي هو $٠،٠٠٨$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الاعتماد على الكسور الاعتيادية وقوانين الأسس.

نحول الكسر العشري $٠،٢$ إلى كسر اعتيادي ليكون $\frac{٢}{١٠}$.

نرفع هذا الكسر كاملاً للأس الثالث: $= {}^{٣}(\frac{٢}{١٠})$

نطبق قانون توزيع الأسس على عملية القسمة (البسط والمقام): $= \frac{{}^{٣}٢}{{}^{٣}١٠}$

مكعب العدد اثنين هو $٨$.

مكعب العدد عشرة هو ألف.

يصبح الكسر الناتج $\frac{٨}{١٠٠٠}$.

عند كتابته بالصيغة العشرية، يصبح $٠،٠٠٨$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: طرح الأعداد العشرية من الأعداد الصحيحة.

عند طرح كسر عشري من عدد صحيح، نضع فاصلة عشرية للعدد الصحيح ونضيف أصفاراً على يمين الفاصلة بعدد خانات الكسر العشري.

الكسر العشري $٠،٠٠٠٠٠١$ يحتوي على ست خانات عشرية.

لذلك، نكتب العدد الصحيح $١$ على الصورة $٠،٠٠٠٠٠٠ + ١$ لتوحيد الخانات.

نطرح القيمتين: $= ٠،٠٠٠٠٠١ – ١،٠٠٠٠٠٠$

الناتج هو $٠،٩٩٩٩٩٩$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الطرح الذهني باستخدام المكملات.

العدد $٠،٠٠٠٠٠١$ يمثل واحداً من مليون.

مكملة الواحد من مليون للوصول إلى الواحد الصحيح هي تسعمائة وتسعة وتسعون ألفاً وتسعمائة وتسعة وتسعون من مليون.

إذاً الناتج هو $٠،٩٩٩٩٩٩$.

المفهوم الرياضي: قسمة الكسور العشرية عن طريق تحريك الفاصلة أو ضرب البسط والمقام في قوى العدد عشرة.

تكنيك ١: التخلص من الفاصلة بضرب البسط والمقام في القوة المناسبة للعدد عشرة لكل كسر.

نحسب الحد الأول (الأيمن): نضرب البسط والمقام في $١٠٠٠٠$ ليصبح الكسر كالتالي:

$١٠ = \frac{١٠}{١} = \frac{٠،٠٠١}{٠،٠٠٠١}$

نحسب الحد الثاني (الأوسط): نضرب البسط والمقام في $١٠٠٠$ ليصبح الكسر كالتالي:

$١٠٠ = \frac{١٠٠}{١} = \frac{٠،١}{٠،٠٠١}$

نحسب الحد الثالث (الأيسر): نضرب البسط والمقام في $١٠٠٠٠$ ليصبح الكسر كالتالي:

$١٠٠٠ = \frac{١٠٠٠}{١} = \frac{٠،١}{٠،٠٠٠١}$

نجمع النواتج بالترتيب:

$١١١٠ = ١٠٠٠ + ١٠٠ + ١٠$

المفهوم الرياضي: المعادلات الخطية البسيطة وتجربة الخيارات.

نفرض أن العدد المطلوب هو س.

المعادلة: ${٢٢،٨} = {٥،٧} \times {س}$

نقوم بتجربة الخيارات المعطاة للوصول للناتج الصحيح:

بتجربة الخيار الأول: ${١١،٤} = {٢} \times {٥،٧}$ (إجابة خاطئة).

بتجربة الخيار الثاني: ${١٧،١} = {٣} \times {٥،٧}$ (إجابة خاطئة).

بتجربة الخيار الثالث: ${٢٢،٨} = {٤} \times {٥،٧}$ (إجابة صحيحة).

إذن الخيار الصحيح هو $٤$.

المفهوم الرياضي: تقريب الأعداد العشرية لتسهيل الحساب.

نقوم بتقريب الأعداد في البسط والمقام إلى أعداد يسهل التعامل معها:

العدد $٨،٩٩٩٩$ يقرب إلى $٩$.

العدد $٠،٤٩٥$ يقرب إلى $٠،٥$.

نعوض بالقيم المقربة في المقدار:

المقدار = $\frac{٩}{{٠،٥} – {٢}}$

نطرح في المقام:

${١،٥} = {٠،٥} – {٢}$

يصبح المقدار = $\frac{٩}{١،٥}$

بقسمة البسط والمقام:

${٦} = \frac{٩}{١،٥}$

إذن الخيار الصحيح هو $٦$.

تكنيك ١: التخلص من الأس السالب

المفهوم الرياضي: عند وجود أس سالب في المقام، نرفعه إلى البسط بأس موجب.

نرفع ${}^{٧-}{١٠}$ إلى البسط فتصبح ${}^{٧}{١٠}$.

يصبح المقدار: $\frac{{}^{٧}{١٠} \times {٠،٠٠٠٦}}{٢}$

نفك الأس: $\frac{{١٠٠٠٠٠٠٠} \times {٠،٠٠٠٦}}{٢}$

نحرك الفاصلة ٧ منازل لليمين: $\frac{٦٠٠٠}{٢}$

نقسم: ${٣٠٠٠} = \frac{٦٠٠٠}{٢}$

تكنيك ٢: تحويل الكسر العشري إلى قوى

المفهوم الرياضي: تحويل الأعداد العشرية إلى أعداد صحيحة مضروبة في قوى العشرة.

الرقم ${٠،٠٠٠٦} = {}^{٤-}{١٠} \times {٦}$

يصبح المقدار: $\frac{{}^{٤-}{١٠} \times {٦}}{{٢} \times {}^{٧-}{١٠}}$

نقسم الأعداد الصحيحة: ${٣} = \frac{٦}{٢}$

نقسم القوى بطرح الأسس: ${}^{٣}{١٠} = {}^{٧-}{١٠} \div {}^{٤-}{١٠} = {}^{(٧-) – ٤-}{١٠}$

الناتج: ${٣٠٠٠} = {١٠٠٠} \times {٣} = {}^{٣}{١٠} \times {٣}$

تكنيك ١: الجمع الرأسي (المفهوم الرياضي: محاذاة القيم المنزلية بدقة).

نجمع الأعداد الصحيحة أولاً: $٥٤ = ٤ + ٥٠$

نجمع الأجزاء العشرية: $٠,٣٢١ = ٠,٣ + ٠,٠٢ + ٠,٠٠١$

ندمج الجزأين معاً: $٥٤,٣٢١ = ٠,٣٢١ + ٥٤$

تكنيك ٢: التكوين المباشر للعدد (المفهوم الرياضي: بناء العدد استناداً إلى موقع كل رقم من الفاصلة).

الرقم ٥ في خانة العشرات، ٤ في الآحاد، ٣ في أجزاء العشرة، ٢ في أجزاء المئة، ١ في أجزاء الألف.

بدمجها في صورة رقمية واحدة نحصل مباشرة على: $٥٤,٣٢١$

تكنيك ١: التعويض المباشر في قانون المسافة

المفهوم الرياضي: المسافة = السرعة مضروبة في الزمن.

السرعة المعطاة في المسألة هي $٠،٦$ كيلومتر في الساعة.

الزمن المعطى هو $٤$ ساعات.

نعوض في القانون: المسافة = ${٤} \times {٠،٦}$

نضرب الأرقام كأنها أعداد صحيحة: $٢٤ = ٤ \times ٦$

لدينا خانة عشرية واحدة في العدد المضروب، لذا نضع الفاصلة بعد خانة واحدة في الناتج ليصبح $٢،٤$.

إذن المسافة الإجمالية هي $٢،٤$ كيلومتر.

تكنيك ٢: الجمع المتكرر

المفهوم الرياضي: عملية الضرب هي في جوهرها تكرار لعملية الجمع لنفس الرقم.

في الساعة الأولى يقطع الشخص مسافة $٠،٦$ كيلومتر.

في الساعة الثانية يقطع $٠،٦$ كيلومتر.

في الساعة الثالثة يقطع $٠،٦$ كيلومتر.

في الساعة الرابعة يقطع $٠،٦$ كيلومتر.

نجمع المسافات الأربع: ${٠،٦} + {٠،٦} + {٠،٦} + {٠،٦}$

نجمع أول ساعتين: $١،٢ = ٠،٦ + ٠،٦$

نجمع آخر ساعتين: $١،٢ = ٠،٦ + ٠،٦$

نجمع المجموعين معاً: $٢،٤ = ١،٢ + ١،٢$

الناتج هو $٢،٤$ كيلومتر.

تكنيك ١: الضرب المباشر

المفهوم الرياضي: عند ضرب الأعداد العشرية، نضرب الأرقام كأنها أعداد صحيحة ثم نضع الفاصلة بعد مجموع عدد الخانات العشرية.

لحساب القيمة الأولى، نضرب $١٢$ في $١٢$ كأعداد صحيحة.

${١٤٤} = {١٢} \times {١٢}$

بما أن كل عدد عشري يحتوي على خانة عشرية واحدة، فإن الناتج النهائي سيحتوي على خانتين عشريتين.

إذن، القيمة الأولى = $١،٤٤$.

القيمة الثانية هي $١،٠٤$.

نقارن بين $١،٤٤$ و $١،٠٤$.

العدد الصحيح متساوٍ. نقارن الجزء العشري: أربعة وأربعون أكبر من أربعة.

إذن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

تكنيك ٢: تحويل الكسور العشرية إلى اعتيادية

القيمة الأولى: ${\frac{١٢}{١٠}} \times {\frac{١٢}{١٠}}$

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

الناتج = ${\frac{١٤٤}{١٠٠}}$

نحوله إلى كسر عشري، فيصبح $١،٤٤$.

القيمة الثانية: $١،٠٤$ وتكتب ككسر اعتيادي ${\frac{١٠٤}{١٠٠}}$

بمقارنة الكسرين، المقام متساوٍ، وبسط القيمة الأولى أكبر.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: الجمع الرأسي للكسور العشرية

المفهوم الرياضي: عند جمع الأعداد العشرية، يجب ترتيب الفواصل العشرية فوق بعضها البعض لضمان جمع الخانات المتماثلة بشكل صحيح.

نكتب الأعداد بشكل رأسي ونساوي عدد الخانات بإضافة أصفار على يمين الفواصل:

$٢،٠٠٠$

$٠،٢٠٠$

$٠،٠٢٠$

$٠،٠٠٢$

نجمع خانات الأجزاء من ألف: صفر زائد صفر زائد صفر زائد اثنان يساوي اثنين.

نجمع خانات الأجزاء من مئة: صفر زائد صفر زائد اثنان زائد صفر يساوي اثنين.

نجمع خانات الأجزاء من عشرة: صفر زائد اثنان زائد صفر زائد صفر يساوي اثنين.

نجمع خانة الآحاد: اثنان زائد أصفار يساوي اثنين.

نضع الفاصلة العشرية في مكانها ليكون الناتج النهائي $٢،٢٢٢$.

تكنيك ٢: الجمع الأفقي بالتدرج

نجمع العدد الصحيح مع أول كسر عشري (الجزء من عشرة): $٢،٢ = ٠،٢ + ٢$

نضيف الكسر الثاني (الجزء من مئة): $٢،٢٢ = ٠،٠٢ + ٢،٢$

نضيف الكسر الثالث (الجزء من ألف): $٢،٢٢٢ = ٠،٠٠٢ + ٢،٢٢$

إذن الناتج هو $٢،٢٢٢$.

تكنيك ١: التقريب المألوف للكسور

المفهوم الرياضي: تقريب الكسور العشرية إلى كسور اعتيادية شهيرة لتسهيل الحساب الذهني.

القيمة $٠،٤٩٩$ قريبة جداً من $٠،٥$ وهو ما يعادل النصف $\frac{١}{٢}$.

القيمة $٠،٧٩٩$ قريبة جداً من $٠،٨$ وهو ما يعادل $\frac{٨}{١٠}$ أو $\frac{٤}{٥}$.

نقوم بتقريب العملية لتصبح: $١٦ \times ٠،٨ \times \frac{١}{٢}$

نحسب نصف العدد $١٦$ أولاً: $٨ = ١٦ \times \frac{١}{٢}$

نضرب الناتج في الكسر العشري الثاني: $٠،٨ \times ٨$

نضرب الأعداد المجردة: $٦٤ = ٨ \times ٨$

نضع الفاصلة بعد خانة واحدة، فيكون الناتج $٦،٤$.

القيمة التقريبية هي $٦،٤$.

تكنيك ٢: التقريب العشري المتتالي

نقرب $٠،٤٩٩$ إلى أقرب جزء من عشرة ليصبح $٠،٥$.

نقرب $٠،٧٩٩$ إلى أقرب جزء من عشرة ليصبح $٠،٨$.

تصبح المسألة: $١٦ \times ٠،٨ \times ٠،٥$

نضرب العدد الصحيح في الكسر العشري الأول: $٨ = ١٦ \times ٠،٥$

نضرب الناتج في الكسر العشري المتبقي: $٦،٤ = ٠،٨ \times ٨$

إذن القيمة الأقرب هي $٦،٤$.

المفهوم الرياضي: مقارنة الأعداد العشرية لحساب الفروق.

نقوم بإيجاد الفرق المطلق بين العدد $٦،٧$ (والذي يمكن كتابته $٦،٧٠$ لتسهيل المقارنة) وبين كل خيار متاح:

الفرق مع الخيار الأول: ${٠،١٩} = {٦،٥١} – {٦،٧٠}$

الفرق مع الخيار الثاني: ${٠،٠١} = {٦،٦٩} – {٦،٧٠}$

الفرق مع الخيار الثالث: ${٠،٠٢} = {٦،٧٠} – {٦،٧٢}$

الفرق مع الخيار الرابع: ${٠،٠٧} = {٦،٧٠} – {٦،٧٧}$

أصغر فرق هو $٠،٠١$، مما يعني أن العدد $٦،٦٩$ هو الأقرب إلى $٦،٧$.

إذن الخيار الصحيح هو $٦،٦٩$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب قوى الأعداد العشرية ثم جمعها.

الحد الأول مقداره $٠،١$.

نحسب الحد الثاني بضرب العدد في نفسه: $= ٠،١ \times ٠،١$ ويساوي $٠،٠١$.

نحسب الحد الثالث: $= ٠،١ \times ٠،١ \times ٠،١$ ويساوي $٠،٠٠١$.

نحسب الحد الرابع: $= ٠،١ \times ٠،١ \times ٠،١ \times ٠،١$ ويساوي $٠،٠٠٠١$.

نجمع هذه النواتج: $= ٠،٠٠٠١ + ٠،٠٠١ + ٠،٠١ + ٠،١$

نرتب الأعداد بحيث تتطابق الفواصل، ثم نجمع عمودياً.

الناتج هو العدد العشري $٠،١١١١$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التوظيف المباشر للقيمة المنزلية للخانات العشرية.

يدل الأس في العدد $٠،١$ على رقم الخانة العشرية التي سيوضع فيها الرقم $١$.

الأس $١$ يعني وجود الرقم $١$ في خانة الأعشار (الجزء من عشرة).

الأس $٢$ يضع الرقم $١$ في خانة الأجزاء من مائة.

الأس $٣$ يضع الرقم $١$ في خانة الأجزاء من ألف.

الأس $٤$ يضع الرقم $١$ في خانة الأجزاء من عشرة آلاف.

بدمج هذه الخانات مكانياً يتشكل لدينا الرقم $٠،١١١١$ بشكل مباشر.

تكنيك ١: التخلص من الفواصل العشرية في المقامات

المفهوم الرياضي: لتبسيط الكسور التي تحتوي على فواصل عشرية في المقام، نضرب البسط والمقام في عشرة.

الكسر الأول من اليمين: $\frac{١}{٠،١}$ نضرب البسط والمقام في عشرة ليصبح $\frac{١٠}{١}$ ويساوي $١٠$.

الكسر الثاني: $\frac{١}{٠،٢}$ يصبح $\frac{١٠}{٢}$ ويساوي $٥$.

الكسر الثالث: $\frac{١}{٠،٣}$ يصبح $\frac{١٠}{٣}$.

الكسر الرابع: $\frac{١}{٠،٤}$ يصبح $\frac{١٠}{٤}$ ويبسط بقسمة البسط والمقام على اثنين ليصبح $\frac{٥}{٢}$.

نعوض بالقيم الجديدة في المسألة: ${١٠} \times {٥} \times {\frac{١٠}{٣}} \times {\frac{٥}{٢}}$

نضرب الأعداد الصحيحة معاً: $٥٠ = ٥ \times ١٠$

تصبح المعادلة: ${٥٠} \times {\frac{١٠}{٣}} \times {\frac{٥}{٢}}$

نضرب الخمسين في عشرة: $٥٠٠ = ١٠ \times ٥٠$

يتبقى لدينا: ${\frac{٥٠٠}{٣}} \times {\frac{٥}{٢}}$

نبسط بقسمة خمسمئة على اثنين لنحصل على مئتين وخمسين.

نضرب مئتين وخمسين في خمسة: $١٢٥٠ = ٥ \times ٢٥٠$

الناتج النهائي هو $\frac{١٢٥٠}{٣}$.

تكنيك ٢: دمج الكسور قبل التبسيط

المفهوم الرياضي: نضرب جميع البسوط معاً وجميع المقامات معاً لتكوين كسر واحد.

حاصل ضرب البسوط: $١ = ١ \times ١ \times ١ \times ١$

حاصل ضرب المقامات: ${٠،٤} \times {٠،٣} \times {٠،٢} \times {٠،١}$

نضرب الأعداد المجردة: $٢٤ = ٤ \times ٣ \times ٢ \times ١$

لدينا أربع خانات عشرية، نضع الفاصلة: $٠،٠٠٢٤$

الكسر الناتج هو: $\frac{١}{٠،٠٠٢٤}$

للتخلص من الفاصلة نضرب البسط والمقام في عشرة آلاف: $\frac{١٠٠٠٠}{٢٤}$

نبسط بقسمة البسط والمقام على ثمانية.

البسط: $١٢٥٠ = ٨ \div ١٠٠٠٠$

المقام: $٣ = ٨ \div ٢٤$

إذن الناتج: $\frac{١٢٥٠}{٣}$.

المفهوم الرياضي: جمع المعادلات الكسرية وتجميع المقامات المتشابهة.

تكنيك ١: جمع المعادلتين ودمج الحدود ذات المقامات المتشابهة في أقواس لتسهيل العملية الحسابية.

نجمع المعادلة الأولى مع المعادلة الثانية ونرتب الحدود المتشابهة:

$(\frac{٠،١٦}{٠،٦} + \frac{٠،٤٤}{٠،٦}) + (\frac{٠،١٣}{٠،٥} + \frac{٠،٣٧}{٠،٥}) + (\frac{٠،١٧}{٠،٤} + \frac{٠،٢٣}{٠،٤}) = ب + أ$

نجمع البسوط لكل قوس مع الاحتفاظ بالمقام المشترك:

$\frac{٠،٦٠}{٠،٦} + \frac{٠،٥٠}{٠،٥} + \frac{٠،٤٠}{٠،٤} = ب + أ$

نبسط الكسور بمساواة الفواصل (الضرب في $١٠$ للبسط والمقام):

$\frac{٦}{٦} + \frac{٥}{٥} + \frac{٤}{٤} = ب + أ$

نوجد الناتج النهائي:

$٣ = ١ + ١ + ١ = ب + أ$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مساواة الخانات العشرية للمقارنة.

عند المقارنة بين كسرين عشريين، نساوي عدد الخانات يمين الفاصلة بإضافة أصفار.

القيمة الأولى هي $٠،٤٠١$ وتحتوي على ثلاث خانات.

القيمة الثانية هي $٠،٤١$ وتحتوي على خانتين، لذا نضيف صفراً لتصبح $٠،٤١٠$.

بالمقارنة بين $٠،٤١٠$ و $٠،٤٠١$، نجد أن $٤١٠$ أكبر من $٤٠١$.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: المقارنة المباشرة للقيم المنزلية من اليسار لليمين.

نبدأ بمقارنة الخانات من اليسار بعد الفاصلة مباشرة.

في خانة الأجزاء من عشرة: القيمتان متساويتان (الرقم $٤$).

في خانة الأجزاء من مائة: القيمة الثانية تحتوي على الرقم $١$ بينما القيمة الأولى تحتوي على الرقم صفر.

بما أن $١$ أكبر من صفر، فإن القيمة الثانية أكبر مباشرة دون الحاجة للنظر لباقي الخانات.

المفهوم الرياضي: قسمة الأعداد العشرية لمعرفة عدد الأجزاء الكلية.

تكنيك ١: التخلص من الفاصلة العشرية في المقام بالضرب في قوى العدد عشرة.

نصيغ قانون عدد الحبوب كمعادلة رمزية:

$\frac{ع}{ح} = ن$

حيث (ن) تمثل عدد الحبوب، و (ع) حجم العلبة، و (ح) حجم الحبة الواحدة.

نعوض بالقيم المعطاة في السؤال:

$\frac{٥٠}{٠،٥} = ن$

للتخلص من الفاصلة العشرية في المقام، نضرب البسط والمقام في $١٠$:

$١٠٠ = \frac{٥٠٠}{٥} = \frac{٥٠ \times ١٠}{٠،٥ \times ١٠} = ن$

إذن عدد الحبوب هو $١٠٠$ حبة.

تكنيك ١: حساب كل عملية ضرب على حدة

المفهوم الرياضي: عند الضرب في ١٠ أو ١٠٠ نحرك الفاصلة لليمين بعدد الأصفار.

العملية الأولى: ${١} = {١٠} \times {٠،١}$

العملية الثانية: ${١} = {١٠} \times {٠،١}$

العملية الثالثة: ${١٠} = {١٠٠} \times {٠،١}$

نجمع النواتج: ${١٢} = {١٠} + {١} + {١}$

المفهوم الرياضي: القسمة والتقريب بالنقصان لمعرفة عدد الوحدات المكتملة.

نريد تصنيع أكبر عدد ممكن من الأثواب من لفة قماش طولها $٣٢$ متراً، حيث يحتاج الثوب الواحد إلى $٣،٨$ متر.

نجرب الخيارات المعطاة بالضرب في $٣،٨$:

بتجربة الخيار الثاني: ${٢٦،٦} = {٧} \times {٣،٨}$ متر (يتبقى قماش يكفي لصنع ثوب آخر).

بتجربة الخيار الثالث: ${٣٠،٤} = {٨} \times {٣،٨}$ متر (يتبقى $١،٦$ متر، وهي كمية لا تكفي لصنع ثوب إضافي).

بتجربة الخيار الرابع: ${٣٤،٢} = {٩} \times {٣،٨}$ متر (هذه القيمة أكبر من إجمالي القماش المتاح).

إذن الخيار الصحيح هو $٨$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية والقيمة الجبرية.

نحسب القيمة الأولى، ونبدأ بعملية القسمة أولاً: $= ٢ \div ٢٤$

ناتج القسمة هو $١٢$.

نطرح للحصول على القيمة الأولى: $= ١٢ – ٤،٧$

الناتج هو $٧،٣-$.

نحسب القيمة الثانية، ونبدأ بعملية القسمة: $= ٢ \div ٢٤$

ناتج القسمة هو $١٢$.

نجمع للحصول على القيمة الثانية: $= ١٢ + ٤،٧$

الناتج هو $١٦،٧$.

بالمقارنة بين القيمتين، $١٦،٧$ أكبر من $٧،٣-$.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: المقارنة المنطقية بالنظر للعمليات والإشارات.

نلاحظ أن المقدار $٢ \div ٢٤$ مشترك في كلتا القيمتين ويساوي قيمة موجبة وهي $١٢$.

في القيمة الأولى، يتم طرح هذا المقدار الموجب من $٤،٧$.

في القيمة الثانية، يتم جمع هذا المقدار الموجب مع $٤،٧$.

رياضياً ومنطقياً، جمع قيمة موجبة إلى عدد يعطي ناتجاً أكبر من طرح نفس القيمة الموجبة من ذات العدد.

وبالتالي، القيمة الثانية أكبر دون الحاجة لإكمال الحسابات الدقيقة.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: استنتاج الجزء المفقود وتكوين المعادلات.

وزن العلبة ممتلئة هو $٢$ كجم.

وزن العلبة بعد أكل ثلاثة أرباع الطعام هو $٠،٨$ كجم.

الفرق في الوزن يمثل وزن الجزء المأكول وهو ثلاثة أرباع الطعام.

نحسب الفرق: $= ٠،٨ – ٢$ والناتج $١،٢$ كجم.

إذن، ثلاثة أرباع الطعام تزن $١،٢$ كجم.

لإيجاد وزن ربع الطعام، نقسم على ثلاثة: $= ٣ \div ١،٢$ والناتج $٠،٤$ كجم.

الوزن المتبقي ($٠،٨$ كجم) يمثل وزن العلبة فارغة مضافاً إليه ربع الطعام المتبقي.

وزن العلبة فارغة = الوزن المتبقي ناقص وزن ربع الطعام.

نحسب: $= ٠،٤ – ٠،٨$ والناتج هو $٠،٤$ كجم.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الصياغة الجبرية للمعطيات.

نفرض أن وزن العلبة فارغة هو $س$ ووزن الطعام كاملاً هو $ص$.

المعادلة الأولى: $٢ = ص + س$

بعد أكل ثلاثة أرباع الطعام، يتبقى ربعه.

المعادلة الثانية: $٠،٨ = ص \frac{١}{٤} + س$

نطرح المعادلة الثانية من الأولى لإلغاء المتغير $س$.

ناتج الطرح: $١،٢ = ص \frac{٣}{٤}$

نحل لإيجاد $ص$: $= \frac{٤}{٣} \times ١،٢ = ص$

ينتج أن $١،٦ = ص$ كجم (وهو وزن الطعام كاملاً).

نعوض بوزن الطعام في المعادلة الأولى لإيجاد وزن العلبة.

تصبح المعادلة: $٢ = ١،٦ + س$

بطرح $١،٦$ من الطرفين، نحصل على $٠،٤ = س$ كجم.

تكنيك ١: تحويل الكيلوجرام إلى جرام

المفهوم الرياضي: للتحويل من وحدة كبيرة (كيلوجرام) إلى وحدة صغيرة (جرام)، نضرب في ألف.

القيمة الثانية بالجرام: ${١٥٠٠} = {١٠٠٠} \times {١،٥}$

القيمة الأولى تساوي ${١٥٠٠}$ جرام، والقيمة الثانية تساوي ${١٥٠٠}$ جرام.

إذن القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢: تحويل الجرام إلى كيلوجرام

المفهوم الرياضي: للتحويل من وحدة صغيرة إلى وحدة كبيرة، نقسم على ألف.

القيمة الأولى بالكيلوجرام: ${١،٥} = \frac{١٥٠٠}{١٠٠٠}$

نجد أن القيمة الأولى تساوي القيمة الثانية ${١،٥}$ كيلوجرام.

إذن القيمتان متساويتان.

تكنيك ١: ضرب الأعداد العشرية

المفهوم الرياضي: نضرب الأرقام الصحيحة أولاً ثم نجمع عدد الخانات العشرية لتحديد موقع الفاصلة.

نأخذ الأرقام المجردة في القيمة الأولى ونضربها: $٢٧ = ٣ \times ٣ \times ٣$

نحسب مجموع الخانات العشرية: خانة واحدة، ثم خانتان، ثم خانة واحدة.

المجموع هو أربع خانات عشرية.

نضع الفاصلة بعد أربع خانات في الناتج، فيصبح: $٠،٠٠٢٧$

القيمة الثانية معطاة وهي $٠،٠٠٢٧$.

القيمتان متطابقتان تماماً.

إذن القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢: تحويل الكسور العشرية إلى اعتيادية

المفهوم الرياضي: كتابة الأعداد على صورة كسور اعتيادية لتسهيل ضربها.

القيمة الأولى تكتب كالتالي: $\frac{٣}{١٠} \times \frac{٣}{١٠٠} \times \frac{٣}{١٠}$

نضرب البسوط معاً: $٢٧ = ٣ \times ٣ \times ٣$

نضرب المقامات معاً: $١٠٠٠٠ = ١٠ \times ١٠٠ \times ١٠$

الكسر الناتج هو $\frac{٢٧}{١٠٠٠٠}$

نحوله إلى كسر عشري فيصبح $٠،٠٠٢٧$.

نقارنه مع القيمة الثانية التي تساوي $٠،٠٠٢٧$.

القيمتان متساويتان.

تكنيك ١: حل المعادلة الجبرية خطوة بخطوة

المفهوم الرياضي: إيجاد قيمة المجهول بضرب طرفي المعادلة للتخلص من المقام، ثم القسمة على معامل المجهول.

المعادلة هي: $\frac{س \times ٢}{٥} = ٠،٨$

نضرب طرفي المعادلة في العدد خمسة للتخلص من المقام.

${٥} \times {٠،٨} = س٢$

نعلم أن ثمانية من عشرة ضرب خمسة يساوي أربعة.

$٤ = س٢$

نقسم الطرفين على العدد اثنين.

$٢ = س$

بما أن القيمة الأولى هي $س$، إذن قيمتها $٢$.

القيمة الثانية معطاة وتساوي $٢$.

القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢: التجريب والتعويض

المفهوم الرياضي: تجربة القيمة المعطاة في الخيارات للتحقق من صحة المعادلة الرياضية.

نجرب التعويض عن قيمة المتغير $س$ بالرقم $٢$ (وهو القيمة الثانية المعطاة في المقارنة).

نعوض في الطرف الأيمن من المعادلة: $\frac{٢ \times ٢}{٥}$

البسط يصبح أربعة: $\frac{٤}{٥}$

نحول الكسر $\frac{٤}{٥}$ إلى كسر عشري بضرب البسط والمقام في اثنين.

الكسر يصبح $\frac{٨}{١٠}$ ويساوي $٠،٨$.

الناتج يطابق الطرف الأيسر من المعادلة.

إذن قيمة المتغير $س$ هي بالفعل $٢$.

وبالتالي القيمتان متساويتان.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مقارنة الأعداد العشرية السالبة.

في الأعداد الموجبة، العدد الأكبر هو الذي يملك قيمة مطلقة أكبر.

بينما في الأعداد السالبة، تنعكس القاعدة؛ فالعدد الأقرب إلى الصفر (ذو القيمة المطلقة الأصغر) هو الأكبر.

نقارن بين $٠،٠٨٣٥$ و $٠،٠٨٠٥$ كقيم موجبة.

نجد أن $٠،٠٨٣٥$ أكبر من $٠،٠٨٠٥$ لأن الرقم في خانة أجزاء الألف ($٣$) أكبر من (صفر).

بما أن الإشارات سالبة، فإن العدد الأصغر يصبح هو الأكبر.

إذن $٠،٠٨٠٥-$ أكبر من $٠،٠٨٣٥-$.

وبالتالي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: مساواة الخانات وحذف الفواصل للتبسيط.

الخانات العشرية متساوية في القيمتين (أربع خانات).

يمكننا تخيل ضرب القيمتين في عشرة آلاف للتخلص من الفواصل.

تصبح القيمة الأولى $٨٠٥-$ والقيمة الثانية $٨٣٥-$.

على خط الأعداد، العدد $٨٠٥-$ يقع على يمين العدد $٨٣٥-$.

أي عدد على اليمين يكون أكبر، مما يعني أن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: ضرب الكسور العشرية وتحديد موقع الفاصلة.

نقوم بضرب الأعداد متجاهلين الفواصل العشرية تماماً: $= ٣ \times ٢ \times ٢ \times ١$

ناتج ضرب هذه الأعداد الصحيحة هو $١٢$.

نعود للكسور الأصلية ونقوم بعد الخانات الموجودة يمين الفاصلة في كل عدد.

يحتوي كل من الأعداد الأربعة على خانة عشرية واحدة، ليصبح المجموع أربع خانات عشرية.

نضع الفاصلة في الناتج بعد أربع خانات من اليمين، فنضيف صفرين يسار الرقم $١٢$.

الناتج النهائي هو $٠،٠٠١٢$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تحويل الكسور العشرية إلى كسور اعتيادية.

نحول كل عدد عشري إلى كسر بسطه العدد الصحيح ومقامه عشرة.

تصبح العملية: $= \frac{٣}{١٠} \times \frac{٢}{١٠} \times \frac{٢}{١٠} \times \frac{١}{١٠}$

نضرب البسوط معاً: $= ٣ \times ٢ \times ٢ \times ١$ والناتج هو $١٢$.

نضرب المقامات معاً: $= ١٠ \times ١٠ \times ١٠ \times ١٠$ والناتج هو عشرة آلاف.

الكسر الناتج هو $\frac{١٢}{١٠٠٠٠}$.

نحول الكسر الاعتيادي إلى عشري، ليصبح $٠،٠٠١٢$.

تكنيك ١: التجميع المرحلي (المفهوم الرياضي: جمع كل عددين معاً بخطوات متتالية لضمان الدقة).

نجمع العدد الأول والثاني: $٢,٦ = ٠,٨ + ١,٨$

نضيف العدد الثالث إلى الناتج: $٢,٦٨ = ٠,٠٨ + ٢,٦$

نضيف العدد الرابع للوصول للناتج النهائي: $٢,٦٨٨ = ٠,٠٠٨ + ٢,٦٨$

تكنيك ٢: الجمع الرأسي السريع (المفهوم الرياضي: إنزال الأرقام في خاناتها مع الانتباه لحالات الحمل).

نجمع أجزاء العشرة: $١,٦ = ٠,٨ + ٠,٨$، نرفع الواحد للصحيح ليصبح المجموع ٢، ويبقى ٦ في أجزاء العشرة.

باقي الخانات لا يوجد فيها تداخل لذا تنزل كما هي (٨ في أجزاء المئة، ٨ في أجزاء الألف).

الناتج النهائي: $٢,٦٨٨$

تكنيك ١: فك الأس العشري وحساب الخانات

المفهوم الرياضي: عند رفع كسر عشري لأس معين، نضرب العدد المجرد في نفسه، ونضاعف عدد الخانات العشرية بمقدار الأس.

القيمة الأولى هي $٠،٠٠١$ مرفوعة للأس ثلاثة، مما يعني ضربها في نفسها ثلاث مرات.

العدد المجرد هو واحد: $١ = ١ \times ١ \times ١$

العدد الأصلي ($٠،٠٠١$) يحتوي على ثلاث خانات عشرية.

بما أن الأس هو ثلاثة، فإن الناتج النهائي سيحتوي على تسع خانات عشرية ($٩ = ٣ \times ٣$).

تُكتب القيمة الأولى كالتالي: $٠،٠٠٠٠٠٠٠٠١$

القيمة الثانية المعطاة هي $٠،٠٠٠٠٠٠١$ (تحتوي على سبع خانات عشرية).

بمقارنة القيمتين، نجد أن القيمة الثانية أكبر لأن الخانة السابعة فيها الرقم واحد بينما في القيمة الأولى تحتوي على الرقم صفر.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: استخدام الصيغة العلمية

المفهوم الرياضي: تحويل الأعداد العشرية إلى قوى للأساس عشرة لتسهيل المقارنة المباشرة.

القيمة الأولى: $٠،٠٠١$ تُكتب بالصيغة العلمية كـ ${}^{٣-}١٠$

نرفعها للأس ثلاثة: ${}^{٣}({}^{٣-}١٠)$

حسب قوانين الأسس، نضرب الأسس: ${}^{٩-}١٠$

القيمة الثانية تحتوي على سبع خانات عشرية، وتُكتب بالصيغة العلمية كـ ${}^{٧-}١٠$

في الأعداد السالبة للأسس، الأس الأصغر المطلق يمثل القيمة الأكبر رياضياً.

بما أن سالب سبعة أكبر من سالب تسعة، فإن ${}^{٧-}١٠$ أكبر من ${}^{٩-}١٠$.

إذن القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

المفهوم الرياضي: ضرب الكسور العشرية والتخلص من الفواصل في المقام.

تكنيك ١: التخلص من الفواصل بضرب البسط والمقام في $١٠$ لكل كسر على حدة ثم ضرب النواتج.

نبسط الكسر الأول (الأيمن):

$\frac{١٠}{١} = \frac{١ \times ١٠}{٠،١ \times ١٠}$

نبسط الكسر الثاني (الأوسط):

$\frac{١٠}{١} = \frac{١ \times ١٠}{٠،١ \times ١٠}$

نبسط الكسر الثالث (الأيسر):

$\frac{٢٠٠}{١} = \frac{٢٠ \times ١٠}{٠،١ \times ١٠}$

نضرب النواتج معاً بالترتيب المطلوب:

$٢٠٠٠٠ = ٢٠٠ \times ١٠ \times ١٠$

تكنيك ١: الضرب التبادلي وإيجاد المتغير

المفهوم الرياضي: تحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي ثم إيجاد قيمة المتغير.

المعادلة المعطاة: $٠،٥ = \frac{أ}{٦}$

نعلم أن الكسر العشري $٠،٥$ يساوي $\frac{١}{٢}$.

إذن: $\frac{١}{٢} = \frac{أ}{٦}$

بالضرب التبادلي: $٦ = أ٢$

نقسم الطرفين على اثنين: $٣ = أ$

المطلوب إيجاد قيمة المقدار $\frac{٦}{أ}$.

نعوض بقيمة المتغير: $٢ = \frac{٦}{٣}$

الناتج هو $٢$.

تكنيك ٢: استخدام النظير الضربي (المقلوب)

المفهوم الرياضي: إذا تساوت كميتان، فإن مقلوبيهما متساويان.

المعادلة: $\frac{١}{٢} = \frac{أ}{٦}$

المطلوب هو $\frac{٦}{أ}$ وهو يمثل مقلوب الطرف الأيمن.

نقلب طرفي المعادلة للحصول على المطلوب مباشرة.

مقلوب $\frac{أ}{٦}$ هو $\frac{٦}{أ}$.

مقلوب $\frac{١}{٢}$ هو $\frac{٢}{١}$ والذي يساوي $٢$.

إذن: $٢ = \frac{٦}{أ}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: إجراء عملية الضرب المباشر للكسور العشرية.

نحسب القيمة الأولى بضرب العدد الصحيح في الكسر العشري: $= ٠،٠٤ \times ٣$

نضرب $٤ \times ٣$ ليعطي $١٢$، ثم نضع الفاصلة بعد خانتين، الناتج $٠،١٢$.

نحسب القيمة الثانية بنفس الطريقة: $= ٠،٠٣ \times ٤$

نضرب $٣ \times ٤$ ليعطي $١٢$، والفاصلة بعد خانتين، الناتج $٠،١٢$.

القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: خاصية الإبدال وتحليل العوامل.

القيمة الأولى يمكن كتابتها على صورة: $= \frac{٤}{١٠٠} \times ٣$

القيمة الثانية يمكن كتابتها على صورة: $= \frac{٣}{١٠٠} \times ٤$

في كلا الحالتين، نحن نضرب الأعداد الصحيحة $٣ \times ٤$ ونقسم الناتج على مائة.

بما أن الضرب عملية إبدالية، فإن كلا القيمتين تساوي $\frac{١٢}{١٠٠}$ وتساوي $٠،١٢$.

إذن القيمتان متساويتان.

تكنيك ١: الحساب الذهني والتدرج

المفهوم الرياضي: الفرق بين وزن القارورة ممتلئة بالكامل وممتلئة للنصف يمثل وزن نصف كمية الماء.

وزن القارورة ممتلئة بالكامل يساوي $٨$ كجم.

وزنها وهي ممتلئة للنصف يساوي $٥$ كجم.

وزن نصف الماء = $٣ = ٥ – ٨$ كجم.

وزن الماء كاملاً = $٦ = ٣ + ٣$ كجم.

لمعرفة وزن القارورة فارغة، نطرح وزن الماء من الوزن الكلي.

وزن القارورة فارغة = $٢ = ٦ – ٨$ كجم.

القيمة الأولى تساوي $٢$.

القيمة الثانية تساوي $١،٥$.

نقارن بين $٢$ و $١،٥$، نجد أن $٢$ أكبر.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: تكوين المعادلات الجبرية

نفرض وزن القارورة فارغة = $ق$، ووزن الماء = $م$.

المعادلة الأولى: $٨ = م + ق$

المعادلة الثانية: $٥ = م٠،٥ + ق$

بطرح المعادلة الثانية من الأولى: $٣ = م٠،٥$

نضرب الطرفين في اثنين: $٦ = م$

نعوض في المعادلة الأولى: $٨ = ٦ + ق$

نطرح ستة من الطرفين: $٢ = ق$

القيمة الأولى هي $٢$. القيمة الثانية هي $١،٥$.

القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: حساب عدد الطرود ثم التكلفة

المفهوم الرياضي: عدد الطرود = السعة الكلية مقسومة على سعة الطرد الواحد.

السعة الكلية للطائرة = $٣٠٠$ متر مكعب.

سعة الطرد الواحد = $٠،٥$ متر مكعب.

عدد الطرود = ${\frac{٣٠٠}{٠،٥}}$

للتخلص من الفاصلة، نضرب البسط والمقام في عشرة:

${٦٠٠} = {\frac{٣٠٠٠}{٥}}$ طرد.

التكلفة الكلية = عدد الطرود مضروباً في تكلفة الطرد الواحد.

التكلفة = ${٦٠٠} \times {١٠٠}$ = $٦٠٠٠٠$ ريال.

تكنيك ٢: التناسب الطردي والمضاعفة

سعة الطرد $٠،٥$ متر مكعب تكلفته $١٠٠$ ريال.

كل $١$ متر مكعب يستوعب طردين.

تكلفة الطرود في $١$ متر مكعب = ${٢} \times {١٠٠}$ = $٢٠٠$ ريال.

السعة الإجمالية هي $٣٠٠$ متر مكعب.

التكلفة الكلية = ${٣٠٠} \times {٢٠٠}$ = $٦٠٠٠٠$ ريال.

تكنيك ١: مساواة الخانات (المفهوم الرياضي: إضافة أصفار في الأجزاء العشرية لتسهيل عملية الاستلاف والطرح).

نكتب المطروح منه ونساوي الخانات بوضع صفر: $٤,٩٩٠$

نقوم بعملية الطرح المباشر: $٤,٤٩٥ = ٠,٤٩٥ – ٤,٩٩٠$

تكنيك ٢: التقريب والتعويض (المفهوم الرياضي: تحويل الأعداد إلى قيم يسهل طرحها ذهنياً ثم تصحيح الناتج).

نقرب المطروح $٠,٤٩٥$ إلى أقرب جزء وهو $٠,٥٠٠$

نطرح القيمة المقربة: $٤,٤٩٠ = ٠,٥٠٠ – ٤,٩٩٠$

بما أننا طرحنا $٠,٠٠٥$ إضافية أثناء التقريب، يجب أن نعيد إضافتها للناتج لتصحيحه.

الناتج النهائي بعد التصحيح: $٤,٤٩٥ = ٠,٠٠٥ + ٤,٤٩٠$

المفهوم الرياضي: تبسيط الكسور التي تحتوي على أسس وأعداد عشرية.

تكنيك ١: التخلص من الأسس ثم تبسيط الكسر باختصار الحدود المتشابهة.

نحسب قيمة الأس في القيمة الأولى:

$١٠٠ = {}^{٢}١٠$

نعوض في القيمة الأولى:

$\frac{٠،١ \times ١٠٠}{٠،١}$

نختصر $٠،١$ من البسط والمقام.

يتبقى لدينا $١٠٠$ في القيمة الأولى.

نقارن بين $١٠٠$ والقيمة الثانية $٥$.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢: ضرب البسط والمقام في $١٠$ للتخلص من الفاصلة.

نضرب البسط والمقام في $١٠$ كالتالي:

$\frac{١ \times {}^{٢}١٠}{١} = \frac{١٠ \times ٠،١ \times {}^{٢}١٠}{١٠ \times ٠،١}$

الناتج يساوي $١٠٠$ وهو أكبر من $٥$.

تكنيك ١: تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

المفهوم الرياضي: إيجاد القيمة العشرية لكل كسر ثم ضربها.

الكسر الأول: ${٠،٠١} = \frac{٠،١}{١٠}$

الكسر الثاني: ${٠،٠١} = \frac{١}{١٠٠}$

الكسر الثالث: ${٠،٠١} = \frac{١}{١٠٠}$

نضرب القيم: ${٠،٠٠٠٠٠١} = {٠،٠١} \times {٠،٠١} \times {٠،٠١}$

تكنيك ٢: ضرب الكسور أولاً

المفهوم الرياضي: التخلص من الفاصلة في البسط الأول، ثم ضرب البسوط والمقامات.

في الكسر الأول نضرب البسط والمقام في ١٠: $\frac{١}{١٠٠} = \frac{٠،١}{١٠}$

نضرب البسوط: ${١} = {١} \times {١} \times {١}$

نضرب المقامات: ${١٠٠٠٠٠٠} = {١٠٠} \times {١٠٠} \times {١٠٠}$

نقسم: ${٠،٠٠٠٠٠١} = \frac{١}{١٠٠٠٠٠٠}$

تكنيك ١: الترتيب المتسلسل للعمليات (المفهوم الرياضي: تطبيق عملية الجمع أولاً لتسهيل خطوات الحل).

نجمع الأعداد الموجبة معاً في البداية: $١٥ = ٧,٦٥ + ٧,٣٥$

نطرح العدد الأخير من المجموع الناتج: $٧,٨ = ٧,٢ – ١٥$

تكنيك ٢: تجميع الأجزاء العشرية والصحيحة (المفهوم الرياضي: تفكيك الأعداد لتسهيل الحساب الذهني).

مجموع الأجزاء العشرية للعددين الأولين: $١ = ٠,٦٥ + ٠,٣٥$

مجموع الأجزاء الصحيحة للعددين الأولين: $١٤ = ٧ + ٧$

المجموع الكلي: $١٥ = ١ + ١٤$

أخيراً نقوم بالطرح: $٧,٨ = ٧,٢ – ١٥$

تكنيك ١: تحريك الفواصل العشرية

المفهوم الرياضي: عند ضرب الأعداد أو قسمتها، يمكننا تحريك الفواصل العشرية لتسهيل الحساب، بشرط توازن العمليات في البسط والمقام.

المقدار هو: ${\frac{{٧٠٠٠٠} \times {٠،٠٠٥٥}}{٠،٠٠٠٧}}$

نحرك الفاصلة في المقام أربع خانات لليمين ليصبح العدد $٧$.

بالمقابل، نحرك الفاصلة في العدد العشري في البسط أربع خانات لليمين ليصبح $٥٥$.

المقدار الجديد: ${\frac{{٧٠٠٠٠} \times {٥٥}}{٧}}$

نبسط بقسمة العدد $٧٠٠٠٠$ على $٧$، لنحصل على $١٠٠٠٠$.

الناتج = ${١٠٠٠٠} \times {٥٥}$ = $٥٥٠٠٠٠$.

تكنيك ٢: القوى والأسس

نكتب الأعداد بالصيغة العلمية لتسهيل الاختصار.

$٧٠٠٠٠$ = ${}^{٤}١٠ \times {٧}$

$٠،٠٠٥٥$ = ${}^{٤-}١٠ \times {٥٥}$

$٠،٠٠٠٧$ = ${}^{٤-}١٠ \times {٧}$

البسط = $({}^{٤}١٠ \times {٧}) \times ({}^{٤-}١٠ \times {٥٥})$

في الضرب نجمع الأسس للأساس عشرة، أربعة ناقص أربعة يساوي صفر، وبالتالي المقدار يساوي $١$.

البسط يصبح: ${٧} \times {٥٥}$

المقام: ${}^{٤-}١٠ \times {٧}$

الكسر = ${\frac{{٥٥} \times {٧}}{{}^{٤-}١٠ \times {٧}}}$

نختصر $٧$ من البسط مع المقام.

الناتج = ${\frac{٥٥}{{}^{٤-}١٠}}$

رفع الأس السالب للبسط يغير إشارته ليصبح موجباً.

الناتج = ${}^{٤}١٠ \times {٥٥}$ = $٥٥٠٠٠٠$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: حساب السعة الكلية ثم التناسب الطردي.

نحسب أولاً إجمالي سعة القوارير بالجالون.

السعة الكلية = عدد القوارير × سعة القارورة الواحدة.

نضرب: $= ١،٢٥ \times ١٢$

يمكن تسهيل الضرب: $= (٠،٢٥ + ١) \times ١٢$

الناتج هو $٣ + ١٢$ ويساوي $١٥$ جالوناً.

بما أن الجالون الواحد يحتاج إلى $٤$ كجم من البرتقال.

نضرب السعة الكلية في احتياج الجالون: $= ٤ \times ١٥$

الناتج هو $٦٠$ كيلوغراماً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: حساب احتياج القارورة الواحدة ثم التعميم.

القارورة الواحدة سعتها $١،٢٥$ جالون، والجالون يحتاج $٤$ كجم.

نحسب احتياج القارورة الواحدة من البرتقال: $= ٤ \times ١،٢٥$

ناتج الضرب هو $٥$ كيلوغرامات للقارورة الواحدة.

لدينا $١٢$ قارورة، لذا نضرب احتياج القارورة في العدد الكلي.

نحسب: $= ٥ \times ١٢$

الناتج النهائي هو $٦٠$ كيلوغراماً.

تكنيك ١: حساب كل حد على حدة ثم الجمع

المفهوم الرياضي: عند الضرب في قوى العدد عشرة، نقوم بتحريك الفاصلة العشرية جهة اليمين بعدد الأصفار (قيمة الأس).

الحد الأول: ${٣٥٠} = {١٠٠٠} \times {٠،٣٥} = {}^{٣}{١٠} \times {٠،٣٥}$

الحد الثاني: ${٣٥٠٠٠} = {١٠٠٠٠٠} \times {٠،٣٥} = {}^{٥}{١٠} \times {٠،٣٥}$

الحد الثالث: ${٣٥٠٠٠٠٠} = {١٠٠٠٠٠٠٠} \times {٠،٣٥} = {}^{٧}{١٠} \times {٠،٣٥}$

نجمع النواتج: ${٣٥٣٥٣٥٠} = {٣٥٠} + {٣٥٠٠٠} + {٣٥٠٠٠٠٠}$

تكنيك ٢: أخذ عامل مشترك

المفهوم الرياضي: استخراج العامل المشترك لتسهيل عملية الجمع.

نأخذ ${٠،٣٥}$ كعامل مشترك.

يصبح المقدار: ${٠،٣٥} \times ( {}^{٣}{١٠} + {}^{٥}{١٠} + {}^{٧}{١٠} )$

نحسب ما بداخل القوس: ${١٠١٠١٠٠٠} = {١٠٠٠} + {١٠٠٠٠٠} + {١٠٠٠٠٠٠٠}$

نضرب في العامل المشترك: ${٣٥٣٥٣٥٠} = {١٠١٠١٠٠٠} \times {٠،٣٥}$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: تجميع الحدود السالبة وطرحها من الحد الموجب.

نقوم بجمع الأجزاء العشرية السالبة معاً لتسهيل العملية.

نجمع: $= ٠،٠٠٨ + ٠،٠٨ + ٠،٨$

عند الجمع نضع الفواصل تحت بعضها ليكون الناتج $٠،٨٨٨$.

الآن نطرح هذا المجموع من العدد الصحيح: $= ٠،٨٨٨ – ٨$

نوحد الخانات بوضع فاصلة وثلاثة أصفار للثمانية: $= ٠،٨٨٨ – ٨،٠٠٠$

نقوم بعملية الطرح المعتادة، ليصبح الناتج $٧،١١٢$.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: التخلص من الفواصل العشرية بالضرب ثم القسمة.

نضرب المقدار كاملاً في العدد ألف للتخلص من جميع الفواصل العشرية.

يتحول المقدار إلى أعداد صحيحة: $= ٨ – ٨٠ – ٨٠٠ – ٨٠٠٠$

نجمع الأعداد السالبة: $= ٨٨٨$

نطرح الناتج من ثمانية آلاف: $= ٨٨٨ – ٨٠٠٠$

ناتج الطرح هو $٧١١٢$.

نعيد الفاصلة العشرية بالقسمة على ألف، أي وضع الفاصلة بعد ثلاث خانات.

الناتج النهائي هو $٧،١١٢$.

تكنيك ١: تحويل الكسر العشري إلى أشهر

المفهوم الرياضي: السنة تتكون من اثني عشر شهراً.

عمر الطفل معطى بالسنوات كعدد عشري.

الجزء الصحيح يمثل السنوات: $٤$ سنوات.

الجزء العشري يمثل جزءاً من السنة: $٠،٢٥$ أو $\frac{١}{٤}$ ربع سنة.

نحسب عدد الأشهر في ربع سنة:

عدد الأشهر = ${\frac{١}{٤}} \times {١٢}$ = $٣$ أشهر.

إذن، العمر هو $٤$ سنوات و $٣$ أشهر.

تكنيك ٢: التدرج المنتظم

سنة واحدة = $١٢$ شهراً.

نصف سنة ($٠،٥$) = $٦$ أشهر.

ربع سنة ($٠،٢٥$) = $٣$ أشهر.

بما أن الكسر العشري هو $٠،٢٥$، فهو يطابق $٣$ أشهر.

تكنيك ١: تبسيط الكسور المضروبة

المفهوم الرياضي: تبسيط كل كسر على حدة قبل إجراء عملية الجمع.

المقدار الأيمن: $\frac{٠،٢}{٠،٢}$ يساوي $١$.

نضرب في النصف المجاور: $\frac{١}{٢} = \frac{١}{٢} \times ١$.

المقدار الأيسر: $\frac{٠،٢}{٠،٤}$ بضرب البسط والمقام في عشرة يصبح $\frac{٢}{٤}$، وهو يعادل $\frac{١}{٢}$.

نضرب في النصف المجاور: $\frac{١}{٤} = \frac{١}{٢} \times \frac{١}{٢}$.

نجمع نواتج المقدارين: $\frac{١}{٤} + \frac{١}{٢}$

نوحد المقامات لتصبح: $\frac{١}{٤} + \frac{٢}{٤}$

الناتج النهائي: $\frac{٣}{٤} = \frac{١}{٤} + \frac{٢}{٤}$.

تكنيك ٢: التخلص من الفواصل العشرية أولاً

نحرك الفواصل في جميع الكسور العشرية من خلال الضرب في عشرة.

الكسر الأول يصبح $\frac{٢}{٤}$ ويبسط إلى $\frac{١}{٢}$.

الكسر الثاني يصبح $\frac{٢}{٢}$ ويبسط إلى $١$.

نعوض في المسألة الأصلية: $\frac{١}{٢} \times ١ + \frac{١}{٢} \times \frac{١}{٢}$

نجري عمليات الضرب أولاً: $\frac{١}{٢} + \frac{١}{٤}$

بجمع الكسرين بعد توحيد المقام نحصل على $\frac{٣}{٤}$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: مساواة الخانات العشرية لإيجاد القيم البينية.

الخيارات المعطاة تتكون من ثلاث خانات عشرية، بينما الأعداد في السؤال تتكون من خانتين.

نوحد الخانات بإضافة صفر إلى يمين كل عدد في السؤال.

يصبح العدد الأول $٠،٠٦٠$ والعدد الثاني $٠،٠٨٠$.

نبحث في الخيارات عن عدد يقع بين $٠،٠٦٠$ و $٠،٠٨٠$.

العدد $٠،٠٦٥$ يقع بينهما، وكذلك العدد $٠،٠٧٥$ يقع بينهما.

لكن جرت العادة في اختبار القدرات عند طلب العدد المحصور أن يقصد القيمة التي تتوسط المقدارين بدقة أكبر، أو أقرب للوسط.

وبالنظر إلى الإجابات المعتمدة، الخيار الأمثل والمتعارف عليه هو $٠،٠٧٥$ رغم صحة $٠،٠٦٥$ رياضياً.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: إيجاد المتوسط الحسابي.

يمكن إيجاد العدد الذي يقع في المنتصف تماماً بجمع العددين وقسمتهما على اثنين.

نجمع: $= ٠،٠٨ + ٠،٠٦$ والناتج هو $٠،١٤$.

نقسم الناتج على اثنين: $= ٢ \div ٠،١٤$ والناتج هو $٠،٠٧$.

العدد $٠،٠٧$ يمكن كتابته بإضافة صفر ليصبح $٠،٠٧٠$.

بما أن $٠،٠٧٥$ قريب جداً من هذا المتوسط وهو خيار متاح يقع بوضوح ضمن النطاق، فإنه يعتبر إجابة صحيحة للأسئلة من هذا النوع.

تكنيك ١: إيجاد الفرق المطلق

المفهوم الرياضي: القيمة الأقرب هي التي تمتلك أصغر فرق مطلق بينها وبين الرقم المستهدف.

الرقم المستهدف هو $١١$.

نحسب الفرق مع الخيار الأول: $٠،٤ = ١٠،٦ – ١١$

نحسب الفرق مع الخيار الثاني: $٠،٥ = ١١ – ١١،٥$

نحسب الفرق مع الخيار الثالث: $٠،٨ = ١١ – ١١،٨$

نحسب الفرق مع الخيار الرابع: $٠،٦ = ١٠،٤ – ١١$

أصغر فرق هو $٠،٤$.

إذن القيمة الأقرب هي $١٠،٦$.

تكنيك ٢: خط الأعداد والتقدير البصري

نمثل الرقم $١١$ على خط الأعداد.

الرقم $١٠،٦$ يقع قبل $١١$ بمسافة أربعة أجزاء من عشرة.

الرقم $١١،٥$ يقع بعد $١١$ بمسافة خمسة أجزاء من عشرة.

باقي الخيارات مسافاتها أبعد (ستة أجزاء وثمانية أجزاء من عشرة).

بالتالي، أقرب نقطة للرقم $١١$ على خط الأعداد هي $١٠،٦$.

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: المتتابعة الحسابية.

الزيادة اليومية ثابتة وتمثل أساس المتتابعة، وقيمته $٠،٤$.

الحد الأول يمثل يوم السبت وقيمته $٣،٤$.

يوم الجمعة يمثل اليوم السابع، لذا نحتاج إيجاد الحد السابع.

قانون الحد النوني: $د \times (١ – ن) + أ = ن_ح$

نعوض في القانون: $= ٠،٤ \times (١ – ٧) + ٣،٤$

نطرح ما بداخل القوس: $= ٠،٤ \times ٦ + ٣،٤$

نضرب: $= ٢،٤ + ٣،٤$

نجمع القيمتين ليكون الناتج $٥،٨$ كيلومترات.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: الحساب المباشر والتدرج المنتظم.

يوم السبت يجري $٣،٤$ كلم.

يوم الأحد يجري: $= ٠،٤ + ٣،٤$ والناتج $٣،٨$.

يوم الإثنين يجري: $= ٠،٤ + ٣،٨$ والناتج $٤،٢$.

يوم الثلاثاء يجري: $= ٠،٤ + ٤،٢$ والناتج $٤،٦$.

يوم الأربعاء يجري: $= ٠،٤ + ٤،٦$ والناتج $٥،٠$.

يوم الخميس يجري: $= ٠،٤ + ٥،٠$ والناتج $٥،٤$.

يوم الجمعة يجري: $= ٠،٤ + ٥،٤$ والناتج $٥،٨$ كيلومترات.

تكنيك ١: حساب كل جزء على حدة

المفهوم الرياضي: ترتيب العمليات الحسابية، وإيجاد نواتج الضرب قبل الجمع.

الجزء الأول: ${٥٠} = {١٠} \times {٥}$

الجزء الثاني: ${٩٠٠} = {١٠٠} \times {٩}$

الجزء الثالث: ${٠،٧} = \frac{٧}{١٠} = \frac{١}{١٠} \times {٧}$

الجزء الرابع: ${٠،٠٠٣} = \frac{٣}{١٠٠٠} = \frac{١}{١٠٠٠} \times {٣}$

نجمع النواتج: ${٩٥٠،٧٠٣} = {٠،٠٠٣} + {٠،٧} + {٩٠٠} + {٥٠}$

تكنيك ٢: تحويل القيم إلى منازل عشرية مباشرة

المفهوم الرياضي: فهم القيمة المنزلية للأرقام.

العدد ${٥}$ في العشرات يكتب ${٥٠}$.

العدد ${٩}$ في المئات يكتب ${٩٠٠}$.

العدد ${٧}$ جزء من عشرة يكتب ${٠،٧}$.

العدد ${٣}$ جزء من ألف يكتب ${٠،٠٠٣}$.

بجمع القيم نضع كل رقم في منزلته الصحيحة، ويكون الناتج ${٩٥٠،٧٠٣}$.

المفهوم الرياضي: التقريب لتسهيل العمليات الحسابية.

نقرب كل عدد بهدف جعل الحسابات أسهل:

العدد $٤،٠٢$ يقرب إلى $٤$.

العدد $٤،٩٨$ يقرب إلى $٥$.

العدد $١،٩٢$ يقرب إلى $٢$.

العدد $٢،٥١$ يقرب إلى $٢،٥$.

نعوض بالقيم المقربة:

المقدار = $\frac{{٤} \times {٥}}{{٢،٥} \times {٢}}$

نحسب البسط والمقام:

${٢٠} = {٤} \times {٥}$

${٥} = {٢،٥} \times {٢}$

الناتج النهائي = $\frac{٢٠}{٥}$

${٤} = \frac{٢٠}{٥}$

إذن الخيار الصحيح هو $٤$.

تكنيك ١: الحساب المباشر

المفهوم الرياضي: القيمة الإجمالية = القيمة اليومية مضروبة في عدد الأيام.

نحسب القيمة الأولى (الفاتورة بعد $٢٢$ يوم):

${١٦٥} = {٢٢} \times {٧،٥}$

القيمة الثانية معطاة وهي $١٨٠$.

بمقارنة القيمتين: $١٨٠$ أكبر من $١٦٥$.

إذن القيمة الثانية أكبر.

تكنيك ٢: التقدير والتبسيط

لتبسيط الضرب، يمكن اعتبار $٧،٥$ ككسر: $\frac{١٥}{٢}$

القيمة الأولى = ${\frac{١٥}{٢}} \times {٢٢}$

نبسط بقسمة $٢٢$ على $٢$ لنحصل على $١١$.

${١٦٥} = {١٥} \times {١١}$

القيمة الثانية = $١٨٠$.

القيمة الثانية أكبر من القيمة الأولى.

المفهوم الرياضي: القسمة، التقريب بالزيادة لضمان الامتلاء.

نحتاج معرفة عدد الأكواب لملء الغلاية بالكامل، وبالتالي إذا كان هناك كسر يجب إضافة كوب آخر لضمان امتلائها.

نجرب الخيارات المعطاة بضرب سعة الكوب في عدد الأكواب:

بتجربة الخيار الأول: ${٢١} = {٧} \times {٣}$ لتر (لا يكفي لملء الغلاية، حيث سعتها $٢٢،٤$ لتر).

بتجربة الخيار الثاني: ${٢٤} = {٨} \times {٣}$ لتر (يكفي ويفيض، إذن الغلاية ستمتلئ بالكامل).

إذن الخيار الصحيح هو $٨$.

تكنيك ١: التبسيط بالتخلص من الفواصل في البسط

المفهوم الرياضي: عند قسمة كسر عشري على قوى العدد عشرة، نحرك الفاصلة جهة اليسار بعدد الأصفار الموجودة في المقام.

الكسر الأول: ${٠،٠١} = \frac{٠،١}{١٠}$

الكسر الثاني: ${٠،٠٠١} = \frac{٠،١}{١٠٠}$

الكسر الثالث: ${٠،٠٠٠١} = \frac{٠،١}{١٠٠٠}$

نجمع القيم العشرية ترتيباً رأسياً أو أفقياً: ${٠،٠١١١} = {٠،٠٠٠١} + {٠،٠٠١} + {٠،٠١}$

تكنيك ٢: التخلص من الفاصلة بالضرب في عشرة

المفهوم الرياضي: ضرب البسط والمقام في عشرة لإزالة الفاصلة العشرية من البسط.

الكسر الأول: ${٠،٠١} = \frac{١}{١٠٠} = \frac{{١٠} \times {٠،١}}{{١٠} \times {١٠}}$

الكسر الثاني: ${٠،٠٠١} = \frac{١}{١٠٠٠} = \frac{{١٠} \times {٠،١}}{{١٠٠} \times {١٠}}$

الكسر الثالث: ${٠،٠٠٠١} = \frac{١}{١٠٠٠٠} = \frac{{١٠} \times {٠،١}}{{١٠٠٠} \times {١٠}}$

نجمع الكسور: ${٠،٠١١١} = \frac{١}{١٠٠٠٠} + \frac{١}{١٠٠٠} + \frac{١}{١٠٠}$

تكنيك ١: الجمع الرأسي (المفهوم الرياضي: ترتيب الفواصل العشرية وتعبئة الأماكن الشاغرة بالأصفار).

نرتب الأعداد تحت بعضها البعض، ونجمع كل خانة عمودياً لنحصل على $٠,١١١١$

تكنيك ٢: الدمج المباشر (المفهوم الرياضي: إدراك أن كل كسر عشري يشغل خانة منفصلة ولا يوجد تداخل أو حمل).

لدينا رقم ١ في جزء من عشرة، وجزء من مئة، وجزء من ألف، وجزء من عشرة آلاف.

بما أن كل خانة تحتوي على الرقم ١ فقط بشكل منفرد، نكتب العدد مباشرة: $٠,١١١١$

تكنيك ١:

المفهوم الرياضي: ضرب الكسور العشرية وعد الخانات.

نضرب الأعداد الصحيحة متجاهلين الفواصل: $= ٢ \times ٢ \times ٢$ والناتج هو $٨$.

نعد الخانات العشرية في القيمة الأولى: ثلاث خانات في العدد الأول، وخانة في الثاني، وخانة في الثالث، المجموع خمس خانات.

نضع الفاصلة بعد خمس خانات ليصبح ناتج القيمة الأولى هو $٠،٠٠٠٠٨$.

القيمة الثانية هي $٠،٠٠٠٠٠٨$ وتحتوي على ست خانات عشرية.

لمساواة الخانات، نضيف صفراً للقيمة الأولى لتصبح $٠،٠٠٠٠٨٠$.

بالمقارنة، $٨٠$ جزءاً من مليون أكبر من $٨$ أجزاء من مليون.

إذن القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ٢:

المفهوم الرياضي: تحويل الكسور العشرية إلى اعتيادية.

نحول القيمة الأولى: $= \frac{٢}{١٠٠٠} \times \frac{٢}{١٠} \times \frac{٢}{١٠}$

نضرب البسوط والمقامات: $= \frac{٨}{١٠٠٠٠٠}$

القيمة الثانية تعادل الكسر: $\frac{٨}{١٠٠٠٠٠٠}$

عند تساوي البسوط، الكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر.

مقام القيمة الأولى (مائة ألف) أصغر من مقام القيمة الثانية (مليون).

وبالتالي القيمة الأولى أكبر.

تكنيك ١: تحويل الكسور الاعتيادية إلى كسور عشرية

المفهوم الرياضي: توحيد صيغة الأعداد لتسهيل المقارنة بينها.

الكسر الأول: ${٣،٠١} = {٣}\frac{١}{١٠٠}$

الكسر الثاني: ${٤،٣} = {٤}\frac{٣}{١٠}$

القيمة الثانية تساوي مجموع الكسرين: ${٧،٣١} = {٣،٠١} + {٤،٣}$

نلاحظ أن القيمة الأولى ${٧،٣١}$ تساوي القيمة الثانية ${٧،٣١}$.

إذن القيمتان متساويتان.

تكنيك ٢: تحويل الكسور العشرية إلى كسور اعتيادية

المفهوم الرياضي: تحويل كلا القيمتين لكسور اعتيادية ثم المقارنة.

القيمة الأولى: ${٧،٣١} = {٧}\frac{٣١}{١٠٠}$

القيمة الثانية: نجمع الكسور ${٤}\frac{٣٠}{١٠٠} + {٣}\frac{١}{١٠٠} = {٧}\frac{٣١}{١٠٠}$

بمقارنة القيمة الأولى بالقيمة الثانية، نجد أنهما متطابقتان.

تكنيك ١: التخلص من الفواصل العشرية

المفهوم الرياضي: لتبسيط كسر مقامه يحتوي على فاصلة عشرية، نضرب البسط والمقام في عشرة للتخلص من الفاصلة.

الكسر الأول: ${\frac{١٠}{٢}} = {\frac{١٠}{١٠}} \times {\frac{١}{٠،٢}}$

الكسر الثاني: ${\frac{٤٠}{٢}} = {\frac{١٠}{١٠}} \times {\frac{٤}{٠،٢}}$

الكسر الثالث: ${\frac{٥٠٠}{٢}} = {\frac{١٠}{١٠}} \times {\frac{٥٠}{٠،٢}}$

نبسط الكسور:

الكسر الأول = $٥$

الكسر الثاني = $٢٠$

الكسر الثالث = $٢٥٠$

نضرب النواتج معاً:

${٢٥٠٠٠} = {٢٥٠} \times {٢٠} \times {٥}$

إذن الناتج هو $٢٥٠٠٠$.

تكنيك ٢: تحويل الكسر العشري إلى اعتيادي

المفهوم الرياضي: $٠،٢$ يعادل $\frac{٢}{١٠}$ أو $\frac{١}{٥}$.

مقام المقام يصبح بسطاً.

الكسر الأول = $\frac{١}{\frac{١}{٥}}$ = $٥$

الكسر الثاني = $\frac{٤}{\frac{١}{٥}}$ = ${٥} \times {٤}$ = $٢٠$

الكسر الثالث = $\frac{٥٠}{\frac{١}{٥}}$ = ${٥} \times {٥٠}$ = $٢٥٠$

حاصل الضرب: ${٢٥٠٠٠} = {٢٥٠} \times {٢٠} \times {٥}$